1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 495, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 495, № 1, стр. 34-38

МЕТОД БЛОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА В РАЗЛОЖЕНИИ РЕШЕНИЙ СЛОЖНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Академик РАН В. А. Бабешко 1, 2, *, О. В. Евдокимова 1, О. М. Бабешко 2, В. С. Евдокимов 2

1 Южный научный центр Российской академии наук
Ростов-на-Дону, Россия

2 Кубанский государственный университет
Краснодар, Россия

* E-mail: babeshko41@mail.ru

Поступила в редакцию 20.09.2020
После доработки 20.09.2020
Принята к публикации 25.09.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Строится, наверно, впервые, точное решение в первом квадранте плоской граничной задачи второго рода для динамических уравнений упругости Ламе, разложенное по решениям граничных задач для уравнения Гельмгольца. Эти решения представлены в форме упакованных блочных элементов.

Ключевые слова: граничные задачи, метод блочного элемента, упакованные блочные элементы, уравнения Ламе, уравнения Гельмгольца

В работе дается решение векторной граничной задачи, разложенное по упакованным блочным элементам, являющимся решениями скалярных граничных задач в неклассических областях. Решения ряда векторных дифференциальных уравнений в частных производных механики сплошных сред, электромагнитных явлений, теории поля допускают представления в виде разложений по решениям скалярных уравнений. Этот подход удобен при решении задач во всем пространстве. При решении граничных задач сложность применения этого подхода состоит в трудности удовлетворения граничных условий. В ряде классических областей это удается сделать и получить точные решения граничных задач. К числу таких классических областей относятся полупространство, шар, цилиндр, а также некоторые области, получаемые в результате представлений групп преобразований пространства. В то же время для ряда важных областей, отличных от классических, например, клиновидных, построение точных решений этим подходом пока не удавалось осуществить. В настоящей работе, наверно, впервые, этим подходом строится точное решение в первом квадранте плоской граничной задачи второго рода для динамических уравнений Ламе. Известно, что неограниченность области делает неэффективным использование в этой граничной задаче численных методов. Решение строится методом блочного элемента при произвольных граничных условиях. Это открывает возможность изучить различные свойства решений, изменяя воздействия на границе.

Построение точных решений граничных задач в практических применениях позволяет выявлять свойства и явления, которые оказывались упущенными при использовании различных приближенных подходов. К их числу относятся приближенные аналитические и численные методы.

Так, разработанный недавно метод блочного элемента [1] позволил выявить условия возникновения некоторых типов землетрясений [2, 3]. Этот же метод дал возможность обнаружить существование нового типа трещин, дополняющих трещины Гриффитса [4]. Исследованию граничных задач для уравнения Ламе посвящено огромное количество работ, содержащих как аналитические, так и численные исследования, выполненные более чем за полтора века. Все публикации в этой области невозможно охватить. Отметим те из них, где удавалось построить точные аналитические решения некоторых типов граничных задач для векторных уравнений Ламе в неклассических областях. Опустим из рассмотрения многочисленные работы, посвященные граничным задачам в полупространстве и слоистой среде, где преобразование Фурье решает проблему. В сферических областях следует отметить работы, посвященные построению собственных векторных функций [5]. Этот подход развивался для применения в цилиндрических, эллиптических, клиновидных, конических областях [6, 7].

В настоящей работе развивается подход, основанный на возможности разложения решения векторного уравнения Ламе на потенциальную и вихревую составляющие, каждая из которых описывается в динамическом случае решениями уравнения Гельмгольца [8]. Сложность применения этого метода в граничных задачах в неклассических областях объясняется трудностью удовлетворения граничных условий. Поэтому в работах [8–10], в которых построены важные соотношения представления решений векторных граничных задач скалярными, решения построены только для полупространства. В работе [11] приводится решение этой граничной задачи, построенное прямым применением к ней метода блочного элемента. Это решение имеет довольно сложный вид и не может просто быть проанализировано аналитически. Представление этого решения в виде разложения по блочным элементам, являющимися решениями граничных задач для уравнения Гельмгольца, делает это исследование выполнимым.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим плоскую граничную задачу второго рода для системы уравнений Ламе, поставленную в первом квадранте при гармонических воздействиях на границе. Ранее точное ее решение получить не удавалось, однако метод блочного элемента в настоящей работе дает возможность это сделать в форме упакованных векторных блочных элементов.

В первом квадранте динамические уравнения Ламе после исключения члена $\exp \left( { - i\omega t} \right)$ имеют вид

(1)
$\begin{gathered} \left( {\lambda + \mu } \right)\frac{{\partial \theta }}{{\partial {{x}_{1}}}} + \mu \Delta {{u}_{1}} + {{k}^{2}}{{u}_{1}} = 0, \\ \theta = \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}},\quad {{k}^{2}} = \rho {{\omega }^{2}}, \\ \left( {\lambda + \mu } \right)\frac{{\partial \theta }}{{\partial {{x}_{2}}}} + \mu \Delta {{u}_{2}} + {{k}^{2}}{{u}_{2}} = 0, \\ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \in \Omega ,\quad \Delta u = \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{2}^{2}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{u}_{n}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – компоненты векторов перемещений в точке ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$, $\Omega $ – область первого квадранта ${{x}_{1}} \geqslant 0,$ ${{x}_{2}} \geqslant 0$, λ, μ – параметры Ламе, ρ – плотность материала деформируемого тела, $\omega $ – частота внешних гармонических воздействий на границе, задаваемых комплексной функцией $\exp ( - i\omega t)$, где $t$ – время. В задаче первого рода значения напряжений на границах квадранта обозначаются на оси абсцисс функциями ${{X}_{{{{x}_{2}}{{x}_{1}}}}}({{x}_{1}},0)$, ${{Y}_{{{{x}_{2}}{{x}_{1}}}}}\left( {{{x}_{1}},0} \right)$ и ${{X}_{{{{x}_{1}}{{x}_{1}}}}}\left( {0,{{x}_{2}}} \right)$, ${{Y}_{{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}}\left( {0,{{x}_{2}}} \right)$ – на оси ординат. Нормальные к границе напряжения обозначаются символом X, а касательные – Y. В задаче второго рода на границе первого квадранта задаются компоненты векторов перемещения ${{u}_{1}}({{x}_{1}},0),{{u}_{2}}({{x}_{1}},0)$ и ${{u}_{1}}(0,{{x}_{2}})$, ${{u}_{2}}(0,{{x}_{2}})$.

РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ПРИМЕНЕНИЕМ БЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Достаточно давно было замечено, что уравнения Ламе как в статическом, так и в динамическом случаях обладают свойством представления решения в виде суммы потенциальной и вихревой составляющих. Оно использовалось в большом числе работ, но только в простых областях – полупространстве, слоистой среде и других областях, получаемых представлениями групп преобразований пространства [5–10].

Это связано с тем, что при разложении решения на потенциальную и вихревую составляющие отсутствовала возможность выполнения подобного разложения в граничных условиях. По мнению авторов, в настоящей работе выполнено определенное продвижение в решении проблемы граничных условий в этом подходе.

Следуя [8], примем разложение решения уравнений Ламе в следующей форме:

(2)
$\begin{gathered} {{u}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\partial }_{1}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\partial }_{2}}\psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \\ {{u}_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\partial }_{2}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) - {{\partial }_{1}}\psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \\ {{\partial }_{1}} = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{1}}}},\quad {{\partial }_{2}} = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь приняты обозначения

$(\Delta + p_{1}^{2})\varphi = 0,\quad (\Delta + p_{2}^{2})\psi = 0,$
(3)
$\begin{gathered} p_{1}^{2} = k_{1}^{2}{{(\lambda + 2\mu )}^{{ - 1}}},\quad p_{2}^{2} = k_{1}^{2}{{\mu }^{{ - 1}}}, \\ \varphi ({{x}_{1}},0) = {{f}_{1}}({{x}_{1}},0),\quad \varphi (0,{{x}_{2}}) = {{f}_{2}}(0,{{x}_{2}}), \\ \end{gathered} $
$\psi ({{x}_{1}},0) = {{g}_{1}}({{x}_{1}},0),\quad \psi (0,{{x}_{2}}) = {{g}_{2}}(0,{{x}_{2}}).$

Функции fm, ${{g}_{т}},\;m = 1,2$, в граничных условиях являются произвольными, удовлетворяющими лишь условиям корректности постановки граничной задачи. В частности, их можно брать из пространства медленно растущих обобщенных функций, в котором ищутся решения граничной задачи в области Ω.

Рассматривается случай граничной задачи Ламе второго рода. На осях координат задаются условия вида ${{u}_{n}}\left( {{{x}_{1}},0} \right),$ ${{u}_{n}}\left( {0,{{x}_{2}}} \right),$ n = 1, 2.

Таким образом, для решений уравнения Гельмгольца формируются граничные условия при ${{x}_{2}} \to 0$ вида

(4)
$\begin{gathered} {{\partial }_{1}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\partial }_{2}}\psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{u}_{1}}({{x}_{1}},0), \\ {{\partial }_{2}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) - {{\partial }_{1}}\psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{u}_{2}}({{x}_{1}},0). \\ \end{gathered} $

Аналогично при ${{x}_{1}} \to 0$

(5)
$\begin{gathered} {{\partial }_{1}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) + {{\partial }_{2}}\psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{u}_{1}}(0,{{x}_{2}}), \hfill \\ {{\partial }_{2}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) - {{\partial }_{1}}\psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{u}_{2}}(0,{{x}_{2}}). \hfill \\ \end{gathered} $

Решение граничной задачи для уравнений Ламе с граничными условиями (4), (5) требует построения решений граничных задач для уравнений Гельмгольца при произвольных граничных условиях (3). Это возможно сделать, используя метод блочного элемента, который описан в работах [1–4]. Примеры решения различных граничных задач с использованием решений уравнений Гельмгольца имеются в работах [12–15]. Решение граничной задачи в первом квадранте, выполненное методом блочного элемента, имеется в [11]. В упакованном виде в первом квадранте в случае граничной задачи Дирихле решения имеют вид

$\begin{gathered} \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\iint\limits_{{{R}^{2}}} {\frac{{{{\omega }_{1}}\left( {{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right)}}{{(\alpha _{1}^{2} + \alpha _{2}^{2} - {{p}_{1}}^{2})}}}\,{{e}^{{ - i\left( {{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}}, \\ \psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\iint\limits_{{{R}^{2}}} {\frac{{{{\omega }_{2}}\left( {{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right)}}{{(\alpha _{1}^{2} + \alpha _{2}^{2} - {{p}_{2}}^{2})}}}\,{{e}^{{ - i\left( {{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}}, \\ {{\omega }_{1}} = \left[ {\frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{{{\alpha }_{{11 + }}}}} - 1} \right]\left\langle {{{F}_{1}}({{\alpha }_{2}}) - \frac{{{{F}_{1}}({{\alpha }_{{21 + }}}){{\alpha }_{2}}}}{{{{\alpha }_{{21 + }}}}}} \right\rangle + \\ \end{gathered} $
(6)
$\begin{gathered} \, + \left[ {\frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{\alpha }_{{21 + }}}}} - 1} \right]\left\langle {{{F}_{2}}({{\alpha }_{1}}) - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{F}_{2}}({{\alpha }_{{11 + }}})}}{{{{\alpha }_{{11 + }}}}}} \right\rangle , \\ {{\omega }_{2}} = \left[ {\frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{{{\alpha }_{{12 + }}}}} - 1} \right]\left\langle {{{G}_{1}}({{\alpha }_{2}}) - \frac{{{{G}_{1}}({{\alpha }_{{22 + }}}){{\alpha }_{2}}}}{{{{\alpha }_{{22 + }}}}}} \right\rangle + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + \left[ {\frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{{{\alpha }_{{22 + }}}}} - 1} \right]\left\langle {{{G}_{2}}({{\alpha }_{1}}) - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{G}_{2}}({{\alpha }_{{12 + }}})}}{{{{\alpha }_{{12 + }}}}}} \right\rangle , \\ {{\alpha }_{{11 + }}} = i\sqrt {\alpha _{2}^{2} - {{p}_{1}}^{2}} ,\quad {{\alpha }_{{21 + }}} = i\sqrt {\alpha _{1}^{2} - {{p}_{1}}^{2}} , \\ {{\alpha }_{{12 + }}} = i\sqrt {\alpha _{2}^{2} - {{p}_{2}}^{2}} ,\quad {{\alpha }_{{22 + }}} = i\sqrt {\alpha _{1}^{2} - {{p}_{2}}^{2}} . \\ \end{gathered} $

Разрезы у многозначных функций диктуются требованием выполнения автоморфизмов [1]. В соответствии с построением, для приведенных блочных элементов справедливы свойства (3). Используя их, введем следующие обозначения решений уравнений Гельмгольца:

$\begin{gathered} \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv \varphi \left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{f}_{1}}({{\xi }_{1}},0),{{f}_{2}}(0,{{\xi }_{2}})} \right] \to {{f}_{1}}({{x}_{1}},0), \\ 0 < {{x}_{2}} \ll 1, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv \varphi \left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{f}_{1}}({{\xi }_{1}},0),{{f}_{2}}(0,{{\xi }_{2}})} \right] \to {{f}_{2}}(0,{{x}_{2}}), \\ 0 < {{x}_{1}} \ll 1, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv \psi \left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{g}_{1}}({{\xi }_{1}},0),{{g}_{2}}(0,{{\xi }_{2}})} \right] \to {{g}_{1}}({{x}_{1}},0), \\ 0 < {{x}_{2}} \ll 1, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \equiv \psi \left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{g}_{1}}({{\xi }_{1}},0),{{g}_{2}}(0,{{\xi }_{2}})} \right] \to {{g}_{2}}(0,{{x}_{2}}), \\ 0 < {{x}_{1}} \ll 1. \\ \end{gathered} $

Эти свойства позволяют найти способ удовлетворения граничным условиям граничной задачи для уравнений Ламе. Ниже условимся обозначать интегралы функции $w({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ по переменным x1 и x2 первого порядка формулами $\partial _{1}^{{( - 1)}}w({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ и $\partial _{2}^{{( - 1)}}w({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ соответственно. Так, имеют место представления

(7)
$\begin{gathered} \partial _{1}^{{( - 1)}}w({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \int\limits_0^{{{x}_{1}}} {w({{\xi }_{1}},{{x}_{2}})d{{\xi }_{1}}} , \\ \partial _{2}^{{( - 1)}}w({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \int\limits_0^{{{x}_{2}}} {w({{x}_{1}},{{\xi }_{2}})d{{\xi }_{2}}} . \\ \end{gathered} $

Очевидно

$\begin{gathered} {{\partial }_{1}}\partial _{1}^{{( - 1)}}w({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = w({{x}_{1}},{{x}_{2}}), \\ {{\partial }_{2}}\partial _{2}^{{( - 1)}}w({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = w({{x}_{1}},{{x}_{2}}). \\ \end{gathered} $

При решении рассматриваемого векторного уравнения Ламе в области Ω, представляющей первый квадрант с двумя пересекающимися границами, для удовлетворения граничным условиям оказывается недостаточно только по одному упакованному блочному элементу каждой граничной задачи для уравнения Гельмгольца. Каждый блочный элемент является решением уравнений Гельмгольца, отвечающего потенциальной и вихревой составляющей решений. Этого оказалось достаточно при решении граничной задачи для уравнения Ламе в полупространстве, имеющем лишь одну прямолинейную границу, выполненной в [8]. Выяснилось, что в случае полигональной области число блочных элементов скалярных задач надо брать в таком количестве, сколько прямолинейных фрагментов содержит граница полигональной области. Таким образом, для описания решения уравнения Ламе в первом квадранте, содержащем в границе два прямолинейных фрагмента, понадобилось взять по два блочных элемента потенциальной и вихревой составляющей решения.

Тогда точное решение второй граничной задачи для уравнения Ламе в первом квадранте представимо в виде

$\begin{gathered} {{u}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\partial }_{1}}\left\langle {{{\varphi }_{1}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}({{\xi }_{1}},0),} \right.} \right. \\ \frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}(0,{{\xi }_{2}}) + \left. {\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}F({{\xi }_{2}})} \right] + \\ \, + {{\varphi }_{2}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{\xi }_{1}},0)} \right. + \\ \end{gathered} $
(8)
$\begin{gathered} \, + \frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}D({{x}_{1}}),\left. {\left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{ - 1}}{{u}_{2}}(0,{{\xi }_{2}})} \right]} \right\rangle + \\ \, + {{\partial }_{2}}\left\langle {{{\psi }_{1}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}({{\xi }_{1}},0)} \right.} \right. + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + \frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}С({{x}_{1}}),\left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}(0,{{\xi }_{2}})} \right] - \\ \, - {{\psi }_{2}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{\xi }_{1}},0),} \right. \\ \frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}(0,{{\xi }_{2}}) + \left. {\left. {\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}E({{x}_{2}})} \right]} \right\rangle , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{u}_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = {{\partial }_{2}}\left\langle {{{\varphi }_{1}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}({{\xi }_{1}},0),} \right.} \right. \\ \frac{1}{2}\partial _{1}^{{ - 1}}{{u}_{1}}(0,{{\xi }_{2}}) + \left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}F({{\xi }_{2}})} \right] + \\ \, + {{\varphi }_{2}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{\xi }_{1}},0)} \right. + \frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}D({{x}_{1}}), \\ \end{gathered} $
(9)
$\left. {\left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{ - 1}}{{u}_{2}}(0,{{\xi }_{2}})} \right]} \right\rangle - {{\partial }_{1}}\left\langle {{{\psi }_{1}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}({{\xi }_{1}},0)} \right.} \right. + $
$\begin{gathered} \, + \frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}С({{x}_{1}}),\left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}(0,{{\xi }_{2}})} \right] - \\ \, - {{\psi }_{2}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{\xi }_{1}},0),} \right. \\ \frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}(0,{{\xi }_{2}}) + \left. {\left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}E({{x}_{2}})} \right]} \right\rangle . \\ \end{gathered} $

Здесь функции $C({{x}_{2}})$, $D({{x}_{1}})$, $E({{x}_{2}})$, $F({{x}_{1}})$ имеют представление

$\begin{gathered} С({{x}_{1}}) = {{\partial }_{2}}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}({{x}_{1}},0) - {{\partial }_{1}}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}({{x}_{1}},0), \\ D({{x}_{1}})\,\, = {{\partial }_{2}}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{x}_{1}},0) - {{\partial }_{1}}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{x}_{1}},0), \\ E({{x}_{2}}) = {{\partial }_{1}}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}(0,{{x}_{2}}) - {{\partial }_{2}}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}(0,{{x}_{2}}), \\ F({{x}_{1}})\,\, = {{\partial }_{1}}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}(0,{{x}_{2}}) - {{\partial }_{2}}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}(0,{{x}_{2}}). \\ \end{gathered} $

В справедливости этого утверждения легко убедиться непосредственной проверкой. Действительно, каждый упакованный блочный элемент после применения соответствующих дифференциальных операторов уравнений Гельмгольца принимает вид

$\begin{gathered} \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\iint\limits_{{{R}^{2}}} {{{\omega }_{1}}\left( {{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right){{e}^{{ - i\left( {{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}d{{\alpha }_{1}}d{{\alpha }_{2}}}, \\ \psi ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\iint\limits_{{{R}^{2}}} {{{\omega }_{2}}\left( {{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right){{e}^{{ - i\left( {{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}} + {{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}} \right)}}}d{{\alpha }_{1}}d\alpha }. \\ \end{gathered} $

Правые части обращаются в ноль в связи с регулярностью функций ${{\omega }_{1}}\left( {{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right)$, ${{\omega }_{2}}\left( {{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}} \right)$ в области $\operatorname{Im} {{\alpha }_{1}} < 0,$ $\operatorname{Im} {{\alpha }_{2}} < 0$ и убыванием экспоненциальных членов. Входящие в формулы (8), (9) функции ${{\varphi }_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$ ${{\varphi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ удовлетворяют первому уравнению (3), а функции ${{\psi }_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$ ${{\psi }_{2}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – второму, только с разными граничными условиями.

Покажем алгоритм удовлетворения граничных условий. Ограничимся рассмотрением первого граничного условия (4). Используя приведенные выше свойства упакованных блочных элементов, имеем при ${{x}_{2}} \to 0$ для фрагментов решения (8) следующую цепочку соотношений:

$\begin{gathered} {{u}_{1}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \to {{\partial }_{1}}{{\varphi }_{1}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}({{\xi }_{1}},0),} \right. \\ \frac{1}{2}\partial _{1}^{{ - 1}}{{u}_{1}}(0,{{\xi }_{2}}) + \left. {\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{F}_{1}}({{\xi }_{2}})} \right] + \\ + {{\partial }_{2}}{{\psi }_{1}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}({{\xi }_{1}},0)} \right. + \frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{С}_{1}}({{x}_{1}}), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{1}}(0,{{\xi }_{2}})} \right] \to \frac{1}{2}{{u}_{1}}({{x}_{1}},0) + \\ \, + \frac{1}{2}{{u}_{1}}({{x}_{1}},0) = {{u}_{1}}({{x}_{1}},0); \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\partial }_{1}}{{\varphi }_{2}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{\xi }_{1}},0)} \right. + \\ \, + \frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{D}_{1}}({{x}_{1}}),\left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{ - 1}}{{u}_{2}}(0,{{\xi }_{2}})} \right] - \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, - {{\partial }_{2}}{{\psi }_{2}}\left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}},\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{\xi }_{1}},0)} \right.,\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}(0,{{\xi }_{2}}) + \\ \, + \left. {\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{E}_{1}}({{x}_{2}})} \right] \to {{\partial }_{1}}\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{x}_{1}},0) + \\ \, + \frac{1}{2}{{D}_{1}}({{x}_{1}}) - {{\partial }_{2}}\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{x}_{1}},0) \to \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, \to {{\partial }_{1}}\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{x}_{1}},0) - {{\partial }_{2}}\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{x}_{1}},0) + \\ \, + {{\partial }_{2}}\frac{1}{2}\partial _{1}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{x}_{1}},0) - {{\partial }_{1}}\frac{1}{2}\partial _{2}^{{( - 1)}}{{u}_{2}}({{x}_{1}},0) = 0. \\ \end{gathered} $

Совершенно аналогично проверяется удовлетворение остальных граничных условий в (8), (9).

ВЫВОД

В работе [11] и настоящей одна и та же плоская граничная задача для векторного уравнения Ламе в первом квадранте решена двумя разными подходами метода блочного элемента. В первом случае решение построено прямым применением метода блочного элемента к векторной граничной задаче Ламе. Во втором случае использовано представление решения уравнения Ламе с помощью решений скалярных уравнений Гельмгольца. В обоих случаях впервые построены точные решения граничных задач. В первом случае, где на некотором этапе потребовалась операция факторизации матрицы-функции, решение представлено сложным выражением. Во втором случае оно представлено достаточно простыми решениями скалярных задач. Таким образом, показано, что в тех случаях, где имеется представление решений векторных граничных задач с помощью решений скалярных задач, целесообразно использовать этот подход.

Список литературы

  1. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. The Theory of the Starting Earthquake // Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation. 2016. № 1. V. 2. P. 37–80. https://doi.org/10.31429/vestnik-13-1-2-37-80

  2. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On the possibility of predicting some types of earthquake by a mechanical approach // Acta Mechanica. 2018. V. 229. № 5. P. 2163–2175. hpps//doi.org/https://doi.org/10.1007/s00707-017-2092-0

  3. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On a mechanical approach to the prediction of earthquakes during horizontal motion of litospheric plates // Acta Mechanica. 2018. hpps//doi.org/https://doi.org/10.1007/s00707-018-2255-7

  4. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Об одном новом типе трещин, дополняющих трещины Гриффитса–Ирвина // ДАН. 2019. Т. 485. № 2. С. 34–38. https://doi.org/10.1134/S1028335819030042

  5. Гельфанд И.М., Минлос З.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. М.: Физматлит, 1958. 368 с.

  6. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1979. 262 с.

  7. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова Думка, 1981. 284 с.

  8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

  9. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

  10. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.

  11. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Применение метода блочного элемента в одной граничной задаче академика И.И. Воровича // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2020. Т. 493. С. 42–47. https://doi.org/10.1134/S102833582007006X

  12. Бабич В.М. О коротковолновой асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца // Матем. сборник. 1964. Т. 65. С. 577–630.

  13. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в проблеме дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 256 с.

  14. Мухина И.В. Приближенное сведение к уравнениям Гельмгольца уравнений теории упругости и электродинамики для неоднородных сред // ПММ. 1972. Т. 36. С. 667–671.

  15. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 502 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал