Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 8, стр. 1309-1335

1. ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена исследованию в пространствах Гёльдера классических решений задачи Коши для многомерного уравнения Бенджамена–Бона–Махони–Бюргерса:

Данная работа является непосредственным продолжение нашей работы [1], в которой былa исследована задача Коши для уравнения, родственного уравнению ББМБ: Отличие уравнений (1.1) и (1.2) в нелинейностях Это серьезное отличие, поскольку нелинейность в уравнении (1.1) является “малой” нелинейной поправкой к линейной части уравнения (1.1), а нелинейность в уравнении (1.2) не является “малой” нелинейной поправкой к линейной части уравнения (1.4). В работе [1] была доказана локальная во времени разрешимость, а в настоящей работе мы доказали (см. теорему) существование единственного непродолжаемого во времени решения в ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ для любого $T \in (0,{{T}_{0}}),$ где либо ${{T}_{0}} = + \infty ,$ либо ${{T}_{0}} < + \infty $ и в этом случае ${{T}_{0}}$ – время разрушения.

Мотивацией к проведенному в работе исследованию является (насколько нам известно) отсутствие исследований задачи Коши для уравнения ББМБ в классе глобально не интегрируемых начальных функций ${{u}_{0}}(x).$ В данной работе мы рассмотрели случай, когда ${{u}_{0}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\alpha \in (0,1].$

В результате исследования свойств объемного и поверхностного потенциалов была получена априорная оценка Шаудера следующего вида:

Уравнения (1.1) и (1.2) относятся к классу нелинейных уравнений типа С.Л. Соболева. Отметим, что исследованию линейных и нелинейных уравнений соболевского типа посвящено много работ. Так, в работах Г.А. Свиридюка были рассмотрены в общем виде и в виде примеров начально-краевые задачи для большого многообразия классов линейных и нелинейных уравнений соболевского типа (см., например, [2]).

Отметим, что впервые теория потенциала для неклассических уравнений типа С.Л. Соболева была рассмотрена в работе Б.В. Капитонова [3]. В дальнейшем теория потенциала изучалась в работах С.А. Габова и А.Г. Свешникова [4], [5], а также в работах их учеников (см. работу Ю.Д. Плетнера [6]).

Отметим, что одномерные и многомерные уравнения ББМБ исследовались в работах [7]–[16], в которых исследовались вопросы физической постановки, локальной и глобальной во времени разрешимости, и асимптотики при больших временах. Отметим также работы [17]–[19], в которых исследовался вопрос о возникновении blow-up для решений начально-краевых задач для одномерного и многомерного уравнения ББМБ.

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

В работе мы будем пользоваться обозначениями из [20]. Символом ${{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ мы обозначаем пространство непрерывных и ограниченных функций, норма которого имеет следующий вид:

Символом $\mathbb{C}_{b}^{{(k)}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $k \cup \mathbb{N} \cup \{ 0\} $ мы обозначаем банахово пространство функций, у которых существуют, непрерывны и ограничены все частные производные по координатам $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ и ограничена следующая норма: Символом ${{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$ мы обозначаем линейное подпространство функций из банахова пространства ${{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}),$ для которых конечна норма Символом ${{\mathbb{C}}^{{k + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $k \in \mathbb{N} \cup \{ 0\} $ мы обозначаем линейное пространство функций из банахова пространства $\mathbb{C}_{b}^{{(k)}}({{\mathbb{R}}^{3}}),$ для которых конечна норма: Кроме того, мы систематически будем использовать банаховы пространства абстрактных функций $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{B})$ и ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{B})$, где $\mathbb{B}$ – банахово пространство относительно нормы ${\text{|}}\, \cdot \,{{{\text{|}}}_{\mathbb{B}}}$. Линейное пространство $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{B})$ ∋ f(t) определяется следующими свойствами: Линейное пространство ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{B})$ определяется как подпространство линейного пространства $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{B}),$ что существует сильная производная Линейные пространства $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{B})$ и ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];\mathbb{B})$ являются банаховыми относительно соответствующих норм Символом ${{\mathbb{C}}^{{(2 + 1)}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ мы обозначаем такие функции $f(x,t),$ что для всех $k = 0,1$ и ${\text{|}}\beta {\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant 2,$ причем все смешанные производные коммутируют.

3. ЗАДАЧА КОШИ И СВОЙСТВА ОБЪЕМНОГО И ПОВЕРХНОСТНОГО ПОТЕНЦИАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЁЛЬДЕРА

В работе мы будем рассматривать следующую задачу Коши:

Дадим определение классического решения задачи Коши (3.1), (3.2).

Определение 1. Функция $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ при $\lambda \in (0,1\alpha ],$ удовлетворяющая задаче Коши (3.1), (3.2) поточечно, где ${{u}_{0}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}),$ называется классическим решением.

В работе [1] было построено фундаментальное решение в смысле (см. [21]) пространства $\mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{3}})\mathcal{D}_{ + }^{'}$ следующего уравнения:

которое имеет вид где $\theta (t)$ – функция Хевисайда. Для этого фундаментального решения в работе [1] было найдено следующее важное для нас интегральное представление: где ${{C}_{\varepsilon }}(i): = \{ z \in {{\mathbb{C}}^{1}}:{\text{|}}z - i{\kern 1pt} {\text{|}} = \varepsilon \} $ при $\varepsilon \in (0,1)$. Сделаем замену переменных в контурном интеграле в (3.5) $z = z(\phi ) = i + \varepsilon exp(i\phi )$ при $\phi \in [0,2\pi ]$ и получим следующее равенство: Из представления (3.4) вытекают следующие равенства: В силу леммы Жордана справедливо следующее равенство: Из равенств (3.8) и (3.9) вытекает следующее равенство: Кроме того, из интегрального представления (3.6) вытекает, что Кроме того, из (3.6) при $\left| x \right| \leqslant {{\mu }_{0}}$ при ${{\mu }_{0}} \in (0,1)$ вытекают следующие оценки: где $k = 0,1,2,$ $i,j = 1,2,3$, равномерно по $t \in [0,T]$, $\varepsilon \in (0,1)$. С другой стороны, при ${\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant {{R}_{0}}$ при достаточно большом фиксированном ${{R}_{0}} > 1$ из интегрального представления (3.5) получим следующие оценки: где $k = 0,1,2,$ $i,j = 1,2,3$, равномерно по $t \in [0,T]$, $\varepsilon \in (0,1)$.

Введем следующие поверхностный и объемный потенциалы, связанные с построенным фундаментальным решением:

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Поверхностный потенциал $V[\mu ](x,t),$ определенный равенством (3.15), действует следующим образом:

для любых $T > 0$.

Доказательство. Пусть $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\alpha \in (0,1]$.

Шаг 1. Представим потенциал $V(x,t)$ в виде следующей суммы:

где функции ${{\mathcal{E}}_{j}}(x,t)$ определены равенствами (3.6). Докажем сначала, что $V(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Заметим, что для любой функции $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}) \supset {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\alpha \in (0,1]$ имеем для всех $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$ при любом $T > 0.$ Кроме того, Теперь нужно воспользоваться оценкой Шаудера (6.57) для потенциала (6.2) при $\gamma = 1$ и получить следующую оценку: Заметим, что для любой точки $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$ справедливо равенство Из (3.18) с учетом (3.17) вытекает следующая цепочка неравенств: Нетрудно заметить, что в силу (6.57) справедлива оценка Стало быть, приходим к выводу о том, что ${{V}_{1}}(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Теперь докажем, что ${{V}_{2}}(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Заметим, что с учетом определения (3.6) функции ${{\mathcal{E}}_{2}}(x,t)$ потенциал ${{V}_{2}}(x,t)$ можно представить в следующем виде:

где $z(\phi ) = i + \varepsilon {{e}^{{i\phi }}}$. Заметим, что причем При этом для каждой точки $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$ для любого $T > 0$ справедливо равенство В силу оценки (3.22) и неравенства (3.23) приходим к выводу о том, что для потенциала справедлива оценка Шаудера (6.57). C учетом явного вида функции $\psi (t,\tau ,\phi )$ для каждой точки $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$ справедливы следующие равенства: Поэтому из (3.24), (3.25) и оценки Шаудера (6.57) мы получаем оценку следующего вида: где ${{B}_{2}}(T,\varepsilon ) > 0$ – некоторая постоянная. Наконец, точно также, как при выводе оценки (3.19), приходим к следующим неравенствам: Следовательно, ${{V}_{2}}(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Таким образом, $V(x,t) = {{V}_{1}}(x,t) + {{V}_{2}}(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Шаг 2. Докажем теперь, что

С этой целью можно точно также, как на первом шаге, доказать, что которое имеет место в силу явного вида функции $\psi (t,\tau ,\phi ),$ определенной формулой (3.21). Далее нужно воспользоваться рассуждениями на первом шаге при выводе оценки (3.19), а также интегральным представлением (3.20) и оценками Шаудера (6.57) и получить следующие неравенства: В частности, имеет место следующая оценка: где $d = d(T) > 0$ и является монотонно неубывающей, ограниченной на компактах функцией.

Шаг 3. Докажем, что для всех $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$ справедливы следующие формулы:

Действительно, справедлива следующая цепочка неравенств: где мы воспользовались свойством (3.11). Осталось воспользоваться оценкой (3.13) и получить из (3.31) следующую оценку: Таким образом, первая группа равенств в (3.29) доказана. Отсюда сразу же вытекает, что Докажем следующее равенство: С учетом вывода формулы (6.42) можно доказать следующее равенство: С учетом свойства (3.11) из (3.32), (3.33) справедливо следующее неравенство: Таким образом, все равенства (3.29) доказаны. Для доказательства (3.30) нужно воспользоваться следующими равенствами: и доказать непрерывность в каждой точке правых частей равенств (3.34) и (3.35). Тогда согласно известной теореме будет иметь место равенство (3.30).

Шаг 4. Теперь докажем, что сильная производная по времени функции $V(x,t)$ в смысле банахова пространства $\mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ существует и совпадает с частной производной по времени этой функции. Прежде всего заметим, что

что справедливо в силу предельного свойства (3.26). Аналогичным образом из (3.26) и первого равенства из (3.29) вытекает следующее предельное свойство: Наконец, из (3.26) и второго набора равенств из (3.29) вытекает следующее предельное свойство: Таким образом, утверждение доказано.

Следовательно,

Лемма доказана полностью.

Лемма доказана.

Объемный потенциал $U(x,t),$ определенный равенством (3.16), можно при помощи интегрального представления (3.6) для фундаментального решения $\mathcal{E}(x,t)$ представить в следующем виде:

Наконец, справедлива

Лемма 2. Объемный потенциал $U[\rho ](x,t),$ определенный равенством (3.16), действует следующим образом:

Доказательство. Пусть $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Шаг 1. Прежде всего заметим, что для каждого $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$ справедливо следующее равенство:

где мы воспользовались равенством (3.7). Поэтому в силу представления (3.36) и оценок Шаудера (6.57) мы приходим к следующей оценке: Отсюда мы приходим к неравенству для всех $0 \leqslant {{t}_{1}} \leqslant {{t}_{2}} \leqslant T$. Несложно доказать следующую оценку: Из оценок (3.39) и (3.40) вытекает, что $U(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Шаг 2. Теперь докажем, что $U(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Прежде всего заметим, что в силу оценки Шаудера (6.57) при $\gamma = 1$ и того, что $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$, вытекают оценки

из которых получаем, что функция ${{U}_{1}}(x,t),$ определенная равенством (3.37), принадлежит классу $\mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Теперь заметим, что в силу (3.10) получаем

Поскольку $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})),$ то в силу оценки Шаудера (6.57) приходим к оценке для потенциала ${{U}_{{21}}}(x,t),$ определенного равенством (3.42): Для потенциала ${{U}_{{22}}}(x,t),$ определенного равенством (3.43), справедлива следующая оценка (см. Приложение): Наконец, для потенциала ${{U}_{{23}}}(x,t),$ определенного равенством (3.44), справедлива следующая оценка: Таким образом, из (3.41) с учетом (3.45), (3.46) приходим к следующей оценке: Отсюда, уже стандартным образом, приходим к следующей оценке: для всех $0 \leqslant {{t}_{1}} \leqslant {{t}_{2}} \leqslant T$. Нетрудно доказать оценку Итак, ${{U}_{2}}(x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Таким образом, в силу (3.37) имеем

Шаг 3. Осталось доказать коммутационные соотношения

для всех $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$. С этой целью представим объемный потенциал в следующем виде: Пусть Прежде всего нам нужно доказать, что для любых $0 \leqslant \tau \leqslant t \leqslant T$. Действительно, пусть $0 < {{\mu }_{0}} < 1 < {{R}_{0}} < + \infty $. Тогда справедливо следующее равенство: Справедливы следующие оценки: поскольку в силу (3.11) имеем Кроме того, с учетом оценок (3.12)–(3.14) можно доказать, что для любого $\delta > 0$ найдутся такие малое ${{\mu }_{0}} \in (0,1)$ и большое ${{R}_{0}} > 1,$ что Таким образом, из (3.49), (3.50) получаем, что для любого $\delta > 0$ найдется такое $\eta > 0,$ что т.е. В работе [1] было доказано следующее равенство: Для $D_{x}^{2}V(x,t,t)$ справедливо аналогичное равенство Справедливо следующее неравенство: Аналогичным образом, как было доказано предельное свойство (3.51), можно доказать следующее предельное свойство: поскольку $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Докажем сначала первое равенство из формулы (3.47). Справедливы следующие равенства:

где мы воспользовались предельным свойством (3.48). Точно также, как на шаге 3 леммы 1, можно доказать, что Поэтому из (3.52) и (3.53) получаем первое равенство из (3.47). Отсюда сразу же получаем следующее равенство: Докажем следующее равенство: Действительно, в силу предельного свойства (3.48) справедливы следующие равенства: Точно также, как на шаге 3 леммы 1, можно доказать, что а также точно также, как при доказательстве (3.30), можно доказать равенство Таким образом, из (3.55), (3.56) приходим к равенству (3.54).

Точно также, как на шаге 4 леммы 1, с учетом коммутационных соотношений (3.47) можно доказать, что сильная производная по времени функции $U(x,t)$ в смысле пространства Банаха $\mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ существует и совпадает с частной производной по времени от функции $U(x,t).$ Следовательно,

Лемма доказана полностью.

Лемма доказана.

Справедливо следующее утверждение относительно свойств поверхностного $V(x,t)$ и объемного потенциалов $U(x,t)$.

Лемма 3. Пусть $\mu (x) \in {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}),$ ${{u}_{0}}(x) \in \mathbb{C}_{b}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ при $\alpha \in (0,1]$. Тогда

Доказательство. Результаты леммы доказаны в работе [1] (см. леммы 1, 4 и 7).

Лемма доказана.

4. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ШАУДЕРА

Дадим определение класса функций.

Определение 2. Будем говорить, что функция $u(x,t) \in S,$ если $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2 + 1)}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ и найдeтся такое $\varepsilon \in (0,1)$, что при $\left| x \right| > 1$ справедливы неравенства

В работе [1] была доказана следующая

Теорема 1. Если $u(x,t)$ принадлежит классу $S,$ то справедлива следующая третья формула Грина:

где функция $\mathcal{E}(x,t)$ определена формулой (3.4), а оператор ${{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}$ определен равенством (3.3).

Справедлива следующая основная теорема работы.

Теорема 2. Для произвольной функции $u(x,t)$ класса $S$ справедлива следующая априорная оценка Шаудера:

где $a = a(T) > 0$ – монотонно неубывающая функция, ограниченная на компактах.

Доказательство. Утверждение теоремы немедленно следует из представления (4.1), а также из оценок (3.27), (3.28), (3.38), (3.40) и лемм 1 и 2.

Теорема доказана.

5. РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Лемма 4. Пусть функция $u(x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$, тогда для следующей функции справедливо

Доказательство. Представим функцию $\rho (x,t)$ в следующем виде:

Покажем сначала, что каждый сомножитель в (5.1) принадлежит $\mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ (двойка, очевидно, не рассматривается).

Шаг 1. Справедлива следующая цепочка вложений:

откуда получаем, что $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$ для каждого фиксированного $t \in [0,T]$. Для любых ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \in [0,T]$ рассмотрим следующее выражение: при $\left| {{{t}_{1}} - {{t}_{2}}} \right| \to 0$, поскольку $u(x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Таким образом, получаем, что $u(x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ $u(x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Шаг 2. Так как $u(x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$, то

для каждого фиксированного $t \in [0,T]$. Следовательно, т.е. ${{\partial }_{{{{x}_{1}}}}}u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$ для каждого фиксированного $t \in [0,T]$. Так же, как и на шаге 1, осталось рассмотреть для любых ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \in [0,T]$ следующее выражение: Рассмотрим отдельно норму оператора взятия частной производной ${{\partial }_{{{{x}_{1}}}}}:{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}) \to {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$Норма в пространстве ${{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ имеет вид отсюда получаем следующее неравенство: Следовательно, из (5.3), (5.4), (5.5) получаем, что т.е. оператор ${{\partial }_{{{{x}_{1}}}}}:{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}) \to {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$ ограничен. Тогда правая часть выражения (5.2) стремится к нулю при $\left| {{{t}_{1}} - {{t}_{2}}} \right| \to 0$. Таким образом, окончательно получаем, что ${{\partial }_{{{{x}_{1}}}}}u(x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству утверждения леммы.

Шаг 3. Пусть функции $f(x),g(x) \in {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$, тогда справедливо неравенство:

Применим это неравенство к функции $\rho (x,t)$ для каждого фиксированного $t \in [0,T]$: поскольку, как было показано выше, функции $u(x,t),{{\partial }_{{{{x}_{1}}}}}u(x,t) \in \mathbb{C}\left( {[0,T],{{\mathbb{C}}^{\alpha }}\left( {{{\mathbb{R}}^{3}}} \right)} \right)$. Рассмотрим для любых ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \in [0,T]$ следующее выражение: где мы воспользовались неравенством (5.6) и результатами шага 1 и шага 2. В итоге получаем, что $\rho (x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}}))$.

Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть функции ${{u}_{1}}(x,t),{{u}_{2}}(x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Тогда для каждого фиксированного $t \in [0,T]$ справедлива следующая оценка:

Доказательство. Справедлива следующая цепочка неравенств:

Рассмотрим ${{A}_{1}}$: Рассмотрим ${{A}_{2}}$: Таким образом, из (5.8), (5.9), (5.10) получаем искомую оценку. Лемма доказана полностью.

Лемма доказана.

Рассмотрим следующее интегральное уравнение:

где $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \times [0,T]$ и ${{u}_{0}}(x) = u(x,0)$. Наша задача – доказать однозначную разрешимость уравнения (5.11) в банаховом пространстве $\mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$ относительно следующей нормы: Справедлива

Теорема 3. Для любой ${{u}_{0}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ найдется такое ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{u}_{0}}) > 0,$ что для любого $T \in (0,{{T}_{0}})$ существует единственное решение интегрального уравнения (5.11) в классе $\mathbb{C}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})),$ причем либо ${{T}_{0}} = + \infty ,$ либо ${{T}_{0}} < + \infty $ и в этом случае справедливо следующее предельное свойство:

Доказательство. Шаг 1. Перепишем интегральное уравнение (5.11) в следующем операторном виде:

где Заметим, что в силу результатов лемм 1–5 приходим к выводу о том, что

Шаг 2. В выражении для объемного потенциала $W[u](x,t)$ сделаем замену переменных $z = y - x$ и получим следующее равенство:

Пусть ${{u}_{1}}(x,t),{{u}_{2}}(x,t) \in \mathbb{C}([0,T],{{\mathbb{C}}^{{1 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}}))$. Введем обозначения: Рассмотрим следующее выражение, опуская для краткости значения аргументов функций там, где это не приводит к противоречиям: Оценим каждое слагаемое в (5.13).

Шаг 3. Начнем со слагаемого ${{I}_{0}}$:

Рассмотрим отдельно следующий интеграл: где ${{\mu }_{0}} \in (0,1)$ достаточно мало и ${{R}_{0}} > 1$ – достаточно велико. Рассмотрим ${{K}_{1}}$, воспользовавшись оценкой для фундаментального решения при ${\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{\mu }_{0}}$ и $\varepsilon \in (0,1)$: Рассмотрим ${{K}_{3}}$, воспользовавшись оценкой для фундаментального решения при ${\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant {{R}_{0}}$ и $\varepsilon \in (0,1)$: В силу свойств фундаментального решения интеграл ${{K}_{2}} < + \infty $, тогда с учетом (5.15) и (5.16) получаем, что С учетом (5.17) и оценки (5.7) леммы 5 из (5.14) получаем оценки:

Шаг 4. Рассмотрим теперь слагаемые ${{I}_{i}}$ при $i = 1,2,3$:

где мы воспользовались оценкой (5.7). Так же, как и на шаге 3, с помощью оценок для производных фундаментального решения можно показать, что Таким образом, из (5.19), (5.20) вытекает следующая оценка для ${{I}_{i}},i = 1,2,3$: В итоге из (5.13), (5.18), (5.21) получаем следующую оценку: где ${{D}_{{\max }}}(T,\varepsilon ,{{\mu }_{0}},{{R}_{0}}) = ma{{x}_{{i = 0,1,2,3}}}\left\{ {{{D}_{i}}(T,\varepsilon ,{{\mu }_{0}},{{R}_{0}})} \right\}$. Наконец возьмем supremum по $t \in [0,T]$ от обеих частей неравенства (5.22), тогда получим следующее выражение:

Шаг 5. Пусть

Выберем $R > 0$ настолько большим, чтобы Тогда из оценки (5.23) при ${{u}_{1}} = u$ и ${{u}_{2}} = 0$ мы получим следующие неравенства: при Таким образом, из (5.24), (5.25) и уравнения (5.12) приходим к выводу о том, что а из оценки (5.23) вытекает, что при условии (5.26) оператор $A$ является сжимающим на ${{D}_{{R,T}}}$. По теореме о сжимающих отображениях при достаточно малом $T > 0$ существует единственное решение интегрального уравнения (5.11). Осталось воспользоваться стандартным алгоритмом продолжения решений интегральных уравнений в банаховых пространствах абстрактных банахово-значных функций из $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{B})$ во времени и получить утверждение теоремы (см., например, работу [22]).

Теорема доказана.

Из лемм 1–5, теоремы 3 вытекает основное утверждение работы.

Теорема 4. Для любой функции ${{u}_{0}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $\alpha \in (0,1]$ найдется такое максимальное ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{u}_{0}}) > 0,$ что для любого $T \in (0,{{T}_{0}})$ существует единственное классическое решение задачи Коши (3.1), (3.2) в смысле определения в классе ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{\mathbb{C}}^{{2 + \lambda ,\;\;\,\lambda \in (0,\alpha )}}}({{\mathbb{R}}^{3}})),$ причем либо ${{T}_{0}} = + \infty ,$ либо ${{T}_{0}} < + \infty $ и в этом случае справедливо предельное свойство

Доказательство. Единственность классического решения задачи Коши в смысле определения 1 вытекает из полученной в работе [1] третьей формулы Грина.

Теорема доказана.

6. ОЦЕНКИ ШАУДЕРА ОДНОГО ПОТЕНЦИАЛА

В данном разделе мы используем технику работы [23].

Пусть $x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ – фиксированные точки, $\rho \in (0,1],$ $R > 2$ и

Введем в рассмотрение следующую срезающую функцию: Заметим, что Пусть $\gamma = {{\gamma }_{0}} + i{{\gamma }_{1}},$ ${{\gamma }_{0}} > 0,$ ${{\gamma }_{1}} \in {{\mathbb{R}}^{1}},$Тогда Справедливо следующее равенство при $x \ne y$: Рассмотрим следующую разность: Сначала рассмотрим функцию ${{K}_{2}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$. Заметим, что справедливо следующее равенство: Тогда интегрируя по частям в выражении (6.4) и делая замены переменных $x{\kern 1pt} {\text{'}} - y = z,$ мы получаем следующее равенство: где Функция $h(z)$ имеет интегрируемую особенность в точке $z = 0.$ Кроме того, справедлива следующая оценка: Отсюда и из (6.6) получаем следующую оценку: Теперь приступим к анализу функции ${{K}_{1}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$. Представим функцию ${{K}_{1}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$ в виде следующей суммы: Отметим, что имеет место выражение (6.1). Поэтому имеет место следующая цепочка неравенств: Поскольку $x',x'' \in O({{x}_{0}},\rho ) \subset O({{x}_{0}},R)$ и $\rho \leqslant 1 < 2 \leqslant R,$ то имеет место следующая оценка при $y \in O({{x}_{0}},2R){{\backslash }}O({{x}_{0}},R)$: где ${{x}_{s}} = sx{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; + (1 - s)x{\kern 1pt} '$. Из (6.11) вытекает следующая оценка: При $y \in O({{x}_{0}},2R){{\backslash }}O({{x}_{0}},R)$ справедлива следующая цепочка неравенств: Поэтому из (6.13) и (6.14) вытекает искомая оценка при $y \in O({{x}_{0}},2R){{\backslash }}O({{x}_{0}},R)$. Теперь из (6.12) и (6.15) вытекает следующая оценка: Из (6.16) и (6.10) вытекает следующая оценка: Теперь рассмотрим функцию ${{K}_{{11}}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$. С этой целью заметим, что справедливо следующее равенство: Тогда, интегрируя по частям в выражении (6.9), мы получим следующее равенство: Разобьем функцию на три части следующим образом: Для функций ${{K}_{{111}}}(x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$ и ${{K}_{{112}}}(x{\kern 1pt} ')$ единообразным образом могут быть получены необходимые нам оценки. Рассмотрим, например, функцию ${{K}_{{112}}}(x{\kern 1pt} ')$. Справедлива следующая оценка: Поскольку $x{\kern 1pt} ' \in \overline {O({{x}_{0}},\rho {\text{/}}2)} ,$ то при $y \in O({{x}_{0}},2\rho )$ справедливы следующие оценки сверху: Отсюда и из (6.21) вытекает следующая оценка: Также имеет место следующая оценка: Теперь рассмотрим функцию ${{K}_{{113}}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '')$. Введем следующую функцию: где функция $F(x,y)$ определена равенством (6.18). С учетом определения (6.24) функции $G(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ',y)$ выражение (6.20) для функции ${{K}_{{113}}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$ можно переписать в следующем виде: При $y \in O({{x}_{0}},R){{\backslash }}O({{x}_{0}},2\rho )$ справедлива следующая цепочка соотношений: Отметим, что из явного вида (6.18) функции $F(x,y)$ вытекает, что справедлива следующая оценка: где $z = sx{\kern 1pt} '\; + (1 - s)x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$, $s \in [0,1]$. Отметим, что при $y \in O({{x}_{0}},R){{\backslash }}O({{x}_{0}},2\rho )$ имеет место следующая оценка снизу: где ${{x}_{s}} = sx{\kern 1pt} '\; + (1 - s)x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ при $s \in [0,1].$ Поэтому в силу (6.28) из (6.27) имеет место следующая оценка: при $y \in O({{x}_{0}},R),$ $y \ne {{x}_{0}}$ и при $y \in {{\mathbb{R}}^{3}}{{\backslash }}O({{x}_{0}},R)$. Таким образом, из (6.26) и (6.29) вытекает следующая оценка: при $y \in O({{x}_{0}},R),$ $y \ne {{x}_{0}}$ и при $y \in {{\mathbb{R}}^{3}}{{\backslash }}O({{x}_{0}},R)$. С учетом оценки (6.30) справедлива следующая цепочка оценок для функции ${{K}_{{1132}}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$: Теперь рассмотрим функцию ${{K}_{{1131}}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '),$ определенную равенством (6.25). Эту функцию можно записать в следующем виде: Получим оценку сверху для функции ${{K}_{{11311}}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$. Если ${\text{|}}y - {{x}_{0}}{\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant 2\rho ,$ то справедлива следующая цепочка неравенств: Из (6.34) приходим к следующей оценке: Теперь получим оценку для функции ${{K}_{{11312}}}(x{\kern 1pt} ',x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')$. С учетом (6.31) справедлива следующая цепочка неравенств: Таким образом, с одной стороны, из (6.3), (6.7), (6.8), (6.17), (6.19), (6.22), (6.23), (6.32), (6.33), (6.35) и (6.36) вытекает следующая оценка: где постоянная ${{A}_{1}} = {{A}_{1}}({\text{|}}\gamma {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )$ ограничена при ограниченных ${\text{|}}\gamma {\kern 1pt} {\text{|}}$.

С другой стороны, при $\rho = {\text{|}}x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}} > 1$ справедлива оценка

Теперь наша задача получить оценку для Справедлива следующая цепочка равенств при $\varepsilon \in (0,1)$: Интегрируя по частям в интегралах ${{J}_{1}}$ и ${{J}_{2}}$, мы получаем следующие равенства: где во всех формулах ${{n}_{y}}$ – это внешняя нормаль по отношению к шару $O(x,\varepsilon )$. Заметим, что из (6.40) и (6.41) вытекает следующее равенство: Отметим, что при $x \ne y$ справедлива следующая оценка: Для функции ${{J}_{3}}(x)$ справедлива следующая оценка: С учетом оценки (6.43) для функций ${{J}_{4}}(x)$ и ${{J}_{5}}(x)$ справедливы следующие оценки: Таким образом, из (6.39)–(6.44) вытекает существование такой постоянной ${{A}_{2}} > 0,$ что справедлива следующая оценка: Следовательно, из (6.37), (6.38) и (6.45) вытекает существование такой постоянной ${{A}_{3}} > 0,$ что справедлива следующая оценка: А из (6.45) и (6.46) получаем искомую оценку Совершенно понятно, что имеют место следующие оценки: Таким образом, из (6.46) и (6.48) получаем следующую оценку типа Шаудера: причем постоянная ${{B}_{1}} = {{B}_{1}}(\left| \gamma \right|) > 0$ и ограничена при ограниченных $\left| \gamma \right|$, где, напомним, что Оценка (6.49) получена нами при $f(x) \in \mathbb{C}_{b}^{{(1)}}({{\mathbb{R}}^{3}}) \in {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$. Теперь наша задача – доказать справедливость оценки Шаудера (6.49) для функций $f(x) \in {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$. С этой целью рассмотрим сглаживание произвольной фиксированной функции $f(x) \in {{\mathbb{C}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{3}})$: где $\omega ({\kern 1pt} {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )$ – функция “шапочка”. Совершенно понятно, что ${{f}_{\varepsilon }}(x) \in \mathbb{C}_{b}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}})$ для любого фиксированного $\varepsilon > 0.$ Нетрудно доказать следующую оценку: Действительно, имеем Пусть В силу (6.49) и (6.50) имеет место следующая цепочка неравенств: Согласно результату упражнения 3.2.2 работы [20] существует такая подпоследовательность $\{ {{u}_{\mu }}\} \subset \{ {{u}_{\varepsilon }}\} $ и такая функция $u(x) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + \alpha }}}({{\mathbb{R}}^{3}})$, что причем для любого компакта $\bar {D} \in {{\mathbb{R}}^{3}}.$ С другой стороны, в силу (6.51) и того, что ${{\left| {{{f}_{\mu }} - f} \right|}_{0}} \to + 0$ при $\mu \to + 0$ имеем Действительно, справедливо следующее неравенство: Но тогда, в частности, имеем Стало быть, из сравнения (6.54) и (6.55) приходим к выводу о том, что и в силу (6.53) и (6.52) из (6.56) получаем искомую априорную оценку где $u(x)$ определена равенством (6.2).