Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 2, стр. 328-335

Об устойчивости приближенного решения задачи Коши для некоторых интегродифференциальных уравнений первого порядка

П. Н. Вабищевич^1, 2, *

¹ ИБРАЭ РАН
115191 Москва, Б.Тульская ул., 52, Россия

² СКФУ, Северо-Кавказский центр математических исследований
355017 Ставрополь, ул. Пушкина, 1, Россия

^* E-mail: vabishchevich@gmail.com

Поступила в редакцию 14.06.2022
После доработки 14.06.2022
Принята к публикации 14.06.2022

EDN: BRJQJC
DOI: 10.31857/S004446692302014X

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения первого порядка с памятью в конечномерном банаховом пространстве с производной по времени интегрального члена типа Вольтера и разностным ядром. Принципиальные трудности приближенного решения таких задач порождены нелокальностью по времени, когда решение на текущий момент зависит от всей предыстории. Используется трансформация интегродифференциального уравнения первого порядка к системе эволюционных локальных уравнений при аппроксимации разностного ядра суммой экспонент. Для слабосвязанной системы локальных уравнений с дополнительными обыкновенными дифференциальными уравнениями получены оценки устойчивости решения по начальным данным и правой части для решения с привлечением понятия логарифмической нормы. Аналогичные оценки установлены для приближенного решения при использовании двухслойных аппроксимаций по времени. Библ. 22.

Ключевые слова: интегродифференциальные уравнения, системы эволюционных уравнений первого порядка, устойчивость по начальным данным и правой части, логарифмическая норма, двухслойные разностные схемы.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время при численном моделировании нестационарных процессов все более часто привлекаются нелокальные математические модели. Примером выступают эволюционные интегродифференциальные уравнения [1], [2], для которых решение на текущий момент времени зависит от всей предыстории процесса. В подобных моделях с памятью подынтегральное выражение включает само решение или производную решения по времени. В литературе (см., например, [3]) активно обсуждаются задачи для эволюционных уравнений с дробной производной по времени, которые характеризуются, в частности, интегральным ядром типа Абеля.

При приближенном решении краевых задач для уравнений с памятью мы используем обычные конечноэлементные или конечнообъемные аппроксимации по пространству и приходим к задаче Коши для операторных уравнений с памятью в соответствующем конечномерном пространстве. При аппроксимации по времени естественно ориентироваться [4] на использование тех или иных квадратур для интегрального члена и стандартных аппроксимаций производной по времени (неявная схема Эйлера и схема Кранка–Николсон).

При численном решении начально-краевых задач Коши для параболических уравнений обычно используются двухслойные схемы. Устойчивость приближенного решения наиболее просто исследуется в соответствующих гильбертовых пространствах, условия устойчивости формулируются в виде операторных неравенств [5]. Исследование устойчивости в банаховых пространствах чаще всего ограничивается равномерной нормой и проводится на основе разностного принципа максимума [6]. Подобное рассмотрение некоторых нестационарных процессов с памятью на дифференциальном уровне выполнено, например, в работе [7]. Более широкие возможности предоставляются использованием понятия логарифмической нормы [8]. На этой основе можно получить [9] принцип максимума и соответствующие оценки устойчивости для параболических задач в конечномерных пространствах ${{L}_{1}},\;{{L}_{2}},\;{{L}_{\infty }}$.

Вычислительные сложности приближенного решения задач с памятью порождены необходимостью работать с решением на все предшествующие моменты времени. Принципиальное уменьшение вычислительной работы обеспечивается переходом от нелокальной задачи к локальной за счет специальных аппроксимаций разностного ядра [10]. В частности, при аппроксимации ядра суммой экспонент мы имеем систему слабосвязанных эволюционных уравнений. Такой подход использовался нами [11] для задачи Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка. Нелокальные модели теплопередачи рассмотрены в работе [12]. Оценки устойчивости для дифференциальной и разностных задач получены в гильбертовых пространствах.

В настоящей работе рассмотрена задача Коши для эволюционного интегродифференциального уравнения Вольтера первого порядка в вещественном конечномерном банаховом пространстве. Аппроксимация разностного ядра суммой экспонент обеспечивает трансформацию нелокального уравнения с памятью к локальной системе уравнений. На основе понятия логарифмической нормы получены априорные оценки для решения задачи Коши, обеспечивающие устойчивость решения по начальным данным и правой части. Предложены и исследованы на устойчивость двухслойные разностные схемы для системы уравнений, которые удобны для практического использования.

1. ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения первого порядка с производной по времени интегрального члена в вещественном конечномерном банаховом пространстве $V$. Функция $u(t)$ удовлетворяет интегродифференциальному уравнению первого порядка с разностным ядром

(1.1)

$\frac{{du}}{{dt}} + \frac{d}{{dt}}\int\limits_0^t \,k(t - s)u(s)ds + Au = f(t),\quad t > 0,$

и начальному условию

(1.2)

$u(0) = {{u}^{0}}.$

Чтобы не отягощать текст работы несущественными техническими деталями, предполагаем, что линейный оператор $A:V \to V$ является стационарным (не зависяшим от $t$). Простым примером уравнения (1.1) является система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, когда $A$ есть квадратная матрица.

К подобным задачам мы приходим после дискретизации по пространству при рассмотрении распределенных моделей динамических процессов с памятью. Ключевая особенность задачи состоит в интегральном члене в уравнении (1.1). Подобные нелокальные математические модели возникают при учете эффектов памяти при теплопередаче [13], [14]. Рассматриваемый случай производной по времени интеграла от решения напрямую связан с учетом эффектов памяти для теплоемкости (внутренней энергии) [15], [16].

Для эволюционных уравнений первого порядка оценки устойчивости решения задачи Коши по начальным данным и правой части в банаховых пространствах могут быть получены с привлечением понятия логарифмической нормы, которое введено В.М. Лозинским [17]. Ее использование при численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривается в [8], [18].

Логарифмическая норма оператора (матрицы) $A$ есть число

$\mu (A) = \mathop {\lim }\limits_{\delta \to 0 + } \frac{{\left\| {I + \delta A} \right\| - 1}}{\delta },$

где $I$ – единичный оператор, а $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ – норма в $V$. Мы рассматриваем уравнение (1.1) при

(1.3)

$\mu ( - A) \leqslant 0.$

Это свойство оператора $A$ является естественным при рассмотрении дискретных аналогов краевых задач для параболических уравнений второго порядка.

Для интегродифференциального уравнения (1.1) можно выделить два предельных случая. Первый из них связан с ядром $k(t) = \kappa \delta (t)$, где $\kappa = {\text{const}} > 0$, а $\delta (t)$ есть $\delta $-функция. Уравне-ние (1.1) принимает вид

$(1 + \kappa )\frac{{du}}{{dt}} + Au = f(t),$

т.е. становится локальным. Второй случай соответствует постоянному ядру, когда $k(t) = \kappa > 0$. При этом мы снова имеем локальное уравнение:

$\frac{{du}}{{dt}} + (A + \kappa I)u = f(t){\kern 1pt} .$

При рассмотрении нелокальных эволюционных уравнений первого порядка с памятью ядро $k(t)$, обычно, (см., например, [19]) считается положительно-определенным. Мы наложим, для простоты, ограничения

$k(t) \geqslant 0,\quad \frac{{dk}}{{dt}}(t) \leqslant 0,\quad \frac{{{{d}^{2}}k}}{{d{{t}^{2}}}}(t) \geqslant 0,\quad t > 0,$

которые [20] обеспечивают положительную определенность ядра $k(t)$. В этих условиях мы имеем следующие оценки для ядра и его производной:

(1.4)

$0 \leqslant k(t) \leqslant k(0) = m,\quad 0 \leqslant - k{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (t) \leqslant - k{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (0) = M.$

При предположениях (1.3), (1.4) установим априорную оценку решения задачи Коши (1.1), (1.2). Эта оценка устойчивости решения по начальным данным и правой части будет для нас ориентиром при построении и исследовании вычислительных алгоритмов приближенного решения рассматриваемой задачи (1.1), (1.2). Наше исследование базируется на следующем утверждении.

Лемма 1. Для решения задачи Коши

$\frac{{dw}}{{dt}} + Dw = \varphi (t),\quad t > 0,$

$w(0) = {{w}^{0}}$

имеет место оценка

(1.5)

$\left\| {w(t)} \right\| \leqslant \exp (\mu ( - D)t)\left\| {{{w}^{0}}} \right\| + \int\limits_0^t \exp (\mu ( - D)(t - s))\left\| {\varphi (s)} \right\|ds.$

Доказательство леммы 1 можно найти, например, в [21]. Нам понадобится также следующий вариант леммы Гронуолла-Белмана [22], Теорема 1.3.2, с. 13.

Лемма 2. Пусть $g(t),\;\varphi (t),\;\psi (t)$ – неотрицательные непрерывные функции и имеет место неравенство

(1.6)

$g(t) \leqslant \varphi (t) + \psi (t)\int\limits_0^t \,g(s)ds,\quad t > 0.$

Тогда

(1.7)

$g(t) \leqslant \varphi (t) + \psi (t)\int\limits_0^t \,\varphi (s)\exp \left( {\int\limits_s^t \,\psi (\theta )d\theta } \right)ds.$

Теорема 1. Пусть для логарифмической нормы оператора $A$ имеет место неравенство (1.3), а для ядра $k(t)$ – неравенства (1.4). Тогда для решения задачи (1.1), (1.2) справедлива оценка

(1.8)

$\left\| {u(t)} \right\| \leqslant \left( {1 + \sqrt {\frac{{\pi M}}{2}} t\exp \left( {\frac{M}{2}{{t}^{2}}} \right)} \right)\left( {\left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \int\limits_0^t \left\| {f(s)} \right\|ds} \right),\quad t > 0.$

Доказательство. Для интегрального члена в уравнении (1.1) имеем

$\frac{d}{{dt}}\int\limits_0^t \,k(t - s)u(s)ds = k(0)u(t) + \int\limits_0^t \,k{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (t - s)u(s)ds.$

Это дает возможность записать (1.1) в виде

(1.9)

$\frac{{du}}{{dt}} + (A + mI)u = - \int\limits_0^t \,k{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (t - s)u(s)ds + f(t).$

Для применения леммы 1 положим

$D = A + mI,\quad \varphi (t) = - \int\limits_0^t \,k{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (t - s)u(s)ds + f(t).$

С учетом наших предположений (1.3), (1.4) получим

$\mu ( - A - mI) = - m + \mu ( - A) \leqslant - m < 0,\quad \left\| {\varphi (t)} \right\| \leqslant M\int\limits_0^t \left\| {u(s)} \right\|ds + \left\| {f(t)} \right\|.$

Применяя лемму 1, для решения задачи (1.2), (1.9) имеем

$\left\| {u(t)} \right\| \leqslant \left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \int\limits_0^t \left\| {\varphi (s)} \right\|ds \leqslant \left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \int\limits_0^t \left\| {f(s)} \right\|ds + M\int\limits_0^t \int\limits_0^s \left\| {u(\theta )} \right\|d\theta ds.$

С учетом

$\int\limits_0^t \int\limits_0^s \left\| {u(\theta )} \right\|d\theta ds \leqslant \int\limits_0^t \int\limits_0^t \left\| {u(\theta )} \right\|d\theta ds = t\int\limits_0^t \left\| {u(s)} \right\|ds$

получим

$\left\| {u(t)} \right\| \leqslant \left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \int\limits_0^t \left\| {f(s)} \right\|ds + Mt\int\limits_0^t \left\| {u(s)} \right\|ds.$

Мы имеем неравенство (1.6), в котором в условиях леммы 2 имеем

$g(t) = \left\| {u(t)} \right\|,\quad \varphi (t) = \left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \int\limits_0^t \left\| {f(s)} \right\|ds,\quad \psi (t) = Mt.$

С учетом этого

$\exp \left( {\int\limits_s^t \,\psi (\theta )d\theta } \right) = \exp \left( {\frac{M}{2}({{t}^{2}} - {{s}^{2}})} \right).$

Функция $\varphi (t)$ является неубывающей и поэтому

$\int\limits_0^t \,\varphi (s)\exp \left( {\frac{M}{2}({{t}^{2}} - {{s}^{2}})} \right)ds \leqslant \varphi (t)\exp \left( {\frac{M}{2}{{t}^{2}}} \right)\int\limits_0^t \exp \left( { - \frac{M}{2}{{s}^{2}}} \right)ds \leqslant \sqrt {\frac{\pi }{{2M}}} {\kern 1pt} \varphi (t)\exp \left( {\frac{M}{2}{{t}^{2}}} \right).$

Неравенство (1.7) из леммы 2 приводит к оценке (1.8), что и завершает доказательство теоремы.

2. СИСТЕМА ЛОКАЛЬНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

При приближенном решении нелокальной задачи (1.1), (1.2) наибольший интерес представляют вычислительные алгоритмы, которые базируются на переходе к локальным задачам. Мы используем трансформацию к локальной системе эволюционных уравнений за счет введения вспомогательных величин [11], [12]. Такой подход применяется в случае, когда ядро $k(t)$ является суммой экспонент (ряд Прони):

(2.1)

$k(t) = \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}\exp ( - {{b}_{i}}t),\quad t \geqslant 0.$

Коэффициенты ${{a}_{i}},{{b}_{i}},\;i = 1,2, \ldots ,m$, предполагаются положительными:

(2.2)

${{a}_{i}} > 0,\quad {{b}_{i}} > 0,\quad i = 1,2, \ldots ,l.$

При ограничениях (2.2) для постоянных $m$ и $M$ в (1.4) имеем

$m = \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}},\quad M = \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}{{b}_{i}}.$

Для учета эффектов памяти введем функции

${{u}_{i}}(t) = \int\limits_0^t \exp ( - {{b}_{i}}(t - s))u(s)ds,\quad i = 1,2, \ldots ,l.$

С учетом этого перепишем уравнение (1.1) в виде

(2.3)

$\frac{{du}}{{dt}} + \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}\frac{{d{{u}_{i}}}}{{dt}} + Au = f(t).$

Для ${{u}_{i}}(t),\;i = 1,2, \ldots ,l$, имеем уравнения

(2.4)

$\frac{{d{{u}_{i}}}}{{dt}} + {{b}_{i}}{{u}_{i}} - u = 0,\quad i = 1,2, \ldots ,l.$

Принимая во внимание (2.4), из (2.3) получим

(2.5)

$\frac{{du}}{{dt}} + \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}u + Au - \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}{{b}_{i}}{{u}_{i}} = f(t).$

Для системы уравнений (2.4), (2.5) привлекаются начальные условия

(2.6)

$u(0) = {{u}^{0}},\quad {{u}_{i}}(0) = 0,\quad i = 1,2, \ldots ,l.$

Аналогом теоремы 1 выступает

Теорема 2. Пусть для логарифмической нормы оператора $A$ имеет место неравенство (1.3), а для ядра $k(t)$ – представление (2.1), (2.2). Тогда для решения задачи (2.4)–(2.6) имеют место оценки (1.8) и

(2.7)

$\left\| {{{u}_{i}}(t)} \right\| \leqslant \int\limits_0^t \left\| {u(s)} \right\|ds,\quad i = 1,2, \ldots ,l,\quad t > 0.$

Доказательство. Оценки (2.7) следуют из леммы 1 при рассмотрении задачи Коши для уравнений (2.4) с учетом того, что $D = {{b}_{i}}I,$ ${{b}_{i}} > 0,$ $\mu ( - {{b}_{i}}I) < 0,$ $i = 1,\;2,\; \ldots ,\;l$, и $\varphi (t) = y(t),$ ${{w}^{0}} = 0$. В условиях леммы 1 для уравнения (2.5) имеем

$D = A + \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}I = A + mI,\quad \varphi (t) = \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}{{b}_{i}}{{u}_{i}}(t) + f(t).$

С учетом (2.7) имеем

$\mu ( - D) < 0,\quad \left\| {\varphi (t)} \right\| \leqslant M\int\limits_0^t \,\left\| {u(s)} \right\|ds + \left\| {f(t)} \right\|.$

Дальнейшие рассуждения повторяют доказательство теоремы 1.

3. АППРОКСИМАЦИЯ ПО ВРЕМЕНИ

Для приближенного решения задачи Коши (2.4)–(2.6) будем использовать двухслойные схемы. Без ограничения общности будем считать, что сетка по времени равномерная и пусть ${{y}^{n}}$ – есть приближенное решение на момент времени ${{t}^{n}} = n\tau $, где $n = 0,1, \ldots ,$ а $\tau $ – шаг сетки. При ориентации на безусловно устойчивые схемы в банаховых пространствах в классе двухслойных схем мы выбираем чисто неявную схему (неявную аппроксимацию Эйлера).

Для уравнений (2.4), (2.5) имеем

(3.1)

$\frac{{y_{i}^{{n + 1}} - y_{i}^{n}}}{\tau } + {{b}_{i}}y_{i}^{{n + 1}} - {{y}^{{n + 1}}} = 0,\quad i = 1,2, \ldots ,l,$

(3.2)

$\frac{{{{y}^{{n + 1}}} - {{y}^{n}}}}{\tau } + \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}{{y}^{{n + 1}}} + A{{y}^{{n + 1}}} - \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}{{b}_{i}}y_{i}^{{n + 1}} = {{f}^{{n + 1}}},\quad n = 0,1, \ldots \;.$

Начальные условия (2.6) дают

(3.3)

${{y}^{0}} = {{u}^{0}},\quad y_{i}^{0} = 0,\quad i = 1,2, \ldots ,l.$

Доказательство устойчивости мы начнем с дискретного аналога оценки (2.7) для вспомогательных величин. Имеем

$(1 + {{b}_{i}}\tau )y_{i}^{{n + 1}} = y_{i}^{n} + \tau {{y}^{{n + 1}}},$

так что

$\left\| {y_{i}^{{n + 1}}} \right\| \leqslant \left\| {y_{i}^{n}} \right\| + \tau \left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\|,\quad i = 1,2, \ldots ,l,\quad n = 0,1, \ldots \;.$

С учетом начальных условий (3.3) из этих послойных оценок следует

(3.4)

$\left\| {y_{i}^{{n + 1}}} \right\| \leqslant \tau \sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{y}^{{k + 1}}}} \right\|,\quad i = 1,2, \ldots ,l,\quad n = 0,1, \ldots \;.$

Из (3.2) получим

$(I + m\tau I + \tau A){{y}^{{n + 1}}} = {{y}^{n}} + \tau {{f}^{{n + 1}}} + \tau \sum\limits_{i = 1}^l \,{{a}_{i}}{{b}_{i}}y_{i}^{{n + 1}}.$

С учетом (3.4) имеем

(3.5)

$\left\| {(I + m\tau I + \tau A){{y}^{{n + 1}}}} \right\| \leqslant \left\| {{{y}^{n}}} \right\| + \tau \left\| {{{f}^{{n + 1}}}} \right\| + {{\tau }^{2}}M\sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{y}^{{k + 1}}}} \right\|.$

Для логарифмической нормы имеют место оценки

$\left\| {Dy} \right\| \geqslant - \mu (D)\left\| y \right\|,\quad \left\| {Dy} \right\| \geqslant - \mu ( - D)\left\| y \right\|.$

При выполнении (1.3) для левой части неравенства (3.5) имеем

$\left\| {(I + m\tau I + \tau A){{y}^{{n + 1}}}} \right\| \geqslant (1 + m\tau - \tau \mu ( - A))\left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\| \geqslant \left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\|.$

Тем самым приходим к неравенству

$\left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\| \leqslant \left\| {{{y}^{n}}} \right\| + {{\tau }^{2}}M\sum\limits_{k = 0}^n \,\left\| {{{y}^{{k + 1}}}} \right\| + \tau \left\| {{{f}^{{n + 1}}}} \right\|.$

Из этого неравенства следует

$\left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\| \leqslant \left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \tau \sum\limits_{k = 0}^n \,\left\| {{{f}^{{k + 1}}}} \right\| + {{\tau }^{2}}M\sum\limits_{k = 0}^n {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{j = 0}^k \left\| {{{y}^{{j + 1}}}} \right\|.$

Принимая во внимание

$\sum\limits_{k = 0}^n {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{j = 0}^k \left\| {{{y}^{{j + 1}}}} \right\| \leqslant (n + 1)\sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{y}^{{k + 1}}}} \right\|,$

получим неравенство

$\left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\| \leqslant \left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \tau \sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{f}^{{k + 1}}}} \right\| + \tau M{{t}^{{n + 1}}}\sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{y}^{{k + 1}}}} \right\|.$

Дальнейшее рассмотрение проводится по схеме доказательства леммы 4 (см. [6], гл. III, § 1).

Перепишем последнее неравенство в виде

(3.6)

$\left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\| \leqslant {{r}^{{n + 1}}} + c\tau \sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{y}^{{k + 1}}}} \right\|,$

где

$c = M{{t}^{{n + 1}}},\quad {{r}^{{k + 1}}} = \left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \tau \sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{f}^{{k + 1}}}} \right\|.$

Положим

${{s}^{{n + 1}}} = \tau \sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{y}^{{k + 1}}}} \right\|,$

тогда

${{s}^{{n + 1}}} = {{s}^{n}} + \tau \left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\|.$

Принимая во внимание (3.6), это дает

(3.7)

$(1 - c\tau ){{s}^{{n + 1}}} \leqslant {{s}^{n}} + \tau {{r}^{{n + 1}}}.$

Для положительности коэффициента при ${{s}^{{n + 1}}}$ мы накладываем необременительные ограничения на шаг по времени. При $0 < c\tau \leqslant 2$ имеет место неравенство

$(1 - c\tau ) > \exp ( - 2c\tau ).$

Для $0 < t < T$ приходим к условию на шаг по времени

(3.8)

$\tau \leqslant {{\tau }_{0}} = \frac{2}{{MT}}.$

При $\varrho = \exp (2c\tau )$ от (3.7) перейдем к неравенству

(3.9)

${{s}^{{n + 1}}} \leqslant \varrho {{s}^{n}} + \tau \varrho {{r}^{{n + 1}}},\quad n = 0,1, \ldots ,\quad {{s}^{0}} = 0.$

С учетом ${{r}^{k}} \leqslant {{r}^{{k + 1}}},$ $k = 1,2, \ldots ,n$, из (3.9) имеем

${{s}^{{n + 1}}} \leqslant \tau \varrho \sum\limits_{k = 0}^n \,{{\varrho }^{k}}{{r}^{{n + 1}}} = \tau \varrho \frac{{{{\varrho }^{{n + 1}}} - 1}}{{\varrho - 1}}{{r}^{{n + 1}}} \leqslant \frac{\varrho }{c}({{\varrho }^{{n + 1}}} - 1){{r}^{{n + 1}}}.$

Принимая во внимание (3.6), получим

$\left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\| \leqslant {{r}^{{n + 1}}} + c{{s}^{{n + 1}}} \leqslant {{\varrho }^{{n + 2}}}{{r}^{{n + 1}}}.$

С учетом введенных обозначений это дает

(3.10)

$\left\| {{{y}^{{n + 1}}}} \right\| \leqslant \exp (2M{{t}^{{n + 1}}}({{t}^{{n + 1}}} + \tau ))\left( {\left\| {{{u}^{0}}} \right\| + \tau \sum\limits_{k = 0}^n \left\| {{{f}^{{k + 1}}}} \right\|} \right),\quad n = 0,1, \ldots \;.$

Эту оценку мы рассматриваем как дискретный аналог оценки (1.8) для решения исходной задачи (1.1)–(1.4). Итогом нашего рассмотрения является

Теорема 3. Двухслойная разностная схема (2.2), (3.1)–(3.3) является безусловно устойчивой при (1.3) и (3.8). Для приближенного решения задачи имеют место априорные оценки (3.4), (3.10).

Вычислительная реализация схемы (3.1)–(3.3) может быть проведена следующим образом. Из уравнений (3.1) на новом слое по времени мы имеем

(3.11)

$y_{i}^{{n + 1}} = \frac{\tau }{{1 + {{b}_{i}}\tau }}{{y}^{{n + 1}}} + \frac{1}{{1 + {{b}_{i}}\tau }}y_{i}^{n},\quad i = 1,2, \ldots ,l.$

Подстановка в (3.2) дает уравнение для ${{y}^{{n + 1}}}$:

(3.12)

$(dI + \tau A){{y}^{{n + 1}}} = {{\chi }^{n}},$

в котором

$d = 1 + \tau \sum\limits_{i = 1}^l \frac{{{{a}_{i}}}}{{1 + {{b}_{i}}\tau }},\quad {{\chi }^{n}} = {{y}^{n}} + \tau {{f}^{{n + 1}}} + \tau \sum\limits_{i = 1}^l \frac{{{{a}_{i}}{{b}_{i}}}}{{1 + {{b}_{i}}\tau }}y_{i}^{n}.$

После решения задачи (3.12) для ${{y}^{{n + 1}}}$ вспомогательные величины $y_{i}^{{n + 1}},\;i = 1,2, \ldots ,$ рассчитываются согласно (3.11). Тем самым увеличение вычислительной сложности численного решения задачи с памятью не является принципиальным по сравнению с задачей без эффектов памяти.

Список литературы

Gripenberg G., Londen S.-O., Staffans O. Volterra Integral and Functional Equations. Cambridge: Springer, 1990.
Prüss J. Evolutionary Integral Equations and Applications. Basel: Springer, 1993.
Kochubei A.N. General fractional calculus, evolution equations, and renewal processes // Integral Equations and Operator Theory. 2011. V. 71. № 4. P. 583–600.
Chen C., Shih T. Finite Element Methods for Integrodifferential Equations. Singapore: World Scientific, 1998.
Samarskii A.A. The Theory of Difference Schemes. New York: Marcel Dekker, 2001.
Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.
Luchko Y., Yamamoto Y. The general fractional derivative and related fractional differential equations // Mathematics. 2020. V. 8. № 2115. P. 1–20.
Вабищевич П.Н. Численные методы решения нестационарных задач. М.: ЛЕНАНД, 2021.
Вабищевич П.Н. Монотонные схемы для задач конвекции-диффузии с конвективным переносом в различной форме // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 1. С. 95–107.
Linz P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations. Philadelphia: Springer, 1985.
Vabishchevich P.N. Numerical solution of the Cauchy problem for Volterra integrodifferential equations with difference kernels // Applied Numerical Mathematics. 2022. V. 174. P. 177–190.
Vabishchevich P.N. Numerical solution of the heat conduction problem with memory // Computers and Mathematics with Applications. 2022. № 2022.05.020 P. 1–7.
Joseph D.D., Preziosi L. Heat waves // Reviews of Modern Physics. 1989. V. 61. № 1. P. 1–41.
Straughan B. Heat Waves. Berlin: Springer, 2011.
Gurtin M.E., Pipkin A.C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1968. V. 31. № 2. P. 113–126.
Nunziato J.W. On heat conduction in materials with memory // Quarterly of Applied Mathematics. 1971. V. 29. № 2. P. 187–204.
Лозинский С.М. Оценка погрешности численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. I // Изв. вузов. Математика. 1958. № 5. С. 52–90.
Dekker K., Verwer J.G. Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations. Amsterdam: North-Holland, 1984.
McLean W., Thomee V., Wahlbin L.B. Discretization with variable time steps of an evolution equation with a positive- type memory term // J. of Computational and Applied Mathematics. 1996. V. 69. № 1. P. 49–69.
Halanay A. On the asymptotic behavior of the solutions of an integro-differential equation // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1965. V. 10. № 2. P. 319–324.
Söderlind G. The logarithmic norm. History and modern theory // BIT Numerical Mathematics. 2006. V. 46. № 3. P. 631–652.
Pachpatte B.G. Inequalities for differential and integral equations. San Diego: Academic Press, 1998.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал