Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 8, стр. 1291-1303

1. ВВЕДЕНИЕ

Для уравнений математической физики, являющихся уравнением Эйлера–Лагранжа соответствующих вариационных задач, важный класс решений – это солитонные решения [1], [2]. В ряде моделей такие решения хорошо приближаются солитонными решениями для конечно-разностных аналогов исходных уравнений, которые взамен непрерывной среды описывают взаимодействие сгустков среды, помещенных в вершинах решетки [2], [3]. Возникающие системы относятся к классу бесконечномерных динамических систем. К наиболее широко рассматриваемым классам подобных задач относятся бесконечномерные системы с потенциалами Френкеля–Конторовой (периодические и медленно растущие потенциалы) и Ферми–Паста–Улама (потенциалы экспоненциального роста), широкий обзор которых приведен в работе [4].

Изучение солитонных решений (решений типа бегущей волны) основано на существовании взаимно однозначного соответствия солитонных решений для бесконечномерных динамических систем с решениями индуцированных функционально-дифференциальных уравнений точечного типа [5]–[8]. Отмеченная связь между солитонными решениями бесконечномерной динамической системы и решениями индуцированного функционально-дифференциального уравнения является фрагментом более общей схемы, выходящей за рамки данной работы [9]. Важно, что исследование солитонных решений бесконечномерной динамической системы эквивалентно исследованию решений индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Теорема существования и единственности решения (теорема существования) для индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа гарантирует существование и единственность (существование) солитонного решения с заданными начальными значениями. Сами решения функционально-дифференциальных уравнений точечного типа с квазилинейной правой частью изучаются в рамках формализма, основанного на групповых особенностях таких уравнений и развиваемого в работах одного из авторов [10], [5], [6], [11], и представлены в монографии [8]. Для линейных систем получены критерии существования решения в форме аналога теоремы Нетер, а также точечной полноты решений [12]. Получены легко проверяемые достаточные условия существования решения [13].

В представленной работе для линейного однородного функционально-дифференциального уравнения точечного типа получена теорема о бифуркации типа ветвления решения.

2. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Функционально-дифференциальным уравнением точечного типа называется уравнение

где $f:\mathbb{R} \times {{\mathbb{R}}^{{ns}}} \to {{\mathbb{R}}^{n}}$ – отображение класса ${{C}^{{(0)}}}$; ${{q}_{j}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$, $j = 1, \ldots ,s$ – диффеоморфизмы прямой, сохраняющие ориентацию; ${{B}_{R}}$ – замкнутый интервал $[{{t}_{0}},{{t}_{1}}]$, замкнутая числовая полупрямая $[{{t}_{0}}, + \infty [$, или числовая прямая $R$. Используя замену времени, для функций отклонения аргумента $[{{q}_{j}}(t) - t]$, $j = 1, \ldots ,s$, всегда можно добиться выполнения условия но при этом рост правой части уравнения по переменной времени при такой замене может стать очень большим и, в частности, выше экспоненциального.

Основная цель при изучении функционально-дифференциальных уравнений точечного типа – это исследование начально-краевой задачи

которую будем называть основной начально-краевой задачей. В ситуации общего положения, когда $\bar {t} \ne {{t}_{0}},{{t}_{1}}$ или отклонения аргумента произвольны, мы имеем задачу с нелокальными начально-краевыми условиями. Для такой задачи следует изучать все пространство решений, ее размерность, возможные вырождения, а также точечную полноту (когда через каждую точку фазовой плоскости ${{\mathbb{R}}^{n}}$ проходит решение краевой задачи (2), (3)). Сложность таких уравнений связана с тем, что движение вдоль решений в фазовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$ не обладает полугрупповым свойством, что является важнейшим свойством в теории динамических систем.

Регуляризация Красовского. Идея преодоления этого недостатка восходит к Красовскому [14]. Для функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа (${{q}_{j}}(t) \leqslant t,j = 1, \ldots ,s$) по решению $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ уравнения (1) строится кривая ${{x}_{t}}$ в пространстве $C([ - d,0],{{\mathbb{R}}^{n}})$, $d = ma{{x}_{{j \in \{ 1, \ldots ,s\} }}}{{h}_{j}}$ по правилу: ${{x}_{t}}(\theta ) = x(t + \theta )$, $\theta \in [ - d,0]$. Правая часть функционально-дифференциального уравнения индуцирует функционал на бесконечномерном пространстве $C([ - d,0],{{\mathbb{R}}^{n}})$ и определяет обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет решение ${{x}_{t}}$. Фазовым пространством для такого уравнения выступает бесконечномерное пространство $C([ - d,0],{{\mathbb{R}}^{n}})$. Движение вдоль решений в таком фазовом пространстве удовлетворяет полугрупповому свойству и к таким системам применимы методы теории динамических систем. Такой подход позволяет рассматривать класс функционально-дифференциальных уравнений, значительно более широкий, чем представленные функционально-дифференциальные уравнения точечного типа. Вместе с тем при таком подходе теряется информация о поведении решений в исходном фазовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$, а также связь с теорией решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Иной подход, предлагаемый для исследования таких уравнений, основан на формализме, центральным элементом которого являются конструкции, использующие некоторую конечно порожденную группу $Q$ диффеоморфизмов прямой (групповой операцией в такой группе является суперпозиция диффеоморфизмов) со свойством $\left\langle {{{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{s}}} \right\rangle \subseteq Q$. Суть подхода в том, что бесконечномерная вектор-функция ${{\{ x(q(t))\} }_{{q \in Q}}}$, построенная по решению $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ уравнения (1), будет решением некоторого индуцированного бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения с фазовым пространством в виде полного прямого произведения

Отмеченный групповой подход позволяет рассматривать функционально-дифференциальные уравнения точечного типа как расширение класса обыкновенных дифференциальных уравнений в смысле сохранения: теоремы существования и единственности начально-краевой задачи, а также непрерывной зависимости от начально-краевых условий и правой части уравнения; точечной полноты решений краевой задачи и т.д. Важно, что при таком подходе мы имеем возможность изучать поведение траекторий в исходном фазовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$, выявить препятствия, не позволяющие функционально-дифференциальному уравнению точечного типа наследовать свойства обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. БИФУРКАЦИЯ

Рассмотрим задачу Коши (начальную задачу) для линейной однородной системы функционально-дифференциальных уравнений точечного типа, определенной на всей прямой

где ${{\tau }_{j}} \in \mathbb{Z},$ $j = 1 \ldots ,s$, ${{\tau }_{1}} < \ldots < {{\tau }_{s}}$. В соответствии с обозначениями для функционально-дифференциального уравнения точечного типа, правая часть уравнения (6) имеет вид где ${{q}_{j}}(t) = t + {{\tau }_{j}},$ $j = 1, \ldots ,s$. Очевидно, что Следуя общим обозначениям для такого уравнения, полагаем $h = \left( {\left| {{{\tau }_{1}}} \right|, \ldots ,\left| {{{\tau }_{s}}} \right|} \right)$.

Для такой системы характеристическое уравнение принимает вид квазиполинома:

Решения квазиполинома (8) рассматриваются в поле комплексных чисел.

Будем рассматривать комплексификацию $n$-мерного пространства ${{\mathbb{R}}^{n}}$, т.е. комплексное пространство ${{\mathcal{Z}}^{n}} = {{\mathbb{R}}^{n}} + i{{\mathbb{R}}^{n}}$. Линейный оператор $A$, действующий в действительном пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$, порождает линейный оператор в комплексифицированном пространстве ${{\mathcal{Z}}^{n}}$, действующий по правилу $Az = A(x + iy) = Ax + iAy$. Введем обозначение

Очевидно, что для любого $k \in \mathbb{Z}$ справедливо равенство $\mathbb{A}(\lambda ) = \mathbb{A}(\lambda + i2\pi k)$. При каждом $\lambda \in \mathbb{C}$ через $\sigma (\mathbb{A}(\lambda ))$ будем обозначать спектр матрицы $\mathbb{A}(\lambda )$. Тогда множество решений характеристического уравнения (8) можно записать в виде Для решения исходного линейного функционально-дифференциального уравнения (6) следует описать множество решений $\mathcal{R}$ характеристического квазиполинома (8), а также собственные подпространства, соответствующие каждому из $\lambda \in \mathcal{R}$.

Для заданных $\lambda \in \mathbb{C}$ и $r \in \mathbb{R}$ определим

Лемма 1. Для любого $\mathcal{N} > 0$ множество $\bigcup\nolimits_{|r| \leqslant \mathcal{N}} \,\rho (r)$ либо конечно, либо пусто.

Доказательство. Пусть задано $r \in [ - \mathcal{N},\mathcal{N}]$. Для $z \in {{\mathcal{Z}}^{n}}$, ${{\left\| z \right\|}_{{{{\mathcal{Z}}^{n}}}}} = 1$, $\lambda \in \mathbb{C}$, $\operatorname{Re} \lambda = r$ рассмотрим равенство

Положим $\lambda = \tilde {\lambda } + i2\pi l$, где $\left| {\operatorname{Im} \tilde {\lambda }} \right| < 2\pi $. Так как ${{e}^{{(\lambda + i2\pi l){{\tau }_{j}}}}} = {{e}^{{\tilde {\lambda }{{\tau }_{j}}}}}$, то последнее равенство примет вид Так как норма действительных частей $\tilde {\lambda }$ ограниченa числом $\mathcal{N}$, такое равенство не может выполняться при больших $l$. Более того, для всех $\lambda \in \rho (r)$, $r \in [\mathcal{N},\mathcal{N}]$ величины $\left| {{\text{Im}}\lambda } \right|$ равномерно ограничены. Так как функция $\left| {\lambda E - \sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{e}^{{\lambda {{\tau }_{j}}}}}} \right|$ по переменной $\lambda $ аналитическая, а точки множества $\bigcup\nolimits_{|r| \leqslant \mathcal{N}} \,\rho (r)$ являются нулями такой аналитической функции, то такое множество не более чем конечное.

Пусть $\lambda \in \sigma (\mathbb{A}(\lambda ))$. Тогда множество собственных векторов, соответствующих собственным числам $\bar {\lambda } \in \varrho (\lambda )$, линейно независимы.

Наряду с характеристическим уравнением (8) рассмотрим другое характеристическое уравнение:

Лемма 2. Для всякого собственного значения $\lambda $ характеристического уравнения (8) величина $\nu = {{e}^{\lambda }}$ является собственным значением характеристического уравнения (14) и соответственно для любого собственного значения $\bar {\lambda } \in \varrho (\lambda )$ также имеет место равенство $\nu = {{e}^{{\bar {\lambda }}}}$. Каждый собственный вектор $z \in {{\mathcal{Z}}^{n}}$ оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{e}^{{\lambda {{\tau }_{j}}}}}$ с собственным значением $\bar {\lambda } \in \varrho (\lambda )$ является собственным вектором оператора $\exp \left( {\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}} \right)$ с собственным значением $\nu = {{e}^{\lambda }}$. Линейная оболочка собственных подпространств оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{e}^{{\lambda {{\tau }_{j}}}}}$, соответствующих собственным значениям $\bar {\lambda } \in \varrho (\lambda )$, и только она является собственным подпространством оператора $\exp \left( {\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}} \right)$ с собственным значением $\nu = {{e}^{\lambda }}$. Более того, линейная оболочка подпространств присоединенных векторов оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{e}^{{\lambda {{\tau }_{j}}}}}$, соответствующих собственным значениям из множества $\varrho (\lambda )$, совпадает с подпространством присоединенных векторов оператора $\exp \left( {\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}} \right)$, отвечающих собственному значению $\nu = {{e}^{\lambda }}$.

Доказательство. Пусть $\lambda $ является собственным значением характеристического уравнения (8). Тогда она является решением характеристического уравнения для матрицы $A(\lambda )$, т.е. решением уравнения

и удовлетворяет равенству Положим $\nu = {{e}^{\lambda }}$ и перепишем уравнение (15) в виде Рассмотрим функцию (аналитическую) $w(\xi ) = {{e}^{\xi }}$ и соответствующую оператор-функцию Так как $\lambda $ является собственным значением оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{e}^{{\lambda {{\gamma }_{j}}}}}$, то по теореме о спектре [14] величина $w(\lambda ) = {{e}^{\lambda }} = \nu $ будет собственным значением оператора ${\text{exp}}\left( {\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}} \right)$, т.е. будет решением характеристического уравнения (14), а собственный вектор $z \in {{\mathcal{Z}}^{n}}$ оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{e}^{{\lambda {{\tau }_{j}}}}}$ с собственным значением $\lambda $, будет собственным вектором оператора ${\text{exp}}\left( {\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}} \right)$ с собственным значением $\nu $. Точно также, каждый собственный вектор $z \in {{\mathcal{Z}}^{n}}$ оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}$ c $\nu = {{e}^{\lambda }}$ с соответствующим собственным значением $\lambda + i2\pi k$ при каком-либо $k \in \mathbb{Z}$ будет собственным вектором оператора ${\text{exp}}\left( {\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}} \right)$ с одним и тем же собственным значением $\nu $. По лемме 1 таких значений $k \in \mathbb{Z}$ будет конечное число ${{k}_{1}}, \ldots ,{{k}_{r}}$. Заметим, что нулями функции $({{e}^{\xi }} - \nu ),$ $\nu = {{e}^{\lambda }}$ являются значения $\lambda + i2\pi {{k}_{l}},$ $l = 1, \ldots ,r$, и только они, принадлежащие спектру оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}$. Так как производная функции $w(\xi ) = {{e}^{\xi }}$ ни в одной точке не равна нулю, то кратность нулей $\lambda + i2\pi {{k}_{l}},$ $l = 1, \ldots ,r$, функции $({{e}^{\xi }} - \nu )$ равна единице. Тогда имеет место разложение где функция $v(\xi )$ не имеет нулей на спектре оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}$. Через ${{\theta }_{l}},$ $l = 1, \ldots ,r$, обозначим собственные векторы оператора $\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}$, соответствующие собственным значениям $\lambda + i2\pi {{k}_{l}},$ $l = 1, \ldots ,r$. По теореме о спектре [15] линейная оболочка векторов ${{\theta }_{l}},$ $l = 1, \ldots ,r$, содержится в собственном подпространстве оператора ${\text{exp}}\left( {\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}} \right)$, соответствующее собственному значению $\nu $. Но в силу разложения (16) собственное подпространство оператора ${\text{exp}}\left( {\sum\nolimits_{j = 1}^s \,{{A}_{j}}{{\nu }^{{{{\tau }_{j}}}}}} \right)$ будет совпадать с линейной оболочкой собственных векторов ${{\theta }_{l}},$ $l = 1, \ldots ,r$. Точно также, в силу разложения (16), будет следовать последнее утверждение леммы.

Всякий набор вещественных матриц $\mathcal{A} = ({{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{s}})$ и отклонений $\bar {\tau } = ({{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{s}})$ будем обозначать через $\Theta = ({{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{s}},{{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{s}})$. Очевидно, что пара $\Theta = (\mathcal{A},\bar {\tau })$ однозначно определяет правую часть линейного однородного функционально-дифференциального уравнения (6), а $\mathcal{A} = ({{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{s}})$ ее определяет как элемент банахова пространства $\mathcal{L}({{\mathbb{R}}^{{ns}}},{{\mathbb{R}}^{n}})$. Следуя прежним обозначениям, положим $h = \left( {\left| {{{\tau }_{1}}} \right|, \ldots ,\left| {{{\tau }_{s}}} \right|} \right)$. В дальнейшем для всех приведенных величин будем отмечать их зависимость от $\Theta $ или $\mathcal{A}$.

Пусть $\mathcal{T}(\Theta )$ – множество решений квазиполинома (8) (с учетом их кратности). При заданном $\Theta $ мы можем корректно определить величины

где $\sharp $ означает мощность множества.

Для обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. при $h = 0$, величина $\underline \delta (\Theta )$ совпадает с верхним ляпуновским показателем и $\overline \delta (\Theta ) = + \infty (\underline \mu (\Theta ) = 0)$.

Лемма 3. Для всякого набора $\Theta = (\mathcal{A},\bar {\tau }) = ({{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{s}},{{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{s}})$ имеет место оценка $\overline \delta (\Theta ) \geqslant \underline \delta (\Theta )$.

Доказательство. Оно непосредственно следует из определений величин $\overline \delta (\Theta )$ и $\underline \delta (\Theta )$.

В терминах величин $\overline \delta (\Theta )$ и $\underline \delta (\Theta )$ ($\underline \mu (\Theta )$ и $\bar {\mu }(\Theta )$) для начальной задачи (6), (7) можем сформулировать теорему существования и единственности решения из пространства $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ при соответствующих значениях параметра $\mu \in (0,1)$. Для решений из пространств $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ по параметру $\mu \in (0,1)$ будут описаны бифуркации как потери решений, так и их ветвления.

Теорема 2. Пусть задан набор $\Theta = (\mathcal{A},\bar {\tau }) = ({{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{s}},{{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{s}})$. Если имеет место оценка $\overline \delta (\Theta ) > \underline \delta (\Theta )$, то при каждом $\mu \in (\underline \mu (\Theta ),\bar {\mu }(\Theta )]$, для уравнения (6) в пространстве $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ существует $n$ линейно независимых решений. При значениях $\mu = \bar {\mu }(\Theta )$ и $\mu = \underline \mu (\Theta ) \ne 0$ происходит бифуркация. В пространстве $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R}),$ $\mu > \bar {\mu }(\Theta )$, происходит потеря части из $n$ линейно независимых решений, а в пространстве $\mathcal{L}_{{\underline \mu (\Theta )}}^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ происходит рождение (ветвление) новых линейно независимых решений.

Если имеет место равенство $\overline \delta (\Theta ) = \underline \delta (\Theta )$, то в пространстве $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R}),$ $\mu = \bar {\mu }(\Theta ) = \underline \mu (\Theta )$, для уравнения (6) существует $m,m > n$, линейно независимых решений. При значении $\mu = \bar {\mu }(\Theta ) = \underline \mu (\Theta )$ происходит бифуркация. В пространстве $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$, $\mu > \bar {\mu }(\Theta ) = \underline \mu (\Theta )$, происходит потеря решения и остается только лишь $m{\text{'}},\;m{\text{'}} < n$, линейно независимых решений.

Доказательство. Пусть выполняется неравенство $\overline \delta (\Theta ) > \underline \delta (\Theta )$. В силу определения величин $\overline \delta (\Theta )$ и $\underline \delta (\Theta )$ в открытом цилиндре $\left| {\operatorname{Re} \lambda } \right| < \overline \delta (\Theta )$ расположено $n$ решений квазиполинома (8) (с учетом их кратности) и эти решения локализуются в более меньшем замкнутом цилиндре $\left| {\operatorname{Re} \lambda } \right| \leqslant \underline \delta (\Theta )$. При этом в замкнутом цилиндре $\left| {\operatorname{Re} \lambda } \right| \leqslant \overline \delta (\Theta )$ расположено более $n$ решений, а в открытом цилиндре $\left| {\operatorname{Re} \lambda } \right| < \underline \delta (\Theta )$ расположено менее $n$ решений. В силу отмеченных спектральных свойств и следуют утверждения теоремы для этого случая.

Пусть выполняется равенство $\overline \delta (\Theta ) = \underline \delta (\Theta )$. В силу определения величин $\overline \delta (\Theta )$ и $\underline \delta (\Theta )$, в замкнутом цилиндре $\left| {\operatorname{Re} \lambda } \right| \leqslant \overline \delta (\Theta )$ расположено более чем $n$ решений квазиполинома (8) (с учетом их кратности), а в открытом цилиндре $\left| {\operatorname{Re} \lambda } \right| < \overline \delta (\Theta )$ расположено менее чем $n$ решений. В силу отмеченных спектральных свойств и следуют утверждения теоремы также и для этого случая.

Для линейного однородного функционально-дифференциального уравнения точечного типа, определяемого набором $\Theta = (\mathcal{A},\bar {\tau })$, основное неравенство теоремы 1, гарантирующее существование и единственность решения начальной задачи (6), (7), принимает вид

где ${{L}_{\mathcal{A}}} = ma{{x}_{{1 \leqslant j \leqslant s}}}\left\| {{{A}_{j}}} \right\|$.

Сформулируем условие, гарантирующее бифуркацию из первой части теоремы 2.

Теорема 3. Пусть задан набор $\Theta = (\mathcal{A},\bar {\tau }) = ({{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{s}},{{\tau }_{1}}, \ldots ,{{\tau }_{s}})$, для которого неравенство

имеет решение. Тогда выполняется оценка $\overline \delta (\Theta ) > \underline \delta (\Theta )$ и справедливо вложениеПри каждом $\mu \in (\underline \mu (\Theta ),\bar {\mu }(\Theta )]$ для начальной задачи (6), (7) в пространстве $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ существует решение. Такое решение является единственным. При значениях $\mu = \bar {\mu }(\Theta ),$ $\mu = \underline \mu (\Theta ) \ne 0$, происходит бифуркация. В пространстве $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R}),$ $\mu > \bar {\mu }(\Theta )$, происходит потеря существования решения, а в пространстве $\mathcal{L}_{{\underline \mu (\Theta )}}^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ происходит потеря единственности решения.

Доказательство. В силу теоремы 1, для начальной задачи (6), (7) при каждом $\mu \in ({{\mu }_{1}}({{L}_{\mathcal{A}}},h),{{\mu }_{2}}({{L}_{\mathcal{A}}},h))$ в пространстве $\mathcal{L}_{\mu }^{n}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ имеет место теорема существования и единственности решения. Поэтому квазиполином (8) в цилиндре

на комплексной плоскости имеет ровно $n$ корней с учетом их кратностей. Более того, эти корни расположены в более меньшем цилиндре откуда и следуют утверждения теоремы.