Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 9, стр. 1576-1586

Моделирование турбулентного течения Пуазейля–Куэтта в плоском канале асимптотическими методами

В. Б. Заметаев^{1, 2, 3, *}

¹ МФТИ
141701 М.о., Долгопрудный, Институтский пер., 9, Россия

² ФИЦ ИУ РАН
119333 Москва, ул. Вавилова, 44, Россия

³ ЦАГИ
140180 М.о., Жуковский, ул. Жуковского, 1, Россия

^* E-mail: zametaev.vb@mipt.ru

Поступила в редакцию 17.05.2020
После доработки 20.05.2020
Принята к публикации 01.06.2020

DOI: 10.31857/S0044466920090185

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе рассматривается развитое турбулентное течение вязкой несжимаемой жидкости в канале малой толщины при больших числах Рейнольдса. Мгновенная скорость потока представлена как сумма стационарной компоненты и малых возмущений, вообще говоря, отличных от традиционной осредненной скорости и пульсаций. Исследование ограничивается поиском и рассмотрением именно стационарных составляющих решения. Для анализа задачи асимптотический метод многих масштабов применяется к уравнениям Навье–Стокса, а не к уравнениям Рейнольдса, что позволяет найти и исследовать такое стационарное течение в канале без каких-либо гипотез замыкания. Основным явлением в течении Пуазейля оказывается самоиндуцированное перетекание жидкости из центра канала к стенкам, что обеспечивает подачу кинетической энергии из зоны максимальной скорости в зону генерации турбулентности вблизи обтекаемых стенок, хотя суммарная осредненная нормальная скорость конечно равна нулю. Стационарные решения для нормальной и продольной скоростей оказываются вязкими на всей толщине канала, что подтверждает хорошо известную физическую концепцию крупномасштабной “турбулентной вязкости”. Библ. 15. Фиг. 5.

Ключевые слова: турбулентность, течение в канале, математическое моделирование, асимптотические методы.

1. ВВЕДЕНИЕ

Целью данной статьи является асимптотический анализ полных уравнений Навье–Стокса для описания свойств турбулентного течения в плоском канале без дополнительных, даже физически обоснованных гипотез замыкания. В работе не исследуются уравнения Рейнольдса (RANS) с некоторыми гипотезами замыкания, используя асимптотические методы (всесторонне изученные многими авторами, например, в [1]–[3]), а уравнения Навье–Стокса в предположении большого числа Рейнольдса, малой толщины канала и малой амплитуды турбулентных пульсаций. Течение в канале является классическим объектом исследования, поэтому в статье не будут описываться хорошо известные многочисленные экспериментальные, теоретические и расчетные результаты (DNS), кроме существенных для целей данной работы.

Исследование опирается на результаты работ [4]–[6], в которых для анализа нестационарных уравнений Навье–Стокса используется метод многих масштабов. Предложенный в этих статьях метод был успешно применен авторами для тонкого турбулентного слоя смешения [4], для тонкой турбулентной двухмерной свободной струи [5] и для турбулентного пограничного слоя на плоской пластине [6]. Оказалось, что для таких, в осредненном смысле “двумерных” течений, можно представить искомые скорости как сумму стационарных и малых пульсационных составляющих, вообще говоря, не совпадающих с классическими осредненными и пульсационными величинами. Для стационарных составляющих вертикальной и продольной скоростей удалось выделить универсальную вязкую систему уравнений, причем характерный вязкий размер – это толщина изучаемого тонкого слоя. Иными словами, данные исследования подтверждают концепцию “турбулентной вязкости”, характерный размер которой заметно превышает масштаб вязкой диссипации Колмогорова. Такие стационарные решения были названы авторами вторичными, так как являются следствием быстрых пульсаций в турбулентных потоках. Важно отметить, что основным явлением в продольных тонких несжимаемых турбулентных течениях является вертикальное стационарное перетекание жидкости из областей с высокими скоростями в зону генерации турбулентности. Уравнение для вертикальной стационарной скорости оказывается вязким и нелинейным, оно отделяется и может быть решено независимо от продольного стационарного течения. Это означает основную роль именно вертикального стационарного перетекания, а продольное течение оказывается зависимым и управляется также вязким уравнением. В работах [4]–[6] удалось найти аналитические решения сформулированной фундаментальной системы уравнений.

Закономерный вопрос о поведении турбулентных пульсаций в описанных течениях изучался в частном случае в работах [7], [8]. В последней из них было проведено асимптотическое исследование двухмерных вязких пульсаций в несжимаемом турбулентном пограничном слое (ТПС), развивающемся вдоль плоской пластины. Рассмотрение коснулось только локальной задачи в зоне генерации турбулентности и в ламинарном вязком подслое.

В данной статье предложенный метод применяется для отыскания стационарного регулярного решения в канале на длинах, сравнимых с длиной канала. Для анализа полных нестационарных уравнений Навье–Стокса используется метод многих масштабов, в котором число Рейнольдса велико, относительная толщина канала мала и амплитуда пульсаций стремится к нулю. В исследовании показывается, что выведенная ранее фундаментальная система уравнений справедлива для плоского канала и может быть решена для известных классических течений.

2. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ

Рассматривается турбулентный направленный поток вязкой несжимаемой жидкости в канале длины $L$ и толщины $2h$ (см. фиг. 1). Характерные время, размер и максимальная скорость потока равны $L{\text{/}}{{U}_{c}}$, $L$, ${{U}_{c}}$ соответственно, поперечный размер канала бесконечен. Давление вводится по формуле ${{p}_{{{\text{phys}}}}} = {{p}_{0}} + (\Delta p{\text{/}}L)x + \rho U_{c}^{2}p$, где $\Delta p$ – перепад давления вдоль канала, $\rho $ – плотность жидкости. Все гидродинамические функции, длины и время обезразмерены традиционным способом, используя введенные параметры потока. Здесь и далее все величины и уравнения предполагаются безразмерными, а половинная толщина канала $\delta = h{\text{/}}L$ полагается малой величиной. Число Рейнольдса вводится как $\operatorname{Re} = {{\rho {{U}_{c}}L} \mathord{\left/ {\vphantom {{\rho {{U}_{c}}L} \mu }} \right. \kern-0em} \mu }$ и предполагается большим в данном асимптотическом исследовании, $\mu $ – коэффициент динамической вязкости. Традиционно при исследовании внутренних течений число Рейнольдса вычисляется по толщине канала, однако в данной работе более удобно его вычислять по длине. Данный выбор не является принципиальным, но более удобен для автора при сопоставлении с другими тонкими турбулентными течениями. Предполагается, что течение в канале является турбулентным, имея в виду наличие малых пульсаций давления и скоростей относительно некоторого основного стационарного профиля продольной скорости ${{u}_{0}}({{y}_{1}})$.

Фиг. 1.

Схема изучаемых течений в канале: течение Пуазейля (слева), течение Куэтта (в середине) и поток с нулевым напряжением трения на нижней стенке (справа).

Удобно записать безразмерные уравнения Навье–Стокса для приращения давления $p$, нормальной скорости ${v}$, поперечной скорости $w$ и продольной скорости $u$ в виде

(2.1)

${{\nabla }^{2}}p = - 2\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\frac{{\partial {v}}}{{\partial x}} - 2{{\left( {\frac{{\partial {v}}}{{\partial y}}} \right)}^{2}} - 2\frac{{\partial {v}}}{{\partial y}}\frac{{\partial w}}{{\partial z}} - 2{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial z}}} \right)}^{2}} - 2\frac{{\partial u}}{{\partial z}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}} - 2\frac{{\partial w}}{{\partial y}}\frac{{\partial {v}}}{{\partial z}},$

(2.2)

$\frac{{\partial {v}}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial {v}}}{{\partial x}} + {v}\frac{{\partial {v}}}{{\partial y}} + w\frac{{\partial {v}}}{{\partial z}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial y}} + \frac{1}{{\operatorname{Re} }}{{\nabla }^{2}}{v},$

(2.3)

$\frac{{\partial w}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + {v}\frac{{\partial w}}{{\partial y}} + w\frac{{\partial w}}{{\partial z}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial z}} + \frac{1}{{\operatorname{Re} }}{{\nabla }^{2}}w,$

(2.4)

$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0.$

Для решения системы (2.1)–(2.4) используется метод многих масштабов, поскольку течение содержит как минимум два очевидных характерных размера: длину $L$ и толщину $2h$. Но поскольку метод является асимптотическим, возникает принципиальный вопрос о форме асимптотического разложения решения. Обычно при рассмотрении турбулентных течений предполагается [9], что в основной части канала можно ввести осредненный профиль скорости, относительно которого имеются пульсации, но эта осредненная скорость имеет логарифмическое поведение при приближении к стенкам. Осредненная амплитуда пульсаций, рассчитанная за некоторый длительный период времени, полагается равной нулю. Однако такой подход не является достаточно общим с математической точки зрения, если решение значительно варьируется по всем осям и неизвестен период осреднения. В данной статье вместо осредненного рассматривается и ищется некоторый стационарный регулярный профиль скорости ${{u}_{0}}$, а уже к нему добавляются пульсации. Мгновенную скорость можно получить, сложив стационарную скорость ${{u}_{0}}$ и пульсации, среднее значение которых, вообще говоря, не равно нулю. Теория таких пульсаций, которые имеют особенность на обтекаемой поверхности, была предложена в [7], [8].

Дальнейший анализ в статье опирается на принципиальный факт, найденный в экспериментах [9], [10] и в теории [11], согласно которому основная часть кинетической энергии пульсаций содержится в так называемых невязких вихрях, принадлежащих «инерционному» диапазону спектра. Их характерные размеры в канале равны по порядку величины по всем осям и сопоставимы с толщиной канала $\delta $ (см. фиг. 1). Такая кубическая, невязкая в главном приближении область течения будет рассматриваться в качестве основной в дальнейшем анализе. Далее в статье учитывается, что, согласно гипотезе Рейнольдса, квадраты пульсаций (осредненные величины которых известны как напряжения Рейнольдса) должны влиять на основной поток. В результате получаем формальные оценки для пульсаций в тонком канале

$\left. \begin{gathered} {v}{\text{'}}{{\partial u{\text{'}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial u{\text{'}}} {\partial y{\text{'}}}}} \right. \kern-0em} {\partial y{\text{'}}}}\sim {{u}_{0}}{{\partial {{u}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{u}_{0}}} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}} \hfill \\ x{\text{'}}\sim y{\text{'}}\sim z{\text{'}}\sim \delta \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow {v}{\kern 1pt} {\text{'}}\sim u{\text{'}}\sim w{\text{'}}\sim {{\delta }^{{1/2}}}.$

Найдено, что амплитуды пульсаций должны быть малы в тонком канале, хотя в реальных течениях это может быть и не так. Однако статья посвящена моделированию турбулентного течения асимптотическими методами и данное предположение вполне допустимо. Из приведенных выше фактов и предположений следует, что асимптотические разложения решения и характерные переменные следует искать при $\delta \to 0$, $\operatorname{Re} \to \infty $ в виде

(2.5)

$\begin{gathered} u = {{u}_{0}}({{y}_{1}}) + {{\delta }^{{1/2}}}{{u}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}},{{t}_{1}},x) + \delta {{u}_{2}} + \; \ldots , \\ {v} = {{\delta }^{{1/2}}}{{{v}}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}},{{t}_{1}},x) + \delta {{v}_{2}} + \; \ldots , \\ w = {{\delta }^{{12}}}{{w}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}},{{t}_{1}},x) + \delta {{w}_{2}} + \; \ldots , \\ p = {{\delta }^{{1/2}}}{{p}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}},{{t}_{1}},x) + \delta {{p}_{2}} + \; \ldots , \\ {{y}_{1}} = \frac{y}{\delta },\quad {{x}_{1}} = \frac{x}{\delta },\quad {{z}_{1}} = \frac{z}{\delta },\quad {{t}_{1}} = \frac{t}{\delta }. \\ \end{gathered} $

Искомые функции зависят от медленной переменной $x$, нормированной на длину канала, и от быстрых переменных, обозначенных индексом 1. Быстрые переменные, в том числе время, нормированы на толщину канала $\delta $. Хорошо известно, что в турбулентных течениях существуют и другие масштабы, например, малый вязкий размер Колмогорова, однако в данном исследовании любые другие масштабы будут вводиться по мере необходимости.

Подставляя асимптотические разложения (2.5) в (2.1)–(2.4) и последовательно выделяя старшие члены в уравнениях Навье–Стокса, получаем в качестве главной систему уравнений для возмущений первого порядка ${{{v}}_{1}}$, ${{p}_{1}}$ и ${{w}_{1}}$, ${{u}_{1}}$:

$O\left( {\frac{{{{\delta }^{{1/2}}}}}{{{{\delta }^{2}}}}} \right)\,:\quad \frac{{{{\partial }^{2}}{{p}_{1}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{p}_{1}}}}{{\partial y_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{p}_{1}}}}{{\partial z_{1}^{2}}} + 2\frac{{\partial {{u}_{0}}}}{{\partial {{y}_{1}}}}\frac{{\partial {{{v}}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} = 0,$

$O\left( {\frac{{{{\delta }^{{1/2}}}}}{\delta }} \right)\,:\quad \frac{{\partial {{{v}}_{1}}}}{{\partial {{t}_{1}}}} + {{u}_{0}}\frac{{\partial {{{v}}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{p}_{1}}}}{{\partial {{y}_{1}}}} = 0 + O\left( {\frac{1}{{\operatorname{Re} \delta }}} \right),$

(2.6)

${{y}_{1}} = \pm 1:\quad {{{v}}_{1}} = 0;\quad \frac{{\partial {{p}_{1}}}}{{\partial {{y}_{1}}}} = 0,$

$O\left( {\frac{{{{\delta }^{{1/2}}}}}{\delta }} \right)\,:\quad \frac{{\partial {{w}_{1}}}}{{\partial {{t}_{1}}}} + {{u}_{0}}\frac{{\partial {{w}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{p}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} = 0 + O\left( {\frac{1}{{\operatorname{Re} \delta }}} \right),$

$O\left( {\frac{{{{\delta }^{{1/2}}}}}{\delta }} \right)\,:\quad \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{{v}}_{1}}}}{{\partial {{y}_{1}}}} + \frac{{\partial {{w}_{1}}}}{{\partial {{z}_{1}}}} = 0.$

В результате найдена невязкая линейная система уравнений, введенная ранее в [12], для описания эволюции малых возмущений в канале. Для полноты изложения в (2.6) указаны порядки величин отброшенных вязких членов. Отметим, что уравнения для пульсаций ${{{v}}_{1}}$, ${{p}_{1}}$ отделяются и представляют собой замкнутую задачу, в которой только лапласиан давления является трехмерным. Это означает, что если в канале с базовой скоростью ${{u}_{0}}$ имеется турбулентное течение, то основными являются пульсации ${{{v}}_{1}}$, ${{p}_{1}}$. Зная ${{p}_{1}}$, можно найти поперечные пульсации ${{w}_{1}}$ из соответствующего уравнения импульса и продольные пульсации ${{u}_{1}}$ из уравнения неразрывности.

В теории устойчивости решения невязкой линейной задачи (2.6) традиционно ищутся в виде бегущих волн ${{{v}}_{1}}\sim \exp (i\alpha ({{x}_{1}} - c{{t}_{1}}))$, причем $\alpha $ действительное, см. [13]. Следует отметить, что такие решения (названные автором решениями Первого типа) ограничены вблизи обтекаемой поверхности, в отличие от турбулентных пульсаций, которые нарастают по мере приближения к стенке. Решения первого типа хорошо известны в теории устойчивости, но, по-видимому, неприменимы для изучения турбулентности.

Второй тип невязких решений системы (2.6), имеющих сингулярность на обтекаемых стенках, был предложен в работах [7], [8] как более соответствующий турбулентным течениям.

Система (2.6) однородна и содержит производные только по быстрым переменным и в общем случае пульсации ${{{v}}_{1}}$, ${{p}_{1}}$, ${{u}_{1}}$ должны иметь в качестве слагаемых стационарные члены (обозначим их как Третий тип решений), зависящие от медленной переменной $x$. Что касается пульсации ${{w}_{1}}$, то, если нет физических причин для появления стационарной поперечной скорости в исследуемом потоке, то и такого члена не должно быть. В результате, в общем случае, в силу линейности задачи (2.6), любое ее решение является суперпозицией функций всех трех типов. Уместно выделить явно стационарные медленные члены в решении

(2.7)

$\begin{gathered} {{{v}}_{1}} = {{{v}}_{{10}}}(x,{{y}_{1}}) + {{{v}}_{{11}}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}},{{t}_{1}},x),\quad {{p}_{1}} = {{p}_{{10}}}(x) + {{p}_{{11}}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}},{{t}_{1}},x), \\ {{w}_{1}} = {{w}_{{11}}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}},{{t}_{1}},x),\quad {{u}_{1}} = {{u}_{{10}}}(x,{{y}_{1}}) + {{u}_{{11}}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}},{{t}_{1}},x). \\ \end{gathered} $

Подстановка формул (2.7) в (2.6) показывает, что медленные функции с индексами, содержащими ноль, не влияют на решение системы (2.6) и она может быть переписана без изменений для ${{{v}}_{{11}}}$, ${{p}_{{11}}}$.

Медленные функции ${{{v}}_{{10}}}$, ${{u}_{0}}$ остаются произвольными при рассмотрении задачи (2.6) и если ${{{v}}_{{10}}}$ нетривиальна, то в течении можно выделить стационарный обмен жидкостью между центральной областью канала и пристеночными зонами. Важно подчеркнуть, что стационарная вертикальная скорость ${{{v}}_{{10}}}$ не зависит от быстрой переменной ${{x}_{1}}$. Такое решение ранее не было известно и представляет особый интерес. В данной статье будут изучаться именно эти медленные стационарные нормальные скорости в каждом приближении, как имеющие особое значение, хотя из физики течения в каналах ясно, что суммарная осредненная вертикальная скорость конечно должна быть нулем.

Анализ турбулентного течения, приведенный в данной статье, в принципиальных моментах совпадает с методом, изложенным в работах [4]–[6], и фундаментальная система уравнений для стационарных скоростей в канале оказывается в точности такой же. Поэтому вывод данной системы, учитывающий особенности течения несжимаемой вязкой жидкости в канале, вынесен в Приложение. Уместно отметить, что при произвольных ${{{v}}_{{10}}}$, ${{u}_{0}}$ задача для вертикальной стационарной скорости во втором приближении оказывается неоднородной и допускает линейный рост скорости ${{{v}}_{2}}$ по быстрой переменной ${{x}_{1}}$, что нарушает справедливость асимптотического разложения (2.5). В работе удалось найти условие разрешимости, при выполнении которого скорость ${{{v}}_{2}}$ не растет линейно и разложения (2.5) справедливы. Это условие сводится к следующей нелинейной системе дифференциальных уравнений относительно ${{{v}}_{{10}}}$, ${{u}_{0}}$:

(2.8)

$\frac{1}{{\operatorname{Re} {{\delta }^{{3/2}}}}}{v}_{{10}}^{{'''}} - {{{v}}_{{10}}}{v}_{{10}}^{{''}} + {{({v}_{{10}}^{'})}^{2}} = 0,\quad \frac{1}{{\operatorname{Re} {{\delta }^{{3/2}}}}}u_{0}^{{''}} - {{{v}}_{{10}}}u_{0}^{'} + {v}_{{10}}^{'}{{u}_{0}} = 0.$

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

3.1. Течение Пуазейля в канале

Удобно сформулировать исследуемую задачу, вводя нормированные вторичные стационарные скорости и давление по следующим формулам:

(3.1)

$\begin{gathered} {{u}_{0}} = U({{y}_{1}}),\quad {{{v}}_{{10}}} = \frac{{V({{y}_{1}})}}{{\operatorname{Re} {{\delta }^{{3/2}}}}},\quad {{p}_{{20}}} = {{\left( {\frac{1}{{\operatorname{Re} {{\delta }^{{3/2}}}}}} \right)}^{2}}P({{y}_{1}}),\quad {{y}_{1}} = [ - 1;\;1], \\ V{\kern 1pt} {\text{'''}} - VV{\kern 1pt} {\text{''}} + {{V}^{{'2}}} = 0,\quad V(0) = V(1) = 0,\quad V{\kern 1pt} {\text{'}}(0) = \gamma , \\ U{\kern 1pt} {\text{''}} - VU{\text{'}} + V{\text{'}}U = 0,\quad U(0) = 1,\quad U{\kern 1pt} {\text{'}}(0) = 0. \\ \end{gathered} $

В силу симметрии течения целесообразно рассмотреть половину канала и выполнить два условия непротекания для скорости $V$: на оси симметрии канала и на стенке и, задавая производную вертикальной скорости на оси $V{\kern 1pt} {\text{'}}(0)$ в качестве третьего условия, можно найти различные решения сформулированной задачи. Однако существует единственное значение $\gamma = 3.21$, при котором продольная вторичная скорость $U$ симметрична относительно оси канала и равна нулю на стенке (см. фиг. 2). Из рисунка видно, что скорость $V > 0$, т.е. происходит стационарный отток высокоэнергетической жидкости из центральной части канала к стенкам в зону генерации турбулентности. С другой стороны, совершенно ясно, что осредненная, нормальная к оси канала скорость должна быть равна нулю в любой точке внутри канала. Таким образом, можно констатировать два эффекта с противоположным действием: стационарное вязкое течение из центральной части канала в сторону стенки с вязким размером порядка толщины канала и пульсации, генерация которых сосредоточена на малых размерах вблизи стенки и которые распространяются по всей толщине канала, компенсируя в среднем найденную стационарную скорость. Давление также падает от центра канала к стенке. Следует отметить свойства гладкости вторичного решения: давление на оси канала непрерывно, но его первая производная разрывна. Скорость $V$ и ее первая производная на оси непрерывны, но ее вторая производная является разрывной. Функция $U$ непрерывна на оси вместе с ее первой и второй производными.

Фиг. 2.

Теоретическое стационарное решение для течения Пуазейля.

На фиг. 3 стационарная вторичная скорость $U$ нанесена на распределение осредненной скорости из эксперимента Лауфера [14]. Для этого были совмещены скорости на стенке и на оси канала.

Фиг. 3.

Вторичная стационарная теоретическая скорость, наложенная на эксперимент Лауфера [14].

Именно на фоне такого профиля вторичной стационарной скорости могут поддерживаться турбулентные пульсации в канале, а перенос жидкости из ядра потока к стенкам канала обеспечивает турбулентные пульсации кинетической энергией. Зона генерации турбулентности находится рядом с обтекаемой стенкой и именно туда должна подаваться высокоэнергетическая жидкость из ядра потока. Это фундаментальная проблема снабжения энергией. Стоит отметить, что основной профиль продольной скорости находится из уравнения для линейных возмущений, т.е. процедуру осреднения следует использовать с осторожностью при анализе турбулентных течений.

Следует сказать, что в данной асимптотической модели при приближении к стенке вторичная продольная стационарная скорость существенно отличается от экспериментальных результатов, в отличие от работ [4], [5] для свободной турбулентности. Это отличие является естественным, так как существует сильная сингулярность в пульсациях скорости непосредственно около стенки, а влияние пульсаций в канале является существенным вплоть до центра. Аналитические пульсации такого типа были описаны в [7], [8] для частного двухмерного случая. Качественно структура турбулентного потока в канале показана на фиг. 4, а именно, мгновенная скорость представляет собой сумму стационарной части и сингулярных пульсаций (условно показаны ломаной линией).

Фиг. 4.

Предлагаемая структура скорости в течении Пуазейля как сумма стационарной составляющей и сингулярных пульсаций (показаны ломаной линией).

3.2. Турбулентное течение Куэтта в канале

Ламинарные и турбулентные течения Куэтта хорошо известны, и их осредненные скорости могут быть взяты, например, из [15]. Линейный профиль скорости соответствует ламинарному течению Куэтта, а в турбулентном случае профиль скорости существенно менее наполнен и имеет максимальные скорости на движущихся стенках. Течение обладает свойством антисимметрии. Примечательно, что самые быстрые жидкие частицы уже находятся прямо у стенок в зонах генерации турбулентности и передача кинетической энергии в зоны генерации не требуется.

В результате задача для стационарных составляющих скорости в течении Куэтта может быть сформулирована следующим образом:

(3.2)

$\begin{gathered} V{\kern 1pt} {\text{'''}} - VV{\kern 1pt} {\text{''}} + V{{{\kern 1pt} }^{{'2}}} = 0,\quad V( - 1) = V(1) = 0,\quad V(0) = 0, \\ U{\kern 1pt} {\text{''}} - VU{\kern 1pt} {\text{'}} + V{\kern 1pt} {\text{'}}U = 0,\quad U( - 1) = - 1,\quad U(1) = 1. \\ \end{gathered} $

Решение задачи в канале оказывается вырожденным с нулевой вторичной скоростью, перпендикулярной стенке, $V = 0$, $U = Y$, $Y = [ - 1;\;1]$, и это объяснимо, поскольку частицы жидкости, имеющие максимальные скорости, уже находятся в зоне генерации турбулентности вблизи стенок.

3.3. Течение Куэтта–Пуазейля с нулевым напряжением трения на нижней стенке

Накладывая градиент давления на течение Куэтта, можно найти целый класс так называемых течений Куэтта–Пуазейля. В исследуемой формулировке уравнение (3.2) для $V$ допускает различные решения для разных значений $V{\kern 1pt} {\text{'}}( - 1) = \gamma $. Например, на фиг. 5 показано решение для $\gamma = 1.13$, которое соответствует нулевому напряжению трения на нижней подвижной пластине канала. Видно, что положительная скорость $V$ означает отток жидкости в верхнюю часть канала, давление падает в том же направлении. Такой результат может быть достигнут при падении давления вдоль направления движения нижней стенки. Генерация турбулентности в этой ситуации будет только у верхней стенки. Согласно работе [8] нулевое напряжение стационарного вторичного потока на нижней стенке останавливает генерацию турбулентности.

Фиг. 5.

Распределениe вторичных стационарных скоростей и давления в течении Куэтта–Пуазейля без градиента (кривая $U = Y$) и с заданным градиентом (кривая $U$) давления. Напряжение трения равно нулю на нижней стенке.

4. ВЫВОДЫ

Построена асимптотическая теория вторичного стационарного течения в канале для турбулентного режима движения. Обнаружено, что, в отличие от ламинарных течений, в рассматриваемых задачах основным явлением являются быстрые пульсации нормальной скорости и давления, которые порождают стационарный перенос жидкости из ядра потока в зону генерации турбулентности (зону самоподдерживающихся пульсаций). Показано, что вторичное стационарное течение является вязким по всей толщине канала, что позволяет говорить о крупномасштабной вязкости, и оправдывает хорошо известную физическую концепцию “турбулентной вязкости”. Для течения Пуазейля в канале жидкость увлекается из ядра потока к стенкам. Для течения Куэтта решение вырождается. Найденное стационарное решение может быть названо “нелинейным механизмом подачи кинетической энергии” в зону генерации турбулентности, вообще говоря, независимо от типа генерации. Изменение давления поперек канала является существенным в таких течениях. Оказывается, что в предположении малости амплитуд возмущений, ни логарифмическая область, ни область диссипации Колмогорова не влияют на найденные решения в главном приближении.

Автор благодарен А.Р. Горбушину и И.И. Липатову за полезные дискуссии во время выполнения исследования.

Список литературы

Сычев В.В., Сычев Вик.В. О структуре турбулентного пограничного слоя // Прикл. матем. и механ. 1987. Т. 51. № 4. С. 593–599.
Schneider W. Boundary-layer theory of free turbulent shear flows // Z. Flugwiss. Weltraumforsch. (J. Flight Sci. Space Res.). 1991. V. 15 (3). P. 143–158.
Smith F.T., Scheichl B., Kluwick A. On turbulent separation // J. Engng Math. 2010. V. 68. Issue 3. P. 373–400.
Zametaev V.B., Gorbushin A.R., Lipatov I.I. Steady secondary flow in a turbulent mixing layer // Internat. Journal of Heat and Mass Transfer. 2019. V. 132. P. 655–661.
Горбушин А.Р., Заметаев В.Б., Липатов И.И. Стационарное вторичное течение в двухмерной турбулентной свободной струе // Изв. РАН МЖГ. 2019. Т. 54. № 2. С. 1–13.
Zametaev V.B., Gorbushin A.R. Stationary secondary flow in a turbulent boundary layer // Internat. Conference on High-Speed Vehicle Science and Technology (HiSST). 2018. Moscow.
Zametaev V.B., Gorbushin A.R. Evolution of vortices in 2D boundary layer and in the Couette flow // AIP Conference Proceedings. 2016. 1770. 030044. https://doi.org/10.1063/1.4963986
Горбушин А.Р., Заметаев В.Б. Асимптотический анализ вязких пульсаций в турбулентных пограничных слоях // Изв. РАН МЖГ. 2018. Т. 53. № 1. С. 9–20.
Reichardt H. Messungen turbulenter Schwankungen // Naturwissenschaften. 1938. 404.
Klebanoff P.S. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure gradient // NACA Rep. 1247. 1955.
Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1941. Т. 30. № 4. С. 299–303.
Rayleigh L. On the stability, or instability, of certain fluid motions // Sci. Papers. Cambridge: Univ. Press., 1. 1880. P. 474–487.
Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic_Stability. Second Ed. Cambridge University Press, 2004.
Laufer J. Investigation of Turbulent Flow in a Two-Dimensional Channel // NACA Rep. 1053. 1951.
Reichardt H. Uber dei Geschwindigkeitsverteilung in einer eradlinigenturbulenten Couette-Stromung // ZAMM. 1956. V. 36. Sonderheft. P. 26–29.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал