Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 9, стр. 1564-1584

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе изучается движение мобильного робота при ограничениях, накладываемых на фазовые координаты. В качестве критерия оптимальности рассматривается быстродействие, т.е. время, затрачиваемое на движение из заданной точки $A$ в точку $B$. Задача о наибыстрейшем движении мобильного робота при фазовых ограничениях, или задача о наибыстрейшем обходе роботом препятствия, формулируется следующим образом:

Здесь $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ – основная фазовая переменная, $p,u \in \mathbb{R}$ – скалярные параметры управления, $A = ({{a}_{1}},{{a}_{2}})$, $B = ({{b}_{1}},{{b}_{2}})$ – заданные точки на плоскости, лежащие вне единичного круга. Задача рассматривается на отрезке времени $[0,T]$. Конечный момент времени $T$ не фиксирован, и, более того, необходимо найти наименьшее возможное такое время $T$, за которое можно, начиная движение из точки $A$, попасть в точку $B$ с помощью каких-либо допустимых управлений $p(t)$, $u(t)$. При этом робот не должен заезжать на единичный круг на плоскости, который считается препятствием. Переменная $\alpha $ – это дополнительная фазовая переменная, отвечающая углу поворота мобильного робота. Скорость поворота робота управляется функцией $u(t)$, а продольная скорость – функцией $p(t)$. Обе функции считаются измеримыми. Робот оснащен обратным ходом, что соответствует отрицательным значениям $p$. Начальное значение угла поворота ${{\alpha }_{0}}$ задано.

В задаче (1) реализуется так называемая простейшая унициклическая модель движения, которая дополняется возможностью разворота робота на месте, т.е. движением при $p = 0$. Она отвечает, например, упрощенной модели трехколесного робота с передним приводом. Отметим, что продольная и угловая скорости в этой модели являются независимыми, что не является характерным для некоторых других мобильных роботов (например, для гусеничного робота). Тем не менее предлагаемый в этой работе подход применим и к другим моделям мобильных роботов. Общий метод исследования обсуждается в разд. 4.

Важно отметить существование решения задачи (1). Действительно, очевидно, что в этой задаче всегда найдется допустимый процесс, и, значит, существование решения в классе измеримых управлений $p,\;u$ следует из известной теоремы Филиппова (см. [1]) (поскольку правая часть динамической системы линейна по управлению, а множество значений управления – выпуклый компакт). Обозначим решение этой задачи (которых может быть много) через $(x{\kern 1pt} *,\alpha {\kern 1pt} *,p{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *,T{\kern 1pt} *)$.

Итак, задача состоит в оптимальном (по быстродействию) обходе роботом препятствия, которое задано в виде единичного круга на плоскости. В нашей работе предлагается некоторый численный метод нахождения решения $(x{\kern 1pt} *,\alpha {\kern 1pt} *,p{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *,T{\kern 1pt} *)$, основанный на принципе максимума Понтрягина (см. [2]).

Отметим, что решение задачи (1) с помощью принципа максимума осложнено рядом трудностей. Во-первых, любая допустимая траектория, соприкасающаяся с границей единичного круга, не будет регулярной по Р.В. Гамкрелидзе (см. [3], [2, гл. 6]). Действительно, в любой точке границы имеет место

а значит, градиент функции $\Gamma (x,p,u): = - 2p({{x}_{1}}\cos \alpha + {{x}_{2}}\sin \alpha )$ – скалярного произведения правой части динамической системы на градиент фазоограничения – по $(p,u)$ равен нулю. Более того, по этой же причине в задаче (1) заведомо не будут выполняться даже и более слабые, чем условия регулярности, известные условия управляемости относительно фазовых ограничений (см. [4]). (Такая ситуация весьма распространена в технических системах, где обычно количество фазовых переменных превышает количество переменных управления.) Поэтому мера-множитель Лагранжа, отвечающая за фазовое ограничение, может иметь сингулярную составляющую. В связи с этим, т.е. в связи с отсутствием регулярности и наличием сингулярной составляющей меры, не представляется возможным свести условия принципа максимума к соответствующей краевой задаче, решение которой привело бы к решению задачи управления. Здесь, в частности, возникает проблема нахождения точек выхода на границу и схода с границы фазового ограничения.

Кроме того, применение принципа максимума затруднено наличием особого режима по угловой скорости $u$. Робот не всегда будет следовать с максимальной по модулю угловой скоростью, т.е. при ${\text{|}}u{\kern 1pt} {\text{|}} = 1$. Однако на участках, где ${\text{|}}u{\kern 1pt} {\text{|}} < 1$, условие максимума, очевидно, не информативно. Возникает проблема нахождения точек выхода на особый режим управления и схода с него.

Оба явления, т.е. отсутствие регулярности относительно фазового ограничения и особый режим управления по угловой скорости, имеют совершенно разную природу. Тем не менее одним из возможных решений и в первом, и во втором случаях является подходящая регуляризация исходной задачи. В работе предлагается с помощью малого параметра $\varepsilon > 0$ определенным образом возмутить исходную задачу (1), так чтобы возмущенная задача стала регулярной в упомянутом выше смысле. Для этого будут использованы дополнительные переменные управления.

2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

В этом разделе приведем некоторые факты из теории принципа максимума для задач быстродействия с фазовыми ограничениями. Рассмотрим такую задачу в общем виде:

Здесь, $t \in [0,T]$ – время, $x$ – фазовая переменная в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $u$ – переменная управления в ${{\mathbb{R}}^{m}}$. Управляющая функция $u( \cdot )$ измерима. Множество $U$ имеет вид где $\varphi $ – заданная вектор-функция. Точки $A$ и $B$ определяют начальную и конечную позиции (краевые условия). Допустимая траектория $x( \cdot )$ является абсолютно непрерывной функцией, удовлетворяет дифференциальному ограничению $\dot {x}(t) = f(x(t),u(t))$ для п.в. $t \in [0,T]$, начальному и конечному краевому условию, а также неравенству $g(x(t)) \leqslant 0$ $\forall {\kern 1pt} t \in [0,T]$, которое задает фазовые ограничения. Число $T$ определяет конечный момент времени движения, оно не фиксировано, но подлежит минимизации.

Отображения

предполагаются достаточно гладкими (точнее, $f,\varphi \in {{C}^{1}}$, $g \in {{C}^{2}}$).

Пусть $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ – управление, а $x({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ – отвечающая ему траектория на отрезке времени $[0,T]$. Тройка $(x,u,T)$ называется допустимым процессом, если выполнены концевые и фазовые ограничения. Допустимый процесс $(x{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *,T{\kern 1pt} *)$ называется оптимальным, если конечное время $T$ в (2) принимает наименьшее возможное значение на множестве всех допустимых процессов (так называемый глобальный минимум). Ниже предположим, что в задаче (2) существует по крайней мере один оптимальный процесс $(x{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *,T{\kern 1pt} *)$.

Для формулировки принципа максимума Понтрягина потребуются некоторые определения и обозначения. Назовем точку $u \in U$ регулярной, если градиенты $\nabla {{\varphi }^{i}}(u)$, $i \in I(u)$, линейно независимы. Здесь $I(u): = \{ i:{{\varphi }^{i}}(u) = 0\} $ – так называемое множество активных индексов (т.е. множество индексов активных ограничений); символ $\nabla $ означает классический градиент скалярной функции.

Пусть задана измеримая функция $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ):\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Определение 1. Замыканием по мере функции $u( \cdot )$ в точке $\tau $ называется множество векторов $v \in {{\mathbb{R}}^{m}}$ таких, что

где $\ell $ – мера Лебега на $\mathbb{R}$.

Многозначное отображение, ставящее в соответствие точке на прямой замыкание по мере функции в этой точке, обозначим как $\operatorname{Clos} u$. В контексте изучения задач оптимального управления понятие замыкания по мере измеримой функции было предложено в [5]. В [6] элементы множества $\operatorname{Clos} u(\tau )$ называются существенными значениями функции $u$ в точке $\tau $. Некоторые свойства замыкания по мере функции описаны также в [7].

Рассмотрим функцию

Сформулируем условие регулярности.

Определение 2. Процесс $(x{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *,T{\kern 1pt} *)$ называется регулярным относительно фазовых ограничений, если для всех $t \in [0,T{\kern 1pt} *]$, и всех $u \in \operatorname{Clos} u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t)$ таких, что $g(x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t)) = \Gamma (x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t),u) = 0$, точка $u$ регулярна, и выполнено условие

Здесь $\Gamma _{u}^{'}$ означает классическую частную производную функции $\Gamma $ по $u$.

Рассмотрим расширенную функцию Гамильтона–Понтрягина

где $\psi ,\;\mu $ – переменные из ${{\mathbb{R}}^{n}}$ и $\mathbb{R}$ соответственно.

Теорема 1. Предположим, что регулярный относительно фазовых ограничений процесс $(x{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *,T{\kern 1pt} *)$ является оптимальным в задаче (2). Тогда существуют множители Лагранжа: число $\lambda \in [0,1]$, абсолютно непрерывная векторная функция $\psi \in {{\mathbb{W}}_{{1,\infty }}}([0,T{\kern 1pt} *];{{\mathbb{R}}^{n}})$, и непрерывная скалярная функция $\mu \in \mathbb{C}([0,T{\kern 1pt} *];\mathbb{R})$ такие, что

Кроме того, функция $\mu ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ не убывает, и

Теорема 1 была получена в [7] при некоторых дополнительных предположениях гладкости, а в [8] и [9] была доказана в полной общности. Краткая версия доказательства приведена в разд. 6. Отметим также, что теорема 1 является уточнением соответствующего результата из [2, гл. 6]. Уточнение касается непрерывности меры-множителя $\mu ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$.

Приведем несколько замечаний, которые будут использованы далее.

Замечание 1. Из условий принципа максимума вытекает известный закон сохранения вдоль экстремали (см. [2], [10])

Замечание 2. Из условий принципа максимума следует, что $\mu ({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ постоянна на любом отрезке времени $[a,b]$, на котором оптимальная траектория лежит во внутренности фазовых ограничений, т.е. когда $g(x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t)) < 0$ $\forall {\kern 1pt} t \in [a,b]$.

Замечание 3. Ввиду правила множителей Лагранжа, условие максимума влечет

где ${{N}_{U}}$ означает предельный нормальный конус ко множеству (см. [11]). Предполагая, что все точки множества $U$ регулярны, можно утверждать существование дополнительного множителя Лагранжа – векторной функции $\xi :[0,T{\kern 1pt} *] \to {{\mathbb{R}}^{r}}$ с неотрицательными компонентами такой, что $\left\langle {\xi (t),\varphi (u{\kern 1pt} *(t))} \right\rangle = 0$,

Замечание 4. Пусть набор множителей $(\lambda ,\psi ,\mu )$ удовлетворяет принципу максимума, и $a \in \mathbb{R}$ – произвольное число. Тогда набор множителей

снова удовлетворяет всем условиям принципа максимума (см. [2], [12]). Поэтому можно считать, что $\mu (T{\kern 1pt} *) = 0$ и тогда $\mu (t) \geqslant 0$, или, что эквивалентно, $\mu (0) = 0$ и тогда $\mu (t) \leqslant 0$.

Принцип максимума из теоремы 1 предоставляет так называемую полную систему уравнений для нахождения оптимального процесса, в которой количество уравнений формально равно количеству неизвестных. Действительно, в условиях регулярности на границе фазового ограничения замечание 3 позволяет выразить $\mu $ через другие экстремальные значения. Вне границы фазового ограничения $\mu $ постоянна, согласно замечанию 2. Поэтому, используя свойство непрерывности, меру-множитель $\mu $ можно выразить через $x{\kern 1pt} *,\;\psi ,\;u{\kern 1pt} *$. Если одновременно с этим с помощью условия максимума получается выразить и экстремальное управление, то условия принципа максимума сводятся к решению соответствующей краевой задачи, которая может быть решена стандартными методами. Опираясь на эти соображения, можно предложить алгоритм вычисления экстремалей. Такой алгоритм будет описан ниже в вычислительной части работы (разд. 5) и применен для нахождения приближенного решения задачи о наибыстрейшем обходе препятствия мобильным роботом (1).

Отметим, что условие регулярности, сформулированное в определении 2, нельзя назвать удобным для предварительного анализа задачи, поскольку оно оперирует с заданным оптимальным процессом, который, вообще говоря, заранее неизвестен (его нам и следует вычислить). В связи с этим представляется более практичным иметь некоторое априорное условие регулярности в терминах функций $f,\;\varphi $ и $g$, которое бы гарантировало регулярность любого допустимого процесса, а значит, и заведомую применимость метода, основанного на теореме 1. Такое априорное условие регулярности несложно привести.

Условие Р). Для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $u \in U$ таких, что $g(x) = \Gamma (x,u) = 0$, имеет место, что точка $u$ регулярна, и

Это априорное условие легко проверить для конкретной задачи. В контексте задач быстродействия, его естественно дополнить следующим замечанием.

Замечание 5. Пусть $0 \in \operatorname{int} f(x,U)$ $\forall {\kern 1pt} x$. Тогда условие Р) достаточно проверять на множестве

Это следует из леммы 1 в разд. 6. Тогда условие Р) гарантирует регулярность любого оптимального процесса задачи. Это модифицированное условие Р) используется ниже при анализе движения мобильного робота.

3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Любой допустимый процесс задачи (1) нерегулярен относительно фазовых ограничений, как только траектория касается границы допустимой области. Действительно, в любой точке границы области имеем ${{x}_{1}}\cos \alpha + {{x}_{2}}\sin \alpha = 0$, и, значит, градиент функции $\Gamma (x,p,u) = - 2p({{x}_{1}}\cos \alpha + {{x}_{2}}\sin \alpha )$ по $(p,u)$ равен нулю. Поэтому теорему 1 не удается применить для численного решения поставленной задачи, как это было сделано, например, в [9]. Однако предлагается рассмотреть некоторое возмущение исходной задачи такое, что в возмущенной задаче выполняется условие Р). Теорему 1 будем применять к возмущенной задаче.

Итак, зафиксируем малое число $\varepsilon > 0$ и рассмотрим $\varepsilon $-задачу

Здесь $w = ({{w}_{1}},{{w}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ и $v = ({{v}_{1}},{{v}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ – дополнительные переменные управления, отвечающие за регуляризацию задачи. Ясно, что задача (3) является релаксацией задачи (1), так как любой допустимый процесс задачи (1) будет допустимым и в задаче (3), если положить $v = w = 0$. Кроме того, решение в задаче (3) существует. Обозначим ее решение (какое-либо) через ${{\wp }_{\varepsilon }}: = ({{x}_{\varepsilon }},{{\alpha }_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }},{{u}_{\varepsilon }},{{v}_{\varepsilon }},{{w}_{\varepsilon }},{{T}_{\varepsilon }})$.

Покажем, что $\varepsilon $-задача регулярна. Имеет место следующее утверждение.

Предложение 1. Любое решение ${{\wp }_{\varepsilon }}$ задачи $(3)$ является регулярным относительно фазовых ограничений.

Доказательство. Имеем

В силу замечания 5 условие регулярности будет заведомо выполнено для любого оптимального процесса, если на множестве градиент функции $\Gamma $ по $(p,u,v,w)$ и градиенты активных ограничений на управление линейно независимы, т.е. линейно независима следующая система из трех векторов (множитель 2 сокращен): Здесь функция $f$ – правая часть динамической системы в (3), т.е.

Векторы ${{a}_{1}},\;{{a}_{2}},\;{{a}_{3}}$, очевидно, попарно линейно независимы при активных ограничениях на управление, так как ${\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} = 1$. Поэтому, как легко видеть, если три вектора линейно зависимы, то первый вектор (с точностью до знака) является линейной комбинацией двух других: ${{a}_{1}} = \alpha {{a}_{2}} + \beta {{a}_{3}}$, причем $\alpha \ne 0$ и $\beta \ne 0$. Тем самым $u = 0$, и

Тогда, подставляя полученное в выражения для $\Gamma $, имеем Таким образом, поскольку рассматривается случай, когда ограничения на управление активны, $\alpha = - \beta $. Учитывая, что ${\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} = 1$, имеем ${\text{|}}v{\kern 1pt} {\text{|}} = 1$ $ \Rightarrow $ ${\text{|}}\alpha {\kern 1pt} {\text{|}} = {\text{|}}\beta {\kern 1pt} {\text{|}} = \varepsilon $ $ \Rightarrow $ ${\text{|}}w{\kern 1pt} {\text{|}} = 1$ $ \Rightarrow $ $p = 0$. Следовательно, получили $p = u = 0$ и $w = - v$ $ \Rightarrow $ $f = 0$. Это означает, что условие Р) выполнено с учетом замечания 5. Тем самым установлено, что $\varepsilon $-задача регулярна. Предложение 1 доказано.

Несложно проверяется, что решения $\varepsilon $-задачи аппроксимируют решение задачи (1), а именно, имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Для любой числовой последовательности ${{\varepsilon }_{k}} \to 0$ существует решение $x{\kern 1pt} *,\;\alpha {\kern 1pt} *,\;T{\kern 1pt} *$ задачи $(1)$ и подпоследовательность ${{\varepsilon }_{{{{k}_{i}}}}}$ такие, что ${{x}_{{{{\varepsilon }_{{{{k}_{i}}}}}}}} \rightrightarrows x{\kern 1pt} *$, ${{\alpha }_{{{{\varepsilon }_{{{{k}_{i}}}}}}}} \rightrightarrows \alpha {\kern 1pt} *$, и ${{T}_{{{{\varepsilon }_{{{{k}_{i}}}}}}}} \to T{\kern 1pt} *$. Если решение задачи $(1)$ единственно, то ${{\varepsilon }_{{{{k}_{i}}}}} = {{\varepsilon }_{k}}$.

Утверждение является простым следствием слабой секвенциальной компактности шара в гильбертовом пространстве и того, что $\varepsilon $-задача является релаксацией линейно-выпуклой задачи (1).

Таким образом, установлено, что если требуется найти численно хотя бы одно (какое-либо) решение задачи (1), то при малом $\varepsilon > 0$ таким решением может быть решение $\varepsilon $-задачи (3), которое, в свою очередь, можно найти приближенно с помощью решения условий принципа максимума Понтрягина.

Перейдем к условиям принципа максимума для задачи (3). Фазовое ограничение ${\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} \leqslant 1$ заменим на эквивалентное ему ${\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}}{\text{/}}2 \leqslant 1{\text{/}}2$, что, очевидно, не отразится на свойстве регулярности $\varepsilon $-задачи. Имеем

где $\psi = ({{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}},{{\psi }_{3}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, $\mu \in \mathbb{R}$ – сопряженные переменные.

Согласно принципу максимума существуют (зависящие от $\varepsilon $) число $\lambda \geqslant 0$, абсолютно непрерывная вектор-функция $\psi (t)$ и непрерывная убывающая скалярная функция $\mu (t)$ такие, что

Уравнение для сопряженной переменной принимает вид

причем ${{\psi }_{3}}({{T}_{\varepsilon }}) = 0$.

Условие максимума распадается на два независимых условия

для п.в. $t \in [0,{{T}_{\varepsilon }}]$.

Закон сохранения и условие трансверсальности по времени дают

Кроме того, функция $\mu (t)$ постоянна на тех отрезках времени, где оптимальная траектория целиком лежит внутри фазового ограничения ${\text{|}}{{x}_{\varepsilon }}(t){\kern 1pt} {\text{|}} > 1$. Также, не ограничивая общности, согласно замечанию 4 можно полагать, что $\mu ({{T}_{\varepsilon }}) = 0$. Таким образом, $\mu (t) \geqslant 0$.

Утверждение 1. Имеет место более сильное, чем $(4)$, условие нетривиальности

Действительно, если (9) нарушается, то из (8) имеем $\lambda = 0$, а следовательно, нарушается и (4).

Таким образом, множитель $\lambda $ далее не играет существенной роли, поскольку в выражениях ниже он не участвует, и можно считать после нормировки, что

Теперь найдем выражения для вычисления управлений ${{p}_{\varepsilon }},\;{{u}_{\varepsilon }},\;{{{v}}_{\varepsilon }},\;{{w}_{\varepsilon }}$ и меры-множителя Лагранжа $\mu $.

Из условия максимума (7) имеем

где

Утверждение 2. Имеет место более сильное, чем условие $(9)$, условие нетривиальности

Действительно, вблизи границы области, используя замечание 3, из условия Р) можно вывести оценку где ${\text{const}}$ – некоторая постоянная (зависящая от $\varepsilon $, но не от $t$). Поэтому, если (10) нарушается в какой-то точке $\tau \in [0,{{T}_{\varepsilon }}]$, то используя неравенство Гронуолла, считая при этом, что $\mu (\tau ) = {{\psi }_{1}}(\tau ) = {{\psi }_{2}}(\tau ) = 0$ (что возможно в силу замечания 4), из сопряженной системы выводим, что $\mu (t) = {{\psi }_{1}}(t) = {{\psi }_{2}}(t) = 0$ $\forall {\kern 1pt} t \in [0,{{T}_{\varepsilon }}]$. Это однако противоречит (9) при $t = {{T}_{\varepsilon }}$.

Из условия максимума (6) имеем

где

Вычислим $\mu $. На границе фазового ограничения $\Gamma ({{x}_{\varepsilon }},{{\alpha }_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }},{{u}_{\varepsilon }},{{v}_{\varepsilon }},{{w}_{\varepsilon }}) = 0$, т.е. (зависимость от времени в дальнейшем для сокращения записи опускаем)

Подставляя сюда полученные выше выражения для ${{p}_{\varepsilon }},\;{{w}_{\varepsilon }},\;{{{v}}_{\varepsilon }}$, получаем где Возводим в квадрат и получаем уравнение 4-й степени на $\mu $: где

Решая его, после исключения приобретенных корней, получаем формулу

где

Формула (11) используется для расчета $\mu (t)$ только на границе фазового ограничения, т.е. на тех участках траектории робота, где $x_{{\varepsilon 1}}^{2}(t) + x_{{\varepsilon 2}}^{2}(t) = 1$. Вне границы $\mu $ не изменяется со временем. Кроме того, $\mu $ непрерывна, что позволяет найти точки стыка (т.е. точки, в которых экстремаль выходит на границу или сходит с нее). Полученное значение для $\mu $ подставляется в выражения для ${{p}_{\varepsilon }},\;{{v}_{\varepsilon }},\;{{w}_{\varepsilon }}$ и в сопряженное уравнение. Таким образом, условия принципа максимума сводятся к решению соответствующей краевой задачи.

Итак, построена регулярная аппроксимация исходной задачи (1) и приведены нужные формулы для сведения к краевой задаче. При этом возмущенная задача (3), как и исходная, также является задачей быстродействия, что мы специально отмечаем. В общем случае, т.е. для задачи управления (2), регуляризация быстродействия быстродействием представляется нетривиальной задачей. По всей видимости, такой тип регуляризации осуществим лишь при некоторых дополнительных предположениях. Тем не менее, если пренебречь свойством быстродействия аппроксимирующей задачи и, тем самым, возмущать помимо динамики еще и минимизирующий функционал, то оказывается возможным предложить достаточно общую схему регуляризации задачи управления. Более того, можно добиться даже более сильного условия регулярности относительно фазового ограничения. Такую общую схему регуляризации обсуждаем в следующем разделе.

4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

Обратимся к регуляризации общей задачи быстродействия с фазовыми ограничениями. Существует множество различных подходов к регуляризации. Ниже мы рассмотрим лишь один из таких подходов.

Рассмотрим возмущенную задачу

Здесь $v = ({{v}_{1}},...,{{v}_{n}})$ – дополнительное $n$-мерное управление.

Напомним, что фазовое ограничение называется регулярным, если $\nabla g(x) \ne 0$ $\forall {\kern 1pt} x:$ $g(x) = 0$. Ограничения на управление $\varphi (u) \leqslant 0$ регулярны, если регулярны все точки множества $U$. Эти предположения (которые естественны для ряда прикладных задач) ниже считаются a priori выполненными. В этих предположениях проверим для данных задачи (12) выполнение условия регулярности в смысле определения 2.

Для задачи (12) имеем

Градиент $\Gamma $ и градиенты активных ограничений на управление по $(u,v)$ равны: Значит, в силу регулярности фазовых ограничений и регулярности ограничений на управление в задаче (12) любой допустимый процесс регулярен относительно фазовых ограничений. Более того, как видно, выполняется даже более сильное условие регулярности, чем сформулированное в определении 2 (см., например, [7, определение 3.5]). Таким образом, получаем следующее утверждение.

Предложение 1. Пусть фазовые ограничения регулярны, и регулярны все точки $u \in U$. Тогда любой допустимый процесс задачи $(12)$ регулярен относительно фазовых ограничений.

Исследуем вопрос о существовании решения в возмущенной задаче. Заметим, что никаких геометрических ограничений на управление ${v}$ не имеется, и, следовательно, исходя из вида функционала, можно считать, что управление ${v}$ ограничено лишь по норме ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{{{L}_{2}}}}}$. Однако при известных предположениях можно гарантировать, что решение задачи (12) принадлежит пространству ${{\mathbb{W}}_{{1,2}}}([0,T])$.

Теорема 2. Предположим, что

(a) множество $U$ компактно;

(b) множество $f(x,U)$ выпукло при всех $x$;

(c) имеет место оценка ${\text{|}}f(x,u){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {\text{const}}(1 + \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}})$ $\forall {\kern 1pt} u \in U$;

(d) в исходной задаче $(2)$ существует допустимый процесс.

Тогда существует решение $({{x}_{\varepsilon }},{{u}_{\varepsilon }},{{v}_{\varepsilon }},{{T}_{\varepsilon }})$ задачи $(12)$ в классе траекторий $x \in {{\mathbb{W}}_{{1,2}}}([0,T])$ и управлений $u \in {{\mathbb{L}}_{\infty }}([0,T])$, $v \in {{\mathbb{L}}_{2}}([0,T])$ такое, что ${{x}_{\varepsilon }} \rightrightarrows {{x}_{0}}$, ${{\left\| {{{v}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{{{\mathbb{L}}_{2}}}}} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$, где ${{x}_{0}}$ – одно из решений исходной задачи $(2)$.

Доказательство. Прежде всего отметим существование решения в исходной задаче (2). Действительно, в силу сделанных предположений (a)–(d) это следует из теоремы Филиппова (см. [1]). Обозначим это решение через $(x{\kern 1pt} *,\;u{\kern 1pt} *,\;T{\kern 1pt} *)$.

Возьмем натуральное число $N$ и рассмотрим $\varepsilon ,N$-задачу, которая получается из задачи (12) путем добавления одного ограничения на управления: $\left| v \right| \leqslant N$. Процесс $(x{\kern 1pt} *,\;u{\kern 1pt} *,\;0,\;T{\kern 1pt} *)$ является допустимым в $\varepsilon ,N$-задаче, и, значит, в силу той же теоремы у нее существует решение, которое мы обозначим через $({{x}_{{\varepsilon ,N}}},{{u}_{{\varepsilon ,N}}},{{v}_{{\varepsilon ,N}}},{{T}_{{\varepsilon ,N}}})$. Устремим $N \to \infty $ и найдем искомый процесс $({{x}_{\varepsilon }},{{u}_{\varepsilon }},{{v}_{\varepsilon }},{{T}_{\varepsilon }})$.

Имеем

Отсюда, поскольку ${{T}_{{\varepsilon ,N}}} > 0$, выводим, что последовательность $\{ {{T}_{{\varepsilon ,N}}}\} $ ограничена. Переходя к подпоследовательности, ${{T}_{{\varepsilon ,N}}} \to {{T}_{\varepsilon }}$ при $N \to \infty $. Аналогично, переходя к подпоследовательности, ${{v}_{{\varepsilon ,N}}}\;\mathop \to \limits^w \;{{v}_{\varepsilon }}$ слабо в ${{\mathbb{L}}_{2}}([0,{{T}_{\varepsilon }}])$.

Из условия (с) и из (13) с помощью стандартных оценок, включающих неравенство Гронуола, получаем, что последовательность функций ${{x}_{{\varepsilon ,N}}}$ ограничена в равномерной метрике ${{\left\| {{{x}_{{\varepsilon ,N}}}} \right\|}_{C}} \leqslant {\text{const}}$. Поэтому семейство функций

равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Поэтому, переходя к подпоследовательности, можно считать, что ${{y}_{{\varepsilon ,N}}} \rightrightarrows {{y}_{\varepsilon }}$ равномерно на $[0,{{T}_{\varepsilon }}]$. При этом ${{\dot {y}}_{{\varepsilon ,N}}}\;\mathop \to \limits^w \;{{\dot {y}}_{\varepsilon }}$ слабо в ${{L}_{2}}$. Семейство функций также равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Это очевидно следует из оценки (13), так как по неравенству Коши–Буняковского Поэтому, переходя к подпоследовательности, ${{z}_{{\varepsilon ,N}}} \rightrightarrows {{z}_{\varepsilon }}$, и, значит, имеем ${{x}_{{\varepsilon ,N}}} \rightrightarrows {{x}_{\varepsilon }}: = {{y}_{\varepsilon }} + {{z}_{\varepsilon }}$. Из  условий (a), (b) в силу равномерной сходимости ${{x}_{{\varepsilon ,N}}}$ из леммы Мазура следует, что ${{\dot {y}}_{\varepsilon }}(t) \in f({{x}_{\varepsilon }}(t),U)$ для п.в. $t$. По лемме об измеримом селекторе существует управление ${{u}_{\varepsilon }}:[0,{{T}_{\varepsilon }}] \to U$ такое, что ${{\dot {y}}_{\varepsilon }}(t) = f({{x}_{\varepsilon }}(t),{{u}_{\varepsilon }}(t))$ для п.в. $t$. Таким образом, и ${{x}_{\varepsilon }}$ удовлетворяет фазовым и граничным условиям. Значит, $({{x}_{\varepsilon }},{{u}_{\varepsilon }},{{v}_{\varepsilon }},{{T}_{\varepsilon }})$ – допустимый процесс в задаче (12). Из оценки (13) в силу слабой полунепрерывности снизу функционала $J$ имеем Перейдем к пределу при $\varepsilon \to 0$. Рассуждая таким же образом, переходя к подпоследовательности, ${{T}_{\varepsilon }} \to {{T}_{0}}$, ${{x}_{\varepsilon }} \rightrightarrows {{x}_{0}} \in {{\mathbb{W}}_{{1,2}}}([0,{{T}_{0}}])$, ${{{v}}_{\varepsilon }}\;\mathop \to \limits^w \;{{v}_{0}} \in {{\mathbb{L}}_{2}}([0,{{T}_{0}}])$, $\varepsilon \to 0$. Аналогично, найдется управление ${{u}_{0}}$ такое, что процесс $({{x}_{0}},{{u}_{0}},{{T}_{0}})$ является допустимым в задаче (2). Однако и ${{v}_{\varepsilon }} \to 0$ сильно в силу оптимальности. Следовательно, процесс $({{x}_{0}},{{u}_{0}},{{T}_{0}})$ также является решением задачи (2). Теорема 2 доказана.

В классе траекторий из ${{\mathbb{W}}_{{1,2}}}([0,T])$ также справедлив принцип максимума. Его несложно вывести по аналогии с доказательством теоремы 2, применив к $\varepsilon ,N$-задаче принцип максимума для траекторий класса ${{\mathbb{W}}_{{1,\infty }}}([0,T])$ и перейдя в полученных условиях к пределу при $N \to \infty $. Для простоты изложения предположим, что $g(A) + g(B) < 0$, т.е. что концы траектории лежат строго во внутренности фазового ограничения. С одной стороны, такое предположение позволяет избежать в пределе эффекта вырождающегося принципа максимума (см. [4], [12]) – случая, который требует отдельного рассмотрения. С другой стороны, оно не является существенным для задачи об обходе препятствия мобильным роботом. Тогда, переходя стандартным образом к пределу при $N \to \infty $ в условиях принципа максимума, можно утверждать существование нетривиального набора множителей Лагранжа $({{\lambda }_{\varepsilon }},{{\psi }_{\varepsilon }},{{\mu }_{\varepsilon }})$, удовлетворяющего сопряженной системе, условию максимума и условию трансверсальности по времени. (Условие максимума выводится с помощью интегральной формы и слабой сходимости.) Условие нетривиальности

выводится с помощью условия регулярности, которое выполняется в $\varepsilon $-задаче, и рассуждений, полностью аналогичных приведенным в [13] при доказательстве теоремы 3.1 (отличие заключается лишь в использовании расширенной версии неравенства Гронуолла, см., например, упражнение 3.4 в [14]).

Рассмотрим $\varepsilon $-условие максимума по $v$. Имеем

Отсюда ввиду (14) получаем, что ${{\lambda }_{\varepsilon }} > 0$, следовательно, Таким образом, показано, что функция ${{v}_{\varepsilon }}$ ограничена, и, значит, поскольку выполнены условия регулярности, можно применить теорему 1. Поэтому функция ${{\mu }_{\varepsilon }}$ непрерывна, и, следовательно, ${{v}_{\varepsilon }}$ также непрерывна. Отметим, что сопряженная система задачи (12) отличается от исходной сопряженной системы задачи (2) наличием малого регуляризирующего члена $\varepsilon {{\mu }_{\varepsilon }}(t)g{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '({{x}_{\varepsilon }}(t)){{v}_{\varepsilon }}(t).$ Здесь функция ${{v}_{\varepsilon }}$ определяется выражением (15). При каждом $\varepsilon > 0$ эта функция ограничена и даже, как было отмечено, непрерывна. Однако неограниченные значения не исключаются при $\varepsilon \to 0$.

Заметим, что, добавив в функционал $J$ малый член $\varepsilon {{\left\| u \right\|}_{{{{L}_{2}}}}}$, наряду с регулярностью относительно фазовых ограничений, можно добиться и выполнения усиленного условия Лежандра. Тогда можно утверждать (см. [7]), что множитель ${{\mu }_{\varepsilon }}$ является даже липшицевой функцией (однако с константой Липшица, зависящей от $\varepsilon $).

Теперь применим описанную выше схему возмущения к задаче о движении мобильного робота (1). При этом понятно, что задача (12) представляет собой некоторую общую схему возмущения относительно фазового ограничения, но не учитывает возможных особых режимов. Однако, очевидно, что не все время в пути робот будет разворачиваться с максимальной по модулю угловой скоростью, и поэтому анализ особого режима по угловой скорости является критически важным для модели (1). Проблему особых режимов можно решить (по аналогии с разд. 3) с помощью дополнительной регуляризации задачи и введения дополнительных переменных управления. Другим подходом может служить возмущение минимизируемого функционала с помощью малой интегральной добавки. Ниже рассмотрим именно второй подход как альтернативу первому подходу, рассмотренному в разд. 3.

Рассмотрим возмущенную задачу

Здесь $v = ({{v}_{1}},{{v}_{2}})$ – дополнительная двумерная переменная управления. (Поясним, что рассмотрение переменной ${{v}_{3}}$ излишне, поскольку градиент фазового ограничения по $\alpha $ тождественно равен нулю.)

Имеем

Рассмотрим зависящие от параметра $\varepsilon $ число $\lambda > 0$ (случай $\lambda = 0$, как несложно проверить, исключен), абсолютно непрерывную вектор-функцию $\psi (t)$ и непрерывную и убывающую скалярную функцию $\mu (t)$, которые удовлетворяют принципу максимума. Имеем

а также

Анализ условия максимума по переменным ${{v}_{1}},\;{{v}_{2}}$ дает

Условие максимума по переменной $p$ влечет

где

Из условия максимума по переменной $u$ следует, что

Заметим, что $\left| {{{\psi }_{1}}({{T}_{\varepsilon }})} \right| + \left| {{{\psi }_{2}}({{T}_{\varepsilon }})} \right| > 0$. Действительно, иначе, учитывая, что $\mu ({{T}_{\varepsilon }}) = 0$ и ${{\psi }_{3}}({{T}_{\varepsilon }}) = 0$ ввиду условия трансверсальности по времени получаем $\lambda = 0$. Таким образом, после нормировки можно считать, что

Найдем формулы для множителей $\lambda $ и $\mu $. Используя условие трансверсальности по времени, учитывая, что $\mu ({{T}_{\varepsilon }}) = 0$, ${{\psi }_{3}}({{T}_{\varepsilon }}) = 0$ и (23), решая соответствующее квадратное уравнение и отбрасывая лишние корни, приходим к следующим выражениям для $\lambda $:

Случай 1. Пусть ${{a}_{\varepsilon }}({{T}_{\varepsilon }}) \leqslant - {{\varepsilon }^{2}}{\text{/}}\sqrt {1 - \varepsilon } $. Тогда

Случай 2. Пусть ${{a}_{\varepsilon }}({{T}_{\varepsilon }}) \in ( - {{\varepsilon }^{2}}{\text{/}}\sqrt {1 - \varepsilon } ,{{\varepsilon }^{2}}{\text{/}}\sqrt {1 - \varepsilon } )$. Тогда

Случай 3. Пусть ${{a}_{\varepsilon }}({{T}_{\varepsilon }}) \geqslant {{\varepsilon }^{2}}{\text{/}}\sqrt {1 - \varepsilon } $. Тогда

На границе фазового ограничения имеем

т.е. (Зависимость от времени в дальнейшем для удобства записи опущена.) Подставляя в это равенство полученные выше выражения для ${{p}_{\varepsilon }}$ и ${{v}_{\varepsilon }}$, при ${{a}_{\varepsilon }} \leqslant - 2\varepsilon \lambda $, ${{a}_{\varepsilon }} \in ( - 2\varepsilon \lambda ,2\varepsilon \lambda )$ и ${{a}_{\varepsilon }} \geqslant 2\varepsilon \lambda $ получаем следующие выражения для вычисления $\mu $:

Случай A. Пусть ${{a}_{\varepsilon }}(t) \leqslant - 2\varepsilon \lambda $. Тогда

Случай Б. Пусть ${{a}_{\varepsilon }}(t) \in ( - 2\varepsilon \lambda ,2\varepsilon \lambda )$. Тогда

Случай В. Пусть ${{a}_{\varepsilon }}(t) \geqslant 2\varepsilon \lambda $. Тогда

Заметим, что каждого ${{\lambda }_{1}},\;{{\lambda }_{2}}$ и ${{\lambda }_{3}}$ реализуются свои случаи А, Б и В (итак, всего имеется 9 разных случаев).

Вне границы фазового ограничения $\mu $ не изменяется со временем. Кроме того, $\mu $ непрерывна, что позволяет найти точки стыка (т.е. точки, в которых экстремаль выходит на границу или сходит с нее). Полученное значение для $\mu $ подставляется в выражения для ${{p}_{\varepsilon }},\;{{{v}}_{\varepsilon }}$ и в сопряженное уравнение. Таким образом, условия принципа максимума сводятся к решению соответствующей краевой задачи.

Теперь, считая выполненным (23), $\mu ({{T}_{\varepsilon }}) = 0$ и ${{\psi }_{3}}({{T}_{\varepsilon }}) = 0$, получим необходимые оценки сверху на ${\text{|}}\psi {\kern 1pt} {\text{|}}$ и $\mu $ в зависимости от $\varepsilon $. Поскольку из формул для $\lambda $ в общем случае имеем $\lambda = O({{\varepsilon }^{{ - 1}}})$, то из формул для ${{v}_{\varepsilon }}$ находим

Отсюда, используя сопряженное уравнение (17) и неравенство Гронуолла (напомним, что ${{v}_{\varepsilon }}$ непрерывна), стандартными рассуждениями получаем, что Поскольку ${{\left\| {{{v}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{{{L}_{2}}}}} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$, имеем $\mu (0) = o({{\varepsilon }^{{ - 2}}})$. Однако знанием о скорости сходимости ${{\left\| {{{v}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{{{L}_{2}}}}}$ к нулю мы не обладаем. Таким образом, можно гарантировать лишь следующее. Пусть Тогда $\psi $ и $\mu $ ограничены на всем отрезке движения одной константой, которая не зависит от $\varepsilon $.

В завершение теоретической части отметим, что радиус окружности, задающей фазовое ограничение, может быть выбран произвольным образом, т.е. не обязательно быть единичным. В таком случае немного меняется формула для $\mu $, где появляется радиус окружности $r$. Тем не менее, с точки зрения вычислений случай именно единичной окружности интересен тем, что он является пограничным в следующем смысле: ясно, что робот может двигаться одновременно с максимальными угловой и продольной скоростями только по единичной окружности. Если как-либо изменить радиус, то это уже не так: при $r > 1$ угловая скорость не максимальна, а при $r < 1$ – продольная.

5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Рассмотрим следующую схему приближенного решения исходной задачи (1). Фиксируем некоторое $\varepsilon \in (0,1)$ и переходим к возмущенной задаче (16), которая регуляризована. К возмущенной задаче применяем численный метод, предложенный в [9], [15]. Используем решение этой задачи для заданного $\varepsilon $ в качестве начального приближения к решению задачи (16) с меньшим значением $\varepsilon $. Решение этой задачи для наименьшего из рассмотренных значений $\varepsilon $ считаем приближением к решению исходной задачи (1).

6. ПРИЛОЖЕНИЕ

Приведем доказательство теоремы 1. Напомним следующее понятие (см. [4]).

Определение 3. В концевых точках выполняются условия управляемости относительно фазовых ограничений, если найдутся векторы ${{u}_{A}},{{u}_{B}} \in U$ такие, что

Относительно этих условий и условия регулярности имеет место следующее простое утверждение.

Предложение 2. Пусть допустимый процесс $(x,u,T)$ регулярен относительно фазовых ограничений. Тогда в концевых точках выполнены условия управляемости относительно фазовых ограничений.

Доказательство очевидно следует из определений. Перейдем к доказательству теоремы.

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим заданный оптимальный процесс управления $(x{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *,T{\kern 1pt} *)$, регулярный относительно фазовых ограничений. В силу предложения 2 в концевых точках выполнены условия управляемости относительно фазовых ограничений. Тогда ввиду результатов, полученных в [4], [7], [13], а также уточнений, сделанных в [8, лемма 4.1], существует невырождающий набор множителей Лагранжа $(\lambda ,\psi ,\mu )$ такой, что функция $\mu (t)$ непрерывна на $(0,T{\kern 1pt} *)$, и который удовлетворяет всем условиям принципа максимума, кроме условия нетривиальности, которое слабее, чем в теореме:

Ясно, что ввиду (30) и замечания 1 можно считать, что функция $\mu $ непрерывна на всем отрезке времени $[0,T{\kern 1pt} *]$.

Необходимо показать, что в условиях регулярности, сформулированных в этой работе, условие (30) влечет

Для простоты изложения предположим, что $u{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t) \in \operatorname{int} U$ для п.в. $t$. (Общий случай рассматривается в полной аналогии.) При этом предположении из условия максимума следует, что

где $H$ означает обычную функцию Гамильтона–Понтрягина Рассмотрим множество точек Отметим, что множество $\mathcal{T}$ замкнуто.

Рассмотрим произвольную точку $t \in \mathcal{T}$. В силу регулярности $\Gamma _{u}^{'}(x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t),{{u}_{0}}) \ne 0$ для некоторого ${{u}_{0}} = {{u}_{0}}(t) \in \mathcal{U}(t)$. Поэтому, взяв скалярное произведение (32) с $\Gamma _{u}^{'}(x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t),{{u}_{0}})$, учитывая, что ${\text{|}}\Gamma _{u}^{'}(x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t),{{u}_{0}}){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} > 0$, получаем, что

Используя стандартные рассуждения, основанные на соображении компактности, и условие регулярности, можно заключить, что ${\text{|}}\Gamma _{u}^{'}(x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (t),{{u}_{0}}){\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant \varepsilon $ $\forall {\kern 1pt} t \in T$ для некоторого $\varepsilon > 0$. Тогда из (33) следует оценка Здесь константа ${\text{const}}$ не зависит от $t$.

Предположим, что условие (31) нарушено. Тогда $\lambda = 0$, и существует точка ${{t}_{0}} \in [0,T{\kern 1pt} *]$ такая, что $\psi ({{t}_{0}}) = \mu ({{t}_{0}})\nabla g(x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} ({{t}_{0}}))$. Для $t \in [0,T{\kern 1pt} *]$ положим

В силу замечания 4 новый набор множителей Лагранжа $(\lambda ,\tilde {\psi },\tilde {\mu })$ снова удовлетворяет принципу максимума и (30), причем $\tilde {\mu }({{t}_{0}}) = 0$, $\tilde {\psi }({{t}_{0}}) = 0$. Для удобства переобозначим $\tilde {\mu }$, $\tilde {\psi }$ снова через $\mu $ и $\psi $ соответственно.

Сначала рассмотрим случай ${{t}_{0}} \in \mathcal{T}$. После переобозначений оценка (34) принимает следующий вид

Здесь ${{C}_{1}} > 0$ – некоторая константа.

В силу свойства Липшиц-непрерывности сопряженной функции $\psi $ имеем

при некотором $K > 0$.

Докажем оценку

Действительно, при $t \in \mathcal{T}$ эта оценка вытекает из (35) и (36). Рассмотрим точку $t \in [0,T{\kern 1pt} *]$, $t > {{t}_{0}}$, такую, что $t \notin \mathcal{T}$. Поскольку множество $\mathcal{T}$ замкнуто, а ${{t}_{0}} \in \mathcal{T}$, существует точка ${{t}_{*}} \in \mathcal{T}$, ${{t}_{0}} \leqslant {{t}_{*}} < t$, такая, что $\mathcal{T} \cap ({{t}_{*}},t] = \emptyset $. Для точки ${{t}_{*}}$ оценка (37) уже доказана. В то же время из [7, предложение 4.8] вытекает постоянство функции $\mu $ на $[{{t}_{*}},t]$. Эти рассуждения доказывают (37) справа от ${{t}_{0}}$. Точно такие же рассуждения проводятся и слева от точки ${{t}_{0}}$. Оценка (37) установлена.

Используя полученную оценку и (36), из сопряженного уравнения имеем

где ${{C}_{2}} > 0$.

Отсюда

Применяя аналогичную (37) оценку, но используя (38) вместо (36), имеем Из этой оценки и из (38), используя сопряженное уравнение, получаем Продолжая такой итеративный процесс, на $n$-м шаге имеем При этом

Переход к пределу при $n \to \infty $ показывает, что $\psi = 0$, $\mu = 0$. Значит, все множители равны нулю, что противоречит условию нетривиальности (30).

Случай ${{t}_{0}} \notin T$ легко свести к уже рассмотренному случаю из [7, предложение 4.8]. Условие (30) доказано.

Лемма 2. Пусть $(x{\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *,T{\kern 1pt} *)$ – оптимальный процесс в задаче $(2)$. Предположим, что выполнено условие: $0 \in \operatorname{int} f(x,U)$ $\forall {\kern 1pt} x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$. Тогда $\exists {\kern 1pt} \delta > 0{\text{:}}$

Доказательство проводится стандартными рассуждениями от противного.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе изучена задача управления мобильным роботом при наличии фазовых ограничений. В качестве критерия оптимальности рассмотрено быстродействие. На основе принципа максимума Понтрягина предложен алгоритм для вычисления решения. Однако прямое приложение принципа максимума не приводит к нужному результату, что обусловлено существенной нерегулярностью задачи относительно фазовых ограничений. Поэтому был предложен метод регуляризации задачи, который позволяет решить задачу приближенно с помощью $\varepsilon $-аппроксимаций. Этот метод применен к тестовой задаче о безынерционном движении трехколесного мобильного робота с передним приводом. Приведены результаты численного эксперимента. Настоящее исследование является завершением цикла работ [18]–[21] авторского коллектива по тематике задач быстродействия для мобильного робота при фазовых ограничениях.

Авторы выражают признательность рецензенту за сделанные замечания и интересный комментарий.