Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 6, стр. 985-1012

3.1. Состоятельность оценки качества приближенного решения экстремальной задачи

Будем говорить, что оценка качества (3.1) приближенного решения ${{z}_{\eta }}$ состоятельна, если $li{{m}_{{\eta \to 0}}}{{E}_{Q}}(\eta ) = Q(\bar {z},\bar {z})$. Следующая теорема (см. [28], [38]) дает достаточные условия состоятельности.

Теорема 3.2. При выполнении предположений (А)–(Е): 1) точная верхняя грань (3.1) достигается; 2) справедлива сходимость $li{{m}_{{\eta \to 0}}}{{E}_{Q}}(\eta ) = Q(\bar {z},\bar {z})$.

Из теоремы 3.2 ясно, что оценка качества (3.1) может быть найдена численными методами оптимизации функционалов, рассмотренными, например, в [4], [5], [21], [43] и др.

3.2. Оптимальность качества регуляризующих алгоритмов для экстремальных задач

В работах [1], [3], [6], [7], [12], [14], [17], [20], [24], [25], [26], [38] и ряде других развита теория РА, оптимальных по порядку точности решения обратных задач. В данном разделе эти результаты обобщаются и даются основные положения теории оптимальности качества приближенных решений экстремальных задач (см. [38]).

Вернемся к задаче (2.1), предполагая выполненными условия (А)–(Е). Особо подчеркнем выполнение условия единственности решение $z* = \bar {z}$ экстремальной задачи (2.1). Кроме того, в этом разделе мы будем использовать конкретную устойчивую оценку величины $J{\text{*}}$ из (2.1): ${{\mu }_{\eta }} = inf\{ {{J}_{\eta }}(z) + \Psi (\eta ,\Omega (z)):z \in \mathcal{D}\} $. Как показано в [20, гл. 2, § 3], она обладает требуемыми свойствами (E,1).

Введем специальное множество элементов ${{M}_{R}} = {\text{\{ }}z \in \mathcal{D}:\Omega (z) \leqslant R{\text{\} }}$, где $R \geqslant \Omega (\bar {z})$. Из предположения (Б) следует $\tau $-компактность множества ${{M}_{R}}$.

Будем рассматривать экстремальные задачи типа (2.1) с различными точными функционалами. Эти функционалы $\bar {J}(z)$ должны удовлетворять двум требованиям:

1) для каждого $\bar {J}(z)$ экстремальная задача $arginf\left\{ {\bar {J}(z):z \in \mathcal{D}} \right\}$ имеет единственное решение $\bar {z}(\bar {J}) \in {{M}_{R}}$;

2) приближенный функционал ${{J}_{\eta }}(z)$ для задачи (2.1) аппроксимирует все функционалы $\bar {J}(z)$ на множестве ${{M}_{R}}$:

Найдем приближенное решение ${{z}_{\eta }}$ задачи (2.1) с помощью некоторого метода ${{P}_{\eta }}$: ${{z}_{\eta }} = {{P}_{\eta }}({{J}_{\eta }},\eta ,\Psi )$. Зададим следующую характеристику качества метода ${{P}_{\eta }}$:

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия (А)–(Е). Если ${{z}_{\eta }} = {{P}_{\eta }}({{J}_{\eta }},\eta ,\Psi )\;\mathop \to \limits^\tau \;\bar {z} = \bar {z}(J)$ при $\eta \to 0$, то ${{\Delta }_{Q}}(\eta ,{{P}_{\eta }};{{J}_{\eta }},\eta ,\Psi ;{{M}_{R}}) \to Q(\bar {z},\bar {z})$.

Смысл теоремы 3.3 состоит в следующем: если метод ${{P}_{\eta }}$ – это РА, то его характеристика качества ${{\Delta }_{Q}}(\eta ,{{P}_{\eta }})$ по функционалу $Q$ состоятельна: ${{\Delta }_{Q}}(\eta ,{{P}_{\eta }}) \to Q(\bar {z},\bar {z})$ при $\eta \to 0$.

Определение 3.2. Пусть $\mathcal{P} = {\text{\{ }}P{\text{\} }}$ – класс всех возможных методов $P$ решения задачи (2.1). При фиксированном множестве ${{M}_{R}}$, оптимальным качеством решения $\bar {z}$ этой задачи назовем число

Подчеркнем, что константа ${{k}_{0}}$ в определении 3.2 не зависит от $\eta $, ${{J}_{\eta }}$ и $R$.

3.3. Экстраоптимальное качество регуляризующих алгоритмов

Будем считать выполненными все предположения разд. 3.2, полагая, кроме того, что $R > C\Omega (\bar {z})$.

Теорема 3.4. При сделанных предположениях для каждого $\eta $, $0 < \left\| {\eta {\kern 1pt} } \right\| \leqslant \mathop {\bar {\eta }}\nolimits_0 = {\text{const}}$, оценочная функция ${{E}_{Q}}(\eta )$ имеет оптимальный порядок качества:

Определение 3.3. Будем говорить, что регуляризующий алгоритм ${{z}_{\eta }} = {{P}_{\eta }}({{J}_{\eta }},\eta ,\Psi )$ имеет экстраоптимальное качество $Q$ (на ${{M}_{R}}$), если апостериорная оценка его качества – функция ${{E}_{Q}}(\eta )$ вида (3.1) – является оптимальной по порядку при $\eta \to 0$, т.е. найдется определяемая этим алгоритмом константа ${{k}_{1}} > 0$ такая, что

В свете этого определения теорему 3.4 можно интерпретировать следующим образом. Если экстремальная задача (2.1) удовлетворяет условиям (А)–(Г), а функционал качества $Q$ – условию (Е), то для всякого РА, для которого выполнены условия (Д), теорема 3.4 гарантирует оптимальный порядок качества приближенных решений. Согласно определению 3.3, это означает экстраоптимальность качества такого РА (по функционалу $Q$).

Пример 3.1. Экстраоптимальность качества метода регуляризации Тихонова с апостериорным выбором параметра по обобщенному принципу невязки.

Уточним постановку задачи для этого примера. Будем считать, что $Z$ – рефлексивное банахово пространство, $\tau $ – топология слабой сходимости в $Z$, а функционалы $J(z)$, ${{J}_{\delta }}(z)$ – выпуклые и сильно полунепрерывные снизу на выпуклом замкнутом множестве $\mathcal{D} \subset Z$. Функционал $\Omega (z) \geqslant 0$ предполагается строго выпуклым и сильно полунепрерывным снизу на $\mathcal{D}$. Эти предположения обеспечивают выполнение условий (А), (Б) (см. [20, с. 62–64], [12, с. 92–93]). Кроме того, считаем, что выполнены условия аппроксимации (В). Предполагая, что экстремальная задача (2.1) имеет единственное нетривиальное решение $\bar {z} = \bar {z}(J)$ (условие (Г)), будем его искать по приближенным данным $({{J}_{\eta }},\eta ,\Psi )$ с помощью метода регуляризации Тихонова со сглаживающим функционалом вида

Аналогичный результат справедлив и для обобщенного метода невязки и некоторых других алгоритмов из [12], [20], которые также будут иметь экстраоптимальное качество.

Отметим следствие неравенства (3.1) и приведенных выше определений: на множестве ${{M}_{R}}$ любой РА с экстраоптимальным качеством по функционалу $Q$ (определение 3.3) имеет качество, оптимальное по порядку (определение 3.2), так как

4.1. Глобальные и локальные апостериорные оценки точности

Уточним постановку задачи из разд. 2. Пусть $Z$ – банахово пространство с топологией сильной сходимости, а $U$ – нормированное пространство; элементы в этих пространствах обозначим как $z$ и $u$ соответственно. Пусть, далее, $\mathcal{D} \ne \emptyset $ – заданное множество в $Z$, $F:Z \to U$ – некоторый оператор, возможно, нелинейный. Предположим, что операторное уравнение $F(z) = u$ имеет для данной правой части $u \in U$ единственное квазирешение $\bar {z} \in \mathcal{D}$, т.е.

Введем теперь функционал $Q({{z}_{\delta }},\bar {z}) = \left\| {{{z}_{\eta }} - \bar {z}} \right\|$, т.е. рассмотрим точность приближенного решения как его “качество”. Для функционала $Q$ очевидно выполнены условия (Е). Поэтому можно апостериорно оценить точность найденного приближенного квазирешения по схеме из разд. 3. Для этого вычислим величины

Пусть теперь в $Z$ задана топология слабой сходимости и выполнены условия (А)–(Г). Зададим линейный непрерывный функционал $f = \left\langle {f,z} \right\rangle $, определенный на множестве $\mathcal{D}$. Наша задача заключается в приближенном нахождении величины $\left\langle {f,\bar {z}} \right\rangle $ по данным $\left( {{{F}_{h}},{{u}_{\delta }},h,\delta ,\psi } \right)$. Это можно сделать, решив обратную задачу $F(z) = u$ с помощью некоторого РА и затем вычислив по ее приближенному решению ${{z}_{\eta }} \in \mathcal{D}$ величину $\left\langle {f,{{z}_{\eta }}} \right\rangle $. Для оценки точности такого приближения можно использовать функционал качества $Q({{z}_{\eta }},\bar {z}) = \left| {\left\langle {f,{{z}_{\eta }} - \bar {z}} \right\rangle } \right|$, обладающий всеми свойствами (Е). Сама апостериорная оценка качества (3.1) принимает вид

Пусть $Z = Z(T)$ – нормированное пространство функций $z(s)$, определенных в замкнутой области $T \subset {{\mathbb{R}}^{N}}$. Рассмотрим непрерывные функционалы $\left\langle {{{f}_{s}},z} \right\rangle $, которые зависят от точки $s \in T$. Следующие функционалы часто используются при локальных апостериорных оценках точности приближенных решений ${{z}_{\eta }}$.

(а) Поточечная оценка точности приближенных решений:

(б) Оценка точности вычисления среднего значения решения обратной задачи в некоторой окрестности $B(s)$, $B(s) \subset T$, точки $s \in T{\backslash }\partial T$:

(в) Оценка точности взвешенного среднего значения:

Для апостериорных оценок точности из п.п. (а)–(в) справедливы все свойства и утверждения из разд. 3.

4.2. Другие функционалы качества

Можно указать широкий класс функционалов качества, для которых условия (Е) заведомо выполнены. Пусть $f(z)$ есть $\tau $-непрерывный на множестве $\mathcal{D}$ функционал. Будем говорить, что он характеризует качество приближенного решения ${{z}_{\eta }} \in \mathcal{D}$ задачи (2.1), если $Q({{z}_{\eta }},\bar {z}) = \left| {f({{z}_{\eta }}) - f(\bar {z})} \right|$. Для определенного таким образом функционала $Q({{z}_{1}},{{z}_{2}})$ свойства (Е) очевидны. Приведем теперь конкретные примеры.

Пусть $T$ – выпуклая ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{N}}$. Зададим в пространстве ${{L}_{2}}(T)$ функций $z = z(x)$, $x \in T$, множество ${{\mathcal{D}}_{0}}$, на котором определен функционал $J(z)$, и рассмотрим экстремальную задачу: найти элемент, реализующий точную нижнюю грань $inf\{ J(z):z \in {{\mathcal{D}}_{0}}\} $. Предположим, что эта задача имеет единственное решение $\bar {z} \in {{\mathcal{D}}_{0}}$ (условие (Г)) и оно обладает дополнительной гладкостью: $\bar {z}(x)$ принадлежит пространству Соболева $W_{2}^{2}(T)$. Тогда рассматриваемая экстремальная задача сводится к задаче (2.1) с $Z = W_{2}^{2}(T)$ и $\mathcal{D} = {{\mathcal{D}}_{0}} \cap W_{2}^{2}(T)$. Положим теперь $\Omega (z) = \mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{W_{2}^{2}(T)} $ и будем решать экстремальную задачу (2.1), предполагая, что $\tau $ – топология слабой сходимости в $Z = W_{2}^{2}(T)$, что выполнены условия (А)–(В), и используя приближенные данные $({{J}_{\eta }},\eta ,\Psi )$. Применим для этих целей какой-либо метод, дающий приближенное решение ${{z}_{\eta }} \in \mathcal{D}$ со свойствами (Д).

BV-вариация как характеристика качества приближенного решения. Пусть $N \geqslant 2$. Для оценки качества полученного приближенного решения используем функционал BV-вариации (см., например, [39]). Если $z(x) \in W_{2}^{2}(T)$, то в силу вложения $W_{2}^{2}(T) \subset W_{1}^{1}(T)$, он представим в виде $BV(z) = \int_T {\left| {\operatorname{grad} z(x)} \right|} {\kern 1pt} dx$ [39].

Пусть $z(x) \in W_{2}^{2}(T)$, $\{ {{z}_{n}}(x)\} \subset W_{2}^{2}(T)$. Так как пространство $W_{2}^{2}(T)$ компактно вложено в пространство $W_{2}^{1}(T)$ при $N \geqslant 2$ и справедлива оценка

(4.3)

Функционал энтропии как характеристика качества приближенного решения. Изменим приведенную выше постановку задачи, считая, что $N = 2$ и ${{\mathcal{D}}_{0}} = \{ z(x) \in {{L}_{2}}(T):z(x) \geqslant {{\varepsilon }_{0}} = {\text{const}} > 0\} $. Тогда на ${{\mathcal{D}}_{0}}$ определен функционал энтропии

широко используемый в приложениях (см., например, [40]). Из компактности вложения $W_{2}^{2}(T) \subset C(T)$ следует, что этот функционал будет $\tau $-непрерывен на $\mathcal{D} = {{\mathcal{D}}_{0}} \cap W_{2}^{2}(T)$. Поэтому его можно использовать для оценки качества приближенного решения задачи (2.1), вводя $Q({{z}_{\delta }},\bar {z}) = \left| {E({{z}_{\delta }}) - E(\bar {z})} \right|$. При этом снова сохраняют силу результаты разд. 3.

5.1. Глобальные оценки точности

Пример 5.1. Задача, для которой тихоновский алгоритм с оптимальным выбором параметра регуляризации не будет экстраоптимальным.

Предположим, что $Z = \mathcal{D} = U = {{l}_{2}}$ и $z = {{({{z}_{1}},{{z}_{2}},\; \ldots )}^{{\text{т}}}} \in Z$. Рассмотрим уравнение (2.5) с оператором, действующим в ${{l}_{2}}$ и определяемым бесконечной диагональной матрицей $A = \operatorname{diag} (1,q,{{q}^{2}},\; \ldots ,\;{{q}^{n}},\; \ldots )$, $0 < q = {\text{const}} < 1$. Правая часть уравнения задана как $u = {{(1,0,0,\; \ldots )}^{{\text{т}}}} \in U$. Тогда уравнение имеет единственное решение $\bar {z} = {{(1,0,0,\; \ldots )}^{{\text{т}}}} \in Z$. Приближенные данные задачи определим в виде $\left\{ {{{A}_{n}},{{u}_{n}},{{h}_{n}},{{\delta }_{n}}} \right\}$. Здесь ${{A}_{n}} = \operatorname{diag} (1,q,{{q}^{2}},\; \ldots ,\;{{q}^{n}},0,0,\; \ldots .)$, ${{u}_{n}} = {{(1,0,0,\; \ldots ,\;{{q}^{{3n}}},0,0,\; \ldots )}^{{\text{т}}}}$, причем число ${{q}^{{3n}}}$ стоит на $(n + 1)$-й позиции. Погрешности данных определяются как ${{\delta }_{n}} = {{q}^{{3n}}}$, ${{h}_{n}} = {{q}^{{n + 1}}} + {{q}^{{n + 2}}} + \ldots = \tfrac{{{{q}^{{n + 1}}}}}{{1 - q}}$. Применим для нахождения приближенного решения этой обратной задачи метод регуляризации Тихонова (2.8) с $\Omega [z] = \mathop {\left\| z \right\|}\nolimits^2 $ и $f(x) = {{x}^{2}}$. Тогда из (2.12) получим

Изучим теперь для приближенного решения ${{z}_{\eta }} = {{z}^{{{{\alpha }_{{{\text{opt}}}}}}}} = {{z}^{{{{\alpha }_{n}}}}}$ глобальную апостериорную оценку точности: $\varepsilon (\eta ) = sup\left\{ {\left\| {z - {{z}_{\eta }}} \right\|:\left\| z \right\| \leqslant {{R}_{\eta }},\;\left\| {{{A}_{n}}z - {{u}_{n}}} \right\| \leqslant {{\Delta }_{\eta }}} \right\}$, где ${{R}_{\eta }} = C\left\| {{{z}^{{{{\alpha }_{n}}}}}} \right\|$, ${{\Delta }_{\eta }} = C\left\| {{{A}_{n}}{{z}^{{{{\alpha }_{n}}}}} - {{u}_{n}}} \right\|$. Так    как $\left\| {{{z}^{{{{\alpha }_{n}}}}}} \right\| \to \left\| {\bar {z}} \right\| = 1$, то при достаточно больших $n$ выполнены неравенства ${{R}_{\eta }} = C\left\| {{{z}^{{{{\alpha }_{n}}}}}} \right\| \geqslant {{C}_{1}} = {\text{const}} > 1$, ${{\Delta }_{\eta }} \geqslant {{c}_{4}}{{q}^{{2n}}}$, ${{c}_{4}} = {\text{const}} > 0$, и верна оценка

Таким образом, апостериорная оценка точности (4.2) в данном примере не будет оптимальной по порядку, и рассматриваемый РА для данной задачи не является экстраоптимальным. Однако при этом он будет оптимальным по точности.

5.2. Локальные оценки точности

Пусть $Z(T)$ – нормированное пространство функций $z(s)$, определенных в замкнутой области $T \subset {{\mathbb{R}}^{N}}$. Пусть, далее, $\mathcal{D} \ne \emptyset $, $\mathcal{D} \subset C(T)$, – заданное множество в $Z(T)$, наделенное топологией равномерной сходимости $\tau $, $U$ – нормированное пространство с элементами $u$, а $A:\mathcal{D} \to U$ – линейный ограниченный оператор. Будем решать уравнение $Az = u$ с точным оператором и приближенной правой частью, используя некоторый РА, и пусть ${{z}_{\delta }}(s)$ – приближение для точного решения $\bar {z}(s) \in \mathcal{D}$. Нас интересует конкретная локальная оценка качества метода – поточечная апостериорная оценка точности приближения, т.е. величина ${{E}_{s}}(\delta )$ из неравенства

Теорема 5.1. Для того, чтобы регуляризующий алгоритм решения линейной задачи (2.5) с точно заданным оператором $A$ был поточечно экстраоптимальным в точках $s \in {{T}_{0}}$, необходимо и достаточно существование такой константы ${{k}_{1}} > 0$, не зависящей от $s$, что

Пример 5.2. Задача, для которой тихоновский алгоритм, будучи оптимальным по порядку в некоторой точке, не будет экстраоптимальным в этой точке.

Предположим, что $Z = U = \left\{ {z(s) \in {{L}_{2}}[0,1]:z{\text{'}}(0) = z{\text{'}}(1) = 0} \right\}$. Зададим в этом подпространстве гильбертова пространства ${{L}_{2}}[0,1]$ ортонормированный базис $\mathop {\{ {{\varphi }_{k}}\} }\nolimits_{k = 0}^\infty = \mathop {\{ {{\gamma }_{k}}cos\pi ks\} }\nolimits_{k = 0}^\infty $, где ${{\gamma }_{k}}$ – нормирующие коэффициенты. Тогда для элементов $z \in Z$, $u \in U$ справедливы разложения

Введем линейный самосопряженный оператор $A:Z \to U$ по формуле $Az = \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {{{q}^{k}}} {{z}_{k}}{{\varphi }_{k}}(x)$, $0 < q = {\text{const}} < 1$, и определим $\mathcal{D} = \{ z = A{v}:\forall {v} \in Z,\;\left\| {v} \right\| \leqslant r = C{{\left\| A \right\|}^{{ - 1}}}\} $ $\mathcal{D} = \{ z = A{v}:\forall {v} \in Z,\;\left\| {v} \right\| \leqslant r = C{{\left\| A \right\|}^{{ - 1}}}\} $, $C > 1$. Можно  убедиться,  что $\mathcal{D} \subset C[0,1]$. Рассмотрим операторное уравнение (2.5) с таким оператором $A$ и правой частью $u = {{\varphi }_{0}}(x) = 1$. Оно имеет единственное непрерывное решение $\bar {z} = {{\varphi }_{0}}(s) = 1$. Зададим приближенную правую часть уравнения (2.5): ${{u}_{n}} = {{\varphi }_{0}}(x) - {{q}^{n}}{{\varphi }_{n}}(x)$, так что ${{\delta }_{n}} = {{q}^{n}}$. Применим для нахождения приближенного решения задачи (2.5) метод регуляризации Тихонова с $\Omega [z] = \mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}}^2 $. Для такого $\Omega [z]$ выполнены условия (А), (Б) с топологией равномерной сходимости. Из (2.12) получим

6.1. Алгоритмы глобальной апостериорной оценки точности

Сначала рассмотрим численные алгоритмы глобальной апостериорной оценки точности приближенных решений задач вида (2.6) с общим нелинейным оператором ${{F}_{h}}$ и регуляризатором общего вида $\Omega $, т.е. алгоритмы нахождения величины

Лемма 6.1. Предположим, что при данном $\eta $, $0 < \left\| \eta \right\| \leqslant {{\eta }_{0}}$, справедливо включение $\bar {z} \in {{Z}_{{\Omega \eta }}}$ и приближенное решение ${{z}_{\eta }}$ получено с помощью нетривиального регуляризующего алгоритма, т.е. ${{z}_{\eta }} = {{P}_{\eta }}({{F}_{h}},{{u}_{\delta }},h,\delta ) \ne \bar {z}$. Тогда все решения $\tilde {z}$ задачи (6.1) находятся среди решений следующих экстремальных задач:

Из леммы 6.1 следует, что $\tilde {z} \ne {{z}_{\eta }}$ в случае, когда уравнение (2.6) решается с помощью нетривиального алгоритма ${{P}_{\eta }}$ и $\bar {z} \in {{Z}_{{\Omega \eta }}}$. Справедлива также

Лемма 6.2. Если приближенное решение ${{z}_{\eta }}$ получено с помощью нетривиального регуляризующего алгоритма и выполнены условия (Д), то, по крайней мере, для достаточно малых $\eta $ все решения экстремальной задачи (6.1) находятся среди решений задачи (6.3).

Приведем необходимые условия локальных максимумов в задаче (6.1). Для этого уточним постановку задачи. Предположим, что $Z$ и $U$ – гильбертовы пространства и $\mathcal{D} = H$, где $H$ – вложенное в $Z$ банахово пространство, на котором определены дифференцируемые по Фреше в $Z$ оператор ${{F}_{h}}$ и функционал $\Omega [z]$. Обозначим как $F_{h}^{'}(z)$, $\Omega {\text{'}}{\kern 1pt} [z]$ производные Фреше величин ${{F}_{h}}(z)$, $\Omega [z]$. В [24], [25] доказана

Теорема 6.1. Предположим, что выполняются условия леммы 6.1 и пусть $\tilde {z}$ – произвольное решение задачи (6.1). Если справедливы неравенства $(F_{h}^{'}(\tilde {z})){\text{*}}({{F}_{h}}(\tilde {z}) - {{u}_{\delta }}) \ne 0$ и $\Omega {\text{'}}{\kern 1pt} [\tilde {z}] \ne 0$, то возможны следующие варианты:

а) или $\tilde {z}$ есть решение задачи (6.2) и существуют такие числа $\alpha ,\beta > 0$, что обеспечены равенства:

б) или $\tilde {z}$ есть решение задачи (6.2) и существует такое число $\beta > 0$, что выполнены равенства:

в) или $\tilde {z}$ есть решение задачи (6.3) и существует такое число $\alpha > 0$, что справедливы соотношения:

г) или $\tilde {z}$ есть решение задачи (6.4) и существует такое число $\beta > 0$, что выполнены соотношения:

Замечание 6.1. Пусть удовлетворяются условия леммы 6.2 и функционал $\Omega [z]$ непрерывно дифференцируем по Фреше в некоторой окрестности точки $\bar {z}$, причем $\Omega {\text{'}}{\kern 1pt} [\bar {z}] \ne 0$. Тогда можно доказать (см. [24], [25]), что при достаточно малых $\eta $ выполняются неравенства из условий теоремы 33 и, кроме того, неравенство $\Omega [\tilde {z}] < {{R}_{\eta }}$. Это означает, что при сделанных предположениях в теореме реализуется только вариант из пункта в).

Сформулируем алгоритм вычисления глобальной апостериорной оценки (6.1) по данным $\{ {{F}_{h}},{{u}_{\delta }},\Omega ,{{z}_{\eta }},{{R}_{\eta }},{{\Delta }_{\eta }}\} $, считая справедливой теорему 6.1.

Алгоритм 1

Предварительный шаг. Задание множества допустимых значений параметров $\alpha $, $\beta $, которые будут использованы в алгоритме.

Шаг 1. Решение задачи (6.2) с помощью необходимых условий из п. а) теоремы 6.1:

А) нахождение решений ${{z}^{{\alpha \beta }}}$ уравнения $z - \alpha (F_{h}^{'}[z]){\text{*}}({{F}_{h}}(z) - {{u}_{\delta }}) - \beta \Omega {\text{'}}{\kern 1pt} [z] = {{z}_{\eta }}$ для допустимых значений параметров $\alpha > 0$, $\beta > 0$; Б) выбор множества ${{\mathcal{A}}_{1}} = {\text{\{ }}(\alpha *,\beta *){\text{\} }}$ тех параметров, для которых равенства $\Omega [{{z}^{{\alpha \beta }}}] = {{R}_{\eta }}$, $\left\| {{{F}_{h}}({{z}^{{\alpha \beta }}}) - {{u}_{\delta }}} \right\| = {{\Delta }_{\eta }}$ выполнены с заданной (относительной) точностью $\nu > 0$:

В) нахождение числа ${{M}_{1}} = max\left\{ {\left\| {{{z}^{{\alpha *\beta *}}} - {{z}_{\eta }}} \right\|:(\alpha *,\beta *) \in {{\mathcal{A}}_{1}}} \right\}$; если множество ${{\mathcal{A}}_{1}}$ пусто, то считаем ${{M}_{1}} = 0$.

Шаг 2. Решение задачи (6.2) с помощью необходимых условий из п. б) теоремы 6.1:

А) нахождение решений ${{z}^{\beta }}$ уравнения $\beta \Omega {\text{'}}{\kern 1pt} [z] + (F_{h}^{'}(z)){\text{*}}({{F}_{h}}(z) - {{u}_{\delta }}) = 0$ для допустимых значений $\beta > 0$; Б) выбор множества ${{\mathcal{A}}_{2}} = {\text{\{ }}\beta *{\text{\} }}$ тех значений параметра, для которых равенства $\Omega [{{z}^{{\beta *}}}] = {{R}_{\eta }}$, $\left\| {{{F}_{h}}({{z}^{{\beta *}}}) - {{u}_{\delta }}} \right\| = {{\Delta }_{\eta }}$ выполнены с заданной точностью $\nu $; В) нахождение числа ${{M}_{2}} = max\left\{ {\left\| {{{z}^{{\beta *}}} - {{z}_{\eta }}} \right\|:\beta * \in {{\mathcal{A}}_{2}}} \right\}$; если ${{\mathcal{A}}_{2}} = $, то считаем ${{M}_{2}} = 0$.

Шаг 3. Решение задачи (6.3) с помощью необходимых условий из п. в) теоремы 6.1: А) нахождение  решений ${{z}^{\alpha }}$  уравнения $z - \alpha (F_{h}^{\prime }(z)){\text{*}}({{F}_{h}}(z) - {{u}_{\delta }}) = {{z}_{\eta }}$ для допустимых значений параметра $\alpha > 0$; Б) выбор множества ${{\mathcal{A}}_{3}} = {\text{\{ }}\alpha *{\text{\} }}$ тех значений параметра, для которых с заданной точностью $\varepsilon $ выполнено равенство $\left\| {{{F}_{h}}({{z}^{{\alpha *}}}) - {{u}_{\delta }}} \right\| = {{\Delta }_{\eta }}$ и $\Omega [{{z}^{{\alpha *}}}] < {{R}_{\eta }}$; В) нахождение числа ${{M}_{3}} = max\left\{ {\left\| {{{z}^{{\alpha *}}} - {{z}_{\eta }}} \right\|:\alpha * \in {{\mathcal{A}}_{3}}} \right\}$; если ${{\mathcal{A}}_{3}} = $, то ${{M}_{3}} = 0$.

Шаг 4. Решение задачи (6.4) с помощью необходимых условий из п. г) теоремы 6.1:

А) нахождение решений ${{z}^{\beta }}$ уравнения $z - \beta \Omega {\text{'}}{\kern 1pt} [z] = {{z}_{\eta }}$ для допустимых значений $\beta > 0$; Б) выбор множества ${{\mathcal{A}}_{4}} = {\text{\{ }}\beta *{\text{\} }}$ тех значений параметра, для которых с точностью $\nu $ выполнено равенство $\Omega [{{z}^{{\beta *}}}] = {{R}_{\eta }}$ и $\left\| {{{F}_{h}}({{z}^{{\beta *}}}) - {{u}_{\delta }}} \right\| < {{\Delta }_{\eta }}$; В) нахождение числа ${{M}_{4}} = max\left\{ {\left\| {{{z}^{{\beta *}}} - {{z}_{\eta }}} \right\|:\beta * \in {{A}_{4}}} \right\}$; если ${{\mathcal{A}}_{4}} = $, то ${{M}_{4}} = 0$.

Шаг 5. Нахождение элементов ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, для которых нарушаются условия теоремы 6.1, т.е. решение уравнений $(F_{h}^{'}(z)){\text{*}}({{F}_{h}}(z) - {{u}_{\delta }}) = 0$, $\Omega {\text{'}}{\kern 1pt} [{{z}_{2}}] = 0$ и проверка ограничений $\Omega [{{z}_{{1,2}}}] \leqslant {{R}_{\eta }}$, $\left\| {{{F}_{h}}({{z}_{{1,2}}}) - {{u}_{\delta }}} \right\| \leqslant {{\Delta }_{\eta }}$; нахождение числа ${{M}_{0}} = max\left\{ {\left\| {{{z}_{1}} - {{z}_{\eta }}} \right\|,\left\| {{{z}_{2}} - {{z}_{\eta }}} \right\|} \right\}$. Если такие элементы ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ не существуют, то считается, что ${{M}_{0}} = 0$.

Шаг 6. Вычисление точной верхней грани (6.1): $\varepsilon (\eta ) = max{\text{\{ }}{{M}_{1}},{{M}_{2}},{{M}_{3}},{{M}_{4}},{{M}_{0}}{\text{\} }}$.

Справедливость последнего равенства следует из теоремы 6.1. Итак, предлагаемый алгоритм дает искомую апостериорную оценку точности приближенного решения ${{z}_{\eta }}$.

Замечание 6.2. 1) В п. 1 алгоритма допустимые параметры ($\alpha $, $\beta $) при практических расчетах обычно берутся на сетках вида $\alpha = {\text{\{ }}{{\alpha }_{0}}q_{1}^{i},\;i = 0,1,\; \ldots ,\;m{\text{\} }}$, $\beta = {\text{\{ }}{{\beta }_{0}}q_{2}^{j},j = 0,1,\; \ldots ,\;n{\text{\} }}$, где ${{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}} > 0$, $0 < {{q}_{1}}$, ${{q}_{2}} < 1$, $m,n \in \mathbb{N}$ – заданные константы. Иногда максимальные значения параметров ${{\alpha }_{0}}$, ${{\beta }_{0}}$ удается оценить по схеме из [20, с. 154], [12, с. 308].

2) Уравнения, решаемые в пунктах А) алгоритма, – это операторные (вообще говоря, нелинейные) уравнения II рода, так что при некоторых параметрах $\alpha ,\beta > 0$ они могут не иметь единственного решения.

3) Если верны условия из замечания 6.1, то при $0 < \left\| \eta \right\| \leqslant {{\eta }_{0}}$ можно выполнять только шаги 3 и 6 алгоритма. Если уравнение (2.5) линейное, то в пункте А) шага 3 нужно решать линейные операторные уравнения II рода $(E - \alpha A_{h}^{ * }{{A}_{h}})z = {{z}_{\eta }} - \alpha A_{h}^{ * }{{u}_{\delta }}$.

6.2. Алгоритмы локальной апостериорной оценки точности

Следуя [26], [27], изучим задачу вычисления величины

Лемма 6.3. Пусть $f[z]$ – некоторый функционал, ограниченный на некотором множестве $\mathcal{Z}$, $\mathcal{Z} \subset Z$, и $f* = sup\left\{ {\left| {f[z]} \right|:z \in \mathcal{Z}} \right\}$. Пусть далее, ${{f}^{{( + )}}} = sup{\text{\{ }}f[z]:z \in \mathcal{Z}{\text{\} }}$ и ${{f}^{{( - )}}} = sup{\text{\{ }} - f[z]:z \in \mathcal{Z}{\text{\} }}$. Тогда $f{\kern 1pt} {\text{*}} = max\{ {{f}^{{( + )}}},{{f}^{{( - )}}}\} $.

В силу предположение (Б) семейство элементов ${{\Omega }_{{{{R}_{\eta }}}}} = {\text{\{ }}z \in \mathcal{D}:\Omega [z] \leqslant {{R}_{\eta }}{\text{\} }}$ $\tau $-секвенциально компактно. Поэтому при фиксированном $\eta $ $\tau $-непрерывный функционал $f[z] = \left\langle {f,z - {{z}_{\eta }}} \right\rangle $ ограничен на ${{\Omega }_{{{{R}_{\eta }}}}}$, а значит, и на ${{\mathcal{Z}}_{\eta }}$. Тогда из леммы 6.3, примененной к задаче (6.5), получается равенство

Алгоритм 2

Шаг 1. Вычислить число $E_{f}^{{( + )}}(\eta )$, решая задачу (6.7) минимизации линейного функционала $\left\langle {f,{{z}_{\eta }} - z} \right\rangle $.

Шаг 2. Вычислить число $E_{f}^{{( - )}}(\eta )$, решая задачу (6.8) минимизации линейного функционала $\left\langle {f,z - {{z}_{\eta }}} \right\rangle $.

Шаг 3. Найти величину ${{E}_{f}}(\eta )$ по формуле (6.6).

Применив алгоритм 2, можно найти локальную апостериорную оценку (6.5).

Из условия (Б) следует, что точные грани в задачах (6.7), (6.8) минимизации $\tau $-непрерывных функционалов достигаются на некоторых элементах.

Если $\mathcal{D} = Z$, оператор ${{F}_{h}}$ линеен, а функционал $\Omega [z]$ выпуклый, то задачи на минимум (6.7), (6.8) – это задачи выпуклого программирования. Для их решения имеется развитое программное обеспечение.

6.3. Методы апостериорного оценивания для линейных задач

В случае решения линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве алгоритмы вычисления апостериорных оценок (6.1), (6.5) можно упростить (см. [36], [37]). Уточним постановку задачи, считая, что выполнены следующие предположения:

1) $Z$, $U$ – гильбертовы пространства со скалярными произведениями $\mathop {\left( { \cdot , \cdot } \right)}\nolimits_Z $, $\mathop {\left( { \cdot , \cdot } \right)}\nolimits_U $ и нормами $\mathop {\left\| {\, \cdot \,} \right\|}\nolimits_Z $, $\mathop {\left\| {\, \cdot \,} \right\|}\nolimits_U $; там, где это не вызывает сомнений, индексы у скалярных произведений и норм будем опускать;

2) функционал $\Omega $ имеет специальный вид $\Omega [z] = \left\| {Lz} \right\|$, где $L:Z \to Z$ – линейный замкнутый оператор с областью определения $D(L)$, которая плотна в $Z$; считается также, что $\left\| {Lz} \right\| \geqslant k\left\| z \right\|$, $\forall z \in D(L)$, где $k = {\text{const}} > 0$, и поэтому оператор $L$ имеет нулевое ядро: $N(L) = 0$;

3) $\mathcal{D} = D(L)$ и точное решение удовлетворяет условиям $\bar {z} \in D(L)$, $\bar {z} \ne 0$;

4) линейные и ограниченные операторы $A,{{A}_{h}}:Z \to U$ удовлетворяют условию аппроксимации: $\left\| {{{A}_{h}}z - Az} \right\| \leqslant h\left\| {Lz} \right\|$, $\forall z \in D(L)$; кроме того, $N(A) = 0$;

5) приближенные решения ${{z}_{\eta }} \in D(L)$, получаемые с помощью используемого РА для приближенного решения задачи $Az = u$: а) обеспечивают сходимости ${{z}_{\eta }}\xrightarrow{Z}\bar {z}$, $\left\| {L{{z}_{\eta }}} \right\| \to \left\| {L\bar {z}} \right\|$ при $\eta \to 0$; б) удовлетворяют условию $\left\| {{{A}_{h}}{{z}_{\eta }} - {{u}_{\delta }}} \right\| > 0$, $\left\| {L{{z}_{\eta }}} \right\| > 0$ при рассматриваемых $\eta $.

Отметим, что из предположений 2) следует, что можно ввести новое гильбертово пространство $H$, вложенное в $Z$, со скалярным произведением $\mathop {\left( {z,{v}} \right)}\nolimits_H = \mathop {\left( {Lz,L{v}} \right)}\nolimits_Z $, и порождаемой им нормой $\mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_H $ (см., например, [14]).

Задачи (6.1), (6.5) принимают тогда вид

Теорема 6.2. Выполнены равенства

Теорема 6.3. Пусть выполнено дополнительное условие $N({{A}_{h}}) = 0$. Тогда целевые функционалы

Заметим, что ограничение в задачах (6.12) определяется непрерывно дифференцируемой в $H$ функцией $\left\| w \right\|_{Z}^{2}$. Поэтому теорема 6.3 обосновывает возможность применения известных градиентных методов оптимизации (см., например, [4], [43] и др.) и их реализаций из пакетов MATLAB, SciLab, Python для нахождения величин ${{\rho }_{m}}(\eta )$, ${{\sigma }_{m}}(\eta )$ из (6.12).

8.1. Применение алгоритма 1 для вычисления глобальных оценок точности

Пример 8.1. Обратная ретроспективная задача теплопроводности (диффузии).

Прямая задача имеет вид: найти классическое решение ${v}(x,y,t)$, $(x,y) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, $t \geqslant 0$, задачи Коши

(8.1)

Пусть функция $u(x,y)$ из уравнения (8.2) известна с относительной ошибкой $\delta $, т.е. задана функция ${{u}_{\delta }}(x,y)$, для которой $\mathop {\left\| {u(x,y) - {{u}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} \leqslant \delta \mathop {\left\| {{{u}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} $. Как в примере 2.3, применим для решения уравнения (8.2) с данными ${\text{\{ }}A,{{u}_{\delta }},\delta {\text{\} }}$ метод регуляризации Тихонова в пространстве $W_{2}^{2}({{\mathbb{R}}^{2}})$ с нахождением параметра регуляризации по принципу невязки. Используем стабилизирующий функционал $\Omega [z] = \mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{W_{2}^{2}}^2 = \mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}}^2 + \mathop {\left\| {{{\Delta }_{2}}z} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}}^2 $. В разд. 3 3 указано, что такой алгоритм будет экстраоптимальным. Он сводится к нахождению решений $z = z_{\delta }^{\alpha }$ операторного уравнения II рода

Согласно теории из разд. 3, пп. 4.1, 6.1, глобальная апостериорная оценка точности приближенного решения ${{z}_{\delta }}$ получается так. Вычислим величины ${{R}_{\delta }} = C\mathop {\left\| {{{z}_{\delta }}} \right\|}\nolimits_{W_{2}^{2}}^2 $, ${{\Delta }_{\delta }} = C\left\| {A{{z}_{\delta }} - {{u}_{\delta }}} \right\|$ и применим алгоритм 33 к вычислению функции

С вычислительной точки зрения, уравнение (8.3) удобно решать в спектральной форме (как в [18], [19]). Для этого введем двумерное преобразование Фурье $F[z](\omega )$ функции $z({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, ${{x}_{1}} = x$, ${{x}_{2}} = y$, в котором $\omega = ({{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}})$. Решение уравнения (8.3) с оператором типа свертки $A$ записывается в виде (см. [19]) $z_{\delta }^{\alpha }({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{F}^{{ - 1}}}\{ F[z_{\delta }^{\alpha }](\omega )\} ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, где

В алгоритме 1 апостериорной оценки точности при решении задачи (8.4) используются решения ${{z}^{{\mu \nu }}}$ одного и того же операторного уравнения $(E - \mu A{\text{*}}A - \nu \Omega {\text{'}})z = {{z}_{\delta }} - \mu A{\text{*}}{{u}_{\delta }}$, а также функции ${{\gamma }^{2}}(\mu ,\nu ) = \Omega [{{z}^{{\mu \nu }}}]$, ${{\beta }^{2}}(\mu ,\nu ) = \mathop {\left\| {A{{z}^{{\mu \nu }}} - {{u}_{\delta }}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}}^2 $, для допустимых значений параметров $\mu ,\nu \geqslant 0$, $\mu + \nu > 0$. Решая это уравнение с помощью преобразования Фурье и учитывая, что $F[\Omega {\text{'}}{\kern 1pt} [z]](\omega ) = {{r}^{2}}(\omega )F[z](\omega )$, получим формулу ${{z}^{{\mu \nu }}} = {{F}^{{ - 1}}}{\text{\{ }}F[{{z}^{{\mu \nu }}}](\omega ){\text{\} }}$, где

Если носитель решения $\bar {z}(x,y)$ лежит в прямоугольнике $\Pi = [ - {{L}_{x}},{{L}_{x}}] \times [ - {{L}_{y}},{{L}_{y}}]$, то можно записать приближенное решение и алгоритм апостериорной оценки его точности в дискретной форме, применяя стандартную процедуру конечномерной аппроксимации, которая подробно описана, например, в [19]. Она использует равномерные сетки ${\text{\{ }}({{x}_{i}},{{y}_{i}}){\text{\} }} = {\text{\{ }}({{\xi }_{i}},{{\eta }_{j}}){\text{\} }} = $ $ = \left\{ {\left( {\left( {i - \tfrac{N}{2}} \right){{\Delta }_{x}},\left( {j - \tfrac{N}{2}} \right){{\Delta }_{y}}} \right)} \right\}$, $i,j = 0,1,\; \ldots ,\;N - 1$, с шагами ${{\Delta }_{x}}$, ${{\Delta }_{y}}$, заданные в $\Pi $; $N$ – четное. При этом в приведенных формулах функции двух переменных $K$, $z$, ${{u}_{\delta }}$ заменяются на матрицы $\hat {K} = [K({{x}_{i}},{{y}_{j}}){{\Delta }_{x}}{{\Delta }_{y}}]$, $\hat {z} = [z({{\xi }_{i}},{{\eta }_{j}})]$, $\hat {u} = [u({{x}_{i}},{{y}_{j}})]$; $i,j = 0,1,\; \ldots ,\;N - 1$, а преобразования Фурье $F[K](\omega )$, $F[z](\omega )$, $F[{{u}_{\delta }}](\omega )$ заменяются на двумерные дискретные преобразования Фурье $\hat {F}(\hat {K})$, $\hat {F}(\hat {z})$, $\hat {F}(\hat {u})$. Множители $\tfrac{1}{{2\pi }}$ заменяются на $\tfrac{1}{N}$.

Конкретизируем задачу и возьмем безразмерные параметры уравнения (8.2) такие же, как в [46]: $a = 0.2$, $t = 0.075$, $\tau = 0.05$, ${{L}_{x}} = {{L}_{y}} = 0.5$. Эти величины соответствуют обезразмеренным реальным физическим параметрам ретроспективной обратной задачи диффузии некоторого загрязнителя в водоемах. Для точного модельного решения, показанного на фиг. 1а, приближенные решения ${{z}_{\delta }}(x,y)$ вычислялись для возмущенных данных обратной задачи ${{u}_{\delta }}(x,y)$ с различными уровнями ошибок $\delta $. Точности полученных приближений оценивались путем решения задачи (8.4). Вычисленная зависимость относительной апостериорной точности приближения от $\delta $, т.е функция ${{\varepsilon }_{1}}(\delta ) = {{\mathop {\left\| {\tilde {z}(x,y) - {{z}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\mathop {\left\| {\tilde {z}(x,y) - {{z}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} } {\mathop {\left\| {{{z}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} }}} \right. \kern-0em} {\mathop {\left\| {{{z}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} }}$, показана на фиг. 1б. Для сравнения там же приведена истинная зависимость относительной ошибки приближенного решения ${{\Delta }_{{{{L}_{2}}}}}(\delta ) = {{\mathop {\left\| {\bar {z}(x,y) - {{z}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\mathop {\left\| {\bar {z}(x,y) - {{z}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} } {\mathop {\left\| {{{z}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} }}} \right. \kern-0em} {\mathop {\left\| {{{z}_{\delta }}(x,y)} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{R}^{2}})} }}$ от $\delta $. На фиг. 1в показано также решение ${{\tilde {z}}_{\delta }}$ задачи (8.4) при $\delta = 0.03$. Для использованной в расчетах сетки с $N = 256$ погрешность конечномерной аппроксимации оператора $A$ оказалась не существенной при рассмотренных $\delta $.

Фиг. 1.

Пример 8.1. (а) Точное решение; (б) модельная оценка точности ${{\Delta }_{{{{L}_{2}}}}}(\eta )$ – кривая 1 и апостериорная оценка точности ${{\varepsilon }_{1}}(\delta )$ – кривая 2; (в) решение задачи (8.4) для $\delta = 0.03$.

Пример 8.2. Решение линейного интегрального уравнения Фредгольма I рода на классе функций с ограниченной вариацией.

Рассмотрим линейное интегральное уравнение Фредгольма I рода

Фиг. 2.

(а) Пример 8.2: $\bar {z}$ – тонкая линия, ${{z}_{\delta }}$ – жирная линия, $\mathop {\tilde {z}}\nolimits_\delta $ – кружки. (б) Пример 8.2: модельная оценка точности ${{\Delta }_{{{{L}_{2}}}}}(\delta )$ – кривая 1 и апостериорная оценка точности ${{\varepsilon }_{2}}(\delta )$ – кривая 2. (в) Пример 8.3: модельная оценка точности ${{\Delta }_{{{{L}_{2}}}}}(\delta )$ – кривая 1 и апостериорная оценка точности ${{\varepsilon }_{3}}(\delta )$ – кривая 2.

В этом примере конечномерные операторные уравнения из алгоритма 1 (шаги 1, 2, 4) являются нелинейными. Не останавливаясь на деталях, отметим, что они решались итерационным методом.

Пример 8.3. Решение нелинейной обратной задачи с помощью тихоновской регуляризации второго порядка.

В заключение рассмотрим широко известную модельную нелинейную обратную задачу [47]: зная функции $u(x) \in {{C}^{2}}[0,1]$, $f(x) \in C[0,1]$, найти коэффициент $a(x) \in {{C}^{1}}[0,1]$, $a(x) > 0$, в краевой задаче

8.2. Применение алгоритма 2 для вычисления локальных оценок точности

Пример 8.4. Апостериорная оценка поточечной точности гладкого решения.

Снова рассмотрим линейное интегральное уравнение (8.6), но уже с точным решением $\bar {z}(s) = {{(1 - {{s}^{2}})}^{2}} \in W_{2}^{1}[ - 1,1]$. Считаем $Z = U = {{L}_{2}}[ - 1,1]$, $\mathcal{D} = W_{2}^{1}[ - 1,1]$ и будем использовать регуляризатор $\Omega [z] = \mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{W_{2}^{1}[ - 1,1]}^2 $. Вычислим по решению $\bar {z}(s)$ правую часть уравнения $u(x)$ и наложим на нее аддитивную нормально распределенную помеху с нулевым средним так, чтобы приближенная правая часть ${{u}_{\delta }}$ имела относительную ошибку ${{\mathop {\left\| {{{u}_{\delta }} - u} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - 1,1]} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\mathop {\left\| {{{u}_{\delta }} - u} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - 1,1]} } {\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - 1,1]} }}} \right. \kern-0em} {\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}[ - 1,1]} }} = \delta $. После дискретизации задачи на равномерных сетках $\left\{ {{{x}_{i}} = {{s}_{i}} = - 1 + 2(i - 1){\text{/}}(N - 1),\,i = 1,\; \ldots ,\;N} \right\}$ с шагом $\hat {h} = 2{\text{/}}(N - 1)$ по $x$, $s$ для $N = 201$ и аппроксимации оператора $A$ по формуле трапеций, решим полученную систему линейных уравнений с приближенными (сеточными) данными

Оценим поточечную ошибку полученного конечномерного приближенного решения $\mathop {\hat {z}}\nolimits_\eta = \mathop {\{ {{{\hat {z}}}_{\eta }}({{s}_{j}})\} }\nolimits_{j = 1}^N $, используя алгоритм 2 для избранных точек сетки с номерами из некоторого множества $\mathcal{M} \subset {\text{\{ }}1,2,\; \ldots ,\;N{\text{\} }}$.

На фиг. 3 изображены точное решение задачи (8.6), приближенные решения для различных значений $\delta $ и полученные в избранных точках сетки ($\dim \mathcal{M} = 41$) апостериорные оценки точности в виде коридоров ошибок $[{{\hat {z}}_{\eta }}({{s}_{i}}) - {{\hat {E}}_{{{{s}_{i}}}}}(\eta ),{{\hat {z}}_{\eta }}({{s}_{i}}) + {{\hat {E}}_{{{{s}_{i}}}}}(\eta )]$ для всех $i \in \mathcal{M}$.

Фиг. 3.

Пример 8.4. Слева направо – результаты для $\delta = 0.01,0.03,0.05,0.07$: точное решение $\bar {z}(s) = {{(1 - {{s}^{2}})}^{2}}$ задачи (8.6) (жирная линия), приближенное решение (пунктир) и коридор ошибок в избранных точках (линии с точками).

Пример 8.5. Оценка точности разрывного решения.

Теперь будем предполагать, что уравнение (8.6) имеет разрывное точное решение $\bar {z}(s) = \operatorname{sign} (s)(1 - \left| s \right|) \in V[ - 1,1]$. Как  в  примере 8.2,  используем для нахождения приближенного решения метод регуляризации Тихонова с функционалом $\Omega [z] = \mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{V[ - 1,1]} = \left| {z( - 1)} \right| + $ $ + \;\left| {z(1)} \right| + \vee _{{ - 1}}^{1}(z)$. Тогда $\bar {z}(s)$ будет единственным в существенном $\Omega $-оптимальным решением задачи (см. [20, гл. 4]). Применим ту же сеточную аппроксимацию, что и в примере 8.4, и заменим функционал $\Omega [z]$ на его сглаженный конечномерный аналог

Результаты оценки точности показаны на фиг. 4. Видно, что для рассмотренных $\delta $ точное решение попадает в найденный коридор ошибок около приближенного решения.

Фиг. 4.

Пример 8.5. Слева направо – результаты для $\delta = 0.01$, 0.03, 0.05, 0.07: точное решение $\bar {z}(s) = \operatorname{sign} (s)(1 - \left| s \right|)$ (жирная линия), приближенное решение (пунктир) и коридор ошибок в избранных точках (линии с точками).

Пример 8.6. Двумерная обратная задача.

Теперь рассмотрим хорошо известную задачу продолжения трехмерного потенциального поля ${v}({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$, создаваемого источниками, которые лежат в полупространстве ${{x}_{3}} < 0$ (см. [18] и др.). В этой задаче требуется по функции $u({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {v}({{x}_{1}},{{x}_{2}},\nu )$ на плоскости ${{x}_{3}} = \nu $ найти функцию $\bar {z}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {v}({{x}_{1}},{{x}_{2}},\zeta )$ на плоскости ${{x}_{3}} = \zeta $ при условии $0 < \zeta < \nu $. Функции $\bar {z}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ и $u({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ связаны равенством $A\bar {z} = u$. Здесь

Пусть правая часть $u({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ уравнения $A\bar {z} = u$ известна с ошибкой $\delta $, т.е. задана функция ${{u}_{\delta }}$ такая, что $\mathop {\left\| {{{u}_{\delta }} - u} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}({{\mathbb{R}}^{2}})} \leqslant \delta $. Как в примере 8.1, используем для решения этого уравнения с данными ${\text{\{ }}A,{{u}_{\delta }},\delta {\text{\} }}$ метод регуляризации Тихонова в форме (8.3) с выбором параметра регуляризации $\alpha = \alpha (\delta )$ по принципу невязки [14]. В итоге приближенное решение имеет вид ${{z}_{\delta }} = z_{\delta }^{{\alpha (\delta )}}(s)$.

Метод регуляризации снова применим в спектральной форме, так что приближенное решение находится из (8.5) с $K = K({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \tfrac{{\nu - \zeta }}{{2\pi }}{{[{{({{x}_{1}})}^{2}} + {{({{x}_{2}})}^{2}} + {{(\nu - \zeta )}^{2}}]}^{{ - 3/2}}}$ и с $r(\omega ) = \sqrt {1 + {{{(\omega _{1}^{2} + \omega _{2}^{2})}}^{2}}} $, $F{\text{*}}[{\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ](\omega )$.

Используя теорему Планшереля, можно, как и в примере 8.1, выписать функционалы $\mathop {\left\| {Az - {{u}_{\delta }}} \right\|}\nolimits_{{{L}_{2}}} $ и $\Omega [z]$, используемые при выборе параметра регуляризации и в алгоритме 2 вычисления апостериорной оценки ${{E}_{s}}(\eta )$.

Аналогично примеру 8.1 проведем и дискретизацию задачи, используя двумерную равномерную сетку $\hat {x} = {{\hat {x}}_{1}} \times {{\hat {x}}_{2}} = {\text{\{ }}({{x}_{{1i}}},{{x}_{{2j}}}){\text{\} }}$, $i,j = 0,1,\; \ldots ,\;N - 1$, с шагами $\Delta {{x}_{1}}$, $\Delta {{x}_{2}}$, заданную в области $\Pi = [0,{{a}_{1}}] \times [0,{{a}_{2}}]$ при “достаточно больших” ${{a}_{{1,2}}} > 0$.

Такой подход был применен для решения уравнения $A\bar {z} = u$ при $\zeta = 0.15$, $\nu = 0.25$ с точным решением $\bar {z}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$, вычисляемым по формуле (8.10) для функции источника $\bar {w}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})\;{\text{ = }}\;{\text{20}}\chi ({{T}_{1}}) + \chi ({{T}_{2}})$ $\bar {w}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})\;{\text{ = }}\;{\text{20}}\chi ({{T}_{1}}) + \chi ({{T}_{2}})$. Здесь множества ${{T}_{1}}$, ${{T}_{2}}$ задаются как ${{T}_{1}} = {\text{\{ }}({{x}_{1}},{{x}_{2}}):{{({{x}_{1}} - 0.32)}^{2}} + {{({{x}_{2}} - 0.32)}^{2}} < 0.0004{\text{\} }}$ ${{T}_{1}} = {\text{\{ }}({{x}_{1}},{{x}_{2}}):{{({{x}_{1}} - 0.32)}^{2}} + {{({{x}_{2}} - 0.32)}^{2}} < 0.0004{\text{\} }}$, ${{T}_{2}} = {\text{\{ }}({{x}_{1}},{{x}_{2}}):{{({{x}_{1}} - 0.6)}^{2}} + ({{x}_{1}} - 0.6)({{x}_{2}} - 0.6) + {{({{x}_{2}} - 0.6)}^{2}} < 0.01{\text{\} }}$ ${{T}_{2}} = {\text{\{ }}({{x}_{1}},{{x}_{2}}):{{({{x}_{1}} - 0.6)}^{2}} + ({{x}_{1}} - 0.6)({{x}_{2}} - 0.6) + {{({{x}_{2}} - 0.6)}^{2}} < 0.01{\text{\} }}$, а $\chi ( \cdot )$ есть характеристическая функция множества. Вид точного решения в области $\Pi = [0,\;1] \times [0,\;1]$ представлен на фиг. 5 слева. По этому решению с помощью вытекающей из (8.9) формулы $u = {{F}^{{ - 1}}}{\text{\{ }}F[K](\omega )F[\bar {z}](\omega ){\text{\} }}$ вычислялась функция $u({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – модельная точная правая часть уравнения $A\bar {z} = u$. Расчеты велись на “мелких” сетках $\hat {x} = \hat {\omega }$ с $N = 512$. Затем функция $u({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ возмущалась нормально распределенной случайной ошибкой так, что полученная приближенная правая часть уравнения ${{u}_{\delta }}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ удовлетворяла неравенству ${{\left\| {u - {{u}_{\delta }}} \right\|}_{{{{L}_{2}}(\Pi )}}}\left\| {{{u}_{\delta }}} \right\|_{{{{L}_{2}}(\Pi )}}^{{ - 1}} \leqslant \bar {\delta }$, где число $\bar {\delta }$ есть уровень относительной ошибки приближенных данных ${{u}_{\delta }}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ задачи. Обратная задача нахождения функции $\bar {z}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ по функции ${{u}_{\delta }}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ решалась на относительно “грубых” сетках $\hat {x} = \hat {\omega }$ с $N = 128$ для различных уровней погрешности данных $\bar {\delta }$. При этом погрешность конечномерного приближения оператора была пренебрежимой по сравнению с ошибками правой части уравнения. Затем производилось поточечное оценивание точности полученного приближенного решения с использованием алгоритма 2.

Фиг. 5.

Пример 8.6. Слева: точное решение двумерной обратной задачи с оператором (8.9) и линия, на которой оценивается точность. Справа: сужение на отрезок $\mathfrak{L}$ точного решения (жирная линия), соответствующее приближенное решение (тонкая линия) и коридор ошибок в избранных точках для $\bar {\delta } = 0.01$.

Оценки вычислялись для точек (${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$), лежащих на отрезке прямой $\mathcal{L}$, который отмечен на фиг. 5 (слева) жирной линией. Результаты решения обратной задачи и оценки его точности на отрезке $\mathcal{L}$ отображены на фиг. 5 (справа) и фиг. 6. Здесь тонкой линией изображено сужение точного решения $\bar {z}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ на отрезок $\mathcal{L}$, а жирной линией – аналогичное сужение ${{\hat {z}}_{\eta }}(s)$, $s \in \mathcal{L}$, полученного приближенного решения. Координаты точек $s$ отнесены к длине отрезка $s \in \mathcal{L}$. Вертикальные отрезки с точками изображают “коридор ошибок” $[{{\hat {z}}_{\eta }}({{s}_{i}}) - {{\hat {E}}_{{{{s}_{i}}}}}(\eta ),{{\hat {z}}_{\eta }}({{s}_{i}}) + {{\hat {E}}_{{{{s}_{i}}}}}(\eta )]$ для избранных точек ${{s}_{i}} \in \mathcal{L}$.

Фиг. 6.

Пример 8.6. Слева: сечение точного решения (жирная линия), приближенное решение (тонкая линия) и коридор ошибок в избранных точках для $\bar {\delta } = 0.05$. Справа: то же для $\bar {\delta } = 0.09$.

8.3. Применение алгоритма апостериорного оценивания для линейных задач

Приведем результаты апробации методов апостериорной оценки точности из разд. 6.3, основанных на вычислении величин ${{\rho }_{n}}(\eta )$ и ${{\sigma }_{n}}(\eta )$, для типичной обратной задачи – примера 8.6. Уравнение $Az = u$ с оператором (8.9) решалось по той же схеме для $\zeta = 0.15$, $\nu = 0.25$ в области $\Pi = [0,1] \times [0,1]$. Точное решение $z = \bar {z}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ вычислялось по формуле (8.10) для функции источника $w = \bar {w}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) = \chi ({{T}_{1}}) + 2\chi ({{T}_{2}})$. Здесь множества ${{T}_{1}}$, ${{T}_{2}}$ задаются как ${{T}_{1}} = {\text{\{ }}({{x}_{1}},{{x}_{2}}):{{({{x}_{1}} - 0.32)}^{2}}$ + + ${{({{x}_{2}} - 0.32)}^{2}} < 0.01{\text{\} }}$, ${{T}_{2}} = {\text{\{ }}({{x}_{1}},{{x}_{2}}):{{({{x}_{1}} - 0.6)}^{2}}$ – $({{x}_{1}} - 0.6)({{x}_{2}} - 0.6)$ + ${{({{x}_{2}} - 0.6)}^{2}} < 0.01{\text{\} }}$, а $\chi ( \cdot )$ есть характеристическая функция множества. По этому решению, как в примере 8.6, по формуле $u = {{F}^{{ - 1}}}{\text{\{ }}F[K](\omega )F[\bar {z}](\omega ){\text{\} }}$ вычислялась функция $u({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – модельная точная правая часть уравнения $A\bar {z} = u$. Расчеты велись на сетках $\hat {x} = \hat {\omega }$ с $N = 512$. Функция $u({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ возмущалась нормально распределенной случайной ошибкой так, что полученная приближенная правая часть уравнения ${{u}_{\delta }}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ удовлетворяла неравенству ${{\left\| {u - {{u}_{\delta }}} \right\|}_{{{{L}_{2}}(\Pi )}}}\left\| {{{u}_{\delta }}} \right\|_{{{{L}_{2}}(\Pi )}}^{{ - 1}} \leqslant \tilde {\delta }$, где число $\tilde {\delta }$ есть уровень относительной ошибки приближенных данных ${{u}_{\delta }}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ задачи. Обратная задача приближенного нахождения функции $\bar {z}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ по функции ${{u}_{\delta }}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ решалась с помощью метода регуляризации на сетках $\hat {x} = \hat {\omega }$ с $N = 128$ для различных уровней погрешности данных $\tilde {\delta }$. Затем по предложенной в разд. 6.3 методике вычислялась глобальная апостериорная оценка точности ${{\rho }_{n}}(\tilde {\delta })$. Вычислялась также апостериорная оценка точности приближенного нахождения среднего значения решения обратной задачи в области ${{T}_{1}}$, т.е. локальная апостериорная оценка ${{\sigma }_{n}}(\tilde {\delta })$ для функционала $\left\langle {f,z} \right\rangle = \tfrac{1}{{\operatorname{mes} ({{T}_{1}})}}\int_{{{T}_{1}}} z (s)ds$. В расчетах и, в частности, при максимизации в задачах (6.12), использовались стандартные функции пакета SciLab.

Поскольку расчеты зависят от конкретных реализаций случайных ошибок данных, в табл. 1 приводятся результаты, усредненные по 40 реализациям этих ошибок.

В первой строке даны значения уровней $\tilde {\delta }$ относительной погрешности данных задачи. Во второй строке представлены величины истинных относительных ошибок приближенных решений, вычисляемые по известному модельному решению как $\Delta = \tfrac{{{{{\left\| {\bar {z} - {{z}_{\delta }}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Pi )}}}}}{{{{{\left\| {\bar {z}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Pi )}}}}}$. В третьей строке показаны относительные глобальные апостериорные оценки точности приближенных решений: $\mathop {\bar {\rho }}\nolimits_n = \tfrac{{{{\rho }_{n}}(\tilde {\delta })}}{{{{{\left\| {\bar {z}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}(\Pi )}}}}}$, полученные с помощью метода из разд. 6.3. В четвертой и пятой строках представлены истинные относительные ошибки ${{\Delta }_{f}} = \tfrac{{\left| {\left\langle {f,{{z}_{\delta }} - \bar {z}} \right\rangle } \right|}}{{\left| {\left\langle {f,\bar {z}} \right\rangle } \right|}}$ вычисления функционала и соответствующие относительные локальные апостериорные оценки ошибки $\mathop {\bar {\sigma }}\nolimits_n = \tfrac{{{{\sigma }_{n}}(\tilde {\delta })}}{{\left| {\left\langle {f,\bar {z}} \right\rangle } \right|}}$. Можно видеть, что глобальные апостериорные оценки весьма близки к истинным точностям полученных приближений, особенно для данных с малым уровнем возмущения $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\delta } $. Локальные апостериорные оценки оказались еще более близкими к истинным точностям, причем для всех рассмотренных уровней погрешности данных. Аналогичные результаты получались и для других модельных задач.

Отметим, что метод апостериорной оценки точности в линейных обратных задачах из разд. 6.3 является гораздо более быстродействующим (в среднем, в 3–5 раз, в зависимости от решаемой задачи), чем более общие алгоритмы 1, 2. Например, для рассматриваемой модельной задачи оценка $\mathop {\bar {\rho }}\nolimits_n $ получалась в 5 раз быстрее.

В заключение укажем, что рассмотренные в статье экстраоптимальные методы решения некорректных задач и апостериорные оценки качества (точности) их приближенных решений неоднократно использовались при решении практических задач и показали высокую эффективность. В этой связи упомянем, например, работы [48]–[51].