Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 498, № 1, стр. 57-61

1. Мотивировка. В отличие от краевых задач для уравнения Гельмгольца, описывающих колебательные процессы в акустике, теплопроводности и электродинамике, в спектральных задачах для упругих тел и пластин Кирхгофа обнаруживаются разнообразные, зачастую вполне неожиданные, явления. К последним следует отнести так называемые “черные дыры” для упругих и акустических волн, возникающие при наличии пикообразных заострений, описанные впервые М.А. Мироновым [1] в рамках одномерной модели балки, истончающейся к концу, и реализованные в конкретных устройствах из пластика и металла. Эти разработки получили развитие как в инженерном плане (см. публикации [2–5] и др.), так и в математическом. В частности, в работах [6–8] и др. исследованы непрерывный и точечный спектры операторов плоской и пространственной задач теории упругости, осуществлена постановка энергетических условий излучения в вершине пика и, кроме того, введена унитарная и симметричная матрица рассеяния. Все это позволило дать строгое обоснование эффекту “черной дыры” [1] в рамках спектральной теории самосопряженных операторов: колебания массивной части тела возбуждают волны, распространяющиеся вдоль утончающегося пика с затухающей при приближении к его вершине скоростью, т.е. волны проникают в пик, но не возвращаются из него. Иными словами, упругое пикообразное заострение вбирает в себя кинетическую энергию, превращая ее в конце концов, например, в тепловую.

В настоящем сообщении на основе публикаций автора [9–11] сформулирован совершенно другой механизм поглощения энергии пикообразным заострением, которому в реальности нельзя придать идеальную форму – на самом деле кончик пика всегда оказывается затупленным, что коренным образом изменяет строение спектра упругого тела, в частности, уничтожает непрерывный спектр и тем самым запрещает распространение волн к вершине.

2. Спектр. Как и в работе [1], примем простейшую одномерную модель балки с острым краем (см. рис. 1 и [12, § 33])

Здесь ${{u}^{\varepsilon }}$ – прогиб балки, $\lambda = {{D}^{{ - 1}}}\rho {{H}^{{ - 2}}}{{\omega }^{2}}$ – спектральный параметр, $\omega > 0$ – частота гармонических во времени колебаний, а $D > 0$ и $\rho > 0$ – приведенная цилиндрическая жесткость и плотность балки (постоянные). Кроме того, Hx² – приведенная толщина балки, исчезающая при приближении к концу x = 0, причем произведено масштабирование и коэффициент $H > 0$ устранен из дифференциального оператора $B(x,{{\partial }_{x}})$. Условия Дирихле (2) означают, что массивный торец балки жестко защемлен, а случаю ε = 0 отвечает балка с пикообразным заострением, для которого краевые условия (3) в вершине пика не нужны (см., например, [12, § 33]), а случаю $\varepsilon > 0$ – затупленный пик, кончик которого свободен от внешних воздействий согласно условиям Неймана (3). Процесс изготовления идеального пика сымитируем посредством предельного перехода $\varepsilon \to + 0$.

При $\varepsilon > 0$ задача (1)–(3) обладает дискретным спектром $\sigma _{d}^{\varepsilon }$, образующим неограниченную монотонную положительную последовательность

По понятным причинам кратность каждого собственного числа не превосходит двух. Если же ε = 0 и уравнение (1) вырожденное, то у задачи (1), (2) возникает непрерывный спектр $[{{\lambda }_{\dag }}, + \infty )$. Этот факт проверяется путем несложных вычислений, поскольку (1) – обыкновенное дифференциальное уравнение эйлеровского типа. Так, в случае

у уравнения (1) есть четыре решения где

При этом выше $(\rho > 0)$ порога непрерывного спектра верны соотношения

Только для решения $w_{ + }^{{re}}$ из списка (6) сходятся интегралы упругой и кинетической энергий

Для функций $w_{ \pm }^{{im}}$ эти интегралы характеризуются логарифмической скоростью расходимости, а для функции $w_{ - }^{{re}}$ – степенной. При $\lambda < {{\lambda }_{\dag }}$ уравнение (1) имеет в точности два линейно независимых решения с конечными интегралами (9). Эти обстоятельства и определяют положение непрерывного спектра задачи (1), (2) при ε = 0. Кроме того, у нее отсутствует точечный спектр, в частности, ниже точки отсечки ${{\lambda }_{\dag }}$ у обсуждаемой задачи нет изолированных собственных чисел. Наконец, укажем ее решение, порожденное “приходящей” от точки x = 0 волной

Коэффициент $Q(\lambda )$ востребован не будет, и

3. Асимптотика собственных чисел (4). Следуя [9–11], примем следующий асимптотический анзац для собственной функции задачи (1)–(3) при $\varepsilon > 0$ для фиксированного спектрального параметра (5):

Здесь и далее многоточие заменяет младшие члены асимптотики, не существенные для предпринимаемого анализа. Благодаря множителю ${{\varepsilon }^{{{{A}_{ + }}(\lambda )}}}$ с положительным показателем из (7) при иррегулярном члене $w_{ - }^{{re}}$ невязки в краевых условиях Дирихле (2) в точке x = 1 оказались малыми. Найдем условия, при которых подбор коэффициента $K(\lambda )$ позволит добиться малости невязок в краевых условиях Неймана в точке $x = \varepsilon > 0$. Подставив анзац (12) в два равенства (3), пренебрежем слагаемыми $o({{\varepsilon }^{{3/2}}})$ и $o({{\varepsilon }^{{5/2}}})$ соответственно, а затем исключим коэффициент $K(\lambda )$ из полученной системы двух линейных алгебраических уравнений и при учете формулы (11) для коэффициента $S(\lambda )$ в решении (10) получим соотношение

где

Итак, для тех (малых и положительных) значений параметра $\varepsilon $, при которых соблюдено равенство (13), отделенные члены асимптотики (12) удовлетворяют уравнению (1) и оставляют малые невязки в краевых условиях (2) и (3). Следовательно, общие результаты [13] теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве доказывают существование в $c(\lambda ){{\varepsilon }^{{{{A}_{ + }}(\lambda )}}}$-окрестности точки $\lambda $ собственного числа задачи (1)–(3) из последовательности (4).

4. Мигающие и планирующие собственные числа. Сначала зафиксируем спектральный параметр (5) и устремим размер $\varepsilon $ к нулю. При учете формулы (14) получаем, что равенство (13) выполнено для бесконечно малой последовательности

В результате обнаруживаем вблизи точки $\lambda $ члены $\lambda _{{{{N}_{n}}}}^{{{{\varepsilon }_{n}}}}$ последовательностей (4) с $\varepsilon = {{\varepsilon }_{n}}$. Более того, благодаря понятной непрерывной зависимости спектра от переменной ε > 0 заключаем, что для почти периодической в логарифмическом масштабе бесконечно малой монотонной положительной последовательности ${{\{ \varepsilon _{n}^{ \bullet }\} }_{{n \in \mathbb{N}}}}$ с близкими к (15) членами произвольно выбранная точка $\lambda > {{\lambda }_{\dag }}$ становится собственным числом задачи (1)–(3) с $\varepsilon = \varepsilon _{n}^{ \bullet }$. Наконец, при $\varepsilon \in (\varepsilon _{{n + 1}}^{ \bullet },\varepsilon _{n}^{ \bullet })$ точка $\lambda $ выпадает из спектра $\sigma _{d}^{\varepsilon }$, а значит, ее можно охарактеризовать как “мигающее” собственное число семейства рассматриваемых задач.

Продифференцируем соотношение (13) по переменной ε и пренебрежем младшими асимптотическими членами. В итоге приходим к следующей упрощенной формуле для собственного числа $\lambda _{n}^{\varepsilon }$ с зафиксированным номером $n \in \mathbb{N}$ в последовательности (4):

Итак, члены последовательности с большой скоростью $O(R(\lambda _{n}^{\varepsilon }){{\varepsilon }^{{ - 1}}}{{\left| {ln\varepsilon } \right|}^{{ - 1}}})$ ниспадают вдоль вещественной оси, но, поскольку $R({{\lambda }_{\dag }}) = 0$ (см. формулы (5) и (16)), их скорость уменьшается до нуля при $\lambda _{n}^{\varepsilon } \to {{\lambda }_{\dag }} + 0$, т.е. они плавно “садятся” на точку отсечки непрерывного спектра. Подчеркнем, что на интервале $(0,{{\lambda }_{\dag }})$, свободном от дискретного спектра $\sigma _{d}^{0}$ задачи (1)–(3) при $\varepsilon = 0$, применима классическая теория возмущений самосопряженных операторов [13, гл. 9], и поэтому при малом $\varepsilon > 0$ пересечение $(0,{{\lambda }_{\dag }}) \cap \sigma _{d}^{\varepsilon }$ пусто, т.е. $\lambda _{1}^{\varepsilon } \geqslant {{\lambda }_{\dag }}$ в последовательности (4). Такое поведение – быстрое снижение и посадка с замедлением – свойственно планирующим летальным аппаратам, что и объясняет термин, вынесенный в заголовок раздела.

5. Концентрация спектра. Описанное поведение собственных чисел задачи (1)–(3) при $\varepsilon \to + 0$ подразумевает насыщение спектром $\sigma _{d}^{\varepsilon }$ любого конечного интервала выше точки отсечки ${{\lambda }_{\dag }}$. Приведем асимптотические представления членов $\lambda _{1}^{\varepsilon },\; \ldots ,\;\lambda _{{{{N}^{\varepsilon }}}}^{\varepsilon }$ последовательности (4), расположенных в малой окрестности точки ${{\lambda }_{\dag }}$. Отыскивая собственные числа $\lambda _{k}^{\varepsilon }$ в виде ${{\lambda }_{\dag }} + \mu _{k}^{\varepsilon }$, воспользуемся формулами (8), (14) и после несложных вычислений получим, что

где ${{t}_{0}} \in \mathbb{R}$ – легко вычисляемый, но не играющий существенной роли показатель из следующего представления величины (14):

Подчеркнем, что соотношения (16) и (17) не вступают в противоречие, так как по определению $\Lambda ({{\lambda }_{\dag }} + \mu _{k}^{\varepsilon }) = O(\mu _{k}^{\varepsilon })$.

6. Выводы и замечания. Поскольку распространение волн вдоль пикообразного заострения с затупленным кончиком невозможно (непрерывного спектра нет), обнаруженный [1] эффект “черной дыры” реализуется по иному сценарию. Именно, в балке с близким к идеальному пиком (размер $\varepsilon > 0$ мал) выше точки отсечки ${{\lambda }_{\dag }}$ наблюдается концентрация частот собственных колебаний, т.е. на “почти всех” частотах происходит захват упругой волны, а вовсе не ее пробег к вершине пика. Иными словами, за обсуждаемый эффект отвечают резонансные явления.

Феномен концентрации спектра сужающейся балки на рис. 1б не зависит от типа краевых условий в ее конце $x = \varepsilon $. Например, при замене условий Неймана (3) условиями Дирихле

полученные асимптотические формулы сохраняются в целом и только изменяются коэффициенты (14). Кроме того, постановка других групп краевых условий смешанных и допускающих соответственно нечетное или четное продолжение функции ${{u}^{\varepsilon }}$ через точку $x = \varepsilon $, позволяют без особого труда вывести аналогичные изложенным выше результаты для балки с глубокой выемкой (рис. 2), приведенная толщина которой имеет вид

Одномерная модель балки Кирхгофа переменной толщины не в состоянии предоставить все разнообразие аномалий строения спектра векторных задач теории упругости для пикообразных тел. Так, в трехмерных задачах помимо планирующих появляются малоподвижные собственные числа, порожденные точечным спектром предельной $(\varepsilon = 0)$ задачи (см. [6]). В плоских и пространственных задачах непрерывный спектр приобретает две точки отсечки (см. статью [8]) и выше второй из них наблюдается хаотичное движение собственных чисел при $\varepsilon \to + 0$ (“блуждание” дискретного спектра). Все эти явления описаны в публикациях [9–11], где сформулирован ранее неизвестный способ образования непрерывного спектра из дискретных спектров допредельных задач путем накопления собственных чисел около каждой точки на полуоси.