Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2023, T. 509, № 1, стр. 50-55
СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ ЛАНГРЕНА–МОНИНА–НОВИКОВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТИ ПОЛЯ ВИХРЯ
В. Н. Гребенёв 1, *, А. Н. Гришков 2, **, М. Оберлак 3, ***
1 Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий
Новосибирск, Россия
2 Институт математики и статистики,
Университет Сан-Паулу
Сан-Паулу, Бразилия
3 Дармштадтский технический университет
Дармштадт, Германия
* E-mail: vngrebenev@gmail.com
** E-mail: grishkov@ime.usp.br
*** E-mail: oberlack@fdy.tu-darmstadt.de
Поступила в редакцию 17.05.2022
После доработки 17.05.2022
Принята к публикации 10.08.2022
- EDN: OXVIJA
- DOI: 10.31857/S2686740023010054
Аннотация
A.M. Поляковым предложена программа расширить группу симметрий гидродинамических моделей до конформной инвариантности статистики в обратных каскадах, где конформная группа бесконечномерная. В настоящей работе представлена группа преобразований $G$ уравнения для $n$-точечной функции плотности распределения вероятностей fn (ФПРВ) из бесконечной цепочки уравнений Лангрена–Монина–Новикова (статистическая форма уравнений Эйлера) для поля вихря в двухмерном потоке. Основной результат: группа G конформно преобразует характеристики уравнения с нулевой завихренностью и инвариантно семейство fn-уравнений для ФПРВ вдоль этих линий. Вдоль других характеристик уравнение не является инвариантным. Действие G сохраняет класс ФПРВ. Результаты применимы к исследованию инвариантности статистических характеристик в оптической турбулентности.
А.М. Поляков в работе [1] предложил программу для двумерной статистической теории турбулентности о расширении группы симметрий гидродинамических моделей до конформной инвариантности статистики в обратных каскадах. В этом случае конформная группа является бесконечномерной, что позволяет использовать возможности конформной теории поля [2]. Численные эксперименты, проведенные в работах [3, 4] (см. также обзор [5]), показали, что изолинии (линии нулевой завихренности, температуры) скалярных полей в двумерной турбулентности принадлежат классу SLE (Schramm–Löwner evolution) [5] конформно-инвариантных кривых. Такие кривые появляются как границы кластеров в двумерных критических явлениях, описываемых конформной теорией поля. Групповой анализ первого уравнения для 1-точечной функции плотности распределения вероятностей (ФПРВ) поля вихря из бесконечной цепочки Лангрена–Монина–Новикова (ЛМН) [6–8] для $n$-точечных ФПРВ выполнен в [9] в лагранжевой формулировке в отсутствие внешнего воздействия и нулевой вязкости. Найденная группа симметрии $G$ конформно преобразует характеристики нулевой завихренности и ${{f}_{1}}$-уравнение для ФПРВ инвариантно вдоль нее. Уравнения вдоль других характеристик не являются инвариантными. Эти результаты распространены в [10] на класс гидродинамических моделей для скалярных полей. Доказано, что крупномасштабное трение сохраняет конформную группу преобразований, тогда как вязкость нарушает преобразования симметрии. С использованием группы $G$ в работе [11] для 1-точечной статистики изолиний ${\mathbf{x}}(l)$ с нулевой завихренностью или температурой скалярного поля $\phi $ показана конформная инвариантность меры ${{f}_{1}}({\mathbf{x}}(l),\phi )d\phi $ [5] или вероятности, что случайная кривая ${\mathbf{x}}(l)$ проходит через точку x, где $\phi = 0$ для $l = {{l}_{1}}$. Внешнее воздействие в виде белого гауссова шума и крупномасштабного трения не разрушает группу симметрий. При этом преобразования $G$ сохраняют класс ФПРВ.
Цель сообщения – распространить методологию, полученную в работах [9–11] для вычисления преобразований симметрии 1-точечной статистики, на конформную инвариантность $n$-точечной (n > 1) статистики изолиний ${\mathbf{x}}(l)$. Ключевым моментом является вывод конформного преобразования характеристик уравнения и инвариантность семейства fn-уравнений для ФПРВ вдоль изолиний нулевой завихренности. Будет рассмотрено уравнение для n-точечной ФПРВ fn $(n > 1)$ из бесконечной цепочки ЛМН-уравнений для поля вихря в отсутствие внешнего воздействия и нулевой вязкости в лагранжевой постановке.
1. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ fn-УРАВНЕНИЕМ
Используются следующие обозначение: fn(x(1), ${{\omega }_{{(1)}}}, \ldots ,{{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}},{{\omega }_{{(n)}}},t)$, $n = 1, \ldots $, где ${{\omega }_{{(i)}}}$, $i = 1, \ldots ,n$, – значение компоненты завихренности Ω(x(i), $t)( \equiv {{\Omega }_{{(i)}}})$ в точке ${{{\mathbf{x}}}_{{(i)}}}$ в момент времени t. Далее, верхний индекс будет обозначать компоненту вектора.
Уравнение для $n$-точечной ФПРВ fn бесконечной цепочки ЛМН-уравнений в эйлеровой формулировке в отсутствие внешних сил и нулевой вязкости имеет вид [12]
(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{f}_{n}}}}{{\partial t}} + \sum\limits_{j = 1}^n \left( {\frac{\partial }{{\partial {{x}_{{(j)}}}}}\int {\text{d}}{{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}{\text{d}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{{\alpha }^{1}}({{{\mathbf{r}}}_{{(j,n + 1)}}}){{f}_{{n + 1}}}} \right. + \\ \,\left. { + \frac{\partial }{{\partial {{y}_{{(j)}}}}}\int {\text{d}}{{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}{\text{d}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{{\alpha }^{2}}({{{\mathbf{r}}}_{{(j,n + 1)}}}){{f}_{{n + 1}}}} \right) = 0, \\ \end{gathered} $(2)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{r}}}_{{(sd)}}} = {{{\mathbf{x}}}_{{(s)}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{(d)}}},{\kern 1pt} \quad {{\alpha }^{1}}({{{\mathbf{r}}}_{{(s,d)}}}) = - \frac{1}{{2\pi }}\frac{{r_{{(s,d)}}^{2}}}{{{\text{|}}{{{\mathbf{r}}}_{{(s,d)}}}{{{\text{|}}}^{2}}}}, \\ {{\alpha }^{2}}({{{\mathbf{r}}}_{{(s,d)}}}) = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{r_{{(s,d)}}^{1}}}{{{\text{|}}{{{\mathbf{r}}}_{{(s,d)}}}{{{\text{|}}}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $Далее, будем использовать обозначения
(3)
${{\alpha }^{1}}({{{\mathbf{r}}}_{{(1,n + 1)}}}) = \alpha _{{(1,n + 1)}}^{1},\quad {{\alpha }^{2}}({{{\mathbf{r}}}_{{(1,n + 1)}}}) = \alpha _{{(1,n + 1)}}^{2}.$Класс ФПРВ определяется следующими условиями:
(6)
$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{|{{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}| \to \infty } {{f}_{{n + 1}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}},{{\omega }_{{(1)}}}, \ldots ,{{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}},{{\omega }_{{(n + 1)}}},t) = \\ = {{f}_{1}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}},{{\omega }_{{(n + 1)}}},t) \cdot {{f}_{n}}({{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}},{{\omega }_{{(1)}}}, \ldots ,{{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}},{{\omega }_{{(n)}}},t), \\ \end{gathered} $(7)
$\mathop {\lim }\limits_{|{{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}| \to 0} {{f}_{{n + 1}}} = \delta ({{\omega }_{{(n + 1)}}} - {{\omega }_{{(n)}}}){{f}_{n}}.$Последнее соотношение понимается в смысле обобщенных функций и ведет к равенству вероятностных мер.
Применим метод характеристик для представления гиперболического уравнения (1) в виде динамической системы эволюции лагранжевых частиц, которые движутся согласно условно осредненному полю скорости:
(9)
$\frac{d}{{ds}}{{{\mathbf{X}}}_{{n(j)}}}(s) = {{\left. {\langle {\mathbf{u}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,{{\omega }_{{(l)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}}\rangle } \right|}_{{\{ {{\omega }_{{(l)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}}\} = \left\{ {{{\Omega }_{{(l)}}}(s),{{{\mathbf{X}}}_{{n(l)}}}(s)} \right\}}}},$(11)
${{{\mathbf{X}}}_{{n(j)}}}(0,\{ \omega _{{(l)}}^{0},{\mathbf{x}}_{{(l)}}^{0}\} ) = {\mathbf{x}}_{{(l)}}^{0},$(12)
${{\Omega }_{{n(j)}}}(0,\{ \omega _{{(l)}}^{0},{\mathbf{x}}_{{(l)}}^{0}\} ) = \omega _{{(l)}}^{0}.$Вдоль характеристик уравнение (1) имеет вид
(13)
$\begin{gathered} \frac{{{\text{d}}{{f}_{n}}(s)}}{{{\text{d}}s}} = - {{f}_{n}}(s)\sum\limits_{j = 1}^n \left[ {\frac{\partial }{{\partial {{x}_{{(j)}}}}}\langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{l}},{{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}}\} \rangle } \right. + \\ {{\left. {\left. { + \,\,\frac{\partial }{{\partial {{y}_{{(j)}}}}}\langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(l)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}}\} \rangle } \right]\,} \right|}_{{\{ {{\omega }_{{(l)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}}\} = \left\{ {{{\Omega }_{{(l)}}}(s),{{X}_{{n(l)}}}(s)} \right\}}}}. \\ \end{gathered} $Компоненты скорости определяются формулами
(14)
$\begin{gathered} \langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(l)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}}\} \rangle = \\ \, = \int {\text{d}}{{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}{\text{d}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{{\alpha }^{1}}({{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}) \times \\ \, \times \frac{{{{f}_{{n + 1}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}},{{\omega }_{{(n + 1)}}},\{ {{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}},{{\omega }_{{(l)}}}\} ,t)}}{{{{f}_{n}}(\{ {{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}},{{\omega }_{{(l)}}}\} ,t)}}, \\ \end{gathered} $(15)
$\begin{gathered} \langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(l)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}}\} \rangle = \\ \, = \int {\text{d}}{{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}{\text{d}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{{\alpha }^{2}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}) \times \\ \, \times \frac{{{{f}_{{n + 1}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}},{{\omega }_{{(n + 1)}}},\{ {{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}},{{\omega }_{{(l)}}}\} ,t)}}{{{{f}_{n}}(\{ {{{\mathbf{x}}}_{{(l)}}},{{\omega }_{{(l)}}}\} ,t)}}. \\ \end{gathered} $Используя ${{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}}$, ${{{\mathbf{x}}}_{{(2)}}}, \ldots {{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}}$, введем комплексные переменные
(16)
$\begin{gathered} {{z}_{{(1)}}} = x_{{(1)}}^{1} + ix_{{(1)}}^{2}, \\ {{z}_{{(2)}}} = x_{{(2)}}^{1} + ix_{{(2)}}^{2},\; \\ \ldots ,\; \\ {{z}_{{(n)}}} = x_{{(n)}}^{1} + ix_{{(n)}}^{2}. \\ \end{gathered} $Обозначим ${{\rho }_{{(i)}}} = |{{z}_{{(i)}}}| = ({{z}_{{(i)}}}{{\bar {z}}_{{(i)}}}{{)}^{{1/2}}}$ и ${{\varphi }_{{(i)}}} = {\text{Arg}}({{z}_{{(i)}}})$, $i = 1, \ldots {\kern 1pt} n$, где ${{\bar {z}}_{{(i)}}}$ – сопряженная комплексная переменная. Уравнение (9) в комплексных переменных имеет вид
(17)
$\begin{gathered} \, \times {\text{d}}{{\varphi }_{{(n + 1)}}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}{\text{d}}{{\omega }_{{(n + 1)}}}\alpha _{{(j,n + 1)}}^{1}){{f}_{{n + 1}}}f_{n}^{{ - 1}} + \\ \, + \frac{i}{2}\int ({{{\bar {z}}}_{{(n + 1)}}}{\text{d}}{{z}_{{(n + 1)}}} + {{z}_{{(n + 1)}}}{\text{d}}{{{\bar {z}}}_{{(n + 1)}}}) \times \\ \end{gathered} $Уравнение (17) описывает динамику j-й лагранжевой частицы на j-й компоненте $n$-мерного комплексного пространства ${{C}^{n}} = {{C}_{{(1)}}} \times \ldots \times {{C}_{{(n)}}}$, где ${{C}_{{(j)}}} \simeq C$, так что соответствующая ФПРВ определяется уравнением (13). Таким образом, Z(n)j(s) = = $X_{{n(j),s}}^{1} + iX_{{n(j),s}}^{2}$ – кривая на ${{C}_{{(j)}}}$, вдоль которой компонента $\omega _{{(j)}}^{0}$ вектора $(\omega _{{(1)}}^{0}, \ldots ,\omega _{{(n)}}^{0})$ начальных значений завихренности сохраняется.
2. КОНФОРМНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИК
Для характеристик ${{{\mathbf{X}}}_{{n(j)}}}(s)$, $j = 1, \ldots ,n$, оператор инфинитиземальных преобразований ${{S}_{{(n)}}}$ группы симметрии имеет вид
(18)
$\begin{gathered} {{S}_{{(j)}}} = {{\xi }^{1}}\frac{\partial }{{\partial x_{{(1)}}^{1}}} + {{\xi }^{2}}\frac{\partial }{{\partial x_{{(1)}}^{2}}} + {{\xi }^{3}}\frac{\partial }{{\partial {{\omega }_{{(1)}}}}} + \ldots + {{\xi }^{{3n - 2}}}\frac{\partial }{{\partial x_{{(n)}}^{1}}} + \\ \, + {{\xi }^{{3n - 1}}}\frac{\partial }{{\partial x_{{(n)}}^{2}}} + {{\xi }^{{3n}}}\frac{\partial }{{\partial {{\omega }_{{(n)}}}}} + \eta _{{(n)}}^{1}\frac{\partial }{{\partial {{f}_{n}}}} + {{\xi }^{{3n + 1}}}\frac{\partial }{{\partial x_{{(n + 1)}}^{1}}} + \\ \, + {{\xi }^{{3n + 2}}}\frac{\partial }{{\partial x_{{(n + 1)}}^{2}}} + {{\xi }^{{3n + 3}}}\frac{\partial }{{\partial {{\omega }_{{(n + 1)}}}}} + \eta _{{(n)}}^{2}\frac{\partial }{{\partial {{f}_{{n + 1}}}}}. \\ \end{gathered} $Координаты инфинитиземального оператора определяются следующими формулами
(19)
${{\xi }^{1}} = {{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}})x_{{(1)}}^{1} + {{c}^{{12}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}})x_{{(1)}}^{2} + {{d}^{1}}({{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}}),$(20)
${{\xi }^{2}} = {{c}^{{21}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}})x_{{(1)}}^{1} + {{c}^{{22}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}})x_{{(1)}}^{2} + {{d}^{2}}({{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}}),$(22)
${{\xi }^{{3k - 2}}} = {{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(k)}}})x_{{(k)}}^{1} + {{c}^{{12}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(k)}}})x_{{(k)}}^{2} + {{d}^{1}}({{{\mathbf{x}}}_{{(k)}}}),$(23)
${{\xi }^{{3k - 1}}} = {{c}^{{21}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(k)}}})x_{{(k)}}^{1} + {{c}^{{22}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(k)}}})x_{{(k)}}^{2} + {{d}^{2}}({{{\mathbf{x}}}_{{(k)}}}),$(25)
${{\xi }^{{3n - 2}}} = {{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}})x_{{(n)}}^{1} + {{c}^{{12}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}})x_{{(n)}}^{2} + {{d}^{1}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}}),$(26)
${{\xi }^{{3n - 1}}} = {{c}^{{21}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}})x_{{(n)}}^{1} + {{c}^{{22}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}})x_{{(n)}}^{2} + {{d}^{2}}({{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}}),$(28)
${{\xi }^{{3n + 1}}} = {{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})x_{{(n + 1)}}^{1} + {{c}^{{12}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})x_{{(n + 1)}}^{2} + {{d}^{1}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}),$(29)
${{\xi }^{{3n + 2}}} = {{c}^{{21}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})x_{{(n + 1)}}^{1} + {{c}^{{22}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})x_{{(n + 1)}}^{2} + {{d}^{2}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}),$(31)
$d_{1}^{1}({\mathbf{y}}) = 2{{c}^{{11}}}({\mathbf{y}}) - c_{1}^{{11}}({\mathbf{y}}){{y}^{1}} - c_{1}^{{12}}({\mathbf{y}}){{y}^{2}},$(32)
$d_{2}^{1}({\mathbf{y}}) = - c_{2}^{{11}}({\mathbf{y}}){{y}^{1}} - c_{2}^{{12}}({\mathbf{y}}){{y}^{2}},$(33)
$d_{1}^{2}({\mathbf{y}}) = c_{1}^{{12}}({\mathbf{y}}){{y}^{1}} - c_{1}^{{11}}({\mathbf{y}}){{y}^{2}},$(34)
$d_{2}^{2}({\mathbf{y}}) = 2{{c}^{{11}}}({\mathbf{y}}) + c_{2}^{{12}}({\mathbf{y}}){{y}^{1}} - c_{2}^{{22}}({\mathbf{y}}){{y}^{2}}.$Координаты $\eta _{{(n)}}^{1}$ и $\eta _{{(n)}}^{2}$ имеют вид
(35)
$\begin{gathered} \eta _{{(n)}}^{1} = a_{{(n)}}^{{00}}(t,{{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}}, \ldots ,{{{\mathbf{x}}}_{{(n)}}}){{f}_{n}}, \\ a_{{(n)}}^{{00}} = \frac{{\partial {{\xi }^{0}}}}{{\partial t}} - \left( {\frac{{\partial {{\xi }^{0}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {{\xi }^{1}}}}{{\partial x_{{(1)}}^{1}}} + \frac{{\partial {{\xi }^{2}}}}{{\partial x_{{(1)}}^{2}}} + \ldots + } \right. \\ \, + \left. {\frac{{\partial {{\xi }^{{3n - 2}}}}}{{\partial x_{{(n)}}^{1}}} + \frac{{\partial {{\xi }^{{3n - 1}}}}}{{\partial x_{{(n)}}^{2}}}} \right), \\ \end{gathered} $(36)
$\eta _{{(n)}}^{2} = a_{{(n + 1)}}^{{00}}(t,{{{\mathbf{x}}}_{{(1)}}}, \ldots ,{{{\mathbf{x}}}_{{(n + 1)}}}){{f}_{{(n + 1)}}},$(37)
$\begin{gathered} a_{{(n + 1)}}^{{00}} = \frac{{\partial {{\xi }^{0}}}}{{\partial t}} - \left( {\frac{{\partial {{\xi }^{0}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {{\xi }^{1}}}}{{\partial x_{{(1)}}^{1}}} + \frac{{\partial {{\xi }^{2}}}}{{\partial x_{{(1)}}^{2}}} + \frac{{\partial {{\xi }^{4}}}}{{\partial x_{{(2)}}^{1}}} + } \right. \\ \, + \frac{{\partial {{\xi }^{5}}}}{{\partial x_{{(2)}}^{2}}} + \ldots + \left. {\frac{{\partial {{\xi }^{{3n + 1}}}}}{{\partial x_{{(n + 1)}}^{1}}} + \frac{{\partial {{\xi }^{{3n + 2}}}}}{{\partial x_{{(n + 1)}}^{2}}}} \right). \\ \end{gathered} $Используя ${{\xi }^{1}}$, ${{\xi }^{2}}, \ldots $, ${{\xi }^{{3n - 2}}}$, ${{\xi }^{{3n - 1}}}$, ${{\xi }^{{3n}}}$ и ${{\xi }^{{3n + 1}}}$, получаем
(39)
$\eta _{{(n)}}^{2} = - 2{{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}) - 6\sum\limits_{i = 1}^n {{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(i)}}}).$Инфинитиземальный оператор ${{S}_{{(j)}}}$ порождает группу Ли Gj:
(41)
$\omega _{{(1)}}^{*} = {\text{|}}{{F}_{{(1){{z}_{{(2)}}}}}}{{{\text{|}}}^{2}}{{\omega }_{{(1)}}},$(43)
$\omega _{{(k)}}^{*} = {\text{|}}{{F}_{{(1){{z}_{{(k \ne j)}}}}}}{{{\text{|}}}^{2}}{{\omega }_{{(k)}}},$(45)
$\omega _{{(n + 1)}}^{*} = {\text{|}}{{F}_{{(1){{z}_{{(j)}}}}}}{{{\text{|}}}^{{2/3}}}{{\omega }_{{(n + 1)}}},$(46)
$f_{n}^{*} = \prod\limits_{i = 1}^n {\text{|}}{{F}_{{(1){{z}_{{(i)}}}}}}{{{\text{|}}}^{{ - 2}}}{{f}_{n}},$(47)
$f_{{n + 1}}^{*} = {\text{|}}{{F}_{{(1){{z}_{{(j)}}}}}}{{{\text{|}}}^{{ - 2/3}}}\prod\limits_{i = 1}^n {\text{|}}{{F}_{{(1){{z}_{{(i)}}}}}}{{{\text{|}}}^{{ - 2}}}{{f}_{{n + 1}}},$Компоненты скорости преобразуются инфинитезимально согласно формулам
(48)
$\begin{gathered} \langle u({\mathbf{x}},t)|{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\rangle {\kern 1pt} * = \langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\rangle + \\ \, + 3{{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})a\langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}),t)\,{\text{|}}\,{{\omega }_{{(j)}}}),{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})\rangle + \\ \, + {{c}^{{12}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})a\langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\rangle + \mathcal{O}({{a}^{2}}), \\ \end{gathered} $(49)
$\begin{gathered} \langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\rangle {\kern 1pt} * = \langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\rangle - \\ \, - {{c}^{{12}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)a\langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\rangle + \\ \, + 3{{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)a\langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\rangle + \mathcal{O}({{a}^{2}}). \\ \end{gathered} $Уравнения характеристик описывают осредненную динамику класса лагранжевых частиц в пространстве ${\mathbf{D}} = {{{\mathbf{D}}}_{{(1)}}} \times \ldots \times {{{\mathbf{D}}}_{{(n)}}}$:
(50)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{D}}}_{{(j)}}} = \{ {{C}_{{(j)}}},{{C}_{{(n + 1)}}},{{X}_{{(j)s}}},{{\omega }_{{(j + 1)}}},{\text{d}}{{z}_{{(n + 1)}}}, \\ {\text{d}}{{{\bar {z}}}_{{(n + 1)}}},{\text{d}}{{\omega }_{{(n + 1)}}},{{f}_{n}},{{f}_{{n + 1}}}\} , \\ j = 1, \ldots ,n. \\ \end{gathered} $Группа преобразований G, действующая в D, – прямое произведение групп Ли ${{G}_{{(j)}}}$ т.е. G = = ${{G}_{{(1)}}} \times \ldots \times {{G}_{{(n)}}}$ и G есть снова группа Ли. Подставляя преобразованные группой Ли G величины в уравнения (8)–(10) и используя (48), (49) и методологию вычислений работы [9], получаем инвариантность характеристик (8)–(10).
3. КОНФОРМНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ fn-УРАВНЕНИЯ
Чтобы понять, как группа G преобразует fn‑уравнение из бесконечной ЛМН-цепочки, рассматривается эквивалентная форма уравнений (13), записанная вдоль характеристик (8)–(10). ФПРВ fn и ${{f}_{{nt}}}$ преобразовываются под действием группы $G$ как
(51)
$\begin{gathered} f_{n}^{*} = {{f}_{n}} + \eta _{{(n)}}^{1} + \mathcal{O}({{a}^{2}}) \equiv \\ \, \equiv {{f}_{n}} - 6a\sum\limits_{j = 1}^n {{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}){{f}_{{(n)}}} + \mathcal{O}({{a}^{2}}), \\ \end{gathered} $(52)
$\begin{gathered} f_{{nt}}^{*} = {{f}_{{nt}}} + a{{D}_{t}}(\eta _{{(n)}}^{1}) + \mathcal{O}{{a}^{2}}) = {{f}_{{nt}}} - \\ \, - \sum\limits_{j = 1}^n 6{{c}^{{11}}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}){{f}_{{nt}}}a - 6\sum\limits_{j = 1}^n \left( {{{f}_{n}}c_{{X_{{n(j)}}^{1}}}^{{11}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})X_{{n(j)t}}^{1} - } \right. \\ \, - \left. {{{f}_{n}}c_{{X_{{n(j)}}^{2}}}^{{11}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})X_{{n(j)t}}^{2}} \right) + \mathcal{O}({{a}^{2}}). \\ \end{gathered} $Далее следуем алгоритму, представленному в работе [9]. Производные компонент скорости преобразуются инфинитиземально согласно формулам
(53)
$\begin{gathered} {{\left[ {{{{\langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\left\{ {{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}} \right\}\rangle }}_{{x_{{(j)}}^{1}}}}} \right]}^{*}} = \\ \, = {{\langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\} \rangle }_{{x_{{(j)}}^{1}}}} + \zeta _{{x_{{(j)}}^{1}}}^{u}a + \mathcal{O}({{a}^{2}}), \\ \end{gathered} $(54)
$\begin{gathered} {{\left[ {{{{\langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\left\{ {{{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}} \right\}\rangle }}_{{x_{{(j)}}^{2}}}}} \right]}^{*}} = \\ \, = {{\langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\} \rangle }_{{x_{{(j)}}^{2}}}} + \zeta _{{x_{{(j)}}^{2}}}^{{v}}a + \mathcal{O}({{a}^{2}}), \\ \end{gathered} $(55)
$\begin{gathered} \, + 6c_{{x_{{(j)}}^{2}}}^{{11}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})\langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\} \rangle - \\ \, - 6c_{{x_{{(j)}}^{1}}}^{{11}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}){{\omega }_{{(j)}}}{{\langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\} \rangle }_{{{{\omega }_{{(j)}}}}}} - \\ \end{gathered} $Далее уравнение (13) записывается в преобразованных переменных, используя (51)–(54) и (55). Члены порядка a имеют вид (промежуточные вычисления опущены):
(56)
$\begin{gathered} \left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}} \times \,{{{[\left\langle u \right.({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\} \rangle }}_{{x_{{(j)}}^{1}}}} + \left\langle u \right.({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\} {{\rangle }_{{x_{{(j)}}^{2}}}}]} \right) + \\ + \,{{f}_{n}}6c_{{x_{{(j)}}^{1}}}^{{11}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}})\langle u({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\} \rangle \, + \,6{{f}_{n}}c_{{x_{{(j)}}^{2}}}^{{11}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}) \times \\ \, \times \langle {v}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}},t)\,{\text{|}}\,\{ {{\omega }_{{(j)}}},{{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}\} \rangle - {{f}_{n}}6c_{{x_{{(j)}}^{1}}}^{{11}}({{{\mathbf{x}}}_{{(j)}}}){{\omega }_{{(j)}}} \times \\ \end{gathered} $Подставляя уравнения (8)–(10) и (13) в (56), получаем, что остаются только два последних слагаемых в (56). Эти слагаемые обращаются в ноль на изолиниях ${{\Omega }_{{(l)}}}(s) = 0$, $l = 1,...,n$. Условие инвариантности (13), т.е. равенство нулю (56), ведет к тому, что только уравнение (13) вдоль характеристик с нулевой завихренностью преобразуется инвариантно под действием группы Ли G. При этом изолинии ${{\Omega }_{{(l)}}}(s) = 0$ преобразуются конформно. Полученный результат находится в согласии с результатами численных экспериментов [3] и при l = 1 с вычислениями [9]. Инвариантность класса ФПРВ, т.е. соотношений (4)–(7), под действием группы G проверяется непосредственной проверкой, как в [9].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Преобразования G будут использованы для исследования свойств инвариантности fn-уравнения при внешнем воздействии в виде белого гауссова шума и крупномасштабного трения для пассивного скалярного поля.
Полученные результаты применимы к исследованию инвариантности статистических характеристик оптической турбулентности, описываемой двумерным нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ). В НУШ проявляется множество структур, включающих и оптическую турбулентность. Применение преобразования Маделунга [13] позволяет преобразовать дефокусирующее НУШ, как это сделано в [14], в уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости и перейти к статистическому описанию оптических вихрей.
Список литературы
Polyakov A.M. The theory of turbulence in two dimensions // Nuclear Phys. B. 1993. V. 396. N. 23. P. 367–385.
Belavin A.A.,Polyakov A.M., Zamolodchikov A. A. Conformal field theory // Nuclear Phys. B. 1984. V. 241. P. 333–380.
Bernard D., Boffetta G., Celani A., Falkovich G. Conformal invariance in two-dimensional turbulence // Nature Physics. 2006. V. 2. P. 124–128.
Bernard D., Boffetta G., Celani A., Falkovich G. Inverse Turbulent Cascades and Conformally Invariant Curves // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 98. P. 024501–504.
Falkovich G. Conformal invariance in hydrodynamic turbulence // Russian Math. Surveys. 2007. V. 63. P. 497–510.
Lundgren T.S. Distribution functions in the statistical theory of turbulence // Phys. Fluids. 1967. V. 10. P. 969–975.
Monin A.S. Equations of turbulent motion // Prikl. Mat. Mekh. 1967. V. 31. P. 1057–1068.
Novikov E.A. Kinetic equations for a vortex field // Sov. Phys. Dokl. V. 12. P. 1006-8.
Grebenev V.N., Wacławczyk M., Oberlack M. Conformal invariance of the zero-vorticity Lagrangian path in 2D turbulence // J. Phys. A: Math. Theor. 2019. V. 50. P. 335501.
Wacławczyk M., Grebenev V.N., Oberlack M. Conformal invariance of characteristic lines in a class of hydrodynamic models // Symmetry. 2020. V. 12. P. 1482.
Wacławczyk M., Grebenev V.N., Oberlack M. Conformal invariance of the $1$-point statistics of the zero-isolines of $2d$ scalar fields in inverse turbulent cascades // Physical Review Fluids. 2021. V. 6. P. 084610.
Friedrich R., Daitche A., Kamps O., Lülff J., Michel Voßkuhle M., Wilczek M. The Lundgren-Monin-Novikov hierarchy: Kinetic equations for turbulence // C.R. Physique. 2012. V. 13. P. 929–953.
Madelung E. Quantentheorie in hydrodynamischer form // Zeitschrift für Physik. 1927. V. 40. P. 322–326.
Bustamante M.D., Nazarenko S.V. Derivation of the Biot–Savart equation from the nonlinear Schrödinger equation // Phys. Rev. E. 2015. V. 92. P. 053019.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
Пн.-пт.: 10.00-19.00