Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 1, стр. 4-17

Регулярные решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и усеченные ряды

С. А. Абрамов^1, *, А. А. Рябенко^1, **, Д. Е. Хмельнов^1, ***

¹ ВЦ ФИЦ ИУ РАН
119333 Москваул., Вавилова, 40, Россия

^* E-mail: sergeyabramov@mail.ru
^** E-mail: anna.ryabenko@gmail.com
^*** E-mail: dennis_khmelnov@mail.ru

Поступила в редакцию 20.08.2019
После доработки 30.08.2019
Принята к публикации 18.09.2019

DOI: 10.31857/S0044466920010020

Аннотация

Рассматриваются линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с коэффициентами в виде усеченных формальных степенных рядов. Ранее обсуждался вопрос о том, что можно узнать из заданного таким образом уравнения о его решениях, принадлежащих полю формальных рядов Лорана. Теперь аналогичный вопрос обсуждается для регулярных решений. Нас по-прежнему интересует такая информация об этих решениях, которая инвариантна относительно возможных продолжений усеченных рядов, представляющих коэффициенты уравнения. Рассматривается также возможность включения в решения уравнения символьных незаданных коэффициентов возможных продолжений. Библ. 17.

Ключевые слова: компьютерная алгебра, дифференциальные уравнения, степенные ряды, усеченные ряды, регулярные решения.

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей статье, как и в [1], линейное дифференциальное уравнение задается в “приближенном” виде: его коэффициентами являются усеченные ряды, т.е. каждый коэффициент представляет собой выражение

(1)

$p(x) + O({{x}^{{t + 1}}}),$

где $p(x)$ – полином, $t \geqslant degp(x)$. Нас интересует информация о регулярных (представимых степенно-логарифмическими разложениями; определение уточняется в разд. 3) решениях, инвариантная относительно всех возможных продолжений усеченных рядов, представляющих коэффициенты уравнения. Предлагаемый алгоритм позволяет построить максимально длинные отрезки рядов, появляющихся в решениях, – члены, входящие в эти отрезки, не зависят от возможных продолжений (“хвостов”) усеченных коэффициентов уравнения, т.е. от тех незаданных членов, которые скрыты в выражениях (1) за символами $O$. В некотором смысле алгоритм также позволяет прояснить влияние этих членов на последующие (не являющиеся уже инвариантными относительно всех возможных продолжений) члены рядов, входящих в регулярные решения. Имеются в виду формулы для выражения этих членов через незаданные коэффициенты. Для незаданных коэффициентов используются символьные обозначения. Эти незаданные коэффициенты мы будем называть литералами.

Касаясь предшествующих исследований, надо сказать, что в работах Брюно (см., например, [2]) предложен метод построения регулярных решений, который для всех рядов, входящих в такого рода решения данного уравнения, позволяет, в частности, найти любое наперед заданное число членов. Уравнения, вообще говоря, – нелинейные. Они могут иметь весьма общий вид и задаются с помощью явно указанных аналитических функций нескольких переменных. При этом хорошо известно, что линейные (полностью заданные) уравнения решаются с помощью классических подходов – методов Фробениуса [3], [4, гл. 4, § 8] и Хеффтера [5], а также их современных вариантов [6]–[8], для большей части которых имеется компьютерная реализация.

Остается лишь повторить, что, в отличие от предшествующих работ, в нашей статье линейные дифференциальные уравнения считаются заданными не целиком, а в “приближенном”, т.е. усеченном виде. При этом для рядов Лорана, входящих в запись регулярных решений, предлагаемый алгоритм находит максимально возможное число членов, инвариантных относительно неизвестных нам членов рядов-коэффициентов уравнения.

Реализация предлагаемого алгоритма в среде Maple (см. [9]) описана в разд. 6.

Нелишне будет пояснить, что в настоящее время термин “регулярные решения” для решений, которые рассматриваются в этой статье, и точное определение которых дается, как мы говорили, в разд. 3, укрепился в компьютерной алгебре (см. [9]–[11]). Его изначальное появление обусловлено тем, что в аналитической теории линейных дифференциальных уравнений принято подразделять (см. [12, гл. 3, § 10]) особые точки уравнений на регулярные (или слабо особые) и нерегулярные (или сильно особые). В окрестности регулярной особой точки существует базис пространства решений уравнения, состоящий из регулярных (в обсуждаемом смысле) решений, и именно это послужило поводом для введения понятия регулярного решения. Уточним, что в этой статье мы рассматриваем решения как формальные выражения. Ряды, которые входят в эти выражения, в свою очередь, являются формальными лорановыми рядами по $x$. В этом смысле мы рассматриваем решения в точке 0 и разыскиваем максимально возможное число линейно-независимых регулярных решений. Это число не превосходит порядка уравнения и может быть меньше его. Вопросами сходимости мы не занимаемся. В роли констант выступают абстрактные величины – элементы некоторого алгебраически замкнутого поля характеристики 0, о чем и пойдет речь в следующем разделе.

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

2.1. Начальные понятия

Сначала напомним несколько понятий и стандартных обозначений. Пусть $K$ – некоторое поле. Следующие обозначения являются стандартными:

$K[x]$ – кольцо полиномов с коэффициентами из $K$;

$K[[x]]$ – кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из $K$;

$K((x))$ – поле частных кольца $K[[x]]$.

В $K[x],K[[x]],K((x))$ определено дифференцирование $D = \tfrac{d}{{dx}}$. Мы будем рассматривать операторы и дифференциальные уравнения, записанные с использованием обозначения $\theta = x\tfrac{d}{{dx}}$.

Определение 1. Элементы поля $K((x))$ – формальные лорановы ряды. Для ненулевого элемента $a(x) = \sum {{{a}_{i}}{{x}^{i}} \in K((x))} $ его валюация ${\text{val}}a(x)$ определяется как $min\{ i\,{\text{|}}\,{{a}_{i}} \ne 0\} $, при этом $\operatorname{val} 0 = \infty $. Пусть $t \in \mathbb{Z} \cup \{ - \infty \} $, $t$-усечение ${{a}^{{\left\langle t \right\rangle }}}(x)$ получается отбрасыванием всех членов $a(x)$ степени большей, чем $t$; если $t = - \infty $, то ${{a}^{{\left\langle t \right\rangle }}}(x) = 0$. Число $t$ называется степенью усечения.

Далее поле $K$ без оговорок будет предполагаться алгебраически замкнутым, имеющим характеристику $0$.

В исходном операторе

(2)

$L = \sum\limits_{i = 0}^r \,{{a}_{i}}(x){{\theta }^{i}} \in K[x][\theta ]$

полиномиальный коэффициент ${{a}_{i}}(x)$ ниже будет предполагаться имеющим вид

(3)

${{a}_{i}}(x) = \sum\limits_{j = 0}^{{{t}_{i}}} \,{{a}_{{ij}}}{{x}^{j}},$

где ${{t}_{i}}$ – неотрицательное целое, большее или равное $deg{{a}_{i}}(x)$, $i = 0,1, \ldots ,r$ (если ${{t}_{i}} > {{d}_{i}} = deg{{a}_{i}}(x)$, то ${{a}_{{ij}}} = 0$ для $j = {{d}_{i}} + 1,{{d}_{i}} + 2, \ldots ,{{t}_{i}}$). Предполагается при этом, что свободный член по крайней мере одного из полиномов ${{a}_{0}}(x), \ldots ,{{a}_{r}}(x)$ отличен от нуля.

Определение 2. Полином ${{a}_{r}}(x)$ (старший коэффициент дифференциального оператора $L$ из (2)) предполагается ненулевым. Продолжением оператора $L$ будем называть любой оператор

$\tilde {L} = \sum\limits_{i = 0}^r {{{{\tilde {a}}}_{i}}} (x){{\theta }^{i}} \in K[[x]][\theta ],$

для которого ${{\tilde {a}}_{i}}(x) - {{a}_{i}}(x) = O({{x}^{{{{t}_{i}} + 1}}})$, т.е. $\operatorname{val} ({{\tilde {a}}_{i}}(x) - {{a}_{i}}(x)) > {{t}_{i}}$, $i = 0,1, \ldots ,r$.

Далее усеченному дифференциальному уравнению

(4)

$({{a}_{r}}(x) + O({{x}^{{{{t}_{r}} + 1}}})){{\theta }^{r}}y(x) + \ldots + ({{a}_{1}}(x) + O({{x}^{{{{t}_{1}} + 1}}}))\theta y(x) + ({{a}_{0}}(x) + O({{x}^{{{{t}_{0}} + 1}}}))y(x) = 0,$

${{t}_{i}} \geqslant deg{{a}_{i}}(x)$, $i = 0,1, \ldots ,r$, мы сопоставляем оператор (2), а также набор чисел ${{t}_{0}},{{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{r}}$. Продолжение оператора (2) будет в этом случае называться также продолжением уравнения (4).

Ниже для обозначения оператора с коэффициентами-рядами

(5)

$\sum\limits_{i = 0}^r \,{{a}_{i}}(x){{\theta }^{i}} \in K[[x]][\theta ],$

где

${{a}_{i}}(x) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{{a}_{{i,j}}}{{x}^{j}}} \in K[[x]],$

мы используем букву $\mathcal{L}$. Для $\mathcal{L}$ также предполагаем, что существует $i$ такое, что ${{a}_{{i,0}}} \ne 0$. Для обозначения оператора с полиномиальными коэффициентами (например, для оператора с усеченными коэффициентами) используем букву $L$.

Если $L$ (или $\mathcal{L}$) – некоторый дифференциальный оператор, то под решениями оператора $L$ (или $\mathcal{L}$) мы понимаем решения уравнения $L(y) = 0$ (соответственно $\mathcal{L}(y) = 0$).

В случае, когда $L$ – усеченный вариант оператора $\mathcal{L}$, будем называть $L$ и $L(y) = 0$ усечениями оператора $\mathcal{L}$ и соответственно уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$.

2.2. Лорановы решения

Решение уравнения, имеющее вид лоранова ряда, будем называть лорановым решением.

Прежде всего, для усеченного уравнения $L(y) = 0$ алгоритм из [1] находит конечное множество кандидатов для всех возможных валюаций лорановых решений. Это множество содержит все валюации лорановых решений при всех продолжениях данного уравнения. Для каждого из элементов этого множества затем проверяется: верно ли, что для любого продолжения уравнения найдется лораново решение, имеющее такую валюацию? При ответе ‘нет’ эта валюация далее не рассматривается. При ответе ‘да’ можно вычислить такое целое $m$, что члены всех лорановых решений, имеющих эту валюацию, совпадают (с точностью до общего ненулевого постоянного множителя, так как уравнения – однородные) вплоть до членов порядка ${{x}^{m}}$. При этом выбирается наибольшее из возможных значений $m$. В итоге мы получаем наряду с множеством валюаций $\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}}, \ldots \} $ еще и множество $\{ {{m}_{1}},{{m}_{2}}, \ldots \} $ соответствующих им значений $m$.

Упомянутые действия – отбрасывание лишних валюаций, нахождение значений $m$ и т.д. выполняются с привлечением индуцированного рекуррентного уравнения, сопоставляемого дифференциальному уравнению.

2.3. Индуцированное рекуррентное уравнение

Пусть $\sigma $ обозначает оператор сдвига: $\sigma {{c}_{n}} = {{c}_{{n + 1}}}$ для любой последовательности $({{c}_{n}})$. Преобразование

(6)

$x \to {{\sigma }^{{ - 1}}},\quad \theta \to n$

переводит дифференциальное уравнение

(7)

$\sum\limits_{i = 0}^r \,{{a}_{i}}(x){{\theta }^{i}}y(x) = 0,$

где ${{a}_{i}}(x) \in K[[x]]$, в индуцированное рекуррентное уравнение (соотношение)

(8)

${{u}_{0}}(n){{c}_{n}} + {{u}_{{ - 1}}}(n){{c}_{{n - 1}}} + \cdots = 0.$

Пусть $\mathcal{L} \in K[[x]][\theta ]$, $g(x) \in K((x))$, тогда $\mathcal{L}(g(x)) = b(x) \in K((x))$. В этом случае применение индуцированного рекуррентного оператора ${{u}_{0}}(n) + {{u}_{{ - 1}}}(n){{\sigma }^{{ - 1}}} + \ldots $ к последовательности $({{g}_{n}})$ коэффициентов ряда $g(x)$ дает последовательность $({{b}_{n}})$ коэффициентов ряда $b(x)$: формулы (6) явно указывают, как преобразуется последовательность коэффициентов ряда, когда ряд умножается на $x$ и когда к нему применяется операция $\theta $. Все это делает индуцированные уравнения полезным инструментом при рассмотрении неоднородных уравнений вида $\mathcal{L}(y) = b(x)$ с лорановыми правыми частями.

Пусть уравнение

(9)

$\sum\limits_{i = 0}^r \,{{a}_{i}}(x){{\theta }^{i}}y(x) = b(x)$

имеет правую часть в виде ряда Лорана:

$b(x) = \sum\limits_{n = \nu }^\infty {{{b}_{n}}{{x}^{n}}} .$

Тогда правая часть индуцированного рекуррентного уравнения будет равна ${{b}_{n}}$ (${{b}_{n}} = 0$ для $n < \nu $):

(10)

${{u}_{0}}(n){{c}_{n}} + {{u}_{{ - 1}}}(n){{c}_{{n - 1}}} + \cdots = {{b}_{n}}.$

Однородное уравнение (7) (и неоднородное (9)) имеет лораново решение $y(x) = {{c}_{v}}{{x}^{v}} + {{c}_{{v + 1}}}{{x}^{{v + 1}}} + \ldots $ $y(x) = {{c}_{v}}{{x}^{v}} + {{c}_{{v + 1}}}{{x}^{{v + 1}}} + \ldots $ если и только если двусторонняя последовательность…, 0, 0, ${{c}_{v}},\;{{c}_{{v + 1}}}$, … удовлетворяет уравнению (8) (соответственно уравнению (10)) (доказательство см. в [13]).

Напомним, что по нашему предположению свободный член по крайней мере одного из полиномов ${{a}_{0}}(x), \ldots ,{{a}_{r}}(x)$ не равен нулю. Отсюда

(11)

${{u}_{0}}(n) = \sum\limits_{i = 0}^r \,{{a}_{{i,0}}}{{n}^{i}}$

есть ненулевой полином. Он может быть рассмотрен как некоторый вариант определяющего полинома исходного уравнения. Конечное множество ${{n}_{1}}, \ldots ,{{n}_{\iota }}$ целых корней этого полинома содержит все возможные валюации $v$ лорановых решений уравнения (7). Валюации лорановых решений (9) определяются как ${{n}_{1}}, \ldots ,{{n}_{\iota }}$, так и валюацией $\nu $ правой части $b(x)$.

Вычисление ${{c}_{v}}$, ${{c}_{{v + 1}}}, \ldots $ выполняется, последовательно увеличивая значение $n$, начиная с $n = {v}$ – минимального целого корня полинома ${{u}_{0}}(n)$ (начиная с $v = min\{ \nu ,{{n}_{1}}, \ldots ,{{n}_{\iota }}\} $ для (9)). Если для некоторого целого $n$ выполнено ${{u}_{0}}(n) \ne 0$, то (8), (10) позволяет найти ${{c}_{n}}$ по ${{c}_{{n - 1}}},{{c}_{{n - 2}}}, \ldots $ (поскольку ${{c}_{{v - 1}}},{{c}_{{v - 2}}}, \ldots $ равны нулю, для каждого целого $n$ индуцированное рекуррентное уравнение имеет конечное число ненулевых слагаемых в левой части). Если же ${{u}_{0}}(n) = 0$, то мы объявляем ${{c}_{n}}$ неизвестной постоянной. При этом ранее вычисленные значения ${{c}_{{n - 1}}},{{c}_{{n - 2}}}, \ldots ,{{c}_{v}}$ должны в однородном случае удовлетворять соотношению

(12)

${{u}_{{ - 1}}}(n){{c}_{{n - 1}}} + {{u}_{{ - 2}}}(n){{c}_{{n - 2}}} + \ldots + {{u}_{{ - n + v}}}(n){{c}_{v}} = 0$

и в неоднородном – соотношению

(13)

${{u}_{{ - 1}}}(n){{c}_{{n - 1}}} + {{u}_{{ - 2}}}(n){{c}_{{n - 2}}} + \cdots + {{u}_{{ - n + v}}}(n){{c}_{v}} = {{b}_{n}}.$

Такого рода соотношения позволят, возможно, вычислить значение некоторых введенных ранее неизвестных постоянных. Если соотношение (13) при некотором целом $n$ обращается в неверное тождество, то (9) не имеет лорановых решений. После того, как значение $n$ превзойдет наибольший целый корень ${{u}_{0}}(n)$, новые неизвестные постоянные и соотношения вида (12), (13) возникать не будут. Неизвестные постоянные, не получившие значений в ходе вычислений, объявляем произвольными постоянными, входящими в лораново решение дифференциального уравнения.

Если задано усеченное уравнение $L(y) = 0$ с условием, что свободный член по крайней мере одного из полиномов ${{a}_{0}}(x), \ldots ,{{a}_{r}}(x)$ не равен нулю, то (11), очевидно, не зависит от продолжения.

3. РЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ

3.1. Степенные множители

Определение 3. Решение уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$, имеющее вид

(14)

${{x}^{\lambda }}\sum\limits_{s = 0}^k \,{{g}_{{k - s}}}(x)\frac{{l{{n}^{s}}x}}{{s!}},$

где $\lambda \in K$, $k \in {{\mathbb{Z}}_{{ \geqslant 0}}}$ и ${{g}_{s}}(x) \in K((x))$, $s = 0,1, \ldots ,k$, будем называть регулярным решением. Мы говорим, что ${{x}^{\lambda }}$ – степенной множитель решения (14). Набор

(15)

${{x}^{{{{\lambda }_{1}}}}},{{x}^{{{{\lambda }_{2}}}}}, \ldots ,{{x}^{{{{\lambda }_{\rho }}}}}$

называется полным набором степенных множителей регулярных решений уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$, если

– среди ${{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{\rho }}$ нет различающихся на целое число,

– каждый элемент набора (15) является степенным множителем для некоторого ненулевого регулярного решения уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$,

– для каждого ненулевого регулярного решения уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$ среди (15) найдется степенной множитель для этого решения.

Пусть $\mathcal{L}$ имеет вид (5). Известно (см. [3], [4]]), что если ${{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{\rho }}$ – множество всех таких корней определяющего полинома (11), что ${{\lambda }_{i}} - {{\lambda }_{j}} \notin \mathbb{Z}$ для $i \ne j$, то (15) будет полным набором степенных множителей регулярных решений $\mathcal{L}(y) = 0$. Более того, для каждого степенного множителя ${{x}^{\lambda }}$ значение $k$ в (14) такого, что ${{g}_{0}}(x) \ne 0$, меньше количества (с учетом кратности) корней определяющего полинома, отличающихся от $\lambda $ на целое число.

Замечание 1. Для уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$ существует столько линейно независимых решений вида (14), сколько корней $\lambda $ (с учетом кратности) имеет его определяющий полином. Эти решения образуют базис линейного пространства регулярных решений, т.е. любая линейная комбинация решений вида (14) называется регулярным решением, но вплоть до разд. 6 мы будем называть регулярными решениями выражения вида (14).

Пример 1. Регулярные решения уравнения

$\begin{gathered} \left( { - 1 + x + \sum\limits_{j = 3}^\infty \,{{x}^{j}}} \right){{\theta }^{2}}y(x) + \left( { - 1 - x - \frac{3}{2}{{x}^{2}} + \sum\limits_{j = 3}^\infty \,\frac{{{{{( - 1)}}^{j}}}}{2}{{x}^{j}}} \right)\theta y(x) + \\ \, + \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}{{x}^{2}} + \sum\limits_{j = 3}^\infty \,j{{x}^{j}}} \right)y(x) = 0 \\ \end{gathered} $

имеют вид: $y(x) = \sqrt x \left( {{{g}_{0}}(x)lnx + {{g}_{1}}(x)} \right)$, при этом

${{g}_{0}}(x) = {{C}_{1}} + \frac{{{{C}_{1}}}}{5}{{x}^{3}} + \sum\limits_{n = 4}^\infty \,{{g}_{{0,n}}}{{x}^{n}},$

${{g}_{1}}(x) = - \frac{{2{{C}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} + \frac{{8{{C}_{1}}}}{x} + {{C}_{2}} + \sum\limits_{n = 2}^\infty \,{{g}_{{1,n}}}{{x}^{n}},$

где ${{C}_{1}},\;{{C}_{2}}$ – произвольные постоянные.

Замечание 2. В [15]–[17] рассматривалось алгоритмическое представление бесконечных рядов: ряд $\sum {{{a}_{n}}{{x}^{n}}} $ задавался алгоритмом, определяющим ${{a}_{n}}$ по $n$. Было обнаружено, что в случае дифференциального уравнения с коэффициентами-рядами, заданными алгоритмически, разрешимой оказывается, в частности, задача нахождения регулярных решений, т.е. задача построения алгоритмов для представления ${{g}_{0}}(x)$, ${{g}_{1}}(x), \ldots $, ${{g}_{k}}(x)$ (см. также [14], где обсуждались не только отдельные скалярные уравнения, но и системы). Поскольку коэффициенты уравнения из примера 1 заданы алгоритмически, то ${{g}_{{0,n}}}$, ${{g}_{{1,n}}}$ можно вычислить для любого $n$.

Исходя из усеченного уравнения $L(y) = 0$ мы не можем рассчитывать на получение его регулярных решений в завершенном (полном) виде (14). Предлагаемый в настоящей статье алгоритм позволяет получить для решений выражения с усеченными лорановыми рядами ${{g}_{0}}(x),{{g}_{1}}(x), \ldots ,{{g}_{k}}(x)$. В основе построения этих усеченных рядов лежит тот же принцип отбора валюаций и степеней усечения, что и при построении лорановых решений (разд. 2).

3.2. Общая схема поиска регулярных решений (подход Хеффтера)

Пусть $\mathcal{L}$ имеет вид (5). Для $k = 0,1, \ldots ,r$ можно построить операторы

(16)

${{\mathcal{L}}_{k}} = \sum\limits_{i = k}^r \,{{a}_{i}}(x)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i \\ k \end{array}} \right){{\theta }^{{i - k}}},$

где $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} i \\ k \end{array}} \right)$ – биномиальный коэффициент, ${{\mathcal{L}}_{0}} = \mathcal{L}$. Основанная на подходе Хеффтера (см. [5]) общая схема поиска регулярных решений с $\lambda = 0$, состоит в рассмотрении для $k = 0,1, \ldots $ систем вида

(17)

$\begin{gathered} {{\mathcal{L}}_{0}}({{g}_{0}}) = 0, \\ {{\mathcal{L}}_{0}}({{g}_{1}}) = - {{\mathcal{L}}_{1}}({{g}_{0}}), \\ {{\mathcal{L}}_{0}}({{g}_{2}}) = - ({{\mathcal{L}}_{1}}({{g}_{1}}) + {{\mathcal{L}}_{2}}({{g}_{0}})), \\ \ldots \\ {{\mathcal{L}}_{0}}({{g}_{k}}) = - ({{\mathcal{L}}_{1}}({{g}_{{k - 1}}}) + \ldots + {{\mathcal{L}}_{k}}({{g}_{0}})) \\ \end{gathered} $

(при $k = 0$ система состоит из одного уравнения $\mathcal{L}({{g}_{0}}) = 0$). Лорановым решением системы (17) будем называть каждое такое решение $({{g}_{0}}(x),{{g}_{1}}(x), \ldots ,{{g}_{k}}(x))$, компоненты которого принадлежат $K((x))$.

Предложение 1 (см. [5]). Множество целых неотрицательных $k$, для которых система (17) имеет лораново решение $\left( {{{g}_{0}}(x),{{g}_{1}}(x), \ldots ,{{g}_{k}}(x)} \right)$, ${{g}_{0}}(x) \ne 0$, конечно (такого рода решение может существовать при некотором $k > 0$, если только решение существует и при $k - 1$). Если это множество пусто, то $\mathcal{L}(y) = 0$ не имеет ненулевых решений в $K((x))[lnx]$. Если же это множество не пусто и $\tilde {k}$ – его максимальный элемент, то любое принадлежащее $K((x))[lnx]$ решение уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$ имеет вид

(18)

$\sum\limits_{s = 0}^{\tilde {k}} \,{{g}_{{\tilde {k} - s}}}(x)\frac{{l{{n}^{s}}x}}{{s!}},$

где

(19)

$\left( {{{g}_{0}}(x),{{g}_{1}}(x), \ldots ,{{g}_{{\tilde {k}}}}(x)} \right),{{g}_{0}}(x) \ne 0,$

является лорановым решением системы (17) при $k = \tilde {k}$. В то же время любое лораново решение вида (19) системы (17) при $k = \tilde {k}$ порождает решение (18) уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$.

Если значение $\lambda $ известно, то подстановка

(20)

$y(x) = {{x}^{\lambda }}w(x),$

сводит поиск регулярных решений к поиску решений, принадлежащих $K((x))[lnx]$. На роль $\lambda $ берутся корни определяющего полинома.

Получаем следующую схему (рассмотренную подробно в [14]):

1. Для уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$ с оператором (5) найти определяющий полином (11). Считая два корня $\lambda ,\lambda {\kern 1pt} ' \in K$ этого полинома эквивалентными при $\lambda - \lambda {\kern 1pt} ' \in \mathbb{Z}$, построить множество $\Lambda $, содержащее по одному представителю от каждого класса эквивалентности.

2. Для каждого $\lambda \in \Lambda $, найти регулярные решения, имеющие степенной множитель ${{x}^{\lambda }}$.

(а) Построить уравнение ${{\mathcal{L}}_{\lambda }}(y) = 0$ с помощью подстановки (20) в $\mathcal{L}(y) = 0$ и последующего умножения на ${{x}^{{ - \lambda }}}$.

(б) Построить лорановы решения систем (17) при $k = 0,1, \ldots $, где ${{\mathcal{L}}_{k}} = {{\mathcal{L}}_{{\lambda ,k}}}$ получены по формуле (16), до $k = \tilde {k} + 1$, когда (17) уже не имеет таких лорановых решений, что ${{g}_{0}}(x) \ne 0$. Это дает $\tilde {k} + 1$ регулярных решений $y(x)$ в виде (18) для уравнения ${{\mathcal{L}}_{\lambda }}(y) = 0$.

(в) Домножить полученные регулярные решения на ${{x}^{\lambda }}$.

Замечание 3. На шаге 2 вместо подстановки в дифференциальное уравнение может быть выполнена эквивалентная ей операция над индуцированным рекуррентным уравнением. Если (8) – индуцированное рекуррентное уравнение для исходного уравнения $\mathcal{L}(y) = 0$, то индуцированное рекуррентное уравнение для ${{\mathcal{L}}_{\lambda }}(y) = 0$ имеет вид

${{u}_{0}}(n + \lambda ){{c}_{n}} + {{u}_{{ - 1}}}(n + \lambda ){{c}_{{n - 1}}} + \cdots = 0.$

Подробности см., например, в [14].

3.3. Работа с неоднородными уравнениями

Для уравнения

${{L}_{0}}({{g}_{k}}) = - \sum\limits_{j = 1}^k {{{L}_{j}}({{g}_{{k - j}}})} ,\quad k = 0,1, \ldots ,r,$

введем обозначение ${{S}_{k}}$ (уравнение ${{L}_{0}}({{g}_{0}}) = 0$ обозначается посредством ${{S}_{0}}$).

Пусть построено лораново решение ${{g}_{0}}(x)$ уравнения ${{S}_{0}}$, т.е. уравнения ${{L}_{0}}({{g}_{0}}) = 0$ (см. п. 2.3). Это решение содержит несколько неизвестных постоянных. Мы используем ${{g}_{0}}(x)$ для получения правой части уравнения ${{S}_{1}}$, т.е. уравнения ${{L}_{0}}({{g}_{1}}) = - {{L}_{1}}({{g}_{0}})$, и упомянутые неизвестные постоянные входят в эту правую часть линейно. Как только при построении ${{g}_{1}}(x)$ возникает соотношение (13) (его правая часть ${{b}_{n}}$ линейно зависит от постоянных, входящих в ${{g}_{0}}(x)$), это соотношение используется, если это возможно, для вычисления значения некоторой неизвестной постоянной. Если оказывается, что ${{g}_{0}}(x) = 0$, то это означает, что $\tilde {k} = 0$, построение регулярных решений завершается.

Продолжаем для очередного уравнения ${{S}_{k}}$ строить ${{g}_{k}}(x)$, вычисляя значения неизвестных постоянных, входящих в ${{g}_{0}}(x)$, ${{g}_{1}}(x),$ …, ${{g}_{{k - 1}}}(x)$, до тех пор, пока ${{g}_{0}}(x) \ne 0$. Согласно предложению 1, этот процесс заканчивается. Неизвестные постоянные из ${{g}_{0}}(x)$, ${{g}_{1}}(x),$ …, ${{g}_{{\tilde {k}}}}(x)$, не получившие значений, объявляем произвольными постоянными.

Замечание 4. Для лоранова решения его $m$-усечение строится с помощью индуцированного рекуррентного уравнения для значений $n$, не превосходящих $m$. При построении $m$-усечения лоранова решения ${{g}_{k}}(x)$ уравнения ${{S}_{k}}$ необходимо знать элементы последовательности $({{b}_{n}})$ – правой части индуцированного рекуррентного уравнения (10) – до $n = m$. Нетрудно показать, что для этого достаточно построить $m$-усечения ${{g}_{0}}(x)$, ${{g}_{1}}(x), \ldots $, ${{g}_{{k - 1}}}(x)$.

4. СХЕМА ХЕФФТЕРА ДЛЯ УСЕЧЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

4.1. Построение лорановых решений усеченного уравнения

Алгоритм из [1] строит для уравнения (4) конечный набор ${{m}_{i}}$-усечений лорановых решений. Любой элемент ${{c}_{{{{v}_{i}}}}}{{x}^{{{{v}_{i}}}}} + {{c}_{{{{v}_{i}} + 1}}}{{x}^{{{{v}_{i}} + 1}}} + \ldots + {{c}_{{{{m}_{i}}}}}{{x}^{{{{m}_{i}}}}} + O({{x}^{{{{m}_{i}} + 1}}})$ этого набора не содержит литералов, т.е. незаданных коэффициентов уравнения (4). Каждый коэффициент ${{c}_{n}}$ вычислялся, как описано в п. 2.3, последовательно по $n$, начиная с ${{n}_{j}}$, где ${{n}_{j}}$ – целый корень определяющего полинома, до такого значения $n = {{m}_{i}}$, что значение ${{c}_{{{{m}_{i}}}}}$ не зависит от литералов, а ${{c}_{{{{m}_{i}} + 1}}}$ – зависит. При поиске регулярных решений, лорановы решения однородного уравнения ${{S}_{0}}$ (и неоднородного ${{S}_{k}}$, $k > 0$) предпочтительно построить в виде одного выражения:

(21)

${{c}_{v}}{{x}^{v}} + {{c}_{{v + 1}}}{{x}^{{v + 1}}} + \ldots + {{c}_{m}}{{x}^{m}} + O({{x}^{{m + 1}}}),$

где $v = min{{v}_{i}}$, $m = max{{m}_{i}}$. Здесь коэффициенты ${{c}_{n}}$ могут содержать литералы.

Представление в виде одного усечения с привлечением литералов позволяет, если нужно, перейти к представлению решения в виде набора усечений такого, как в [1]. Для того, чтобы получить такое представление решения, необходимо для каждой валюации ${{v}_{i}}$ вычислить значения произвольных постоянных, при которых равны нулю ${{c}_{v}}$, ${{c}_{{v + 1}}},$ …, ${{c}_{{{{v}_{i}} - 1}}}$, после подстановки этих значений в (21) отбросить все члены, коэффициенты которых содержат литералы. Это и даст ${{m}_{i}}$-усечение для валюации ${{v}_{i}}$, инвариантное относительно продолжения исходного уравнения.

Построение выражения (21) выполняется, как описано в п. 2.3, последовательно по $n$, начиная с $v = min{{n}_{j}}$ до $w = max{{n}_{j}}$, где в роли ${{n}_{j}}$ выступают все целые корни определяющего полинома (для $k > 0$ нетрудно показать, что ${\text{val}}b(x) \geqslant v$, где $b(x)$ – правая часть неоднородного уравнения ${{S}_{k}}$). В ходе вычислений, при $n = {{n}_{j}}$ таком, что ${{u}_{0}}({{n}_{j}}) = 0$, возникает необходимость рассмотреть соотношение (12) (соответственно (13) для $k > 0$). Если это соотношение при $n = {{n}_{j}}$ не является тождеством, то в отличие от случая полностью заданного уравнения, если (12), (13) зависит от литералов, мы его не используем для вычисления значений неизвестных постоянных. В конце получаем значения ${{c}_{v}}$, ${{c}_{{v + 1}}},$ …, ${{c}_{w}}$, набор неизвестных постоянных и набор соотношений для неизвестных постоянных, содержащих литералы. Исходя из этого набора соотношений, мы находим значения неизвестных постоянных, инвариантные относительно всех продолжений заданного усеченного уравнения (например, как описано в замечании 5).

Далее вычисляем значения ${{c}_{n}}$, пока существует такой нетривиальный набор значений оставшихся неизвестных постоянных (т.е. не все постоянные равны нулю; можно ограничиться рассмотрением таких наборов, в каждом из которых один какой-то элемент равен единице, а остальные – нулю), при которых ${{c}_{n}}$ не зависит от литералов.

Замечание 5. Рассмотрим набор соотношений (12) и (13), возникающих при построении лорановых решений однородного и неоднородных уравнений в схеме Хеффтера для усеченного уравнения. Левая и правая части такого соотношения являются полиномами от литералов, коэффициенты которых – линейные комбинации над $K$ неизвестных постоянных, введенных при решении уравнений ${{S}_{0}}$, ${{S}_{1}},$ …, ${{S}_{k}}$. Приравниваем коэффициенты в правой и левой части при одинаковых мономах. Получаем линейную однородную систему относительно неизвестных постоянных. При решении этой системы часть неизвестных постоянных получит значения, часть – останется неизвестными.

Пример 2. Проследим работу предложенного алгоритма на примере оператора

(22)

$L = ( - 1 + x + {{x}^{2}}){{\theta }^{2}} - 2\theta + (x + 6{{x}^{2}}),\quad {{t}_{0}} = 3,\quad {{t}_{1}} = {{t}_{2}} = 2.$

Этот оператор был рассмотрен в [1, пример 2]. Здесь определяющий полином – это ${{u}_{0}}(n) = - {{n}^{2}} - 2n$, множество $\{ - 2,0\} $ его целых корней содержит все возможные валюации лорановых решений уравнения $L(y) = 0$. Вычисления с помощью индуцированного рекуррентного уравнения начинаем с минимального целого корня определяющего полинома, т.е. с $n = - 2$. В конце вычислений получаем $4$-усечение лоранова решения, записанное с помощью литералов

$\begin{gathered} \frac{{{{C}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} - \frac{{5{{C}_{1}}}}{x} + {{C}_{2}} + x\left( {\frac{4}{3}{{C}_{1}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{1}{3}{{C}_{2}} - \frac{{35}}{3}{{C}_{1}} - \frac{2}{3}{{C}_{1}}{{U}_{{1,3}}}} \right) + {{x}^{2}}\left( {\frac{{11}}{{24}}{{C}_{1}}{{U}_{{1,3}}} - \frac{7}{{24}}{{C}_{1}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{5}{6}{{C}_{2}} - } \right. \\ \, - \left. {\frac{{35}}{{12}}{{C}_{1}} + \frac{1}{8}{{C}_{1}}{{U}_{{0,4}}} - \frac{1}{4}{{C}_{1}}{{U}_{{1,4}}} + \frac{1}{2}{{C}_{1}}{{U}_{{2,4}}}} \right) + {{x}^{3}}\left( { - \frac{{77}}{{12}}{{C}_{1}} - \frac{{19}}{{120}}{{C}_{1}}{{U}_{{1,3}}} + \frac{{21}}{{40}}{{C}_{1}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{{13}}{{30}}{{C}_{2}} + } \right. \\ \end{gathered} $

(23)

$\begin{gathered} \, + \left. {\frac{1}{{15}}{{C}_{1}}{{U}_{{0,5}}} - \frac{7}{{24}}{{C}_{1}}{{U}_{{0,4}}} + \frac{1}{4}{{C}_{1}}{{U}_{{1,4}}}\frac{1}{6}{{C}_{1}}{{U}_{{2,4}}} - \frac{2}{{15}}{{C}_{1}}{{U}_{{1,5}}} + \frac{4}{{15}}{{C}_{1}}{{U}_{{2,5}}}} \right) + \\ + \;{{x}^{4}}\left( {\frac{1}{{18}}{{C}_{1}}U_{{2,3}}^{2} - \frac{{35}}{9}{{C}_{1}} - \frac{{13}}{{36}}{{C}_{1}}{{U}_{{1,3}}} - \frac{7}{{18}}{{C}_{1}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{{19}}{{36}}{{C}_{2}} - \frac{{13}}{{72}}{{C}_{1}}{{U}_{{0,5}}} - \frac{5}{{72}}{{C}_{1}}{{U}_{{0,4}}} + } \right. \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} + \;\frac{5}{{36}}{{C}_{1}}{{U}_{{2,4}}} + \frac{{11}}{{72}}{{C}_{1}}{{U}_{{1,5}}} - \frac{7}{{72}}{{C}_{1}}{{U}_{{2,5}}} + \frac{1}{{36}}{{U}_{{1,3}}}{{C}_{1}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{1}{{72}}{{C}_{2}}{{U}_{{1,3}}} - \frac{1}{{36}}{{C}_{1}}U_{{1,3}}^{2} - \frac{1}{{12}}{{C}_{1}}{{U}_{{1,6}}} + \\ \, + \left. {\frac{1}{{72}}{{C}_{2}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{1}{{24}}{{C}_{2}}{{U}_{{0,4}}} + \frac{1}{{24}}{{C}_{1}}{{U}_{{0,6}}} + \frac{1}{6}{{C}_{1}}{{U}_{{2,6}}}} \right) + O({{x}^{5}}). \\ \end{gathered} $

Здесь и далее обозначенный посредством ${{U}_{{i,j}}}$ литерал соответствует незаданному коэффициенту при ${{x}^{j}}$ в коэффициенте исходного уравнения при ${{\theta }^{i}}$. ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ – произвольные постоянные. Вычисления выполнены до степени $4$. Интересующее нас множество решений можно описать короче, отбросив в (23) член степени $4$ и заменив $O({{x}^{5}})$ на $O({{x}^{4}})$. Мы выписали этот член, чтобы была видна причина остановки вычислений.

От (23) переходим к представлению в виде набора инвариантных усечений для каждой из валюаций. Для валюации ${{v}_{1}} = - 2$ (т.е. при ${{C}_{1}} \ne 0$ и ${{C}_{2}} \ne 0$) отбрасывание членов, начиная с первого, коэффициент которого содержит литералы, дает ${{m}_{1}} = 0$:

$\frac{{{{C}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} - \frac{{5{{C}_{1}}}}{x} + {{C}_{2}} + O(x).$

Для валюации ${{v}_{2}} = 0$ (т.е. при ${{C}_{1}} = 0$ и ${{C}_{2}} \ne 0$) такое отбрасывание дает ${{m}_{2}} = 3$:

${{C}_{2}} + \frac{1}{3}{{C}_{2}}x + \frac{5}{6}{{C}_{2}}{{x}^{2}} + \frac{{13}}{{30}}{{C}_{2}}{{x}^{3}} + O({{x}^{4}}).$

Эти инвариантные усечения были получены и в [1, пример 2]. Представление (23) позволяет также получить продолжение усечения для каждой отдельной валюации. Для валюации ${{v}_{1}} = - 2$ оно совпадает с (23). Для ${{v}_{2}} = 0$ оно равно

${{C}_{2}} + \frac{1}{3}{{C}_{2}}x + \frac{5}{6}{{C}_{2}}{{x}^{2}} + \frac{{13}}{{30}}{{C}_{2}}{{x}^{3}} + {{x}^{4}}\left( {\frac{{19}}{{36}}{{C}_{2}} + \frac{1}{{72}}{{C}_{2}}{{U}_{{1,3}}} + \frac{1}{{72}}{{C}_{2}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{1}{{24}}{{C}_{2}}{{U}_{{0,4}}}} \right) + O({{x}^{5}}).$

4.2. Алгоритм

Для уравнения $L(y) = 0$ с коэффициентами (3) строится определяющий полином как коэффициент ${{u}_{0}}(n)$ индуцированного рекуррентного уравнения. Находится множество его корней и формируется множество $\Lambda $. Эти вычисления соответствует шагу 1 схемы Хеффтера (п. 3.2).

Для каждого нецелого $\lambda \in \Lambda $, выполняем шаг 2(а), т.е. получаем уравнение ${{L}_{\lambda }}$. На шаге 2(б) решение системы (17) при очередном значении $k$ состоит в поиске усечения лоранова решения уравнения ${{S}_{k}}$ (при этом, возможно, также вычисляются значения некоторых неизвестных постоянных, вошедших в ${{g}_{0}}(x)$, ${{g}_{1}}(x), \ldots $, ${{g}_{{k - 1}}}(x)$). Это усечение содержит литералы, степень усечения определяется, как описано в п. 4.1. Усечение лоранового решения ${{S}_{k}}$ выстраивается последовательно с помощью индуцированного рекуррентного уравнения (8) (или (10) для $k > 0$). При $k > 0$ для получения правой части индуцированного рекуррентного уравнения требуется последовательное вычисление коэффициентов ряда Лорана в правой части уравнения ${{S}_{k}}$. Поиск лорановых решений завершается либо в том случае, если $k$ равно количеству (с учетом кратности) целых корней определяющего полинома для ${{S}_{0}}$, либо, когда обнаруживается, что очередная система не имеет лоранова решения с ${{g}_{0}}(x) \ne 0$. На основе полученных усечений лорановых решений с литералами формируется итоговый набор инвариантных усечений регулярных решений исходного уравнения.

Предложение 2. Каждый из тех отрезков рядов, которые находит предложенный алгоритм в качестве усечения того или иного ряда ${{g}_{i}}(x)$ в решении (14) исходного усеченного уравнения $L(y) = 0$, имеет максимально возможную длину: добавление членов большей степени к любому из этих отрезков влечет потерю инвариантности относительно возможных продолжений уравнения $L(y) = 0$.

Доказательство. Каждый из этих отрезков рядов выстраивается так, что остановка происходит в момент, когда следующий член ${{w}_{s}}{{x}^{s}}$ ряда имеет коэффициент ${{w}_{s}}$, зависящий от каких-то литералов. Такой коэффициент будет полиномом над $K$ от конечного числа литералов. Так как характеристика поля $K$ равна нулю, то само поле $K$ бесконечно (оно содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел), и для упомянутого полинома можно найти два разных набора значений входящих в него литералов, таких, что значения полинома ${{w}_{s}}$ на этих наборах не совпадают. Это означает, что уравнение $L(y) = 0$ имеет два продолжения, которые приводят к разным ${{w}_{s}}$. В самом деле, в качестве первого продолжения берем такое, где литералы, попавшие в ${{w}_{s}}$, заменяются значениями из первого набора, а остальные члены продолжения полагаются равными нулю. Аналогичным образом, но с использованием значений из второго набора, строим второе продолжение. Следовательно, отрезок ряда, входящий в решение и содержащий член ${{w}_{s}}{{x}^{s}}$, не является инвариантным относительно всех возможных продолжений уравнения $L(y) = 0$.

5. ПРИМЕРЫ

Пример 3. Проследим шаги предложенного алгоритма на примере оператора

(24)

$L = ( - 1 + x + {{x}^{2}}){{\theta }^{2}} - 2\theta ,\quad {{t}_{0}} = 3,\quad {{t}_{1}} = 1,\quad {{t}_{2}} = 2.$

Определяющий полином – ${{u}_{0}}(n) = - {{n}^{2}} - 2n$. Исходя из множества его корней $\left\{ { - 2,0} \right\}$, получаем $\Lambda = \left\{ 0 \right\}$. Поиск лоранова решения для ${{S}_{0}}$, как описано в п. 4.1, дает

(25)

${{g}_{0}}(x) = {{C}_{{0,1}}} + \frac{1}{{24}}{{x}^{4}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,4}}} + O({{x}^{5}}),$

где ${{C}_{{0,1}}}$ – неизвестная постоянная. Далее, для ${{S}_{1}}$ получаем $4$-усечение правой части уравнения:

$2{{C}_{{0,1}}} + \frac{5}{{12}}{{x}^{4}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,4}}} + O({{x}^{5}}).$

Индуцированное рекуррентное уравнение (10) при $n = 0$ здесь имеет вид

$ - 2{{C}_{{1,1}}}{{U}_{{1,2}}} = 2{{C}_{{0,1}}},$

где ${{C}_{{1,1}}}$ – неизвестная постоянная, возникшая при $n = - 2$ и соответствующая коэффициенту ${{c}_{{ - 2}}}$ решения. Это соотношение – вида (13), которое мы не можем использовать для вычисления значений неизвестных постоянных ${{C}_{{1,1}}}$, ${{C}_{{0,1}}}$, поскольку в это соотношение входит литерал ${{U}_{{1,2}}}$. Для тех продолжений оператора (24), для которых ${{U}_{{1,2}}} = 0$, получим, что ${{C}_{{0,1}}} = 0$, ${{C}_{{1,1}}}$ остается неизвестной постоянной. При этом ${{g}_{0}}(x) = 0$, т.е. $\tilde {k} = 0$. Для продолжений с ${{U}_{{1,2}}} \ne 0$, вычисления будут продолжены и получено $\tilde {k} = 1$. Полагаем ${{C}_{{1,1}}} = 0$, ${{C}_{{0,1}}} = 0$. Таким образом, получаем $\tilde {k} = 0$ и усеченное регулярное решение (25). Перейдем от него к набору инвариантных усечений:

$C + O({{x}^{4}}),$

где $C$ – произвольная постоянная.

Пример 4. Добавим к коэффициентам оператора (24) одно слагаемое (${{x}^{2}}$ в коэффициенте при ${{\theta }^{1}}$):

(26)

$\tilde {L} = ( - 1 + x + {{x}^{2}}){{\theta }^{2}} + ( - 2 + {{x}^{2}})\theta ,\quad {{t}_{0}} = 3,\quad {{t}_{1}} = {{t}_{2}} = 2.$

Этот оператор был рассмотрен в [1, пример 3], и было определено, что при любом продолжении коэффициентов у этого оператора, как и у оператора (24), имеется лораново решение $C + O({{x}^{4}})$, где $C$ – произвольная постоянная.

Определяющий полином, также как и для оператора (24), ${{u}_{0}}(n) = - {{n}^{2}} - 2n$ имеет корни $\left\{ { - 2,0} \right\}$, и, следовательно, $\Lambda = \left\{ 0 \right\}$.

Для ${{S}_{0}}$ получаем такое же усечение решения (25). Поиск лоранова решения для ${{S}_{1}}$ дает

$\begin{gathered} {{g}_{1}}(x) = - \frac{{{{C}_{{0,1}}}}}{{{{x}^{2}}}} + 4\frac{{{{C}_{{0,1}}}}}{x} + {{C}_{{1,1}}} + x\left( {\frac{2}{3}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,3}}} - \frac{4}{3}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,3}}}} \right) + {{x}^{2}}\left( { - \frac{5}{{12}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,3}}} + \frac{1}{3}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,3}}} - \frac{1}{8}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,4}}} + } \right. \\ + \;\left. {\frac{1}{4}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,4}}} - \frac{1}{2}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,4}}} + \frac{1}{8}{{C}_{{0,1}}}} \right) + {{x}^{3}}\left( {\frac{2}{{45}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,3}}} - \frac{4}{{45}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{7}{{30}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,4}}} - \frac{1}{5}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,4}}} + \frac{2}{{15}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,4}}} + } \right. \\ \end{gathered} $

(27)

$ + \;\left. {\frac{1}{{30}}{{C}_{{0,1}}} - \frac{1}{{15}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,5}}} + \frac{2}{{15}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,5}}} - \frac{4}{{15}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,5}}}} \right) + {{x}^{4}}\left( { - \frac{7}{{80}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,3}}} + \frac{1}{{20}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,3}}} + \frac{7}{{180}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,4}}} + } \right.$

$\begin{gathered} + \;\frac{7}{{240}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,4}}} - \frac{3}{{40}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,4}}} + \frac{7}{{160}}{{C}_{{0,1}}} + \frac{{17}}{{120}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,5}}} - \frac{7}{{60}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,5}}} + \frac{1}{{15}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,5}}} + \frac{1}{{36}}{{C}_{{0,1}}}U_{{1,3}}^{2} - \\ \, - \left. {\frac{1}{{36}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,3}}}{{U}_{{2,3}}} - \frac{1}{{18}}{{C}_{{0,1}}}U_{{2,3}}^{2} + \frac{1}{{24}}{{C}_{{1,1}}}{{U}_{{0,4}}} - \frac{1}{{24}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,6}}} + \frac{1}{{12}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,6}}} - \frac{1}{6}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{2,6}}}} \right) + O({{x}^{5}}). \\ \end{gathered} $

Усечение ${{g}_{1}}(x)$, как и усечение ${{g}_{0}}(x)$, вычислялось до степени ${{x}^{4}}$, так как для ${{C}_{{0,1}}} = 0$ и ${{C}_{{1,1}}} \ne 0$ только при ${{x}^{4}}$ вычисленный коэффициент содержит литералы. Для вычисления ${{g}_{1}}(x)$ было построено $4$-усечение правой части уравнения ${{S}_{1}}$:

$2{{C}_{{0,1}}} - {{x}^{2}}{{C}_{{0,1}}} - {{x}^{3}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,3}}} + {{x}^{4}}\left( {\frac{5}{{12}}{{C}_{{0,1}}}{{U}_{{0,4}}} - {{C}_{{0,1}}}{{U}_{{1,4}}}} \right) + O({{x}^{5}}).$

Далее поиск лоранова решения уравнения для ${{S}_{2}}$ не выполняется. Получаем $\tilde {k} = 1$ и регулярное решение ${{g}_{1}}(x) + {{g}_{0}}(x)lnx$, где ${{g}_{0}}(x)$, ${{g}_{1}}(x)$ определены (25) и (27).

Перейдем к решению в виде набора инвариантных усеченных регулярных решений. Для валюации ${{{v}}_{1}} = - 2$ в ${{g}_{1}}(x)$ получаем выражение, содержащее два усеченных ряда:

$ - \frac{{{{C}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} + 4\frac{{{{C}_{1}}}}{x} + {{C}_{2}} + O(x) + ({{C}_{1}} + O({{x}^{4}}))lnx,$

где ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ – произвольные постоянные. Положив ${{C}_{{0,1}}} = 0$ и ${{C}_{{1,1}}} \ne 0$ в (25) и (27), получаем усечение

${{C}_{2}} + O({{x}^{4}}).$

Это усечение соответствует усечению лоранова решения уравнения ${{S}_{1}}$ с валюацией ${{v}_{2}} = 0$.

Замечание 6. Решения ${{g}_{k}}(x), \ldots ,{{g}_{0}}(x)$ уравнений ${{S}_{k}}, \ldots ,{{S}_{0}}$ могут содержать одни и те же произвольные постоянные, поэтому переход от представления с использованием литералов к инвариантным усечениям производится не отдельно для каждого лоранова решения ${{g}_{k}}(x), \ldots ,{{g}_{0}}(x)$, а для всего регулярного решения (18) с множителем ${{x}^{\lambda }}$, включающего эти лорановы решения. В данном примере лораново решение ${{g}_{0}}(x) = {{C}_{{0,1}}} + O({{x}^{4}})$ отбрасывается при построении инвариантного усечения ${{g}_{1}}(x)$ с ${{C}_{{0,1}}} = 0$.

6. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

Алгоритм реализован в среде Maple ([9]) в виде процедуры RegularSolution. Основные аргументы процедуры аналогичным аргументом представленной в работе [1] процедуры LaurentSolution, реализующей алгоритм поиска лорановых решений. Первым аргументом процедуры является дифференциальное уравнение вида (4). Применение ${{\theta }^{k}}$ к неизвестной функции $y(x)$ записывается как theta(y(x),x,k). Как и в случае LaurentSolution также возможно использование обычного дифференцирования (оператора $D = \tfrac{d}{{dx}}$); в этом случае применение оператора ${{D}^{k}}$ к неизвестной функции $y(x)$ задается в стандартном для Maple виде diff(y(x),x$k). Усеченные коэффициенты уравнения имеют вид ${{a}_{i}}(x) + O({{x}^{{{{t}_{i}} + 1}}})$, где ${{a}_{i}}(x)$ – полином степени не выше ${{t}_{i}}$ над полем алгебраических чисел. Нерациональные алгебраические числа в Maple представляются в виде конструкции RootOf(p(_Z),index=k), где p(_Z) – неприводимый полином, $k$-м корнем которого и является данное алгебраическое число. Например, $\operatorname{RootOf} (\_{{Z}^{2}} - 2,index = 2) = - \sqrt 2 $.

В качестве второго аргумента процедуры задается неизвестная функция.

Результат работы процедуры – список усеченных регулярных решений, инвариантных относительно продолжений коэффициентов заданного уравнения. В усечениях могут встречаться произвольные постоянные вида $\_{{c}_{j}}$.

Дополнительно может быть указан опциональный параметр `output`=`literal` для получения ответа не в виде списка инвариантных усечений, а в виде одного усечения с литералами. Также возможно указать опциональный параметр `degree`=n, где n – целое число для получения усечения заданной степени (в этом случае к усечениям будут добавлены коэффициенты, выраженные через литералы; степень построенного усечения может быть больше заданного $n$, будет вычислено по крайней мере столько коэффициентов, сколько требуется для определения всех возможных валюаций лорановых решений, возникающих в ходе вычислений). Отметим, что процедура LaurentSolution также дополнена аналогичными опциями.

Далее следуют шесть примеров, которые мы объединяем в один, содержащий пп. 1–6.

Пример 5.

1. Уравнение, заданное оператором (24):

> eq1:=(-1+x+x^2+O(x^3))*theta(y(x),x,2)+(-2+O(x^2))*theta(y(x),x,1)+

(O(x^4))*y(x);

$eq1: = ( - 1 + x + {{x}^{2}} + O({{x}^{3}}))\theta (y(x),x,2) + ( - 2 + O({{x}^{2}}))\theta (y(x),x,1) + O({{x}^{4}})y(x)$

> RegularSolution(eq1, y(x));

$[\_{{c}_{1}} + O({{x}^{4}})]$

Ответ совпадает с полученным в примере 3.

2. Уравнение, заданное оператором (26):

> eq2:=(-1+x+x^2+O(x^3))*theta(y(x),x,2)+(-2+x^2+O(x^3))*theta(y(x),x,1)+

O(x^4)*y(x);

$eq2: = ( - 1 + x + {{x}^{2}} + O({{x}^{3}}))\theta (y(x),x,2) + ( - 2 + {{x}^{2}} + O({{x}^{3}}))\theta (y(x),x,1) + O({{x}^{4}})y(x)$

> RegularSolution(eq2, y(x));

$\left[ { - \tfrac{{\_{{c}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} + \tfrac{{4\_{{c}_{1}}}}{x} + \_{{c}_{2}} + O(x) + ln(x)(\_{{c}_{1}} + O({{x}^{4}})),\_{{c}_{2}} + O({{x}^{4}})} \right]$

Ответ совпадает с ответом в примере 4.

Применим процедуру повторно к этому же уравнению с опцией представления результата в литералах, результат – регулярное решение, содержащее усечения вида, построенные, как описано в п. 4.1, т.е. до такой степени, что видна причина остановки вычислений:

> RegularSolution(eq2,y(x),‘output‘=‘literal‘);

$\begin{gathered} \left[ {ln(x)\left( {\_{{c}_{1}} + \frac{1}{{24}}{{x}^{4}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[0,4]}}} + O({{x}^{5}})} \right)} \right. - \frac{{\_{{c}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} + \frac{{4\_{{c}_{1}}}}{x} + \_{{c}_{2}} + x\left( {\frac{2}{3}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,3]}}} - \frac{4}{3}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,3]}}}} \right) + \\ \,{{x}^{2}}\left( {\frac{1}{4}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,4]}}} - \frac{5}{{12}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,3]}}} + \frac{1}{3}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,3]}}} - \frac{1}{2}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,4]}}} - \frac{1}{8}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[0,4]}}} + \frac{1}{8}\_{{c}_{1}}} \right) + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \;{{x}^{3}}\left( {\frac{2}{{15}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,4]}}} - \frac{1}{5}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,4]}}} + \frac{2}{{45}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,3]}}} - \frac{4}{{45}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,3]}}} + \frac{2}{{15}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,5]}}} + \frac{7}{{30}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[0,4]}}} + } \right. \\ \;\left. {\frac{1}{{30}}\_{{c}_{1}} - \frac{4}{{15}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,5]}}} - \frac{1}{{15}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[0,5]}}}} \right) + {{x}^{4}}\left( {\frac{1}{{24}}{{U}_{{[0,4]}}}\_{{c}_{2}} - \frac{3}{{40}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,4]}}} + \frac{7}{{240}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,4]}}} - } \right. \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \;\frac{7}{{80}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,3]}}} + \frac{1}{{20}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,3]}}} - \frac{7}{{60}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,5]}}} + \frac{7}{{180}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[0,4]}}} + \frac{7}{{160}}\_{{c}_{1}} + \frac{1}{{15}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,5]}}} + \frac{{17}}{{120}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[0,5]}}} + \\ \left. {\;\frac{1}{{36}}\_{{c}_{1}}U_{{[1,3]}}^{2} - \frac{1}{{36}}{{U}_{{[1,3]}}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,3]}}} - \frac{1}{{18}}\_{{c}_{1}}U_{{[2,3]}}^{2} - \left. {\frac{1}{{24}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[0,6]}}} + \frac{1}{{12}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,6]}}} - \frac{1}{6}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,6]}}}} \right) + O({{x}^{5}})} \right] \\ \end{gathered} $

Ответ совпадает с ответом в литералах в примере 4.

Применим процедуру еще раз к этому же уравнению с опцией задания степени усечения:

> RegularSolution(eq2,y(x),‘degree‘=2);

$\begin{gathered} \left[ { - \frac{{\_{{c}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} + \frac{{4\_{{c}_{1}}}}{x} + \_{{c}_{2}} + x\left( {\frac{2}{3}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,3]}}} - \frac{4}{3}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,3]}}}} \right) + {{x}^{2}}\left( {\frac{1}{4}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,4]}}} - \frac{5}{{12}}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[1,3]}}} + \frac{1}{3}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,3]}}} - } \right.} \right. \\ \,\left. {\left. {\frac{1}{8}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[0,4]}}} - \frac{1}{2}\_{{c}_{1}}{{U}_{{[2,4]}}} + \frac{1}{8}\_{{c}_{1}}} \right) + O({{x}^{3}}) + ln(x)(\_{{c}_{1}} + O({{x}^{3}})),\_{{c}_{2}} + O({{x}^{3}})} \right] \\ \end{gathered} $

Ответ показывает, что для получения $2$-усечения как продолжения инвариантного усечения необходимо задать ${{U}_{{[0,4]}}},\;{{U}_{{[1,3]}}},\;{{U}_{{[1,4]}}},\;{{U}_{{[2,3]}}},\;{{U}_{{[2,4]}}}$, т.е. коэффициенты уравнения при ${{x}^{4}},\;{{x}^{3}}\theta ,\;{{x}^{4}}\theta ,\;{{x}^{3}}{{\theta }^{2}},\;{{x}^{4}}{{\theta }^{2}}$ соответственно.

3. Уравнение

> eq3:=(1+x^2+O(x^3))*theta(y(x),x,3)+(4-x+(1/2)*x^2+O(x^3))*theta(y(x),x,2)+

(4-2*x+x^2+O(x^3))*theta(y(x),x,1)+O(x^3)*y(x);

$\begin{gathered} eq3: = (1 + {{x}^{2}} + O({{x}^{3}}))\theta (y(x),x,3) + \left( {4 - x + \tfrac{1}{2}{{x}^{2}} + O({{x}^{3}})} \right)\theta (y(x),x,2) + \\ \,(4 - 2x + {{x}^{2}} + O({{x}^{3}}))\theta (y(x),x,1) + O({{x}^{3}})y(x) \\ \end{gathered} $

> RegularSolution(eq3, y(x));

$\begin{gathered} \left[ {\tfrac{{\tfrac{{21\_{{c}_{1}}}}{{16}} + \tfrac{{\_{{c}_{2}}}}{2}}}{{{{x}^{2}}}} + \tfrac{{\_{{c}_{1}}}}{x} + \_{{c}_{3}} + O(x) + ln(x)\left( {\tfrac{1}{2}\tfrac{{\_{{c}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} + \_{{c}_{2}} + O(x)} \right) + ln{{{(x)}}^{2}}\left( {\tfrac{1}{2}\_{{c}_{1}} + O({{x}^{3}})} \right),} \right. \\ \left. {\mathop {\kern 1pt} \limits_{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}^{^{{^{{}}}}} {\kern 1pt} \tfrac{1}{2}\tfrac{{\_{{c}_{2}}}}{{{{x}^{2}}}} + \_{{c}_{3}} + O(x) + ln(x)(\_{{c}_{2}} + O({{x}^{3}})),\_{{c}_{3}} + O({{x}^{3}})} \right] \\ \end{gathered} $

В данном случае имеем три различных усечения регулярного решения, соответствующие лорановы ряды усечены до разных степеней, логарифм входит до степени $2$, т.е. были найдены лорановы решения трех уравнений ${{S}_{0}}$, ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$.

4. Усечение уравнения из примера 1:

> eq4:=(-1+x+O(x^3))*theta(y(x),x,2)+(-1-x-(3/2)*x^2+O(x^3))*theta(y(x),x,1)+

(3/4+(1/4)*x+(3/4)*x^2+O(x^3))*y(x);

$\begin{gathered} eq4: = ( - 1 + x + O({{x}^{3}}))\theta (y(x),x,2) + \left( { - 1 - x - \tfrac{3}{2}{{x}^{2}} + O({{x}^{3}})} \right)\theta (y(x),x,1) + \\ \;\left( {\tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4}x + \tfrac{3}{4}{{x}^{2}} + O({{x}^{3}})} \right)y(x) \\ \end{gathered} $

> RegularSolution(eq4, y(x));

$\left[ {\sqrt x \left( { - \tfrac{{2\_{{c}_{1}}}}{{{{x}^{2}}}} + \tfrac{{8\_{{c}_{1}}}}{x} + \_{{c}_{2}} + O(x) + ln(x)(\_{{c}_{1}} + O({{x}^{3}}))} \right),\sqrt x (\_{{c}_{2}} + O({{x}^{3}}))} \right]$

В данном случае получено регулярное решение с нецелым $\lambda $ в множителе ${{x}^{\lambda }}$.

5. Уравнение

> eq5:=(1+O(x^2))*theta(y(x),x,3)+(1+2*x+O(x^2))*theta(y(x),x,2)+

(2+x+O(x^2))*theta(y(x),x,1)+(2-x+O(x^2))*y(x);

$\begin{gathered} eq5: = (1 + O({{x}^{2}}))\theta (y(x),x,3) + (1 + 2x + O({{x}^{2}}))\theta (y(x),x,2) + \\ \;(2 + x + O({{x}^{2}}))\theta (y(x),x,1) + (2 - x + O({{x}^{2}}))y(x) \\ \end{gathered} $

> RegularSolution(eq5, y(x));

$\begin{gathered} \left[ {\tfrac{{\_{{c}_{1}}}}{x} + O(x) + {{x}^{{{\text{RootOf}}(\_{{Z}^{2}} + 2,index = 1)}}}\left( {\_{{c}_{2}} - \tfrac{1}{{54}}x(20 + 23{\text{RootOf}}(\_{{Z}^{2}} + 2,index = 1))\_{{c}_{2}} + O({{x}^{2}})} \right)} \right. + \\ \left. {\;{{x}^{{{\text{RootOf}}(\_{{Z}^{2}} + 2,index = 2)}}}\left( {\_{{c}_{3}} - \tfrac{1}{{54}}x(20 + 23{\text{RootOf}}(\_{{Z}^{2}} + 2,index = 2))\_{{c}_{3}} + O({{x}^{2}})} \right)} \right] \\ \end{gathered} $

В данном случае определяющий полином – ${{u}_{0}}(n) = (n + 1)({{n}^{2}} + 2)$ – имеет три неэквивалентных корня: $\Lambda = \{ - 1,\sqrt { - 2} , - \sqrt { - 2} \} $, где $\sqrt { - 2} $, $ - \sqrt { - 2} $ представлены конструкциями ${\text{RootOf}}(\_{{Z}^{2}} + 2,{\text{index}} = 1)$ и ${\text{RootOf}}(\_{{Z}^{2}} + 2,{\text{index}} = 2)$.

6. Уравнение, заданное через оператор дифференцирования $D$, а не через оператор $\theta $:

> eq6:=(-x+x^2+x^3+O(x^4))*(diff(y(x),x,x))+

> (-3+x+2*x^2+O(x^3))*(diff(y(x), x))+O(x^3)*y(x)

$eq6: = ( - x + {{x}^{2}} + {{x}^{3}} + O({{x}^{4}}))\left( {\tfrac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}y(x)} \right) + ( - 3 + x + 2{{x}^{2}} + O({{x}^{3}}))\left( {\tfrac{d}{{dx}}y(x)} \right) + O({{x}^{3}})y(x)$

> RegularSolution(eq6, y(x));