Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 12, стр. 1986-2009
ТОЖДЕСТВО ДЛЯ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ $\Lambda {\text{*}}\mathcal{A}\Lambda u + \ell = 0$ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
С. И. Репин *
Санкт-Петербургское отд. Матем. ин-та
им. В.А. Стеклова РАН
191023 Санкт-Петербург, Фонтанка, 27, Россия
* E-mail: repin@pdmi.ras.ru
Поступила в редакцию 13.03.2021
После доработки 13.03.2021
Принята к публикации 04.08.2021
Аннотация
Для класса эллиптических уравнений вида $\Lambda {\text{*}}\mathcal{A}\Lambda u + \ell = 0$ исследуется вопрос о том, как вычислить расстояние между функцией u и любым ее приближением ${v}$ из соответствующего энергетического пространства. Анализ основан на тождестве, которому удовлетворяют нормы отклонений от точного решения этой задачи и точного решения двойственной задачи. Оно имеет ряд следствий. В частности, тождество позволяет оценить максимальное и минимальное расстояния до точного решения, используя только известное приближенное решение, данные задачи и решение специально сконструированной конечномерной задачи. При этом не требуется использовать интерполяционные неравенства Клемана (Clement’s interpolation) или процедуры балансировки потока (flux equilibration). Показано, что оценки эквивалентны соответствующим нормам расстояния до решения и пригодны для широкого класса аппроксимаций, который включает как галеркинские приближения, так и достаточно грубые аппроксимации точного решения. Эти результаты проверены в серии численных экспериментов, где сравнивается эффективность различных методов. Библ. 36. Фиг. 6. Табл. 3.
1. ВВЕДЕНИЕ
Найти точные решения математических моделей, основанных на уравнениях в частных производных, как правило, не удается и приходится использовать их приближения. При этом неизбежно встает вопрос об их точности. С математической точки зрения он сводится к оценке расстояния между приближенным и точным решениями задачи. Первоначально исследования этого вопроса проводились в рамках теории априорных (асимптотических) оценок скорости сходимости к точному решению (см., например, [1]– [3]). Эти методы позволяли оценить качественный характер сходимости при наличии повышенной регулярности решения, определенной регулярности сетки и гарантии точности всех вычислений. С начала 80-х годов прошлого века новые подходы к численному анализу становятся все более связанными с адаптивными методами, которые основаны на использовании апостериорных оценок, а с середины 90-х годов прошлого века начинается интенсивное исследование полностью вычисляемых и гарантированных оценок отклонения от точного решения. Подробное изложение соответствующей теории можно найти в [4].
В настоящее время известно несколько различных методов, которые используются для апостериорного анализа качества приближенных решений различных математических задач. При их сравнении надо учитывать несколько критериев. К ним относятся точность апостериорной оценки и затраты, необходимые для ее вычисления. Конечно, имеются и другие критерии, так что сравнение разных методов и соответствующих оценок имеет смысл только в том случае, когда четко определен набор необходимых требований. Мы будем обсуждать только те оценки, которые удовлетворяют трем обязательным условиям. Во-первых, они должны быть гарантированными мажорантами или минорантами нормы разности между точными и приближенными решениями. Заметим, что в настоящее время известно много разных индикаторов ошибок. Этим вопросам посвящено очень большое количество публикаций (см. монографии [5]– [8] и цитированную в них литературу). Большинство индикаторов вычисляются достаточно просто и используются как критерии перестроения сеток в адаптивных методах. Обычно индикаторы правильно подсказывают пути разумного перестроения сетки, однако они не дают гарантированных оценок локальных или глобальных норм погрешности приближенных решений. Более того, существуют случаи, когда формальное использование индикаторов может приводить к ошибочным выводам. Из нашего рассмотрения такие методы исключаются.
Второе требование состоит в экономичности оценки. Это означает, что затраты на ее вычисление не должны многократно превышать затраты на вычисление самого приближенного решения. Третьим, и вероятно самым важным, является требование универсальности оценки, которая должна быть пригодна для широкого класса приближенных решений, включающего как галеркинские аппроксимации, так и те, что существенно отличаются от них. В реальных вычислениях всегда возникают различные ошибки, связанные с приближенным интегрированием, различными округлениями, дефектами в компьютерных программах и многими другими обстоятельствами. Точное выполнение условия галеркинской ортогональности (или другого специфического свойства аппроксимаций типа суперсходимости) трудно гарантировать и необходимо иметь методы контроля точности приближенных решений, свободные от этого и других условий, связанных с особенностями используемого численного метода. Фактически это условие означает, что оценки должны быть получены на функциональном уровне без привлечения дополнительной информации о способе дискретизации задачи, т.е. речь идет о получении вычисляемых оценок разности между точным решением u задачи и любой функцией ${v}$ из соответствующего энергетического пространства (или между точным решением p* двойственной задачи и соответствующим приближением y*). Естественно назвать их оценками отклонения от точного решения.
В данной статье исследуются методы построения таких оценок для задач типа (2.1). Анализ основан на тождестве (2.5), которому удовлетворяют нормы отклонений от точного решения этой задачи и точного решения двойственной задачи. Основным результатом можно считать то, что для этого класса задач существуют гарантированные и полностью вычисляемые оценки норм функций ${v} - u$ и $y{\text{*}} - p{\text{*}}$ (в соответствующих пространствах), которые обладают указанными свойствами. Они обладают такими же асимптотическими свойствами (в смысле скорости сходимости к точному решению), как и сами нормы отклонения, причем для доказательства этого факта не требуется использования процедур “уравновешивания” потока y* или каких-то других специальных условий, предъявляемых к ${v}$ или y*. Основная идея заключается в том, что та часть тождества (2.5), которая содержит неизвестную функцию ${v} - u$, может быть представлена через решение вспомогательной задачи. Более того, если точное решение этой задачи имеет повышенную регулярность, то можно точное решение вспомогательной задачи заменить на приближенное, а возникающие вследствие этого погрешности оценить с помощью стандартных интерполяционных оценок.
2. ТОЖДЕСТВО ДЛЯ НОРМ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ
Мы рассматриваем класс линейных эллиптических уравнений дивергентного типа, которые могут быть представлены в форме
Пусть V – банахово пространство с нормой ${\text{||}} \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{V}}$, V0 – его подпространство, $V_{0}^{ * }$ – пространство, сопряженнное к V0 , a Y* – гильбертово пространство со скалярным произведением (⋅, ⋅) и нормой ${\text{||}} \cdot \,{\text{||}}$ (элементы Y* соответствуют так называемым двойственным переменным и помечаются звездочками). Оператор $A:Y{\text{*}} \to Y{\text{*}}$ считается линейным, ограниченным и самосопряженным, а $\ell \in V_{0}^{{\text{*}}}$. Ограниченный линейный оператор $\Lambda :V \to Y{\text{*}}$ имеет сопряженный оператор $\Lambda {\text{*}}:Y{\text{*}} \to V_{0}^{ * }$, который определяется равенством
(2.2)
$(y{\text{*}},\Lambda {v}) = \langle \Lambda {\text{*}}y{\text{*}},{v}\rangle \quad \forall {v} \in V,\quad y{\text{*}} \in Y{\text{*}}.$Предполагается, что
(2.3)
$0 < {{\lambda }_{ \ominus }}{\text{||}}y{\text{*|}}{{{\text{|}}}^{2}} \leqslant (\mathcal{A}y{\text{*}},y{\text{*}}) \leqslant {{\lambda }_{ \oplus }}{\text{||}}y{\text{*|}}{{{\text{|}}}^{2}}\quad \forall y{\text{*}} \in Y{\text{*}}.$При этом нормы ${\text{||}}y{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}: = {{(\mathcal{A}y{\text{*}},y{\text{*}})}^{{1/2}}}$ и ${\text{||}}y{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}: = {{({{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}y{\text{*}},y{\text{*}})}^{{1/2}}}$ эквивалентны норме пространства Y*. Обобщенное решение задачи (2.1) определяется как функция $u \in {{V}_{0}} + {{u}_{0}}$ (где ${{u}_{0}} \in V$ – задано), удовлетворяющая интегральному тождеству
Функция $p{\text{*}}: = \mathcal{A}\Lambda u$ удовлетворяет уравнению $\Lambda {\text{*}}p{\text{*}} + \ell = 0$ и представляет собой решение соответствующей двойственной задачи (в физических задачах ее принято называть потоком).
В дальнейшем функции ${v} \in {{V}_{0}} + {{u}_{0}}$ и $y{\text{*}} \in Y{\text{*}}$ рассматриваются как аппроксимации u и p* соответственно. Нас интересуют функции
Лемма 1. Для любых ${v} \in {{V}_{0}} + {{u}_{0}}$ и $y{\text{*}} \in Y{\text{*}}$ выполняется тождество
(2.5)
${\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \,{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} = {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + 2\langle \mathcal{R}(y{\text{*}}),e\rangle ,$Доказательство (2.5) очень простое. Поскольку $p{\text{*}} = \mathcal{A}\Lambda u$, оно прямо следует из равенства
Тождество (2.5) имеет принципиальный характер. Его левая часть представляет собой естественную характеристику качества приближенных решений, заданную комбинированной (primal–dual) нормой функций отклонения. Отметим, что различные численные методы строят приближения ${v}$ и y* по-разному. Например, классический метод конечных элементов нацелен на вычисление функции ${v}$, а аппроксимация потока y* обычно определяется как функция $\mathcal{A}\Lambda {v}$ или некоторая ее регуляризация. Напротив, в популярном методе конечных объемов главное внимание уделено аппроксимации потока y*, а функция ${v}$ играет вспомогательную роль. В смешанных методах аппроксимации прямой и двойственной переменных ${v}$ и y* равноправны. Тождество (2.5) никак не связано с особенностями различных методов и в равной степени пригодно для любого из них. Аналогичные тождества известны и для многих других (в том числе нелинейных) краевых задач (см. [9]). Соответствующая теория подробно рассматривается в монографии [10], где изучаются оценки точности математических моделей.
Первое слагаемое в правой части (2.5) не содержит неизвестных функций и может быть вычислено непосредственно. Проблема заключается в другом слагаемом, которое содержит неизвестную функцию u. Это слагаемое исчезает только при выполнении условия $e{\text{*}} \in {\text{Ker}}\Lambda {\text{*}}$, которое накладывает весьма жесткое ограничение на множество допустимых функций y*, а именно,
(2.6)
$y{\text{*}} \in Q_{\ell }^{ * }: = \left\{ {y{\text{*}} \in Y{\text{*}}|\langle \Lambda {\text{*}}y{\text{*}} + \ell ,w\rangle = 0\quad \forall w \in {{V}_{0}}} \right\}.$При выполнении (2.6) тождество (2.5) принимает вид
(2.7)
${\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \,{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} = {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2}.$Существует целый класс апостериорных методов, основанных на использовании различных вариантов (2.7). В них y* определяется как численная аппроксимация потока, построенная на некоторой сетке ${{\mathcal{T}}_{h}}$ (обозначим ее $y_{h}^{ * }$), а основные усилия направляются на то, чтобы выполнить (точно или приближенно) условие (2.6). Для этого применяются различные способы проектирования функции $y_{h}^{ * }$ на множество $Q_{\ell }^{ * }$ (2.7) (см., например, [11]– [16], где рассматриваются оценки такого типа для конечноэлементных аппроксимаций). Численные процедуры, которые используются для построения соответствующего оператора ${{\mathbb{P}}_{{Q_{\ell }^{ * }}}}:Y{\text{*}} \to Q_{\ell }^{ * }$, могут быть достаточно сложными и, что самое важное, не всегда гарантируют точное выполнениe условия (2.6). При этом неконтролируемый член $\langle \mathcal{R}(y{\text{*}}),e\rangle $ в правой части тождества (2.5) считается малым и просто отбрасывается.
Возникает вопрос: можно ли существенно ослабить жесткие требования, накладываемые условием (2.6), и получить из тождества (2.5) вычисляемые и полностью гарантированные оценки для норм погрешностей, которые можно использовать для широкого класса аппроксимаций ${v}$ и y*? Положительный ответ был дан в [4], [9], [17], [18], и ряде других публикаций. Пусть
В дальнейшем мы считаем, что для любого ${v}{\text{*}} \in \mathcal{V}$ имеет место представление $\langle {v}{\text{*}},{v}\rangle = {{({v}{\text{*}},{v})}_{V}}$, $\ell \in \mathcal{V}$, а нормы согласованы, так что имеет место неравенство
(2.8)
${\text{||}}w{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}} \leqslant {{C}_{\Lambda }}{\text{||}}\Lambda w{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}\quad \forall w \in {{V}_{0}}.$Заметим, что $Q_{\ell }^{ * }$ является весьма узким аффинным подмножеством Q*. Поэтому оператор ${{\mathbb{P}}_{{Q*}}}:Y{\text{*}} \to Q{\text{*}}$ построить значительно проще, чем ${{\mathbb{P}}_{{Q_{\ell }^{*}}}}$. Такой оператор производит регуляризацию вычисленного приближенного потока y*, если последний не принадлежит Q*. При этом ${{\mathbb{P}}_{{Q*}}}$ может не быть ортогональным проектором, но должен удовлетворяеть естественным условиям
(2.9)
${{\mathbb{P}}_{{Q*}}}(y{\text{*}}) = y{\text{*,}}\quad {\text{если}}\quad y{\text{*}} \in Q{\text{*}},$(2.10)
${\text{||}}{{\mathbb{P}}_{{Q{\text{*}}}}}(y{\text{*}}) - {{\mathbb{P}}_{{Q{\text{*}}}}}(q{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} \leqslant {{C}_{\mathbb{P}}}{\text{||}}y{\text{*}} - q{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}\quad \forall y{\text{*}},q{\text{*}} \in Y{\text{*}}$Определим расстояние до множества $Q_{\ell }^{ * }$ следующим образом:
Вычисляемые мажоранты величины ${\text{d}}(y{\text{*}})$ изучались в [4], [17], [18] и ряде других работ. Было установлено, что если $y{\text{*}} \in Q{\text{*}}$, то
(2.11)
${\text{d}}(y{\text{*}}) \leqslant {{C}_{\Lambda }}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}}\quad \forall y{\text{*}} \in Q{\text{*}}.$Замечание 1. Если Λ соответствует оператору градиента, то константа CΛ определяется постоянной в неравенстве Фридрихса (или Пуанкаре, в зависимости от типа краевых условий). Ее можно уменьшить, если сузить пространство Q* и ввести промежуточное пространство $\tilde {Q}{\text{*}}$ такое, что $Q_{f}^{ * } \subset \tilde {Q}{\text{*}} \subset Q{\text{*}}$ (такие оценки подробно рассмотрены в [4]). Конечно, при этом соответствующий оператор проектирования ${{\mathbb{P}}_{{\tilde {Q}*}}}$ может оказаться технически более сложным. В данной статье мы не фокусируем внимание на этих вопросах, поскольку анализ и основные результаты не зависят от конкретного выбора Q* и соответствующего оператора ${{\mathbb{P}}_{{\tilde {Q}*}}}$.
Первым следствием тождества (2.5) является следующая теорема.
Теорема 1. Для любых ${v} \in {{V}_{0}} + {{u}_{0}}$, $w \in {{V}_{0}}$ и $y{\text{*}} \in Q{\text{*}}$ имеют место оценки
(2.12)
${\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} + {{C}_{\Lambda }}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}},$(2.13)
${\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + C_{\Lambda }^{2}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{V}}^{2},$(2.14)
${\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} + \,{\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} \geqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} - 2{{C}_{\Lambda }}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}},$(2.15)
${\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} \geqslant - {\text{||}}\Lambda w{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + 2(\mathcal{A}\Lambda {v},\Lambda w) + 2\langle \ell ,w\rangle .$Доказательство. Неравенство (2.12) следует из (2.7). Пусть $q{\text{*}} \in Q_{\ell }^{ * }$, тогда
Переходя к инфимуму по q* и используя (2.11), получаем (2.12).
Для доказательства (2.13) представим последнее слагаемое (2.5) в виде
Тождество (2.5) позволяет получить простую миноранту для суммы норм. Ясно, что
Также (2.5) позволяет вычислить нижнюю грань нормы ${\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}$. Поскольку
Замечание 2. Оценку (2.12) часто удобно представить в форме
(2.17)
${\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant \beta {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \beta {\kern 1pt} '{\kern 1pt} C_{\Lambda }^{2}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{V}}^{2},$Использование (2.3), (2.8) и оценки
(2.18)
$2{{(\Lambda {\text{*}}e{\text{*}},e)}_{\mathcal{V}}} \leqslant 2{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}}{\text{||}}e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}} \leqslant 2{{C}_{\Lambda }}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}}{\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} \leqslant \gamma C_{\Lambda }^{2}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{V}}^{2} + \frac{1}{\gamma }{\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2}$(2.19)
$\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma ^2 : = \left( {1 - \frac{1}{\gamma }} \right){\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \,{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - \tau {\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \gamma C_{\Lambda }^{2}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{V}}^{2},$(2.20)
$\left( {1 + \frac{1}{\gamma }} \right){\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \,{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \geqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - \tau {\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} - \gamma C_{\Lambda }^{2}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{V}}^{2},$Правые части (2.12)–(2.14), (2.19) и (2.20) являются полностью вычисляемыми и дают гарантированные двусторонние оценки ошибок для любых аппроксимаций ${v} \in {{V}_{0}} + {{u}_{0}}$ и $y{\text{*}} \in Q{\text{*}}$. Единственная техническая проблема, которая может возникнуть, заключается в определении постоянной CΛ. Для функций, обращающихся в нуль на всей границе области, эта проблема обычно преодолевается легко. В задачах с краевыми условиями смешанного типа можно использовать оценки, полученные в [10], [19], [20].
Оценки (2.12), (2.13), (2.19) и (2.20) являются достаточно точными, если величина ${\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}}$ мала по сравнению с ${\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - \tau {\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2}$. Если это не так, то точность оценок может существенно ухудшаться. Более того, пусть имеется последовательность приближенных решений ${{{v}}_{k}} \in V$ и $y_{k}^{*} \in Y{\text{*}}$, которые удовлетворяет условию сходимости
(2.21)
${{{v}}_{k}} \to u\quad {\text{в}}\quad V,\quad y_{k}^{ * } \to p{\text{*}}\quad {\text{в}}\quad Y{\text{*}},\quad k \to + \infty .$Пусть $\tilde {y}_{k}^{{\text{*}}}: = {{\mathbb{P}}_{{Q*}}}y_{k}^{{\text{*}}}$ рассматривается как приближение p* (так что $e_{k}^{{\text{*}}} = \tilde {y}_{k}^{{\text{*}}} - p{\text{*}}$). Вследствие (2.10), $\tilde {y}_{k}^{{\text{*}}} \to p{\text{*}}$ в Y* и левая часть (2.19) стремится к нулю. Однако для стремления к нулю правой части требуется существенно более сильное условие, а именно,
(2.22)
${\text{||}}\Lambda {\text{*}}\tilde {y}_{k}^{{\text{*}}} + \ell {\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}} \to 0,$Далее мы показываем, как можно обойти эти трудности и получить более эффективные оценки ошибок, которые сходятся к нулю при выполнении (2.21). Для этого в дополнение к (2.9) и (2.10) достаточно потребовать выполнения гораздо более слабого условия ограниченности регуляризованного потока $\tilde {y}_{k}^{{\text{*}}}$ в норме Q*. Это условие эквивалентно тому, что
(2.23)
${\text{||}}\Lambda {\text{*}}\tilde {y}_{k}^{{\text{*}}} + \ell {\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}} \leqslant c,$3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ $\langle \mathcal{R}(y{\text{*}}),e\rangle $ С ПОМОЩЬЮ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
3.1. Вспомогательная задача и ее свойства
Определим функцию ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}} \in {{V}_{0}}$ как решение задачи
(3.1)
$\Lambda {\text{*}}\mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}} = \mathcal{R}(y{\text{*}}),$(3.2)
${{\mu }_{ \ominus }}{\text{||}}y{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} \leqslant (\mathcal{B}y,y) \leqslant {{\mu }_{ \oplus }}{\text{||}}y{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2}\quad \forall y{\text{*}} \in Y{\text{*}}.$В выборе $\mathcal{B}$ имеется достаточно широкая свобода. Мы можем использовать любой оператор, который спектрально эквивалентен $\mathcal{A}$. В частности, можно выбрать сам оператор $\mathcal{A}$, а можно, например, положить $\mathcal{B} = {{\lambda }_{ \oplus }}\mathbb{I}$, где $\mathbb{I}$ – тождественный оператор (в этом случае ${{\mu }_{ \ominus }} = 1$ и ${{\mu }_{ \oplus }} = {{\lambda }_{ \oplus }}{\text{/}}{{\lambda }_{ \ominus }}$). Свободу в выборе $\mathcal{B}$ естественно использовать для того, чтобы задача (3.1) была “лучше”, чем (2.1) (проще с вычислительной точки зрения и с более регулярным решением). Функция ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}} \in {{V}_{0}}$ удовлетворяет тождеству
(3.3)
$(\mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}},\Lambda w) = \langle \mathcal{R}(y{\text{*}}),w\rangle \quad \forall w \in {{V}_{0}}.$Поскольку $(\mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}},\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}) = (y{\text{*}} - p{\text{*}},\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}) \leqslant {\text{||}}y{\text{*}} - p{\text{*||||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}{\text{||}},$ то
(3.4)
${\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}} \leqslant {\text{||}}y{\text{*}} - p{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{B}}^{{ - 1}}}}}} \leqslant \mu _{ \ominus }^{{ - 1/2}}{\text{||}}y{\text{*}} - p{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}.$Таким образом, норма решения задачи (3.1) подчинена норме отклонения y* от p*.
Пусть функция ${{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}) \in {{V}_{0}}$ определена тождеством
(3.5)
$(\mathcal{A}\Lambda {{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y*),\Lambda w) = \langle \mathcal{R}(y{\text{*}}),w\rangle \quad \forall w \in {{V}_{0}}.$Нетрудно установить, что для любого $y{\text{*}} \in Y{\text{*}}$ нормы функций ${{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}})$ и ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}})$ удовлетворяют неравенствам
(3.6)
${{\mu }_{ \ominus }}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} \leqslant {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} \leqslant {{\mu }_{ \oplus }}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2}.$Выберем y* специального вида, а именно, $y_{{v}}^{ * }: = \mathcal{A}\Lambda {v}$ и $\tilde {y}_{{v}}^{ * }: = {{\mathbb{P}}_{{Q{\text{*}}}}}y_{{v}}^{ * }$ и определим число
Лемма 2. Для ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{ * })$ и ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(\tilde {y}_{{v}}^{ * })$ верны оценки
(3.7)
$\frac{1}{{{{\mu }_{ \oplus }}}}{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{ * }){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} \leqslant \frac{1}{{{{\mu }_{ \ominus }}}}{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2},$(3.8)
$\frac{1}{{{{\mu }_{ \oplus }}}}{{({\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} - {{\varepsilon }_{{Q*}}})}^{2}} \leqslant {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(\mathop {\tilde {y}}\nolimits_{v}^ * ){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} \leqslant \frac{1}{{{{\mu }_{ \ominus }}}}{{({\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} + {{\epsilon }_{{Q*}}})}^{2}},$Доказательство. Из равенства
(3.9)
${\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} = {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{ * }){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}.$Теперь из (3.6) и (3.9) получаем
(3.10)
$\frac{1}{{{{\mu }_{ \oplus }}}}{\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} \leqslant {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{ * }){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} \leqslant \frac{1}{{{{\mu }_{ \ominus }}}}{\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2},$Для доказательства (3.8) напомним, что в соответствии с (3.5) функция ${{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}$ удовлетворяет тождеству $(\mathcal{A}\Lambda {{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(\tilde {y}_{{v}}^{*}),\Lambda w) = \langle R(\tilde {y}_{{v}}^{*}),w\rangle $ для любых $w \in {{V}_{0}}$. Поскольку
Таким образом,
Отсюда следует левая часть (3.8). Для того чтобы получить правую часть, используем (3.3):
Так как ${\text{||}}\tilde {y}_{{v}}^{*} - p{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} \leqslant {\text{||}}y_{{v}}^{*} - p{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} + {{\epsilon }_{{Q*}}}$, мы приходим к (3.8).
Первое из неравенств леммы 2 показывает, что норма ${\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{*}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}}$ эквивалентна норме отклонения ${\text{||}}y_{{v}}^{ * } - p{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}$. В частности, если $\mathcal{B} = \mathcal{A}$, то эти нормы просто совпадают. Поэтому норма решения задачи (3.1) ведет себя точно так же, как норма ${\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}$, и ее использование не может привести к переоценке ошибки. Покажем, что это свойство имеет место и для решений задачи (3.1), порожденной $\tilde {y}_{{v}}^{*}$.
Лемма 3. Пусть $y{\text{*}} \in Y{\text{*}}$, $\tilde {y}{\text{*}}: = {{\mathbb{P}}_{{Q{\text{*}}}}}y{\text{*}}$, а оператор ${{\mathbb{P}}_{{Q{\text{*}}}}}$ удовлетворяет условиям (2.9) и (2.10). Тогда для решений задачи (3.3) с правыми частями $\mathcal{R}(\tilde {y}{\text{*}})$ и $\mathcal{R}(y{\text{*}})$ верна оценка
(3.11)
${\text{||}}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(\tilde {y}{\text{*}}) - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}})){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}} \leqslant \widehat {{{C}_{\mathbb{P}}}}{\text{||}}y{\text{*}} - p{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}}.$Доказательство. Соответствующие решения ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(\tilde {y}{\text{*}})$ и ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}})$ удовлетворяют тождествам
Отсюда следует, что
Так как
Из (3.11) и (3.7) следует, что если оператор ${{\mathbb{P}}_{{Q*}}}$ удовлетворяет условиям (2.9) и (2.10), то
3.2. Преобразование $\langle \mathcal{R}(y{\text{*}}),e\rangle $
Для $y{\text{*}} \in Y{\text{*}}$ с учетом (3.3) имеем
(3.12)
$\begin{gathered} {\text{|}}\langle \mathcal{R}(y{\text{*}}),e\rangle {\text{|}} = \left| {(\mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}),\Lambda e)} \right| \leqslant {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*)|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}}{\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}} \leqslant \\ \leqslant \sqrt {{{\mu }_{ \oplus }}} {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}}{\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} \leqslant \frac{\gamma }{2}{{\mu }_{ \oplus }}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} + \frac{1}{{2\gamma }}{\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2}. \\ \end{gathered} $Из (2.5) и (3.12) следуют оценки (в (3.13) $\gamma \geqslant 1$):
(3.13)
$\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \gamma {{\mu }_{ \oplus }}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2},$(3.14)
$\frac{{\gamma + 1}}{\gamma }{\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \,{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \geqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} - \gamma {{\mu }_{ \oplus }}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{A}}}}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2}.$Определим $p_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}^{ * }: = \mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}})$. Тогда (3.13) можно переписать в виде
(3.15)
$\mathop {{\text{|||}}(e,e{\text{*}}){\text{|||}}}\nolimits_\gamma \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \gamma {{\mu }_{ \oplus }}{\text{||}}p_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}^{ * }{\text{||}}_{{{{\mathcal{B}}^{{ - 1}}}}}^{2}.$Правая часть этих оценок стремится к нулю, если ${v}$ стремится к u в $V$, а y* стремится к p* в Y*. Более того, используя (3.4), получаем
(3.16)
$\begin{gathered} {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \gamma {{\mu }_{ \oplus }}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} \leqslant \\ \leqslant {{({\text{||}}\mathcal{A}\Lambda ({v} - u){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} + \,{\text{||}}p{\text{*}} - y{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}})}^{2}} + \gamma {{c}_{ \oplus }}{\text{||}}p{\text{*}} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} = \\ = {{({\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{A}} + \,{\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}})}^{2}} + \gamma {{c}_{ \oplus }}{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant 2{\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \left( {2 + \gamma {{c}_{ \oplus }}} \right){\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \\ \end{gathered} $Однако функции ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(y{\text{*}})$ и $p_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}^{ * }$ нам неизвестны. Далее мы покажем, как модифицировать оценки (3.13)–(3.15), чтобы использовать их конечномерные аппроксимации.
3.3. Дискретная задача
Будем предполагать, что пространства $V$, Y*, Q* являются пространствами функций, определенных в ограниченной области $\Omega $ с липшицевой границей $\partial \Omega $. Область $\Omega $ разделена на непересекающиеся подобласти (ячейки, элементы) ${{\Omega }_{i}}$, $i = 1,2,...,n$, так что $\overline \Omega = \cup _{{i = 1}}^{n}{{\overline \Omega }_{i}}$. Это множество подобластей обозначим через ${{\mathcal{T}}_{\Omega }}$. Сужения норм пространств Y*, $V$ и $\mathcal{V}$ на ${{\Omega }_{i}}$ обозначаются ${\text{||}} \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\Omega }_{i}}}}}$, ${\text{||}} \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{V({{\Omega }_{i}})}}}$ и ${\text{||}} \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{\mathcal{V}({{\Omega }_{i}})}}}$ соответственно.
Определим пространство $V_{0}^{m} \subset {{V}_{0}}$, $dimV_{0}^{m} = m < \infty $, и зададим оператор интерполирования πm, который удовлетворяет условиям
(3.17)
${{\chi }_{{m,{{\Omega }_{i}}}}}(w) \leqslant {{C}_{1}}({{\Omega }_{i}}){\text{||}}w\mathop {||}\nolimits_{W({{\Omega }_{i}})} \quad {\text{и}}\quad \chi _{{m,{{\Omega }_{i}}}}^{\Lambda }(w) \leqslant {{C}_{2}}({{\Omega }_{i}}){\text{||}}w\mathop {||}\nolimits_{W({{\Omega }_{i}})} \,\,\forall w \in W.$В качестве ${{\Omega }_{i}}$ часто используются симплексы или другие выпуклые многоугольные элементы, а норма ${\text{||}}w\mathop {||}\nolimits_W $ соответствует пространству W, которое компактно вложено в $V$ (при этом областью определения оператора πm является $W \cap {{V}_{0}}$). Постоянные в (3.17) пропорциональны ${\text{diam}}{{\Omega }_{i}}$, так что возникают веса, содержащие малый параметр. Как будет видно далее, это обстоятельство позволяет существенно улучшить оценки.
Свобода в выборе оператора $\mathcal{B}$ позволяет улучшить свойства вспомогательной задачи. Может оказаться, что гарантировать повышенную регулярность решения в исходной задаче нельзя (например, в случае, когда $\mathcal{A}$ соответствует матрице с разрывными коэффициентами). Однако $\mathcal{B}$ можно выбрать достаточно гладким (или вообще не зависящим от координат), так что для любой функции $g \in \mathcal{V}$ точное решение ${{u}_{\mathcal{R}}}$ задачи $\Lambda {\text{*}}B\Lambda u = g$ принадлежит пространству $W$ и выполнена оценка
(3.18)
${\text{||}}{{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}\mathop {||}\nolimits_{W(\Omega )} \leqslant {{C}_{{{\text{reg}}}}}{\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}}.$В частности, если $\mathcal{B}$ – тождественный оператор, то достаточно, чтобы повышенной регулярностью обладало решение задачи $\Lambda {\text{*}}\Lambda {{u}_{\mathcal{R}}} = g$ с $g \in \mathcal{V}$. Если $\Lambda $ соответствует оператору градиента, то данное условие означает повышенную регулярность решения задачи $\Delta u + g = 0$ для $g \in {{L}^{2}}(\Omega )$.
Определим ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} \in V_{0}^{m}$ как решение задачи
(3.19)
$(\mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}},\Lambda {{w}_{m}}) = \langle \mathcal{R}(y{\text{*}}),{{w}_{m}}\rangle \quad \forall {{w}_{m}} \in V_{0}^{m},$Задачу (3.19) можно рассматривать как конечномерный аналог (3.3). Функции ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}$ и $p_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{ * }$ можно вычислить с помощью соответствующей численной процедуры, и мы будем считать, что они известны.
Поскольку
(3.20)
$(\mathcal{B}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}),\Lambda {{w}_{m}}) = 0\quad \forall {{w}_{m}} \in V_{0}^{m},$(3.21)
${\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} = {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} + \,{\text{||}}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2}$(3.22)
$\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \gamma {{\mu }_{ \oplus }}({\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} + \,{\text{||}}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2}),$(3.23)
$\frac{{\gamma + 1}}{\gamma }{\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \,{\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \geqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} - \gamma {{\mu }_{ \oplus }}({\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} + \,{\text{||}}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2}).$Лемма 4. При выполнении условий леммы 3 и (3.18) имеют место оценки
(3.24)
${\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}(\tilde {y}{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}} \leqslant {\text{||}}\tilde {y}{\text{*}} - p{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{B}}^{{ - 1}}}}}},$(3.25)
${\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}(\tilde {y}{\text{*}}) - \Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(\tilde {y}{\text{*}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} \leqslant \mathcal{E}({{\mathcal{T}}_{\Omega }},\tilde {y}{\text{*}},\tau {\text{*}}){{C}_{{{\text{reg}}}}}{\text{||}}\mathcal{R}(\tilde {y}{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}},$(3.26)
$\mathcal{E}({{\mathcal{T}}_{\Omega }},\tilde {y}*,\tau {\text{*}}): = \mathop {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n \sigma _{i}^{2}C_{1}^{2}({{\Omega }_{i}})} \right)}\nolimits^{1/2} + \mathop {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n \alpha _{i}^{2}C_{2}^{2}({{\Omega }_{i}})} \right)}\nolimits^{1/2} ,$Доказательство. Неравенство (3.24) следует из соотношений
Для оценки ${\text{||}}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2}$ используем тождество (2.5) в приложении к задаче
(3.27)
$\Lambda {\text{*}}\mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}(\tilde {y}{\text{*}}) = \mathcal{R}(\tilde {y}{\text{*}}).$Имеем
В силу определения функций $p_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}^{ * }$ и $p_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{ * }$ следует, что
(3.28)
${\text{||}}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} = \langle \Lambda {\text{*}}p_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{ * } - \mathcal{R}(\tilde {y}{\text{*}}),{{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}\rangle .$Использовав и (3.19) и (3.20), преобразуем правую часть (3.28) следующим образом:
Получились слагаемые, которые содержат погрешности интерполяции. Их можно оценить:
Их сумма оценивается величиной
Замечание 3. Можно выбрать $\tau {\text{*}} = \mathop {\tilde {p}}\nolimits_{\mathcal{B}\mathcal{R},m}^ * (\tilde {y}{\text{*}}): = {{\mathbb{P}}_{{Q*}}}p_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{ * }(\tilde {y}{\text{*}}) \in Q{\text{*}}$, т.е. определить эту функцию как регуляризацию потока $\mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}(\tilde {y}{\text{*}}) \in Y{\text{*}}$. В этом случае интерполяционный член можно оценить так:
(3.29)
$\mathcal{E}({{\mathcal{T}}_{\Omega }},\tilde {y}{\text{*}},\tau {\text{*}}) \leqslant {{C}_{1}}{\text{||}}\Lambda {\text{*}}\tilde {p}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{*}(\tilde {y}{\text{*}}) - \Lambda {\text{*}}\tilde {y}{\text{*}} - \ell {\text{||}}_{{\mathcal{V}(\Omega )}}^{2} + {{C}_{2}}{\text{||}}p_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{*}(\tilde {y}{\text{*}}) - \tilde {p}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{*}(\tilde {y}{\text{*}}){\text{||}}_{\Omega }^{2},$В заключение отметим, что норму разности ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}$ можно оценить, не используя регулярность задачи (3.1).
Лемма 5. Для любой функции $\eta \in {{V}_{0}}$ такой, что $\Lambda {\text{*}}\mathcal{B}\Lambda \eta \in \mathcal{V}$, имеет место оценка
(3.30)
${\text{||}}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} \leqslant {{M}^{2}}(\eta ,\tilde {y}{\text{*}},p_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{*},\tilde {p}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{*}) + 2\mathcal{L}({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}},\eta ),$Доказательство. Преобразуем (3.28) следующим образом:
Поскольку
4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (3.1)
Покажем, как модифицировать оценки (3.13)–(3.15), чтобы использовать конечномерные аппроксимации ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}$ и $p_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{*}$.
4.1. Оценка комбинированной нормы
Если решение задачи (3.1) удовлетворяет условию (3.18), то из (3.22) и (3.25) следует, что для любых функций ${v} \in {{V}_{0}} + {{u}_{0}}$ и $y{\text{*}},\tau {\text{*}} \in Q{\text{*}}$ выполняется следующая оценка:
(4.1)
$\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \gamma {{\mu }_{ \oplus }}({\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} + \mathcal{E}({{\mathcal{T}}_{\Omega }},y{\text{*}},\tau {\text{*}}){{C}_{{{\text{reg}}}}}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{||}}),$Первые два слагаемых в правой части (4.1) вычисляются непосредственно и образуют главную часть оценки. Слагаемое $\mathcal{E}({{\mathcal{T}}_{\Omega }},y*,\tau *)$ представляет собой остаточный (интерполяционный) член, появление которого обусловлено тем, что мы заменили точное решение ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}$ на его приближение в рамках пространства $V_{0}^{m}$. Нетрудно видеть, что если заменить ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}$ на ${{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}$ и выбрать $\tau {\text{*}} = \mathcal{B}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}$, то этот член обращается в нуль.
Из (3.30) следует другая оценка, которая не связана с условием (3.18):
4.2. Оценки норм ${\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2}$ и ${\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}$
Оценка нормы ${\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}$ следует из (3.13). Положив $\gamma = 1$, получаем
(4.2)
${\text{||}}e{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + {{\mu }_{ \oplus }}{\text{||}}\Lambda {{u}_{\mathcal{R}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2}.$Используя задачу (3.1), можно также получить двусторонние оценки отдельно для нормы ${\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2}$. Для получения мажоранты умножим (2.1) на $w$, используем (2.2) и представим выражение в виде
Положим w = e. Тогда
Последнее слагаемое можно преобразовать с помощью (3.3)
(4.3)
${\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} + \mu _{ \oplus }^{{1/2}}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}}.$C учетом (3.4), правую часть (4.3) можно оценить так:
Таким образом, если ${\text{||}}p{\text{*}} - y{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} \leqslant C{\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}$, то оценка эквивалентна ошибке. Если в качестве y* выбирается $y_{{v}}^{ * } = \mathcal{A}\Lambda {v}$, то это условие очевидно выполняется с C = 1. Любая разумная регуляризация $\tilde {y}* = {{\mathbb{P}}_{{Q*}}}y_{{v}}^{ * }$ должна стремиться к p* с той же скоростью, с которой $y_{{v}}^{ * }$ стремится p*. Поэтому для $\tilde {y}{\text{*}}$ эквивалентность также имеет место.
Для того чтобы сделать оценку полностью вычисляемой, заменим решение задачи (3.3) на решение конечномерной задачи (3.19). Возводя обе части (4.3) в квадрат и используя (3.21) и (3.25), получаем
(4.4)
${\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} \leqslant \beta {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + {{\mu }_{ \oplus }}\beta {\kern 1pt} '({\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} + \,{\text{||}}\Lambda ({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R}}}} - {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}){\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2}).$Для оценки последнего слагаемого можно использовать лемму 5. Этот способ приводит к оценке
(4.5)
${\text{||}}\Lambda e{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} \leqslant \beta {\text{||}}\mathcal{A}\Lambda {v} - y{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + {{\mu }_{ \oplus }}\beta {\kern 1pt} '({\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}{\text{||}}_{B}^{2} + {{M}^{2}}(\eta ,\tilde {y}*,p_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{ * },\tilde {p}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}^{ * }) + 2\mathcal{L}({{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}},\eta )).$Другой вариант заключается в использовании интерполяционных оценок. Применив их к (4.4), получаем
где $\varepsilon : = \mathcal{E}({{\mathcal{T}}_{\Omega }},y{\text{*}},\tau {\text{*}}){{C}_{{{\text{reg}}}}}{\text{||}}\mathcal{R}(y{\text{*}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{V}}}$. Аналогичная процедура трансформирует (4.2) в оценку
Для нормы ${\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}$ можно получить оценку снизу.
Лемма 6. Пусть $y_{{v}}^{ * } = \mathcal{A}\Lambda {v}$. Тогда
(4.8)
${\text{||}}\Lambda e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} = {\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{ * }){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} \geqslant \mu _{ \ominus }^{{1/2}}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}(y_{{v}}^{ * }){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}},$(4.9)
$(\mathcal{A}\Lambda {{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{ * }),\Lambda w) = \langle \mathcal{R}(y_{{v}}^{ * }),w\rangle \quad \forall w \in {{V}_{0}},$Доказательство. В соответствии с (2.15)
Супремум равен $\frac{1}{2}{\text{||}}\Lambda {{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{ * }){\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2}$ и достигается на функции ${{u}_{{\mathcal{A}\mathcal{R}}}}(y_{{v}}^{ * })$, которая решает задачу (4.9). При этом из равенства
Поэтому (см. (3.19))
В задаче (3.19) $\mathcal{R}(y*) \in V_{0}^{ * }$. Для того чтобы использовать решение задачи с правой частью из более регулярного класса $\mathcal{V}$, используем регуляризацию $\tilde {y}_{{v}}^{ * }: = {{\mathbb{P}}_{{Q*}}}y_{{v}}^{ * } \in Q{\text{*}}$. Определим ${{\tilde {u}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}$ как решение задачи
(4.10)
$(\mathcal{B}\Lambda {{\tilde {u}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}},\Lambda {{w}_{m}}) = {{(\mathcal{R}(\tilde {y}_{{v}}^{ * }),{{w}_{m}})}_{\mathcal{V}}}\quad \forall {{w}_{m}} \in V_{0}^{m}.$Перепишем оценку в виде
Выберем $w = t{{\tilde {u}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}$ и используем равенство ${\text{||}}\Lambda {{\tilde {u}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} = \langle \mathcal{R}(\tilde {y}_{{v}}^{ * }),{{\tilde {u}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}\rangle $. Оценка приобретает вид
Вычисляя максимум по t, получаем простую миноранту для нормы отклонения от точного решения
(4.11)
${\text{||}}\Lambda e{\text{||}} \geqslant \frac{{\mu _{ \ominus }^{{1/2}}}}{{{\text{||}}\Lambda {{{\tilde {u}}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{B}}}}}{\text{|||}}\Lambda {{\tilde {u}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}{\text{||}}_{\mathcal{B}}^{2} + (\tilde {y}_{{v}}^{ * } - y_{{v}}^{ * },\Lambda {{\tilde {u}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}){\text{|}} = :{{M}_{ \ominus }}({v},{{\tilde {u}}_{{\mathcal{B}\mathcal{R},m}}}),$5. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения ${\text{div}}\mathcal{A}\nabla u + f = 0$ в ограниченной липшицевой области $\Omega $ с краевым условием $u = {{u}_{0}}$ на границе $\partial \Omega $ и $f \in {{L}^{2}}(\Omega )$. В этом случае
Пусть ${v} = {{{v}}_{h}} \in {{V}_{{0h}}} + {{u}_{0}}$ является конформной аппроксимацией точного решения $u$ на подпространстве, связанном с разбиением ${{\mathcal{T}}_{h}}$ на конечные элементы с характерным размером h. В частности, ${{{v}}_{h}}$ может совпадать с галеркинской аппроксимацией ${{u}_{h}}$, определенной соотношением
(5.1)
$\int\limits_\Omega ^{} {\mathcal{A}\nabla {{u}_{h}} \cdot \nabla {{w}_{h}}dx = \,} \int\limits_\Omega ^{} {fwdx\quad \forall {{w}_{h}} \in {{V}_{{0h}}} \subset {{V}_{0}}.} $Вектор-функция $y_{h}^{ * } = \mathcal{A}\nabla {{{v}}_{h}}$ является аппроксимацией точного потока $p{\text{*}} = \mathcal{A}\nabla u$. Она не обладает никакой дополнительной регулярностью и может быть кусочно-непрерывной функцией. Оператор ${{\mathbb{P}}_{{Q*}}}$ обычно задается с помощью операции усреднения на отдельных фрагментах сетки ${{\mathcal{T}}_{h}}$ (patch averaging) или глобально (global averaging). Мы будем обозначать его ${{\mathbb{G}}_{h}}$, так что $\mathop {\tilde {y}}\nolimits_h^{\text{*}} : = {{\mathbb{G}}_{h}}y_{h}^{{\text{*}}} \in Q{\text{*}}$ является регуляризацией потока. В литературе подробно изучены различные операторы, которые часто используются для этой цели (см. [8], [21]– [26] и многие другие работы).
5.1. Оценки (2.12)–(2.15) и (2.19)
В рассматриваемом случае эти оценки имеют вид
(5.2)
${\text{||}}\nabla ({{{v}}_{h}} - u){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\nabla {{{v}}_{h}} - \tilde {y}_{h}^{*}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} + {{C}_{\Lambda }}{\text{||}}\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*}){\text{||}},$(5.3)
${\text{||}}\tilde {y}_{h}^{*} - p{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\nabla w - \tilde {y}_{h}^{*}{\text{||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + C_{\Lambda }^{2}{\text{||}}\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*}){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}\quad \forall w \in {{V}_{0}} + {{u}_{0}},$(5.4)
${\text{||}}\nabla ({{{v}}_{h}} - u){\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} \geqslant - {\text{||}}\nabla w{\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + 2(\mathcal{A}\nabla {{{v}}_{h}},\nabla w) + 2\langle \ell ,w\rangle \quad \forall w \in {{V}_{0}},$(5.5)
$\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }{\text{||}}\nabla ({{{v}}_{h}} - u){\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \,{\text{||}}\tilde {y}_{h}^{*} - p{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\nabla {{{v}}_{h}} - \tilde {y}_{h}^{*}{\text{||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \gamma C_{\Lambda }^{2}{\text{||}}\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*}){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}},$(5.6)
${\text{||}}\nabla ({{{v}}_{h}} - u){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}\, + \,{\text{||}}\tilde {y}_{h}^{*} - p{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} \geqslant {\text{||}}\mathcal{A}\nabla {{{v}}_{h}} - \tilde {y}_{h}^{*}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} - 2{{C}_{\Lambda }}{\text{||}}\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*}){\text{||}},$Замечание 4. Современные вычислительные технологии, как правило, используют адаптивные методы, которые решают задачу на последовательности сеток ${{\mathcal{T}}_{k}}$, $k = 1,2,...,m$, которые последовательно улучшаются там, где это рекомендуют апостериорные индикаторы ошибок. Пусть ${{{v}}_{k}}$ и $y_{k}^{ * }: = \mathcal{A}\nabla {{{v}}_{k}}$ обозначают приближенные решения, полученные на сетке ${{\mathcal{T}}_{k}}$, а $\tilde {y}_{{k + 1}}^{*}: = {{\mathbb{G}}_{{{{T}_{k}}}}}y_{{k + 1}}^{*} \in Q{\text{*}}$ является регуляризацией потока на ${{\mathcal{T}}_{{k + 1}}}$. Теперь оценку (5.2) можно представить в виде
(5.7)
${\text{||}}\nabla ({{{v}}_{k}} - u){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}} \leqslant {\text{||}}\tilde {y}_{k}^{*} - \tilde {y}_{{k + 1}}^{*}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}} + {{C}_{\Lambda }}{\text{||}}\mathcal{R}(\tilde {y}_{{k + 1}}^{*}){\text{||}}.$Правая часть (5.7) полностью определяется приближенными решениями, полученными на ${{\mathcal{T}}_{k}}$ и ${{\mathcal{T}}_{{k + 1}}}$, и легко вычисляется. Эта оценка показывает правильную форму эвристического критерия Рунге, который часто используется в инженерных расчетах (вычисления прекращаются, если разность ${{{v}}_{k}} - {{{v}}_{{k + 1}}}$ мала, т.е. уточнение сетки не приводит к существенному изменению приближенного решения). На самом деле близость ${{{v}}_{k}}$ и ${{{v}}_{{k + 1}}}$ не гарантирует близости этих функций к точному решению. Оценка (5.7) показывает, что правильный критерий включает два слагаемых, одно из которых зависит от разности потоков, построенных на сетках ${{\mathcal{T}}_{k}}$ и ${{\mathcal{T}}_{{k + 1}}}$, а второе от нормы $\mathcal{R}(\tilde {y}_{{k + 1}}^{*})$.
5.2. Оценки, использующие решение задачи (3.1)
Приведем оценки, в которых используется решение вспомогательной задачи (см. также разд. 2.6.5 книги [10], где рассматривается двойственная (dual mixed) формулировка вспомогательной задачи).
В самом простом случае используется задача с единичным оператором $\mathcal{B}$. Пусть ${{u}_{\mathcal{R}}}$ удовлетворяет уравнению
(5.8)
$\Delta {{u}_{\mathcal{R}}} + \mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*}) = 0\quad {\text{в}}\quad \Omega $(5.9)
${\text{|}}{{u}_{\mathcal{R}}}{{{\text{|}}}_{{2,2,\Omega }}} \leqslant {{c}_{{{\text{reg}}}}}{\text{||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\Omega }}.$Например, в выпуклой области такая регулярность решения имеет место, причем ${{c}_{{{\text{reg}}}}} = 1$ (см. [27]).
В качестве $V_{0}^{m}$ используем конечномерное пространство ${{V}_{{0{\text{H}}}}} \subset {{V}_{0}}$. Оно может быть вложено в ${{V}_{{0h}}}$ или совпадать с этим пространством, но может быть и совершенно независимым. Будем считать, что соответствующая сетка ${{\mathcal{T}}_{{\text{H}}}}$ образована подобластями ${{\Omega }_{i}}$, $i = 1,2,...,{{n}_{{\text{H}}}}$, с кусочно-гладкими липшицевыми границами. Приближенное решение ${{\tilde {u}}_{{\mathcal{R},{\text{H}}}}} \in {{V}_{{0{\text{H}}}}}$ задачи (5.8) удовлетворяет тождеству
(5.10)
$\int\limits_\Omega ^{} {\nabla {{{\tilde {u}}}_{{\mathcal{R},{\text{H}}}}} \cdot \nabla {{w}_{{0{\text{H}}}}}dx = } \,\int\limits_\Omega ^{} {\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*}){{w}_{{\text{H}}}}dx\quad \forall {{w}_{{0{\text{H}}}}} \in {{V}_{{0{\text{H}}}}}} .$Существенным условием является наличие интерполяционного оператора ${{\pi }_{{\text{H}}}}$, который непрерывен и удовлетворяет условию ${{\pi }_{{\text{H}}}}{{w}_{{0{\text{H}}}}} = {{w}_{{0{\text{H}}}}}$ для любой функции ${{w}_{{0{\text{H}}}}} \in {{V}_{{0{\text{H}}}}}$.
Если области Ωi являются симплексами, а $w \in {{H}^{2}}$, то ${{\pi }_{{\text{H}}}}$ может быть ассоциирован с хорошо изученным интерполяционным оператором, который определяется условиями ${{\pi }_{{\text{H}}}}w \in {{P}^{1}}({{\Omega }_{i}})$ и ${{\pi }_{{\text{H}}}}w({{x}_{i}}) = w({{x}_{i}})$, где ${{x}_{i}}$ – вершины симплекса. Оценки (3.17) приобретают вид
(5.11)
${\text{||}}w - {{\pi }_{{\text{H}}}}w{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{2,{{\Omega }_{i}}}}} \leqslant {{C}_{{{\text{H}},1}}}({{\Omega }_{i}}){\text{||}}w\mathop {||}\nolimits_{2,2,{{\Omega }_{i}}} ,\quad {\text{||}}\nabla (w - {{\pi }_{{\text{H}}}}w){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{2,{{\Omega }_{i}}}}}(w) \leqslant {{C}_{{{\text{H}},2}}}({{\Omega }_{i}}){\text{||}}w\mathop {||}\nolimits_{2,2,{{\Omega }_{i}}} .$Ряд исследований был посвящен получению достаточно точных оценок констант ${{C}_{{{\text{H}},1}}}$ и ${{C}_{{{\text{H}},2}}}$ для аффинных интерполянтов функций из H2 на треугольных и четырехугольных элементах ${{T}_{{\text{H}}}}$ (см. [28]–[30]). Известно, что для такого оператора интерполяционные константы удовлетворяют условиям ${{C}_{{{\text{H}},1}}} \leqslant {{c}_{1}}\mathop {\text{H}}\nolimits^2 $ и ${{C}_{{{\text{H}},2}}} \leqslant {{c}_{1}}{\text{H}}$ (см., например, [2]). Работа [31] обобщает эти результаты и обсуждает их применение для построения априорных и апостериорных оценок в задаче $\Delta u + f = 0$ с однородными условиями Дирихле. В частности, для треугольной области ${{T}_{{\text{H}}}} \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ со сторонами ${\text{H}}$ и $\alpha {\text{H}}$ ($\alpha > 0$) и углом $\theta \in (0,2\pi )$ между ними было показано, что
(5.12)
${{C}_{{{\text{H}},1}}}({{T}_{{\text{H}}}}) \leqslant \frac{{{{\nu }_{ + }}(\alpha ,\theta )}}{2}{{{\text{н}}}^{2}}{{\mathbb{C}}_{1}},\quad {{C}_{{{\text{H}},2}}}({{T}_{{\text{H}}}}) \leqslant \frac{{{{\nu }_{ + }}(\alpha ,\theta )}}{{\sqrt {2{{\nu }_{ - }}(\alpha ,\theta )} }}{\text{H}}{{\mathbb{C}}_{2}},$Теперь интерполяционный член (4.1) вычисляется по формуле
(5.13)
$\frac{{\gamma - 1}}{\gamma }{\text{||}}\nabla ({{u}_{h}} - u){\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} + \,{\text{||}}\tilde {y}_{h}^{*} - p{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\nabla {{u}_{h}} - \tilde {y}_{h}^{*}{\text{||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + \frac{\gamma }{{{{\lambda }_{ \ominus }}}}[{\text{||}}\nabla {{u}_{{\mathcal{R},{\text{H}}}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}} + \epsilon ]$Приведем также оценки (4.6) и (4.7) :
(5.14)
${\text{||}}\nabla ({{u}_{h}} - u){\text{||}}_{\mathcal{A}}^{2} \leqslant \beta {\text{||}}\mathcal{A}\nabla {{u}_{h}} - \tilde {y}_{h}^{*}{\text{||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + {{\mu }_{ \oplus }}\beta {\kern 1pt} '({\text{||}}\nabla {{u}_{{\mathcal{R},{\text{H}}}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}} + \varepsilon ),$(5.15)
${\text{||}}\tilde {y}_{h}^{*} - p{\text{*||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} \leqslant {\text{||}}\mathcal{A}\nabla {{u}_{h}} - \tilde {y}_{h}^{*}{\text{||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2} + {{\mu }_{ \oplus }}({\text{||}}\nabla {{u}_{{\mathcal{R},{\text{H}}}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}} + \varepsilon ).$5.3. Асимптотические свойства оценок
Рассмотрим важный частный случай, когда задачи (2.1) и (3.1) приближенно решаются на одной и той же сетке ${{\mathcal{T}}_{h}}$ (т.е. $h = {\text{H}}$). Естественно выбрать $\tau {\text{*}} = \tilde {p}_{{\mathcal{R},h}}^{ * }: = {{\mathbb{G}}_{h}}\nabla {{u}_{{\mathcal{R},h}}}$, где ${{\mathbb{G}}_{h}}$ – введенный выше оператор регуляризации (осреднения). В этом случае ${{\alpha }_{i}} = {\text{||}}p_{{\mathcal{R},h}}^{ * } - \tilde {p}_{{\mathcal{R},h}}^{ * }{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\Omega }_{i}}}}}$ представляет собой погрешность регуляризации, а ${{\sigma }_{i}}$ характеризует невязку уравнения (5.8), возникшую вследствие того, что вектор-функция $p_{{\mathcal{R},h}}^{ * }$ заменена на регуляризацию ${{\mathbb{G}}_{h}}p_{{\mathcal{R},h}}^{ * }$.
Предположим, что задача решается на последовательности сеток ${{\mathcal{T}}_{h}}$, которые удовлетворяют необходимым условиям регулярности (см., например, [2], [6]), так что ${\text{||}}\nabla (u - {{u}_{h}}{\text{)||}}$ убывает пропорционально $h$. Пусть оператор ${{\mathbb{G}}_{h}}$ на сетках ${{\mathcal{T}}_{h}}$ удовлетворяет условиям (2.9), (2.10) и (2.23). Тогда $p_{h}^{*}$ стремится к p* в норме ${{L}^{2}}(\Omega )$ со скоростью $h$ и, согласно (2.10), $\tilde {p}_{h}^{*}$ стремится к p* в норме ${{L}^{2}}(\Omega )$ также со скоростью $h$.
Левая часть (5.13) убывает пропорционально h2. Нетрудно видеть, что ${\text{||}}\mathcal{A}\nabla {{u}_{h}} - \tilde {y}_{h}^{*}{\text{||}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}^{2}$ также убывает со скоростью h2. В соответствии с (3.24) норма ${\text{||}}\nabla {{u}_{{\mathcal{R},m}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}$ убывает с той же скоростью. Рассмотрим последнее слагаемое. Норма ${\text{||div}}\tilde {y}_{h}^{*} - f{\text{||}}$ ограничена постоянной, не зависящей от h. Поэтому асимптотические свойства определяются поведением $\mathcal{R}({{\mathcal{T}}_{{\text{H}}}},\tilde {y}_{h}^{*},\tau {\text{*}})$. В соответствии с (3.29)
На последовательности сеток ${{\mathcal{T}}_{h}}$ решения вспомогательной задачи сходятся к ${{u}_{\mathcal{R}}}$ в норме H1 со скоростью h (эта задача является упрощением исходной, поэтому скорость сходимости ${{u}_{{\mathcal{R},h}}}$ к точному решению не хуже, чем скорость сходимости ${{u}_{h}}$, определенной (5.1)). Поэтому норма ${\text{||}}p_{{\mathcal{R},h}}^{*} - \tilde {p}_{{\mathcal{R},h}}^{*}{\text{||}}$ убывает не медленнее, чем $h$. Таким образом, величина $\epsilon $ убывает как h2 и мы заключаем, что правая часть (5.13) убывает с той же скоростью, что и норма отклонения в левой части. Такими же асимптотическими свойствами обладают оценки (5.14) и (5.15).
В ряде случаев (при дополнительной регулярности точного решения $u$ и специальных свойств аппроксимирующих подпространств) удается доказать, что $\tilde {y}_{h}^{*}$ сходится к p* (в норме Y*) быстрее чем $y_{h}^{*}$ (этот феномен известен как суперсходимость, см. [21], [23], [24], [26], [32]– [35]). Тогда оценка (3.24) показывает, что норма решения вспомогательной задачи ${\text{||}}\nabla {{u}_{{\mathcal{R},h}}}(\tilde {y}_{h}^{*}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{R}}}$ также убывает с повышенной скоростью, что улучшает качество оценок (5.14) и (5.15). Более того, в этом случае естественно ожидать, что суперсходимость можно получить и в более простой вспомогательной задаче и что член $\mathcal{R}({{\mathcal{T}}_{h}},\tilde {y}_{h}^{*},\tilde {p}_{{\mathcal{R},h}}^{*})$ будет также убывать с повышенной скоростью.
5.4. Сравнение с интерполяционными оценками Клемана
Большая часть работ, посвященных апостериорным оценкам для уравнений в частных производных, связана с так называемым методом невязок (explicit residual method, см., например, [8]). Этот метод использует галеркинскую ортогональность приближенного решения и весьма сложные операторы интерполирования, такие как оператор Клемана (см. [36]). Для подобласти (конечного элемента) ${{\Omega }_{k}}$ и общей для ${{\Omega }_{k}}$ и ${{\Omega }_{l}}$ грани ${{\Gamma }_{{kl}}}$ оценки Клемана имеют вид
(5.16)
${\text{||}}{v} - {{\pi }_{h}}{v}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\Omega }_{k}}}}} \leqslant {{\gamma }_{{1k}}}{\text{diam}}({{\Omega }_{k}}){\text{||}}{v}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{1,2,{{\omega }_{{1k}}}({{\Omega }_{k}})}}},$(5.17)
${\text{||}}{v} - {{\pi }_{h}}{v}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\Gamma }_{{kl}}}}}} \leqslant {{\gamma }_{{2k}}}{\text{|}}{{\Gamma }_{{kl}}}{{{\text{|}}}^{{1/2}}}{\text{||}}{v}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{1,2,{{\omega }_{{2k}}}({{\Gamma }_{{kl}}})}}},$В (5.13)–(5.15) используются простые интерполяционные оценки (5.11). Нормы, стоящие в их правой части, определяются только на том элементе, где осуществляется интерполирование, а постоянные (5.12) известны и при изменении сетки эти постоянные легко пересчитываются. Оценки (5.13)–(5.15) не используют ортогональность галеркинских аппроксимаций и верны для любых приближенных решений. Приведенные ниже примеры подтверждают их эффективность для самых разных приближенных решений. Конечно, эти преимущества основаны на использовании повышенной регулярности решения вспомогательной задачи. Проверка этого требования может быть простой в одних случаях (например, для выпуклых областей или областей с гладкими границами) и сложной в других.
5.5. Пример
Мы сравним эффективность различных оценок на примере простой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
(5.18)
$\frac{d}{{dx}}\rho (x)\frac{{du}}{{dx}} = f(x),\quad x \in I: = (0,1),\quad u(0) = u(1) = 0,$(5.19)
$u(x) = \int\limits_0^x \,\frac{{g(t) + c}}{{\rho (t)}}dt,\quad u'(x) = \frac{{g(x) + c}}{{\rho (x)}},\quad g(x): = \int\limits_0^x \,f(t)dt,$$c: = \left( { - \int_I \frac{{g(t)}}{{\rho (t)}}dt} \right)\mathop {\left( {\int_I \frac{1}{{\rho (t)}}dt} \right)}\nolimits^{ - 1} $.
При этом
Постоянная ${{C}_{\Lambda }}$ определяется условием ${\text{||}}w{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}} \leqslant C_{\Lambda }^{2}\int\limits_I^{} {\rho {\text{|}}w'{{{\text{|}}}^{2}}dx} $, поэтому можно положить ${{C}_{\Lambda }} = 1{\text{/}}\rho _{ \ominus }^{{1/2}}\pi $. В качестве задачи (3.1) выберем
(5.20)
$\frac{{{{d}^{2}}{{u}_{\mathcal{R}}}}}{{d{{x}^{2}}}} = f - \frac{{dy{\text{*}}}}{{dx}},\quad x \in I,\quad {{u}_{\mathcal{R}}}(0) = {{u}_{\mathcal{R}}}(1) = 0.$Ее точное решение задается соотношениями
(5.21)
${{u}_{\mathcal{R}}}(x) = \int\limits_0^x \,(g(t) - y{\text{*}})dt + {{c}_{\mathcal{R}}}x,\quad u_{\mathcal{R}}^{'}(x) = {{c}_{R}} + g(x) - y{\text{*}},\quad p_{\mathcal{R}}^{ * } = \frac{{d{{u}_{\mathcal{R}}}}}{{dx}},$${{c}_{\mathcal{R}}}: = - \int\limits_0^1 (g(t) - y{\text{*}})dt$.
Приближенные решения строятся на равномерной сетке. Галеркинские решения задач (5.18) и (5.20) обозначим ${{u}_{h}}$ и ${{u}_{{\mathcal{R},h}}}$ соответственно. Оператор ${{\mathbb{G}}_{h}}$ сглаживает приближенный поток $p_{h}^{ * } = \rho u_{h}^{'}$ с помощью стандартного метода, состоящего в усреднении значений справа и слева от узла и аффинном продолжении полученных таким образом значений. При этом $\mathcal{R}(y{\text{*}}) = ({{\mathbb{G}}_{h}}\rho u_{h}^{'}){\kern 1pt} '\, - f$. Подчеркнем, что во всех примерах функция $\tilde {y}_{h}^{*}$ была построена с помощью этой простой процедуры регуляризации и никакой дополнительной обработки этой функции, направленной на минимизацию нормы невязки $\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*})$, не применялось.
Рассмотрим интервал ${{I}_{h}} = (0,h)$, и пусть $w \in {{H}^{2}}({{I}_{h}})$, $w(0) = w(h) = 0$. Нетрудно показать, что
(5.22)
${\text{||}}w{\kern 1pt} '{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{h}}}}} \leqslant \frac{h}{{2\pi }}{\text{||}}w{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{h}}}}},\quad {\text{||}}w{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{h}}}}} \leqslant \frac{{{{h}^{2}}}}{{4{{\pi }^{2}}}}{\text{||}}w{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{I}_{h}}}}}.$Поэтому интерполяционный член имеет вид
Эффективность оценок (5.2), (5.3), (5.5) (5.13)–(5.15) сравнивалась в серии примеров с различными функциями $\rho $ и f. Ниже приведены несколько характерных примеров, где эти функции выбирались гладкими и негладкими, а именно,
Нас интересует, насколько правильно (5.2), (5.3), (5.5), (5.13)–(5.15) оценивают расстояние до точного решения не только для галеркинского приближения uh (когда функция $\tilde {y}_{h}^{*}$ может быть хорошей аппроксимацией p*), но и для широкого набора различных приближенных решений, включая и такие, которые достаточно сильно отличаются от uh (так что $\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*})$ не является малой величиной). Для этого в uh вносились возмущения двух разных типов. В первом случае возмущения были обусловлены функциями ${{\phi }_{1}} = x(1 - x)$, ${{\phi }_{2}} = sin8\pi x$ и ${{\phi }_{3}} = {\text{|}}x - 0.5{\text{|}} - 0.5$, которые добавлялись со случайными весами. Будем говорить, что это возмущения типа 1. В зависимости от разрешенной магнитуды возмущений получаются достаточно хорошие приближения или, напротив, весьма грубые. Во втором случае возмущения задавались случайным образом в каждом узле независимо (возмущения типа 2). Заметим, что на практике погрешности могут возникать вследствие самых разных причин (от систематических погрешностей численного интегрирования до случайных ошибок, связанных с дефектами компьютерных программ). Поэтому важно проверить устойчивость оценок к возмущениям любых типов.
В первой серии экспериментов $f = {{f}_{1}}$ и $\rho = {{\rho }_{2}}$. При вычислении комбинированной нормы было выбрано γ = 2. В табл. 1 представлены численные результаты. В первом столбце указан тип возмущения. В третьем и четвертом столбцах приведены значения оценок (5.2) и (5.14), в шестом и седьмом – (5.3) и (5.15), а в девятом и десятом показаны значения оценок комбинированной нормы (5.5) и (5.13). Сначала магнитуда возмущения очень мала, так что первая строка в верхней и нижней половинах таблицы соответствует приближенному решению, которое мало отличается от ${{u}_{h}}$. Затем магнитуда постепенно возрастает и последние строки соответствуют решениям, которые достаточно сильно отклоняются от точного. Графически эти данные представлены на фиг. 1б. Ось абсцисс соответствует номеру эксперимента, причем левая часть относится к возмущениям типа 1, а правая к возмущениям типа 2 (этим объясняется скачок в середине графика). С ростом номера эксперимента величина возмущения возрастает и, вместе с этим, возрастает норма ошибки (сплошная красная линия). Относительная норма погрешности ${\text{||}}e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\rho }}{\text{/||}}u{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\rho }}$ меняется от 0.033 до 0.584. Соответствующая оценка по формуле (5.2) представлена пунктирной линией, а оценка (5.14), использующая решение вспомогательной задачи, обозначена точками. Нижняя линия показывает значения миноранты. Видно, что оценка (5.14) прекрасно воспроизводит значения нормы отклонения, однако (5.2) может существенно завышать эту величину. Эффективность оценки (5.14) обеспечивается малостью величины $\varepsilon ({{\mathcal{T}}_{\Omega }},y{\text{*}},\tau {\text{*}})$, которая изображена на фиг. 1а. На этом графике верхняя линия показывает величину нормы отклонения от точного решения, а нижняя – величину интерполяционного члена $\varepsilon ({{\mathcal{T}}_{\Omega }},y{\text{*}},\tau {\text{*}})$. Средняя линия показывает отношение этих величин. Во всех примерах слагаемое $\varepsilon ({{\mathcal{T}}_{\Omega }},y{\text{*}},\tau {\text{*}})$ намного меньше, чем норма отклонения.
Taблица 1.
Сравнение норм отклонения от решения с оценками (5.2), (5.3), (5.5), (5.13)–(5.15)
| Тип | ${\text{||}}e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}$ | $M(e)$ | $ + M(e)$ | ${\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}$ | $M(e{\text{*}})$ | $ + M(e{\text{*}})$ | $\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma $ | $M(e,e{\text{*}})$ | $ + M(e,e{\text{*}})$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.016 | 0.045 | 0.018 | 0.002 | 0.033 | 0.017 | 0.012 | 0.043 | 0.017 |
| 1 | 0.024 | 0.248 | 0.036 | 0.016 | 0.232 | 0.026 | 0.023 | 0.328 | 0.033 |
| 1 | 0.039 | 0.504 | 0.059 | 0.034 | 0.487 | 0.046 | 0.044 | 0.689 | 0.062 |
| 1 | 0.055 | 0.730 | 0.080 | 0.050 | 0.711 | 0.064 | 0.063 | 1.013 | 0.089 |
| 2 | 0.017 | 0.122 | 0.020 | 0.003 | 0.106 | 0.017 | 0.013 | 0.149 | 0.018 |
| 2 | 0.038 | 0.762 | 0.0502 | 0.0153 | 0.729 | 0.037 | 0.031 | 1.032 | 0.041 |
| 2 | 0.084 | 1.553 | 0.111 | 0.032 | 1.483 | 0.082 | 0.068 | 2.091 | 0.090 |
| 2 | 0.296 | 6.483 | 0.383 | 0.121 | 6.241 | 0.283 | 0.242 | 8.823 | 0.314 |
Фиг. 1.
Слагаемое $\varepsilon ({{\mathcal{T}}_{\Omega }},y{\text{*}},\tau {\text{*}})$ (а) и оценки (5.2) и (5.14) (б).
На фиг. 2 показано поведение норм и соответствующих мажорант. Видно, что оценки, использующие решение вспомогательной задачи, намного точнее и устойчивы к различным возмущениям. Они хорошо работают как для точных, так и для грубых аппроксимаций точного решения. Соответствующие результаты графически представлены на фиг. 3.
Фиг. 2.
Норма ${\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}$ и ее мажоранты (5.3) и (5.13) (а), норма $\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma $ и ее мажоранты (5.5) и (5.13) (б).
Фиг. 3.
Норма ${\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}$ и ее мажоранты (5.3) и (5.15) (а), норма $\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma $ и ее мажоранты (5.5) и (5.13) (б).
Фиг. 4.
Норма $\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*})$ в зависимости от $h$ (для первой и второй серий примеров).
Далее исследовалось поведение оценок для задачи с периодическим коэффициентом $\rho = {{\rho }_{1}}$ и скачкообразной правой частью f2. В табл. 2 показаны нормы отклонений и соответствующие оценки. Тестировались самые разные приближенные решения, у которых относительная норма погрешности варьировалась от 6.9 до 204%.
Taблица 2.
Сравнение точных значений отклонения от решения с оценками (5.2), (5.3), (5.5), (5.13)–(5.15)
| Тип | ${\text{||}}e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}$ | $M(e)$ | $ + M(e)$ | ${\text{||}}e{\text{*|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}}}}$ | $M(e{\text{*}})$ | $ + M(e{\text{*}})$ | $\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma $ | $M(e,e{\text{*}})$ | $ + M(e,e{\text{*}})$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.011 | 0.077 | 0.033 | 0.004 | 0.068 | 0.017 | 0.008 | 0.095 | 0.022 |
| 1 | 0.013 | 0.106 | 0.033 | 0.008 | 0.096 | 0.019 | 0.012 | 0.135 | 0.025 |
| 1 | 0.027 | 0.274 | 0.062 | 0.024 | 0.263 | 0.037 | 0.031 | 0.371 | 0.052 |
| 1 | 0.034 | 0.366 | 0.079 | 0.032 | 0.355 | 0.049 | 0.040 | 0.501 | 0.068 |
| 2 | 0.012 | 0.125 | 0.032 | 0.004 | 0.114 | 0.019 | 0.010 | 0.161 | 0.024 |
| 2 | 0.074 | 1.432 | 0.136 | 0.036 | 1.373 | 0.080 | 0.064 | 1.942 | 0.097 |
| 2 | 0.208 | 3.441 | 0.345 | 0.084 | 3.272 | 0.211 | 0.169 | 4.633 | 0.244 |
| 2 | 0.316 | 5.433 | 0.579 | 0.162 | 5.172 | 0.345 | 0.276 | 7.312 | 0.411 |
В заключение приведем примеры, показывающие поведение оценок для галеркинских аппроксимаций при увеличении числа интервалов ${{N}_{{{\text{int}}}}}$. В первой серии примеров, приведенных в верхней половине табл. 3, использовались функции ${{\rho }_{3}}$ и f1, а в нижней показаны результаты второй серии для функций ${{\rho }_{2}}$ и f2. При измельчении сетки относительная ошибка галеркинской аппроксимации уменьшалась от 10 до 0.1% в первом случае и от 21 до 3% во втором. На фиг. 4 показана зависимость от h нормы функции $\mathcal{R}(\tilde {y}_{h}^{*})$, которая используется во вспомогательной задаче (5.8). Видно, что эта норма не только ограничена, но и быстро убывает с убыванием h. На фиг. 5 показано, как изменяются точные значения различных норм погрешности и значения оценок (5.2), (5.3), (5.5), (5.13)–(5.15) в зависимости от h в первой серии тестов. Результаты для второй серии вполне аналогичны. Как и в предыдущих примерах, оценки, использующие решение вспомогательной задачи (они обозначены звездочками), оказались намного точнее. Поведение индексов эффективности этих оценок приведено на фиг. 6.
Taблица 3.
Галеркинские аппроксимации
| ${{N}_{{{\text{int}}}}}$ | ${\text{||}}e{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\mathcal{A}}}$ | M(e) | +M(e) | $\mathop {\left| {\left| {\left| {(e,e{\text{*}})} \right|} \right|} \right|}\nolimits_\gamma $ | $M(e,e{\text{*}})$ | $ + M(e,e{\text{*}})$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 16 | 5.06e-02 | 1.14e+00 | 1.63e-01 | 3.80e-02 | 1.54e+00 | 1.64e-01 |
| 32 | 2.54e-02 | 8.42e-02 | 3.03e-02 | 1.83e-02 | 8.66e-02 | 2.65e-02 |
| 64 | 1.27e-02 | 5.07e-02 | 1.41e-02 | 9.06e-03 | 5.52e-02 | 1.29e-02 |
| 100 | 8.14e-03 | 3.79e-02 | 8.76e-03 | 5.78e-03 | 4.29e-02 | 8.20e-03 |
| 200 | 4.10e-03 | 2.59e-02 | 4.73e-03 | 2.95e-03 | 3.11e-02 | 4.18e-03 |
| 400 | 2.07e-03 | 1.73e-02 | 2.52e-03 | 1.52e-03 | 2.17e-02 | 2.15e-03 |
| 800 | 1.12e-03 | 1.35e-02 | 1.61e-03 | 9.27e-04 | 1.77e-02 | 1.32e-03 |
| 1000 | 8.32e-04 | 1.28e-02 | 1.03e-03 | 6.12e-04 | 1.70e-02 | 8.68e-04 |
| 2000 | 6.41e-04 | 1.66e-02 | 1.03e-03 | 6.71e-04 | 2.29e-02 | 9.66e-04 |
| 4000 | 5.28e-04 | 2.12e-02 | 8.12e-04 | 6.13e-04 | 2.97e-02 | 8.84e-04 |
| 16 | 3.39e-02 | 7.02e-01 | 1.45e-01 | 5.04e-02 | 9.18e-01 | 1.06e-01 |
| 32 | 1.65e-02 | 2.12e-01 | 3.47e-02 | 1.40e-02 | 2.77e-01 | 2.45e-02 |
| 64 | 8.33e-03 | 6.84e-02 | 1.27e-02 | 6.26e-03 | 8.53e-02 | 9.39e-03 |
| 100 | 5.33e-03 | 3.27e-02 | 7.00e-03 | 3.88e-03 | 3.91e-02 | 5.59e-03 |
| 200 | 2.70e-03 | 1.48e-02 | 3.56e-03 | 1.96e-03 | 1.74e-02 | 2.81e-03 |
| 400 | 1.34e-03 | 7.72e-03 | 1.65e-03 | 9.61e-04 | 9.13e-03 | 1.37e-03 |
| 800 | 7.18e-04 | 6.73e-03 | 1.21e-03 | 5.73e-04 | 8.60e-03 | 8.63e-04 |
| 1000 | 5.37e-04 | 7.46e-03 | 6.57e-04 | 3.84e-04 | 9.80e-03 | 5.48e-04 |
| 2000 | 2.71e-04 | 8.57e-03 | 3.65e-04 | 1.98e-04 | 1.17e-02 | 2.84e-04 |
| 4000 | 4.46e-04 | 2.25e-02 | 1.01e-03 | 5.30e-04 | 3.16e-02 | 8.89e-04 |
Список литературы
Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. Springer Ser. in Computat. Math. 15, New York, 1991.
Ciarlet P. The finite element method for elliptic problems. North-Holland, 1987.
Roberts J.E., Thomas J.-M. Mixed and hybrid methods. In: Handbook of Numerical Analysis, V. II. North-Holland, Amsterdam, 1991, p. 523–639.
Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2008.
Ainsworth M., Oden J.T. A posteriori error estimation in finite element analysis. John Wiley & Sons, New York, 2000.
Eriksson K., Estep D., Hansbo P., Johnson C. Introduction to adaptive methods for differential equations // Acta Numer. 1995. P. 105–158.
Mali O., Nettaanmäki P., Repin S. Accuracy verification methods. Theory and Algorithms. Springer, Berlin, 2014.
Verfürth R. A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques. Wiley-Teubner, Stuttgart, 1996.
Repin S. Two-sided estimates of deviation from exact solutions of uniformly elliptic equations // Am. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 2003. V. 209. P. 143–171.
Repin S., Sauter S. Accuracy of mathematical models. Dimension reduction, simplification and homogenization // EMS Tracts in Math. 2020. V. 33.
Kelly D.W. The self equilibration of residuals and complementary error estimates in the finite element method // Int. J. Numer. Meth. Engrg. 1984. V. 20. P. 1491–1506.
Ladevéze P., Leguillon D. Error estimate procedure in the finite element method and applications // SIAM J. Numer. Anal. 1983. V. 20. P. 485–509.
Braess D. Finite elements. Cambridge Univer. Press, Cambridge, 1997.
Braess D., Schöberl J. Equilibrated residual error estimator for edge elements // Math. Comp. 2008. V. 77. № 262. 651–672.
Ern A., Nicaise S., Vohralik M. An accurate H(div) flux reconstruction for discontinuous Galerkin approximations of elliptic problems // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2007. V. 345. № 12. P. 709–712.
Ern A., Vohralik M. Four closely related equilibrated flux reconstructions for nonconforming finite elements // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2013. V. 351. № 1–2. P. 77–80.
Repin S. A posteriori error estimation for nonlinear variational problems by duality theory // Zapiski Nauchnih Seminarov, V.A. Steklov Math. Inst. (POMI.) 1997. V. 243. P. 201–214.
Repin S. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals // Math. Comp. 2000. V. 69. № 230. P. 481–500.
Repin S. Computable majorants of constants in the Poincaré and Friedrichs inequalities // J. Math. Sci. (N.Y.) 2012. V. 186. № 2. P. 307–321.
Repin S. Poincaré type inequalities for vector functions with zero mean normal traces on the boundary and applications to interpolation methods, in Contributions to partial differential equations and applications, P. 411–432, Comput. Meth. Appl. Sci. V. 47, Springer, Cham, 2019.
Carstensen C., Bartels S. Each averaging technique yields reliable a posteriori error control in FEM on unstructured grids. I Low order conforming, non-conforming and mixed FEM // Math. Comp. 2002. V. 71. № 239. P. 945–969.
Carstensen C., Funken S.A. Fully reliable localized error control in the FEM // SIAM. J. Sci. Comput. 2000. V. 21. № 4. P. 1465–1484.
Křížek M., Neittaanmäki P. Superconvergence phenomenon in the finite element method arising from averaging gradients // Numer. Math. 1984. V. 45. № 1. P. 105–116.
Wahlbin L.B. Superconvergence in Galerkin finite element methods // Lecture Notes in Math. N 1605, Springer, 1995.
Zhang Z., Naga A. A new finite element gradient recovery method: superconvergence property // SIAM J. Sci. Comput. 2005. V. 26. № 4. P. 1192–1213.
Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis // Inter. J. Numer. Meth. Engng. 1987. V. 24. P. 337–357.
Ladyzhenskaya O.A. The boundary value problems of mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1985.
Arbenz P. Computable finite element error bounds for poisson’s equation // IMA J. of Numer. Anal. 1982. V. 29. P. 475–479.
Barnhll R.E., Brown J.H., Mitchell A.R. A comparison of finite element error bounds for Poisson’s equation // IMA J. Numer. Anal. 1981. V. 1. P. 95–103.
Natterer F. Berechenbare Fehlerschranken für die Methode der finite Elemente // Inter. Ser. of Numer. Math. 1975. V. 28. P. 109–121.
Liu X., Kikuchi F. Analysis and estimation of error constants for P0 and P1 interpolations over triangular finite elements // J. Math. Sci. Univ. Tokyo 2010. V. 17. P. 27–78.
Chow S.-S., Carey G.F., Lazarov R.D. Natural and post-processed superconvergence in semilinear problems // Numer. Meth. Partial Diff. Eqs. 1991. V. 7. P. 245–259.
Ewing R.E., Lazarov R.D., Wang J. Superconvergence of the velocity along the Gauss lines in mixed finite element methods // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V. 18. P. 1015–1029.
Lazarov R.D. Superconvergence of the gradient for triangular and tetrahedral finite elements of a solution of linear problems in elasticity theory // Computat. Processes and Syst. 1988. V. 6. P. 180–191 (in Russian).
Zlamal M. Some superconvergence results in the finite element method. In: Mathematical Aspects of Finite Element Method (eds. A. Dold and B. Eckmann), Springer Lecture Notes in Math., N. 606, 1975.
Clément P. Approximation by the finite element functions using local regularization // RAIRO Sér. Rouge Anal. Numér. R-2. 1975. V. 9. P. 77–84.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики
Пн.-пт.: 10.00-19.00