Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 10, стр. 1682-1694

1. ВВЕДЕНИЕ

Двумерные конформные отображения используются для расчета и визуализации гармонических векторных полей в гидродинамике, теории упругости, фильтрации, электромагнетизме и др. Применение двумерных конформных отображений связано с решением краевых задач для уравнения Лапласа, к которому сводятся многие стационарные задачи математической физики. Эти задачи описывают стационарные течения несжимаемой идеальной жидкости, распространение волн, процессы диффузии, распространение тепла, теорию тяготения, электростатику и др.

В течение многих лет не прекращались попытки распространить методы двумерных конформных отображений на трехмерный случай. В общем виде для трехмерных задач свойства плоских конформных отображений не обобщаются. В евклидовом пространстве при n > 2 конформные отображения исчерпываются конечным числом суперпозиций четырех видов отображений: параллельного переноса, преобразования подобия, ортогональные отображения и инверсии (см. [1]).

Теория функций многих комплексных переменных освещена во многих монографиях (см., например, [2]–[5]). Хорошая теория сильна своими приложениями, что видно на примере двумерной теории функции комплексного переменного. Для функций многих комплексных переменных применение мощного математического аппарата привело к значительным усложнениям. В пространственном случае разрешимость задач связана с топологическими и аналитическими свойствами комплексных многообразий. Основные вопросы теории пространственных конформных отображений изучены недостаточно, а теория многомерных конформных отображений не нашла практического применения.

Если отказаться от некоторых общих ограничений, то свойства двумерных конформных отображений можно обобщить и на трехмерный случай (см. [6]). Аналог трехмерных квазиконформных отображений получен при последовательном использовании двух обычных функций комплексного переменного. Приведены примеры построения сеток с помощью теории квазиконформных отображений. Попытки применения конформных отображений для построения сеток предпринимались и ранее в [7], [8]. В [9] построен класс квазиконформных отображений для случая суперпозиции плоских отображений.

В данной работе рассматривается осесимметричная задача с точки зрения теории трехмерных квазиконформных отображений. Пространственные (осесимметричные) задачи обладают симметрией, что позволяет исследовать, по сути, двумерные задачи. В отличие от плоского случая, для которого разработана теория с применением в различных областях, для осесимметричных течений аналогичная теория требует дальнейшего развития. Вместе с тем пространственные осесимметричные задачи являются трехмерными по существу.

Статья организована следующим образом: математическое обоснование гармонических по М.А. Лаврентьеву отображений вводится в разд. 2; в разд. 3 рассматриваются уравнения движения для осесимметричного случая; в разд. 4 рассматриваются трехмерные квазиконформные отображения с использованием полярных координат двух обычных функций комплексного переменного; примеры визуализации приведены в разд. 5.

2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПО М.А. ЛАВРЕНТЬЕВУ ОТОБРАЖЕНИЯ

1. Наиболее интересные квазиконформные отображения трехмерных областей получаются при использовании гидродинамической аналогии (см. [10]). Рассмотрим установившееся движение идеальной несжимаемой жидкости. Предположим, что течение безвихревое. Уравнения движения в декартовой системе координат имеют вид

Векторное поле $u,\;v,\;w$ является потенциальным и соленоидальным.

Вследствие равенства $\operatorname{rot} {\mathbf{u}} = 0$, выражающего отсутствие завихренности, во всей области течения существует функция $\xi (x,y,z)$ при стационарном движении или функция координат и времени $\xi (x,y,z,t)$ при нестационарном движении такая, что ${\mathbf{u}} = \nabla \xi ,$ $\left( {u = \frac{{\partial \xi }}{{\partial x}},\;{v} = \frac{{\partial \xi }}{{\partial y}},\;w = \frac{{\partial \xi }}{{\partial z}}} \right)$. Здесь оператор $\nabla = {\mathbf{i}}\frac{\partial }{{\partial x}} + {\mathbf{j}}\frac{\partial }{{\partial y}} + {\mathbf{k}}\frac{\partial }{{\partial z}}$. Функцию $\xi $ назовем потенциалом скоростей и будем предполагать, что она непрерывна вместе со своими первыми двумя производными по времени и координатам. В отличие от двумерного случая система (1) переопределена: имеем четыре уравнения относительно трех переменных. Теория переопределенных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами существенно опирается на теорию функций многих комплексных переменных.

Задача определения в некоторой области D функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа, по известным значениям нормальной производной функции $\xi $ на поверхности S называется задачей Неймана. Гармоническая функция ищется по величине ее нормальной производной, заданной на границе области. К такой задаче сводится задача определения потенциала движения несжимаемой жидкости, обтекающей заданную геометрию. Если область течения содержит бесконечную точку, то будем требовать существование предела $\operatorname{grad} \xi $ при ${{x}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}} \to \infty $ скорости на бесконечности: ${{{\mathbf{u}}}_{\infty }}$, и будем считать этот вектор заданным. Для областей D с достаточно гладкой границей гармоническая в D функция $\xi $, удовлетворяющая граничному условию $\tfrac{{\partial \xi }}{{n\partial n}} = 0$ и условию на бесконечности, если D содержит бесконечную точку, всегда существует и определяется с точностью до действительной постоянной.

Задачи обтекания сводятся к отображению области течения на область в пространстве потенциала. Стационарные течения идеальной жидкости без вихрей и источников можно рассматривать как отображения области течения жидкости на область изменения вектора скорости. Отображения, удовлетворяющие условиям $u = {{\xi }_{x}},$ $v = {{\xi }_{y}},$ $w = {{\xi }_{x}}$ или условиям $\operatorname{div} {\mathbf{u}} = 0,$ $\operatorname{rot} {\mathbf{u}} = 0$, называются гармоническими. Векторные функции, осуществляющие гармонические отображения, обладают рядом свойств, аналогичных свойствам аналитических функций.

2. Наряду с потенциалом скоростей $\xi (x,y,z)$ введем две функции тока $\zeta (x,y,z)$ и $\eta (x,y,z)$ такие, что поверхности $\zeta (x,y,z) = {\text{const}}$ и $\eta (x,y,z) = {\text{const}}$ пересекаются вдоль линии тока. Для безвихревого течения $\nabla \times {\mathbf{u}} = 0$. Каждый соленоидальный вектор может быть представлен в виде векторного произведения градиентов двух функций:

Вектор скорости является касательным к двум семействам поверхностей $\nabla \zeta ,$ $\nabla \eta $, которые являются поверхностями тока. Величину вектора скорости представим в виде Напомним, что Выпишем связь между новыми переменными в следующем виде: Соотношения (3) связывают геометрические и гидродинамические соотношения. Для определения потенциала скоростей имеем две функции тока $\zeta ,\;\eta $. Система (3) является системой типа Коши–Ковалевской. Преобразования (3) положены в основу гармонических по М.А. Лаврентьеву отображений (см. [10]). Условия (3) можно рассматривать как обобщение условий Коши–Римана в трехмерном случае (см. [10]), из которых следуют трехмерные квазиконформные отображения.

Рассмотрим обратное преобразование. В системе (3) переменные $x,\;y,\;z$ сделаем зависимыми, а переменные $\xi ,\;\eta ,\;\zeta $ – независимыми. Для этого в систему уравнений (3) подставим формулы преобразования производных при переходе от системы координат $\xi ,\zeta ,\eta $ к координатам $x,\;y,\;z.$

В результате получим

Отображение (4) можно рассматривать как преобразование некоторого течения в области D в поступательное движение в некоторой другой области.

3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОСЕСИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

Рассмотрим осесимметричный случай как частный случай трехмерных преобразований. Ось симметрии выберем за ось $z$, а расстояние до оси обозначим через $\rho $. Рассмотрим пространственные течения, у которых все векторы скорости лежат в полуплоскостях, проходящих через некоторую прямую, называемую осью симметрии. Течение описывается плоским полем в любой из этих полуплоскостей. Составляющие скорости обозначим $u,\;v$ соответственно. Уравнения движения имеют вид (см. [11])

Первое уравнение – это уравнение неразрывности ($\operatorname{div} {\mathbf{u}} = 0$), а второе условие – отсутствия завихренности ($\operatorname{rot} {\mathbf{u}} = 0$). Последнее условие является необходимым и достаточным условием потенциальности поля скоростей. Компоненты вектора скорости течения с осевой симметрией выражаются в виде Потенциал скоростей $\xi $ удовлетворяет соотношению которое является уравнением Лапласа в цилиндрических координатах. Отметим, что функция $\xi {\text{ }}$ является гармонической функцией декартовых координат.

Согласно первому уравнению, выражение $ - \rho v{\text{dz}} + \rho ud\rho $ является точным дифференциалом функции $\zeta $. Получаем

Функция $\zeta (z,\rho )$ называется функцией тока. На каждой линии тока эта функция сохраняет постоянное значение и будет оставаться постоянной на поверхности, получаемой вращением этой линии тока вокруг оси симметрии. Отметим, что функция тока зависит от выбора системы координат и характера движения. Принятые нами обозначения могут отличаться с точностью до знака от тех, которые встречаются в других работах.

Функция тока $\zeta $ удовлетворяет уравнению

Это уравнение не является уравнением Лапласа, а функция $\zeta $ не является гармонической в декартовых координатах.

Из соотношений (6) и (7) следует, что функция тока и потенциал связаны соотношениями

Уравнения осесимметричных течений во многом аналогичны уравнениям плоских движений. Векторные линии поля скоростей совпадают с линиями $\zeta (z,\rho ) = {\text{const}}$ и, как в двумерном случае, являются линиями тока. Из уравнений следует, что линии $\xi (z,\rho ) = {\text{const}}\,z$ и $\zeta (x,\rho ) = {\text{const}}$ ортогональны. Действительно,

Если потенциал скоростей известен, то функция тока в осесимметричном случае находится по известным формулам.

Система уравнений (5) является системой уравнений эллиптического типа с особенностью на оси вращения. Хотя система обладает особенностью, на нее распространяется теорема Римана о существовании и единственности отображений. Отображения обладают основными свойствами квазиконформных отображений (см. [11]).

4. КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ

1. Вернемся к обобщенным условиям Коши–Римана (3). Если функция тока $\eta \left( {x,y,z} \right)$ зависит от двух переменных $\eta \left( {x,y} \right)$, т.е. ${{\eta }_{z}} = 0$, то система уравнений (3) сводится к виду

В пространственном случае каждая задача определяется топологическими и аналитическими свойствами рассматриваемых областей. Пусть ${{C}^{2}}$ – пространство двух независимых комплексных переменных $z = ({{z}_{1}},{{z}_{2}})$. В дальнейшем под пространством ${{C}^{2}}$ комплексных переменных ${{z}_{1}},\;{{z}_{2}}$ будем понимать обычное евклидовое пространство ${{R}^{4}}$ действительных переменных $(x,y,z,t)$. При переходе от 4-мерного евклидова пространства ${{R}^{4}}$ в комплексное пространство появляется некоторая асимметрия.

Покажем, что решение системы (9) можно представить, используя две независимые функции комплексного переменного ${{\zeta }_{1}} = {{f}_{1}}\left( {{{z}_{1}}} \right)$ и ${{\zeta }_{2}} = {{f}_{2}}\left( {{{z}_{2}}} \right)$, определенные в своей области. Предположим, что в области $D$ задана однолистная аналитическая функция ${{\zeta }_{1}} = {{f}_{1}}\left( {{{z}_{1}}} \right)$. Каждому комплексному числу ${{z}_{1}} = x + iy$ из некоторой области ${{D}_{1}}$ (${{D}_{1}} \subset {{C}^{2}}$) ставится в соответствие комплексное число ${{\zeta }_{1}} = \tau {{e}^{{i\eta }}}$. Аналогично, функция ${{\zeta }_{2}} = {{f}_{2}}({{z}_{2}}) = \xi (z,t) + i\zeta (z,t)$ является однолистной аналитической функцией комплексной переменной ${{z}_{2}} = z + it$. Каждому комплексному числу ${{z}_{2}} = z + it$ из некоторой области ${{D}_{2}}$ (${{D}_{2}} \subset {{C}^{2}}$) ставится в соответствие комплексное число ${{\zeta }_{2}} = \xi + i\zeta $.

Для того чтобы функции ${{f}_{1}}({{z}_{1}}),\;{{f}_{2}}({{z}_{2}})$ были аналитическими в области ${{C}^{2}}$, необходимо выполнение в этой области условий Коши–Римана. Если функция ${{\zeta }_{1}} = {{f}_{1}}({{z}_{1}})$ комплексной переменной ${{z}_{1}} = x + iy$ представима в показательной форме ${{\zeta }_{1}} = \tau {{e}^{{i\eta }}}$, то условия Коши–Римана дифференцируемости функции в координатах $x,\;y$ имеют вид (см. [12])

Для функции ${{\zeta }_{2}} = {{f}_{2}}({{z}_{2}}) = \xi (z,t) + i\zeta (z,t)$ условия Коши–Римана имеют вид

Будем искать решение системы (9) в виде $\xi = \xi \left( {z,\tau (x,y} \right)),$ $\zeta = \zeta \left( {z,\tau (x,y} \right))$, $\eta = \eta \left( {x,y} \right)$. Здесь в качестве t выберем функцию $t = \tau \left( {x,y} \right)$. Для первых двух уравнений из (9) получаем

При этом система (12) разделяется и, учитывая (10), первое и второе уравнения системы (12) принимают одинаковый вид:

Третье уравнение системы (9) – ${{\xi }_{z}} = {{\zeta }_{x}}{{\eta }_{y}} - {{\zeta }_{y}}{{\eta }_{x}}$ – сводится к виду С помощью замены переменных $z{\kern 1pt} * = \sqrt {J_{1}^{*}} z,$ $\zeta {\kern 1pt} * = \sqrt {J_{1}^{*}} \zeta ,$ $J_{1}^{*} = \tau {{J}_{1}}$ система уравнений (13) и (14) cводится к виду Очевидно, что решение (15) можно представить в виде В частном случае, когда $J_{1}^{*} = 1,$ $t = \tau (x,y)$, уравнения (13) и (14) принимают вид Таким образом, трехмерное квазиконформное отображение (9) можно представить в виде последовательности двух двумерных конформных отображений: ${{\zeta }_{1}} = {{f}_{1}}\left( {{{z}_{1}}} \right)$, $\zeta _{2}^{*} = {{f}_{2}}(z_{2}^{*})$. Здесь ${{\zeta }_{1}} = \tau {{e}^{{i\eta }}},$ ${{z}_{1}} = x + iy$ и $\zeta _{2}^{*} = \xi + i\zeta {\kern 1pt} *,$ ${{z}_{2}} = z{\kern 1pt} * + \;it$. Используя соотношения (10) и (15) в области D трехмерного действительного пространства ${{R}^{3}}$, можно найти потенциал скоростей $\xi $ и функцию тока, а также вторую функцию тока $\eta $ и величину $\tau $. Если в системе (11) выбрать в качестве $t$ функцию $\tau = \tau (x,y)$, то получим Напомним, что $z{\kern 1pt} * = \sqrt {J_{1}^{*}} z,$ $\zeta {\kern 1pt} * = \sqrt {J_{1}^{*}} \zeta ,$ ${{J}_{1}} = J_{1}^{*}{\text{/}}\tau = {{\tau }_{x}}{{\eta }_{y}} - {{\tau }_{y}}{{\eta }_{x}}$.

2. Отметим, что в осесимметричном случае условия (16) и условия (8) для функции тока и потенциала скоростей совпадают, если в качестве $\tau $ использовать функцию $\rho = {{({{x}^{2}} + {{y}^{2}})}^{{1/2}}}$. Действительно,

Отсюда следуют соотношения и выполняются условия Непосредственными вычислениями, учитывая (17), получаем $J_{1}^{*} = 1,$ $J_{1}^{{}} = 1{\text{/}}\rho $.

Таким образом, имеем

или

3. Рассмотрим обратное преобразование (4). Если учесть, что в нашем случае ${{z}_{\eta }} = 0$, то система (4) принимает вид

Покажем, что решение системы (18) можно представить, используя функции комплексного переменного ${{z}_{1}} = {{F}_{1}}\left( {{{\zeta }_{1}}} \right)$ и ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}\left( {{{\zeta }_{2}}} \right)$. Здесь ${{z}_{1}} = x + iy$ и ${{\zeta }_{1}} = \tau {{e}^{{i\eta }}}$. Будем полагать, что в области ${{G}_{1}}$ задана однолистная аналитическая функция ${{z}_{1}} = {{F}_{1}}({{\zeta }_{1}})$. Каждому комплексному числу ${{\zeta }_{1}} = \tau {{e}^{{i\eta }}}$ из области ${{G}_{1}}$ (${{G}_{1}} \subset {{C}^{2}}$) ставится в соответствие комплексное число ${{z}_{1}} = x + iy$. Аналогично, функция ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ является однолистной аналитической функцией комплексной переменной ${{\zeta }_{2}} = \xi + i\zeta $. Каждому комплексному числу ${{\zeta }_{2}} = \xi + i\zeta $ из области ${{G}_{2}}$ (${{G}_{2}} \subset {{С}^{2}}$) ставится в соответствие комплексное число ${{z}_{2}} = z + it$.

Если независимая переменная ${{\zeta }_{1}}$ представима в показательной форме ${{\zeta }_{1}} = \tau {{e}^{{i\eta }}}$, то для функции ${{z}_{1}} = x(\rho ,\eta ) + iy(\rho ,\eta )$ достаточные условия дифференцируемости имеют вид (см. [12])

Аналогично, условия Коши–Римана для функции ${{z}_{2}} = z(\xi ,\zeta ) + it(\xi ,\zeta )$ имеют вид

Рассмотрим первое и второе уравнения системы (18). Будем искать решение в виде $x = x\left( {\tau \left( {\xi ,{\text{ }}\zeta } \right),\eta } \right),$ $y = y\left( {\tau \left( {\xi ,{\text{ }}\zeta } \right),\eta } \right)$, $z = z(\xi ,\zeta )$, $\tau = t(\xi ,\zeta )$. Первое и второе уравнения (18), учитывая ${{z}_{\zeta }} = - {{t}_{\xi }}{\text{/}}t$, можно представить в виде

Таким образом, соотношение (21) совпадает с соотношением (19).

Третье уравнение системы (18) принимает вид

Обобщенные условия Коши–Римана (18) при выполнении условий ${{J}_{2}} = J_{2}^{*}\tau $, ${{z}_{\eta }} = 0$ сводятся к уравнениям С помощью замены переменных $z{\kern 1pt} * = z{\text{/}}\sqrt {J_{2}^{*}} ,$ $\zeta {\kern 1pt} * = \zeta {\text{/}}\sqrt {J_{2}^{*}} ,$ $J_{2}^{*} = {{J}_{2}}{\text{/}}\tau $ последние два уравнения (22) можно свести к виду, удовлетворяющему обычным условиям Kоши–Римана. Получаем Условия (23) – это условия дифференцируемости для функции

Следовательно, решение системы (18) можно получить с помощью использования произвольных однолистных аналитических функций ${{z}_{1}} = {{F}_{1}}\left( {{{\zeta }_{1}}} \right)$ и $z_{2}^{*} = {{F}_{2}}(\zeta _{2}^{*})$. Здесь ${{z}_{1}} = x + iy,$ ${{\zeta }_{1}} = \tau {{e}^{{i\eta }}}$, $z_{2}^{*} = z{\kern 1pt} {\text{*}} + it,$ ${{\zeta }_{2}} = \xi + i\zeta {\kern 1pt} *$.

Решение системы (18) имеет вид

Для осесимметричного случая непосредственной проверкой имеем ($\tau = \rho \left( {\xi ,\zeta } \right)$) Таким образом, в осесимметричном случае получаем Из уравнений следует, что линии $z(\xi ,\zeta ) = {\text{const}},$ $\rho (\xi .\zeta ) = {\text{const}}$ ортогональны. Действительно,

4. Ковариантные составляющие метрических коэффициентов задаются формулами

Непосредственными вычислениями получим Откуда следует, что и выполняются соотношения Таким образом, получили триортогональную систему координат. Однако известно, что, согласно теореме Коттона–Дарбу, метрика в трехмерном пространстве локальным преобразованием всегда может быть приведена к диагональному виду.

5. Для того чтобы отображение, осуществляемое аналитическими функциями ${{z}_{1}} = F({{\zeta }_{1}})$, ${{z}_{2}} = F({{\zeta }_{2}})$, было квазиконформным, необходимо, чтобы оно было взаимно однозначным, т.е. функции ${{F}_{1}}({{\zeta }_{1}})$, ${{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ должны быть однолистными в области G. Напомним, что в двумерном случае для аналитической функции необходимым условием однолистности в области G является условие $F{\kern 1pt} '(\zeta ) \ne 0$, т.е. производная должна быть всюду отлична от нуля в этой области, если исключить из рассмотрения неизолированные существенно особые точки. Преобразование квазиконформно и непрерывно всюду, кроме тех областей, где производная $F_{1}^{'}({{\zeta }_{1}})$, $F_{2}^{'}({{\zeta }_{2}})$ или $1{\text{/}}F_{1}^{'}({{\zeta }_{1}})$, $1{\text{/}}F_{2}^{'}({{\zeta }_{2}})$ не существует. Отображение, обратное квазиконформному отображению, также является квазиконформным. Иначе говоря, если функции ${{z}_{1}} = F({{\zeta }_{1}})$, ${{z}_{2}} = F({{\zeta }_{2}})$ квазиконформно отображают область G на область D, то обратная функция квазиконформно отображает область D на область G.

Для того чтобы отображение было взаимно однозначным, якобиан преобразования должен быть конечным и ненулевым. Локальная гомеоморфность отображения может нарушаться только в тех точках, в которых обращается в нуль якобиан отображения. Вопрос о нулях якобиана отображения сводится к изучению свойств критических точек. Найдем якобиан преобразования $J = \partial \left( {\xi ,\eta ,\zeta } \right){\text{/}}\partial \left( {x,y,z} \right)$ в случае ${{\eta }_{z}} = 0$. Воспользуемся условиями типа Коши–Римана в виде (9). В результате получим

Якобиан преобразования больше нуля. Это гарантирует взаимно однозначное отображение параметрической области на заданную.

Наряду со случаем ${{\eta }_{z}} = 0$ можно было бы аналогично рассмотреть случаи ${{\eta }_{x}} = 0$ и ${{\eta }_{y}} = 0$. Отметим, что теория двумерных конформных отображений полностью описывается теорией однолистных аналитических функций одного комплексного переменного ${{z}_{1}} = x + iy$, ${{\bar {z}}_{1}} = x - iy$ и ${{z}_{2}} = z + it,$ ${{\bar {z}}_{2}} = z - it$. Следовательно, квазиконформные отображения осуществляются голоморфными функциями комплексного переменного или антиголоморфными функциями. Таким образом, помимо рассмотренного выше случая, можно представить решение (17) в виде антиголоморфных функций или комбинации функций.

Использование условий (3) и (4) для построения гармонических по М.А. Лаврентьеву отображений позволяет обобщить трехмерные квазиконформные отображения на осесимметричный случай. В общем трехмерном случае построение квазиконформного отображения зависит от топологии пространства. Количество возможных классов квазиконформных отображений увеличивается и требует дальнейшего изучения.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Рассмотрим некоторые результаты визуализации трехмерных векторных полей, примеры которых для двумерного случая приведены, например, в [12].

С помощью квазиконформных отображений можно ввести пространственные системы криволинейных координат (см. [13]). Как было показано выше, решение системы (4) можно представить, используя две аналитические функции комплексного переменного: ${{z}_{1}} = {{F}_{1}}({{\zeta }_{1}})$ и ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$. Здесь ${{z}_{1}} = x + iy$, ${{\zeta }_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$. Аналогично, ${{z}_{2}} = z + i\rho $ и ${{\zeta }_{2}} = \xi + i\zeta $. Таким образом, в осесимметричном случае получаем $x = \rho \cos \eta $, $y = \rho \sin \eta $, $z = z(\xi ,\zeta )$, $\rho = \rho (\xi ,\zeta )$. Отсюда следуют примеры криволинейных координат:

– цилиндрическая круговая система координат

– сферическая система координат

(Обычно сферические координаты используются в других обозначениях: $r = {{e}^{\xi }}$, $x = r\cos \eta \sin \zeta ,$ $y = r\sin \eta \sin \zeta ,$ $z = r\cos \zeta $.)

– параболические координаты вращения

– координаты вытянутого эллипсоида вращения

– тороидальные координаты

Для визуализации пространственных отображений были разработаны программы на языке Fortran и ${{C}^{{ + + }}}$. На фиг. 1 приведено визуальное представление систем криволинейных координат: (а) – цилиндрической, (б) – сферической, (в) – параболической, (г) – эллипсоидальной, (д) и (е) – тороидальной.

Для конечных двумерных односвязных областей одной из канонических областей является единичный круг. На фиг. 2 приведены результаты визуализации квазиконформных отображений для конечной области. Аналитическое продолжение получается из соответствующих плоских координат $z,\;\rho $ с помощью вращения на угол $\eta $ вокруг оси симметрии $\rho = 0$. Координаты $z,\;\rho $ изменяются в полуплоскости. Функции ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$ и ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ задают отображение внутренности области ($\left| {{{\zeta }_{2}}} \right| < 1$) на рассматриваемую область. Для показательной формы комплексного числа аргумент $\eta = \arg {{z}_{1}}$ является многозначной функцией. Выберем величину $\eta $ в промежутке $0 \leqslant \eta < 2\pi $. Для областей, симметричных относительно начала координат, функция ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ удовлетворяет условиям ${{F}_{2}}(0) = 0$, $F_{2}^{'}(0) > 0$. Этими условиями функция ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ определяется однозначно. Случаи, приведенные на фиг. 2, соответствуют следующим отображениям:

(а) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = {{\zeta }_{2}}{{t}^{{ - 2/n}}}$, $t = r + \sqrt {{{r}^{2}} - \zeta _{{2}}^{n}} $, $r = 0.5p(1 + \zeta _{2}^{n})$, $p > 1$, $n > 1$;

(б) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = {{t}^{2}} + 2t$, $t = {{\zeta }_{2}}{\text{/}}p$, $p > 1$;

(в) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = \sqrt {t + 1} - 1,$ $t = {{\zeta }_{2}}{\text{/}}p,$ $p > 1$.

Отметим, что на фиг. 2а приведена область с n = 1, 2, 3 симметричными радиальными разрезами. В точках пересечения разреза с шаром появляется особенность, которая изображается седловыми точками. Отметим, что отображение в этих точках не является изогональным.

Для внешности конечных плоских контуров канонической областью является внешность единичного круга с включенной бесконечно удаленной точкой. На фиг. 3 приведены для внешности конечных областей функции ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$ и ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$, отображающие внешность области на рассматриваемую область. Для каждой бесконечной односвязной области с конечной границей отображение внешности круга ${{\zeta }_{2}} > 1$ на рассматриваемую область ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ определяется однозначно при условиях ${{F}_{2}}(\infty ) = \infty $, $F_{2}^{'}(\infty ) > 0$. Продолжим решение в координатах z, ρ на область $x = \rho \cos \eta ,$ $y = \rho \sin \eta $ с помощью вращения на угол $\eta $ вокруг оси симметрии ρ = 0. Приведенные визуализации соответствуют следующим случаям:

(а) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = 0.5(a + b){{\zeta }_{2}} + 0.5(a - b){\text{/}}{{\zeta }_{2}}$ – внешность эллипсоида с полуосями a, b > 0;

(б) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = \pi i{\text{/}}s(1 + p),$ $s = \ln r,$ $r = ({{\zeta }_{2}} - 1{\text{/}}{{r}_{0}})({{\zeta }_{2}} - {{r}_{0}}),$ ${{r}_{0}} = {{e}^{{i\pi p/(1 + p)}}},$ $p > 0$, – внешность шара с разрезами;

(в) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = t\sqrt {1 - 1{\text{/}}{{t}^{2}}} $, $t = 0.5[s({{p}_{1}} + {{p}_{2}}) + {{p}_{1}} - {{p}_{2}}]$, $s = 0.5({{\zeta }_{2}} + 1{\text{/}}{{\zeta }_{2}})$, ${{p}_{1}},{{p}_{2}} \geqslant 1$, – внешность симметричного крестообразного разреза ${{p}_{1}},{{p}_{2}} \geqslant 1$;

(г) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = z{{t}^{{n/2}}},$ $t = s + \sqrt {{{s}^{2}} - 1{\text{/}}\zeta _{2}^{n}} ,$ $s = p(1 + 1{\text{/}}\zeta _{2}^{n}),$ $p = 1.2451$, – внешность шара с n-симметричными разрезами, n = 2, 3, 4;

(д) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = 0.5(t + 1{\text{/}}t),$ $t = {{\zeta }_{2}}(p + 1) - p,$ $p = 0.3$, – симметричный профиль Жуковского;

(е) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = t\sqrt {1 + 1{\text{/}}t_{{}}^{2}} ,$ $t = p{{\zeta }_{2}},$ $p = 1.05$, – внешность одноконтурного кассиана;

(ж) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = {{\zeta }_{2}} + 1{\text{/}}(pn\zeta _{2}^{n}),$ $p = 1.1$; при p > 1 – укороченная гипотрохоида, при p = 1 – гипоциклоида, $n \geqslant 2$. Отметим особенность, приведенную на фиг. 3в, которая появляется в начале координат при вращении симметричного крестообразного разреза. Решение не является изогональным в окрестности начала координат и локально теряет свойства конформности.

Для криволинейных плоских полуплоскостей канонической областью является полуплоскость $\operatorname{Im} {{\zeta }_{2}} > 0$ (см. [12]). Отображение ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ угловой области, отображающей полуплоскость $\operatorname{Im} {{\zeta }_{2}} > 0$ на рассматриваемую область, и удовлетворяющей условию ${{F}_{2}}(\infty ) = \infty $, определяется с точностью до линейного преобразования ${{\zeta }_{2}}$. Аналитическое продолжение получается из соответствующих плоских координат z, ρ с помощью вращения на угол η вокруг оси симметрии. На фиг. 4 представлены результаты, соответствующие соответственно случаям

(а) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = (1 + s){\text{/}}(1 - s),$ $s = {{r}^{p}},$ $r = ({{\zeta }_{2}} - 1){\text{/}}({{\zeta }_{2}} + 1)$, при $0 < p < 1$ – выступ, при 1 < p < 2 – впадина, p = 1.6;

(б) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = a{{\zeta }_{2}} + ib\sqrt {1 - \zeta _{2}^{2}} ,$ $a = 1,$ $b = 0.5$, – эллипсоид вращения;

(в) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = {{(\sqrt {\zeta _{2}^{{}}} + i)}^{2}}$ – параболоид вращения;

(г) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = {\text{сos}}\,t,$ $t = 2p\arccos s,$ $s = - i{{\zeta }_{2}},$ $0 < p < 1$, – гиперболоид вращения;

(д) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = i(t + 1{\text{/}}t - 2),$ $t = 1 - i{{\zeta }_{2}}$, – вращение острия циссоиды;

(е) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = t + \sqrt {t - 1} \sqrt {t + 1} ,$ $t = 1 - \zeta _{2}^{2}$, – вращение полуплоскости с закругленным краем;

(ж) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = (1 + t){\text{/}}(1 - t),$ $t = {{s}^{{2p}}},$ $s = (r - 1){\text{/}}(r + 1),$ $r = u + \sqrt {u - 1} \sqrt {u + 1} ,$ $u = 1 - \zeta _{2}^{2},$ $0 < p < 1$, – вращение полуплоскости с оперенным краем, p = 0.85;

(з) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = {{t}^{{2p}}},$ $t = \sqrt {1 - \zeta _{2}^{2}} - i{{\zeta }_{2}},$ $0 < p < 1$, – вращение угла с закругленной вершиной.

Для двумерных криволинейных полос в качестве канонической области берется прямолинейная горизонтальная полоса $0 < \operatorname{Im} {{\zeta }_{2}} < \pi $. На фиг. 5 построены функции ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$ и ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$, отображающие полосу $0 < \operatorname{Im} {{\zeta }_{2}} < \pi $ на рассматриваемую криволинейную область таким образом, что точки ${{\zeta }_{2}} = - \infty ,$ ${{\zeta }_{2}} = \infty $ отражаются в рукава полосы. Функция ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ определена с точностью до сдвига аргумента ${{\zeta }_{2}}$. На фиг. 5а–г представлены результаты, соответствующие случаям

(а) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = t + {{e}^{t}},$ $t = \zeta _{2}^{{}} + i\pi {\text{/}}2$;

(б) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = t + {\text{sh}}\,t,$ $t = \zeta _{2}^{{}} - i\pi {\text{/}}2$;

(в) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = t - {\text{arth}}(1{\text{/}}t),$ $t = \sqrt {{{e}^{s}} + 1} ,$ $s = 2\zeta _{2}^{{}} - i\pi $;

(г) ${{z}_{1}} = \rho {{e}^{{i\eta }}}$, ${{z}_{2}} = \operatorname{parth} t - \operatorname{arctg} pt,$ $t = \sqrt {(s - 1){\text{/}}(s + {{p}^{2}})} ,$ $s = \exp (\zeta _{2}^{{}}),$ $p = 1.5$.

Эти случаи можно трактовать как соответствующие различным каналам, образованным вращением разнобочной гиперболы, цепной линии и др.

Приведенные результаты соответствуют двумерным результатам, приведенным в каталогах 1–4 работы [12]. Хотя результаты соответствуют осесимметричному случаю, полученные результаты значительно шире. Например, можно обобщить осесимметричный случай, если рассмотреть случай обобщенных координат вращения: ${{z}_{1}} = \zeta _{1}^{\alpha }$ и ${{z}_{2}} = {{F}_{2}}({{\zeta }_{2}})$ ($\alpha > 0$).

6. ВЫВОДЫ

Применение преобразований, которые являются основой гармонических по М.А. Лаврентьеву отображений, позволяет построить квазиконформные отображения осесимметричных областей. Трехмерное квазиконформное отображение осесимметричных областей получено как суперпозиция произвольных конформных отображений в полярных координатах. Квазиконформные отображения осесимметричных областей обладают основными свойствами конформных отображений. Приводятся примеры построения пространственных координатных систем и их визуализация.

В трехмерном случае в зависимости от топологических и аналитических свойств рассматриваемых областей количество возможных классов квазиконформных отображений увеличивается и требует дальнейшего изучения. Исследования отображений трехмерных областей, которые могли бы заменить в приложениях плоские конформные отображения, следует продолжить. Это позволит классифицировать квазиконформные отображения и составить каталоги трехмерных квазиконформных отображений и др.

Лучшим доказательством полученных результатов является их визуализация.