Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 1, стр. 120-121

1. О ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЯХ

Ниже мы предлагаем усиление теоремы Б. Бозами, касающейся размера полиномиальных делителей полинома одной переменной $F(X) = \sum\nolimits_{i = 0}^d \,{{a}_{i}}{{X}^{{d - i}}}$ в $C{\kern 1pt} [X]$. Используется обозначение $H(F)$ для высоты полинома $F$, т.е. наибольшей абсолютной величины коэффициентов $F$. Используется также норма Бомбьери (см. [1]):

Теорема 1. Пусть $Q$ – нетривиальный делитель $F$ в $\mathbb{Z}{\kern 1pt} [X]$, $d = deg(F) \geqslant 2$. Тогда

2. МНОГОУГОЛЬНИК НЬЮТОНА И КРИТЕРИИ НЕПРИВОДИМОСТИ

Пусть $F(X) = \sum\nolimits_{i = 0}^d \,{{a}_{i}}{{X}^{{d - i}}} \in A[X]$, где $A$ – область с дискретным нормированием $v$. Напомним два важнейших понятия.

Многоугольник Ньютона $N(F)$: выпуклая оболочка множества

Индекс Ньютона: $e{\kern 1pt} (F) = \mathop {max}\limits_{1 \leqslant i \leqslant d} \tfrac{{v({{a}_{0}}) - v({{a}_{i}})}}{i}.$

Ж. Дюма изучил соотношение между индексами Ньютона двух полиномов и их произведения. Мы обсуждаем связь многоугольников Ньютона и неприводимости полиномов.

Теорема 2. Пусть $(A,v)$ – область с дискретным нормированием, $F(X) = {{a}_{0}}{{X}^{d}} + {{a}_{1}}{{X}^{{d - 1}}} + \ldots + $ $ + \;{{a}_{{d - 1}}}X + {{a}_{d}} \in A[X],$ ${{a}_{0}}{{a}_{d}} \ne 0$, $d \geqslant 2$. Пусть существует $s \in \{ 1,2, \ldots ,d\} $ такое, что

(a) $\frac{{v({{a}_{0}}) - v({{a}_{s}})}}{s} > \frac{{v({{a}_{0}}) - v({{a}_{i}})}}{i}$ для $i \in \{ 1,2,...,d\} $, $i \ne s$;

(б) $\frac{{v({{a}_{0}}) - v({{a}_{s}})}}{s} - \frac{{v({{a}_{0}}) - v({{a}_{d}})}}{d} = \frac{u}{{ds}}$ при $u \geqslant 2$;

(в) $\gcd (v({{a}_{0}}) - v({{a}_{s}}),s) = 1$.

Тогда верно одно из следующих утверждений:

i. $F$ неприводим в $A[X]$.

ii. $F$ имеет делитель, степень которого делит $s$.

iii. $F$ допускает факторизацию $F = {{F}_{1}}{{F}_{2}}$, при этом $s$ делит $\beta {{d}_{1}} - \alpha {{d}_{2}}$, для некоторых $\alpha ,\beta \in \{ 1,2, \ldots ,u - 1\} $, где ${{d}_{1}} = deg{{F}_{1}}$, ${{d}_{2}} = deg{{F}_{2}}$.