Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 6, стр. 1016-1029

1. ДЕЙСТВИЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ

Пусть $f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e)$ – функция распределения частиц по пространству ${\mathbf{x}} \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, по скоростям ${\mathbf{v}} \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, массам $m \in \mathbb{R}$ и заряду $e \in \mathbb{R}$ в момент времени $t \in \mathbb{R}$. Это означает, что число частиц в объеме $d{\mathbf{x}}d{\mathbf{v}}dmde$ равно $f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e)d{\mathbf{x}}d{\mathbf{v}}dmde$. Рассмотрим действие:

где $c$ – скорость света, ${{u}^{0}} = c$ и ${{u}^{i}} = {{{v}}^{i}}\;(i = 1,2,3)$ – трехмерная скорость, ${{x}^{0}} = ct$ и ${{x}^{i}}\;(i = 1,2,3)$ – координата, ${{g}_{{\mu \nu }}}({\mathbf{x}},t)$ – метрика $(\mu ,\nu = 0,1,2,3)$, ${{A}_{\mu }}({\mathbf{x}},t)$ есть 4-потенциал электромагнитного поля, ${{F}_{{\mu \nu }}}({\mathbf{x}},t) = \partial {{A}_{\mu }}({\mathbf{x}},t){\text{/}}\partial {{x}^{\nu }} - \partial {{A}_{\nu }}({\mathbf{x}},t){\text{/}}\partial {{x}^{\mu }}$ – электромагнитные поля, $R$ – полная кривизна, $\Lambda $ – лямбда-член Эйнштейна, ${{k}_{1}} = - {{c}^{3}}{\text{/}}16\pi \gamma $ и ${{k}_{2}} = - 1{\text{/}}16\pi c$ – константы [1]–[4], $g$ – определитель метрики ${{g}_{{\mu \nu }}},\;\gamma $ – постоянная тяготения, по повторяющимся индексам, как обычно, идeт суммирование.

Вид действия (1.1) удобен для получения уравнений Эйнштейна и Максвелла при варьировании по полям ${{g}_{{\mu \nu }}}$ и ${{A}_{\mu }}$. Такой способ вывода уравнений Власова–Максвелла и Власова–Эйнштейна использовался в работах [5]–[11]. При варьировании (1.1) по ${{g}_{{\mu \nu }}}$ получим уравнение Эйнштейна

Первое слагаемое правой части этого уравнения и является по определению Гильберта тензором энергии-импульса. Он выписан впервые в таком видев работах [9]–[11] в менее общем виде без распределения по массам и зарядам. Попытки выписать тензор энергии-импульса через функцию распределения предпринимались, насколько нам известно, только в релятивистской кинетической теории для уравнения Власова–Эйнштейна [5]–[15]. Если использовалась функция распределения от 4-мерного импульса, что приводило к необходимости использовать дельта функцию $\delta ({{(mc)}^{2}} - {{g}^{{\mu \nu }}}{{P}_{\mu }}{{P}_{\nu }})$, что неудобно, а уравнения движения, приводящие к уравнению типа Власова, также оказывались неудовлетворительными.

Уравнение электромагнитных полей получается варьированием (1.1) по ${{A}_{\mu }}$ и называется уравнением Максвелла:

Покажем, что вид действия (1.1) является более общим, чем в [1]–[4]. Для получения стандартного вида действия возьмем функцию распределения в виде $\delta $ – функции для одной частицы:

Подставляя (1.4) в действие (1.1) и опустив штрихи, получаем стандартные [1]–[4] выражения для всех слагаемых:

В роли частиц могут быть электроны и ионы в плазме, планеты в галактиках, галактики в супергалактиках, скопление галактик во Вселенной. В равенстве (1.4) мы можем взять сумму дельта-функций и получить обычное действие [1]–[4] для конечной системы частиц: этим обосновывается единственность выбора более общего действия (1.1).

2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ В ЗАДАННЫХ ПОЛЯХ, УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ И УРАВНЕНИЕ ВЛАСОВА–МАКСВЕЛЛА–ЭЙНШТЕЙНА

Воспользуемся инвариантностью первых двух слагаемых уравнения (1.5), относительно замены $t = \phi (\lambda )$, где $\lambda $ – произвольный параметр. Такая инвариантность хорошо известна [1]–[4]. Перепишем первые два слагаемых из действия (1.5) в виде

Варьируя по $x(\lambda )$ и учитывая, что ${{w}^{\mu }} = \frac{{d{{x}^{\mu }}}}{{d\lambda }}$, получаем уравнение Эйлера–Лагранжа:

Учитывая, что величина $I = {{g}_{{\eta \xi }}}\frac{{\partial {{x}^{\eta }}}}{{\partial \lambda }}\frac{{\partial {{x}^{\xi }}}}{{\partial \lambda }}$ является интегралом движения по $\lambda $ для уравнения (2.2) (обоснование этого см. в [9], [10]) приведем это уравнение к виду

где $\Gamma _{{\nu \eta }}^{\mu }$ – символ Кристоффеля:

Уравнение (2.3) отличается от приведенных в руководствах [1]–[4] наличием $\sqrt {I\;} $ в правой части: в этих руководствах дифференцирование идет по собственному времени $ds = d\lambda \sqrt I $. Это неудобно, так как для каждой частицы это собственное время индивидуально. Далее будет использована формула (2.3), которая обладает симметрией при замене ${\mathbf{x}} \to \alpha {\mathbf{x}}$, $\lambda \to \alpha \lambda $, что позволяет понизить еe порядок. Для этого перепишем уравнение (2.3) в виде:

Избавляемся от $\lambda $, поделив остальные уравнения на первое из уравнений системы (2.4). Так как ${{x}^{0}} = ct$ пропорционально времени, обозначим $\frac{{{{w}^{\mu }}}}{{{{w}^{0}}}} = \frac{{d{{x}^{\mu }}}}{{d{{x}^{0}}}} = \frac{{{{u}^{\mu }}}}{c}.$

При этом из-за симметрии, описанной выше, можно избавиться от уравнения на $\frac{{d{{u}^{0}}}}{{d{{x}^{0}}}}$ и написать уравнения на трeхмерные переменные ${{x}^{i}}$, ${{{v}}^{i}}\,(i = 1,2,3)$. Здесь по-прежнему ${\mathbf{u}} = (c,{\mathbf{v}})$. Такое понижение порядка описано для гравитации в книгах Фока [1] и Вейнберга [3]. Там этот переход в уравнениях приведен для гравитации, где уравнения не отличаются для параметра $\lambda $ и собственного времени $s$. Однако если добавляется электромагнетизм, то отличие заключается как раз в появлении корня в правой части, который обеспечивает необходимую симметрию. Нам это понижение переходом к времени $t$ необходимо, так как наша цель получить замкнутую систему уравнений для полей и частиц, а значит, получить уравнение на функцию распределения $f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e)$, которая была в уравнениях для полей. Тогда имеем

где через ${{G}^{i}}$ обозначено следующее выражение: a $J = {{g}_{{\nu \xi }}}{{u}^{\nu }}{{u}^{\eta }}$, ${{u}^{0}} = c$, ${{u}^{i}} = {{{v}}^{i}}$, $(i = 1,2,3)$.

Мы получили уравнения движения заряженных частиц в электромагнитных и гравитационных полях в релятивистской форме из принципа наименьшего действия в форме Вейнберга–Фока.

В заключение выпишем уравнение Лиувилля (его также называют уравнением переноса или уравнением неразрывности) для функции распределения $f\left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e,t} \right)$ для системы (2.5):

Уравнения (2.6), (1.2) и (1.3) образуют систему уравнений для гравитации и электродинамики Власова–Максвелла–Эйнштейна. Это замкнутая система уравнений релятивистких электродинамики и гравитации. Общий смысл уравнений типа Власова именно таков: они 1) позволяют замкнуть систему электродинамики (уравнение Власова–Максвелла) и гравитации (уравнение Власова–Эйнштейна) и 2) вывести их из принципа наименьшего действия.

3. ОБЩИЙ ПЕРЕХОД К ГИДРОДИНАМИКЕ [6], [7]

Рассмотрим произвольную систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений: $\frac{{dx}}{{dt}} = {v}(x)$, $x \in {{R}^{n}}$, ${v}(x) \in {{C}^{1}}({{R}^{n}})$. Перепишем еe для $x = (q,p)$, $q \in {{R}^{m}}$, $p \in {{R}^{{n - m}}}$:

Выпишем уравнение Лиувилля для функции распределения $f(t,q,p)$Выполним гидродинамическую подстановку $f(t,q,p) = \rho (q,t)\delta (p - Q(q,t))$. Здесь $\delta $ – это дельта-функция Дирака, сама эта функция есть предел Максвелловского распределения, когда температура стремится к нулю, $\rho (q,t)$ – это аналог плотности, а $Q(q,t)$ – аналог макроскопического импульса. Имеем Собирая множители при дельта-функции и еe производных, получаем систему уравнений:

Эта система является точным следствием уравнения Лиувилля (3.1): можно называть еe гидродинамическим следствием уравнения Лиувилля порядка $(m,n - m)$. Гидродинамическая подстановка была изобретена в рамках уравнений Власова [4], а для произвольных систем обыкновенных дифференциальных уравнений введена в [6]. Слово “точное” означает, что если $\rho (q,t)$ и $Q(q,t)$ удовлетворяет системе уравнений (3.2), то функция $f(t,q,p) = \rho (q,t)\delta (p - Q(q,t))$ удовлетворяет уравнению (3.2). Это также означает, что подстановка максвелловского распределения дает приближенные следствия, либо какой-то набор частных решений: например, Больцман изучал эти решения для простейшего варианта уравнения (3.1), уравнения переноса для свободного движения. Второе из уравнений (3.2) имеет ясный геометрический смысл: оно описывает движение m-мерных поверхностей в n-мерном пространстве в силу исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в Эйлеровых координатах. Получающаяся система квазилинейных уравнений не общая, а в терминологии Куранта и Гильберта называется системой уравнений с одинаковой главной частью. Эта система обладает следующими замечательными свойствами.

1. В случае линейной исходной системы ОДУ решение системы с одинаковой главной частью можно искать в виде ${{Q}_{k}}\left( {t,q} \right) = \lambda _{k}^{a}\left( t \right){{q}_{a}}$, линейном по координатам $q$. Получается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений в матричном виде на матрицу $\lambda _{k}^{a}(t)$.

2. Для гамильтоновых систем

из неe получается уравнение Гамильтона–Якоби двумя шагами. Первый шаг от уравнения Лиувилля к гидродинамическому следствию порядка $\left( {\frac{n}{2},\frac{n}{2}} \right)$, как это было сделано выше. Второй шаг: в случае гамильтоновых систем проходит дальнейшая подстановка в (3.1) для импульсов ${{Q}_{k}}\left( {t,q} \right)$ в виде градиента функции: ${{Q}_{k}}(t,q) = \frac{{\partial W}}{{\partial {{q}_{k}}}}$. В результате получаем

Отсюда получаем, что там, где плотность $\rho $ равна нулю, оба уравнения исчезают. А там, где плотность не равна нулю, функция $\frac{{\partial W(q,t)}}{{\partial t}} + H(q,\nabla {\text{W}}) = f(t)$ зависит только от времени [17]–[20]. Замена $W(q,t) = Z(q,t) + g(t)$, где $\frac{{dg}}{{dt}} = f(t)$, приводит к уравнению Гамильтона–Якоби: $\frac{{\partial Z(q,t)}}{{\partial t}} + H(q,\nabla {\text{Z}}) = 0$ [17]–[20].

Этот переход от уравнения Лиувилля к уравнению Гамильтона–Якоби имеет длинную историю. Второй шаг – переход от гидродинамических уравнений к уравнениям типа Гамильтона–Якоби в частном случае гамильтониана $H(q,p) = \frac{{{{p}^{2}}}}{{2m}} + U(q)$ возник в работах Маделунга по квантовой механике [16]. А в общем случае гамильтоновых систем такой переход изучался в работах И.С. Аржаных, К.С. Долматова, В.В. Козлова [17]–[20]. Первый шаг, связавший гидродинамические системы с уравнением Лиувилля и уравнениями Гамильтона–Якоби, был проведен в работах [21]–[26] после того, как на одной из своих лекций В.В. Козлов вывел уравнения Гамильтона–Якоби из второго из уравнений (3.2) в гамильтоновом случае. В.В. Козлов назвал эти нижние уравнения (3.2) уравнениями Лэмба [17]–[20]. Один из авторов (В.В. Веденяпин) предположил, что эти уравнения Лэмба получаются из уравнений Лиувилля гидродинамической подстановкой, и это предположение подтвердилось [21]–[26]. Все это мы применим в дальнейшем в релятивистском и нерелятивистском случае.

4. ПЕРЕХОД К ГИДРОДИНАМИКЕ И УРАВНЕНИЮ ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ В РЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА–МАКСВЕЛЛА–ЭЙНШТЕЙНА

Для вывода уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна в форме Гамильтона–Якоби нужно вывести его в импульсах (гидродинамическая форма получится и для скоростей, и для импульсов). Для этого вернeмся к исходному действию и перепишем его, но нужно воспользоваться трехмерными импульсами. Для этого действие (2.1) перепишем через время: когда мы получали уравнение движения частицы в скоростях, то нужно было действовать через внешний параметр $\lambda $, чтобы использовать символы Кристофеля. А при получении канонических уравнений движения необходимо обычное время:

Мы получим уравнение движения: Латинскинские индексы $i,\;j,\;k \ldots $ пробегают значения $1,2,3,$ а греческие $\mu ,\;\nu \ldots $ пробегают значения $0,1,2,3$. Мы получаем выражение для импульсов: Здесь выражение для ${{q}_{0}}$ получается формальным дифференцированием по ${{{v}}_{0}} = c$.

Это выражения для длинных или канонических импульсов, но понадобятся и малые импульсы ${{p}_{\mu }} = {{q}_{\mu }} - \frac{e}{c}{{A}_{\mu }} = - mc\frac{{{{g}_{{\mu \alpha }}}{{u}^{\alpha }}}}{{\sqrt {{{g}_{{\eta \xi }}}{{u}^{\eta }}{{u}^{\xi }}} }}$: формулы связи со скоростями проще для малых импульсов, а при переходе к уравнению Гамильтона–Якоби мы обязаны пользоваться каноническими.

Переходя к верхним индексам умножением на обратную матрицу ${{g}^{{\mu \beta }}}$, получаем

Теперь требуется обратить эту формулу, выразив скорости через импульсы, чтобы написать действие через импульсы. Для этого в последней формуле поделим $\beta $-ю компоненту на нулевую: В последней формуле необходимо исключить импульс с нулевой компонентой через массовое уравнение ${{p}_{\alpha }}{{p}_{\beta }}{{g}^{{\alpha \beta }}} = {{(mc)}^{2}}$ и его решение относительно ${{p}_{0}}$: ${{p}_{0}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{{b}^{2}} - 4ac} }}{{2a}}$, $a = {{g}^{{00}}}$, $b = 2{{p}_{i}}{{g}^{{0i}}}$, $c = {{p}_{i}}{{p}_{j}}{{g}^{{ij}}} - {{(mc)}^{2}}$. Массовое уравнение получается подстановкой тех же соотношений в формулу (4.1) при $\mu = 0$ (ср. [1]–[4]).

Уравнение для полей останется тем же самым (1.2) с заменой на интегрирование по импульсам с использованием формул $f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e)d{\mathbf{v}}dmde$ = $f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{q}},m,e)d{\mathbf{q}}dmde$ = $f(t,x,p,m,e)d{\mathbf{p}}dmde$. Каждая из трех этих величин это число частиц в элементе объема, что является инвариантом при замене переменных:

Или Здесь имеется в виду, что скорости в первом уравнении, а импульсы ${{p}^{\mu }}$ во втором должны быть выражены через канонические импульсы ${{q}_{\mu }}$.

Уравнение движения для частиц получаем уже в гамильтоновой форме, где функция Гамильтона $H = - c\frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{0}}}} = - c{{q}_{0}}$. Эта формула получается из-за того, что лагранжиан для действия $S = - cm\int \,\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} dt - \frac{e}{c}\int \,{{A}_{\mu }}{{u}^{\mu }}dt$ есть функция первой степени по скоростям, и формулы Эйлера ${{u}^{\mu }}\frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{\mu }}}} - L = 0$. Так как по определению $H = {{u}^{i}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{i}}}} - L$, получаем $c\frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{0}}}} + H = 0$. Здесь имеется в виду суммирование по $i = 1,2,3$ и по $\mu = 0,1,2,3$. Отсюда находим выражения для скоростей ${{u}^{i}} = \frac{{\partial H}}{{\partial {{p}^{i}}}} = {{u}^{i}}(q) = - c\frac{{\partial {{q}_{0}}}}{{\partial {{q}^{i}}}}$.

Выписывая через этот гамильтониан по общей схеме разд. 3 уравнение Лиувилля гидродинамической подстановкой $f(t,x,qm,e) = \rho (x,t,m,e)\delta (q - Q(q,t,m,e))$, получаем гидродинамические уравнения. Подстановкой ${{Q}_{\alpha }} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{x}^{\alpha }}}}$ или ${{P}_{\alpha }} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{x}^{\alpha }}}} - \frac{e}{c}{{A}_{\alpha }}$ получаем затем уравнения Гамильтона–Якоби:

Мы также должны написать уравнение неразрывности: Чтобы получить замкнутую форму уравнений Гамильтона–Якоби–Власова–Максвелла–Эйнштейна, необходимо и в уравнениях для полей выполнить ту же гидродинамическую подстановку $f(t,x,q,m,e) = \rho (x,t,m,e)\delta (q - Q(q,t,m,e))$: Здесь макроскопические импульсы ${{P}^{\mu }}$ и ${{P}_{\mu }}$ связаны обычными соотношениями ${{P}_{\mu }} = {{g}_{{\mu \nu }}}{{P}^{\nu }}$. При этом в форме Гамильтона–Якоби нужно учитывать, что ${{P}_{\alpha }} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{x}^{\alpha }}}} - \frac{e}{c}{{A}_{\alpha }}$. Мы получили уравнение Власова–Максвелла–Эйнштейна как в редукции к гидродинамическим переменным, так и в редукции к уравнениям Гамильтона–Якоби. Рассмотрим примеры специальных релятивистских систем.

Пример 1. Рассмотрим простейшее релятивистское действие с метрикой Лоренца:

Варьируя по координатам $x(t)$, получаем обычные релятивистские уравнения в метрике Лоренца с гамильтонианом [1]–[4] Переходим к действию, пригодному к варьированию по полям по нашей обычной схеме: Варьируя его по потенциалу $U$, получаем уравнения для полей: Сразу переходим к уравнению Гамильтона–Якоби и получаем систему уравнений где ${{{v}}_{i}}(q) = \frac{{\partial H}}{{\partial {{q}_{i}}}} = \frac{{c{{q}_{i}}}}{{\sqrt {{{{(mc)}}^{2}} + {{q}^{2}}} }}$.

Перепишем эту систему уравнений для изотропного случая, когда $\rho = \rho (t,r,m)$, $U = U(t,r)$, $W = W(t,r,m,e)$ в виде

Здесь штрих означает дифференцирование по $r$. Космологическим решениям соответствует случай, когда $\rho $ не зависит от пространственной переменной $x$: $\rho = \rho (m,t)$. Тогда последнее уравнение дает решение здесь $\alpha (t) = 4\pi \gamma \int \,m\rho dmde - \frac{{{{c}^{2}}\Lambda }}{2}.$

Из первого уравнения системы – уравнения неразрывности – получаем:

Величина $H(m,t)$ называется постоянной Хаббла (и обычно полагают, что она не зависит от $m$). Получаем уравнение на $S$: где $\varphi (r) = \frac{{W{\kern 1pt} 'c}}{{r\sqrt {{{{(W{\kern 1pt} ')}}^{2}} + {{{(mc)}}^{2}}} }}$.

Решая уравнение относительно φ, получаем

Мы получили систему уравнений типа Гурса:

Пример 2. Еще одно релятивистское действие, но с метрикой не Лоренца, а слаборелятивистской

При этом потенциал вносится в действии под корень Действуя так же, получаем гамильтониан и систему уравнений где ${{{v}}_{i}}(q) = \frac{{\partial H}}{{\partial {{q}_{i}}}} = \frac{{c{{q}_{i}}\sqrt {1 + \frac{{2U}}{{{{c}^{2}}}}} }}{{\sqrt {{{{(mc)}}^{2}} + {{q}^{2}}} }}.$

Уже из вида уравнений видно, что ускоренное расширение в первом случае можно в принципе устроить за счет лямбда-члена, а во втором – нет из-за положительности корня в уравнении Гамильтона–Якоби.

В следующем разделе мы применим эту технологию в нерелятивистском случае.

5. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕТИКА И ГИДРОДИНАМИКА: ЭВОЛЮЦИЯ ВСЕЛЕННОЙ

Применим этот способ в нерелятивистском случае для вывода уравнений Власова–Пуассона и, как следствие, уравнений гравитационной газодинамики заряженных частиц, действуя по той же схеме. Нерелятивистский случай соответствует действию [5]–[7]:

Варьируя по $\varphi $ и пo U, получаем дважды уравнения Пуассона:

Действие для одной частицы следует при выборе $f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e) = \delta (e - q)\delta (m - M)\delta ({\mathbf{x}} - $ $ - \;{\mathbf{y}}(t))\delta ({\mathbf{v}} - {\mathbf{y}}{\kern 1pt} '(t))$. Здесь M, $q$, $y(t)$ – это масса, заряд и координата одной частицы. Рассмотрим для такой функции распределения первое слагаемое в (3.1), получим стандартное действие:

Варьируя, как обычно, в механике, получаем уравнение Ньютона:

Переходим к уравнению Лиувилля для соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (возвращаемся к $(e,m)$ для заряда и массы и к x вместо y для координаты):

тогда Система (5.2), (5.3) и есть система уравнений Власова–Пуассона–Пуассона с лямбда-членом [38].

Получим точное гидродинамическое следствие этой системы, предполагая гидродинамический вид функции распределения [4]–[11]: $f(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},e,m) = \rho (t,{\mathbf{x}},e,m)\delta ({v} - w(t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},e,m))$. Слово “точное” означает, что если мы возьмем вместо этого распределения максвелловское, то получим приближенное следствие. Тогда верно следующее:

Такую систему можно назвать системой Власова–Лэмба–Пуассона–Пуассона. Пусть скорость имеет вид градиента некоторой функции $W$: $wk\left( {t,{\mathbf{x}},e,m} \right) = \frac{{\partial W(t,{\mathbf{x}},e,m)}}{{\partial {{x}_{k}}}}$.

Тогда получаем систему, которая является также точным следствием уравнения Власова–Пуассона–Пуассона (5.2), (5.3), где появляется уравнение Гамильтона–Якоби:

Перепишем эту систему уравнений для изотропного случая, когда функции $\rho = \rho (t,r,e,m)$, $W = W(t,r,e,m)$, $U = U(r,t)$, $\varphi = \varphi (r,t)$. Получаем систему

Предположим теперь, что плотность не зависит от пространственной координаты: $\rho (t,m,e)$ (однородность по пространству). Такие решения называются космологическими решениями, так как на очень больших масштабах предполагается, что плотность от пространственной координаты вообще не зависит [1]–[4].

Тогда последнее уравнение дает решение

где $b(t) = 4\pi \gamma \int \,m\rho dmde - \frac{{{{c}^{2}}\Lambda }}{2}.$

Аналогично

где $d(t) = - 4\pi \int \,e\rho dmde$.

Из первого уравнения системы, уравнения неразрывности, получаем

где $H(m,e,t)$ – постоянная Хаббла, и обычно полагают, что она зависит только от времени. Слово “постоянная” употребляется по традиции со времен Хаббла, так как она меняется медленно. Но именно ее зависимость от времени и других параметров (как масса или аналоги зарядов какой-то другой материи, которую сейчас принято называть темной или темной энергии) имеет особую актуальность в связи с ускоренным расширением Вселенной. Получаем уравнение на $W$: где $\psi (r,t) = \frac{{W{\kern 1pt} '(t,r,m,e)}}{r}$.

Решая уравнение относительно $\psi $, получаем

Значит, $W{\kern 1pt} ' = Hr + \frac{B}{{{{r}^{2}}}}$ и $W = \frac{{H{{r}^{2}}}}{2} - \frac{B}{r}.$

Подставляя все во второе уравнение, получаем

Из второго слагаемого находим $B(m,e,t) = 0$.

Собирая коэффициенты при ${{r}^{{ - 1}}}$, получаем $a(t) + \frac{q}{M}c(t) = 0$.

Собирая коэффициенты при ${{r}^{2}}$, получаем уравнение на $H$:

Получаем систему уравнений на плотность $\rho (m,t)$ и постоянную Хаббла $H(t)$: Таким образом получается еще одна возможность объяснить загадочное ускоренное расширение Вселенной [39], [40] наряду с лямбда-членом. Из уравнений хорошо видно, что они работают в одинаково правильном направлении, создавая недостающее отталкивание. В случае заряженных частиц это равенство нулю последнего слагаемого в левой части означает нейтральность. Пусть После этого, если H зависит только от времени, можно перейти к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений: Фазовые траектории этой системы были исследованы в [38].

Мы видим, что нам несколько раз пришлось решить уравнение Пуассона $\Delta u = {\text{const}}$, что показывает не только эквивалентность введения лямбда-члена с какой-то субстанцией типа заряда $e$, удовлетворяющей этому уравнению, но и обосновывает потенциал Гурзадяна $U(r) = - \frac{\gamma }{r} + a{{r}^{2}}$ как альтернативное объяснение темной энергии [35]–[37]. Было бы хорошо объяснить расширенное ускорение без введения дополнительных предположений типа лямбда-члена или квадратичного потенциала, и насколько уравнение Эйнштейна (1.2) предоставляет такую возможность обоими слагаемыми в правой части – это предмет дальнейших рассмотрений.

Мы получили нерелятивистский аналог уравнений Фридмана, обобщающий решение Милна–МакКри [33], [34] в различных направлениях: ввели лямбда-член, обосновали их модель, выведя из системы Власова–Пуассона, ввели отталкивание субстанции по аналогии с кулоновским, перешли к уравнению Гамильтона–Якоби, поставили вопрос о зависимости постоянной Хаббла от массы и заряда субстанции.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, мы получили уравнения электродинамики и гравитации в замкнутой форме из принципа наименьшего действия в форме уравнения Власова (ср. [5]–[15]). Проясняется смысл уравнений типа Власова: это единственный пока способ получить и уравнение гравитации, и уравнения электродинамики из принципа наименьшего действия. А также единственный пока способ замкнуть систему уравнений гравитации и электродинамики с помощью принципа наименьшего действия, используя функцию распределения объектов(электронов, ионов, звeзд в галактиках, галактик в супергалактиках или Вселенной) по скоростям и пространству. Соответствующие уравнения гидродинамического уровня (например, уравнения магнитной гидродинамики) также естественно получать из уравнений типа Власова гидродинамической подстановкой (пока единственный способ связи с классическим действием и для этих уравнений). Представляет значительный интерес исследовать различные классы решений полученных уравнений, как это делалось в [27]–[31]. Особый интерес должно представлять асимптотическое поведение решений уравнений Власова, и тут могла бы помочь его аналогия с уравнением Лиувилля [30]–[32]. Мы показали также, что полученные уравнения типа Власова должны быть применены к объяснению эволюции Вселенной, так как именно из уравнения Власова–Пуассона следуют нерелятивистские аналоги решений Фридмана, решения Милна–МакКри [33], [34]. При этом они являются точным следствием уравнения Власова–Пуассона, поэтому получаются без эвристических предположений работ [33], [34] и обосновывают и обобщают их. Эти решения позволили выяснить роль лямбда-члена, его эквивалентность потенциалу Гурзадяна $U(r) = - \frac{\gamma }{r} + a{{r}^{2}}$ и эквивалентность этого любой однородной субстанции, связанной с решением уравнения Пуассона $\Delta u = {\text{const}}$. Правая часть уравнения Эйнштейна дает надежду на объяснение ускоренного расширения Вселенной без этих дополнительных предположений.