Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 12, стр. 2077-2088

2.1. Правильные круговые триангуляции

В качестве основного инструмента аналитического продолжения функции $\mathcal{F}(z)$ будем применять принцип симметрии Римана–Шварца (см. [6, ч. 3, гл. 4, § 5]), пользуясь тем, что стороны $\Omega ,\;\Gamma ,\;\Psi $ треугольника $T$ переходят в соответствующие промежутки вещественной оси ${{\Omega }_{w}}: = (0,1),$ ${{\Gamma }_{w}}: = (1, + \infty )$ и ${{\Psi }_{w}}: = ( - \infty ,0)$.

Введем следующее понятие.

Определение 1. Правильной круговой триангуляцией односвязной непустой области $\mathcal{D} \subset \mathbb{C}$ назовем тройку $(\mathcal{D},\Delta ,\Lambda )$, где $\Delta $ – конечное или счетное множество круговых треугольников, $\Lambda $ – конечное или счетное (возможно, пустое) множество круговых дуг, являющихся сторонами треугольников из $\Delta $, если выполнены следующие условия:

$1)$ различные треугольники ${{P}_{1}},{{P}_{2}} \in \Delta $ не пересекаются во внутренних точках:

$2)$ каждая дуга $\lambda \in \Lambda $ является стороной ровно двух треугольников из $\Delta $, причем эти треугольники симметричны друг другу относительно $\lambda $;

$3)$ треугольники из $\Delta $ и дуги из $\Lambda $ в совокупности исчерпывают область $\mathcal{D}$:

Подчеркнем, что множество дуг $\Lambda $, фигурирующее в определении 1, не обязательно совпадает со множеством всех граничных дуг треугольников из $\Delta $, но лишь является его подмножеством. В $\Lambda $ не входят дуги, лежащие на границе области $\mathcal{D}$.

Лемма 1. Если для некоторой правильной круговой триангуляции $\mathfrak{D} = (\mathcal{D},\Delta ,\Lambda )$ справедливо включение $T \in \Delta $, то функция (1) аналитически продолжается в область $\mathcal{D}$.

Доказательство. Введем в рассмотрение правильную круговую триангуляцию ${{\mathfrak{D}}_{1}} = ({{\mathcal{D}}_{1}},{{\Delta }_{1}},{{\Lambda }_{1}})$, отнеся к множеству ${{\Delta }_{1}}$ треугольник $T$ и все такие треугольники $P \in \Delta $, которые можно связать с $T$ цепочкой элементов из $\Delta $, имеющей конечную длину:

где каждые два соседних треугольника граничат по некоторой общей дуге ${{\lambda }_{j}} \in \Lambda $ и, следовательно, симметричны друг другу относительно ${{\lambda }_{j}}$. Все такие дуги по всевозможным цепочкам вида (6) отнесем ко множеству ${{\Lambda }_{1}}$. Покажем, что ${{\mathfrak{D}}_{1}} = \mathfrak{D}$.

Рассмотрим дугу $\lambda $ из $\Lambda {{\backslash }}{{\Lambda }_{1}}$ и покажем, что она не может являться стороной какого-либо треугольника $P \in {{\Delta }_{1}}$. В самом деле, в противном случае существовала бы цепочка

вида (6), где последние два треугольника соединены через дугу $\lambda $, тогда ${{P}^{\lambda }} \in {{\Delta }_{1}}$ и $\lambda \in {{\Lambda }_{1}}$, что противоречит сделанному предположению. Следовательно, $\lambda $ является общей стороной двух треугольников из $\Delta {{\backslash }}{{\Delta }_{1}}$, и, значит, множество ${{\mathcal{D}}_{2}}: = \mathcal{D}{{\backslash }}{{\mathcal{D}}_{1}}$ является открытым, т.е. содержащим вместе с каждой своей точкой и некоторую ее окрестность. Но поскольку область $\mathcal{D}$ по определению связна, то она не может являться объединением двух непересекающихся открытых множеств, следовательно, ${{\mathcal{D}}_{2}} = \not {0}$, и $\mathcal{D} = {{\mathcal{D}}_{1}}$. Таким образом, для каждого треугольника $P \in \Delta $ существует цепочка вида (6).

Далее покажем от противного, что для каждого $P \in \Delta $ существует единственная цепочка (6), состоящая из попарно различных треугольников. Предположим, что для некоторого треугольника $P \in \Delta $ найдется две такие цепочки, отличные друг от друга:

где через $Q$ обозначен их последний совпадающий элемент. Отбросив общее начало обеих цепочек до $Q$ и обратив порядок во второй из них, соединим обе цепочки в одну новую, начинающуюся и заканчивающуюся треугольником $Q$: где, по-прежнему, каждые два соседних элемента являются симметричными относительно общей стороны, принадлежащей $\Lambda $. Если в цепочке (7) найдется пара повторяющихся элементов (кроме пары, состоящей из первого и последнего элемента), то заменим ограничиваемый ими отрезок цепочки одним экземпляром дублирующегося элемента. Устраняя дубли таким образом и отождествляя первый элемент с последним, получаем из (7) циклическую цепочку, содержащую более одного элемента, в которой все треугольники попарно различны, и выполнено условие симметричности соседних треугольников относительно общей граничной дуги.

Проведем замкнутый жорданов контур через область, объединяющую треугольники построенной циклической цепочки и их общие стороны, таким образом, чтобы путь однократно пересекал по внутренней точке каждую из граничных дуг, разделяющих пары соседних треугольников. Тогда этот контур, во-первых, лежит целиком внутри области $\mathcal{D}$, а во-вторых, заключает внутри себя по крайней мере одну вершину треугольника $Q$. Но вершины треугольников из $\Delta $ не лежат внутри области $\mathcal{D}$ согласно определению 1, – получаем противоречие с условием односвязности $\mathcal{D}$. Таким образом, цепочка попарно различных треугольников (6) для каждого $P \in \Delta $ определена однозначно.

С помощью индукции по длине цепочки устанавливаем, что функция $\mathcal{F}(z)$ допускает аналитическое продолжение по принципу симметрии в каждый из треугольников $P \in \Delta $, через какую-либо из его сторон ${{\lambda }_{P}} \in \Lambda $, при этом каждая граничная дуга такого треугольника переходит в один из трех прямолинейных участков вещественной оси – ${{\Omega }_{w}},{{\Psi }_{w}}$ либо ${{\Gamma }_{w}}$. Лемма доказана.

Определение 2. Правильные круговые триангуляции ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и ${{\mathfrak{D}}_{2}}$ двух не пересекающихся областей,

назовем смежными по круговой дуге $\lambda $, если тройка является правильной круговой триангуляцией. Такую тройку будем называть соединением ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и ${{\mathfrak{D}}_{2}}$ по дуге $\lambda $.

Предложение 1. Правильные круговые триангуляции (8) не пересекающихся областей являются смежными по дуге $\lambda $ тогда и только тогда, когда найдется пара треугольников ${{P}_{1}} \in {{\Delta }_{1}}$, ${{P}_{2}} \in {{\Delta }_{2}}$, для которых $\lambda $ является общей стороной и которые симметричны друг другу относительно $\lambda $.

Доказательство. Если найдется пара треугольников ${{P}_{1}} \in {{\Delta }_{1}}$, ${{P}_{2}} \in {{\Delta }_{2}}$, симметричных друг другу относительно их общей стороны $\lambda $, то справедливость условий определения 1 для тройки (9) проверяется непосредственно.

Обратно, предположим, что тройка (9) представляет собой правильную круговую триангуляцию. Тогда найдутся треугольники ${{P}_{1}},{{P}_{2}} \in {{\Delta }_{3}}$, для которых $\lambda $ является их общей стороной, причем они симметричны друг другу относительно $\lambda $. Если при этом оба треугольника ${{P}_{1}},\;{{P}_{2}}$ принадлежат ${{\Delta }_{1}}$, то, во-первых, множество ${{\mathcal{D}}_{1}} \cup \operatorname{int} \lambda $ является открытым, и, во-вторых, $\lambda $ не пересекается с ${{\mathcal{D}}_{2}}$. Тогда множество ${{\mathcal{D}}_{3}}$ распадается в объединение непустых непересекающихся открытых множеств ${{\mathcal{D}}_{1}} \cup \operatorname{int} \lambda $ и ${{\mathcal{D}}_{2}}$, что противоречит требованию его связности. Следовательно, ${{P}_{1}} \in {{\Delta }_{1}}$, ${{P}_{2}} \in {{\Delta }_{2}}$. Предложение доказано.

Отметим, что всякое круговое преобразование, в том числе, симметрия относительно круговой дуги, а также любое евклидово движение плоскости $\mathbb{C}$, переводит правильную круговую триангуляцию также в правильную круговую триангуляцию.

Пусть $\mathfrak{D} = (\mathcal{D},\Delta ,\Lambda )$ – некоторая правильная круговая триангуляция, содержащая треугольник $T$, область $\mathcal{D}$ которой лежит в полуполосе ${{\mathbb{S}}^{ + }}$, т.е.

Рассмотрим образы $\mathfrak{D}$ под действием преобразований ${{S}^{n}}$ параллельного переноса вдоль горизонтальной оси на расстояние, кратное ширине полуполосы: В силу того, что ${{S}^{j}}{{\mathbb{S}}^{ + }} \cap {{S}^{k}}{{\mathbb{S}}^{ + }} = \not {0}$ при $j \ne k$ и треугольники ${{S}^{n}}{\kern 1pt} T$ и ${{S}^{{n + 1}}}{\kern 1pt} T$ симметричны относительно своей общей стороны – вертикального луча пользуясь предложением 1, находим, что триангуляции ${{\mathfrak{D}}^{n}}$ и ${{\mathfrak{D}}^{{n + 1}}}$ смежны по дуге ${{\Phi }_{n}}$. Определим правильную круговую триангуляцию которую будем называть периодическим продолжением триангуляции $\mathfrak{D}$.

Подчеркнем, что наличие $2$-периодической структуры в геометрическом расположении круговых треугольников триангуляции (12) не означает, что также и функция $\mathcal{F}(z)$, аналитически продолженная в область в соответствии с леммой 1, окажется $2$-периодичной, поскольку дуги $\Omega $ и $\Psi $ переходят в различные промежутки вещественной оси плоскости $w$. Однако поскольку точки получаются друг из друга композицией двух отражений относительно находящихся между ними вертикальных лучей ${{\Phi }^{j}},\;{{\Phi }^{{j + 1}}}$, образ каждого из которых под действием $\mathcal{F}(z)$ является промежутком вещественной прямой, то по принципу симметрии и в силу единственности аналитического продолжения в односвязную область имеем $\mathcal{F}(z) = \mathcal{F}(z + 4)$, т.е. функция $\mathcal{F}(z)$ является периодической в с периодом $4$.

Определение 3. Правильные круговые триангуляции ${{\mathfrak{D}}_{1}} = ({{\mathcal{D}}_{1}},{{\Delta }_{1}},{{\Lambda }_{1}})$ и ${{\mathfrak{D}}_{2}} = ({{\mathcal{D}}_{2}},{{\Delta }_{2}},{{\Lambda }_{2}})$ назовем совместимыми, если их объединение, заданное равенством

является правильной круговой триангуляцией.

По аналогии с объединением (13) определим пересечение ${{\mathfrak{D}}_{1}} \cap {{\mathfrak{D}}_{2}}$ правильных круговых триангуляций, а также отношение включения $ \subset $. Если ${{\mathfrak{D}}_{1}} \subset {{\mathfrak{D}}_{2}}$, то справедливы равенства

следовательно, ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и ${{\mathfrak{D}}_{2}}$ являются совместимыми согласно определению 3.

Предложение 2. Если заданы правильные круговые триангуляции ${{\mathfrak{D}}_{1}} = ({{\mathcal{D}}_{1}},{{\Delta }_{1}},{{\Lambda }_{1}})$ и ${{\mathfrak{D}}_{2}} = ({{\mathcal{D}}_{2}},{{\Delta }_{2}},{{\Lambda }_{2}})$ пересекающихся областей ${{\mathcal{D}}_{1}}$ и ${{\mathcal{D}}_{2}}$,

при этом пересечение есть правильная круговая триангуляция, то триангуляции ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и ${{\mathfrak{D}}_{2}}$ являются совместимыми.

Доказательство. Поскольку пересечение областей ${{\mathcal{D}}_{1}} \cap {{\mathcal{D}}_{2}}$ обладает правильной круговой триангуляцией (15), то по определению 1 является односвязной областью. Из этого и из условия (14) следует, что объединение ${{\mathfrak{D}}_{1}} \cup {{\mathfrak{D}}_{2}}$ также является односвязной областью.

Предположим, что найдутся два различных треугольника ${{P}_{1}},{{P}_{2}} \in {{\Delta }_{1}} \cup {{\Delta }_{2}}$, пересекающихся по внутренней точке $z \in \operatorname{int} {{P}_{1}} \cap \operatorname{int} {{P}_{2}}$. Тогда ${{P}_{1}} \in {{\Delta }_{1}},$ ${{P}_{2}} \in {{\Delta }_{2}}$, так как ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и ${{\mathfrak{D}}_{2}}$ являются правильными триангуляциями. Поскольку (15) также является правильной триангуляцией, то точка $z$ является внутренней для некоторого элемента – треугольника или дуги, принадлежащего одновременно и к ${{\mathfrak{D}}_{1}}$, и к ${{\mathfrak{D}}_{2}}$, причем этот элемент должен совпадать одновременно и с ${{P}_{1}}$, и с ${{P}_{2}}$, так как в правильной круговой триангуляции каждая точка области принадлежит одному и только одному элементу триангуляции (дуге или треугольнику). Полученное противоречие показывает, что условие (4) выполнено для тройки (13).

Справедливость остальных требований определения 1 для тройки (13) следует из условий предложения непосредственно. Предложение 2 доказано.

2.2. Построение области аналитичности функции $\mathcal{F}(z)$

Перейдем к построению односвязной области $\mathcal{N}$, содержащей полуполосу ${{\mathbb{S}}^{ + }}(L)$ и допускающей аналитическое продолжение функции $\mathcal{F}(z)$. Для этого мы укажем правильную круговую триангуляцию $\mathfrak{N} = (\mathcal{N},\Delta ,\Lambda )$ вида (10), т.е.

тогда согласно лемме 1 отображение (1) окажется аналитически продолженным в область $\mathcal{N}$.

Присоединим к треугольнику $T$ в составе минимальной содержащей его триангуляции $\mathfrak{T}: = (T,\{ T\} ,\not {0})$ смежную с ней по дуге $\Gamma $ триангуляцию ${{\mathfrak{T}}^{\Gamma }} = ({{T}^{\Gamma }},\{ {{T}^{\Gamma }}\} ,\not {0})$, область которой суть симметричный $T$ относительно $\Gamma $ круговой треугольник ${{T}^{\Gamma }} = BCO$. В результате объединения получим область в виде кругового четырехугольника $W$, снабженную правильной круговой триангуляцией

Четырехугольник $W$ имеет нулевые углы при вершинах $A$ и $O$, и углы $2\alpha \in (0,\pi )$ при верши-нах $B$ и $C$. Если значение $\alpha $ принадлежит диапазону $\alpha \in [\pi {\text{/}}4,\pi {\text{/}}2)$, то область $W$ содержит полуполосу ${{\mathbb{S}}^{ + }}(L)$, т.е. триангуляция (17) удовлетворяет условию (16), и теорема в этом случае доказана.

Рассмотрим теперь дополнительный промежуток значений угла $\alpha $, т.е. $\alpha \in (0,\pi {\text{/}}4).$ Присоединим к триангуляции (17) смежную с ней по стороне ${{\Omega }_{0}}: = {{\Omega }^{\Gamma }}$ (см. фиг. 2) четырехугольника $W$ триангуляцию

затем к результату присоединим триангуляцию ${{\mathfrak{W}}_{2}}(B)$, смежную с ${{\mathfrak{W}}_{1}}(B)$ по дуге ${{\Omega }_{1}}: = {{\Omega }^{{{{\Omega }_{0}}}}}$ и т.д. – проделаем эту операцию $N$ раз, где каждая из дуг ${{\Omega }_{j}}$ выходит из точки $B$ в полуполосу ${{\mathbb{S}}^{ + }}$ под углом $(2\alpha {\kern 1pt} j)$ к лучу $\Omega $ и заканчивается в некоторой точке ${{B}_{j}} \in I$, образуя прямой угол с вещественной осью. Составляющие триангуляцию ${{\mathfrak{W}}_{j}}(B)$ треугольники и их общую граничную дугу обозначим следующим образом:

По аналогии с триангуляциями четырехугольников (18) построим серию из $N$ триангуляций ${{\mathfrak{W}}_{j}}(C)$ четырехугольных областей ${{W}_{j}}(C)$, имеющих на границе общую вершину $C$ и получаемых из $\mathfrak{W}$ последовательными отражениями относительно дуг

образующих прямые углы с вещественной осью в концевых точках ${{C}_{j}} \in I,$ $j = 0,1, \ldots ,N$. Элементы триангуляций ${{\mathfrak{W}}_{j}}(C)$ находятся по формулам, аналогичным (19), с заменой $B$ на $C$ и $\Omega $ на $\Psi $.

Триангуляции ${{\mathfrak{W}}_{j}}(B)$, $\mathfrak{W}$, ${{\mathfrak{W}}_{j}}(C)$ по построению являются смежными по граничным дугам ${{\Omega }_{j}},\;{{\Psi }_{j}}$. Соединяя их, получим симметричную относительно вертикальной оси правильную круговую триангуляцию

область ${{\mathcal{N}}_{0}}$ которой является круговым многоугольником. Поскольку углы при вершинах $B$ и $C$ в этом многоугольнике имеют меру превышающую $\pi {\text{/}}2$, то многоугольник ${{\mathcal{N}}_{0}}$ накрывает некоторую окрестность точек $B$ и $C$ в полуполосе ${{\mathbb{S}}^{ + }}(L)$, однако может при этом не содержать всю эту полуполосу целиком.

Вертикальная полуось $\gamma = OA$ соединяет вершины двух нулевых углов четырехугольника $W$, лежит внутри него, $\operatorname{int} \gamma \subset \operatorname{int} W$, и служит осью симметрии как для самой области $W$, так и для содержащихся в ней треугольников $T,{{T}^{\Gamma }} \in {{\Delta }_{0}}$ и их общей стороны $\Gamma $.

Поскольку триангуляция ${{\mathfrak{W}}_{j}}(B)$ получена из $\mathfrak{W}$ композицией последовательных круговых симметрий относительно дуг ${{\Omega }_{0}}, \ldots ,{{\Omega }_{{j - 1}}}$, то составляющие ее элементы (19) и область ${{W}_{j}}(B)$ также обладают общей осью симметрии

соединяющей два нулевых угла ${{B}_{{j - 1}}}$ и ${{B}_{j}}$ четырехугольника ${{W}_{j}}(B)$. Поскольку луч $\gamma $ и все дуги ${{\Omega }_{k}}$ ортогональны вещественной оси, то и дуга ${{\beta }_{j}}$ обладает этим свойством. Таким образом, ${{\beta }_{j}}$ есть полуокружность, опирающаяся на отрезкок ${{B}_{{j - 1}}}{{B}_{j}} \subset I$ как на диаметр.

Открытый полукруг, стягиваемого полуокружностью $\xi $, обозначим через $K(\xi )$, а также введем обозначение

для объединения таких полукругов по некоторому множеству $\Xi $ полуокружностей.

Также отметим, что полукруг $K({{\beta }_{j}})$ имеет непустое пересечение с треугольниками ${{T}_{j}}(B)$ и $T_{j}^{\Gamma }(B)$, но с другими треугольниками из множества ${{\Delta }_{0}}$ не пересекается. Введем в связи с этим следующее понятие.

Определение 4. Полуокружность $\xi $ назовем совместимой с правильной круговой триангуляцией $\mathfrak{D} = (\mathcal{D},\Delta ,\Lambda )$ области $\mathcal{D} \subset {{\mathbb{H}}^{ + }}$, если $\xi $ опирается на некоторый интервал $D(\xi )$ вещественной оси как на диаметр, стягиваемый ею полукруг $K(\xi )$ пересекает ровно два треугольника

граничащих по некоторой дуге $\lambda (\xi ) \in \Lambda $, при этом дуга $\xi $ полностью содержится в четырехугольной области и является общей осью круговой симметрии для $P(\xi ),\;\lambda (\xi ),\;P{{(\xi )}^{{\lambda (\xi )}}}$ и $W(\xi )$.

Проведенные выше построения показывают, что полуокружности ${{\beta }_{j}}$, $j = 1,2, \ldots ,N$, являются совместимыми с правильной круговой триангуляцией ${{\mathfrak{N}}_{0}}$. По аналогии с ${{\beta }_{j}}$ построим полуокружности

опирающиеся на интервалы $({{C}_{{j - 1}}}{{C}_{j}})$ как на диаметры. Каждая из этих дуг является общей осью симметрии для соответствующей четырехугольной области ${{W}_{j}}(C)$ и для элементов, составляющих правильную круговую триангуляцию ${{\mathfrak{W}}_{j}}(C)$ этой области. Кроме того, дуги ${{\sigma }_{j}}$ являются совместимыми с триангуляцией ${{\mathfrak{N}}_{0}}$.

Отметим, что различные интервалы $({{B}_{{j - 1}}}{{B}_{j}})$, $({{C}_{{k - 1}}}{{C}_{k}})$ попарно не пересекаются между собой, как и построенные на них как на диаметрах открытые полукруги $K({{\beta }_{j}}),\;K({{\sigma }_{k}})$.

Определение 5. Множество $\Xi $ полуокружностей назовем совместимым с правильной круговой триангуляцией $\mathfrak{D} = (\mathcal{D},\Delta ,\Lambda )$, $\mathcal{D} \subset {{\mathbb{H}}^{ + }}$, если, во-первых, каждая дуга $\xi \in \Xi $ совместима с $\mathfrak{D}$ в смысле определения $4$ и, во-вторых, стягиваемые этими дугами полукруги $K(\xi )$ или, что эквивалентно, их диаметры $D(\xi )$, являющиеся интервалами вещественной оси, попарно не пересекаются между собой во внутренних точках.

Таким образом, система полуокружностей

является совместимой с триангуляцией ${{\mathfrak{N}}_{0}}$ в смысле определения 5. На фиг. 2 для объединения полукругов $K({{\Xi }_{0}})$ дана штриховка с наклоном вправо.

Отметим, что любое подмножество набора полуокружностей $\Xi $, удовлетворяющего определению 5, также является совместимым с триангуляцией $\mathfrak{D}$. Кроме того, если концы всех дуг $\xi \in \Xi $ лежат на отрезке $I$ вещественной прямой, то их попарно не пересекающиеся диаметры $D(\xi )$ лежат внутри $I$, следовательно,

где $\operatorname{diam} (\xi )$ – диаметр дуги $\xi $, ${\text{|}}I{\kern 1pt} {\text{|}}$ – длина отрезка $I$. Cвойством (24) по построению обладает набор полуокружностей (23).

Лемма 2. Пусть ${{\mathfrak{D}}_{1}} = ({{\mathcal{D}}_{1}},{{\Delta }_{1}},{{\Lambda }_{1}}),$ ${{\mathfrak{D}}_{2}} = ({{\mathcal{D}}_{2}},{{\Delta }_{2}},{{\Lambda }_{2}})$ – правильные круговые триангуляции областей ${{\mathcal{D}}_{1}},{{\mathcal{D}}_{2}} \subset {{\mathbb{H}}^{ + }}$, совместимые между собой, ${{\Xi }_{1}},\;{{\Xi }_{2}}$ – два набора полуокружностей, причем множество ${{\Xi }_{j}}$ является совместимым с триангуляцией ${{\mathfrak{D}}_{j}}$, $j = 1,2$, и пусть $\nu \in {{\Xi }_{1}} \cap {{\Xi }_{2}}$ – общая дуга этих наборов. Тогда

$1)$ триангуляции ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и ${{({{\mathfrak{D}}_{2}})}^{\nu }}$ являются совместимыми;

$2)$ множество дуг

является совместимым с объединенной триангуляцией ${{\mathfrak{D}}_{3}}: = {{\mathfrak{D}}_{1}} \cup {{({{\mathfrak{D}}_{2}})}^{\nu }}$;

$3)$ справедливо неравенство

Доказательство. Согласно определению 4 найдется пара симметричных друг другу относительно общей стороны ${{\lambda }^{{(1)}}} \in {{\Lambda }_{1}}$ треугольников $P_{1}^{{(1)}},P_{2}^{{(1)}} \in {{\Delta }_{1}}$, для которых полуокружность $\nu $ является общей осью симметрии и содержится внутри соответствующего четырехугольника (22), который обозначим через $W$. Существуют также треугольники $P_{1}^{{(2)}},P_{2}^{{(2)}} \in {{\Delta }_{2}}$ и дуга ${{\lambda }^{{(2)}}} \in {{\Lambda }_{2}}$ с аналогичными свойствами.

Триангуляции ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и ${{\mathfrak{D}}_{2}}$ совместимы, следовательно, формулой (13) определена объединенная правильная круговая триангуляция ${{\mathfrak{D}}_{1}} \cup {{\mathfrak{D}}_{2}}$. В силу представления (5) и условия (4), если два элемента триангуляции пересекаются по внутренней точке, то они совпадают. В данном случае элементы $P_{k}^{{(1)}},\;\lambda _{k}^{{(1)}}$ пересекаются с элементами $P_{k}^{{(2)}},\lambda _{k}^{{(2)}}$, $k = 1,2$, по точкам дуги $\nu $. Отсюда следует совпадение (с точностью до переобозначений) треугольников и дуг:

составляющих правильную круговую триангуляцию $\mathfrak{W}$ области $W$, причем

Множество ${{\mathcal{D}}_{1}}{{\backslash }}W$ лежит целиком снаружи полукруга $K(\nu )$ согласно определению 4, а множество ${{({{\mathcal{D}}_{2}})}^{\nu }}{{\backslash }}W = ({{\mathcal{D}}_{2}}{{\backslash }}W{{)}^{\nu }}$ лежит целиком внутри $K(\nu )$, т.е. эти множества не пересекаются. Таким образом, определено непустое пересечение правильных круговых триангуляций

и согласно предложению 2 триангуляции ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и ${{({{\mathfrak{D}}_{2}})}^{\nu }}$ являются совместимыми. Пункт 1 леммы доказан.

Семейство полуокружностей (25) состоит из двух не пересекающихся частей: во-первых, из множества ${{\Xi }_{1}}{{\backslash }}\{ \nu \} $, совместимого с ${{\mathfrak{D}}_{1}}$ и лежащего за пределами полукруга $K(\nu )$, во-вторых, из множества

лежащего внутри этого полукруга и совместимого с ${{({{\mathfrak{D}}_{2}})}^{\nu }}$. Поскольку то заключаем, что множество (25) образует семейство полуокружностей, совместимое с объединением ${{\mathfrak{D}}_{1}} \cup {{({{\mathfrak{D}}_{2}})}^{\nu }}$. Это доказывает п. 2 леммы.

Диаметр $D(\xi )$ полуокружности $\xi \in {{\Xi }_{2}}$ как интервал вещественной прямой не пересекается с интервалом $D(\nu )$ по условию леммы. При инверсии относительно $\nu $ дуга $\xi $ переходит в другую полуокружность ${{\xi }^{{{\kern 1pt} \nu }}}$, диаметр которой $D({{\xi }^{{{\kern 1pt} \nu }}})$ расположен на отрезке, соединяющем центр $\nu $ с соответствующим концом диаметра $D(\nu )$, т.е. на радиусе $\nu $. Из этого вытекает утверждение п. 3. Лемма 2 доказана.

Обозначим через $X(B)$ замкнутый круговой треугольник $BB{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{B}_{N}}$, ограниченный дугами $\omega ,\;{{\Omega }_{N}}$ и отрезком $B{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{B}_{N}}$ вещественной оси, а через $X(C)$ – аналогичный треугольник $CC{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{C}_{N}}$, ограниченный дугами $\psi ,\;{{\Psi }_{N}}$ и отрезком $C{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{C}_{N}}$. На фиг. 2 для этих треугольников дана штриховка с наклоном влево. Замкнутое множество

в совокупности с открытыми множествами ${{\mathcal{N}}_{0}}$ и $K({{\Xi }_{0}})$, не пересекаясь с ними, накрывает полуполосу ${{\mathbb{S}}^{ + }}$, т.е. справедливы следующие соотношения:

Лемма 3. Существует последовательность троек

где ${{\mathfrak{N}}_{n}}$ – правильная круговая триангуляция вида (10) ${{X}_{n}} \subset \mathbb{C}$ – замкнутое множество, ${{\Xi }_{n}}$ – конечное или счетное множество полуокружностей, совместимое с ${{\mathfrak{N}}_{n}}$, при этом и последовательность (28) удовлетворяет условиям

Доказательство. Будем строить последовательность (28), члены которой удовлетворяют свойствам (29)–(31), с помощью индукции. Базу индукции при $n = 0$ составляет тройка $({{\mathfrak{N}}_{0}},{{\Xi }_{0}},{{X}_{0}})$, определенная формулами (20), (23), (27).

Предположим, что тройка $({{\mathfrak{N}}_{n}},{{\Xi }_{n}},{{X}_{n}})$ построена для некоторого $n \geqslant 0$, построим тогда тройку $({{\mathfrak{N}}_{{n + 1}}},{{\Xi }_{{n + 1}}},{{X}_{{n + 1}}})$.

Поскольку триангуляция ${{\mathfrak{N}}_{n}}$ имеет вид (10), то существует ее периодическое продолжение , определенное формулами (12). Определим также множество дуг ${{\widetilde \Xi }_{n}}$ и замкнутое множество ${{\widetilde X}_{n}} \subset \mathbb{C}$ формулами

где ${{S}^{j}}$ – преобразование параллельного переноса на расстояние $2j$ вдоль горизонтальной оси, определенное выше (см. (11)). Тогда в силу условий (29), (30) справедливо включение причем множество дуг ${{\widetilde \Xi }_{n}}$ совместимо с триангуляцией в смысле определения 5.

Значения диаметров дуг $\xi \in {{\Xi }_{n}}$ ограничены сверху, так как их сумма не превосходит длины отрезка $I$. Выберем полуокружность $\nu \in {{\Xi }_{n}} \subset {{\widetilde \Xi }_{n}}$, имеющую наибольший диаметр. Применяя лемму 2 к триангуляциям ${{\mathfrak{D}}_{1}} = {{\mathfrak{N}}_{n}}$ и , а также к совместимым с ними множествам полуокружностей ${{\Xi }_{n}}$ и ${{\widetilde \Xi }_{n}}$ и их общей дуге $\nu $, получаем правильную круговую триангуляцию

и совместимую с ней систему дуг Положим также Поскольку множество ${{\widetilde X}_{n}}$ не пересекается с полукругом $K(\nu )$, то симметричное ему относительно $\nu $ множество ${{({{\widetilde X}_{n}})}^{\nu }}$ лежит в замыкании $\overline {K(\nu )} \subset \overline {{{\mathbb{S}}^{ + }}} $. При этом каждая точка $z \in {{\widetilde X}_{n}}$ переходит при симметрии относительно $\nu $ в точку ${{z}_{1}}$, лежащую на одной прямой с $z$ и с центром дуги $\nu $, находящимся на вещественной оси. Поэтому $\operatorname{Im} {{z}_{1}} \leqslant \operatorname{Im} z \leqslant L$, откуда следует, что ${{({{\widetilde X}_{n}})}^{\nu }} \subset \overline \Pi $. С учетом определения (38) это доказывает выполнение свойства (29) для ${{X}_{{n + 1}}}$.

При инверсии относительно окружности, имеющей центр на вещественной прямой, часть верхней полуплоскости, лежащая снаружи этой окружности, переходит в полукруг, заключенный между окружностью и вещественной осью. Ввиду этого и поскольку дуги из множества ${{\widetilde \Xi }_{n}}{{\backslash }}\{ \nu \} $ лежат за пределами полукруга $K(\nu )$, то множество

следовательно, в силу определения (37) справедливо включение

Из включения (35) и из определения 4 следует, что

откуда, применяя симметрию относительно $\nu $, находим Согласно определениям (36)–(38) с учетом предположения (30) и включения (41) находим что вместе с формулой (40) доказывает свойство (30) для тройки (36)–(38).

Осталось показать справедливость условий (31) для данных $(n + 1)$-го шага индукции.

Множество (38) состоит из двух частей: из множества ${{({{\widetilde X}_{n}})}^{\nu }}$, лежащего внутри полукруга $\overline {K(\nu )} $, и из множества ${{X}_{n}}$, лежащего снаружи. Область ${{\mathcal{N}}_{{n + 1}}}$, в свою очередь, состоит из трех частей: из кругового четырехугольника $W(\nu ) \supset \nu $, из множества , лежащего внутри полукруга $\overline {K(\nu )} $, и из множества ${{\mathcal{N}}_{n}}{{\backslash }}W(\nu )$, лежащего вне этого полукруга.

Четырехугольник $W(\nu )$ не пересекается с ${{X}_{n}}$ по предположению (31), так как $W(\nu ) \subset {{\mathcal{N}}_{n}}$, и также не пересекается с ${{\widetilde X}_{n}}$ по построению последнего. Поскольку этот четырехугольник симметричен относительно $\nu $, то он также не пересекается и с ${{({{\widetilde X}_{n}})}^{\nu }}$. Множество не пересекается с ${{({{\widetilde X}_{n}})}^{\nu }}$, так как по построению периодического продолжения (11), (34) и по предположению (31). Наконец, область ${{\mathcal{N}}_{n}}$ не пересекается с ${{X}_{n}}$ также по предположению (31). Следовательно, справедливо равенство ${{\mathcal{N}}_{{n + 1}}} \cap {{X}_{{n + 1}}} = \not {0}$.

Объединение полукругов $K(({{\widetilde \Xi }_{n}}{{\backslash }}\{ \nu {{\} )}^{\nu }})$, лежащее внутри $K(\nu )$, не пересекается с ${{({{\widetilde X}_{n}})}^{\nu }}$, поскольку $K({{\widetilde \Xi }_{n}}) \cap {{\widetilde X}_{n}} = \not {0}$, и $K({{\widetilde \Xi }_{n}})$ не пересекается с ${{X}_{n}}$ по предположению (31). Следовательно, равенство $K({{\Xi }_{{n + 1}}}) \cap {{X}_{{n + 1}}} = \not {0}$ выполнено.

Таким образом, справедливость условий (31) для тройки (36)–(38) установлена, обоснование индуктивного перехода завершено, и последовательность (28) построена.

Выполнение свойств (32) этой последовательности следует из определений (36)–(38) и включения (39).

Проведем обоснование свойства (33). Обозначим через $({{\varepsilon }^{{(n)}}})$ упорядоченную по убыванию последовательность диаметров ${{(\operatorname{diam} (\xi ))}_{{\xi \in {{\Xi }_{n}}}}}$, тогда из неравенства (24) получаем

Из алгоритма (36) построения множества ${{\Xi }_{{n + 1}}}$, а также из неравенства (26) находим, что отличие в составе последовательностей $({{\varepsilon }^{{(n + 1)}}})$ и $({{\varepsilon }^{{(n)}}})$ заключается в следующем: при переходе к $({{\varepsilon }^{{(n + 1)}}})$ из $({{\varepsilon }^{{(n)}}})$ вычеркивается наибольший элемент $\varepsilon _{1}^{{(n)}}$ и добавляется счетное множество новых элементов, не превосходящих $(\varepsilon _{1}^{{(n)}}{\text{/}}2)$, с сохранением ограничения (42) на сумму членов последовательности. Следовательно, для каждого номера $n \in \mathbb{N}$ существует такое число ${{n}_{1}} \in \mathbb{N}$, что $\varepsilon _{1}^{{(n + {{n}_{1}})}} \leqslant (\varepsilon _{1}^{{(n)}}{\text{/}}2)$: ${{n}_{1}}$ равно количеству членов последовательности $({{\varepsilon }^{{(n)}}})$, превышающих $(\varepsilon _{1}^{{(n)}}{\text{/}}2)$. Из этого вытекает свойство (33), лемма 3 доказана.

В обозначениях леммы 3 положим

Из предельного равенства (33) и включений (30) находим Тогда отображение (1) аналитически продолжается в область что и требовалось доказать.