Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 494, № 1, стр. 47-50

1. ГАМИЛЬТОНОВО ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ

Речь пойдет о линейных системах дифференциальных уравнений второго порядка

Здесь ${{M}^{T}} = M > 0$ – симметрическая положительно определенная матрица, а P – произвольная квадратная матрица n-го порядка. Она однозначно представляется в виде суммы

где K – симметричная, а N – кососимметрическая матрицы. Квадратичная форма будет кинетической энергией системы, а ее потенциальная энергия. Слагаемое –Nx в (1) представляет собственно циркуляционную силу. Из-за наличия циркуляционных сил полная энергия T + V в общем случае не сохраняется. Теория устойчивости таких систем подробно обсуждается в [1].

Теорема 1. Невырожденной линейной подстановкой уравнение (1) приводится к линейной гамильтоновой системе с n степенями свободы.

Как следствие получаем, что спектр линейного уравнения (1) симметричен не только относительно вещественной оси комплексной плоскости, но и относительно чисто мнимой оси. Этот факт хорошо известен (см., например, [1]). Менее очевидно, что линейное уравнение (1) всегда допускает квадратичный первый интеграл. Более того, согласно Уинтнеру [2] и Вильямсону [3], каждая линейная гамильтонова система вполне интегрируема: она имеет n независимых квадратичных интегралов с нулевыми попарными скобками Пуассона. Кроме полного набора квадратичных интегралов, уравнение (1), как и любая гамильтонова система, допускает еще интегральные инварианты различных порядков. Любопытно отметить, что задачи о бифуркациях собственных значений линейных гамильтоновых систем и циркуляционных систем обычно рассматриваются независимо (а зачастую и параллельно) (см., например, [4]).

Доказательство теоремы 1. Как известно, любую вещественную (n × n)-матрицу можно представить в виде произведения двух вещественных симметрических матриц, первая из которых невырождена. Этот факт был отмечен еще Фробениусом в 1910 г.; его простое доказательство содержится в [5].

Приводя кинетическую энергию к сумме квадратов, получаем, что M = I. После этого полагаем P = AB, где A и B – симметрические матрицы, причем ${\text{|}}A{\text{|}} \ne 0$. Но тогда уравнение (1) представляется в виде уравнений Лагранжа

с лагранжианом

Их можно записать в виде линейных уравнений Гамильтона

с квадратичным гамильтонианом Что и требовалось.

Гамильтонова система (2) имеет следующий явный вид:

Степень неустойчивости $u$ линейного уравне-ния (1) – это число собственных значений матрицы Λ, лежащих в правой комплексной полуплоскости. Через s обозначим степень устойчивости; это половина чисто мнимых собственных значений Λ. По-другому, s равно количеству вещественных отрицательных собственных чисел матрицы P (считая с кратностями).

Ясно, что $\left| \Lambda \right| = \left| P \right|$. Пусть $\left| P \right| \ne 0$. Это равносильно условию изолированности равновесия x = 0 циркуляционной системы. Пусть i⁺ и i^– – положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы (3). Так как форма (3) невырождена, то

Имеют место неравенства

Эти неравенства эквивалентны ввиду (4). Неравенство (5) получено впервые в [6] для механических систем с гироскопическими силами. Для общих гамильтоновых систем оно установлено в [7]. В этой работе получено даже более сильное неравенство: $s$ можно заменить на количество пар чисто мнимых собственных значений с жордановыми клетками нечетного порядка.

Упомянем еще обобщенную теорему Кельвина:

Так как ${{i}^{ + }} - {{i}^{ - }} = 2n$, то в (7) ${{i}^{ - }}$ можно заменить на ${{i}^{ + }}$. Это сравнение эквивалентно следующему факту: степень неустойчивости четна (нечетна) тогда и только тогда, когда $\left| P \right| > 0$ ($\left| P \right| < 0$).

Заключения (5)–(7) можно рассматривать как дополнения к классической теореме Фробениуса о факторизации матриц.

При таком подходе проблема устойчивости циркуляционных систем упирается в эффективное решение задачи факторизации. Правда, можно поступать по-другому, задавая с самого начала матрицу $P$ в виде произведения уже известных симметрических матриц. Например, пусть матрица A или $B$ положительно определена. Тогда критерий устойчивости циркуляционной системы сводится к условию положительной определенности матрицы $B$ или A соответственно. Например, пусть $B > 0$. Тогда из уравнений Гамильтона (2) с гамильтонианом (3) получаем уравнение второго порядка для импульсов

После этого заключение об устойчивости вытекает из классической теоремы Лагранжа. Кстати сказать, вопрос о справедливости обратной теоремы Лагранжа в нелинейном случае является трудной и пока не решенной проблемой (см. [8]).

2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Чтобы предъявить полный набор инволютивных квадратичных интегралов, надо, согласно Вильямсону [3], сначала решить спектральную задачу: найти собственные числа и собственные векторы линейной гамильтоновой системы. Однако в типичном случае можно обойтись без этого и сразу указать полный инволютивный набор.

Теорема 2. Линейная гамильтонова система (2) с гамильтонианом (3) допускает цепочку квадратичных первых интегралов

с нулевыми попарными скобками Пуассона. Если спектр $\Lambda $ простой, то квадратичные формы ${{f}_{1}},{{f}_{2}}, \ldots ,{{f}_{n}}$ функционально независимы.

Это – следствие общего результата о линейных гамильтоновых системах, указанного в [9]. Очевидно, все квадратичные формы (8) имеют одну и ту же сигнатуру. Тем не менее, их можно использовать для решения задачи об устойчивости. Как пример укажем один геометрический критерий устойчивости. Введем интегральный конус

в 2n-мерном фазовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{2n}}} = {\text{\{ }}x,y{\text{\} }}$, содержащий начало координат.

Теорема 3. Если $C = {\text{\{ }}0{\text{\} }}$, то равновесное состояние $x = y = 0$ устойчиво. Если это равновесие устойчиво и спектр матрицы Λ простой, то $C = {\text{\{ }}0{\text{\} }}$.

Следовательно, в случае простого спектра циркуляционная система устойчива тогда и только тогда, когда интегральный конус вырождается в начало координат.

Чтобы пояснить содержание теорем 2 и 3, приведем иллюстративный пример. Пусть n = 2, $M = I$ – единичная матрица, а

В этом случае спектр циркуляционной системы составляет комплексная четверка. Так что имеется неустойчивость типа флаттера. Здесь $P = AB$, где

Одним из первых интегралов будет гамильтониан

Это невырожденная квадратичная форма с индексами инерции ${{i}^{ + }} = {{i}^{ - }} = 2$. Другой квадратичный интеграл получается по формулам (8):

Конус $C = {\text{\{ }}{{f}_{1}} = {{f}_{2}} = 0{\text{\} }}$ не сводится только к началу координат. Действительно, полагая ${{y}_{1}} = {{x}_{2}}$, ${{y}_{2}} = - {{x}_{1}}$, из уравнений ${{f}_{1}} = 0$ и ${{f}_{2}} = 0$ получим одно и то же квадратичное уравнение

которое определяет на плоскости ${\text{\{ }}{{x}_{1}},{{x}_{2}}{\text{\} }}$ две различные прямые. Следовательно, по теореме 3, $u \geqslant 1$. С другой стороны, согласно (5) и (7), $u \leqslant 2$ и четно. Значит, u = 2.

3. ТЕОРЕМА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Теорема 4. Если в положении равновесия $x = 0$ потенциальная энергия имеет максимум (не обязательно строгий), то это равновесие неустойчиво. Более того, в этом случае спектр линейной системы (1) не содержит ни одной пары чисто мнимых чисел.

Пусть $\left| P \right| \ne 0$. Тогда из (4)–(6) вытекает, что $u = {{i}^{ - }} = {{i}^{ + }} = n$. В частности, гамильтониан (3) будет нейтральной квадратичной формой.

Для доказательства теоремы воспользуемся известной теоремой о вириале:

где $J = (Mx,x)$ – момент инерции циркуляционной системы относительно положения равновесия. Так как $V \leqslant 0$, то J как функция времени будет выпуклой. В сколь угодно малой окрестности состояния равновесия в начальный момент времени зададим состояние с положительной кинетической энергией. Тогда $J(t) \to \infty $ при $t \to + \infty $. Что доказывает неустойчивость равновесия.

Чтобы выяснить структуру спектра, воспользуемся следующим вспомогательным утверждением.

Лемма. Если ${{S}^{T}} = S > 0$ и ${{\Omega }^{T}} = - \Omega $, то ${\text{|}}S + \Omega {\text{|}}$ > 0.

Действительно, ${{C}^{T}}SC = I$ для некоторой невырожденной матрицы C. Далее, знак определителя ${\text{|}}S + \Omega {\text{|}}$ совпадает со знаком $\left| {I + \Omega {\text{'}}} \right|$, где $\Omega {\text{'}} = {{C}^{{\text{т}}}}\Omega C$ – кососимметрическая матрица. Но $\left| {I + \Omega {\text{'}}} \right| \ne 0$, иначе $\lambda = - 1$ было бы собственным числом кососимметрической матрицы $\Omega {\text{'}}$. Итак, функция $x \mapsto \left| {S + x\Omega } \right|$ сохраняет знак при всех $x \in \mathbb{R}$. Остается вспомнить, что она положительна при $x = 0$. Что и требовалось.

Предложим теперь, что $\lambda = i\omega $, $\omega \in \mathbb{R}$, будет собственным значением. Тогда

Так как $V \leqslant 0$, то симметрическая матрица ${{\omega }^{2}}M$ – K положительно определена при ω ≠ 0. Но тогда, согласно лемме, равенство (10) может выполняться лишь при ω = 0. Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть n нечетно и квадратичная форма V отрицательно определена. Тогда при всех $N$ спектр линейной системы (1) будет иметь пару вещественных чисел $ \pm \lambda \ne 0$.

Действительно, характеристический многочлен

стремится к $ + \infty $ при $\lambda \to \pm \infty $, а при $\lambda = 0$ он равен |P|. Если N = 0, то по условию теоремы $\left| P \right| = - \left| K \right|$ < 0. Однако, согласно лемме, знак определителя $\left| {K\, + \,N} \right|$ не зависит от выбора кососимметрической матрицы N. Значит, $f(0) < 0$ и поэтому многочлен f имеет два ненулевых вещественных корня. Что и требовалось.

Теоремы 4 и 5 полезно сравнить с условием флаттера

установленным Р. Булатовичем [10]. Здесь ||A|| = = ${{[{\text{tr}}({{A}^{{\text{т}}}}A)]}^{{1/2}}}$ – норма матрицы по Фробениусу. Оно показывает неустойчивость равновесия при больших циркуляционных силах.