Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 493, № 1, стр. 21-25

ГЕОМЕТРИЯ ФАКТОРИЗАЦИОННЫХ ТОЖДЕСТВ ДЛЯ ДИСКРИМИНАНТОВ

Е. Н. Михалкин^1, *, В. А. Степаненко^1, **, А. К. Цих^1, ***

¹ Сибирский федеральный университет
Красноярск, Россия

^* E-mail: mikhalkin@bk.ru
^** E-mail: v-stepanen@mail.ru
^*** E-mail: atsikh@sfu-kras.ru

Поступила в редакцию 22.05.2020
После доработки 22.05.2020
Принята к публикации 04.06.2020

DOI: 10.31857/S268695432004013X

Аннотация

Рассматриваются дискриминант ${{\Delta }_{n}}$ общего многочлена степени $n$ и многогранник Ньютона $\mathcal{N}$ этого дискриминанта. Приводится геометрическое доказательство факта того, что срезки ${{\Delta }_{n}}$ на грани $\mathcal{N}$ являются произведениями дискриминантов степеней меньше $n$. Основой доказательства являются свойства сигма-процесса для логарифмического отображения Гаусса нулевого множества дискриминанта.

Ключевые слова: дискриминант, многогранник Ньютона, логарифмическое отображение Гаусса, параметризация Горна–Капранова

Мероморфное отображение $f{\kern 1pt} :\;X \to Y$ аналитических множеств (пространств) целесообразно рассматривать как аналитическое подмножество в $X \times Y$, являющееся замыканием ${{\overline G }_{f}}$ графика f. Слои в ${{\overline G }_{f}}$ над точками неопределенности могут рассматриваться как “раздутие” или “стягивание” [1]. Наиболее прозрачная схема указанных раздутий и стягиваний просматривается для отображений, являющихся обращениями логарифмического отображения Гаусса [2]. В теории гипергеометрических функций эти обращения называются параметризациями Горна–Капранова [3, 4].

Цель настоящей работы состоит в изучении параметризации Горна–Капранова и на примере параметризации классического дискриминанта доказываются дискриминантные тождества для срезок дискриминанта. Такие тождества можно получить, используя сложную технику теории A-детерминантов [5, гл. 10].

Дискриминантом многочлена

(1)

$f(y) = {{a}_{0}} + {{a}_{1}}y + \ldots + {{a}_{n}}{{y}^{n}}$

называется неприводимый многочлен Δ_n = ${{\Delta }_{n}}({{a}_{0}}$, a₁, ..., a_n) с целочисленными коэффициентами, который обращается в нуль тогда и только тогда, когда f имеет кратные корни. Дискриминанты играют важную роль в математике, о чем свидетельствуют фундаментальные монографии [5, 6]. Приведенное здесь дискриминантное тождество (2) мотивировано исследованиями структуры универсальной алгебраической функции [6–9], в теории сингулярностей [10] и в тропической математике [11]. Указанное тождество в виде гипотезы было приведено в статье [12].

Известно [5], что многогранник Ньютона $\mathcal{N}({{\Delta }_{n}})$ ⊂ ${{\mathbb{R}}^{{n + 1}}}$ указанного дискриминанта комбинаторно эквивалентен $(n - 1)$-мерному кубу. Поскольку такой куб имеет ${{2}^{{n - 1}}}$ вершин, естественно кодировать вершины $N({{\Delta }_{n}})$ всевозможными подмножествами из множества $\{ 1, \ldots ,n - 1\} $. Многогранник $\mathcal{N}({{\Delta }_{n}})$ имеет n – 1 гиперграней $\{ h_{k}^{0}\} $, лежащих в координатных гиперплоскостях $\{ {{t}_{k}} = 0\} $, $k = 1, \ldots ,n - 1$ (предполагается, что в объемлющем пространстве ${{\mathbb{R}}^{{n + 1}}}$ выбраны координаты t = (t₀, t₁, ..., ${{t}_{{n - 1}}},{{t}_{n}})$). Каждая гипергрань $h_{k}^{0}$ имеет ${{2}^{{n - 2}}}$ вершин, которые кодируются подмножествами $I \subset \{ 1, \ldots ,n - 1\} $, не содержащими k. Через ${{h}_{k}}$ обозначим противоположную грань к $h_{k}^{0}$, вершины которой кодируются подмножествами I, содержащими k (явное уравнение для содержащей ${{h}_{k}}$ гиперплоскости дается формулой (6) в разделе 1).

Нас интересуют срезки дискриминанта ${{\Delta }_{n}}$ на гиперграни его многогранника $\mathcal{N}({{\Delta }_{n}})$. Напомним, что срезкой многочлена $\Delta $ на грань $h$ его многогранника $\mathcal{N}(\Delta )$ называют сумму всех мономов из $\Delta $, показатели которых принадлежат h; такую срезку будем обозначать $\Delta {{{\text{|}}}_{h}}$. Срезки ${{\Delta }_{n}}{{{\text{|}}}_{{h_{k}^{0}}}}$ на координатные гиперграни $h_{k}^{0}$ являются неприводимыми многочленами. Цель настоящего сообщения – доказать следующее утверждение о факторизации срезок дискриминанта ${{\Delta }_{n}}$ на некоординатные гиперграни ${{h}_{k}}$.

Теорема. Каждая срезка ${{\Delta }_{n}}{{{\text{|}}}_{{{{h}_{k}}}}}$ дискриминанта многочлена степени n факторизуется в виде произведения

(2)

$a_{k}^{2}{{\Delta }_{k}}({{a}_{0}},{{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{k}}){{\Delta }_{{n - k}}}({{a}_{k}},{{a}_{{k + 1}}}, \ldots ,{{a}_{n}}),$

где ${{\Delta }_{k}}$, ${{\Delta }_{{n - k}}}$ – дискриминанты многочленов

${{f}_{k}} = {{a}_{0}} + {{a}_{1}}y + \ldots + {{a}_{k}}{{y}^{k}},$

${{f}_{{n - k}}} = {{a}_{k}} + {{a}_{{k + 1}}}y + \ldots + {{a}_{n}}{{y}^{{n - k}}}$

степеней k и $n - k$.

Заметим, что для k = 1 первый дискриминант в правой части (2) тождественно равен единице: ${{\Delta }_{1}}({{a}_{0}},{{a}_{1}}) \equiv 1$. Аналогичная ситуация с множителем ${{\Delta }_{1}}({{a}_{{n - 1}}},{{a}_{n}})$ для $k = n - 1$. Таким образом, срезки ${{\Delta }_{n}}$ на гиперграни ${{h}_{1}}$ и ${{h}_{{n - 1}}}$ с точностью до мономов $a_{1}^{2}$ и $a_{{n - 1}}^{2}$ совпадают с дискриминантами ${{\Delta }_{{n - 1}}}$ многочленов степени $n - 1$.

Для доказательства этой теоремы мы вначале в разделе 1 приводим аналогичное утверждение для экстремальной части дискриминанта (лемма 1). Таким образом заключаем, что многогранники Ньютона полиномов слева и справа в (2) совпадают. Затем в разделе 3 доказываем, что нулевое множество срезки $a_{k}^{{ - 2}}{{\Delta }_{n}}{{{\text{|}}}_{{{{h}_{k}}}}}$ содержит объединение нулевых множеств участвующих в (2) дискриминантов ${{\Delta }_{k}}$ и ${{\Delta }_{{n - k}}}$ (для этого мы используем параметризации нулевых множеств указанных трех дискриминантов). Тогда по теории пересечений получаем равенство (2).

Чуть более технический анализ позволяет распространить утверждение теоремы для срезок на грани

${{h}_{K}}: = {{h}_{{{{k}_{1}}}}} \cap \ldots \cap {{h}_{{{{k}_{p}}}}},$

полученные пересечением p гиперграней. Мультииндекс $K = \{ {{k}_{1}}, \ldots ,{{k}_{p}}\} $ определяет разбиение набора $\{ 0,1, \ldots ,n\} $ на p + 1 поднаборов (отрезков)

${{K}_{i}} = \{ {{k}_{i}},{{k}_{i}} + 1, \ldots ,{{k}_{{i + 1}}}\} ,\quad i = 0,1, \ldots ,p,$

считая ${{k}_{0}}$ = 0, ${{k}_{{p + 1}}} = n$. Обозначим через l_i := := ${{k}_{{i + 1}}} - {{k}_{i}}$ длину K_i и

${{f}_{{{{K}_{i}}}}}: = {{a}_{{{{k}_{i}}}}} + {{a}_{{{{k}_{i}} + 1}}}y + \ldots + {{a}_{{{{k}_{{i + 1}}}}}}{{y}^{{{{l}_{i}}}}}.$

В указанных обозначениях срезка ${{\Delta }_{n}}$ на грань ${{h}_{K}}$ факторизуется в виде

${{\Delta }_{n}}{{|}_{{{{h}_{K}}}}} = a_{K}^{2}\prod\limits_{i = 0}^p \,{{\Delta }_{{{{l}_{i}}}}}({{f}_{{{{K}_{i}}}}}),$

где $a_{K}^{2} = a_{{{{k}_{1}}}}^{2} \ldots a_{{{{k}_{p}}}}^{2}$, а ${{\Delta }_{{{{l}_{i}}}}}$ – дискриминанты многочленов степеней l_i.

1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЙ ДИСКРИМИНАНТ И ФАКТОРИЗАЦИЯ ЕГО СРЕЗОК

Сумму мономов дискриминанта ${{\Delta }_{n}}$, показатели которых пробегают множество вершин многогранника $\mathcal{N}({{\Delta }_{n}})$, обозначим ${{\hat {\Delta }}_{n}}$, и назовем экстремальным дискриминантом.

Лемма 1. Для каждого $k \in \{ 1, \ldots ,n - 1\} $ срезка ${{\hat {\Delta }}_{n}}{{{\text{|}}}_{{{{h}_{k}}}}}$ экстремального дискриминанта на гипергрань ${{h}_{k}}$ факторизуется в виде произведения

$a_{k}^{2}{{\hat {\Delta }}_{k}}({{a}_{0}},{{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{k}}) \cdot {{\hat {\Delta }}_{{n - k}}}({{a}_{k}},{{a}_{{k + 1}}}, \ldots ,{{a}_{n}})$

с экстремальными дискриминантами ${{\hat {\Delta }}_{k}}$ и ${{\hat {\Delta }}_{{n - k}}}$ многочленов степеней k и n – k.

Доказательство леммы 1 основано на формулах для мономов ${{\hat {\Delta }}_{n}}$, т.е. для экстремальных мономов самого дискриминанта ${{\Delta }_{n}}$. Эти формулы были получены Гельфандом, Капрановым и Зелевинским (см. [5, теоремы 2.2 и 2.3 главы 12]) с помощью сложной алгебраической техникой теории A-детерминантов. Отметим, что другое доказательство этой теоремы дал В. Батырев [13], используя лишь классический метод Ньютона выделения ветвей алгебраической функции. Это утверждение о мономах состоит в следующем.

Утверждение. Многогранник Ньютона дискриминанта многочлена (1) комбинаторно эквивалентен (n – 1)-мерному кубу; он содержит ${{2}^{{n - 1}}}$ вершин, которые находятся в биективном соответствии со всевозможными подмножествами

$I \subset \{ 1,2, \ldots ,n - 1\} .$

Вершина $v(I)$, соответствующая подмножеству $I = \{ {{i}_{1}} < {{i}_{2}} < \ldots < {{i}_{s}}\} $, имеет координаты

${{v}_{0}} = {{i}_{1}} - 1,\quad {{v}_{n}} = n - {{i}_{s}} - 1,$

(3)

${{v}_{{{{i}_{\nu }}}}} = {{i}_{{\nu + 1}}} - {{i}_{{\nu - 1}}}\quad для\quad {{i}_{\nu }} \in I,$

${{v}_{i}} = 0,\quad для\quad i \notin I \cup \{ 0,n\} .$

Пусть ${{l}_{\nu }} = {{i}_{{\nu + 1}}} - {{i}_{\nu }}\,\,(0 \leqslant \nu \leqslant s)$, ${{i}_{0}} = 0$, ${{i}_{{s + 1}}} = n$. Тогда моном ${{a}^{{v(I)}}}$ встречается в Δ с коэффициентом

${{C}_{{v(I)}}} = C(I) = \prod\limits_{\nu = 0}^s \,{{( - 1)}^{{\tfrac{{{{l}_{\nu }}({{l}_{\nu }} - 1)}}{2}}}}l_{\nu }^{{{{l}_{\nu }}}}.$

Ввиду известного свойства биоднородности дискриминанта, многогранник $\mathcal{N}({{\Delta }_{n}})$ лежит в плоскости пространства ${{\mathbb{R}}^{{n + 1}}}$ коразмерности 2, заданной парой уравнений

$\sum\limits_{j = 0}^n \,{{t}_{j}} = 2(n - 1),\quad \sum\limits_{j = 1}^n \,j{{t}_{j}} = n(n - 1).$

С помощью (3) нетрудно показать, что в этой плоскости многогранник $\mathcal{N}({{\Delta }_{n}})$ высекается следующими неравенствами:

(4)

$\begin{gathered} {{t}_{k}} \geqslant 0,\quad k = 1, \ldots ,n - 1, \\ \sum\limits_{j = 1}^k \,(n - k)j{{t}_{j}} + \sum\limits_{j = k + 1}^{n - 1} \,k(n - j){{t}_{j}} \leqslant nk(n - k), \\ k = 1, \ldots ,n - 1. \\ \end{gathered} $

Отметим, что в этих неравенствах участвуют лишь n – 1 координат ${{t}_{1}}, \ldots ,{{t}_{{n - 1}}}$, поэтому неравенства (4) определяют проекцию $\mathcal{N}({{\Delta }_{n}})$ на подпространство ${{\mathbb{R}}^{{n - 1}}}$ указанных координат. Отсюда следует, что система неравенств (4) одновременно определяет многогранник Ньютона многочлена ${{\Delta }_{n}}(1,{{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{{n - 1}}},1)$, т.е. дискриминанта приведенного уравнения

(5)

${{f}^{{red}}} = 1 + {{a}_{1}}y + \ldots + {{a}_{{n - 1}}}{{y}^{{n - 1}}} + {{y}^{n}} = 0.$

Из (4) получаем следующее утверждение.

Лемма 2. Гипергрань ${{h}_{k}}$ имеет ${{2}^{{n - 2}}}$ вершин и лежит в гиперплоскости

(6)

${{F}_{k}} = \{ t \in {{\mathbb{R}}^{{n - 1}}}{\text{:}}\,\,\langle {{\mu }^{{(k)}}},t\rangle = nk(n - k)\} ,$

у которой нормальный вектор ${{\mu }^{{(k)}}}$ имеет координаты

$(n - k) \cdot 1, \ldots ,(n - k) \cdot k,\quad k \cdot (n - k - 1), \ldots ,k \cdot 1.$

2. ПАРАМЕТРИЗАЦИИ НУЛЕВЫХ МНОЖЕСТВ ДИСКРИМИНАНТОВ, УЧАСТВУЮЩИХ В (2)

Утверждение теоремы достаточно доказать для дискриминанта

$\Delta _{n}^{{red}}({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}}) = {{\Delta }_{n}}(1,{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}},1),$

соответствующему приведенному многочлену (5). В этом случае формула (2) сводится к равенству

(7)

$\begin{gathered} \Delta _{n}^{{red}}{{{\text{|}}}_{{{{h}_{k}}}}}({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}}) = \\ \, = a_{k}^{2}{{\Delta }_{k}}(1,{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{k}}){{\Delta }_{{n - k}}}({{x}_{k}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}},1). \\ \end{gathered} $

Основой нашего доказательства служит параметризация Горна–Капранова для приведенного дискриминантного множества

$\nabla _{n}^{{red}}: = \{ x \in {{\mathbb{C}}^{{n - 1}}}{\kern 1pt} :\;\Delta _{n}^{{red}}(x) = 0\} ,$

полученная в [3] с использованием лишь определителя Сильвестра для $\Delta $ и элементарных свойств логарифмического отображения Гаусса для $\nabla _{n}^{{red}}$. Эта параметризация $n$-значная и она следующая:

(8)

${{x}_{j}} = - \frac{{n{{s}_{j}}}}{{\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}{{\left( {\frac{{\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}{{\left\langle {\beta ,s} \right\rangle }}} \right)}^{{\tfrac{j}{n}}}},\quad j = 1, \ldots ,n - 1,$

где $\beta $ и $\alpha $ – целочисленные векторы

$(1,2, \ldots ,n - 1)\quad {\text{и}}\quad (n - 1,n - 2, \ldots ,1)$

соответственно, а $s = ({{s}_{1}}: \ldots :{{s}_{{n - 1}}})$ – параметр из $\mathbb{C}{{\mathbb{P}}^{{n - 2}}}{\backslash }\{ s{\kern 1pt} :\;\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle \left\langle {\beta ,s} \right\rangle = 0\} $.

С учетом биоднородности, полный и приведенный дискриминанты ${{\Delta }_{n}}(a)$ и $\Delta _{n}^{{red}}(x)$ связаны между собой заменой:

${{x}_{j}}(a) = {{a}_{j}}a_{0}^{{\tfrac{{j - n}}{n}}}a_{n}^{{ - \tfrac{j}{n}}},\,\,j = 1, \ldots ,n - 1.$

Поэтому, ввиду (8), полное дискриминантное множество ${{\nabla }_{n}} = \{ {{\Delta }_{n}}(a) = 0\} $ допускает параметризацию

$\begin{gathered} {{a}_{0}} = {{s}_{0}}, \\ {{a}_{j}} = - \frac{{n{{s}_{j}}}}{{\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}{{s}_{0}}{{\left( {\frac{{{{s}_{n}}}}{{{{s}_{0}}}}\frac{{\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}{{\left\langle {\beta ,s} \right\rangle }}} \right)}^{{\tfrac{j}{n}}}},\quad j = 1, \ldots ,n - 1, \\ {{a}_{n}} = {{s}_{n}}, \\ \end{gathered} $

где $({{s}_{0}},{{s}_{n}}) \in {{(\mathbb{C}{\backslash }0)}^{2}}$. Полагая здесь n = k, ${{a}_{0}} = {{s}_{0}} = 1$, мы получим, что параметризация дискриминантного множества ${{\Delta }_{n}}(1,{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{k}}) = 0$ “полуприведенного” многочлена $1 + {{x}_{1}}y + \ldots + {{x}_{k}}{{y}^{k}}$ имеет вид

(9)

${{x}_{j}} = - \frac{{k{{s}_{j}}}}{{\left\langle {\alpha {\kern 1pt} ',s{\kern 1pt} '} \right\rangle }}{{\left( {\frac{{{{s}_{k}}\left\langle {\alpha {\kern 1pt} ',s{\kern 1pt} '} \right\rangle }}{{\left\langle {\beta {\kern 1pt} ',s{\kern 1pt} '} \right\rangle }}} \right)}^{{\tfrac{j}{k}}}},$

$j = 1, \ldots ,k - 1$, ${{x}_{k}} = {{s}_{k}}$; здесь

$\beta {\kern 1pt} ' = (1,2, \ldots ,k - 1),$

$\alpha {\kern 1pt} ' = (k - 1,k - 2, \ldots ,1),$

$s{\kern 1pt} ' = ({{s}_{1}}: \ldots :{{s}_{{k - 1}}}).$

Аналогичная формула имеет место для параметризации дискриминантного множества

${{\Delta }_{{n - k}}}({{x}_{k}},{{x}_{{k + 1}}}$, ..., x_{n – 1}, 1) = 0.

3. РАЗДУТИЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИЙ И ОБОСНОВАНИЕ ТОЖДЕСТВА (7)

Вначале приведем связь между приведенным дискриминантом и его срезкой на грань h_k. Пусть $x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}})$ и $\Delta _{n}^{{red}}(x)$ – приведенный дискриминант. Рассмотрим функцию

$H_{k}^{\tau }(x): = {{\tau }^{{nk(n - k)}}}\Delta _{n}^{{red}}\left( {\frac{{{{x}_{1}}}}{{{{\tau }^{{{{\mu }_{1}}}}}}}, \ldots ,\frac{{{{x}_{{n - 1}}}}}{{{{\tau }^{{{{\mu }_{{n - 1}}}}}}}}} \right),$

где ${{\mu }_{1}}, \ldots ,{{\mu }_{{n - 1}}}$ – координаты внешней нормали $\mu = {{\mu }^{{(k)}}}$ к грани ${{h}_{k}}$, определенные в лемме 2.

Лемма 3. Функция $H_{k}^{\tau }(x)$ является гомогенизацией приведенного дискриминанта относительно веса $\mu $, удовлетворяющая свойству

(10)

$H_{k}^{\tau }(x)\xrightarrow[{\tau \to 0}]{}\Delta _{n}^{{red}}({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}}){{{\text{|}}}_{{{{h}_{k}}}}}.$

Справедливость леммы 3 следует из того, что согласно лемме 2 число $nk(n - k)$ в правой части (6) есть взвешенная степень относительно веса $\mu $ для всех мономов из срезки $\Delta _{n}^{{red}}({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}}){{{\text{|}}}_{{{{h}_{k}}}}}$, а для всех других мономов она меньше этого числа. Поэтому предел при $\tau \to 0$ последовательности в (10) вычисляется ее значением при τ = 0, которое равно указанной срезке.

Для доказательства тождества (7) проведем анализ параметризации (8) приведенного дискриминантного множества. В точках s объединения гиперплоскостей $\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle = 0$ и $\left\langle {\beta ,s} \right\rangle = 0$, где ${{s}_{j}} \ne 0$, она не принимает конечных значений. Однако в точках неопределенности, где одновременно равны нулю, скажем, переменные ${{s}_{{k + 1}}}, \ldots ,{{s}_{{n - 1}}}$ и $\left\langle {\beta ,s} \right\rangle $ (или ${{s}_{1}}, \ldots ,{{s}_{{k - 1}}}$ и $\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle $), эта параметризация дает предельные положения для дискриминантного множества. Согласно теории соответствий [1] такие предельные положения интерпретируются как раздутия в пространстве $\mathbb{C}\mathbb{P}_{s}^{{n - 2}} \times \mathbb{C}_{x}^{{n - 1}}$, где “живет” график отображения (8).

Лемма 4. В равенстве (7) множество нулей срезки $\Delta _{n}^{{red}}{{{\text{|}}}_{{{{h}_{k}}}}}$ слева содержит множество нулей произведения $x_{k}^{2}{{\Delta }_{k}}{{\Delta }_{{n - k}}}$ справа.

Для доказательства леммы 4 мы исследуем нулевые множества последовательности $H_{k}^{\tau }(x)$ при $\tau \ne 0$. Согласно (8) эти множества допускают параметризации

(11)

${{x}_{j}} = - {{\tau }^{{{{\mu }_{j}}}}}\frac{{n{{s}_{j}}}}{{\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}{{\left( {\frac{{\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}{{\left\langle {\beta ,s} \right\rangle }}} \right)}^{{\tfrac{j}{n}}}},$

где $j = 1, \ldots ,n - 1$. Отсюда по лемме 2 для $j = 1$, ... ..., k – 1 имеем

$\frac{{{{x}_{j}}}}{{x_{k}^{{j/k}}}} = {{\left( {\frac{n}{{\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}} \right)}^{{1 - \tfrac{j}{k}}}}\frac{{{{s}_{j}}}}{{s_{k}^{{j/k}}}},$

что равносильно следующему:

(12)

${{x}_{j}} = \frac{{{{n}^{{1 - \tfrac{j}{k}}}}{{s}_{j}}}}{{\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}{{\left( {\frac{{{{x}_{k}}\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle }}{{{{s}_{k}}}}} \right)}^{{\tfrac{j}{k}}}}.$

Далее, в проективном пространстве переменных $({{s}_{1}}: \ldots :{{s}_{{n - 1}}})$ определим плоскость $\sigma {\kern 1pt} '$ системой уравнений ${{s}_{{k + 1}}} = \ldots = {{s}_{{n - 1}}} = \left\langle {\beta ,s} \right\rangle = 0$. Вычисления дают

${{s}_{k}}{{{\text{|}}}_{{\sigma {\kern 1pt} '}}} = - \frac{1}{k}\left\langle {\beta {\kern 1pt} ',s{\kern 1pt} '} \right\rangle ,\quad \left\langle {\alpha ,s} \right\rangle {{{\text{|}}}_{{\sigma {\kern 1pt} '}}} = \frac{n}{k}\left\langle {\alpha {\kern 1pt} ',s{\kern 1pt} '} \right\rangle .$

Подставляя найденные сужения ${{s}_{k}}{{{\text{|}}}_{{\sigma {\kern 1pt} '}}}$, $\left\langle {\alpha ,s} \right\rangle {{{\text{|}}}_{{\sigma {\kern 1pt} '}}}$ в формулу (12), приходим к следующим выражениям для сужений ${{x}_{j}}{{{\text{|}}}_{{\sigma {\kern 1pt} '}}}$, $j = 1, \ldots ,k - 1$:

${{x}_{j}}{{{\text{|}}}_{{\sigma {\kern 1pt} '}}} = - \frac{{k{{s}_{j}}}}{{\left\langle {\alpha {\kern 1pt} ',s{\kern 1pt} '} \right\rangle }}{{\left( {\frac{{{{x}_{k}}\left\langle {\alpha {\kern 1pt} ',s{\kern 1pt} '} \right\rangle }}{{\left\langle {\beta {\kern 1pt} ',s{\kern 1pt} '} \right\rangle }}} \right)}^{{\tfrac{j}{k}}}}.$

Таким образом, с учетом (9) получаем, что в результате проектирования на подпространство переменных $({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{k}})$ предельное множество (при $\tau \to 0$) нулей левой части (10) переходит в дискриминантное множество $\{ {{\Delta }_{k}}(1,{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{k}}) = 0\} $.

Симметричным образом, рассматривая в условиях (11) отношения $\tfrac{{{{x}_{j}}}}{{x_{k}^{{\tfrac{{n - j}}{{n - k}}}}}}$, получим, что предельное (при $\tau \to 0$) множество нулей левой части (10) проектируется на подпространство переменных $({{x}_{k}},{{x}_{{k + 1}}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}})$ в дискриминантное множество

$\{ {{\Delta }_{{n - k}}}({{x}_{k}},{{x}_{{k + 1}}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}},1) = 0\} .$

Осталось заметить, что срезка $\Delta _{n}^{{red}}{{{\text{|}}}_{{{{h}_{k}}}}}$ делится на $a_{k}^{2}$, и мы приходим к утверждению леммы 4.

Доказательство равенства (7) проводится следующим образом. Согласно лемме 1 многогранники Ньютона многочленов слева и справа в (7) совпадают. В таком случае из теории пересечений и леммы 4 следует, что эти многочлены имеют равные множества нулей. Но поскольку по лемме 1 их экстремальные части совпадают, то и сами многочлены совпадают.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки России в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашение 075-02-2020-1534/1).

Список литературы

Mumford D. Algebraic Geometry. I. Complex Projective Varieties. B.; Heidelberg; N.Y., Springer-Verlag. 1976.
Kapranov M.M. A Characterization of A-Discriminantal Hypersurfaces in Terms of the Logarithmic Gauss Map // Math. Ann. 1991. V. 290. P. 277–285.
Passare M., Tsikh A. Algebraic Equations and Hypergeometric Series / In: The legacy of Niels Henrik Abel. Springer, 2004. P. 653–672.
Садыков Т.М., Цих А.К. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных. М.: Наука, 2014. 408 с.
Gelfand I., Kapranov M., Zelevinsky A. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Boston: Birkhäuser, 1994.
Васильев В.А. Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФАЗИС, 1997. 538 с.
Михалкин Е.Н., Цих А.К. Сингулярные страты каспидального типа для классического дискриминанта // Матем. сб. 2015. Т. 206. № 2. С. 119–148.
Антипова И.А., Михалкин Е.Н., Цих А.К. Рациональные выражения для кратных корней алгебраических уравнений // Матем. сб. 2018. Т. 209. № 10. С. 3–30.
Esterov A.I. Galois Theory for General Systems of Polynomial Equations // Compositio Mathematica. 2019. V. 155. № 2. P. 229–245.
Васильев В.А. Стабильные когомологии пространств нерезультантных систем многочленов в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ // ДАН. 2018. Т. 481. № 3. С. 238–242.
Dickenstein A., Feichtner E., Sturmfels E. Tropical Discriminants // J. AMS. V. 20. № 4. P. 1111–1133.
Mikhalkin E.N., Tsikh A.K. On the Structure of the Classical Discriminant // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2015. Т. 8. Вып. 4. С. 425–435.
Batyrev V. Winter School lectures in Arizona. 2004. http://swc.math.arizona.edu/oldaws/04Notes.html

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал