Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 491, № 1, стр. 58-61

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Рассмотрим линейную механическую систему с s степенями свободы. Уравнения движения ее можно записать следующим образом:

Здесь M – матрица инерции, ${\mathbf{D}}$, ${\mathbf{G}}$, ${\mathbf{K}}$, ${\mathbf{N}}$ – матрицы диссипативных, гироскопических, позиционных потенциальных и непотенциальных сил соответственно.

Исследуем влияние изменения эффективной жесткости по первой из обобщенных координат на характер устойчивости. Это означает, что к матрице потенциальных сил добавляется матрица, в которой отличен от нуля только один элемент, а именно, первый элемент на главной диагонали:

Соответственно, уравнения движения принимают следующий вид:

В ходе дальнейшего изложения будем считать, что все величины являются безразмерными.

Очевидно, существует невырожденная замена переменных ${\mathbf{q}} \mapsto {\mathbf{x}}$, приводящая матрицу инерции к единичному виду и оставляющая матрицу ${\mathbf{K}}{\text{'}}$ диагональной:

Здесь ${\mathbf{\tilde {D}}}$, ${\mathbf{\tilde {G}}}$, ${\mathbf{\tilde {K}}}$, ${\mathbf{\tilde {N}}}$, ${\mathbf{\tilde {K}}}{\text{'}}$ – матрицы, полученные в результате указанного преобразования. Поскольку такая замена переменных не меняет ранг матриц, в матрице ${\mathbf{\tilde {K}}}{\text{'}}$ также будет только один отличный от нуля элемент:

Нетрудно показать, что характеристический полином системы (1) можно представить в следующем структурном виде:

Здесь ${{a}_{j}}$ и ${{b}_{j}}$ ($j = 0,\,\,1,\; \ldots ,2s$) – некоторые комбинации коэффициентов матриц ${\mathbf{\tilde {D}}}$, ${\mathbf{\tilde {G}}}$, ${\mathbf{\tilde {K}}}$, ${\mathbf{\tilde {N}}}$ (не зависят от κ). Легко заметить, что ${{b}_{{2s - 2}}} = 1$.

Изменение характера устойчивости может происходить в двух случаях: когда один из корней обращается в нуль (т.е. ${{a}_{0}} + \kappa {{b}_{0}} = 0$) или когда действительная часть какой-либо пары комплексно-сопряженных корней обращается в нуль.

Первый случай имеет место при $\kappa = {{\kappa }_{1}} = - \frac{{{{a}_{0}}}}{{{{b}_{0}}}}$. Эта ситуация означает потерю или восстановление (в зависимости от знаков коэффициентов a₀ и b₀) статической устойчивости при увеличении дополнительной жесткости $\kappa $.

Второй случай означает, что при некотором значении $\kappa $ полином (2) имеет корень вида $\lambda = i\mu $ (i – мнимая единица, $\mu \in \mathbb{R}$, $\mu \ne 0$). Подставив это выражение в (2), выделив вещественную и мнимую части, обозначив μ² = ξ, получим следующую систему из двух уравнений:

Пусть выражения при κ в обоих уравнениях (3) отличны от нуля. Выразив $\kappa $ из обоих уравнений, получим:

Нетрудно видеть, что выражение (4) представляет собой полином степени $2s - 2$ относительно $\xi $. Каждому его положительному корню отвечает некоторое значение дополнительной жесткости $\kappa $, при котором у системы существует характеристическое число с нулевой вещественной частью, т.е. может происходить смена характера устойчивости. Соответственно, таких изменений характера устойчивости может быть не более $2s - 2$.

Пусть теперь коэффициент при $\kappa $ в каком-либо из уравнений (3) равен нулю. Тогда, как нетрудно видеть, $\xi $ является корнем полинома степени не выше s – 1, что меньше $2s - 2$ для всех s > 1.

С учетом перехода одного из корней характеристического полинома через ноль (случай 1) получаем, что максимальное число изменений характера устойчивости при изменении одного из диагональных элементов матрицы потенциальных сил (т.е. коэффициента жесткости по одной из обобщенных координат) равно $2s - 1$.

Таким образом, доказано следующее

Утверждение 1. При изменении одного диагонального элемента в матрице потенциальных сил в линейной механической системе с s степенями свободы характер устойчивости может меняться не более чем $2s - 1$ раз.

Необходимо отметить, что аналогичное утверждение можно доказать и для случая, когда в системе изменяется один из диагональных элементов матрицы диссипативных сил.

ПРИМЕР СИСТЕМЫ С МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНЫМ ЧИСЛОМ ИЗМЕНЕНИЙ ХАРАКТЕРА УСТОЙЧИВОСТИ

Теперь следует разрешить вопрос о том, может ли найденное выше максимальное количество смен характера устойчивости быть достигнуто в какой-либо механической системе.

Утверждение 2. Пусть в линейной механической системе с s степенями свободы гироскопические силы отсутствуют, а матрицы остальных сил имеют следующий вид:

${{d}_{{jj}}} > 0$, $j = 1,2,\; \ldots ,\;s$, $\left| {{{k}_{{11}}}} \right|\sim \varepsilon $, ${{k}_{{11}}} < 0$, ${{k}_{{jj}}} > 0$, $j = 2,\,\,...,s$, $\left| {{{k}_{{jj}}} - {{k}_{{qq}}}} \right| \gg \varepsilon $, $q \ne j$, $j,q = 1,\,\,...,\,\,s$

${{n}_{{jq}}} = \varepsilon {{\delta }_{{j + 1,q}}}{{\nu }_{{jq}}}$,  $j = 1,2,\; \ldots ,\;s - 1$,  $q = j + 1,\; \ldots ,\;s$.

Тогда при изменении жесткости по первой координате характер устойчивости сменится $2s - 1$ раз.

Доказательство. Ясно, что при $\kappa < - {{k}_{{11}}}$ первый диагональный элемент матрицы жесткости отрицателен, и имеет место статическая неустойчивость.

Рассмотрим ситуацию, когда $\kappa > - {{k}_{{11}}}$ и, кроме того, $\left| {{{k}_{{11}}} + \kappa - {{k}_{{jj}}}} \right| \gg \varepsilon $, $j = (1,2,\; \ldots ,\;s)$. Будем искать собственные числа в виде $\lambda = {{\lambda }_{0}} + \varepsilon {{\lambda }_{1}} + o(\varepsilon )$. Тогда характеристический полином можно представить в следующем виде:

Последовательно приравнивая нулю коэффициенты при степенях малого параметра, получаем, что вещественные части всех собственных чисел отрицательны, т.е. имеет место асимптотическая устойчивость.

Пусть теперь $\kappa $ таково, что два диагональных элемента матрицы потенциальных сил совпадают: $\kappa = {{\kappa }_{j}} = {{k}_{{jj}}} - {{k}_{{11}}}$, $j = (2,3,\; \ldots ,\;s)$. Тогда, как известно [3], при выбранной структуре циркуляционных сил и в отсутствие диссипативных сил имеет место неустойчивость. Этот же результат нетрудно получить, удержав в выражении для характеристического полинома члены до второго порядка малости по $\varepsilon $ включительно.

Ясно, что неустойчивость сохранится и при добавлении в систему достаточно малой диссипации. Из соображений непрерывности следует, что неустойчивость имеет место и для некоторого интервала значений κ, содержащего величину ${{\kappa }_{j}}$.

Таким образом, получаем, что существует s интервалов значений $\kappa $, в которых имеет место неустойчивость. Первый из них содержит луч $( - \infty ,0]$, а остальные содержат величины ${{k}_{{jj}}} - {{k}_{{11}}}$, $j = (2,3,\; \ldots ,\;s)$. Эти интервалы разделены промежутками, в которых положение равновесия асимптотически устойчиво. Следовательно, при изменении κ характер устойчивости меняется 2s – 1 раз, что и доказывает утверждение.