1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 498, № 1, 2021

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 498, № 1, стр. 53-56

ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ЭЙЛЕРА–ПУАНСО

А. А. Буров 1, 2, *, Е. А. Никонова 2, **

1 Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление” Российской академии наук
Москва, Россия

2 Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
Москва, Россия

* E-mail: jtm@yandex.ru
** E-mail: nikonova.ekaterina.a@gmail.com

Поступила в редакцию 01.04.2021
После доработки 16.04.2021
Принята к публикации 16.04.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе вводятся функции, позволяющие вычислять компоненты тензора Эйлера–Пуансо с помощью дифференцирования. Роль этих функций аналогична роли производящих функций в математической статистике, позволяющих вычислять статистические моменты любого порядка. Обсуждаются свойства этих функций.

Ключевые слова: тензор Эйлера–Пуансо, момент инерции произвольного порядка, статистические моменты, производящая функция

1. ОСНОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ

Из математической статистики хорошо известно (см., например, [1]) понятие производящей функции, позволяющей вычислять статистические моменты любого порядка с помощью дифференцирования. Пусть $\mathcal{G}$ – твердое тело, $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ – прямоугольная правая система координат, ${\mathbf{x}} = {{({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})}^{{\text{т}}}}$ – координаты радиус-вектора $\overrightarrow {OP} $ точки $P \in \mathcal{G}$, $\rho ({\mathbf{x}})$ – плотность тела в точке $P$. Напомним, что тензор Эйлера–Пуансо k-го порядка задается своими компонентами

(1)
$\begin{gathered} {{I}_{{{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}} = \int {\int\limits_\mathcal{G} {\int {x_{1}^{{{{k}_{1}}}}} } } x_{2}^{{{{k}_{2}}}}x_{3}^{{{{k}_{3}}}}\rho ({\mathbf{x}})d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}d{{x}_{3}}, \\ {{k}_{1}} + {{k}_{2}} + {{k}_{3}} = k. \\ \end{gathered} $

Введем функцию

(2)
$\begin{gathered} F({\mathbf{t}}) = \int {\int\limits_\mathcal{G} {\int {{{e}^{{\left( {{\mathbf{t}},{\mathbf{x}}} \right)}}}} } } \rho ({\mathbf{x}})d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}d{{x}_{3}}, \\ {\mathbf{t}} = {{({{t}_{1}},{{t}_{2}},{{t}_{3}})}^{{\text{т}}}},\quad {\mathbf{x}} = {{({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})}^{{\text{т}}}}. \\ \end{gathered} $

Утверждение.

(3)
${{I}_{{{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}} = \frac{{{{\partial }^{k}}F(0,0,0)}}{{\partial t_{1}^{{{{k}_{1}}}}\partial t_{2}^{{{{k}_{2}}}}\partial t_{3}^{{{{k}_{3}}}}}}.$

В справедливости утверждения можно убедиться непосредственно, опираясь на теорему о дифференцировании по параметру под знаком интеграла (см., например, [2, с. 141, п. 297]), условия которой предполагаются выполненными.

Будем называть функцию (2) производящей функцией тензора Эйлера–Пуансо.

2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ

Свойство 1. Пусть $O{\text{'}}x_{1}^{'}x_{2}^{'}x_{3}^{'}$ – прямоугольная правая система координат, оси которой параллельны соответствующим осям системы координат $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, а $\overrightarrow {OO{\text{'}}} = {\mathbf{f}} = {{({{f}_{1}},{{f}_{2}},{{f}_{3}})}^{{\text{т}}}}$. Тогда для таким образом введенных осей производящая функция $F{\text{'}}({\mathbf{t}};{\mathbf{f}})$ такова, что

(4)
$F\,{\text{'}}({\mathbf{t}};{\mathbf{f}}) = \int {\int\limits_\mathcal{G} {\int {{{e}^{{({\mathbf{t}},{\mathbf{x'}})}}}} } } \rho (x{\text{'}})dx_{1}^{'}dx_{2}^{'}dx_{3}^{'} = {{e}^{{ - ({\mathbf{t}},{\mathbf{f}})}}}F({\mathbf{t}}).$

Это свойство доказывается непосредственным вычислением, опирающимся на подстановку ${\mathbf{x}}{\text{'}} = {\mathbf{x}} - {\mathbf{f}}$. Оно аналогично хорошо известной из механики теореме Гюйгенса–Штейнера (см., например, [3]), согласно которой момент инерции твердого тела относительно любой оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Свойство 2. Пусть $Ox_{1}^{{''}}x_{2}^{{''}}x_{3}^{{''}}$ – прямоугольная правая система координат, полученная поворотом из системы координат $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ так, что координаты радиус-вектора одной и той же точки в этих двух системах связаны соотношением ${\mathbf{x}}{\text{''}} = {\mathbf{Sx}}$, где ${\mathbf{S}}$ – ортогональная матрица поворота. Тогда производящая функция $F{\text{''}}({\mathbf{t}};{\mathbf{S}})$ в системе координат $Ox_{1}^{{''}}x_{2}^{{''}}x_{3}^{{''}}$ имеет вид

(5)
$\begin{gathered} F\,{\text{''}}({\mathbf{t}};{\mathbf{S}}) = \int {\int\limits_{\mathcal{G}B} {\int {{{e}^{{\left( {{\mathbf{t}},{\mathbf{x}}''} \right)}}}} } } \rho ({\mathbf{x}}{\text{''}})dx_{1}^{{''}}dx_{2}^{{''}}dx_{3}^{{''}} = \\ = \;\int {\int\limits_\mathcal{G} {\int {{{e}^{{\left( {{\mathbf{t}},{\mathbf{Sx}}} \right)}}}} } } \rho ({\mathbf{x}}){\text{det}}({\mathbf{S}})d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}d{{x}_{3}} = \\ = \;\int {\int\limits_\mathcal{G} {\int {{{e}^{{({{{\mathbf{S}}}^{{\text{т}}}}{\mathbf{t}},{\mathbf{x}})}}}} } } \rho ({\mathbf{x}})d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}d{{x}_{3}} = F({{{\mathbf{S}}}^{{\text{т}}}}{\mathbf{t}}). \\ \end{gathered} $

Замечание 1. Непосредственное преобразование компонент тензора Эйлера–Пуансо при таких заменах систем координат задается несложными, но весьма громоздкими выражениями.

3. ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ

Вычисление производящих функций для некоторых однородных тел приводит к следующим результатам.

Прямоугольный параллелепипед. Пусть тело $\mathcal{G}$ – прямоугольный параллелепипед с ребрами 2a1, 2a2, 2a3. В осях $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, параллельных ребрам параллелепипеда и проходящих через его центр масс, производящая функция принимает вид

(6)
$F({\mathbf{t}};{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}) = 8\frac{{{\text{sh}}({{a}_{1}}{{t}_{1}}){\text{sh}}({{a}_{2}}{{t}_{2}}){\text{sh}}({{a}_{3}}{{t}_{3}})}}{{{{t}_{1}}{{t}_{2}}{{t}_{3}}}}.$

В частности, для куба с ребром 2a

$F({\mathbf{t}};a) = 8\frac{{{\text{sh}}(a{{t}_{1}}){\text{sh}}(a{{t}_{2}}){\text{sh}}(a{{t}_{3}})}}{{{{t}_{1}}{{t}_{2}}{{t}_{3}}}}.$

Равногранный тетраэдр. Пусть тело $\mathcal{G}$ – равногранный тетраэдр (относительно определения и основных свойств см. [4]) с бимеди-анами   $2{{a}_{1}}$, $2{{a}_{2}}$, $2{{a}_{3}}$. Рассмотрим оси $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, направленные вдоль бимедиан и проходящие через центр масс – точку их пересечения. Если в этих осях координаты вершин тетраэдра (a1; –a2; –a3), (–a1; –a2; a3), (–a1; a2; –a3), (a1; a2; a3), то производящая функция принимает вид

(7)
$\begin{gathered} F({\mathbf{t}};{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}) = 4{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}} \times \\ \times \;\sum\limits_{(1,2,3)} {\frac{{{{e}^{{{{a}_{1}}{{t}_{1}}}}}{\text{ch}}({{a}_{2}}{{t}_{2}} + {{a}_{3}}{{t}_{3}}) - {{e}^{{ - {{a}_{1}}{{t}_{1}}}}}{\text{ch}}({{a}_{2}}{{t}_{2}} - {{a}_{3}}{{t}_{3}})}}{{(a_{1}^{2}t_{1}^{2} - a_{2}^{2}t_{2}^{2})(a_{3}^{2}t_{3}^{2} - a_{1}^{2}t_{1}^{2})}}} {{a}_{1}}{{t}_{1}}. \\ \end{gathered} $

В частном случае правильного тетраэдра с бимедианой $2a$ эта функция записывается как

$F({\mathbf{t}};a) = 4\sum\limits_{(1,2,3)} {\frac{{{{e}^{{a{{t}_{1}}}}}{\text{ch}}(({{t}_{2}} + {{t}_{3}})a) - {{e}^{{ - a{{t}_{1}}}}}{\text{ch}}(({{t}_{2}} - {{t}_{3}})a)}}{{(t_{1}^{2} - t_{2}^{2})(t_{3}^{2} - t_{1}^{2})}}} {{t}_{1}}.$

Октаэдр. Пусть тело $\mathcal{G}$ – октаэдр, ребра которого соединяют середины соседних граней прямоугольного параллелепипеда с ребрами $2{{a}_{1}}$, $2{{a}_{2}}$, $2{{a}_{3}}$. В осях $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, соединяющих его противоположные вершины и проходящих через центр октаэдра, производящая функция записывается как

(8)
$\begin{gathered} F({\mathbf{t}};{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}) = 8{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{e}^{{ - {{a}_{3}}{{t}_{3}}}}} \times \\ \times \;\sum\limits_{(1,2,3)} {\frac{{{{a}_{1}}{{t}_{1}}{\text{sh(}}{{a}_{1}}{{t}_{1}})}}{{(a_{1}^{2}t_{1}^{2} - a_{3}^{2}t_{3}^{2})(a_{1}^{2}t_{1}^{2} - a_{2}^{2}t_{2}^{2})}}} . \\ \end{gathered} $

В частном случае правильного октаэдра, вписанного в куб с ребром $2a,$ производящая функция записывается как

$F({\mathbf{t}};a) = 8\sum\limits_{(1,2,3)} {\frac{{{{t}_{1}}{\text{sh}}(a{{t}_{1}})}}{{(t_{1}^{2} - t_{3}^{2})(t_{1}^{2} - t_{2}^{2})}}} .$

Цилиндр. Пусть тело $\mathcal{G}$ – прямой круговой цилиндр с радиусом основания $R$ высотой 2h. Пусть $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ – система координат, начало которой совпадает с центром симметрии цилиндра, а ось Ox3 – с его осью симметрии. Тогда выражение для производящей функции имеет вид

(9)
$\begin{gathered} F({\mathbf{t}};R,h) = 2\pi {{R}^{2}}\frac{{{\text{sh}}({{t}_{3}}h)}}{{{{t}_{3}}}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{{(t_{1}^{2} + t_{2}^{2})}}^{n}}{{R}^{{2n}}}}}{{{{2}^{{2n}}}n!(n + 1)!}}} = \\ = \;4\pi R\frac{{{\text{sh}}({{t}_{3}}h)}}{{{{t}_{3}}\sqrt {t_{1}^{2} + t_{2}^{2}} }}{{J}_{1}}(\sqrt {t_{1}^{2} + t_{2}^{2}} R), \\ \end{gathered} $
где J1(z) – модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 1 (см., например, [5, с. 13, п. 7.2.2]) c аргументом $\sqrt {t_{1}^{2} + t_{2}^{2}} R$.

Конус. Пусть тело $\mathcal{G}$ – прямой круговой конус с радиусом основания $R$ и высотой $h$. В проходящих через центр масс конуса осях $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, с осью Ox3, направленной вдоль высоты, выражение для производящей функции имеет вид

(10)
$F({\mathbf{t}})\, = \,\frac{{\pi {{R}^{2}}}}{{{{h}^{2}}t_{3}^{3}}}{{e}^{{3{{t}_{3}}h/4}}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{{(t_{1}^{2} + t_{2}^{2})}}^{n}}}}{{{{2}^{{2n}}}n!(n\, + \,1)!}}} \mathop {\left( {\frac{R}{{h{{t}_{3}}}}} \right)}\nolimits^{2n} \gamma (2n\, + \,3,h{{t}_{3}}),$
где
$\gamma (2n + 3,h{{t}_{3}}) = \int\limits_0^{h{{t}_{3}}} {{{e}^{{ - t}}}} {{t}^{{2n + 2}}}dt$
есть нижняя неполная гамма-функция.

Трехосный эллипсоид. Пусть тело $\mathcal{G}$ – трехосный эллипсоид с полуосями a1, a2 и a3. В проходящих через центр масс эллипсоида осях $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, совпадающих с его главными осями инерции, выражение для производящей функции имеет вид

(11)
$\begin{gathered} F({\mathbf{t}}) = \frac{{4\pi {{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}}}{{{{\mathcal{T}}^{2}}}}\left( {{\text{ch}}\mathcal{T} - \frac{{{\text{sh}}\mathcal{T}}}{\mathcal{T}}} \right), \\ \mathcal{T} = \mathcal{T}({\mathbf{t}}) = \sqrt {a_{1}^{2}t_{1}^{2} + a_{2}^{2}t_{2}^{2} + a_{3}^{2}t_{3}^{2}} . \\ \end{gathered} $

В случае однородного эллипсоида значение интеграла (1) при произвольных ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$, ${{k}_{3}}$ было найдено Леженом Дирихле в гамма-функциях (см., например, [6, с. 396, п. 676, пример 6]).

Полагая ${{a}_{1}} = {{a}_{2}} = {{a}_{3}} = a$, приходим к производящей функции для шара радиуса a, выражение которой имеет вид

$F({\mathbf{t}}) = \frac{{4\pi {{a}^{3}}}}{{{{\mathcal{T}}^{2}}}}\left( {{\text{ch}}\mathcal{T} - \frac{{{\text{sh}}\mathcal{T}}}{\mathcal{T}}} \right),\quad \mathcal{T} = \mathcal{T}({\mathbf{t}}) = a\sqrt {\left( {{\mathbf{t}},{\mathbf{t}}} \right)} .$

4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ЭЙЛЕРА–ПУАНСО

Как известно (см., например, [7, 8]), тензор инерции J тела и тензор Эйлера–Пуансо второго порядка ${{{\mathbf{I}}}_{2}}$ связаны соотношениями

(12)
$\begin{gathered} {\mathbf{J}} = {\text{Tr}}({{{\mathbf{I}}}_{2}}){\mathbf{E}} - {{{\mathbf{I}}}_{2}},\quad {{{\mathbf{I}}}_{2}} = \frac{1}{2}{\text{Tr}}({\mathbf{J}}){\mathbf{E}} - {\mathbf{J}}, \\ {{{\mathbf{I}}}_{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{I}_{{200}}}}&{{{I}_{{110}}}}&{{{I}_{{101}}}} \\ {{{I}_{{110}}}}&{{{I}_{{020}}}}&{{{I}_{{011}}}} \\ {{{I}_{{101}}}}&{{{I}_{{011}}}}&{{{I}_{{002}}}} \end{array}} \right), \\ \end{gathered} $
где ${\mathbf{E}}$ – единичная матрица 3 × 3. У этих тензоров общие собственные векторы, а вместе с ними – и главные оси инерции.

Цилиндр. Для рассмотренного цилиндра массы m в выбранных осях тензоры ${{{\mathbf{I}}}_{2}}$ и ${\mathbf{J}}$ имеют вид (ср. [9])

$\begin{gathered} {{{\mathbf{I}}}_{2}} = m \cdot {\text{diag}}\left( {\frac{{{{R}^{2}}}}{4},\frac{{{{R}^{2}}}}{4},\frac{{{{h}^{2}}}}{3}} \right), \\ {\mathbf{J}} = m \cdot {\text{diag}}\left( {\frac{{{{R}^{2}}}}{4} + \frac{{{{h}^{2}}}}{3},\frac{{{{R}^{2}}}}{4} + \frac{{{{h}^{2}}}}{3},\frac{{{{R}^{2}}}}{2}} \right). \\ \end{gathered} $

В случае, когда $h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R,$ центральный тензор инерции ${\mathbf{J}}$ шаровой (ср. [10, 11]). Для цилиндра в силу симметрии тензор ${{{\mathbf{I}}}_{3}}$ нулевой, а ненулевые компоненты тензора ${{{\mathbf{I}}}_{4}}$ имеют вид

$\begin{gathered} {{I}_{{400}}} = {{I}_{{040}}} = m\frac{{{{R}^{4}}}}{8},\quad {{I}_{{004}}} = m\frac{{{{R}^{4}}}}{5}, \\ {{I}_{{220}}} = m\frac{{{{R}^{4}}}}{{24}},\quad {{I}_{{022}}} = {{I}_{{202}}} = m\frac{{{{R}^{2}}{{h}^{2}}}}{{12}}. \\ \end{gathered} $

Конус. Для рассмотренного конуса массы m в выбранных осях тензоры ${{{\mathbf{I}}}_{2}}$ и ${\mathbf{J}}$ имеют вид (ср. [9])

$\begin{gathered} {{{\mathbf{I}}}_{2}} = m \cdot {\text{diag}}\left( {\frac{{3{{R}^{2}}}}{{20}},\frac{{3{{R}^{2}}}}{{20}},\frac{{3{{h}^{2}}}}{{80}}} \right), \\ {\mathbf{J}} = \frac{3}{{20}}m \cdot {\text{diag}}\left( {{{R}^{2}} + \frac{{{{h}^{2}}}}{4},{{R}^{2}} + \frac{{{{h}^{2}}}}{4},2{{R}^{2}}} \right). \\ \end{gathered} $

В случае, когда $h = 2R$, центральный тензор инерции ${\mathbf{J}}$ шаровой (ср. [10, 11]). Ненулевые компоненты тензоров ${{{\mathbf{I}}}_{3}}$ и ${{{\mathbf{I}}}_{4}}$ имеют вид

${{{\mathbf{I}}}_{3}}{\text{:}}\,\,\,{{I}_{{003}}} = m\frac{{{{h}^{3}}}}{{160}},\quad {{I}_{{021}}} = {{I}_{{201}}} = - m\frac{{{{R}^{2}}h}}{{80}},$
$\begin{gathered} {{{\mathbf{I}}}_{4}}{\text{:}}\,\,{{I}_{{400}}} = {{I}_{{040}}} = m\frac{{3{{R}^{4}}}}{{56}},\quad {{I}_{{004}}} = m\frac{{39{{h}^{4}}}}{{8960}}, \\ {{I}_{{220}}} = m\frac{{{{R}^{4}}}}{{56}},\quad {{I}_{{022}}} = {{I}_{{202}}} = m\frac{{9{{R}^{2}}{{h}^{2}}}}{{2240}} \\ \end{gathered} $
соответственно.

Замечание 2. Компоненты тензора Эйлера–Пуансо присутствуют в разложениях гравитационного потенциала в ряд по гармоническим многочленам (см., например, [7]). Исследованию их роли в динамике твердого тела посвящены работы Р.С. Суликашвили [10, 11], в которых такая роль изучалась для однородных конуса и цилиндра, а также для тел, обладающих симметриями правильных многогранников [12]. Для ряда малых небесных тел компоненты тензора Эйлера–Пуансо вычислялись в [13–16] вплоть до компонент тензоров четвертого порядка.

Замечание 3. В математической статистике изучаются моменты для непостоянных плотностей распределений вероятностей (см., например, [17]), как правило, нетипичных для теоретической механики. Формы компактных носителей, на которых в математической статистике рассматриваются постоянные плотности распределения, в общем случае, за исключением иллюстрационных примеров, тоже нетипичны для теоретической механики.

Список литературы

  1. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 632 с.

  2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. 464 с.

  3. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 368 с.

  4. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. Cер. Библиотечка Квант. Вып. 31. М.: Наука, 1984. 160 с.

  5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. 296 с.

  6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1956. 656 с.

  7. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. 800 с.

  8. Dobrovolskis A.R. Inertia of Any Polyhedron // Icarus. 1996. V. 124. № 2. P. 698–704.

  9. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т. 2. Динамика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. 544 с.

  10. Суликашвили Р.С. Влияние моментов инерции высших порядков на динамику твердого тела с неподвижной точкой // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1985. С. 90–104.

  11. Суликашвили Р.С. О влиянии моментов инерции третьего и четвертого порядков на движение твердого тела // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 268–274.

  12. Суликашвили Р.С. Стационарные движения тел, допускающих группу симметрии правильных многогранников в ньютоновском поле сил // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 582–586.

  13. Burov A.A., Nikonov V.I. Inertial characteristics of higher orders and dynamics in a proximity of a small celestial body // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2020. V. 16. № 2. P. 259–273.

  14. Буров А.А., Никонов В.И. Вычисление потенциала притяжения астероида (433) Эрос с точностью до членов четвертого порядка // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2020. Т. 492. С. 58–62.

  15. Буров А.А., Никонов В.И. Чувствительность значений компонент тензоров Эйлера–Пуансо к выбору триангуляционной сетки поверхности тела // ЖВМиМФ. 2020. Т. 60. № 10. С. 1764–1776.

  16. Никонов В. И. Гравитационные поля малых небесных тел. М.: Белый ветер, 2020. 68 с.

  17. Triantafyllopoulos K. On the central moments of the multidimensional Gaussian distribution // Math. Scientist. 2003. V. 28. Is. 2. P. 125–128.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал