Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 498, № 1, стр. 46-52

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ КОЛЬЦЕВЫМИ РЕБРАМИ И ПУСТОТЕЛЫМ ЦИЛИНДРОМ, ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНЕГО ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ДАВЛЕНИЯ

В. Н. Бакулин^1, *, А. Я. Недбай²

¹ Институт прикладной механики Российской академии наук
Москва, Россия

² АО Корпорация “Московский институт теплотехники”
Москва, Россия

^* E-mail: vbak@yandex.ru

Поступила в редакцию 07.03.2021
После доработки 11.03.2021
Принята к публикации 16.03.2021

DOI: 10.31857/S2686740021030056

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предложена модель для исследования динамической устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с несимметричным пакетом композитных несущих слоев и легким заполнителем, подкрепленной кольцевыми ребрами и упругим пустотелым цилиндром, при действии осевых сил и внешнего пульсирующего давления. Впервые получены уравнения и рассмотрены основные этапы решения задачи c помощью предложенной комбинации методов. Для произвольно расположенных неодинаковых ребер задача сводится к решению системы уравнений относительно амплитудных значений двух окружных и радиального перемещений оболочки в местах установки ребер. При равномерно расположенных одинаковых ребрах характеристическое уравнение для определения критических частот представляет систему трех алгебраических уравнений. Впервые построены зависимости критических частот главных областей неустойчивости и исследовано влияние на них параметров цилиндра и ребер. Разработанная оригинальная математическая модель позволяет впервые провести анализ одновременного влияния ребер и цилиндра на границы областей неустойчивости и определить возникновение параметрического резонанса, приводящего к разрушению корпуса двигателя летательного аппарата.

Ключевые слова: динамическая устойчивость, внешнее пульсирующее давление, критические частоты, области неустойчивости, трехслойная цилиндрическая оболочка, характеристическое уравнение, несимметричный пакет слоев, несущие слои, легкий заполнитель, кольцевые ребра

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Во время полета на корпус твердотопливного двигателя, являющегося одним из наиболее нагруженных и важных элементов летательного аппарата (ЛА) [1], помимо аэродинамических и инерционных нагрузок действуют различные тепловые излучения и частицы [2]. Одной из функций корпуса является предотвращение попадания внутрь внешнего тепла, поэтому его оптимальной конструкцией является трехслойная оболочка. Наружный слой такой оболочки, часто более прочный, служит для защиты двигателя от внешних механических и частично тепловых факторов. Внутренний слой, более толстый, удерживает внутреннее давление газов при работе двигателя. Заполнитель между слоями обычно имеет низкие значения коэффициента теплопроводности и модуля упругости и защищает внутренний слой от воздействия тепла. Для повышения устойчивости корпуса от действия внешнего давления оболочку подкрепляют кольцевыми ребрами (шпангоутами).

При полете ЛА на внешней поверхности корпуса происходит пульсация давления, обусловленная турбулентностью атмосферы, бафтингом [3, 4], неравномерностью сгорания топлива, вибрациями, а также изменениями углов атаки и рысканья. При определенных условиях эти пульсации способны привести к возникновению параметрического резонанса [3, 5, 6] и разрушению корпуса.

Анализу динамической и аэроупругой устойчивости оболочек посвящены работы [7–10]. Однако поведение трехслойных оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, остается практически не исследованным [11–13].

В представленной статье предложена модель для исследования динамической устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с несимметричным пакетом композитных несущих слоев и легким заполнителем, подкрепленной кольцевыми ребрами и пустотелым цилиндром, при действии осевых сил и внешнего пульсирующего давления. Подкрепляющее действие цилиндра учитывается в виде упругого основания, коэффициент постели которого определяется из уравнений трехмерной теории упругости. Впервые получены уравнения и рассмотрены основные этапы решения задачи c помощью предложенной комбинации методов. Решение уравнений ищется в виде тригонометрического ряда по осевой координате. Полученная бесконечная система неоднородных дифференциальных уравнений типа Матье–Хилла решается с помощью тригонометрического ряда по временной координате. Для произвольно расположенных неодинаковых ребер задача сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно амплитудных значений двух окружных и радиального перемещений оболочки в местах расстановки ребер, число неизвестных равно утроенному количеству ребер. При равномерно расположенных одинаковых ребрах характеристическое уравнение для определения критических частот представляет систему трех алгебраических уравнений. На числовом примере впервые построены зависимости критических частот главных областей неустойчивости и исследовано влияние на них радиуса канала цилиндра, количества и высоты ребер. Разработанная оригинальная математическая модель значительно расширяет круг решаемых задач и позволяет впервые провести анализ одновременного влияния кольцевых ребер и цилиндра на границы областей неустойчивости и определить возникновение параметрического резонанса, приводящего к разрушению корпуса двигателя ЛА.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим трехслойную цилиндрическую оболочку с несимметричными ортотропными композитными несущими слоями и легким заполнителем, подкрепленную кольцевыми ребрами и упругим пустотелым цилиндром, при действии на поверхности внешнего давления, изменяющегося во времени по гармоническому закону. Торцы оболочки шарнирно оперты и нагружены постоянными осевыми силами. Будем считать, что ребра расположены сравнительно редко. При этом взаимным влиянием тангенциальных контактных усилий и радиальных инерционных сил можно пренебречь. Цилиндр представляется упругим основанием Винклера, коэффициент постели которого определяется из уравнений трехмерной теории упругости [14].

Введем безразмерную систему цилиндрических координат, в которой за координатную поверхность принята срединная поверхность заполнителя. Тогда уравнения движения оболочки можно представить в виде [14]

(1)

$\begin{gathered} {{L}_{{j1}}}{{u}_{\alpha }} + {{L}_{{j2}}}{{{v}}_{\alpha }} + {{L}_{{j3}}}w + {{L}_{{j4}}}{{u}_{\beta }} + {{L}_{{j5}}}{{{v}}_{\beta }} + \\ + \,({{\delta }_{{j2}}} + {{\delta }_{{j3}}} + {{\delta }_{{j5}}}) \times \\ \times \sum\limits_{i = 1}^M {[l_{{j2}}^{{(i)}}{{{v}}_{{\alpha i}}} + l_{{j3}}^{{(i)}}{{w}_{i}} + l_{{j5}}^{{(i)}}{{{v}}_{{\beta i}}}]\delta \left( {\alpha - {{\alpha }_{i}}} \right) = 0} \\ (j = 1,2, \ldots ,5), \\ \end{gathered} $

где L_ji, l_ji – дифференциальные операторы, имеющие вид (вид других операторов аналогичен работе [14])

$\begin{gathered} {{L}_{{33}}} = \frac{{{{D}_{{11}}}}}{{{{R}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{4}}}}{{\partial {{\alpha }^{4}}}} + \frac{{2\left( {{{D}_{{12}}} + {{D}_{{33}}}} \right)}}{{{{R}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{4}}}}{{\partial {{\alpha }^{2}}\partial {{\beta }^{2}}}} + \\ + \;\frac{{{{D}_{{22}}}}}{{{{R}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{4}}}}{{\partial {{\beta }^{4}}}} - \frac{{h_{0}^{2}}}{h}\left( {{{G}_{{13}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\alpha }^{2}}}} + {{G}_{{23}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\beta }^{2}}}}} \right) + \\ + \;{{T}_{\alpha }}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\alpha }^{2}}}} + \left( {{{P}_{0}} + {{P}_{1}}\cos \omega t} \right)R\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\beta }^{2}}}} + \\ + \;П{{R}^{2}} + {{B}_{{22}}} + {{F}_{0}}{{R}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}; \\ \end{gathered} $

${{L}_{{34}}} = {{L}_{{43}}} = \left( {{{{\bar {B}}}_{{12}}} - 2\frac{{R{{h}_{0}}}}{h}{{G}_{{13}}}} \right)\frac{\partial }{{\partial \alpha }};$

${{L}_{{35}}} = {{L}_{{53}}} = \left( {{{{\bar {B}}}_{{22}}} - 2\frac{{R{{h}_{0}}}}{h}{{G}_{{23}}}} \right)\frac{\partial }{{\partial \beta }};$

$l_{{33}}^{{(i)}} = \frac{1}{R}\left( {{{E}_{i}}{{F}_{i}} - {{a}_{i}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\beta }^{2}}}}} \right) + {{\rho }_{i}}{{F}_{i}}R\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}};$

$l_{{25}}^{{(i)}} = l_{{52}}^{{(i)}} = - 2\frac{{{{\varepsilon }_{i}}{{E}_{i}}{{F}_{i}}}}{{R{{h}_{0}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\beta }^{2}}}};$

$l_{{35}}^{{(i)}} = l_{{53}}^{{(i)}} = - \frac{2}{{R{{h}_{0}}}}\left( {{{\varepsilon }_{i}}{{E}_{i}}{{F}_{i}} + R{{a}_{i}}} \right)\frac{\partial }{{\partial \beta }};$

$l_{{55}}^{{(i)}} = - \frac{4}{{Rh_{0}^{2}}}\left[ {{{a}_{i}}{{R}^{2}} - {{E}_{i}}(\varepsilon _{i}^{2}{{F}_{i}} + {{I}_{i}})\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\beta }^{2}}}}} \right];$

${{F}_{0}} = {{\rho }_{В}}{{h}_{1}} + {{\rho }_{Н}}{{h}_{2}} + h{{\rho }_{С}};$

${{B}_{{ss}}} = B_{s}^{В} + B_{s}^{Н};$ ${{\bar {B}}_{{ss}}} = B_{s}^{В} - B_{s}^{Н};$

${{B}_{{12}}} = B_{1}^{В}\nu _{2}^{В} + B_{1}^{Н}\nu _{2}^{Н}\quad (s = 1,\;2,\;3);$

${{\bar {B}}_{{12}}} = B_{1}^{В}\nu _{2}^{В} - B_{1}^{Н}\nu _{2}^{Н};\quad B_{1}^{В} = E_{1}^{В}{{h}_{1}}{\text{/}}{{\eta }^{В}};$

$B_{2}^{В} = E_{2}^{В}{{h}_{1}}{\text{/}}{{\eta }^{В}};\quad B_{3}^{В} = G_{{12}}^{В}{{h}_{1}};$

${{D}_{{12}}} = D_{1}^{В}\nu _{2}^{В} + D_{1}^{Н}\nu _{2}^{Н};\quad D_{1}^{В} = E_{1}^{В}h_{1}^{3}{\text{/}}12{{\eta }^{В}};$

$D_{2}^{В} = E_{2}^{В}h_{1}^{3}{\text{/}}12{{\eta }^{В}};\quad D_{3}^{В} = G_{{12}}^{В}h_{1}^{3}{\text{/}}6;\quad {{z}_{0}} = {{R}_{0}}{\text{/}}R;$

${{\eta }^{В}} = 1 - \nu _{1}^{В}\nu _{2}^{В};\quad {{h}_{0}} = h + \left( {{{h}_{1}} + {{h}_{2}}} \right){\text{/}}2;$

$2{{\varepsilon }_{i}} = r_{i}^{В} + r_{i}^{Н};\quad {{a}_{i}} = 5{{G}_{i}}{{F}_{i}}{\text{/}}6,$

α, β – безразмерные координаты вдоль образующей и в окружном направлении срединной поверхности заполнителя, принятой за координатную поверхность; w, u_α, u_β, ${{{v}}_{\alpha }}$, ${{{v}}_{\beta }}$ – нормальное и приведенные осевые и тангенциальные перемещения соответственно верхнего и нижнего несущих слоев [14]; R, R₀ – радиус срединной поверхности заполнителя и внутренний радиус цилиндра (радиус канала цилиндра) соответственно; h₁, h₂, h – соответственно толщина верхнего, нижнего и среднего слоев; $E_{1}^{B}$, $E_{2}^{B}$, $G_{{12}}^{B}$, ${v}_{1}^{B}$, ${v}_{2}^{B}$ – соответственно осевой и окружной модули упругости, модуль сдвига и коэффициенты Пуассона верхнего слоя (обозначения для нижнего слоя с индексом “Н” имеют аналогичный смысл); G₁₃, G₂₃ – модули поперечного сдвига заполнителя; ρ_B, ρ_H, ρ_C – плотности материалов верхнего, нижнего и среднего слоев; E_i, G_i, ρ_i – модуль упругости, модуль сдвига и плотность материала i-го ребра; F_i, I_i – площадь и момент инерции ребра; M – количество ребер; П – коэффициент постели; T_α – начальное осевое усилие; δ(α) – дельта-функция; δ_kj – символ Кронекера; $r_{i}^{B}$, $r_{i}^{H}$ – соответственно расстояния от оси ребра до срединной поверхности верхнего и нижнего слоев, причем эта величина считается положительной, если ось ребра лежит ниже срединной поверхности несущего слоя.

Решение уравнений (1) будем искать в виде

$\left\{ {{{u}_{\alpha }},{{u}_{\beta }}} \right\} = \cos n\beta \sum\limits_{m = 1}^\infty {\left\{ {{{f}_{{1m}}}(t),{{f}_{{4m}}}(t)} \right\}} \cos {{\gamma }_{m}}\alpha ;$

(2)

$\left\{ {{{\nu }_{\alpha }},{{\nu }_{\beta }}} \right\} = \sin n\beta \sum\limits_{m = 1}^\infty {\left\{ {{{f}_{{2m}}}(t),{{f}_{{5m}}}(t)} \right\}} \sin {{\gamma }_{m}}\alpha ;$

$w = \cos n\beta \sum\limits_{m = 1}^\infty {{{f}_{{3m}}}(t)\sin {{\gamma }_{m}}} \alpha ,$

где γ_m = $\frac{{m\pi }}{{{{\alpha }_{0}}}}$; α₀ = $\frac{L}{R}$; L – длина оболочки; f_jm(t) – неизвестные функции времени (в дальнейшем аргумент t опускается); m – количество полуволн в осевом направлении; n – количество волн в окружном направлении.

Раскладывая дельта-функцию в тригонометрический ряд и подставляя (2) в (1), получим неоднородную систему дифференциальных уравнений типа Матье–Хилла

${{a}_{{11}}}{{f}_{{1m}}} + {{a}_{{12}}}{{f}_{{2m}}} + {{a}_{{13}}}{{f}_{{3m}}} + {{a}_{{14}}}{{f}_{{4m}}} + {{a}_{{15}}}{{f}_{{5m}}} = 0;$

${{a}_{{21}}}{{f}_{{1m}}} + {{a}_{{22}}}{{f}_{{2m}}} + {{a}_{{23}}}{{f}_{{3m}}} + {{a}_{{24}}}{{f}_{{4m}}} + {{a}_{{25}}}{{f}_{{5m}}} = $

$ = \; - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}\sum\limits_{i = 1}^M {\left( {{{b}_{{22}}}{{f}_{{2i}}} + {{b}_{{23}}}{{f}_{{3i}}} + {{b}_{{25}}}{{f}_{{5i}}}} \right)} \sin {{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}};$

(3)

$\begin{gathered} {{a}_{{31}}}{{f}_{{1m}}} + {{a}_{{32}}}{{f}_{{2m}}} + \\ + \;\left( {{{R}^{2}}{{F}_{0}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{t}^{2}}}} - R{{P}_{1}}{{n}^{2}}\cos \omega t + a_{{33}}^{0}} \right){{f}_{{3m}}} + \\ + \,{{a}_{{34}}}{{f}_{{4m}}} + {{a}_{{35}}}{{f}_{{5m}}} = \\ = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}\sum\limits_{i = 1}^M {\left[ {{{b}_{{32}}}{{f}_{{2i}}}\, + \,\left( {R{{\rho }_{i}}{{F}_{i}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{t}^{2}}}}\, + \,b_{{33}}^{0}} \right){{f}_{{3i}}}\, + \,{{b}_{{35}}}{{f}_{{5i}}}} \right]} {\text{sin}}{{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}}; \\ \end{gathered} $

${{a}_{{41}}}{{f}_{{1m}}} + {{a}_{{42}}}{{f}_{{2m}}} + {{a}_{{43}}}{{f}_{{3m}}} + {{a}_{{44}}}{{f}_{{4m}}} + {{a}_{{45}}}{{f}_{{5m}}} = 0;$

${{a}_{{51}}}{{f}_{{1m}}} + {{a}_{{52}}}{{f}_{{2m}}} + {{a}_{{53}}}{{f}_{{3m}}} + {{a}_{{54}}}{{f}_{{4m}}} + {{a}_{{55}}}{{f}_{{5m}}} = $

$ = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}\sum\limits_{i = 1}^M {\left( {{{b}_{{52}}}{{f}_{{2i}}} + {{b}_{{53}}}{{f}_{{3i}}} + {{b}_{{55}}}{{f}_{{5i}}}} \right)} \sin {{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}},$

где ${{a}_{{11}}} = - {{B}_{{11}}}\gamma _{m}^{2} - {{B}_{{33}}}{{n}^{2}};$

${{a}_{{12}}} = {{a}_{{21}}} = \left( {{{B}_{{12}}} + {{B}_{{33}}}} \right){{\gamma }_{m}}n;$

${{a}_{{13}}} = - {{a}_{{31}}} = {{B}_{{12}}}{{\gamma }_{m}};\quad {{a}_{{14}}} = {{a}_{{41}}} = - {{\bar {B}}_{{11}}}\gamma _{m}^{2} - {{\bar {B}}_{{33}}}{{n}^{2}};$

${{a}_{{15}}} = {{a}_{{51}}} = \left( {{{{\bar {B}}}_{{12}}} + {{{\bar {B}}}_{{33}}}} \right){{\gamma }_{m}}n;$

${{a}_{{22}}} = - {{B}_{{33}}}\gamma _{m}^{2} - {{B}_{{22}}}{{n}^{2}};\quad {{a}_{{23}}} = - {{B}_{{22}}}n;$

${{a}_{{24}}} = {{a}_{{42}}} = \left( {{{{\bar {B}}}_{{12}}} + {{{\bar {B}}}_{{33}}}} \right){{\gamma }_{m}}n;$

${{a}_{{25}}} = {{a}_{{52}}} = - {{\bar {B}}_{{33}}}\gamma _{m}^{2} - {{\bar {B}}_{{22}}}{{n}^{2}};$

${{a}_{{32}}} = {{B}_{{22}}}n;$

$\begin{gathered} a_{{33}}^{0} = \frac{{{{D}_{{11}}}}}{{{{R}^{2}}}}\gamma _{m}^{4} + \frac{{2\left( {{{D}_{{12}}} + {{D}_{{33}}}} \right)}}{{{{R}^{2}}}}\gamma _{m}^{2}{{n}^{2}} + \\ + \,\,\frac{{{{D}_{{22}}}}}{{{{R}^{2}}}}{{n}^{4}} + \frac{{h_{0}^{2}}}{h}({{G}_{{13}}}\gamma _{m}^{2} + {{G}_{{23}}}{{n}^{2}}) - \\ - \;{{T}_{\alpha }}\gamma _{m}^{2} + {{B}_{{22}}} + {{R}^{2}}П - R{{P}_{0}}{{n}^{2}}; \\ \end{gathered} $

${{a}_{{34}}} = - {{a}_{{43}}} = - \left( {{{{\overline B }}_{{12}}} - \frac{{2R{{h}_{0}}}}{h}{{G}_{{13}}}} \right){{\gamma }_{m}};$

${{a}_{{35}}} = \left( {{{{\bar {B}}}_{{22}}} - \frac{{2R{{h}_{0}}}}{h}{{G}_{{23}}}} \right)n;$

${{a}_{{44}}} = - {{B}_{{11}}}\gamma _{m}^{2} - {{B}_{{33}}}{{n}^{2}} - \frac{{4{{R}^{2}}}}{h}{{G}_{{13}}};$

${{a}_{{45}}} = {{a}_{{54}}} = \left( {{{B}_{{12}}} + {{B}_{{33}}}} \right){{\gamma }_{m}}n;$

${{a}_{{53}}} = - \left( {{{{\bar {B}}}_{{22}}} - \frac{{2R{{h}_{0}}}}{h}{{G}_{{23}}}} \right)n;$

${{a}_{{55}}} = - {{B}_{{33}}}\gamma _{m}^{2} - {{B}_{{22}}}{{n}^{2}} - \frac{{4{{R}^{2}}}}{h}{{G}_{{23}}};$

${{b}_{{22}}} = - \frac{{{{E}_{i}}{{F}_{i}}{{n}^{2}}}}{R};$ ${{b}_{{23}}} = - {{b}_{{32}}} = \frac{{ - {{E}_{i}}{{F}_{i}}n}}{R};$

${{b}_{{25}}} = {{b}_{{52}}} = \frac{{2{{\varepsilon }_{i}}{{E}_{i}}{{F}_{i}}{{n}^{2}}}}{{R{{h}_{0}}}};$

$b_{{33}}^{0} = \frac{{{{E}_{i}}{{F}_{i}} + {{a}_{i}}{{n}^{2}}}}{{{{R}_{i}}}};$

${{b}_{{35}}} = - {{b}_{{53}}} = - \frac{{2n\left( {{{\varepsilon }_{i}}{{E}_{i}}F + R{{a}_{i}}} \right)}}{{R{{h}_{0}}}};$

${{b}_{{55}}} = - 4\frac{{[{{R}^{2}}{{a}_{i}} + {{E}_{i}}(\varepsilon _{i}^{2}{{F}_{i}} + {{I}_{i}}){{n}^{2}}]}}{{Rh_{0}^{2}}}.$

Коэффициент постели П будет иметь вид

$П = \frac{{2\mu }}{R}\frac{\Delta }{\psi };\quad \psi = \sum\limits_{j = 1}^6 {{{{\text{Ф}}}_{j}}} {{D}_{{6j}}};\quad \xi = {{\gamma }_{m}};\quad x = {{z}_{0}}{{\gamma }_{m}};$

${{{\text{Ф}}}_{1}} = - \frac{{{{n}^{2}}}}{\xi }{{I}_{n}}\left( \xi \right);$

${{{\text{Ф}}}_{3}} = - \frac{{\left( {\lambda + \mu } \right)}}{{2\left( {\lambda + 2\mu } \right)}}\xi \left( {\frac{{{{n}^{2}}}}{{{{\xi }^{2}}}} + 1} \right){{I}_{n}}\left( \xi \right);\quad {{{\text{Ф}}}_{5}} = - I_{n}^{'}\left( \xi \right);$

D_6j, Δ – соответственно дополнение и определитель матрицы, элементы которой имеют вид (вид других элементов аналогичен работе [14])

${{C}_{{11}}} = \frac{{n{}^{2}}}{x}{{I}_{n}}\left( x \right);$

${{C}_{{13}}} = - I_{n}^{'}\left( x \right) - \frac{{\lambda + \mu }}{{\lambda + 2\mu }}\left( {\frac{{{{n}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}} + 1} \right)x{{I}_{n}}\left( x \right);$

${{C}_{{15}}} = 2I_{n}^{'}\left( x \right);$

$\begin{gathered} {{C}_{{63}}} = \frac{{\lambda + \mu }}{{2\left( {\lambda + 2\mu } \right)}} \times \\ \times \;\xi \left[ {\left( {\frac{{{{n}^{2}}}}{{{{\xi }^{2}}}} + 1} \right)\xi I_{n}^{'}\left( \xi \right) - \left( {\frac{{{{n}^{2}}}}{{{{\xi }^{2}}}} - \frac{\mu }{{\lambda + \mu }}} \right){{I}_{n}}\left( \xi \right)} \right]; \\ \end{gathered} $

${{C}_{{65}}} = \xi \left[ {\frac{1}{\xi }I_{n}^{'}\left( \xi \right) - \left( {\frac{{{{n}^{2}}}}{{{{\xi }^{2}}}} + 1} \right){{I}_{n}}\left( \xi \right)} \right];$

$\mu = \frac{{{{E}_{0}}}}{{2\left( {1 + {{\nu }_{0}}} \right)}};\quad \lambda = \frac{{{{E}_{0}}{{\nu }_{0}}}}{{\left( {1 + {{\nu }_{0}}} \right)\left( {1 - 2{{\nu }_{0}}} \right)}},$

где E₀, ν₀ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала цилиндра; штрихом обозначена производная по соответствующему аргументу.

Для получения четных столбцов матрицы C_ij и Φ_j необходимо в предыдущих элементах заменить функцию I_n(x) на модифицированную функцию Бесселя K_n(x) с тем же аргументом.

Решение уравнений (3) будем искать в виде

(4)

$\begin{gathered} \left\{ {{{f}_{{1m}}},{{f}_{{2m}}},{{f}_{{3m}}},{{f}_{{4m}}},{{f}_{{5m}}};{{f}_{{2i}}},{{f}_{{3i}}},{{f}_{{5i}}}} \right\} = \\ = \;\sum\limits_{q = 1,3...}^\infty {\left\{ {[A_{{1m}}^{{(q)}},{\kern 1pt} A_{{2m}}^{{(q)}},{\kern 1pt} A_{{3m}}^{{(q)}},{\kern 1pt} A_{{4m}}^{{(q)}},{\kern 1pt} A_{{5m}}^{{(q)}};A_{{2i}}^{{(q)}},A_{{3i}}^{{(q)}},A_{{5i}}^{{(q)}}]{\text{sin}}{\kern 1pt} \frac{{q\omega t}}{2}} \right\}} + \\ + \;\sum\limits_{q = 1,3...}^\infty {\left\{ {[B_{{1m}}^{{(q)}},{\kern 1pt} B_{{2m}}^{{(q)}},{\kern 1pt} B_{{3m}}^{{(q)}},{\kern 1pt} B_{{4m}}^{{(q)}},{\kern 1pt} B_{{5m}}^{{(q)}};{\kern 1pt} B_{{2i}}^{{(q)}},{\kern 1pt} B_{{3i}}^{{(q)}},{\kern 1pt} B_{{5i}}^{{(q)}}]{\text{cos}}{\kern 1pt} \frac{{q\omega t}}{2}} \right\}} . \\ \end{gathered} $

Подставляя первую сумму из (4) в (3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых sin$\frac{{q\omega t}}{2}$, получим систему неоднородных алгебраических уравнений. Ограничимся первым членом ряда q = 1, который определяет границу главной области неустойчивости и, согласно [15], в большинстве случаев его достаточно для практических расчетов. В результате получим (индекс q в дальнейшем опускается)

$\sum\limits_{j = 1}^5 {{{a}_{{1j}}}{{A}_{{jm}}} = 0;\quad \sum\limits_{j = 1}^5 {{{a}_{{4j}}}{{A}_{{jm}}}} } = 0;$

(5)

$\sum\limits_{j = 1}^5 {{{a}_{{2j}}}{{A}_{{jm}}} = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}} \sum\limits_{i = 1}^M {({{b}_{{22}}}{{A}_{{2i}}}} \, + \,{{b}_{{23}}}{{A}_{{3i}}}\, + \,{{b}_{{25}}}{{A}_{{5i}}}){\text{sin}}{{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}};$

$\sum\limits_{j = 1}^5 {{{a}_{{3j}}}{{A}_{{jm}}} = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}} \sum\limits_{i = 1}^M {({{b}_{{32}}}{{A}_{{2i}}}} + {{b}_{{33}}}{{A}_{{3i}}} + {{b}_{{35}}}{{A}_{{5i}}}){\text{sin}}{{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}};$

$\sum\limits_{j = 1}^5 {{{a}_{{5j}}}{{A}_{{jm}}} = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}} \sum\limits_{i = 1}^M {({{b}_{{52}}}{{A}_{{2i}}}} + {{b}_{{53}}}{{A}_{{3i}}} + {{b}_{{55}}}{{A}_{{5i}}}){\text{sin}}{{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}};$

где ${{a}_{{33}}} = a_{{33}}^{0} - \frac{{{{R}^{2}}{{F}_{0}}{{\omega }^{2}}}}{4} \mp \frac{{R{{P}_{1}}{{n}^{2}}}}{2};{{b}_{{33}}} = b_{{33}}^{0} - \frac{{R{{\rho }_{i}}{{F}_{i}}{{\omega }^{2}}}}{4}.$

Решая систему (5), получим

(6)

$\begin{gathered} {{A}_{{km}}} = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}\sum\limits_{i = 1}^M {({{B}_{{k1}}}{{A}_{{2i}}}} + {{B}_{{k2}}}{{A}_{{3i}}} + {{B}_{{k3}}}{{A}_{{5i}}}){\text{sin}}{{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}}, \\ k = 1,2, \ldots 5, \\ \end{gathered} $

где

${{B}_{{k1}}} = \frac{{{{b}_{{22}}}{{D}_{{2k}}} + {{b}_{{32}}}{{D}_{{3k}}} + {{b}_{{52}}}{{D}_{{5k}}}}}{{{{\Delta }_{1}}}};$

${{B}_{{k2}}} = \frac{{{{b}_{{23}}}{{D}_{{2k}}} + {{b}_{{33}}}{{D}_{{3k}}} + {{b}_{{53}}}{{D}_{{5k}}}}}{{{{\Delta }_{1}}}};$

${{B}_{{k3}}} = \frac{{{{b}_{{25}}}{{D}_{{2k}}} + {{b}_{{35}}}{{D}_{{3k}}} + {{b}_{{55}}}{{D}_{{5k}}}}}{{{{\Delta }_{1}}}};$

∆₁, D_jk – определитель и дополнение элемента a_jk матрицы (5).

Так как в местах расположения ребер справедливы соотношения

$\left( {{{A}_{{2r}}},{{A}_{{3r}}},{{A}_{{5r}}}} \right) = \sum\limits_{m = 1}^\infty {\left( {{{A}_{{2m}}},{{A}_{{3m}}},{{A}_{{5m}}}} \right)} \sin {{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{r}},$

то подставив в них выражения (6), получим систему 3M уравнений относительно A_ij

$\begin{gathered} {{A}_{{2r}}} = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{i = 1}^M {\left( {{{B}_{{12}}}{{A}_{{2i}}} + {{B}_{{22}}}{{A}_{{3i}}} + {{B}_{{32}}}{{A}_{{5i}}}} \right)} } \times \\ \times \;\sin {{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}}\sin {{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{r}}; \\ \end{gathered} $

(7)

$\begin{gathered} {{A}_{{3r}}} = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{i = 1}^M {\left( {{{B}_{{13}}}{{A}_{{2i}}} + {{B}_{{23}}}{{A}_{{3i}}} + {{B}_{{33}}}{{A}_{{5i}}}} \right)} } \times \\ \times \;\sin {{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}}\sin {{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{r}}; \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{A}_{{5r}}} = - \frac{2}{{{{\alpha }_{0}}}}\sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{i = 1}^M {\left( {{{B}_{{15}}}{{A}_{{2i}}} + {{B}_{{25}}}{{A}_{{3i}}} + {{B}_{{35}}}{{A}_{{5i}}}} \right)} } \times \\ \times \;\sin {{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{i}}{\text{sin}}{{\gamma }_{m}}{{\alpha }_{r}}; \\ (r = 1,2, \ldots M). \\ \end{gathered} $

Равенство нулю определителя системы (7) представляет характеристическое уравнение критических частот.

Подставляя вторую сумму из (4) в (3), получим характеристическое уравнение типа (7), в котором коэффициенты A_jr необходимо заменить на B_jr соответственно, а в коэффициенте a₃₃ принять знак “+”.

Для случая равномерно расположенных ребер $\left( {{{\alpha }_{i}} = \frac{{i{{\alpha }_{0}}}}{{M + 1}}} \right)$ коэффициенты перед A_ki не будут зависеть от индекса i и решение системы (7) можно представить в виде

(8)

$\{ {{A}_{{2i}}},{{A}_{{3i}}},{{A}_{{5i}}}\} = \{ A{}_{2},{{A}_{3}},{{A}_{5}}\} {\text{sin}}\frac{{\pi N{{\alpha }_{i}}}}{{{{\alpha }_{0}}}},\,\,\,1 \leqslant N \leqslant M,$

где N – целое число, характеризующее форму потери устойчивости; A₂, A₃, A₅ – постоянные.

Подставляя (8) в уравнение (7), получим однородную систему трех алгебраических уравнений

(9)

$\begin{gathered} \frac{{M + 1}}{{{{\alpha }_{0}}}}\sum\limits_m {\left( {{{B}_{{1j}}}{{A}_{2}} + {{B}_{{2j}}}{{A}_{3}} + {{B}_{{3j}}}{{A}_{5}}} \right)} \,{{A}_{j}} = 0;\quad \\ j = 2,\;3,\;5, \\ \end{gathered} $

$m = N,\quad 2s(M + 1) \pm N,\quad s = 1,\;2,\;3,\; \ldots $

Характеристическое уравнение будет представлять равенство нулю определителя системы (9). Придавая n и N различные целочисленные значения, находим значения критических частот.

ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР

Исследуем динамическую устойчивость трехслойной цилиндрической оболочки с композитными несущими слоями и легким заполнителем, подкрепленной одним и тремя кольцевыми ребрами и пустотелым цилиндром, при действии осевой сжимающей силы и внешнего давления, гармонически изменяющегося во времени:

$\begin{gathered} L{\text{/}}R = 6;\quad {{h}_{1}}{\text{/}}R = 0.002; \\ {{h}_{2}}{\text{/}}R = 0.006;\quad h{\text{/}}R = 0.008; \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} (E_{1}^{В},E_{1}^{Н}){\text{/}}{{E}_{0}} = 1.5 \times {{10}^{4}}; \\ (E_{2}^{В},E_{2}^{Н},{{E}_{i}}){\text{/}}{{E}_{0}} = 2.3 \times {{10}^{4}}; \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} (G_{{12}}^{В},G_{{12}}^{Н},{{G}_{i}}){\text{/}}{{E}_{0}} = 2.4 \times {{10}^{3}}; \\ \left( {{{G}_{{13}}},{{G}_{{23}}}} \right){\text{/}}{{E}_{0}} = 30; \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \nu _{1}^{В} = \nu _{1}^{Н} = 0.15;\quad \nu _{2}^{В} = \nu _{2}^{Н} = 0.23; \\ {{F}_{i}}{\text{/}}{{R}^{2}} = 8 \times {{10}^{{ - 4}}};\quad H{\text{/}}R = 0.04; \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} I{\text{/}}F{{R}^{2}} = 1.33 \times {{10}^{{ - 4}}}; \\ {{R}_{0}}{\text{/}}R = 0.6;\quad {{P}_{0}}{\text{/}}{{E}_{0}} = 0.05; \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{T}_{\alpha }}{\text{/}}{{E}_{0}}R = 0.5{{T}_{{кр}}} = 2; \\ r_{i}^{В}{\text{/}}R = 0.01;\quad r_{i}^{Н}{\text{/}}R = 0.02; \\ \end{gathered} $

$\left( {{{\rho }_{В}},{{\rho }_{Н}},{{\rho }_{i}}} \right){\text{/}}{{\rho }_{С}} = 5;\quad {{\nu }_{0}} = 0.49;$

T_кр – критическое усилие потери устойчивости неподкрепленной трехслойной оболочки; H – высота ребра.

На рис. 1 показаны области неустойчивости (заштрихованная часть) оболочки с одним ребром при различных значениях радиуса канала цилиндра. Штриховой линией представлена оболочка без цилиндра. Здесь Y = ω/ω₀ – отношение критической частоты пульсаций к собственной частоте неподкрепленной оболочки, X = p₁/p₀ – отношение амплитуды переменной составляющей внешнего давления к постоянной, величина которой равна 0.8 критического давления потери устойчивости неподкрепленной оболочки.

Рис. 1.

Области неустойчивости оболочек с различными радиусами канала (М – количество ребер, n – количество кольцевых волн, z₀ = R₀/R).

На рис. 2 приведены области неустойчивости для оболочки с тремя ребрами при различных значениях безразмерной высоты H/R ребер.

Рис. 2.

Области неустойчивости оболочек при различной высоте ребер (H – высота ребра).

Из приведенного примера следует, что:

увеличение толщины внутреннего цилиндра в 2 раза повышает границы критических частот примерно в 3 раза и уменьшает площадь области неустойчивости примерно в 2.7 раза;

для оболочки с одним ребром наличие 20% толщины свода внутреннего цилиндра уменьшает площадь области неустойчивости в 2 раза;

для оболочки без цилиндра увеличение числа ребер с одного до трех повышает границы критических частот примерно на 40% и уменьшает площадь области неустойчивости примерно в 2.1 раза, но при наличии цилиндра (z₀ = 0.6) параметры области неустойчивости становятся одинаковыми;

увеличение высоты ребер в 2 раза повышает границы критических частот примерно в 1.8 раза и уменьшает площадь области неустойчивости примерно в 2 раза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленном сообщении впервые получены уравнения и построена новая модель для анализа динамической устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с несимметричными ортотропными несущими слоями, подкрепленной кольцевыми ребрами и пустотелым изотропным цилиндром, при действии осевой нагрузки и внешнего пульсирующего давления. Рассмотрены основные этапы решения указанной задачи c помощью предложенной комбинации методов. Разработаны алгоритмы решения для произвольно расположенных неодинаковых ребер и для равномерно расположенных одинаковых ребер, в последнем случае характеристическое уравнение для определения критических частот значительно упрощается и представляет собой систему трех алгебраических уравнений.

На численном примере впервые построены зависимости критических частот главных областей неустойчивости и исследовано влияние на них радиуса канала цилиндра, количества и высоты ребер. Разработанная оригинальная математическая модель значительно расширяет круг решаемых задач и позволяет впервые провести анализ одновременного влияния кольцевых ребер и цилиндра на границы областей неустойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с несимметричным пакетом ортотропных несущих слоев и легким заполнителем.

Получены приоритетные научные результаты, заключающиеся в разработке новой модели для исследования динамической устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек и впервые построенных с помощью этой модели зависимостей, определяющих возникновение параметрического резонанса, приводящего к разрушению корпуса двигателя летательного аппарата.

Список литературы

Липанов А.М., Алиев А.В. Проектирование РДТТ. М.: Машиностроение, 1995. 397 с.
Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек: Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. М.: Физматлит, 1998. 464 с.
Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Физматлит, 1976. 416 с.
Липанов А.М., Карсканов С.А., Чернышев С.Л., Липатов И.И. Теоретическое исследование условий возникновения скоростного бафтинга // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2019. Т. 29. № 3. С. 382–395.
Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: ГИТТЛ, 1971. 696 с.
Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Многопараметрические задачи устойчивости. Теория и приложения в механике. М.: Физматлит, 2009. 400 с.
Бакулин В.Н., Волков Е.Н., Симонов А.И. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки при действии переменного по оси внешнего давления // Изв. вузов. Авиационная техника. 2017. № 4. С. 11–17.
Бакулин В.Н., Волков Е.Н., Недбай А.Я. Флаттер слоистой цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми ребрами и нагруженной осевыми силами // ДАН. 2015. Т. 463. № 4. С. 414–417.
Бакулин В.Н., Конопельчев М.А., Недбай А.Я. Аэроупругая устойчивость композитной цилиндрической оболочки линейно-переменной толщины // ДАН. 2019. Т. 488. № 1. С. 595–601.
Бакулин В.Н., Недбай А.Я. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами кусочно-постоянной толщины, при действии осевой нагрузки // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2020. Т. 495. С. 39–45.
Соломонов Ю.С., Георгиевский В.П., Недбай А.Я., Поспелов А.А. Динамическая устойчивость трехслойной цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми ребрами, при действии внешнего давления // Сб. матер. Всерос. науч. конф. М.: ИПРИМ РАН, 2015. С. 290–292.
Соломонов Ю.С., Георгиевский В.П., Недбай А.Я., Конопельчев М.А. Устойчивость трехслойной оболочки с кольцевыми ребрами в сверхзвуковом потоке газа // Материалы XX Юбилейной Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС`2017). 24–31 мая 2017. Алушта. М.: Изд-во МАИ, 2017. С. 321–323.
Соломонов Ю.С., Георгиевский В.П., Недбай А.Я., Конопельчев М.А. Устойчивость трехслойной оболочки с кольцевыми ребрами в сверхзвуковом потоке газа // Механика композиционных материалов и конструкций. 2017. Т. 23. № 3. С. 435–443.
Соломонов Ю.С., Георгиевский В.П., Недбай А.Я., Андрюшин В.А. Прикладные задачи механики композитных цилиндрических оболочек. М.: Физматлит, 2014. 408 с.
Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1956. 600 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал