Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 12, стр. 2043-2053

Аналитико-численный метод для анализа малых возмущений океанских геострофических течений с параболическим вертикальным профилем скорости общего вида

С. Л. Скороходов^1, *, Н. П. Кузьмина^2, **

¹ ФИЦ ИУ РАН
119991 Москва, ул. Вавилова, 44, Россия

² Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН
117997 Москва, Нахимовский пр-т, 36, Россия

^* E-mail: sskorokhodov@gmail.com
^** E-mail: kuzmina@ocean.ru

Поступила в редакцию 24.04.2022
После доработки 27.05.2022
Принята к публикации 21.06.2022

EDN: ASDONH
DOI: 10.31857/S0044466922120134

Полный текст (PDF)

Аннотация

Разработан аналитико-численный метод для решения задачи, основанной на уравнении эволюции потенциального вихря в квазигеострофическом приближении с учетом вертикальной диффузии массы и импульса, с целью анализа малых возмущений океанских течений конечного поперечного масштаба с параболическим вертикальным профилем скорости общего вида. Для возникающей спектральной несамосопряженной задачи построены асимптотики собственных функций и собственных значений при малых значениях волнового числа $k$ и показано, что при малых $k$ существуют два ограниченных и счетное множество неограниченно растущих собственных значений. Рассчитаны траектории собственных значений для различных безразмерных параметров задачи при изменении волнового числа $k$, что показало существенную зависимость скорости роста неустойчивых возмущений от физических параметров модели. Библ. 11. Фиг. 6.

Ключевые слова: спектральная несамосопряженная задача, асимптотические разложения, метод продолжения по параметру.

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1]–[9] представлены результаты исследования устойчивых и неустойчивых малых возмущений геострофических течений с линейным и параболическим вертикальными профилями скорости. Модели основывались на уравнении эволюции потенциального вихря в квазигеострофическом приближении с учетом вертикальной диффузии массы и импульса. Вывод основных уравнений модели подробно представлен в [1]–[4]. Анализ проводился для течений с боковыми границами в конечных по вертикали слоях. Для течения с параболическим вертикальным профилем скорости были рассмотрены два частных случая: а) максимум скорости течения расположен в середине слоя (см. [1]–[5]); б) максимум скорости течения достигался на верхней или нижней границах слоя (см. [9]). Однако в океане наблюдаются течения с максимумом скорости внутри слоя, а не только на его границах или в центре слоя. В связи с этим исследование динамики такого течения, т.е. течения с вертикальным параболическим профилем скорости общего вида, является актуальным. Данная работа посвящена разработке аналитико-численного метода для решения задачи динамики геострофического течения с параболическим профилем общего вида. Представлены расчеты траекторий собственных значений (СЗ) для различных параметров модели.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Область, в которой исследуется модельное течение, является бесконечным (вдоль направления течения) горизонтальным слоем толщины $2H$ с верхней и нижней границами ${{z}_{1}} = H$ и ${{z}_{0}} = - H$ и боковыми границами ${{y}_{0}} = 0$ и ${{y}_{1}} = L$. Декартовы координаты внутри такого слоя следующие: вертикальная переменная $z \in [ - H,H]$, поперечная переменная $y \in [0,L]$ и продольная переменная $x$ направлена вдоль течения, $x \in ( - \infty ,\infty )$.

В соответствии с методами исследования неустойчивости течений (см. работы [1]–[5]) представим отклонения безразмерного давления в виде бегущей вдоль оси $x$ волны:

(0.1)

$p(x,y,z;t) = \sin \left( {\pi n\frac{y}{L}} \right){{e}^{{ik(x - ct)}}}F\left( {\frac{z}{H}} \right),\quad n \in \mathbb{N},$

где $k$ – волновое число возмущения вдоль координаты $x$, $L{\text{/}}n$ – масштаб возмущения в поперечном направлении $y$, $c$ – комплексная фазовая скорость волны, а $F(z{\text{/}}H)$ – искомый вертикальный профиль возмущения давления.

В безразмерных переменных задача исследования неустойчивости течения с параболическим вертикальным профилем скорости общего вида сводится к решению спектральной задачи на отрезке $z \in [ - 1,1]$. (Подробное описание введения безразмерных переменных для аналогичных задач можно найти, например в [3], [4].) Отметим, что вертикальный профиль течения в безразмерном виде в этом случае будет иметь вид

(0.2)

$U(z) = 1 - \alpha {{z}^{2}} + \beta z,$

где параметры $\alpha $ и $\beta $ неотрицательны. Из стандартного условия равенства нулю скорости основного течения на нижней границе слоя следует, что

(0.3)

$\alpha + \beta = 1.$

Постановка задачи исследования устойчивости малых возмущений течения с вертикальным профилем скорости $U(z)$ проводится аналогично задачам в [3]–[9] и может быть записана в виде следующей спектральной задачи на отрезке $z \in [ - 1,1]$.

Задача. Найти комплекснозначные собственные функции (СФ) $F = F(z)$ и СЗ , удовлетворяющие на отрезке $z \in [ - 1,1]$ уравнению

(0.4)

$\frac{1}{{ik{\text{R}}}}({{F}^{{(IV)}}} - \operatorname{Bu} {\text{Pr}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ') = (1 - \alpha {{z}^{2}} + \beta z - c)(F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\; - {\text{Bu}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})F) + 2\alpha F$

с краевыми условиями

(0.5)

$\frac{1}{{ik{\text{R}}}}F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(1) = (1 - \alpha + \beta - c)F{\kern 1pt} '(1) - (\beta - 2\alpha )F(1),\quad F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(1) = 0,$

(0.6)

$\frac{1}{{ik{\text{R}}}}F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '( - 1) = - cF{\kern 1pt} '( - 1) - (\beta + 2\alpha )F( - 1),\quad F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '( - 1) = 0,$

причем неотрицательные параметры $\alpha $ и $\beta $ удовлетворяют условию (0.3).

Здесь введены следующие обозначения: ${\text{R}} = \operatorname{Pe} H{\text{/}}L$, где ${\text{Pe}}$ – число Пекле (аналог числа Рейнольдса), $n$ – число полуволн в поперечном направлении ($n = 1,2, \ldots $), ${\text{Pr}}$ – число Прандтля, ${\text{Bu}}$ – число Бургера, $i$ – мнимая единица.

Краевые условия в (0.5), (0.6) с участием третьих производных задают непротекание на горизонтальных границах слоя, а условия для вторых производных задают равенство нулю потоков плавучести.

Поставленная задача является несамосопряженной, сингулярно возмущенной (для реальных течений величина $k{\text{R}}$ может быть очень большой), а спектральный параметр $c$ входит в уравнение и в краевые условия. Задача будет иметь счетное множество СФ и соответствующих им СЗ. Неустойчивые по времени возмущения давления $p(x,y,z;t)$ возникают для тех СФ, которым соответствуют СЗ ${{c}_{m}}$ с положительной мнимой частью $\operatorname{Im} (c) > 0$, что следует из представления (0.1).

1. МЕТОД РАСЧЕТА СФ И СЗ

Анализ уравнения (0.4) показывает, что СФ $F(z)$ являются целыми функциями, а их степенные разложения будут сходиться при любых конечных значениях аргумента $z$. Метод расчета СФ и соответствующих СЗ был разработан ранее в [5], [6] и показал свою высокую точность и быстродействие. Суть этого подхода состоит в построении степенных разложений $F(z)$ в граничных точках $z = - 1$ и $z = 1$ и их гладкой сшивке в некоторой точке ${{z}_{*}} \in ( - 1,1)$.

Зафиксируем спектральный параметр $c$ и решение $F(c;z)$ уравнения (0.4) представим в виде двух разложений в точках $z = 1$ и $z = - 1$:

(1.1)

$F(c;z) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \,{{a}_{m}}(c)(z - {{1)}^{m}},\quad F(c;z) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \,{{b}_{m}}(c)(z + {{1)}^{m}},$

сходящихся при любых $z,\;{\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} < \infty $, где коэффициенты ${{a}_{m}}(c)$ и ${{b}_{m}}(c)$ зависят от параметра $c$. Подставляя представления (1.1) в уравнение (0.4), получаем рекуррентные соотношения для коэффициентов ${{a}_{m}}$ и ${{b}_{m}}$:

(1.2)

$\begin{gathered} {{a}_{{m + 4}}} = \{ (m + 1)(m + 2)[\Pr \operatorname{Bu} ({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}) + (1 - \alpha + \beta - c)ik{\text{R}}]{{a}_{{m + 2}}} + ik{\text{R}}(\beta - 2\alpha )m(m + 1){{a}_{{m + 1}}} + \\ \, + ik{\text{R}}[2\alpha - {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})(1 - \alpha + \beta - c) - \alpha m(m - 1)]{{a}_{m}} - ik{\text{R}}{\kern 1pt} {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})(\beta - 2\alpha ){{a}_{{m - 1}}} + \\ \, + ik{\text{R}}\alpha {\kern 1pt} {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}){{a}_{{m - 2}}}\} [(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + {{4)]}^{{ - 1}}}, \\ \end{gathered} $

(1.3)

$\begin{gathered} {{b}_{{m + 4}}} = \{ (m + 1)(m + 2)[\Pr {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}) - ik{\text{R}}c]{{b}_{{m + 2}}} + ik{\text{R}}m(m + 1)(2\alpha + \beta ){{b}_{{m + 1}}} + \\ \, + ik{\text{R}}[2\alpha - \alpha m(m - 1) + {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})c]{{b}_{m}} - ik{\text{R}}{\kern 1pt} {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})(2\alpha + \beta ){{b}_{{m - 1}}} + \\ \, + ik{\text{R}}\alpha {\kern 1pt} {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}){{b}_{{m - 2}}}\} [(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + {{4)]}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $

Асимптотическое поведение коэффициентов ${{a}_{m}}$ и ${{b}_{m}}$ с ростом номера $m$ может быть исследовано на основе теории Пуанкаре–Перрона анализа полученных рекуррентных уравнений (1.2) и (1.3) (см. [10]). Для наиболее медленно убывающих решений коэффициентов ${{a}_{m}}$ и ${{b}_{m}}$ это асимптотическое поведение зависит от параметра $\alpha $ следующим образом:

$\frac{{{{a}_{{m + 1}}}}}{{{{a}_{m}}}} \sim \frac{t}{{\sqrt m }},\quad \frac{{{{b}_{{m + 1}}}}}{{{{b}_{m}}}} \sim \frac{t}{{\sqrt m }},\quad m \to \infty ,\quad t = ( - ik{\text{R}}\alpha {{)}^{{1/4}}},\quad \alpha \ne 0,$

$\frac{{{{a}_{{m + 1}}}}}{{{{a}_{m}}}} \sim \frac{t}{{{{m}^{{2/3}}}}},\quad \frac{{{{b}_{{m + 1}}}}}{{{{b}_{m}}}} \sim \frac{t}{{{{m}^{{2/3}}}}},\quad m \to \infty ,\quad t = (ik{\text{R}}{{)}^{{1/3}}},\quad \alpha = 0.$

Такая скорость убывания коэффициентов ${{a}_{m}}$ и ${{b}_{m}}$ обеспечивает быструю сходимость используемых разложений (1.1) на всем отрезке $z \in [ - 1,1]$.

Теперь учтем краевые условия (0.5) и (0.6), дающие связь коэффициентов ${{a}_{m}}$ и ${{b}_{m}},m = 0,1,2,3$:

(1.4)

${{a}_{2}} = 0,\quad {{a}_{3}} = \frac{{ik{\text{R}}}}{6}[(1 - \alpha + \beta - c){{a}_{1}} - (\beta - 2\alpha ){{a}_{0}}],$

(1.5)

${{b}_{2}} = 0,\quad {{b}_{3}} = - \frac{{ik{\text{R}}}}{6}[c{{b}_{1}} + (\beta + 2\alpha ){{b}_{0}}].$

Далее построим два независимых решения ${{F}_{1}}(c;z)$ и ${{F}_{2}}(c;z)$ в виде разложений (1.1) в точке $z = 1$. Для этого зададим коэффициенты $a_{0}^{{(1)}}$ и $a_{1}^{{(1)}}$ решения ${{F}_{1}}(c;z)$ следующими:

$a_{0}^{{(1)}} = 1,\quad a_{1}^{{(1)}} = 0,$

величины $a_{2}^{{(1)}}$ и $a_{3}^{{(1)}}$ определим по (1.4), а все последующие $a_{m}^{{(1)}}$ вычислим по рекурсии (1.2), где полагаем $a_{{ - 1}}^{{(1)}} = a_{{ - 2}}^{{(1)}} = 0$.

Для второго решения ${{F}_{2}}(c;z)$ коэффициенты $a_{0}^{{(2)}}$ и $a_{1}^{{(2)}}$ зададим следующими:

$a_{0}^{{(2)}} = 0,\quad a_{1}^{{(2)}} = 1,$

а все последующие $a_{m}^{{(2)}}$ вычислим аналогично предыдущему. Два разложения ${{F}_{1}}(c;z)$ и ${{F}_{2}}(c;z)$ в точке $z = 1$ построены.

Линейная комбинация ${{F}_{1}}(c;z)$ и ${{F}_{2}}(c;z)$ является общим решением $F(c;z)$ уравнения (0.4) с краевыми условиями (0.5) в точке $z = 1$:

(1.6)

$F(c;z) = {{t}_{1}}{{F}_{1}}(c;z) + {{t}_{2}}{{F}_{2}}(c;z),$

где ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$ – произвольные весовые коэффициенты.

Теперь построим две функции ${{F}_{3}}(c;z)$ и ${{F}_{4}}(c;z)$ в виде разложений в точке $z = - 1$, задав коэффициенты $b_{0}^{{(1)}}$, $b_{1}^{{(1)}}$ и $b_{0}^{{(2)}}$, $b_{1}^{{(2)}}$ следующими:

$b_{0}^{{(1)}} = 1,\quad b_{1}^{{(1)}} = 0,\quad b_{0}^{{(2)}} = 0,\quad b_{1}^{{(2)}} = 1,$

положив ${{b}_{2}}$ и ${{b}_{3}}$ в соответствии с (1.5), а все последующие коэффициенты ${{b}_{m}}$ для обоих разложений вычислив из соотношения (1.3).

Линейная комбинация ${{F}_{3}}(c;z)$ и ${{F}_{4}}(c;z)$ является общим решением $F(c;z)$ уравнения (0.4) с краевыми условиями (0.6) в точке $z = - 1$,

(1.7)

$F(c;z) = {{t}_{3}}{{F}_{3}}(c;z) + {{t}_{4}}{{F}_{4}}(c;z)$

с произвольными весовыми коэффициентами ${{t}_{3}}$ и ${{t}_{4}}$.

Задача построения СФ и вычисления искомых СЗ теперь сводится к гладкой сшивке в некоторой точке ${{z}_{*}} \in ( - 1,1)$ комбинаций (1.6) и (1.7):

(1.8)

${{t}_{1}}F_{1}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}) + {{t}_{2}}F_{2}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}) - {{t}_{3}}F_{3}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}) - {{t}_{4}}F_{4}^{{(p)}}(c;{{z}_{*}}) = 0,\quad p = 0,1,2,3.$

Нетривиальное решение системы (1.8) требует равенства нулю вронскиана $W({{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}},{{F}_{4}})$:

(1.9)

$W({{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}},{{F}_{4}};c;{{z}_{*}}) = 0.$

Решая это уравнение относительно величины $c$, получаем искомое СЗ – комплексную скорость бегущей волны, зависящую от всех параметров задачи (0.4)–(0.6). Найденные при этом весовые коэффициенты ${{t}_{1}},\;{{t}_{2}},\;{{t}_{3}},\;{{t}_{4}}$ позволяют (с точностью до произвольного множителя) найти соответствующую СФ $F(c;z)$ в виде комбинаций (1.6) и (1.7) в точках $z = 1$ и $z = - 1$ соответственно.

Решение уравнения (1.9) будем строить с помощью итерационного метода Ньютона:

(1.10)

${{c}^{{(q + 1)}}} = {{c}^{{(q)}}} - W(...;{{c}^{{(q)}}};{{z}_{*}}){{\left[ {\frac{{\partial W(...;{{c}^{{(q)}}};{{z}_{*}})}}{{\partial c}}} \right]}^{{ - 1}}},\quad q = 0,1, \ldots ,$

а начальные приближения ${{c}^{{(0)}}}$ будем брать на основе метода продолжения по параметру $k$ и из полученных далее асимптотических разложений при $k \to 0$.

Необходимая для метода Ньютона производная $\partial W(...;c;{{z}_{*}}){\text{/}}\partial c$ от вронскиана (1.9) системы (1.8) находилась с помощью явного дифференцирования по спектральному параметру $c$ разложений для всех производных $F_{1}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }})$, $F_{2}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }})$, $F_{3}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }})$, $F_{4}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }})$ при $p = 0,1,2,3$, что позволило избежать использования конечно-разностной производной $\Delta W(...;c;{{z}_{*}}){\text{/}}\Delta c$ и связанной с ней потери точности при малых ${\text{|}}\Delta c{\text{|}}$.

2. АСИМПТОТИКА СФ И СЗ ПРИ $k \to 0$

Построим при $k \to 0$ асимптотическое разложение СФ и СЗ при ненулевых параметрах ${\text{R}}$, ${\text{Bu}}$, ${\text{Pr}}$ и $n \in \mathbb{N}$. Метод такого построения описан, например, в [11].

Как и ранее в частном случае спектральной задачи [9], здесь будут возникать ограниченные и неограниченные СЗ, которые рассмотрим отдельно.

2.1. Ограниченные СЗ

Полагая, что асимптотическое разложение СЗ при $k \to 0$ имеет конечный предел ${{c}_{0}}$, запишем представление для СФ $F(k;z)$ и СЗ $c(k)$ в виде ряда по степеням ${{(ik{\text{R}})}^{m}}$

(2.1)

$F(k;z) = {{\varphi }_{0}}(z) + ik{\text{R}}{{\varphi }_{1}}(z) + {{(ik{\text{R}})}^{2}}{{\varphi }_{2}}(z) + \ldots ,$

(2.2)

$c(k) = {{c}_{0}} + ik{\text{R}}{{c}_{1}} + {{(ik{\text{R}})}^{2}}{{c}_{2}} + \ldots ,\quad k \to 0.$

Подстановка разложений (2.1) и (2.2) в исходное уравнение (0.4) и краевые условия (0.5), (0.6) приводит к цепочке краевых задач для функций ${{\varphi }_{m}}(z)$ и значений ${{c}_{m}}$, $m = 0,1, \ldots .$ Первая задача для ${{\varphi }_{0}}(z)$ имеет вид

(2.3)

$\varphi _{0}^{{''''}}(z) - \Pr \operatorname{Bu} {{\pi }^{2}}{{n}^{2}}\varphi _{0}^{{''}}(z) = 0,\quad z \in [ - 1,1],$

(2.4)

$\varphi _{0}^{{'''}}( - 1) = \varphi _{0}^{{''}}( - 1) = 0,\quad \varphi _{0}^{{'''}}(1) = \varphi _{0}^{{''}}(1) = 0.$

Решением (2.3), (2.4) является линейная функция

(2.5)

${{\varphi }_{0}}(z) = {{A}_{0}} + {{B}_{0}}z\quad \forall {{A}_{0}},{{B}_{0}}.$

Для следующей функции ${{\varphi }_{1}}(z)$ и величины ${{c}_{0}}$ возникает задача

(2.6)

$\varphi _{1}^{{''''}}(z) - \Pr \operatorname{Bu} {{\pi }^{2}}{{n}^{2}}\varphi _{1}^{{''}}(z) = [(\alpha {{z}^{2}} - \beta z - 1 + {{c}_{0}})\operatorname{Bu} {{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + 2\alpha ]{\kern 1pt} {{\varphi }_{0}}(z)$

с краевыми условиями

(2.7)

$\varphi _{1}^{{'''}}( - 1) = - {{c}_{0}}\varphi _{0}^{'}( - 1) - (\beta + 2\alpha ){{\varphi }_{0}}( - 1),\quad \varphi _{1}^{{''}}( - 1) = 0,$

(2.8)

$\varphi _{1}^{{'''}}(1) = (1 - \alpha + \beta - {{c}_{0}})\varphi _{0}^{'}(1) - (\beta - 2\alpha ){{\varphi }_{0}}(1),\quad \varphi _{1}^{{''}}(1) = 0.$

Решение ${{\varphi }_{1}}(z)$ уравнения (2.6) ищем в виде суммы ${{\varphi }_{h}}(z) + {{\varphi }_{{nh}}}(z)$ решений однородного и неоднородного уравнений соответственно.

Учитывая вид (2.5) функции ${{\varphi }_{0}}(z)$ и замечая, что в правой части (2.6) стоит полином степени 3, записываем представление для функции ${{\varphi }_{{nh}}}(z)$ в виде полинома степени 5:

(2.9)

${{\varphi }_{{nh}}}(z) = {{D}_{2}}{{z}^{2}} + {{D}_{3}}{{z}^{3}} + {{D}_{4}}{{z}^{4}} + {{D}_{5}}{{z}^{5}},$

где для коэффициентов ${{D}_{m}}$ после подстановки (2.9) в уравнение (2.6), получаем

(2.10)

$\begin{gathered} {{D}_{2}} = - \left( {\frac{\alpha }{{{{\lambda }^{2}}{\text{Pr}}}} + \frac{\alpha }{{{{\lambda }^{2}}}} + \frac{{{{c}_{0}} - 1}}{{2{\text{Pr}}}}} \right){{A}_{0}} + \frac{\beta }{{{{\lambda }^{2}}{\text{Pr}}}}{{B}_{0}},\quad {{D}_{3}} = \frac{\beta }{{6{\text{Pr}}}}{{A}_{0}} - \left( {\frac{\alpha }{{{{\lambda }^{2}}{\text{Pr}}}} + \frac{\alpha }{{3{{\lambda }^{2}}}} + \frac{{{{c}_{0}} - 1}}{{6{\text{Pr}}}}} \right){{B}_{0}}, \\ {{D}_{4}} = \frac{{ - \alpha }}{{12{\text{Pr}}}}{{A}_{0}} + \frac{\beta }{{12{\text{Pr}}}}{{B}_{0}},\quad {{D}_{5}} = \frac{{ - \alpha }}{{20{\text{Pr}}}}{{B}_{0}}, \\ \end{gathered} $

а для величины $\lambda $ введено обозначение

(2.11)

$\lambda = \pi n\sqrt {\Pr {\text{Bu}}} .$

Решение ${{\varphi }_{h}}(z)$ однородного уравнения запишем в форме

(2.12)

${{\varphi }_{h}}(z) = {{E}_{1}}\operatorname{sh} \lambda z + {{E}_{2}}\operatorname{ch} \lambda z + {{A}_{1}} + {{B}_{1}}z,$

а неизвестные постоянные найдем далее. Подставляя решение ${{\varphi }_{1}} = {{\varphi }_{h}} + {{\varphi }_{{nh}}}$ сначала в краевые условия (2.7), (2.8) для вторых производных, получим коэффициенты ${{E}_{1}}$ и ${{E}_{2}}$:

(2.13)

${{E}_{1}} = - \frac{{20{{D}_{5}}}}{{{{\lambda }^{2}}\operatorname{sh} \lambda }} - \frac{{6{{D}_{3}}}}{{{{\lambda }^{2}}\operatorname{sh} \lambda }},\quad {{E}_{2}} = - \frac{{12{{D}_{4}}}}{{{{\lambda }^{2}}\operatorname{ch} \lambda }} - \frac{{2{{D}_{2}}}}{{{{\lambda }^{2}}\operatorname{ch} \lambda }}.$

Теперь подставим решение ${{\varphi }_{1}}(z)$ в краевые условия (2.7), (2.8) для третьих производных, а затем запишем сумму и разность полученных уравнений:

(2.14)

${{E}_{1}}{{\lambda }^{3}}\operatorname{ch} \lambda + 60{{D}_{5}} + 6{{D}_{3}} = - \beta {{A}_{0}} + (\alpha + 1 - {{c}_{0}}){{B}_{0}},\quad {{E}_{2}}{{\lambda }^{3}}\operatorname{sh} \lambda + 24{{D}_{4}} = 2\alpha {{A}_{0}}.$

Подставляя сюда значения ${{E}_{1}}$ и ${{E}_{2}}$ из (2.13), а затем соотношения (2.10) для коэффициентов ${{D}_{m}}$, получаем окончательную систему двух уравнений для величин ${{A}_{0}}$ и ${{B}_{0}}$:

(2.15)

$[\operatorname{th} \lambda (2\alpha + 2\alpha {\text{Pr}} + ({{c}_{0}} - 1){{\lambda }^{2}}) - 2\alpha \lambda ({\text{Pr}} + 1) + \alpha {{\lambda }^{2}}\operatorname{th} \lambda ]{{A}_{0}} + \beta [2\lambda - ({{\lambda }^{2}} + 2)\operatorname{th} \lambda ]{{B}_{0}} = 0,$

(2.16)

$\begin{gathered} \beta {{\lambda }^{2}}[{\text{Pr}} + 1 - \lambda \operatorname{cth} \lambda ]{{A}_{0}} + [(\lambda \operatorname{cth} \lambda - 1)(6\alpha + 2\alpha {\text{Pr}} + {{\lambda }^{2}}({{c}_{0}} - 1)) - \\ - \,\alpha {{\lambda }^{2}}({\text{Pr}} + 3 - \lambda \operatorname{cth} \lambda ) + ({{c}_{0}} - 1)\Pr {{\lambda }^{2}}]{{B}_{0}} = 0. \\ \end{gathered} $

Для разрешимости системы (2.15), (2.16) необходимо равенство нулю ее детерминанта, что дает уравнение для искомой величины ${{c}_{0}}$. Запишем его в виде квадратного уравнения относительно $({{c}_{0}} - 1)$:

(2.17)

${{Q}_{2}}{{({{c}_{0}} - 1)}^{2}} + {{Q}_{1}}({{c}_{0}} - 1) + {{Q}_{0}} = 0,$

где обозначено

${{Q}_{2}} = {{\lambda }^{5}} + {{\lambda }^{4}}\operatorname{th} \lambda ({\text{Pr}} - 1),$

(2.18)

$\begin{gathered} {{Q}_{1}} = {{\lambda }^{2}}\{ \operatorname{th} \lambda [(\lambda \operatorname{cth} \lambda - 1)(6\alpha + 2\alpha {\text{Pr}}) - \alpha {{\lambda }^{2}}(3 + {\text{Pr}} - \lambda \operatorname{cth} \lambda )] + \\ \, + (\lambda \operatorname{cth} \lambda + {\text{Pr}} - 1)[\operatorname{th} \lambda (2\alpha + 2\alpha {\text{Pr}}) - \alpha \lambda (2{\text{Pr}} + 2 - \lambda \operatorname{th} \lambda )]\} , \\ {{Q}_{0}} = [\operatorname{th} \lambda (2\alpha + 2\alpha {\text{Pr}}) - \alpha \lambda (2{\text{Pr}} + 2 - \lambda \operatorname{th} \lambda )] \times \\ \end{gathered} $

$ \times \;[(\lambda \operatorname{cth} \lambda - 1)(6\alpha + 2\alpha {\text{Pr}}) - \alpha {{\lambda }^{2}}(3 + {\text{Pr}} - \lambda \operatorname{cth} \lambda )] - {{\beta }^{2}}{{\lambda }^{2}}(2\lambda - {{\lambda }^{2}}th\lambda - 2th\lambda )({\text{Pr}} + 1 - \lambda \operatorname{cth} \lambda ).$

Два корня ${{c}_{{{{0}_{1}}}}}$ и ${{c}_{{{{0}_{2}}}}}$ уравнения (2.17) следующие:

(2.19)

${{c}_{{{{0}_{{1,2}}}}}} = 1 + \frac{{ - {{Q}_{1}} \pm \sqrt {Q_{1}^{2} - 4{{Q}_{0}}{{Q}_{2}}} }}{{2{{Q}_{2}}}}.$

Для реальных течений в океане величина $\lambda = \pi n\sqrt {\Pr {\text{Bu}}} $ (см. (2.11)) может изменяться от малых до больших значений. Например, для широких течений при $\lambda \ll 1$ выражения для СЗ ${{c}_{{{{0}_{1}}}}}$ и ${{c}_{{{{0}_{2}}}}}$ можно представить в виде разложения по малому параметру $\lambda $, что дает

(2.20)

$\begin{gathered} {{c}_{{{{0}_{1}}}}} = 1 + \frac{{\alpha {\text{Pr}} + \sqrt {{{\alpha }^{2}}{{{({\text{Pr}} - 1)}}^{2}} - 3{{\beta }^{2}}} }}{3} - \\ - \;\left[ {\frac{{{{\alpha }^{2}}({\text{Pr}} - 1)({\text{P}}{{{\text{r}}}^{2}} + 2{\text{Pr}} - 7) + 3{{\beta }^{2}}({\text{Pr}} - 5)}}{{45{\text{Pr}}\sqrt {{{\alpha }^{2}}{{{({\text{Pr}} - 1)}}^{2}} - 3{{\beta }^{2}}} }} + \frac{{\alpha ({\text{P}}{{{\text{r}}}^{2}} + 7)}}{{45{\text{Pr}}}}} \right]{{\lambda }^{2}} + O({{\lambda }^{3}}),\quad \lambda \to 0, \\ \end{gathered} $

(2.21)

$\begin{gathered} {{c}_{{{{0}_{2}}}}} = 1 + \frac{{\alpha {\text{Pr}} - \sqrt {{{\alpha }^{2}}{{{({\text{Pr}} - 1)}}^{2}} - 3{{\beta }^{2}}} }}{3} + \\ + \;\left[ {\frac{{{{\alpha }^{2}}({\text{Pr}} - 1)({\text{P}}{{{\text{r}}}^{2}} + 2{\text{Pr}} - 7) + 3{{\beta }^{2}}({\text{Pr}} - 5)}}{{45{\text{Pr}}\sqrt {{{\alpha }^{2}}{{{({\text{Pr}} - 1)}}^{2}} - 3{{\beta }^{2}}} }} - \frac{{\alpha ({\text{P}}{{{\text{r}}}^{2}} + 7)}}{{45{\text{Pr}}}}} \right]{{\lambda }^{2}} + O({{\lambda }^{3}}),\quad \lambda \to 0. \\ \end{gathered} $

Из этих разложений видно, что при условии

(2.22)

$\alpha {\text{|Pr}} - 1{\kern 1pt} {\text{|}} < \sqrt 3 {\kern 1pt} {\kern 1pt} \beta ,\quad \alpha + \beta = 1,$

подкоренное выражение отрицательно, корни становятся комплексно-сопряженными, что свидетельствует о неустойчивости длинноволновых возмущений для широких течений при $\lambda \ll 1$.

2.2. Неограниченные СЗ

Построение асимптотического разложения при $k \to 0$ для СФ и неограниченно растущих СЗ задачи (0.4)–(0.6) проводится так же, как это было сделано в [6], поэтому изложим лишь схему такого анализа и дадим результат.

Полагая величину ${\text{R}}$ фиксированной, представим искомую СФ $F(z)$ и СЗ $c$ в виде следующих разложений по степеням параметра $ik{\text{R}}$:

(2.23)

$F(z) = {{\varphi }_{0}}(z) + ik{\text{R}}{{\varphi }_{1}}(z) + \ldots ,\quad c = \frac{{{{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}}}{{ik{\text{R}}}} + {{\chi }_{0}} + ik{\text{R}}{{\chi }_{1}} + \ldots ,\quad k \to 0.$

Это приводит к цепочке краевых задач для функций ${{\varphi }_{0}}(z),\;{{\varphi }_{1}}(z), \ldots $ . Первая из них, для ${{\varphi }_{0}}(z)$ и ${{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}$, имеет вид

(2.24)

$\varphi _{0}^{{''''}}(z) + ({{\chi }_{{_{{ - 1}}}}} - {{\lambda }^{2}})\varphi _{0}^{{''}}(z) - {{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}\frac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{\text{Pr}}}}{{\varphi }_{0}}(z) = 0,$

(2.25)

$\varphi _{0}^{{'''}}( - 1) = - {{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}\varphi _{0}^{'}( - 1),\quad \varphi _{0}^{{''}}( - 1) = 0,\quad \varphi _{0}^{{'''}}(1) = - {{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}\varphi _{0}^{'}(1),\quad \varphi _{0}^{{''}}(1) = 0,$

где величина $\lambda $ определена в (2.11). Представляя решение уравнения (2.24) в виде

(2.26)

${{\varphi }_{0}}(z) = A\cos (\omega z) + B\sin (\omega z),$

получаем для $\omega $ характеристическое уравнение

(2.27)

${{\omega }^{4}} - ({{\chi }_{{_{{ - 1}}}}} - {{\lambda }^{2}}){{\omega }^{2}} - {{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}\frac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{\text{Pr}}}} = 0.$

Некратные корни $\omega _{1}^{2}$ и $\omega _{2}^{2}$ этого уравнения возникают при условии неравенства нулю его дискриминанта, т.е.

(2.28)

${{({{\chi }_{{_{{ - 1}}}}} - {{\lambda }^{2}})}^{2}} + 4{{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}\frac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{\text{Pr}}}} \ne 0;$

в дальнейшем рассмотрении ограничимся только этим условием.

Решение уравнения (2.27) запишем относительно величин $\omega _{1}^{2}$ и $\omega _{2}^{2}$:

(2.29)

$\omega _{{1,2}}^{2} = \frac{1}{2}\left[ {{{\chi }_{{_{{ - 1}}}}} - {{\lambda }^{2}} \pm \sqrt {{{{\left( {{{\chi }_{{_{{ - 1}}}}} - {{\lambda }^{2}}} \right)}}^{2}} + 4{{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}\frac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{\text{Pr}}}}} } \right].$

Последующее исследование задачи (2.24), (2.25) включает поиск решения ${{\varphi }_{0}}(z)$ в виде четной или нечетной функции, поэтому рассмотрим два соответствующих случая.

2.2.1. Решения вида $cos{\mathbf{(}}\omega z{\mathbf{)}}$. Представляя решение ${{\varphi }_{0}}(z)$ уравнения (2.24) в виде

(2.30)

${{\varphi }_{0}}(z) = {{A}_{1}}\cos ({{\omega }_{1}}z) + {{A}_{2}}\cos ({{\omega }_{2}}z)$

и удовлетворяя граничным условиям (2.25), получаем для ${{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}$ трансцендентное уравнение

(2.31)

${{\omega }_{2}}(\omega _{1}^{2} - {{\chi }_{{_{{ - 1}}}}})\sin {{\omega }_{1}}\cos {{\omega }_{2}} = {{\omega }_{1}}(\omega _{2}^{2} - {{\chi }_{{_{{ - 1}}}}})\sin {{\omega }_{2}}\cos {{\omega }_{1}}.$

Решая (2.31) и проверяя условие некратности корней (2.28), получаем счетное множество искомых коэффициентов ${{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}$ в представлении (2.23).

В частном случае ${\text{Pr}} = 1$ уравнение (2.31) имеет явные решения ${{\chi }_{{_{{ - 1}}{{,}_{m}}}}} = {{\pi }^{2}}{{\left( {\frac{1}{2} + m} \right)}^{2}}$, $m = 0,1, \ldots $, что дает для счетного множества СЗ следующую асимптотику:

(2.32)

${{c}_{m}} = - i\frac{{{{\pi }^{2}}}}{{k{\text{R}}}}{{\left( {\frac{1}{2} + m} \right)}^{2}} + O(1),\quad k \to 0,\quad m = 0,1,2,....$

2.2.2. Решения вида ${\mathbf{sin(}}\omega z{\mathbf{)}}$. Представляя решение ${{\varphi }_{0}}(z)$ уравнения (2.24) в виде

(2.33)

${{\varphi }_{0}}(z) = {{B}_{1}}\sin ({{\omega }_{1}}z) + {{B}_{2}}\sin ({{\omega }_{2}}z)$

и удовлетворяя граничным условиям (2.25), получаем для ${{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}$ трансцендентное уравнение:

(2.34)

${{\omega }_{2}}(\omega _{1}^{2} - {{\chi }_{{_{{ - 1}}}}})\sin {{\omega }_{2}}\cos {{\omega }_{1}} = {{\omega }_{1}}(\omega _{2}^{2} - {{\chi }_{{_{{ - 1}}}}})\sin {{\omega }_{1}}\cos {{\omega }_{2}}.$

Решая (2.34) и проверяя условие некратности корней (2.28), получаем счетное множество искомых коэффициентов ${{\chi }_{{_{{ - 1}}}}}$ в представлении (2.23).

В частном случае ${\text{Pr}} = 1$ уравнение (2.34) имеет явные решения ${{\chi }_{{_{{ - 1}}{{,}_{m}}}}} = {{\pi }^{2}}{{m}^{2}}$, $m = 1,2, \ldots $, что дает для счетного множества СЗ следующую асимптотику:

(2.35)

${{c}_{m}} = - i\frac{{{{\pi }^{2}}}}{{k{\text{R}}}}{{m}^{2}} + O(1),\quad k \to 0,\quad m = 1,2,....$

Завершая рассмотрение неограниченно растущих СЗ при $k \to 0$, отметим, что полученные асимптотики (2.32) и (2.35) имеют большие отрицательные мнимые части СЗ и соответствуют устойчивости соответствующих длинноволновых возмущений, т.е. при малых $k$.

3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На основе полученных асимптотических разложений при $k \to 0$ для ограниченных и неограниченно растущих СЗ был разработан и тестирован алгоритм расчета с высокой точностью СЗ ${{c}_{m}}$ для заданного номера $m$. Расчет траектории ${{c}_{m}}(k)$ при изменении $k$ начинался при малых числах k, затем при непрерывном возрастании волнового числа $k$ использовался метод продолжения по k.

Некоторые результаты такого численного анализа приведены ниже. На фиг. 1–8 даны траектории первых двух СЗ ${{c}_{1}}(k)$ и ${{c}_{2}}(k)$ для различных физических параметров при непрерывном увеличении волнового числа $k \in (0,1000]$. Сплошные линии соответствуют траекториям ${{c}_{1}}(k)$, а штриховые – траекториям ${{c}_{2}}(k)$. Отмеченные кружочками точки с цифрами 1 соответствуют значению $k = 0.1$, цифрами 2 – значению $k = 1$, цифрами 3 – значению $k = 10$, цифрами 4 – значению $k = 100$.

Фиг. 1.

Траектории двух СЗ для параметров ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{R}} = 10$, ${\text{Bu}} = 1$, $\alpha = 1$.

Фиг. 2.

Траектории двух СЗ для параметров ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{R}} = 10$, ${\text{Bu}} = 1$, $\alpha = 0.8$.

Фиг. 3.

Траектории двух СЗ для параметров ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{R}} = 10$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $\alpha = 1.0$.

Фиг. 4.

Траектории двух СЗ для параметров ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{R}} = 10$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $\alpha = 0.5$.

Фиг. 5.

Траектории двух СЗ для параметров ${\text{Pr}} = 4$, ${\text{R}} = 10$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $\alpha = 1.0$.

Фиг. 6.

Траектории двух СЗ для параметров ${\text{Pr}} = 4$, ${\text{R}} = 10$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $\alpha = 0.5$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан аналитико-численный метод для решения задачи, позволяющей описывать малые устойчивые и неустойчивые возмущения геострофического течения с вертикальным параболическим профилем скорости общего вида. Модель основана на уравнении потенциального вихря в квазигеострофичском приближении с учетом вертикальной диффузии массы и импульса. Построен алгоритм высокоточного расчета СФ и СЗ спектральной задачи с помощью степенных разложений решения в двух граничных точках и последующей сшивки. Предложенный метод позволяет решать задачу для любых масштабов возмущений вдоль и поперек течения и любых соотношений между линейным и постоянным вертикальными сдвигами скорости течения применительно к океану.

Получены асимптотики СФ и СЗ при малых значениях волнового числа $k$ в зависимости от параметров задачи. Показано, что при $k \to + 0$ существуют два ограниченных СЗ и счетное множество неограниченно растущих СЗ с отрицательной мнимой частью и с предельной точкой $ - i\infty $.

Представлены расчеты траекторий СЗ, позволяющие судить о неустойчивости, как широких, так и узких течений при типичных для океана значениях параметров задачи.

Список литературы

Кузьмина Н.П. Об одной гипотезе образования крупномасштабных интрузий в Арктическом бассейне // Фундамент. и прикл. гидрофизика. 2016. Т. 9. № 2. С. 15–26.
Kuzmina N.P. Generation of large-scale intrusions at baroclinic fronts: An analytical consideration with a reference to the Arctic ocean // Ocean Sci. 2016. V. 12. P. 1269–1277. https://doi.org/10.5194/os-12-1269-2016
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. О неустойчивости геострофического течения с линейным вертикальным сдвигом скорости на масштабах интрузионного расслоения // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54. № 1. С. 54–63.
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. Описание возмущений океанских геострофических течений с линейным вертикальным сдвигом скорости с учетом трения и диффузии плавучести // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55. № 2. С. 73–85.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Аналитико-численный метод решения задачи типа Орра–Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в океане // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 6. С. 1022–1039.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Спектральный анализ модельных течений типа Куэтта применительно к океану // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 5. С. 867–888.
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. О влиянии трения и диффузии плавучести на динамику геострофических океанских течений с линейным вертикальным профилем скорости // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2020. Т. 56. № 6. С. 676–688.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Эффективный метод решения модифицированной задачи Орра–Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в Арктическом бассейне // Таврический вестн. информат. и матем. 2016. № 3 (32). С. 88–97.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Спектральный анализ малых возмущений геострофических течений с параболическим вертикальным профилем скорости применительно к океану // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 12. С. 2010–2023.
Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.
Найфэ А. Методы возмущений. М.: Наука, 1976. 474 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал