Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2023, T. 509, № 1, стр. 56-62

МОМЕНТНО-МЕМБРАННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГИХ ГИБКИХ ПЛАСТИН КАК КОНТИНУАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЛИСТА ГРАФЕНА

Член-корреспондент Национальной академии наук Армении С. О. Саркисян^1, *

¹ Ширакский государственный университет
Гюмри, Армения

Поступила в редакцию 04.09.2022
После доработки 04.09.2022
Принята к публикации 11.10.2022

EDN: UPPFNJ
DOI: 10.31857/S2686740023020098

Аннотация

В предположении о малости деформаций, изгибно-крутильных характеристик и углов поворота (в том числе и углов свободного поворота) элементов пластинки на основе трехмерной геометрически-нелинейной моментной теории упругости c сохранением лишь тех нелинейных членов, которые происходят от нормального перемещения (прогиба) и его производных, построена геометрически нелинейная моментно-мембранная теория упругих пластин как континуальная теория деформаций гибкого графена. Для указанной нелинейной теории упругих пластин, введением функций напряжений, разрешающие уравнения представлены также в смешанной форме: это система уравнений равновесия поперечно-изгибной деформации, составленная в деформированном состоянии пластинки, с присоединением уравнений неразрывности деформаций, выраженных через функции напряжений и функции прогиба. Для геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин установлен вариационный принцип типа Лагранжа.

Ключевые слова: гибкая пластинка, моментно-мембранная теория, лист графена, континуальная модель

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1–5] обосновывается учет моментных взаимодействий между атомами двумерных наноматериалов и, одновременно, как континуальная модель деформаций этих материалов, устанавливается трехмерная моментная теория упругости. Известно также [6], что деформация кристаллических материалов на нано- и мезоуровнях происходит по схеме “сдвиг плюс поворот”. Становится актуальной задача о построении на основе моментной теории упругости линейной, а также геометрически нелинейной модели пластин или оболочек, подчиняющейся деформационной концепции “сдвиг плюс поворот”, как континуальных моделей деформации двумерных наноматериалов.

Необходимо отметить, что в работе [7], принимая за основу, что у двумерных наноматериалов межатомное взаимодействие – силовое нецентральное и моментное, заменяя эти взаимодействия соответствующей стержневой линейной моделью, построена дискретно-континентальная (стержневая) модель этих материалов. Далее, из полученной стержневой модели, осуществляя предельный переход к континуальной, как континуальная модель двумерных наноматериалов, устанавливается моментно-мембранная линейная теория упругих оболочек [8, 9]. В частности, для графена (при соответствующих деформациях) устанавливаются линейные модели плоского напряженного состояния и поперечной изгибной деформации моментно-мембранной теории упругих пластин, при этом вычисляются все упругие постоянные моментной теории упругости для материала графена. В работе [10], на основе модели поперечной изгибной деформации моментно-мембранной теории упругих пластин, изучаются некоторые прикладные задачи статического поперечного изгиба прямоугольного листа графена.

В данной работе построена моментно-мембранная модель упругой пластинки при больших прогибах, которая представляется как геометрически нелинейная модель для графена как гибкого материала.

Отметим, что общая геометрически нелинейная теория тонких оболочек в рамках моментной теории упругости построена в работе [11] (см. также обзорную работу [12]).

1. ИСХОДНЫЕ ГИПОТЕЗЫ МОМЕНТНО-МЕМБРАННОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГИХ ПЛАСТИН. ДЕФОРМАЦИИ И ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. УСИЛИЯ И МОМЕНТЫ. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. СООТНОШЕНИЯ УПРУГОСТИ

Пусть положения точек тела в первоначальном состоянии определяются их проекциями x, y, z на оси некоторой прямоугольной системы декартовых координат X, Y, Z.

Рассмотрим две бесконечно близкие материальные точки M(x, y, z) и $N\left( {x + dx,\,\,y + dy,\,\,z + dz} \right)$ недеформированного упругого тела, которые после деформации переместятся в точки $M{\kern 1pt} *\left( {\xi ,\,\eta ,\,\zeta } \right)$ и $N{\kern 1pt} *\left( {\xi + d\xi ,\;\eta + d\eta ,\;\zeta + d\zeta } \right)$. Вектор M*N* (с проекциями $d\xi ,\,\,d\eta ,\,\,d\zeta $) определяет величину и направление линейного элемента тела, величина и направление которого до деформации были заданы вектором ${\mathbf{{\rm M}{\rm N}}}$ (с проекциями $dx,\,\,dy,\,\,dz$). Каждое составляющее вектора M*N* связано как с вектором перемещения ${\mathbf{V}}\left( {{{V}_{1}},\,{{V}_{2}},\,{{V}_{3}}} \right)$, так и с вектором независимого поворота ${\mathbf{\omega }}\left( {{{\omega }_{1}},\,{{\omega }_{2}},\,{{\omega }_{3}}} \right)$. Связь $d\xi ,\,\,d\eta ,\,\,d\zeta $ от вектора перемещения приведена в работе [13]. Что касается вклада в эти проекции от вектора независимого поворота, следует учесть, что в моментной теории упругости каждая точка тела рассматривается как тело-точка [14]. Имея в виду это обстоятельство, можем констатировать, что бесконечно малый вектор MN поворачивается как твердое тело. Следовательно, при свободном повороте вектор MN получает перемещение как элемент жесткого тела: $d{\mathbf{r}} \times {\mathbf{\omega }}$ (где dr = $\{ dx,dy,dz\} $). Таким образом, для $d\xi ,d\eta ,d\zeta $ окончательно можем написать:

$d\xi = \left( {1 + \frac{{\partial {{V}_{1}}}}{{\partial x}}} \right)dx + \left( {\frac{{\partial {{V}_{1}}}}{{\partial y}} + {{\omega }_{3}}} \right)dy + \left( {\frac{{\partial {{V}_{1}}}}{{\partial z}} - {{\omega }_{2}}} \right)dz,$

(1)

$d\eta \, = \,\left( {\frac{{\partial {{V}_{2}}}}{{\partial x}} - {{\omega }_{3}}} \right)dx\, + \,\left( {1 + \frac{{\partial {{V}_{2}}}}{{\partial y}}} \right)dy\, + \,\left( {\frac{{\partial {{V}_{2}}}}{{\partial z}}\, + \,{{\omega }_{1}}} \right)dz,$

$d{{\zeta }} = \left( {\frac{{\partial {{V}_{3}}}}{{\partial x}} + {{\omega }_{2}}} \right)dx + \left( {\frac{{\partial {{V}_{3}}}}{{\partial y}} - {{\omega }_{1}}} \right)dy + \left( {1 + \frac{{\partial {{V}_{3}}}}{{\partial z}}} \right)dz.$

На основе дифференциальных соотношений (1) в трехмерной моментной геометрически нелинейной теории упругости можно определить в данной точке тела относительные удлинения элементов $\left\{ {dx,\,0,\,0} \right\}$, $\left\{ {0,\,dy,\,0} \right\}$, $\left\{ {0,\,0,\,dz} \right\}$; сдвиговые деформации в плоскостях xy, yz, yz и изгибно-крутильные характеристики деформации.

В дальнейшем рассматриваемое тело будем считать пластинкой толщиной $2h$ (со срединной плоскостью $z = 0$).

Геометрически нелинейную теорию пластин по моментной теории упругости будем строить в предположении, что удлинения, сдвиги и углы поворота элементов пластинки малы по сравнению с единицей; будем сохранять лишь те нелинейные члены [13], которые происходят только от нормального перемещения ${{V}_{3}}\,$ и его производных.

Для приведения трехмерной задачи геометрически нелинейной моментной теории упругости к двумерной (моментно-мембранной теории пластин) будем применять следующие гипотезы [8, 9]:

1. Компоненты вектора перемещения и вектора независимого поворота не зависят от поперечной координаты z, т.е.

(2)

$\begin{gathered} {{V}_{i}} = {{u}_{i}}\left( {x,y} \right),\quad i = 1,2;\quad {{V}_{3}} = w\left( {x,y} \right), \\ {{\omega }_{k}} = {{\Omega }_{k}}\left( {x,y} \right),\quad k = 1,2,3. \\ \end{gathered} $

2. Пренебрегаются напряжения ${{\sigma }_{{33}}},$ $\,{{\sigma }_{{31}}},$ ${{\sigma }_{{32}}}$ и моментные напряжения ${{\mu }_{{33}}},$ ${{\mu }_{{31}}},$ $\,{{\mu }_{{32}}}$, соответственно, относительно напряжений ${{\sigma }_{{11}}}$, ${{\sigma }_{{22}}}$, ${{\sigma }_{{12}}}$, ${{\sigma }_{{21}}}$, ${{\sigma }_{{13}}}$, ${{\sigma }_{{23}}}$ и моментных напряжений ${{\mu }_{{11}}}$, ${{\mu }_{{22}}}$, ${{\mu }_{{12}}}$, ${{\mu }_{{21}}},$ ${{\mu }_{{13}}},$ ${{\mu }_{{23}}}$.

На основе кинематической гипотезы (2), используя соответствующие соотношения трехмерной теории, для компонентов тензоров деформаций и изгибов-кручений геометрически нелинейной моменто-мембранной теории упругих пластин, получим:

$\begin{gathered} {{\gamma }_{{11}}} = {{\Gamma }_{{11}}}(x,y) = \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial x}} + \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^{2}}, \\ {{\gamma }_{{22}}} = {{\Gamma }_{{22}}}(x,y) = \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial y}} + \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)}^{2}}, \\ \end{gathered} $

(3)

${{\gamma }_{{12}}} = {{\Gamma }_{{12}}}(x,y) = \left( {\frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial x}} - {{\Omega }_{3}}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{\partial w}}{{\partial x}} \cdot \frac{{\partial w}}{{\partial y}},$

$\begin{gathered} {{\gamma }_{{21}}} = {{\Gamma }_{{21}}}(x,y) = \left( {\frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial y}} + {{\Omega }_{3}}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{\partial w}}{{\partial x}} \cdot \frac{{\partial w}}{{\partial y}}, \\ {{\chi }_{{13}}} = {{k}_{{13}}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial {{\Omega }_{3}}}}{{\partial x}},\quad {{\chi }_{{23}}} = {{k}_{{23}}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial {{\Omega }_{3}}}}{{\partial y}}; \\ \end{gathered} $

${{\gamma }_{{13}}} = {{\Gamma }_{{13}}}(x,y) = \frac{{\partial w}}{{\partial x}} + {{\Omega }_{2}},$

(4)

$\begin{gathered} {{\gamma }_{{23}}} = {{\Gamma }_{{23}}}(x,y) = \frac{{\partial w}}{{\partial y}} - {{\Omega }_{1}}, \\ {{\chi }_{{11}}} = {{k}_{{11}}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial {{\Omega }_{1}},}}{{\partial x}},\quad {{\chi }_{{22}}} = {{k}_{{22}}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial {{\Omega }_{2}}}}{{\partial y}}, \\ \end{gathered} $

${{\chi }_{{12}}} = {{k}_{{12}}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial {{\Omega }_{2}}}}{{\partial x}},\quad {{\chi }_{{21}}} = {{k}_{{21}}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\partial {{\Omega }_{1}}}}{{\partial y}}.$

Отметим, что полученные выше результаты (2)–(4) представляют собой выражения перемещений и свободных поворотов, деформаций и изгибов-кручений моментно-мембранной теории упругих гибких пластин в объемной области трехмерной пластинки, в частности, и в области ее срединной плоскости.

Напряженное состояние гибкой пластинки в пределах сделанных допущений может рассматриваться как результат наложения двух состояний: одно из них соответствует напряжениям и моментным напряжениям, равномерно распределенным по толщине пластинки, которое отвечает плоскому напряженному состоянию, а второе отвечает состоянию поперечного изгиба (т.е. напряжениям и моментным напряжениям, также равномерно распределенным по толщине пластинки). Плоскому напряженному состоянию отвечают напряжения ${{\sigma }_{{11}}},$ ${{\sigma }_{{22}}},$ ${{\sigma }_{{12}}},$ ${{\sigma }_{{21}}}$ и моментные напряжения ${{\mu }_{{13}}},$ ${{\mu }_{{23}}}$; напряженному состоянию поперечного изгиба отвечают напряжения ${{\sigma }_{{13}}},$ ${{\sigma }_{{23}}}$ и моментные напряжения ${{\mu }_{{11}}},$ ${{\mu }_{{22}}},$ ${{\mu }_{{12}}},$ ${{\mu }_{{21}}}$.

В теории пластин вместо напряжений и моментных напряжений удобно оперировать статически эквивалентными им внутренними усилиями и моментами, отнесенными к единице длины соответствующей координатной линии $x$ и $y$ срединной плоскости:

${{T}_{{ii}}} = \int\limits_{ - h}^h {{{\sigma }_{{ii}}}dz = 2} {{\sigma }_{{ii}}}h,\quad {{S}_{{ij}}} = \int\limits_{ - h}^h {{{\sigma }_{{ij}}}dz = 2} {{\sigma }_{{ij}}}h,$

(5)

$\begin{gathered} {{L}_{{i3}}} = \int\limits_{ - h}^h {{{\mu }_{{i3}}}dz = 2} {{\mu }_{{i3}}}h,\quad {{N}_{{i3}}} = \int\limits_{ - h}^h {{{\sigma }_{{i3}}}dz = 2} {{\sigma }_{{i3}}}h, \\ {{L}_{{ii}}} = \int\limits_{ - h}^h {{{\mu }_{{ii}}}dz = 2} {{\mu }_{{ii}}}h, \\ \end{gathered} $

${{L}_{{ij}}} = \int\limits_{ - h}^h {{{\mu }_{{ij}}}dz = 2} {{\mu }_{{ij}}}h,\quad i \ne j = 1,2.$

Обозначим внешнюю силу, нормальную к срединной плоскости и приходящуюся на единицу ее площади, через ${{q}_{z}} = {{q}_{z}}\left( {x,y} \right)$.

Рассматривая условия равновесия элемента пластинки $\left( {dx \times dy} \right)$ в плоскости xy, находим для усилий и моментов три уравнения

(6)

$\begin{gathered} \frac{{\partial {{{\rm T}}_{{11}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{S}_{{21}}}}}{{\partial y}} = 0,\quad \frac{{\partial {{S}_{{12}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{{\rm T}}_{{22}}}}}{{\partial y}} = 0, \\ \frac{{\partial {{L}_{{13}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{L}_{{23}}}}}{{\partial y}} + {{S}_{{12}}} - {{S}_{{21}}} = 0. \\ \end{gathered} $

Условия равновесия моментов относительно осей y и x дают еще два уравнения:

(7)

$\frac{{\partial {{L}_{{12}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{L}_{{22}}}}}{{\partial y}} - {{{\rm N}}_{{13}}} = 0,\quad \frac{{\partial {{L}_{{11}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{L}_{{21}}}}}{{\partial y}} + {{{\rm N}}_{{23}}} = 0.$

При составлении уравнения равновесия сил, нормальных к срединной плоскости, будем учитывать, что в связи с изгибом пластинки усилия ${{T}_{{11}}},{{T}_{{22}}},{{S}_{{12}}},{{S}_{{21}}}$ образуют проекции на ось z.

Так, усилия ${{T}_{{11}}}dy$ и $\left( {{{T}_{{11}}} + \frac{{\partial {{T}_{{11}}}}}{{\partial x}}dx} \right)dy$, приложенные к сторонам элемента x = const и $x + dx$ = = const, поворачиваются соответственно на угол $\frac{{\partial w}}{{\partial x}}$ и $\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + ~\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)dx$ и дают равнодействующую проекций на ось $~z - \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{{T}_{{11}}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)dxdy$.

Подобные выражения находим для других усилий: ${{T}_{{22}}},\;{{S}_{{12}}},\;{{S}_{{21}}}$. Суммируя, получим

$\frac{{\partial \left( {{{T}_{{11}}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {{{T}_{{22}}}\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {{{S}_{{12}}}\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {{{S}_{{21}}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}}{{\partial y}}.$

Это выражение на основании первых двух уравнений равновесия из (6) получает вид

(8)

${{T}_{{11}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{T}_{{22}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}} + {{S}_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}} + {{S}_{{21}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}}.$

Тогда в дополнение к уравнениям равновесия (6), (7) получаем шестое уравнение равновесия:

(9)

$\begin{gathered} \frac{{\partial {{{\rm N}}_{{13}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{{\rm N}}_{{23}}}}}{{\partial y}} + {{T}_{{11}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{T}_{{22}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \\ \, + {{S}_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}} + {{S}_{{21}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}} + {{q}_{z}} = 0. \\ \end{gathered} $

Таким образом, в геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин уравнениями равновесия будут уравнения (6), (7), (9).

Так как все рассуждения будем вести в рамках физически линейных соотношений, следовательно, физические соотношения упругости геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин будут оставаться такими, какими они выражались в соответствующей линейной теории [8, 9]:

(10)

$\begin{gathered} {{T}_{{ii}}} = \frac{{2{\rm E}h}}{{1 - {{\nu }^{2}}}}\left( {{{\Gamma }_{{ii}}} + \nu {{\Gamma }_{{jj}}}} \right), \\ {{S}_{{ij}}} = 2h\left( {\mu + \alpha } \right){{\Gamma }_{{ij}}} + 2h\left( {\mu - \alpha } \right){{\Gamma }_{{ji}}}, \\ {{L}_{{i3}}} = 2Bh{{k}_{{i3}}}, \\ \end{gathered} $

(11)

$\begin{gathered} {{{\rm N}}_{{i3}}} = 2G{\kern 1pt} *h{{\Gamma }_{{13}}}, \\ {{L}_{{ii}}} = 2h\left( {\gamma + \varepsilon } \right)\left[ {{{k}_{{ii}}} + \frac{1}{2}{{\upsilon }_{m}}\left( {2{{k}_{{ii}}} + {{k}_{{jj}}}} \right)} \right], \\ {{L}_{{ij}}} = 2h\left( {\gamma + \varepsilon } \right)\left( {{{k}_{{ij}}} + \frac{1}{2}{{\upsilon }_{m}}{{k}_{{ji}}}} \right), \\ \end{gathered} $

где

(12)

$\begin{gathered} i \ne j = 1,2,\quad B = \frac{{4\gamma \varepsilon }}{{\gamma + \varepsilon }}, \\ G{\kern 1pt} * = \frac{{4\mu \alpha }}{{\mu + \alpha }},\quad {{\upsilon }_{m}} = 2\frac{{\gamma - \varepsilon }}{{\gamma + \varepsilon }}, \\ \end{gathered} $

$E,\mu = \frac{E}{{2\left( {1 + \nu } \right)}},$ $\alpha ,\gamma ,\varepsilon ,\beta = \frac{{\gamma - \varepsilon }}{{\gamma + \varepsilon }}2\gamma $ [7] – упругие постоянные моментной теории упругости. Отметим, что для двумерных наноматериалов, в частности для графена, используются не указанные упругие постоянные, а следующие величины [5, 7]:

(13)

$\begin{gathered} E_{*}^{{}} = 2Eh,\quad \mu _{*}^{{}} = 2\mu h,\quad \alpha _{*}^{{}} = 2\alpha h, \\ \gamma _{*}^{{}} = 2\gamma h,\quad \varepsilon _{*}^{{}} = 2\varepsilon h, \\ \end{gathered} $

а также

(14)

$D_{*}^{{}} = 2G_{{}}^{*}h,\quad D{\kern 1pt} ' = 2\left( {\gamma + \varepsilon } \right)h,\quad B_{*}^{{}} = 2Bh.$

Таким образом, построена определяющая система уравнений геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин. Это уравнения равновесия (6), (7), (9), геометрические соотношения (3), (4) и физические соотношения упругости (10), (11). Всего 30 уравнений; неизвестных функций тоже 30 (${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$, w, ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$, ${{\Omega }_{3}}$; ${{\Gamma }_{{11}}}$, ${{\Gamma }_{{22}}}$, ${{\Gamma }_{{12}}}$, ${{\Gamma }_{{21}}}$, ${{k}_{{13}}}$, ${{k}_{{23}}}$; ${{\Gamma }_{{13}}}$, ${{\Gamma }_{{23}}}$, ${{k}_{{11}}}$, ${{k}_{{22}}}$, ${{k}_{{12}}}$, ${{k}_{{21}}}$; ${{{\rm T}}_{{11}}}$, ${{{\rm T}}_{{22}}}$, ${{S}_{{12}}}$, ${{S}_{{21}}}$, ${{L}_{{13}}}$, ${{L}_{{23}}}$; ${{{\rm N}}_{{13}}}$, ${{{\rm N}}_{{23}}}$, ${{L}_{{11}}}$, ${{L}_{{22}}}$, ${{L}_{{12}}}$, ${{L}_{{21}}}$). Определяющая система уравнений геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин 12-го порядка, с шестью граничными условиями на каждом краю срединной плоскости $\left( s \right)$ пластинки. (Ниже эти граничные условия будем получать после установления вариационного принципа возможных перемещений для этой теории.)

Если соотношения упругости (10), (11) и геометрические соотношения (3), (4) подставить в уравнения равновесия (6), (7), (9), приходим к разрешающей системе уравнений геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин относительно величин ${{u}_{1}}$, ${{u}_{2}}$, w, ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$, ${{\Omega }_{3}}$.

2. УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНО-МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ УПРУГИХ ПЛАСТИН В СМЕШАННОЙ ФОРМЕ

Судя по структуре выражений (3), тангенциальные деформации и изгибы-кручения должны быть связаны между собой определенными зависимостями: в эти выражения входят одни и те же перемещения ${{u}_{1}},{{u}_{2}},w$ и независимый поворот ${{\Omega }_{3}}$. Для установления этих зависимостей будем исключить из выражений ${{\Gamma }_{{11}}}$ и ${{\Gamma }_{{21}}}$ перемещение ${{u}_{1}}$ и, аналогично, из выражений ${{\Gamma }_{{22}}}$ и ${{\Gamma }_{{12}}}$ – перемещение ${{u}_{2}}$. Тогда, с учетом формул для ${{k}_{{13}}},\,\,{{k}_{{23}}}$ из (3), после некоторых преобразований получим соотношения

(15)

$\begin{gathered} \frac{{\partial {{\Gamma }_{{21}}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{\Gamma }_{{11}}}}}{{\partial y}} - {{k}_{{13}}} = \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} \cdot \frac{{\partial w}}{{\partial y}} - \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}} \cdot \frac{{\partial w}}{{\partial x}}, \\ \frac{{\partial {{\Gamma }_{{22}}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{\Gamma }_{{12}}}}}{{\partial y}} - {{k}_{{23}}} = \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}} \cdot \frac{{\partial w}}{{\partial y}} - \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}} \cdot \frac{{\partial w}}{{\partial x}} \\ \end{gathered} $

(можно формально присоединить к этим соотношениям также $\frac{{\partial {{k}_{{13}}}}}{{\partial y}} = \frac{{\partial {{k}_{{23}}}}}{{\partial x}}$, которое выполняется тождественно).

Соотношения (15) будут представлять собой уравнения совместности или неразрывности деформаций в моментно-мембранной геометрически нелинейной теории упругих пластин.

Далее введем функции напряжений. Рассмотрим уравнения равновесия (6). Следуя работам [15–17], введем функции, аналогичные функции напряжений Эри в плоской задаче классической теории упругости:

(16)

$\begin{gathered} {{{\rm T}}_{{11}}} = \frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial y}},\quad {{S}_{{21}}} = - \frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial x}},\quad {{S}_{{12}}} = - \frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial y}}, \\ {{{\rm T}}_{{22}}} = \frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial x}},\quad {{L}_{{13}}} = \frac{{\partial \psi }}{{\partial x}},\quad {{L}_{{23}}} = \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}}. \\ \end{gathered} $

В этом случае первые два уравнения (6) тождественно удовлетворяются. Подставляя (16) в третье уравнение (6), получим

$\frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{y}^{2}}}} - \frac{{\partial {{\phi }_{2}}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {{\phi }_{1}}}}{{\partial x}} = 0,$

которое запишем в виде

(17)

$\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial \psi }}{{\partial x}} + {{\phi }_{1}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{\phi }_{2}} - \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}}} \right).$

Введем функцию $\varphi $ по правилу

(18)

$\frac{{\partial \psi }}{{\partial x}} + {{\phi }_{1}} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}},\,\,\,\,\,{{\phi }_{2}} - \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}.$

Тогда третье уравнение (6) также будет удовлетворяться тождественно.

Выразим через $\varphi $ и $\psi $ усилия ${{T}_{{11}}}$, ${{T}_{{22}}}$, ${{S}_{{12}}}$, ${{S}_{{21}}}$ и моменты ${{L}_{{13}}}$, ${{L}_{{23}}}$, получим

(19)

$\begin{gathered} {{T}_{{11}}} = \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{y}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial x\partial y}},\quad {{T}_{{22}}} = \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial x\partial y}}, \\ {{S}_{{12}}} = - \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial x\partial y}} - \frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{y}^{2}}}},\quad {{S}_{{21}}} = - \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{x}^{2}}}}, \\ {{L}_{{13}}} = \frac{{\partial \psi }}{{\partial x}},\quad {{L}_{{23}}} = \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}}. \\ \end{gathered} $

Таким образом, для усилий ${{T}_{{11}}}$, ${{T}_{{22}}}$, ${{S}_{{12}}}$, ${{S}_{{21}}}$ и моментов ${{L}_{{13}}}$, ${{L}_{{23}}}$, принимая представления (19), будут тождественно удовлетворены все три уравнения равновесия (6).

Из трех оставшихся уравнений равновесия (7), (9) с учетом соотношений упругости (11) и геометрических соотношений (4) получим систему вида:

$\Delta w + \left( {\frac{{\partial {{\Omega }_{2}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {{\Omega }_{1}}}}{{\partial y}}} \right) + \frac{1}{{D_{*}^{{}}}}\left( {{{T}_{{11}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + } \right.$

(20)

$\begin{gathered} \, + \left. {{{T}_{{22}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}} + {{S}_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}} + {{S}_{{21}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}}} \right) + \frac{{{{q}_{z}}}}{{D_{*}^{{}}}} = 0, \\ \Delta {{\Omega }_{1}} + {{\upsilon }_{m}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial {{\Omega }_{1}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{\Omega }_{2}}}}{{\partial y}}} \right) + \frac{{D_{*}^{{}}}}{{D{\kern 1pt} '}}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial y}} - {{\Omega }_{1}}} \right) = 0, \\ \end{gathered} $

$\Delta {{\Omega }_{2}} + {{\upsilon }_{m}}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial {{\Omega }_{1}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{\Omega }_{2}}}}{{\partial y}}} \right) - \frac{{D_{*}^{{}}}}{{D{\kern 1pt} '}}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + {{\Omega }_{2}}} \right) = 0.$

Если иметь в виду соотношения (19), получим, что система (20) содержит пять неизвестных функций: w, ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$, $\varphi $, $\psi $. Для решения задачи рассмотрим уравнение неразрывности (совместности) деформаций (15) (при этом необходимо из соотношений упругости (10) ${{\Gamma }_{{11}}}$, ${{\Gamma }_{{22}}}$, ${{\Gamma }_{{12}}}$, ${{\Gamma }_{{21}}}$, ${{k}_{{13}}}$, ${{k}_{{23}}}$ выразить через усилия ${{T}_{{11}}}$, ${{T}_{{22}}}$, ${{S}_{{12}}}$, ${{S}_{{21}}}$ и моменты ${{L}_{{13}}}$, ${{L}_{{23}}}$, а для последних применить соотношения (19)), в результате получим следующие два уравнения:

$\frac{\partial }{{\partial x}}[l_{*}^{2}\Delta - 1]\psi - \frac{{B_{*}^{{}}}}{{{\rm E}_{*}^{{}}}}\frac{{\partial \left( {\Delta \varphi } \right)}}{{\partial y}} = $

(21)

$\begin{gathered} \, = \frac{1}{2}B_{*}^{{}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}}\frac{{\partial w}}{{\partial y}} - \frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right), \\ \frac{\partial }{{\partial y}}[l_{*}^{2}\Delta - 1]\varphi + \frac{{B_{*}^{{}}}}{{{\rm E}_{*}^{{}}}}\frac{{\partial \left( {\Delta \varphi } \right)}}{{\partial x}} = \\ \end{gathered} $

$\, = \frac{1}{2}B_{*}^{{}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}}\frac{{\partial w}}{{\partial y}} - \frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right),$

где

(22)

$l_{*}^{2} = \frac{{B_{*}^{{}}(\mu _{*}^{{}} + \alpha _{*}^{{}})}}{{4\mu _{*}^{{}}\alpha _{*}^{{}}}}.$

Уравнения (20), (21) образуют систему нелинейных дифференциальных уравнений (в смешанной форме) геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин, т.е. систему уравнений геометрически нелинейной континуальной теории деформаций листа графена.

Легко убедиться, что если в уравнениях (20), (21) пренебречь нелинейными членами, то получим $\varphi \equiv 0$, $\psi \equiv 0$ (следовательно, ${{T}_{{11}}} = {{T}_{{22}}}$ = = ${{S}_{{12}}} = {{S}_{{21}}}$ = 0), и система (20) переходит к системе уравнений поперечного изгиба моментно-мембранной линейной теории упругих пластин [8, 9].

3. ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ЛАГРАНЖА. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНО-МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ УПРУГИХ ПЛАСТИН

Согласно принципу возможных перемещений равновесное положение системы характеризуется равенством

(23)

$\delta U = \delta A,$

где $\delta A$ – работа внешних сил и моментов на соответствующих возможных обобщенных перемещениях, $\delta U$ – вариация потенциальной энергии деформации пластинки.

Имея в виду, что на основе принятых кинематических гипотез перемещение и свободные повороты, следовательно, деформации, изгиб-кручения, напряжения и моментные напряжения не зависят от координаты z, для вариации потенциальной энергии деформации прямоугольной пластинки $a \times b$ (учитывая принятые статические гипотезы и соотношения (3)–(5)) получим

(24)

$\begin{gathered} \delta U = \iint\limits_{\left( s \right)} {\left( {{{{\rm T}}_{{11}}}\delta {{\Gamma }_{{11}}} + {{{\rm T}}_{{22}}}\delta {{\Gamma }_{{22}}} + {{S}_{{12}}}\delta {{\Gamma }_{{12}}}} \right.} + {{S}_{{21}}}\delta {{\Gamma }_{{21}}} + \\ \, + {{L}_{{13}}}\delta {{k}_{{13}}} + {{L}_{{23}}}\delta {{k}_{{23}}} + {{N}_{{13}}}\delta {{\Gamma }_{{13}}} + {{N}_{{23}}}\delta {{\Gamma }_{{23}}} + \\ \, + {{L}_{{11}}}\delta {{k}_{{11}}} + \left. {{{L}_{{22}}}\delta {{k}_{{22}}} + {{L}_{{12}}}\delta {{k}_{{12}}} + {{L}_{{21}}}\delta {{k}_{{21}}}} \right)dxdy. \\ \end{gathered} $

Вычислим работу внешних сил и моментов на обобщенных возможных перемещениях. Учитывая гипотезы построения геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин, для работы внешних контурных усилий и моментов приложенных на гранях срединной плоскости пластинки $x = 0,\,a$ и $y = 0,\,b$, на обобщенных возможных перемещениях $\delta {{u}_{1}},$ $\delta {{u}_{2}},$ $\delta w,$ $\delta {{\Omega }_{1}},$ $\delta {{\Omega }_{2}},$ $\delta {{\Omega }_{3}},$ получим

$\begin{gathered} \delta A = \int\limits_0^b {\left[ {\mathop {{{{\bar {{\rm T}}}}_{{11}}}\delta {{u}_{1}} + {{{\bar {S}}}_{{12}}}\delta {{u}_{2}}}\limits_{}^{} \, + } \right.} \\ \, + \left( {{{{\bar {{\rm N}}}}_{{13}}} + {{{\bar {{\rm T}}}}_{{11}}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + {{{\bar {S}}}_{{12}}}\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)\delta w + \\ \end{gathered} $

(25)

$\begin{gathered} \left. {\left. {\, + \mathop {{{{\bar {L}}}_{{13}}}\delta {{\Omega }_{3}} + {{{\bar {L}}}_{{11}}}\delta {{\Omega }_{1}} + {{{\bar {L}}}_{{12}}}\delta {{\Omega }_{2}}}\limits_{}^{} } \right]dy} \right|_{{x = 0}}^{{x = a}} + \\ \, + \int\limits_0^a {\left[ {\mathop {{{{\bar {S}}}_{{21}}}\delta {{u}_{1}} + {{{\bar {T}}}_{{22}}}\delta {{u}_{2}}}\limits_{}^{} } \right.} + \\ \, + \left( {{{{\bar {N}}}_{{23}}} + {{{\bar {S}}}_{{21}}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + {{{\bar {T}}}_{{22}}}\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)\delta w + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, + \left. {\left. {\mathop {{{{\bar {L}}}_{{23}}}\delta {{\Omega }_{3}} + {{{\bar {L}}}_{{21}}}\delta {{\Omega }_{1}} + {{{\bar {L}}}_{{22}}}\delta {{\Omega }_{2}}}\limits_{}^{} } \right]dx} \right|_{{y = 0}}^{{y = b}} + \\ \, + \iint\limits_{\left( s \right)} {{{q}_{z}}\delta wdxdy.} \\ \end{gathered} $

После подстановки выражений (24), (25) в (23) вариационное уравнение принципа возможных перемещений примет свой окончательный вид:

$\begin{gathered} \int\limits_0^a {\left[ {\left( {{{S}_{{21}}} - {{{\bar {S}}}_{{21}}}} \right)\delta {{u}_{1}} + \left( {{{T}_{{22}}} - {{{\bar {T}}}_{{22}}}} \right)\delta {{u}_{2}} + } \right.} \\ \, + (N_{{23}}^{*} - \bar {N}_{{23}}^{*})\delta w + \left( {{{L}_{{23}}} - {{{\bar {L}}}_{{23}}}} \right)\delta {{\Omega }_{3}} + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \left. {\left. {\, + \left( {{{L}_{{21}}} - {{{\bar {L}}}_{{21}}}} \right)\delta {{\Omega }_{1}} + \left( {{{L}_{{22}}} - {{{\bar {L}}}_{{22}}}} \right)\delta {{\Omega }_{2}}} \right]dx} \right|_{{y = 0}}^{{y = b}} + \\ \, + \int\limits_0^b {\left[ {\left( {{{T}_{{11}}} - {{{\bar {T}}}_{{11}}}} \right)\delta {{u}_{1}} + \left( {{{S}_{{12}}} - {{{\bar {S}}}_{{12}}}} \right)\delta {{u}_{2}} + } \right.} \\ \, + (N_{{13}}^{*} - \bar {N}_{{13}}^{*})\delta w + \left( {{{L}_{{13}}} - {{{\bar {L}}}_{{13}}}} \right)\delta {{\Omega }_{3}} + \\ \end{gathered} $

(26)

$\begin{gathered} \left. {\,\left. { + \left( {{{L}_{{11}}} - {{{\bar {L}}}_{{11}}}} \right)\delta {{\Omega }_{1}} + \left( {{{L}_{{12}}} - {{{\bar {L}}}_{{12}}}} \right)\delta {{\Omega }_{2}}} \right]dy} \right|_{{x = 0}}^{{x = a}} = \\ = \iint\limits_{\left( s \right)} {\left[ {\left( {\frac{{\partial {{{\rm T}}_{{11}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{S}_{{21}}}}}{{\partial y}}} \right)} \right.}\left( {\delta {{u}_{1}} + \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\delta w} \right) + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, + \left( {\frac{{\partial {{S}_{{12}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{{\rm T}}_{{22}}}}}{{\partial y}}} \right)\left( {\delta {{u}_{2}} + \frac{{\partial w}}{{\partial y}}\delta w} \right) + \\ \, + \left( {\frac{{\partial {{L}_{{13}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{L}_{{23}}}}}{{\partial y}} + {{S}_{{12}}} - {{S}_{{21}}}} \right)\delta {{\Omega }_{3}} + \\ \, + \left( {\frac{{\partial {{N}_{{13}}}}}{{\partial x}}} \right. + \frac{{\partial {{N}_{{23}}}}}{{\partial y}} + {{T}_{{11}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{T}_{{22}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}} + {{S}_{{12}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}} + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \left. {\, + {{S}_{{21}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial x\partial y}} + {{q}_{z}}} \right)\delta w + \left( {\frac{{\partial {{L}_{{11}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{L}_{{21}}}}}{{\partial y}} + {{N}_{{23}}}} \right)\delta {{\Omega }_{1}} + \\ \left. {\, + \left( {\frac{{\partial {{L}_{{12}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{L}_{{22}}}}}{{\partial y}} - {{N}_{{13}}}} \right)\delta {{\Omega }_{2}}} \right]dxdy = 0, \\ \end{gathered} $

где

(27)

$\begin{gathered} N_{{13}}^{*} = {{N}_{{13}}} + {{T}_{{11}}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + {{S}_{{12}}}\frac{{\partial w}}{{\partial y}}, \\ N_{{23}}^{*} = {{N}_{{23}}} + {{S}_{{21}}}\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + {{T}_{{22}}}\frac{{\partial w}}{{\partial y}}. \\ \end{gathered} $

Из вариационного уравнения (26) принципа возможных перемещений следуют уравнения равновесия (6), (7), (9) и следующие граничные условия на контурных линиях срединной плоскости пластинки:

(28)

$\begin{gathered} {{T}_{{11}}} = {{{\bar {T}}}_{{11}}},\quad {{S}_{{12}}} = {{{\bar {S}}}_{{12}}},\quad N_{{13}}^{*} = \bar {N}_{{13}}^{*},\quad {{L}_{{13}}} = {{{\bar {L}}}_{{13}}}, \\ {{L}_{{11}}} = {{{\bar {L}}}_{{11}}},\quad {{L}_{{12}}} = {{{\bar {L}}}_{{12}}},\quad {\text{на}}\quad x = 0,\quad a, \\ {{S}_{{21}}} = {{{\bar {S}}}_{{21}}},\quad {{T}_{{22}}} = {{{\bar {T}}}_{{22}}},\quad N_{{23}}^{*} = \bar {N}_{{23}}^{*},\quad {{L}_{{23}}} = {{{\bar {L}}}_{{23}}}, \\ {{L}_{{21}}} = {{{\bar {L}}}_{{21}}},\quad {{L}_{{22}}} = {{{\bar {L}}}_{{22}}},\quad {\text{на}}\quad x = 0,\quad b. \\ \end{gathered} $

Таким образом, для геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин установлено вариационное уравнение типа Лагранжа (это уравнение (23) с учетом выражений (24) и (25)). На основе этого вариационного уравнения, для решения краевых задач геометрически нелинейной моментно-мембранной теории пластин, можно применять известные вариационные методы, а также разрабатывать вариант, применяя метод конечных элементов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе построена геометрически нелинейная моментно-мембранная теория упругих пластин как континуальная теория деформаций листа гибкого графена. Установлены определяющая система уравнений (уравнения равновесия, физические соотношения упругости и геометрические соотношения), а также уравнения совместности деформаций указанной нелинейной теории упругих пластин. Введено понятие функций напряжений, разрешающие уравнения геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин представлены в смешанной форме: это система уравнений равновесия поперечно-изгибной деформации, составленная в деформированном состоянии пластинки, с присоединением к этой системе уравнения неразрывности деформаций, выраженное через функции напряжений. На основе применения принципа возможных перемещений составлены уравнения равновесия в вариационной форме, а также установлены граничные условия геометрически нелинейной моментно-мембранной теории упругих пластин.

Список литературы

Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // ДАН. 2003. Т. 391. № 6. С. 764–768.
Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 595–615.
Беринский И.Е., Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графена // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 5. С. 6–16.
Кузькин В.А., Кривцов А.М. Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы // ДАН. 2011. Т. 440. № 4. С. 476–479.
Современные проблемы механики. Механические свойства ковалентных кристаллов. / Беринский И.Е. [и др.]; под общ. ред. А.М. Кривцова, О.С. Лобода. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. 160 с.
Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е. Основы физической мезомеханики структурно-неоднородных сред // Известия РАН. МТТ. 2010. № 4. С. 8–29.
Саркисян С.О. Стержневая и континуально-моментная модели деформаций двумерных наноматериалов // Физ. мезомех. 2022. Т. 25. № 2. С. 109–121.
Саркисян С.О. Модель тонких оболочек в моментной теории упругости с деформационной концепцией “сдвиг плюс поворот” // Физ. мезомех. 2020. Т. 23. №4. С. 13–19.
Саркисян С.О. Вариационные принципы моментно-мембранной теории оболочек // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2022. № 1. С. 38–47.
Саркисян С.О. Поперечный изгиб листа графена по моментно-мембранной континуальной теории упругих пластин / Монография “Актуальные проблемы прочности”. Минск: НАН Беларуси, 2020. Глава 8. С. 99–105.
Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. М.: Наука, 2008. 280 с.
Eremeyev V., Altenbach H. Basics of Mechanics of Micropolar Shells / In: Shell-like Structures. CISM International Centre for Mechanical Sciences (Courses and Lectures), ed. by H. Altenbach, V. Eremeyev. Springer, 2017. V. 572. P. 63–112.
Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: ГУТТЛ, 1948. 210 с.
Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. 340 с.
Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.
Миндлин Р.Д. Влияния моментных напряжений на концентрации напряжений // Сб. пер. иностр. статей: “Механика”. 1964. Вып. 4 (88). С. 115–128.
Nowacki W., Olszak W. Micropolar Elasticity. Wien: Springer-Verlag, 1974. 168 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал