Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 4, стр. 626-638

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе рассматривается задача Коши для системы уравнений, не разрешенных относительно старшей производной:

в полуплоскости $R_{ + }^{2} = {\text{\{ }}t > 0,\;x \in R{\text{\} }}$, где $c > 0$, $0 < \varepsilon < 1$, ${{L}_{{ij}}}({{D}_{x}})$, $i,j = 1,2$, – линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, порядки которых не превышают трех.

Системы вида (1.1) относятся к классу псевдогиперболических уравнений [1]. Примером такой системы является система дифференциальных уравнений, описывающая взаимодействие изгибных и крутильных волн в балке без учета нелинейности (см. [2, гл. 3]):

где $c > 1$, $0 \leqslant \varepsilon < 1$. Действительно, система имеет вид (1.1), если в качестве дифференциальных операторов ${{L}_{{ij}}}({{D}_{x}})$ взять следующие:

В вырожденном случае, когда $\varepsilon = 0$, система (1.2) распадается на два псевдогиперболических уравнения:

Уравнение (1.3) называется уравнением Релея–Бишопа [3]. Теоремы о разрешимости задачи Коши для таких уравнений см. [4]. Отметим, что определение класса псевдогиперболических уравнений: было дано в монографии [1, гл. 2]. Там же содержатся первые теоремы о разрешимости задачи Коши для этого класса уравнений. Результаты дальнейших исследований по теории псевдогиперболических уравнений см., например, в работах [4]–[7].

Наша цель – доказательство однозначной разрешимости задачи Коши (1.1) в соболевских пространствах.

Дадим определения соответствующих пространств (см. [1], [8]).

Определение 1. Функция $u(t,x) \in {{L}_{2}}(G)$ принадлежит анизотропному соболевскому пространству $W_{2}^{{{{l}_{1}},{{l}_{2}}}}(G)$, $G \subseteq {{R}^{2}}$, ${{l}_{1}},{{l}_{2}} \in N$, если существуют обобщенные производные

в области $G$, при этом Введем норму

Определение 2. Функция $u(t,x)$ принадлежит анизотропному весовому соболевскому пространству $W_{{2,\gamma }}^{{{{l}_{1}},{{l}_{2}}}}(G)$, $\gamma > 0$, если ${{e}^{{ - \gamma t}}}u(t,x) \in W_{2}^{{{{l}_{1}},{{l}_{2}}}}(G)$. Полагаем

Теорема 1. Пусть ${{L}_{{ij}}}({{D}_{x}}) = 0$, $i,j = 1,2$,

Тогда задача Коши (1.1) имеет единственное решение $U(t,x) = \left( \begin{gathered} u(t,x) \hfill \\ {v}(t,x) \hfill \\ \end{gathered} \right)$ в пространстве вектор-функций $W_{{2,\gamma }}^{{2,4}}(R_{ + }^{2})$, $\gamma > 0$, таких, что $D_{t}^{2}D_{x}^{2}U \in {{L}_{{2,\gamma }}}(R_{ + }^{2})$, при этом справедлива оценка:где ${{c}_{1}}(\gamma )$ – константа, зависящая от коэффициентов системы и $\gamma $.

Определение 3. Функция $f(t,x)$ принадлежит соболевскому пространству $W_{{2,\gamma }}^{{0,1}}(R_{ + }^{2})$, $\gamma > 0$, если ${{e}^{{ - \gamma t}}}f(t,x) \in {{L}_{2}}(R_{ + }^{2})$, существует обобщенная производная ${{D}_{x}}f(t,x)$ в $R_{ + }^{2}$, при этом

Полагаем

Теорема 2. Пусть ${{L}_{{ij}}}({{D}_{x}}) = 0$, $i,j = 1,2$,

Тогда задача Коши (1.1) имеет единственное решение $U(t,x) = \left( \begin{gathered} u(t,x) \hfill \\ {v}(t,x) \hfill \\ \end{gathered} \right)$ в пространстве вектор-функций $W_{{2,\gamma }}^{{2,4}}(R_{ + }^{2})$, $\gamma > 0$, таких, что $D_{t}^{2}D_{x}^{2}U \in {{L}_{{2,\gamma }}}(R_{ + }^{2})$, при этом справедлива оценка:где ${{c}_{2}}(\gamma )$ – константа, зависящая от коэффициентов системы и $\gamma $.

Приведем теперь результаты о разрешимости в случае, когда операторы ${{L}_{{ij}}}({{D}_{x}})$, $i,j = 1,2$, не тривиальные.

Теорема 3. Пусть

Существует ${{\gamma }_{0}} > 1$ такое, что призадача Коши (1.1) имеет единственное решение $U(t,x) = \left( \begin{gathered} u(t,x) \hfill \\ {v}(t,x) \hfill \\ \end{gathered} \right)$ в пространстве вектор-функций $W_{{2,\gamma }}^{{2,4}}(R_{ + }^{2})$, $\gamma > {{\gamma }_{0}}$, таких, что $D_{t}^{2}D_{x}^{2}U \in {{L}_{{2,\gamma }}}(R_{ + }^{2})$, где ${{c}_{3}}({{\gamma }_{0}})$ – константа, зависящая от коэффициентов системы и ${{\gamma }_{0}}$.

2. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим задачу Коши (1.1) для однородной системы в случае, когда все дифференциальные операторы ${{L}_{{ij}}}({{D}_{x}})$ нулевые:

Докажем однозначную разрешимость задачи Коши (2.1) в весовом соболевском пространстве $W_{{2,\gamma }}^{{2,4}}(R_{ + }^{2})$ и получим оценку на решение.

Доказательство теоремы 1. Для построения решения задачи (2.1) рассмотрим вспомогательную задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром $\xi \in R$, которая получается при формальном применении оператора Фурье по $x$ к задаче (2.1):

Перепишем задачу Коши (2.2) в матричном виде

Введем следующие обозначения:

Учитывая обозначения, задачу Коши (2.2) можно переписать в виде

и отсюда Для получения оценок компонент вектор-функции $y(t,\xi )$ нам удобно записать матричную экспоненту в виде матричного полинома третьей степени со специальными коэффициентами (см. [9]) где и – суть собственные числа матрицы $A(\xi )$. Нетрудно показать, что матричная экспонента ${{e}^{{tA(\xi )}}}$ имеет вид: где

Следовательно, решение задачи Коши (2.2) представимо в виде

где

Покажем, что функции из (2.6)

принадлежат пространству ${{L}_{{2,\gamma }}}(R_{ + }^{2})$. Для первых двух функций в силу равенства Парсеваля, очевидно, имеем

Оценим функцию ${{\hat {u}}_{3}}(t,\xi )$:

где Заметим, что из определения (2.5) вытекает а из представления следует

Учитывая (2.10), (2.11), равенство Парсеваля, из (2.9) будем иметь

Аналогично получаем оценку на ${{\hat {u}}_{4}}(t,\xi )$:

В силу представления (2.6), оценок (2.7), (2.8), (2.12), (2.13), учитывая равенство Парсеваля, получаем

Оценим $D_{t}^{2}{{\left| \xi \right|}^{\alpha }}{{\hat {u}}_{j}}(t,\xi )$, $\alpha = 0,2$, $j = 1,\; \ldots ,\;4$. Воспользуемся представлением (2.6).

Учитывая

в силу равенства Парсеваля, получаем Аналогично при $\alpha = 0,\;2$ получаем

Из (2.6), с учетом оценок (2.15)–(2.18) при $\alpha = 0,\;2$ будем иметь

Проводя подобные рассуждения, что и при получении (2.14), учитывая (2.10), (2.11), нетрудно получить следующую оценку:

Из (2.14), (2.19), (2.20) следует требуемая оценка (1.4).

Докажем единственность. Проведем доказательство от противного. Рассмотрим два произвольных различных решения ${{u}_{1}}$, ${{{v}}_{1}}$ и ${{u}_{2}}$, ${{{v}}_{2}}$ задачи Коши (2.1). Тогда ненулевые функции $u = {{u}_{1}} - {{u}_{2}}$, ${v} = {{{v}}_{1}} - {{{v}}_{2}}$ также являются решением задачи Коши (2.1) при ${{\varphi }_{j}} = 0$, ${{\psi }_{j}} = 0$, $j = 1,2$. Применяя преобразование Фурье по $x$ к задаче Коши (2.1), получаем задачу Коши (2.2) с нулевыми начальными условиями, или, обозначив через

получаем задачу Коши где $A(\xi )$ из (2.3). Однако решение этой задачи тождественно равно нулю. Следовательно, $\hat {u}(t,\xi ) \equiv {\hat {v}}(t,\xi ) \equiv 0$ и значит $u(t,x) = 0$, ${v}(t,x) = 0$ – противоречие.

Теорема доказана.

3. ЗАДАЧА КОШИ С НУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

Продолжим изучать задачу Коши (1.1) для системы дифференциальных уравнений в случае, когда все операторы ${{L}_{{ij}}}({{D}_{x}})$ нулевые. Но теперь будем рассматривать неоднородную систему с нулевыми начальными условиями:

Докажем однозначную разрешимость задачи (3.1) в весовом соболевском пространстве $W_{{2,\gamma }}^{{2,4}}(R_{ + }^{2})$.

Доказательство теоремы 2. Для построения решения задачи (3.1), как и в предыдущем параграфе, рассмотрим следующую задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром $\xi \in R$

Перепишем задачу Коши (3.2) в эквивалентном виде:

где $A(\xi )$ из (2.3). Учитывая (2.4) и формулу решение задачи Коши (3.2) представимо в виде где ${{\tau }_{1}}$, ${{\tau }_{2}}$ – из (2.5).

Учитывая представление (3.4), определение функции Хевисайда $\theta (t)$, а также неравенство Юнга, имеем:

Воспользуемся неравенствами (2.10), (2.11), получим

А поскольку

где $b = (1 \pm \varepsilon )$, будем иметь

Из (3.7) при $\alpha \leqslant 3$ получим

Из (3.7) при $\alpha = 4$ получим

Проводя в точности такие же рассуждения для второго слагаемого из (3.3) и учитывая оценки (3.8), (3.9) для первого слагаемого из (3.3), будем иметь

Учитывая (3.3), представим $D_{t}^{2}\hat {u}(t,\xi )$ и $D_{t}^{2}{\hat {v}}(t,\xi )$ в виде

где

Следуя схеме, что и при получении оценки (3.7), пользуясь неравенством

оценками (3.6), получим Следовательно, при ${{\alpha }_{2}} = 0$ и при ${{\alpha }_{2}} = 2$ будем иметь следующие оценки:

Следовательно, учитывая неравенства (3.10), (3.11), (3.13), будем иметь требуемую оценку (1.5).

Теорема доказана.

4. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ

Рассмотрим задачу Коши

Докажем однозначную разрешимость задач (4.1) и (1.1) в пространстве $W_{{2,\gamma }}^{{2,4}}(R_{ + }^{2})$, опираясь на предыдущие результаты.

Доказательство теоремы 3. В разд. 3 рассматривалась задача Коши (3.1). Перепишем ее в следующем виде:

где матричный оператор $\mathfrak{L}({{D}_{t}},{{D}_{x}})$ имеет вид При доказательстве теоремы 2 было построено решение задачи Коши (3.1) для любых ${{f}_{j}}(t,x) \in W_{{2,\gamma }}^{{0,1}}(R_{ + }^{2})$, $j = 1,2$, в виде где ${{F}^{{ - 1}}}$ – это обратный оператор Фурье, ${{u}_{{{{f}_{j}}}}}$, $j = 1,2$, определены в (3.4), (3.5). В операторном виде решение задачи Коши (3.1) можно переписать следующим образом: где матричный оператор $P$ определяется из (3.4), (3.5) и (4.4). В силу оценок (3.10), (3.11) при $\alpha \leqslant 3$, $\gamma > 1$ будем иметь где константа ${{c}_{0}} > 0$ не зависит от $\gamma $ и ${{f}_{1}}$, ${{f}_{2}}$.

Перепишем теперь нашу систему с младшими членами в виде

где матричный дифференциальный оператор $\mathfrak{L}({{D}_{t}},{{D}_{x}})$ определен в (4.3) и Напомним, что линейные дифференциальные операторы ${{L}_{{ij}}}({{D}_{x}})$ имеют постоянные коэффициенты и порядки их не превышают трех.

Решение задачи Коши (4.1) будем искать в виде

Тогда неизвестная вектор-функция очевидно, будет определяться из уравнения Из определения соболевских пространств $W_{{2,\gamma }}^{{{{l}_{1}},{{l}_{2}}}}$ и определения операторов $P$ и ${{L}_{{{\text{мл}}}}}({{D}_{x}})$ имеем диаграмму А поскольку $\mathfrak{L}({{D}_{t}},{{D}_{x}})P = I$, то из (4.7) следует, что задача сводится к решению операторного уравнения в пространстве $W_{{2,\gamma }}^{{0,1}}(R_{ + }^{2})$, $\gamma > 1$.

В силу оценки (4.5) и определения оператора ${{L}_{{{\text{мл}}}}}({{D}_{x}})$ для нормы оператора $S$ справедливо неравенство

где $C$ не зависит от $\gamma $. Следовательно, найдется такое ${{\gamma }_{0}} > 1$, что при всех $\gamma > {{\gamma }_{0}}$Тогда по теореме фон Неймана [10] уравнение (4.8) имеет единственное решение при этом Следовательно, вектор-функция является искомым решением задачи Коши (4.1). Очевидно, решение определяется единственным образом. В силу оценки (1.5) для решения задачи Коши (3.1), учитывая (4.9), получаем оценку на решение задачи Коши (4.1) где c$_{3}({{\gamma }_{0}})$ – константа, зависящая от коэффициентов системы и ${{\gamma }_{0}}$.

Итак, мы получили, что существует ${{\gamma }_{0}} > 1$ такое, что при

задача Коши (4.1) имеет единственное решение $U(t,x) = \left( \begin{gathered} u(t,x) \hfill \\ {v}(t,x) \hfill \\ \end{gathered} \right)$ в пространстве вектор-функций $W_{{2,\gamma }}^{{2,4}}(R_{ + }^{2})$, $\gamma > {{\gamma }_{0}}$ таких, что $D_{t}^{2}D_{x}^{2}U \in {{L}_{{2,\gamma }}}(R_{ + }^{2})$ и выполнена оценка (4.10).

Рассмотрим теперь задачу Коши (1.1), перепишем ее в виде

где матричные дифференциальные операторы $\mathfrak{L}({{D}_{t}},{{D}_{x}})$, ${{L}_{{{\text{мл}}}}}({{D}_{x}})$ определены в (4.3) и (4.6) соответственно.

Сведем изучение задачи Коши (1.1) к задаче Коши (4.1). Для этого сделаем сдвиг

где $\left( \begin{gathered} u(t,x) \hfill \\ {v}(t,x) \hfill \\ \end{gathered} \right)$ – решение задачи Коши (1.1), $\left( \begin{gathered} {{u}_{\Phi }}(t,x) \hfill \\ {{{v}}_{\Phi }}(t,x) \hfill \\ \end{gathered} \right)$ – решение задачи Коши (2.1). Следовательно, вектор-функция $\left( \begin{gathered} {{u}_{F}}(t,x) \hfill \\ {{{v}}_{F}}(t,x) \hfill \\ \end{gathered} \right)$ является решением следующей задачи Коши: где Задача Коши (4.11) совпадает с задачей Коши (4.1). Для того чтобы воспользоваться результатами, полученными для задачи Коши (4.1), покажем, что Поскольку $\left( \begin{gathered} {{f}_{1}}(t,x) \hfill \\ {{f}_{2}}(t,x) \hfill \\ \end{gathered} \right) \in W_{{2,\gamma }}^{{0,1}}(R_{ + }^{2})$ и для решения задачи Коши (2.1) имеют место оценки (2.14), (2.20), учитывая определение оператора ${{L}_{{{\text{мл}}}}}({{D}_{x}})$, получаем (4.12). Следовательно, теорема 3 непосредственно вытекает из теоремы 1 и оценки (4.10).

Теорема доказана.

5. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ

В настоящей работе мы провели исследование разрешимости задачи Коши (1.1) для одной псевдогиперболической системы. Коротко эту систему можно записать в виде

где ${{\mathcal{L}}_{4}}({{D}_{t}},{{D}_{x}})$ – однородный дифференциальный оператор четвертого порядка, а ${{L}_{{{\text{мл}}}}}({{D}_{x}})$ – оператор, соответствующий младшим членам. Повторяя схему наших рассуждений, нетрудно получить аналогичные результаты для многомерных псевдогиперболических систем вида

По аналогии с [1] можно определить класс псевдогиперболических систем, не разрешенных относительно старшей производной по времени

где $M({{D}_{x}})$ – эллиптический оператор. В том случае, когда оператор является непрерывно обратимым, при некоторых условиях на дифференциальный оператор $\mathcal{L}({{D}_{t}},{{D}_{x}})$ можно получить теоремы о разрешимости задачи Коши в весовых соболевских пространствах $W_{{2,\gamma }}^{{l,r}}(R_{ + }^{{n + 1}})$. Более сложная ситуация, когда оператор (5.2) не является непрерывно обратимым. Например, когда символ $M(i\xi )$ оператора $M({{D}_{x}})$ вырождается при $\xi = 0$. В этом случае, используя специальные классы весовых соболевских пространств [11] и теоремы об изоморфизме [12], [13], можно также установить некоторые теоремы о разрешимости задачи Коши для систем вида (5.1).