Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 495, № 1, стр. 46-49

СВЯЗЬ ДАЛЬНЕЙ АСИМПТОТИКИ СТРУИ С ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ В ОТВЕРСТИИ

Член-корреспондент РАН А. М. Гайфуллин^1, 2, *, В. В. Жвик^1, 2, **

¹ Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского
Жуковский, Московская обл., Россия

² Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Долгопрудный, Московская обл., Россия

^* E-mail: gaifullin@tsagi.ru
^** E-mail: vladzhvick@yandex.ru

Поступила в редакцию 24.09.2020
После доработки 01.10.2020
Принята к публикации 05.10.2020

DOI: 10.31857/S2686740020060103

Полный текст (PDF)

Аннотация

В приближении пограничного слоя рассмотрена затопленная незакрученная струя вязкой несжимаемой жидкости, вытекающая из отверстия. При помощи закона сохранения установлена связь неизвестной константы во втором члене обратного координатного разложения дальнего поля струи с профилем скорости в отверстии.

Ключевые слова: затопленная струя, пограничный слой, асимптотика, закон сохранения, инвариант

ВВЕДЕНИЕ

Выяснена роль недавно обнаруженного закона сохранения [1] в теории осесимметричной свободной струи. Данный закон сохранения позволяет определить неизвестную константу в асимптотике Лойцянского [2] дальнего поля затопленной незакрученной струи. Общепринятый способ [2, 3] определения этой константы через расход в отверстии ошибочен.

Ниже будет рассмотрен случай ламинарной струи. Полученные результаты без труда обобщаются на случай турбулентной струи, поскольку осредненное по времени поле скорости в турбулентной струе в рамках модели турбулентной вязкости описывается теми же уравнениями [3], что и ламинарная струя.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается ламинарная осесимметричная незакрученная струя вязкой несжимаемой жидкости, вытекающая из отверстия в пространство, затопленное той же жидкостью. Введем безразмерные переменные:

$z = \frac{{z{\kern 1pt} *}}{a},\quad r = \frac{{r{\kern 1pt} *}}{a},\quad u = \frac{{u{\kern 1pt} *}}{U},\quad {v} = \frac{{{v}{\kern 1pt} *}}{U},\quad \operatorname{Re} = \frac{{aU}}{\nu },$

где $(u,v)$ – проекции вектора скорости на орты цилиндрической системы координат $(z,r)$; Re – число Рейнольдса, определенное по радиусу трубы a и максимальной скорости $U$ в ней; $\nu $ – кинематический коэффициент вязкости. Индексом * обозначены размерные величины.

При больших числах Рейнольдса течение можно рассматривать в приближении пограничного слоя:

(1)

${{(ru)}_{z}} + {{(r{v})}_{r}} = 0,$

(2)

$u{{u}_{z}} + {v}{{u}_{r}} = {{\operatorname{Re} }^{{ - 1}}}{{r}^{{ - 1}}}{{(r{{u}_{r}})}_{r}}.$

Точное решение [4] уравнений (1), (2) описывает струю, порожденную точечным источником импульса:

(3)

$\begin{gathered} {{u}^{{(1)}}}(z,\eta ) = \frac{{2{{\alpha }^{2}}}}{{{{{(1 + {{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4)}}^{2}}}}\frac{{\operatorname{Re} }}{z}, \\ {{{v}}^{{(1)}}}(z,\eta ) = \frac{{{{\alpha }^{2}}\eta (1 - {{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4)}}{{{{{(1 + {{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4)}}^{2}}}}\frac{1}{z},\quad \eta = \operatorname{Re} \frac{r}{z}, \\ \end{gathered} $

где $\alpha = \sqrt {3J{\text{/}}(16\pi )} $, J – поток импульса через поперечное сечение струи, одинаковый для всех z > 0,

(4)

$J = 2\pi \int\limits_0^{ + \infty } {{{u}^{2}}rdr} .$

Для неавтомодельной струи следующее приближение [2] на большом расстоянии от источника имеет вид

(5)

$\begin{gathered} u = {{u}^{{(1)}}} + \beta {{u}^{{(2)}}} + o({{z}^{{ - 2}}}),\quad {v} = {{{v}}^{{(1)}}} + \beta {{{v}}^{{(2)}}} + o({{z}^{{ - 2}}}), \\ {{u}^{{(2)}}}(z,\eta ) = - \frac{1}{2}{{\alpha }^{2}}\frac{{1 - 3{{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4}}{{{{{(1 + {{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4)}}^{3}}}}\frac{{{{{\operatorname{Re} }}^{2}}}}{{{{z}^{2}}}}, \\ {{{v}}^{{(2)}}}(z,\eta ) = - \frac{1}{2}{{\alpha }^{2}}\eta \frac{{1 - 3{{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4}}{{{{{(1 + {{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4)}}^{3}}}}\frac{{\operatorname{Re} }}{{{{z}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

В терминах функции тока $u = {{r}^{{ - 1}}}{{\psi }_{r}}$, ${v} = - {{r}^{{ - 1}}}{{\psi }_{z}}$ данное решение принимает вид

(6)

$\begin{gathered} \psi (z,\eta ) = {{\psi }^{{(1)}}}(z,\eta ) + \beta {{\psi }^{{(2)}}}(\eta ) + o(1), \\ {{\psi }^{{(1)}}}(z,\eta ) = {{\operatorname{Re} }^{{ - 1}}}z\frac{{{{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}}}{{1 + {{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4}}, \\ {{\psi }^{{(2)}}}(\eta ) = - \frac{{{{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}}}{4}\frac{{1 - {{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4}}{{{{{(1 + {{\alpha }^{2}}{{\eta }^{2}}{\text{/}}4)}}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Константа $\beta $ в решении (5), (6) связывалась [2] с объемным расходом в отверстии:

(7)

$Q = 2\pi \int\limits_0^1 {u(0,r)rdr} = 2\pi \psi (0, + \infty ) = 2\pi \beta .$

Выражение (7) базируется на предположении, что разложение (6) справедливо вплоть до отверстия z = 0, что в общем случае неверно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ

Кроме (4) существует еще один инвариант затопленной струи. Умножим уравнение (2) на r и сложим с уравнением (1), умноженным на $u$:

${{({{u}^{2}}r)}_{z}} + {{(u{v}r - {{\operatorname{Re} }^{{ - 1}}}{{u}_{r}}r)}_{r}} = 0.$

Полученное уравнение умножим на $\psi - \operatorname{Re} {}^{{ - 1}}z$ и приведем к дивергентному виду:

$\begin{gathered} {{({{u}^{2}}(\psi - \operatorname{Re} {}^{{ - 1}}z)r)}_{z}} + ((\psi - \operatorname{Re} {}^{{ - 1}}z) \times \\ \, \times (u{v}r - {{\operatorname{Re} }^{{ - 1}}}{{u}_{r}}r) + {{\operatorname{Re} }^{{ - 1}}}{{(ur)}^{2}}{\text{/}}2{{)}_{r}} = 0. \\ \end{gathered} $

Проинтегрируем данное уравнение по r:

(8)

$\begin{gathered} \frac{{dE}}{{dz}} = - \,((\psi - \operatorname{Re} {}^{{ - 1}}z)(u{v}r - {{\operatorname{Re} }^{{ - 1}}}{{u}_{r}}r) + \\ \, + {{\operatorname{Re} }^{{ - 1}}}{{(ur)}^{2}}{\text{/}}2)_{{r = 0}}^{{r = + \infty }}, \\ E = \int\limits_0^{ + \infty } {{{u}^{2}}(\psi - \operatorname{Re} {}^{{ - 1}}z)rdr} . \\ \end{gathered} $

Если предположить, что $u = O({{r}^{{ - 4}}})$, ${v} = O({{r}^{{ - 1}}})$ при $r \to + \infty $, то интеграл (8) является инвариантом струи.

Приведем выражение интеграла (8) в размерных переменных:

$E{\kern 1pt} * = \int\limits_0^{ + \infty } {u{\kern 1pt} {{*}^{2}}(\psi {\kern 1pt} * - \,\nu z*)r{\kern 1pt} *dr{\kern 1pt} *} .$

На решении (3) инвариант (8) равен нулю, что позволяет использовать его для корректного определения константы $\beta $:

(9)

$\begin{gathered} E = {{\operatorname{Re} }^{{ - 2}}}{{z}^{2}}\int\limits_0^{ + \infty } {(\beta {{{({{u}^{{(1)}}})}}^{2}}{{\psi }^{{(2)}}} + } \\ \, + 2\beta {{u}^{{(1)}}}{{u}^{{(2)}}}({{\psi }^{{(1)}}} - \operatorname{Re} {}^{{ - 1}}z) + o({{z}^{{ - 2}}}))\eta d\eta = \frac{2}{3}\beta {{\alpha }^{2}}. \\ \end{gathered} $

При этом инвариант E вычисляется через профиль скорости в отверстии с помощью формулы (8), в которой следует положить z = 0.

Инвариант E является обобщением инварианта плоской пристенной струи [5, 6] на осесимметричные течения.

СРАВНЕНИЕ С ЧИСЛЕННЫМ РЕШЕНИЕМ

Сформулируем граничные условия неавтомодельной задачи для уравнений (1), (2). В плоскости отверстия z = 0 задан начальный профиль скорости $u(r) = 1 - {{r}^{n}}$ при $r < 1$, $u(r) = 0$ при $r \geqslant 1$. На оси струи r = 0 выполняется ${{u}_{r}} = {v} = 0$, при $r \to + \infty $ выполняется $u \to 0$. Рассмотрены параболический n = 2 и линейный n = 1 начальные профили скорости.

Численное решение данной задачи при Re = 100 получено маршевым методом [7] для полностью неявной конечно-разностной схемы второго порядка точности по обеим координатам. Расчет проведен в области $0 \leqslant z \leqslant 300$, $0 \leqslant r \leqslant 300$ при дискретизации $\Delta z = \Delta r = 0.01$. Удвоение шага по каждому направлению приводит к изменению осевой скорости на величину порядка 0.01% при $r \leqslant 200$ в сечении z = 300 в случае $n = 2$.

На каждом шаге по z проверялось сохранение интегралов (4) и (8). Для используемых начальных профилей скорости отклонение интегралов от начального значения не превосходит 2% вплоть до сечения z = 300.

В табл. 1 представлены значения инвариантов (4) и (8), вычисленных по профилю скорости в сечении z = 0, а также значения константы $\beta $, определенные по формуле (7) и по формуле (9). На рис. 1 приведено сравнение численного и асимптотического (5) решений для профиля осевой скорости в сечении z = 100 и для скорости на оси струи. Из всех решений вычтено решение (3). Легко видеть, что решение (5), (9) гораздо ближе к численному решению, чем (5), (7).

Таблица 1.

Константы

n	J, (4)	E, (8)	β, (7)	β, (9)
2	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{1}{{60}}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{5}$
1	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{{13}}{{2520}}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{{26}}{{105}}$

Рис. 1.

Сравнение отклонений численного и асимптотического (5) решений от решения (3): 1 – численное решение при n = 2; 2 – численное решение при n = 1; 3 – решение (5), (7); 4 – решение (5), (9); слева z = 100; справа r = 0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Известное выражение для поля скоростей осесимметричной затопленной струи [2], бьющей из конечного источника, дополнено определением константы $\beta $. Данная константа появляется во втором приближении координатного разложения на больших расстояниях от источника. В отличие от сложившегося мнения, что константа $\beta $ определяется расходом в начальном сечении струи [2], показано, что она определяется инвариантом (8). Данный инвариант позволил выразить значение константы $\beta $ через профиль скорости в начальном сечении.

Приведенные выше соотношения обобщаются на случай турбулентной осесимметричной затопленной струи несжимаемой жидкости, так как в этом случае кинематический коэффициент турбулентной вязкости ${{\varepsilon }_{\tau }}\sim \sqrt J = {\text{const}}$.

Список литературы

Naz R. Conservation laws for laminar axisymmetric jet flows with weak swirl // Applicable Analysis. 2012. V. 91. № 5. P. 1045–1052.
Лойцянский Л.Г. Распространение закрученной струи в безграничном пространстве, затопленном той же жидкостью // Прикл. математика и механика. 1953. Т. 17. № 1. С. 3–16.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.
Schlichting H. Laminare Strahlausbreitung // Z. angew. Math. Mech. 1933. Bd 13. № 4. S. 260–263.
Акатнов Н.И. Распространение плоской ламинарной струи вязкой жидкости вдоль твердой стенки // Тр. Ленингр. политехн. ин-та. 1953. № 5. С. 24–31.
Glauert M.B. The wall jet // J. Fluid Mech. 1956. V. 1. P. 625–643.
Hornbeck R.W. Numerical Marching Techniques for Fluid Flows with Heat Transfer. Washington: D.C. NASA, 1973. V. 297. 349 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал