Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 5, стр. 739-751

Подход к численному решению задач оптимального управления нагруженными дифференциальными уравнениями с нелокальными условиями

В. М. Абдуллаев^1, 2, *, К. Р. Айда-заде^2, 3, **

¹ Азерб. гос. ун-т нефти и промышленности
AZ1010 Баку, пр-т Азадлыг, 20, Азербайджан

² Ин-т систем управления НАН Азербайджана
AZ1141 Баку, ул. Вахабзаде, 9, Азербайджан

³ Ин-т математики и механики НАН Азербайджана
AZ1141 Баку, ул. Вахабзаде, 9, Азербайджан

^* E-mail: vaqif_ab@rambler.ru
^** E-mail: kamil_aydazade@rambler.ru

Поступила в редакцию 17.10.2017
После доработки 21.10.2018
Принята к публикации 11.01.2019

DOI: 10.1134/S0044466919050028

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе предложен подход к численному решению задач оптимального управления, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений с точечными нагружениями. В задаче заданы нелокальные условия, в которых участвуют в неразделенном виде как значения фазового состояния в определенных точках, так и ее интегральные значения на различных заданных интервалах. Получены формулы для градиента целевого функционала задачи, использованные для решения задачи с применением численных методов оптимизации первого порядка. Приведены результаты численных экспериментов. Библ. 22. Табл. 2.

Ключевые слова: нагруженное дифференциальное уравнение, оптимальное управление, градиент функционала, нелокальные условия, интегральные условия.

ВВЕДЕНИЕ

В работе предложен подход к численному решению задач оптимального управления процессами, описываемых системами обыкновенных точечно нагруженных дифференциальных уравнений с неразделенными многоточечными и интегральными условиями. Известно, что нагруженными обыкновенными дифференциальными, в том числе интегральными уравнениями, описываются многие процессы [1]–[8]. К этим же системам при использовании метода прямых приводятся нагруженные дифференциальные уравнения с частными производными с точечными нагружениями [9]–[13]. Наличие неразделенных многоточечных и/или интегральных условий для этих уравнений обусловлено невозможностью на практике производить замеры в какой-либо одной точке фазового пространства и/или в какой-либо момент времени. Ясно, что замеры охватывают некоторую окрестность точки, в которой производится замер, или интервал времени, содержащий момент времени замера. Такие замеры, как правило, усреднялись, что, очевидно, приводило к погрешностям в задании начальных и/или краевых условий.

Для рассматриваемого класса задач управления получены формулы градиента, которые предлагается использовать для решения задач оптимального управления нагруженными системами с нелокальными условиями с применением численных методов оптимизации первого порядка. Для решения нагруженных дифференциальных уравнений с нелокальными условиями предложен подход, приводящий к решению вспомогательных систем дифференциальных уравнений без нагружения с нелокальными условиями. А для решения дифференциальных уравнений с неразделенными точечными и интегральными условиями как для прямой, так и сопряженной задач использован подход, предложенный в работах [6], [7], [14], [15], [17], являющийся аналогом метода прогонки [16], и основанный на последовательном сдвиге (слева направо или справа налево) точек, участвующих в нелокальных условиях.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим управляемый процесс, описываемый следующей системой точечно нагруженных дифференциальных уравнений линейных по фазовой переменной и нелинейных по управляющим воздействиям

(1.1)

$\dot {x}(t) = A(t,u)x(t) + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{B}_{s}}(t,u)x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} + {{B}_{0}}(t,u),\quad t \in [{{t}_{0}},{{t}_{f}}].$

Здесь $x(t) \in {{R}^{n}}$ – фазовая переменная; $u(t) \in U \subset {{R}^{r}}$ – управляющая кусочно-непрерывная вектор-функция, допустимые значения которой принадлежат заданному выпуклому компактному множеству $U$; n-мерные матричные функции $A(t,u)\not { \equiv }\operatorname{const} ,$ ${{B}_{s}}(t,u),$ $s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$ и n-мерная вектор-функция ${{B}_{0}}(t,u)$ непрерывны по $t$ и непрерывно-дифференцируемы по $u$; заданные моменты времени нагружения ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}},\;s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}},$ не умаляя общности, будем считать упорядоченными, т.е. ${{t}_{0}} < {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{1}} < {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{2}} < ... < {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{{{{l}_{1}}}}} < {{t}_{f}}.$

Имеются $n$ линейных условий, содержащих слагаемые как со значениями фазовой переменной в каких-либо точках (в том числе и в точках нагружения), так и слагаемые с интегралами по фазовой переменной

(1.2)

$\sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{s}}x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{{\tilde {D}}}_{j}}x({{{\tilde {t}}}_{j}})} + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } } )x(\tau )d\tau = {{L}_{0}}.$

Здесь непрерывные матричные функции ${{\bar {D}}_{i}}\left( \tau \right)$ и скалярные матрицы ${{\tilde {D}}_{j}}$, ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }_{s}}$, имеющие размерность $(n \times n)$; $n$-мерный вектор ${{L}_{0}}$ – заданы.

Будем предполагать, что заданные моменты времени нагружения ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}},\,\,\,$ границы интервалов ${{\tilde {t}}_{j}}$ и моменты временны ${{\bar {t}}_{i}}$ для всех $s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}},$ $j = 1,2, \ldots ,{{l}_{2}},$ $i = 1,2, \ldots ,2{{l}_{3}}$, не умаляя общности, удовлетворяют требованиям

(1.3)

$\min \left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{1}},{{{\tilde {t}}}_{1}},{{{\bar {t}}}_{1}}} \right) = {{t}_{0}},\quad \max \left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{{{{l}_{1}}}}},{{{\tilde {t}}}_{{{{l}_{2}}}}},{{{\bar {t}}}_{{2{{l}_{3}}}}}} \right) = {{t}_{f}},$

(1.4)

${{\tilde {t}}_{j}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}}\bar { \in }\left[ {{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}},{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} \right]$.

Пусть при каждом допустимом управлении $u(t) \in U$ выполнены условия существования единственного решения системы нагруженных дифференциальных уравнений (1.1), удовлетворяющих условиям (1.2).

Рассматриваемая задача оптимального управления заключается в отыскании такого допустимого управления $u(t) \in U$, что вместе с соответствующим ему решением дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющим условиям (1.2), минимизировалось значение функционала

(1.5)

$J(u) = F(\hat {x}) + \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {{{f}^{0}}(x,u,t)dt \to } \mathop {\min }\limits_{u(t) \in U} .$

Здесь функция $F({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ – непрерывно-дифференцируема по своим аргументам; функция ${{f}^{0}}(x,u,t)$ непрерывно-дифференцируема по $x,u$ и непрерывна по $t$; $\hat {t} = ({{\hat {t}}_{1}},{{\hat {t}}_{2}}, \ldots ,{{\hat {t}}_{{2{{l}_{3}} + {{l}_{2}}}}})$ – упорядоченное объединение моментов времени

$\tilde {t} = ({{\tilde {t}}_{1}},{{\tilde {t}}_{2}}, \ldots ,{{\tilde {t}}_{{{{l}_{2}}}}}),$ $\bar {t} = ({{\bar {t}}_{1}},{{\bar {t}}_{2}}, \ldots ,{{\bar {t}}_{{2{{l}_{3}}}}}),$ $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} = ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{1}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{2}}, \ldots ,{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}}),$

т.е.

${{\hat {t}}_{j}} < {{\hat {t}}_{{j + 1}}},\quad j = 1, \ldots ,{{l}_{1}} + {{l}_{2}} + 2{{l}_{3}} - 1{\kern 1pt} ;\quad \hat {x} = x(\hat {t}) = (x({{\hat {t}}_{1}}), \ldots ,x({{\hat {t}}_{{{{l}_{1}} + {{l}_{2}} + 2{{l}_{3}}}}})).$

Ясно, что введением ${{l}_{2}}$ новых фазовых переменных можно избавиться от интегральных слагаемых в условиях (1.2), сведя их к многоточечным условиям. Далее, используя подход, предложенный в [6], за счет дополнительного увеличения размерности фазового вектора до $(2{{l}_{3}} + {{l}_{2}} + 1)({{l}_{3}} + 1)n$, полученную задачу с многоточечными условиями можно привести к двухточечной краевой задаче с разделенными краевыми условиями, относительно которой известны необходимые условия оптимальности [17]–[19].

В данный работе получены конструктивные формулы вычисления градиента функционала задачи (1.1), (1.2), (1.5), не использующие увеличения размерности фазового пространства, позволяющие строить численные методы решения рассматриваемой задачи с применением эффективных итерационных методов оптимизации первого порядка.

2. ПОЛУЧЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ ГРАДИЕНТА ФУНКЦИОНАЛА

Предположим выполненными все наложенные условия на функции, параметры, участвующие в постановке задачи (1.1)–(1.5). Обозначим через ${{O}_{{n \times n}}}$ нулевую матрицу, размерности $n \times n$, ${{O}_{n}}$ есть $n$-мерный нулевой вектор. Имеет место

Теорема 1. Решение системы нагруженных уравнений (1.1) при условиях (1.2) для произвольно заданной допустимой функции $u(t)$ представимо в виде

(2.1)

$x(t) = {{z}_{0}}(t) + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{z}_{s}}(t)} x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}}),$

где $n$-мерная вектор-функция ${{z}_{0}}(t)$ и $n$-мерные квадратные матричные функции ${{z}_{s}}(t),\;s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}},$ являются решением следующих линейных систем дифференциальных уравнений с неразделенными многоточечными и интегральными условиями

(2.2)

${{\dot {z}}_{s}}(t) = A(t,u){{z}_{s}}(t) + {{B}_{s}}(t,u),\quad t \in [{{t}_{0}},T],\quad s = 0,1, \ldots ,{{l}_{1}},$

(2.3)

$\sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{m}}{{z}_{s}}({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{m}})} + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{{\tilde {D}}}_{j}}{{z}_{s}}({{{\tilde {t}}}_{j}})} + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } } ){{z}_{s}}(\tau )d\tau = \left\{ \begin{gathered} {{L}_{0}},\quad s = 0, \hfill \\ {{O}_{{n \times n}}},\quad s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Доказательство. Подставив представление решения (2.1) с систему (1.1), получим

${{\dot {z}}_{0}}(t) + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\dot {z}}}_{s}}(t)} x({{t}_{s}}) = A(t,u)\left[ {{{z}_{0}}(t) + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{z}_{s}}(t)} x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} \right] + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{B}_{s}}(t,u)x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} + {{B}_{0}}(t,u).$

Сгруппировав слагаемые, будем иметь

$\left[ {{{{\dot {z}}}_{0}}(t) - A(t,u){{z}_{0}}(t) - {{B}_{0}}(t,u)} \right] + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {\left[ {{{{\dot {z}}}_{s}}(t) - A(t,u){{z}_{s}}(t) - {{B}_{s}}(t,u)} \right]} x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}}) = {{0}_{n}}.$

Учитывая пока произвольность значений $x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}})$, $s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$, потребуем равенства нулю выражений в квадратных скобках. В результате получим искомую систему дифференциальных уравнений (2.2).

Подставим представления (2.1) в условия (1.2), получим

$\begin{gathered} \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{s}}\left[ {{{z}_{0}}({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}}) + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{1}}} {{{z}_{i}}({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{i}})} \right]} + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{{\tilde {D}}}_{j}}\left[ {{{z}_{0}}({{{\tilde {t}}}_{j}}) + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{z}_{s}}({{{\tilde {t}}}_{j}})} x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} \right]} + \\ + \;\sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } } )\left[ {{{z}_{0}}(\tau ) + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{z}_{s}}(\tau )} x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} \right]d\tau = {{L}_{0}}. \\ \end{gathered} $

Группируя слагаемые и меняя порядок суммирования, получаем

$\begin{gathered} \left[ {\sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{s}}{{z}_{0}}({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{{\tilde {D}}}_{j}}{{z}_{0}}({{{\tilde {t}}}_{j}})} + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } } ){{z}_{0}}(\tau )d\tau - {{L}_{0}}} \right] + \\ + \;\sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {\left[ {\sum\limits_{m = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{m}}{{z}_{s}}({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{m}})} + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{{\tilde {D}}}_{j}}{{z}_{s}}({{{\tilde {t}}}_{j}})} + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } } ){{z}_{s}}(\tau )d\tau } \right]x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} = {{O}_{{n \times n}}}. \\ \end{gathered} $

Приравняв нулю выражения в квадратных скобках, получим искомые условия (2.3).

Пусть $n$-мерная квадратная матрица $\Phi (t,\tau ;u)$ при заданной вектор-функции $u(t)$ есть решение следующей задачи Коши

${{\Phi }_{t}}(t,\tau ;u) = A(t;u)\Phi (t,\tau ;u),$

$\Phi ({{t}_{0}},{{t}_{0}}) = {{E}_{n}},$

где ${{E}_{n}}$ есть $n$-мерная единичная матрицы.

Матричная функция $\Phi (t,\tau ;u)$ является фундаментальной матрицей решений векторной системы дифференциальных уравнений (2.2) при $s = 0$ и заданной функции $u(t)$. Далее для краткости, где это возможно, у функции $\Phi (t,\tau ;u)$ третий аргумент – u(t) будет опущен, т.е. будет использовано $\Phi (t,\tau )$ = $\Phi (t,\tau ;u)$.

Рассмотрим матричные системы дифференциальных уравнений (2.2) при $s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$. Через $z_{s}^{j}(t),$ $B_{s}^{j}(t;u)$ обозначим $j$-е столбцы матриц ${{z}_{s}}(t)$ и ${{B}_{s}}(t;u)$. Тогда $\Phi (t,\tau )$ будет фундаментальной матрицей решений для векторных систем

$\dot {z}_{s}^{j}(t) = A(t,u)z_{s}^{j}(t) + B_{s}^{j}(t,u)\,,\,\,$

составленных из соответствующих столбцов. Поэтому матрицу $\Phi (t,\tau )$ будем считать фундаментальной и для матричных систем дифференциальных уравнений (2.2) при $s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$, понимая их как системы, записанные по столбцам матриц ${{z}_{s}}(t)$ и ${{B}_{s}}(t;u)$.

В этом случае решения неоднородных систем уравнений (2.2), согласно формуле Коши, представляются в виде

${{z}_{s}}(t) = \Phi (t,{{t}_{0}}){{z}_{s}}({{t}_{0}}) + \int\limits_{{{t}_{0}}}^t {\Phi (t,\tau )} {{B}_{s}}(\tau )d\tau ,\quad s = 0,1, \ldots ,{{l}_{1}},$

как для векторной системы дифференциальных уравнений (2.2) при $s = 0$, так и для матричных систем дифференциальных уравнений (2.2) при $s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$.

Далее используем ${{\delta }_{{ij}}}$-символ Кронеккера, а именно в данном случае ${{\delta }_{{ii}}} = 1$ и ${{\delta }_{{ij}}} = 0$ при $i \ne j$ $i,j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$.

Имеет место

Теорема 2. Для существования и единственности решения задачи (1.1), (1.2) при заданной вектор-функции $u(t)$ необходимо и достаточно, чтобы ранг $n$-мерной матрицы

(2.4)

$Q = \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{s}}\Phi ({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}},{{t}_{0}})} + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{{\tilde {D}}}_{j}}\Phi ({{{\tilde {t}}}_{j}},{{t}_{0}})} + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } } )\Phi (\tau ,{{t}_{0}})d\tau ,$

был равен $n$, а ранг матрицы V, элементы которой есть $n$-мерные квадратные матрицы

(2.5)

${{V}_{{sj}}} = {{\delta }_{{sj}}}{{E}_{n}} - \Phi ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{j}},{{t}_{0}}){{z}_{s}}({{t}_{0}}) - \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}}} {\Phi ({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}},\tau )} {{B}_{s}}(\tau )d\tau ,\quad j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}},\quad s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}},$

был равен ${{l}_{1}}n$.

Доказательство. Для решений систем дифференциальных уравнений (2.2), согласно формуле Коши, имеем

(2.6)

${{z}_{s}}({{\tilde {t}}_{j}}) = \Phi ({{\tilde {t}}_{j}},{{t}_{0}}){{z}_{s}}({{t}_{0}}) + \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{{\tilde {t}}}_{j}}} {\Phi ({{{\tilde {t}}}_{j}},\tau )} {{B}_{s}}(\tau )d\tau ,\quad s = 0,1, \ldots ,{{l}_{1}},\quad j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}},$

(2.7)

${{z}_{s}}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{j}}) = \Phi ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{j}},{{t}_{0}}){{z}_{s}}({{t}_{0}}) + \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}}} {\Phi ({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}},\tau )} {{B}_{s}}(\tau )d\tau ,\quad s = 0,1, \ldots ,{{l}_{1}},\quad j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}.$

Введем обозначение

(2.8)

${{{\rm I}}_{{si}}} = \int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } ){{z}_{s}}(\tau )d\tau = \int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } )\Phi (\tau ,{{t}_{0}})d\tau \cdot {{z}_{s}}({{t}_{0}}) + \int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {\int\limits_{{{t}_{0}}}^\tau {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau )\Phi (\xi ,\tau ){{B}_{s}}(\xi )d\xi d\tau } } .$

Подставляя (2.6)–(2.8) в условия (2.3), несложно убедиться, что относительно каждой из функций ${{z}_{s}}(t)$ для их значений ${{z}_{s}}({{t}_{0}})$, $s = 0,1, \ldots ,{{l}_{1}}$, получим независимые алгебраические системы с одинаковой матрицей в левой части и различными правыми частями

(2.9)

$Q{{z}_{s}}({{t}_{0}}) = {{W}_{s}},\quad s = 0,1, \ldots ,{{l}_{1}}.$

Здесь $n$-мерная квадратная матрица $Q$ определяется по формуле (2.4), а правая часть есть

${{W}_{s}} = - \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{s}}\int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}}} {\Phi ({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}},\tau )} {{B}_{s}}(\tau )d\tau - } \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{D}_{j}}} \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{{\tilde {t}}}_{j}}} {\Phi ({{{\tilde {t}}}_{j}},\tau )} {{B}_{s}}(\tau )d\tau - \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {{{{\rm I}}_{{si}}}} + \left\{ \begin{gathered} {{L}_{0}},\quad s = 0, \hfill \\ 0,\quad s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ясно, что для единственности решения системы (1.1), (1.2) в виде представления (2.1) для произвольных допустимых функций $u(t)$ необходимо, чтобы каждая из систем в (2.9) имела единственное решение, а следовательно, необходимо, чтобы ранг матрицы $Q$ был равен $n$ (учитывая, что в (2.9) алгебраические системы для $s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$ разбиваются на подсистемы относительно соответствующих столбцов матриц ${{z}_{s}}(t)$ и ${{W}_{s}}(t)$).

Далее, пользуясь представлением (2.1), для точек нагружения имеем

$x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{j}}) = {{z}_{0}}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{j}}) + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{z}_{s}}({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}})} x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}}),\quad j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}.$

После группировки соответствующих членов получим систему алгебраических уравнений

$\sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {[{{\delta }_{{sj}}}{{E}_{n}} - {{z}_{s}}({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}})]} x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}}) = {{z}_{0}}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{j}}),\quad j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}.$

Подставляя (2.6), (2.7) в эти соотношения, получаем

$\sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {\left[ {{{\delta }_{{sj}}}{{E}_{n}} - \Phi ({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}},{{t}_{0}}){{z}_{s}}({{t}_{0}}) - \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}}} {\Phi ({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}},\tau )} {{B}_{s}}(\tau )d\tau } \right]{\kern 1pt} } x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{s}}) = \Phi ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{j}},{{t}_{0}}){{z}_{0}}({{t}_{0}}) + \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}}} {\Phi ({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}},\tau )} {{B}_{0}}(\tau )d\tau ,\quad j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}.$

Объединим эти системы уравнений в одну систему. Введем следующие обозначения для векторов и матриц:

$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} = {{({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} }^{1}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} }^{2}}, \ldots ,{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} }^{{{{l}_{1}}}}})}^{{\text{т }}}} = {{(x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{1}}),x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{2}}), \ldots ,x({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{{{{l}_{1}}}}}))}^{{\text{т }}}},$

$G = {{({{G}_{1}},{{G}_{2}}, \ldots ,{{G}_{l}})}^{{\text{т }}}},\quad V = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {{V}_{{11}}} \\ \vdots \\ {{V}_{{{{l}_{1}}1}}} \\ \end{gathered} &\begin{gathered} {{V}_{{12}}} \\ \vdots \\ {{V}_{{{{l}_{1}}2}}} \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \\ \end{gathered} &\begin{gathered} {{V}_{{1{{l}_{1}}}}} \\ \vdots \\ {{V}_{{{{l}_{1}}{{l}_{1}}}}} \\ \end{gathered} \end{array}} \right),$

${{G}_{j}} = \Phi ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{j}},{{t}_{0}}){{z}_{0}}({{t}_{0}}) + \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}}} {\Phi ({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{j}},\tau )} {{B}_{0}}(\tau )d\tau ,\quad j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}},$

Здесь матрица $V$ имеет размеры $({{l}_{1}}n \times {{l}_{1}}n)$, $G$ и $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} $ есть $({{l}_{1}}n)$-мерные векторы, ${{V}_{{sj}}}$ есть n-мерные квадратные матрицы, ${{G}_{j}}$ есть $n$-мерные векторы, $s,j = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$, ${\text{т }}$ – знак транспонирования.

В результате получим следующую систему алгебраических уравнений $({{l}_{1}}n)$-го порядка:

(2.10)

$V\,\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} = G\,.$

Для того чтобы система (1.1), (1.2) при произвольно заданных допустимых $u(t)$ имела единственное решение в виде представления (2.1), необходимо, чтобы система (2.10) имела единственное решение. Отсюда следует необходимость выполнения условия (2.5).

Имеет место следующая теорема. В ней использованы следующие обозначения: $\delta (t)$ – функция Дирака; $\chi (t)$ – функция Хевисайда, т.е. $\chi (t) = 1$ при $t > 0$ и $\chi (t) = 0$ при $t < 0$; для произвольной кусочно-непрерывной функции $\varphi (t){\text{:}}$

$\varphi ({{t}^{ + }}) = \varphi (t + 0),\quad \varphi ({{t}^{ - }}) = \varphi (t - 0).$

Теорема 3. Пусть $u(t)$ – произвольное допустимое управление, а $x(t)$ – соответствующее ему решение задачи (1.1), (1.2). Тогда градиент функционала задачи (1.1), (1.2), (1.5) определяется формулой

(2.11)

$\operatorname{grad} J(u) = f_{u}^{0}(x,u,t) + {{\psi }^{{\text{т }}}}(t)\left( { - A_{u}^{{\text{т }}}(t,u)x(t) - \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {B_{{su}}^{{\text{т }}}(t,u)x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} - {{B}_{{0u}}}(t,u)} \right),$

где $\psi (t)$, $\lambda $ – соответственно $n$-мерная вектор-функция и $n$-мерный скалярный вектор, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений:

(2.12)

$\dot {\psi }(t) = - {{A}^{{\text{т }}}}(t,u)\psi (t) - \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {\delta \left( {t - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}}} \right)\int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {B_{s}^{{\text{т }}}(t,u)\psi (t)dt} } + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\left[ {\chi ({{{\bar {t}}}_{{2i}}}) - \chi ({{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}})} \right]} \bar {D}_{i}^{{\text{т }}}(t)\lambda + f_{x}^{0}(x,u,t),$

граничным условиям

(2.13)

$\psi ({{t}_{0}}) = \left\{ \begin{gathered} {{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} }}_{1}}}}} \right)}^{{\text{т }}}} + \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} _{1}^{{\text{т }}}\lambda ,\quad е с л и \quad {{t}_{0}} = {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{1}}, \hfill \\ {{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\tilde {x}}}_{1}}}}} \right)}^{{\text{т }}}} + \tilde {D}_{1}^{{\text{т }}}\lambda ,\quad е с л и \quad {{t}_{0}} = {{{\tilde {t}}}_{1}}, \hfill \\ {{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\bar {x}}}_{1}}}}} \right)}^{{\text{т }}}},\quad е с л и \quad {{t}_{0}} = {{{\bar {t}}}_{1}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(2.14)

$\psi ({{t}_{f}}) = \left\{ \begin{gathered} - {{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} }}_{{{{l}_{1}}}}}}}} \right)}^{{\text{т }}}} - \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} _{{{{l}_{1}}}}^{{\text{т }}}\lambda ,\quad е с л и \quad {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{{{{l}_{1}}}}} = {{t}_{f}}, \hfill \\ - {{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\tilde {x}}}_{{{{l}_{2}}}}}}}} \right)}^{{\text{т }}}} - \tilde {D}_{{{{l}_{2}}}}^{{\text{т }}}\lambda ,\quad е с л и \quad {{{\tilde {t}}}_{{{{l}_{2}}}}} = {{t}_{f}}, \hfill \\ - {{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\bar {x}}}_{{2{{l}_{3}}}}}}}} \right)}^{{\text{т }}}},\quad е с л и \quad {{{\bar {t}}}_{{2{{l}_{3}}}}} = {{t}_{f}}, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

условиям скачка

(2.15)

$\psi (\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} _{s}^{ + }) - \psi (\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} _{s}^{ - }) = \frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} }}_{s}}}} + \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} _{s}^{{\text{т }}}\lambda ,\quad s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}},$

(2.16)

$\psi (\tilde {t}_{j}^{ + }) - \psi (\tilde {t}_{j}^{ - }) = \frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\tilde {x}}}_{j}}}} + \tilde {D}_{j}^{{\text{т }}}\lambda ,\quad j = 1,2, \ldots ,{{l}_{2}},$

(2.17)

$\psi (\bar {t}_{i}^{ + }) - \psi (\bar {t}_{i}^{ - }) = \frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\bar {x}}}_{i}}}},\quad i = 1,2, \ldots ,2{{l}_{3}}.$

Доказательство. Покажем дифференцируемость функционала (1.5) в задаче (1.1)–(1.5) при произвольном допустимом управлении $u(t)$.

Пусть допустимое управление $u(t)$ получило достаточно малое допустимое приращение $\Delta u(t)$, а соответствующее ему $x(t)$ – решение задачи (1.1), (1.2) получило приращение $\Delta x(t)$, т.е. $u(t) + \Delta u(t) \in U$, $x(t) + \Delta x(t)$. Тогда имеют место уравнения

(2.18)

$\Delta \dot {x}(t) = A(t,u)\Delta x(t) + {{\Delta }_{u}}A(t,u)x(t) + \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{B}_{s}}(t,u)\Delta x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} + {{\Delta }_{u}}{{B}_{0}}(t,u),\quad t \in [{{t}_{0}},{{t}_{f}}],$

(2.19)

$\sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{s}}\Delta x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{{\tilde {D}}}_{j}}\Delta x({{{\tilde {t}}}_{j}})} + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } } )\Delta x(\tau )d\tau = 0.$

Здесь использованы следующие обозначения:

$\begin{gathered} {{\Delta }_{u}}A(t,u) = A(t,u + \Delta u) - A(t,u),\quad {{\Delta }_{u}}{{B}_{s}}(t,u) = {{B}_{s}}(t,u + \Delta u) - {{B}_{s}}(t,u), \\ {{\Delta }_{u}}{{B}_{0}}(t,u) = {{B}_{0}}(t,u + \Delta u) - {{B}_{0}}(t,u). \\ \end{gathered} $

Перенесем все слагаемые в системе уравнений (2.18) влево, умножим полученные при этом системы равенств на соответствующие компоненты пока произвольной почти всюду непрерывной, непрерывно-дифференцируемой $n$-мерной вектор-функции $\psi (t)$, а левые части условия (2.19) умножим на соответствующие компоненты пока произвольного $n$-мерного скалярного вектора $\lambda $. Левые части полученных выражений, равные нулю, сложим с приращением функционала

$\begin{gathered} \Delta J(u) = J(u + \Delta u) - J(u) = \Delta F(\hat {x}) + \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {\Delta {{f}^{0}}(x,u,t)dt} + \\ + \;\int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {{{\psi }^{{\text{т }}}}(t)\left[ {\Delta \dot {x}(t) - A(t,u)\Delta x(t) - {{\Delta }_{u}}A(t,u)x(t) - \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{B}_{s}}(t,u)\Delta x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} - {{\Delta }_{u}}{{B}_{0}}(t,u)} \right]} dt + \\ + \;{{\lambda }^{{\text{т }}}}\left[ {\sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {{{{\tilde {D}}}_{j}}\Delta x({{{\tilde {t}}}_{j}})} + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{1}}} {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{s}}\Delta x({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}}) + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\int\limits_{{{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}}}^{{{{\bar {t}}}_{{2i}}}} {{{{\bar {D}}}_{i}}(\tau } } )\Delta x(\tau )d\tau } } \right]. \\ \end{gathered} $

Используя интегрирование по частям, после группировки соответствующих членов с точностью до членов первого порядка малости, получаем

(2.20)

В (2.20) использованы следующие обозначения для матриц

${{A}_{u}}(t,u) = \left( {\left( {\frac{{\partial {{A}_{{ij}}}(t,u)}}{{\partial {{u}_{s}}}}} \right)} \right),\quad {{B}_{{su}}}(t,u) = \left( {\left( {\frac{{\partial {{B}_{{si}}}(t,u)}}{{\partial {{u}_{s}}}}} \right)} \right),\quad s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}\quad {\text{и }}\quad {{B}_{{0u}}}(t,u) = \left( {\left( {\frac{{\partial {{B}_{{0i}}}(t,u)}}{{\partial {{u}_{s}}}}} \right)} \right)$

соответственно размерностей $(n \times n \times r)$, $(n \times n \times r)$ и $(n \times r)$. Размерности соответствующих им транспонированных матриц равны $(n \times r \times n)$, $(n \times r \times n)$ и $(r \times n)$.

Относительно получения оценок величин

$o\left( {{{{\left\| {\Delta x(t)} \right\|}}_{{L_{2}^{n}[{{t}_{0}},{{t}_{f}}]}}}} \right)$ и $o\left( {{{{\left\| {\Delta \hat {x}({{{\hat {t}}}_{k}})} \right\|}}_{{L_{2}^{n}[{{t}_{0}},{{t}_{f}}]}}}} \right)$

отметим следующее. Как отмечалось в разд. 1, рассматриваемую краевую задачу (1.1), (1.2) можно привести к нелокальной краевой задаче сначала с многоточечными, далее с двухточечными условиями. Двухточечные краевые задачи исследованы во многих работах при различных предположениях на функции и параметры, участвующие в постановке, в том числе и для нелинейных задач. В этих работах для разных вариантов условий получены оценки вида

(2.21)

${{\left\| {\Delta x(t)} \right\|}_{{L_{2}^{n}[{{t}_{0}},{{t}_{f}}]}}} \leqslant c{{\left\| {\Delta u(t)} \right\|}_{{L_{2}^{r}[{{t}_{0}},{{t}_{f}}]}}},$

где значение $c = {\text{const}} > 0$ не зависит от свободного члена в правой части уравнения (1.1), а следовательно, в данном случае от выбора допустимого управления $u(t)$ [18], [19]. Использовав методику этих работ, можно получить аналогичную оценку и для краевой задачи (1.1), (1.2).

В силу произвольности вектор-функции $\psi (t)$ потребуем, чтобы она являлась решением краевой задачи (2.12)–(2.17). Тогда из (2.20) следует, что целевой функционал задачи (1.1), (1.2), (1.5) при произвольном допустимом управлении дифференцируем и его градиент определяется формулой (2.11), где $x(t)$ и $\psi (t)$ – соответствующие этому управлению решения прямой (1.1),(1.2) и сопряженной (2.12)–(2.17) краевых задач.

Замечание. В сопряженной задаче (2.12)–(2.17) условия (2.15)–(2.17) можно ввести в само дифференциальное уравнение (2.12) и получить следующее уравнение с импульсными воздействиями

(2.22)

$\begin{gathered} \dot {\psi }(t) = - {{A}^{{\text{т }}}}(t,u)\psi (t) - \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {\delta \left( {t - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}}} \right)\int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {B_{s}^{{\text{т }}}(t,u)\psi (t)dt} } + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\left[ {\chi ({{{\bar {t}}}_{{2i}}}) - \chi ({{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}})} \right]} \bar {D}_{i}^{{\text{т }}}(t)\lambda + \\ + \;\sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {\left[ {{{{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} }}_{s}}}}} \right)}}^{{\text{т }}}} + \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} _{s}^{T}\lambda } \right]} {\kern 1pt} \delta (t - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}}) + \sum\limits_{j = 1}^{{{l}_{2}}} {\left[ {{{{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\tilde {x}}}_{j}}}}} \right)}}^{{\text{т }}}} + \tilde {D}_{j}^{*}\lambda } \right]} {\kern 1pt} \delta (t - {{{\tilde {t}}}_{j}}) + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {{{{\left( {\frac{{\partial F(\hat {x})}}{{\partial {{{\bar {x}}}_{i}}}}} \right)}}^{{\text{т }}}}\delta (t - {{{\bar {t}}}_{i}})} + f_{x}^{0}(x,u,t). \\ \end{gathered} $

Задачи (2.12)–(2.17) и (2.22), (2.13), (2.14) эквиваленты, причем численные схемы и алгоритмы их решения совпадают.

Начально-краевые задачи относительно прямой и сопряженной систем дифференциальных уравнений, т.е. (1.1), (1.2), (2.12)–2.17) при произвольно заданном допустимом управлении $u(t)$ замкнуты, а именно для определения двух $n$-мерных вектор-функций $x(t),\,\psi (t)$, соответствующих им $2n$ начальных условий и $n$-мерного вектора $\lambda $ имеется $2n$ дифференциальных уравнений (2.1), (2.12), $n$ условий в (2.2) и $2n$ условий в (2.13), (2.14).

Важное значение для рассматриваемой задачи оптимального управления имеет

Теорема 4. В случае выпуклости функций $F(\hat {x})$, ${{f}^{0}}(x,u,\, \cdot )$ (строгой выпуклости одной из них) по указанным аргументам и выпуклости допустимого множества $U$ функционал задачи (1.1), (1.2), (1.5) является выпуклым (строго выпуклым).

Доказательство. Пусть ${{u}_{1}}(t)$ и ${{u}_{2}}(t)$ – допустимые управления, а ${{x}_{1}}(t)$ и ${{x}_{2}}(t)$ – соответствующие им решения краевой задачи (1.1), (1.2). В силу выпуклости множества $U$ для произвольного $\alpha \in [0,1]$ имеет место

${{u}_{3}}(t) = \left( {\alpha {{u}_{1}}(t) + (1 - \alpha ){{u}_{2}}(t)} \right) \in U.$

Относительно ${{x}_{3}}(t)$ – решения краевой задачи (1.1), (1.2), соответствующего управлению ${{u}_{3}}(t)$, подстановкой в (1.1), (1.2) несложно проверить, что

${{x}_{3}}(t) = \alpha {{x}_{1}}(t) + (1 - \alpha ){{x}_{2}}(t),$

причем ${{\hat {x}}_{3}} = x(\hat {t}) = \alpha {{\hat {x}}_{1}}(t) + (1 - \alpha ){{\hat {x}}_{2}}(t)$. В силу выпуклости $F(\hat {x})$, ${{f}^{0}}(x,u,\, \cdot )$ (строгой выпуклости одной из них) имеем

$\begin{gathered} J({{u}_{3}}) = F({{{\hat {x}}}_{3}}) + \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {{{f}^{0}}({{x}_{3}},{{u}_{3}},t)dt} = F(\alpha {{{\hat {x}}}_{1}} + (1 - \alpha ){{{\hat {x}}}_{2}})\; + \\ + \;\int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {{{f}^{0}}(\alpha {{x}_{1}}(t) + (1 - \alpha ){{x}_{2}}(t),\alpha {{u}_{1}}(t) + (1 - \alpha ){{u}_{2}}(t),t)dt \leqslant \;} ( < )\alpha F({{{\hat {x}}}_{1}}) + (1 - \alpha )F({{{\hat {x}}}_{2}})\; + \\ + \;\alpha \int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {{{f}^{0}}({{x}_{1}},{{u}_{1}})dt + (1 - \alpha )\int\limits_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{f}}} {{{f}^{0}}({{x}_{2}},{{u}_{2}})dt = } } \;\alpha J({{u}_{1}}) + (1 - \alpha )J({{u}_{2}}). \\ \end{gathered} $

Отсюда следует справедливость теоремы.

Отметим, что, пользуясь утверждениями теорем 3 и 4, используя различные известные технологии исследования задач оптимального управления (см. например, [18]–[22]), можно получить различные формы необходимых и достаточных условий оптимальности первого порядка.

3. СХЕМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Пользуясь полученной формулой градиента функционала (2.22), для численного решения задачи можно использовать итерационные методы оптимизации первого порядка. В частности, нами будет использован метод проекции градиента [20], [22]

(3.1)

$\begin{gathered} {{u}^{{k + 1}}}(t) = {{P}_{U}}({{u}^{k}}(t) - {{\alpha }_{k}}\operatorname{grad} J({{u}^{k}}(t))),\quad k = 0,1, \ldots , \\ {{\alpha }_{k}} = \mathop {\arg \min }\limits_{\alpha \geqslant 0} J({{P}_{U}}({{u}^{k}}(t) - \alpha \operatorname{grad} J({{u}^{k}}(t)))). \\ \end{gathered} $

Здесь ${{P}_{U}}(\text{v})$– оператор проектирования управления $\text{v} \in {{E}^{r}}$ на допустимое множество управлений $U,\;{{\alpha }_{k}} \geqslant 0$ – шаг одномерной минимизации. Отметим, что в случае простых допустимых множеств $U$ (параллелепипеда, шара, гиперплоскостей) оператор проектирования на них строится конструктивно.

Как видно из (2.11), вычисление градиента функционала при каком-либо допустимом управлении $u(t)$ связано с проблемой решения прямой задачи относительно неавтономной системы нагруженных дифференциальных уравнений с неразделенными многоточечными и интегральными условиями (1.1), (1.2) и проблемой решения сопряженной краевой задачи (2.12)–(2.17), в которой участвуют неизвестный вектор $\lambda $ и интегральное слагаемое в правой части дифференциального уравнения.

Для численного решения прямой задачи (1.1), (1.2) при заданном управлении $u(t)$ может быть использован, например, подход, предложенный в работах [6], [7]. Он основан на известной идее переноса условий из одного конца с другой [16].

Учитывая специфику условий (1.2), предложенный в работах [6], [7] подход осуществляет последовательный сдвиг условий (1.2) вправо (или влево). На каждом этапе проводится исключение одного из значений фазового состояния $x({{\tilde {t}}_{j}}),\;x({{\bar {t}}_{k}})$, $j = 1,2, \ldots ,{{l}_{2}},$ $k = 1,2, \ldots ,{{l}_{3}},$ участвующего в этом условии, оставляя в условиях точки нагружения ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{x} }_{i}},\;i = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$. При этом важно, что не требуется увеличения размерности фазовой переменной для исключения интегральных слагаемых как для основной задачи, так и вспомогательных задач Коши.

После достижения одного из концов, вместо (1.2) получается система $(n{{l}_{1}})$ линейных условий (алгебраических уравнений), в которых участвуют лишь значения фазового состояния в точках нагружения. После решения этой системы решается задача Коши относительно системы (1.1), т.к. значения фазовой переменной в точках нагружения и условия на одном из концов уже известны.

Для решения сопряженной задачи (2.12)–(2.17) можно использовать подход, в основе которого лежит схема, предложенная в [6], [14], [17].

В начале вводятся $l$ дополнительных $n$-мерных векторов фазовых переменных ${{\psi }_{s}}(t),$ $s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$, являющихся решением следующих задач Коши:

(3.2)

${{\dot {\psi }}_{s}}(t) = B_{s}^{{\text{т }}}(t,u)\psi (t),\quad {{\psi }_{s}}({{t}_{0}}) = 0,\quad s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}.$

Тогда система (2.12) приводится к нагруженной в одной точке $t = {{t}_{f}}$ системе дифференциальных уравнений

(3.3)

$\dot {\psi }(t) = - {{A}^{{\text{т }}}}(t,u)\psi (t) - \sum\limits_{s = 1}^{{{l}_{1}}} {{{\psi }_{s}}({{t}_{f}})\delta (t - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }}_{s}})} + \sum\limits_{i = 1}^{{{l}_{3}}} {\left[ {\chi ({{{\bar {t}}}_{{2i}}}) - \chi ({{{\bar {t}}}_{{2i - 1}}})} \right]} \bar {D}_{i}^{{\text{т }}}(t)\lambda + f_{x}^{0}(x,u,t).$

Далее используется описанная выше схема переноса условий из одного конца в другой относительно системы дифференциальных уравнений, в которой участвует неизвестный параметр $\lambda \in {{R}^{n}}$. При этом число заданных нелокальных условий в задаче должно быть равно $2n$. При осуществлении последовательного переноса условий (2.13), (2.14) из одного конца в другой учитываются условия скачков (2.15), (2.16) для значений состояния. Участие в условиях фазовых переменных в точке нагружения ${{t}_{f}}:\psi ({{t}_{f}}),\;{{\psi }_{s}}({{t}_{f}}),\;s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$ и вектора $\lambda $ на всех этапах переноса сохраняется до достижения одного из концов. Значения фазовой переменной в точках ${{\tilde {t}}_{i}},\;i = 1,2, \ldots ,{{l}_{2}}$, $t \in [{{\tilde {t}}_{{2j}}},{{\tilde {t}}_{{2j - 1}}}],\;j = 1,2, \ldots ,{{l}_{3}}$ в условиях не сохраняются. В результате получается система алгебраических уравнений порядка $({{l}_{1}} + 2)n$ относительно состояний фазовых переменных в точке нагружения $t = {{t}_{f}}$ и неизвестного вектора $\lambda $.

Подставляя решение алгебраический системы, т.е. значения фазовых переменных в точке нагружения $\psi ({{t}_{f}}),\;{{\psi }_{s}}({{t}_{f}}),\;s = 1,2, \ldots ,{{l}_{1}}$ и вектора $\lambda $ в (3.1), (3.2) и (2.14) (или (2.13), если условия переносились влево), решается задача Коши относительно системы (2.12) справа налево (или слева направо) с учетом в процессе счета скачков (2.15)–(2.17).

Приведем результаты численных экспериментов, полученные при решении следующей задачи оптимального управления, описываемой системой нагруженных дифференциальных уравнений

(3.4)

$\begin{gathered} {{{\dot {x}}}_{1}}(t) = t{{x}_{1}}(t) - 2{{x}_{2}}(t) + tu - 2{{x}_{1}}(0.3) + {{x}_{2}}(0.3) + {{x}_{1}}(0.8) + 3{{x}_{2}}(0.8) - {{t}^{2}} - 1.41, \\ {{{\dot {x}}}_{2}}(t) = 3{{x}_{1}}(t) + t{{x}_{2}}(t) + {{x}_{1}}(0.3) + 2{{x}_{2}}(0.3) + {{x}_{1}}(0.8) - {{x}_{2}}(0.8) - {{t}^{3}} - 5t - 1.74,\quad t \in [0,1], \\ \end{gathered} $

с условиями

(3.5)

$\int\limits_0^{0.2} {{{{\bar {D}}}_{1}}(\tau )x(\tau )d\tau + {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }}_{1}}x(0.3)} + {{\tilde {D}}_{1}}x(0.5) + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }_{2}}x(0.8) + \int\limits_{0.7}^1 {{{{\bar {D}}}_{2}}(\tau )x(\tau )d\tau } = {{L}_{0}}.$

Здесь

${{\bar {D}}_{1}}(\tau ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} 2 \\ \tau \\ \end{gathered} &\begin{gathered} \tau - 1 \\ 3 \\ \end{gathered} \end{array}} \right),\quad {{\bar {D}}_{2}}(\tau ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \tau \\ 1 \\ \end{gathered} &\begin{gathered} 3 \\ - 2\tau \\ \end{gathered} \end{array}} \right),\quad {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }_{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} 1 \\ - 3 \\ \end{gathered} &\begin{gathered} 2 \\ 1 \\ \end{gathered} \end{array}} \right),$

${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{D} }_{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} - 1 \\ 2 \\ \end{gathered} &\begin{gathered} 0 \\ 1 \\ \end{gathered} \end{array}} \right),\quad {{\tilde {D}}_{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} 3 \\ 2 \\ \end{gathered} &\begin{gathered} 4 \\ 1 \\ \end{gathered} \end{array}} \right),\quad {{L}_{0}} = \left( \begin{gathered} 7.4177 \hfill \\ 4.2934 \hfill \\ \end{gathered} \right).$

Из (3.4), (3.5) следует ${{\bar {t}}_{1}} = {{t}_{0}} = 0,\;{{\bar {t}}_{2}} = 0.2,$ ${{\bar {t}}_{3}} = 0.7,\;{{\bar {t}}_{4}} = {{t}_{f}} = 1,$ ${{\tilde {t}}_{1}} = 0.5$, а точки нагружения – ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{1}} = 0.3$, ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{2}} = 0.8$.

Целевой функционал имеет вид

(3.6)

$\begin{gathered} J(u) = \int\limits_0^1 {{{{\left[ {{{x}_{1}}(t) - 2u(t) + 3} \right]}}^{2}}dt + } {{\left[ {{{x}_{1}}(0.3) - 1.6} \right]}^{2}} + 2x_{1}^{2}(0.5) + {{\left[ {2{{x}_{2}}(0.5) - 2.5} \right]}^{2}} + \\ + \;{{\left[ {{{x}_{2}}(0.8) - 1.64} \right]}^{2}} + {{\left[ {{{x}_{1}}(1) - 1} \right]}^{2}} + {{\left[ {{{x}_{2}}(1) - 2} \right]}^{2}} \to \min . \\ \end{gathered} $

Точным решением задачи является управление $u{\text{*}}(t) = t + 1$ и фазовые переменные – $x_{1}^{*}(t) = 2t - 1,$ $x_{2}^{*}(t) = {{t}^{2}} + 1$, при этом $J(u*) = 0$.

Согласно теореме 3 сопряженная задача имеет вид

$\begin{gathered} {{{\dot {\psi }}}_{1}}(t) = - t{{\psi }_{1}}(t) - 3{{\psi }_{2}}(t) - ( - 2{{\psi }_{1}}(t) + {{\psi }_{2}}(t))\delta (t - 0.3) - ({{\psi }_{1}}(t) + {{\psi }_{2}}(t))\delta (t - 0.8) + \\ + \;(2{{\lambda }_{1}} + t{{\lambda }_{2}})(\chi (0.2) - \chi (0)) + (t{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}})(\chi (1) - \chi (0.7)) + 2({{x}_{1}}(t) - 2u(t) + 3), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{{\dot {\psi }}}_{2}}(t) = 2{{\psi }_{1}}(t) - t{{\psi }_{2}}(t) - ({{\psi }_{1}}(t) + 2{{\psi }_{2}}(t))\delta (t - 0.3) - (3{{\psi }_{1}}(t) - {{\psi }_{2}}(t))\delta (t - 0.8) + \\ + \;((t - 1){{\lambda }_{1}} + 3{{\lambda }_{2}})(\chi (0.2) - \chi (0)) + (3{{\lambda }_{1}} - 2t{{\lambda }_{2}})(\chi (1) - \chi (0.7)), \\ \end{gathered} $

${{\psi }_{1}}(0) = 0,\quad {{\psi }_{2}}(0) = 0,\quad {{\psi }_{1}}(1) = - 2[{{x}_{1}}(1) - 1],\quad {{\psi }_{2}}(1) = - 2[{{x}_{2}}(1) - 2],$

для промежуточной точки ${{\tilde {t}}_{1}} = 0.5$ имеют место условия (2.16)

${{\psi }_{1}}({{0.5}^{ + }}) - {{\psi }_{1}}({{0.5}^{ - }}) = 4{{x}_{1}}(0.5) + 3{{\lambda }_{1}} + 2{{\lambda }_{2}},$

${{\psi }_{2}}({{0.5}^{ + }}) - {{\psi }_{2}}({{0.5}^{ - }}) = 2[2{{x}_{2}}(0.5) - 2.5] + 4{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}}.$

В точках нагружения ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{1}} = 0.3$ и ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{t} }_{2}} = 0.8$ имеют место условия скачка (2.15):

${{\psi }_{1}}({{0.3}^{ + }}) - {{\psi }_{1}}({{0.3}^{ - }}) = 2({{x}_{1}}(0.3) - 1.6) + {{\lambda }_{1}} - 3{{\lambda }_{2}},$

${{\psi }_{2}}({{0.3}^{ + }}) - {{\psi }_{2}}({{0.3}^{ - }}) = 2{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}},$

${{\psi }_{1}}({{0.8}^{ + }}) - {{\psi }_{1}}({{0.8}^{ - }}) = - {{\lambda }_{1}} + 2{{\lambda }_{2}},$

${{\psi }_{2}}({{0.8}^{ + }}) - {{\psi }_{2}}({{0.8}^{ - }}) = 2[2{{x}_{2}}(0.8) - 1.64] + {{\lambda }_{2}}.$

Градиент функционала согласно (2.22) определяется формулой:

(3.7)

$\operatorname{grad} J(u) = - 2\left[ {{{x}_{1}}(t) - 2u(t) + 3} \right] - t{{\psi }_{1}}(t).$

Итерационная процедура (3.1) проводилась для разных начальных управлений ${{u}^{0}}(t)$ с точностью по функционалу $\varepsilon = {{10}^{{ - 5}}}$. На каждой итерации (3.1) вспомогательные задачи Коши, возникающие при использовании метода сдвига условий как для решения прямой (1.1)–(1.2), так и сопряженной задач (2.12)–(2.17) решались методом Рунге–Кутты четвертого порядка с шагом $h = 0.005$.

Проведено сравнение значений компонент градиента, вычислительных по формуле (3.7) и с использованием конечноразностной центральной схемы:

(3.8)

$\frac{{\partial J(u)}}{{\partial {{u}_{i}}}} \approx \frac{{J({{u}_{i}} + \delta {{e}_{i}}) - J({{u}_{i}} - \delta {{e}_{i}})}}{{2\delta }}.$

Здесь ${{u}_{i}} = u({{\tau }_{i}}),\;{{\tau }_{i}} = ih$ – $i$-й узел временной сетки. Величина $\delta $ варьировалась с целью получения лучших результатов.

В табл. 1 приведены величины эвклидовых норм градиента функционала $J(u)$ в моменты времени ${{t}_{i}} = 20i,\;i = 0,1, \ldots ,10$, вычисленные на первой итерации по аналитической формуле (3.7): $\left\| {{{\nabla }^{{(3.7)}}}J(u)} \right\|$ и разностной схеме (3.8) : $\left\| {{{\nabla }^{{(3.8)}}}J(u)} \right\|$. В этой же таблице приведены результаты решения прямой и сопряженной задач при начальном управлении ${{u}^{0}}(t) = {{t}^{2}} - 1$.

Таблица 1.

Начальные значения управления, фазовых переменных, нормированных градиентов, вычисленных по предложенным формулам и по формуле (3.8)

t	${{u}^{{(0)}}}(t)$	$x_{1}^{{(0)}}(t)$	$x_{2}^{{(0)}}(t)$	$\psi _{1}^{{(0)}}(t)$	$\psi _{2}^{{(0)}}(t)$	$(\,{{\nabla }^{{(3.7)}}}J\,)$	$(\,{{\nabla }^{{(3.8)}}}J\,)$
t	${{u}^{{(0)}}}(t)$	$x_{1}^{{(0)}}(t)$	$x_{2}^{{(0)}}(t)$	$\psi _{1}^{{(0)}}(t)$	$\psi _{2}^{{(0)}}(t)$	$(\,{{\nabla }^{{(3.7)}}}J\,)$	$\delta = {{10}^{{ - 1}}}$	$\delta = {{10}^{{ - 3}}}$
0	–1.0000	–0.8238	0.6623	–97.2549	83.5954	–0.0668	–0.0660	–0.0667
20	–0.9900	–0.5713	0.7323	–117.7114	61.7170	–0.0713	–0.0706	–0.0712
40	–0.9600	–0.3508	0.8312	–129.6432	36.2105	–0.0773	–0.0765	–0.0773
60	–0.9100	–0.1647	0.9505	–64.1513	16.9638	–0.0851	–0.0847	–0.0850
80	–0.8400	–0.0135	1.0809	–31.4629	7.3786	–0.0932	–0.0923	–0.0930
100	–0.7500	0.1032	1.2126	–15.1017	2.6989	–0.1012	–0.1096	–0.1002
120	–0.6400	0.1878	1.3355	–6.1880	1.7225	–0.0511	–0.0505	–0.0510
140	–0.5100	0.2445	1.4387	–2.5005	0.8187	–0.0577	–0.0573	–0.0577
160	–0.3600	0.2797	1.5113	–1.6399	0.3612	–0.0602	–0.0592	–0.0599
180	–0.1900	0.3026	1.5424	–0.7806	0.0945	–0.0588	–0.0581	–0.0586
200	0.0000	0.3258	1.5214	–0.0000	0.0000	–0.0579	–0.0572	–0.0578

В табл. 2 приведены результаты, полученные на седьмой итерации процедуры (3.1) и точные оптимальные значения управления и фазовой переменной. При этом значения функционала в начальной точке было равно $J({{u}^{0}}) = {\text{18}}{\text{.813}}$, после первой итерации $J({{u}^{1}}) = {\text{7}}{\text{.895}},$ а вектор параметров $\;{{\lambda }_{1}} = {\text{0}}{\text{.377}},$ ${{\lambda }_{2}} = {\text{0}}{\text{.188}}$. Значения функционала по завершению итераций были равны: $J({{u}^{2}}) = 0.104$, $J({{u}^{3}}) = {\text{0}}{\text{.0308}}$, $J({{u}^{4}}) = {\text{0}}{\text{.0189}}$, $J({{u}^{5}}) = {\text{0}}{\text{.00017}}$, $J({{u}^{6}}) = {\text{0}}{\text{.00001}}$, $J({{u}^{7}}) = {\text{1}}{{0}^{{ - 6}}}$.

Таблица 2.

Точное и полученное на седьмой итерации решения задачи

t	Точное решение			Полученное решение
t	$u{\kern 1pt} {\text{*}}(t)$	$x_{1}^{*}(t)$	$x_{2}^{*}(t)$	${{u}^{{(7)}}}(t)$	$x_{1}^{{(7)}}(t)$	$x_{2}^{{(7)}}(t)$	$\psi _{1}^{{(7)}}(t)$	$\psi _{2}^{{(7)}}(t)$
0	1.0000	–1.0000	1.0000	0.9994	–1.0011	0.9976	–0.0057	0.0122
20	1.1000	–0.8000	1.0100	1.0997	–0.8006	1.0074	–0.0092	0.0107
40	1.2000	–0.6000	1.0400	1.2000	–0.6001	1.0372	–0.0119	0.0084
60	1.3000	–0.4000	1.0900	1.3005	–0.3995	1.0872	–0.0061	0.0065
80	1.4000	–0.2000	1.1600	1.4010	–0.1989	1.1573	–0.0032	0.0054
100	1.5000	0.0000	1.2500	1.5016	0.0016	1.2476	–0.0018	0.0047
120	1.6000	0.2000	1.3600	1.6006	0.2017	1.3581	0.0007	–0.0002
140	1.7000	0.4000	1.4900	1.7012	0.4018	1.4888	0.0003	–0.0001
160	1.8000	0.6000	1.6400	1.8016	0.6013	1.6396	0.0002	–0.0000
180	1.9000	0.8000	1.8100	1.9019	0.8017	1.8107	0.0001	–0.0000
200	2.0000	1.0000	2.0000	2.0021	1.0020	2.0020	–0.0000	–0.0000

Как видно из табл. 2, можно считать, что итерационный процесс (3.1) сходился как по функционалу, так и по управлению.

Аналогичные результаты были получены для других начальных точек ${{u}^{0}}(t)$ процедуры (3.1).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложен метод численного решения задач оптимального управления системами нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений с неразделенными точечными и интегральными условиями.

Предложенные в работе формулы, схемы проведения вычислений позволяют учесть все особенности, которые встречаются при вычислении градиента функционала. В целом же предложенный подход позволяет использовать для решения рассматриваемых задач оптимального управления богатый арсенал численных методов оптимизации первого порядка и соответствующих стандартных программных средств.

Список литературы

Kneser A. Die Integralgleichungen und ihre Anwendung in der matem. Phusik, 1923.
Lichtenstein L. Vorlesungen über einege Klassen nichtlinear Integralgleichungen und Integraldifferentialgleihungen nebst Anwendungen. Berlin: Springer, 1932.
Гюнтер Н.М. К общей теории интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1939. Т. 22. С. 215–219.
Яковлев М.Н. Оценки решений систем нагруженных интегро-дифференциальных уравнений, подчиненных многоточечным и интегральным краевым условиям // Численные методы и вопросы организации вычислений. 6, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 124, Изд-во Наука, Ленинград. отд. Л., 1983. С. 131–139.
Джумабаев Д.С., Илиясова Г.Б. Об одной численной реализации метода параметризации решения линейной краевой задачи для нагруженного дифференциального уравнения // Известия НАН РК. Серия физ.-матем. 2014. № 2. С. 275–280.
Abdullaev V.M., Aida-zade K.R. On the numerical solution of loaded systems of ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys. 2004. V. 44. № 9. P. 1505–1515.
Abdullaev V.M., Aida-zade K.R. Numerical method of solution to loaded nonlocal boundary value problems for ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys. 2014. V. 54. № 7. P. 1096–1109.
Abdullayev V.M., Aida-zade K.R. Numerical method of solution to loaded nonlocal boundary value problems for ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys. 2017. V. 57. № 4. P. 634–644.
Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012.
Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 7. С. 1223–1231.
Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995.
Алиханов А.А., Березков А.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 9. С. 1619–1628.
Aida-zade K.R., Abdullayev V.M. Optimizing placement of the control points at synthesis of the heating process control // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. № 9. P. 1585–1599.
Айда-заде К.Р. Численный метод восстановления параметров динамической системы // Кибернетика и системный анализ. Киев. 2004. № 1. С. 101–108.
Aida-zade K.R., Abdullayev V.M. Solution to a class of inverse problems for system of loaded ordinary differential equations with integral conditions // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 2016. V. 24. № 5. P. 543–558.
Абрамов А.А. Вариант метода прогонки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1. № 2. С. 349–352.
Aida-zade K.R., Abdullaev V.M. Control problem with non-separated multipoint and integral conditions // J. of Automation and Information Scis. 2013. V. 45. № 3. P. 34–52.
Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями // Прикл. матем. и механ. 1981. Т. 45. Вып. 2. С. 215–222.
Васильева О.О., Мизуками К. Динамические процессы, описываемые краевой задачей: необходимые условия оптимальности и методы решения // Известия АН. Теория и системы управления. 2000. № 1. С. 95–100.
Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. С. 824.
Антипин А.С. Терминальное управление краевыми моделями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 2. С. 257–285.
Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал