Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 59-64

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И “СТРАННЫЙ” ЧЛЕН, ВОЗНИКАЮЩИЙ ПРИ УСРЕДНЕНИИ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В ПЕРФОРИРОВАННОЙ ОБЛАСТИ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА РОБИНА В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

А. В. Подольский^1, *, Т. А. Шапошникова^1, **

¹ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

^* E-mail: avpodolskiy@yandex.ru
^** E-mail: shaposh.tan@mail.ru

Поступила в редакцию 05.10.2020
После доработки 02.11.2020
Принята к публикации 05.11.2020

DOI: 10.31857/S2686954320060235

Аннотация

Работа посвящена изучению асимптотического поведения оптимального управления для краевой задачи в ε-периодически перфорированной области с линейным краевым условием типа Робина, когда период структуры ε стремится к нулю, а параметры задачи – диаметр перфораций и коэффициент адсорбции – принимают критические значения.

Ключевые слова: усреднение, перфорированная область, критический случай, оптимальное управление, “странный” член

В сообщении исследуется поведение оптимального управления для краевой задачи в ε-периодически перфорированной области с линейным краевым условием типа Робина на границе перфораций при стремлении периода структуры к нулю. Рассматривается функционал стоимости, состоящий из двух слагаемых: интеграла Дирихле, описывающего энергию состояния, и стоимости управления, взятой с коэффициентом N > 0. В качестве перфораций используются шары радиуса ${{C}_{0}}{{\varepsilon }^{\alpha }}$, где C₀ – некоторая положительная постоянная, $\alpha = \frac{n}{{n - 2}}$, $n \geqslant 3$. В краевое условие Робина входит коэффициент адсорбции вида ${{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}$, где $\gamma = \frac{n}{{n - 2}}$. Заметим, что данные значения параметров α и γ являются критическими для данной задачи, что характеризуется появлением новых членов в усредненной задаче и нового слагаемого в предельном функционале стоимости. Известно, что нахождение оптимального управления ${{{v}}_{\varepsilon }}$ связано с решением сопряженной задачи (см. [4]). В настоящей работе построена система уравнений на пару $({{u}_{\varepsilon }},{{P}_{\varepsilon }})$, где ${{u}_{\varepsilon }}$ – функция состояния, P_ε – решение сопряженной задачи. В нашем случае оптимальное управление ${{v}_{\varepsilon }}$ связано с P_ε следующим образом: ${{v}_{\varepsilon }} = - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{\varepsilon }}$. Для этой системы в работе построена и обоснована усредненная задача и получен новый функционал стоимости, которому пара (${{u}_{0}}$, ${{v}_{0}}$), где u₀ – предел последовательности ${{u}_{\varepsilon }}$, ${{v}_{0}}$ – предел ${{v}_{\varepsilon }}$, доставляет минимум.

Поведение оптимального управления и усреднение краевых задач изучалось во многих работах. Наиболее близкими к данному исследованию являются работы [1, 6, 7], но в них были изучены задачи с другими краевыми условиями.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть Ω – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ (n ≥ 3) с гладкой границей $\partial \Omega $, $Y = {{\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)}^{n}}$. Обозначим через G₀ – единичный шар в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ с центром в начале координат. Положим $\delta B = \{ x\,{\text{|}}\,{{\delta }^{{ - 1}}}x \in B\} $, δ > 0.

Для ε > 0 определим

${{\tilde {\Omega }}_{\varepsilon }} = \{ x \in \Omega {\kern 1pt} :\;\rho (x,\partial \Omega ) > 2\varepsilon \} .$

Введем множество

${{G}_{\varepsilon }} = \bigcup\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,({{a}_{\varepsilon }}{{G}_{0}} + \varepsilon j) = \bigcup\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,G_{\varepsilon }^{j},$

где ${{a}_{\varepsilon }} = {{C}_{0}}{{\varepsilon }^{{\tfrac{n}{{n - 2}}}}}$, ${{C}_{0}} = {\text{const}} > 0$, ${{\Upsilon }_{\varepsilon }} = \{ j \in {{\mathbb{Z}}^{n}}{\kern 1pt} :\;{{a}_{\varepsilon }}{{G}_{0}} + $ $ + \,\,\varepsilon j \cap {{\tilde {\Omega }}_{\varepsilon }} \ne \phi \} $, ${\text{|}}{{\Upsilon }_{\varepsilon }}{\text{|}} \cong d{{\varepsilon }^{{ - n}}}$, d = ${\text{const}}$ > 0, ${{\mathbb{Z}}^{n}}$ – множество векторов в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ с целыми координатами. Обозначим $Y_{\varepsilon }^{j} = \varepsilon Y + \varepsilon j$, $P_{\varepsilon }^{j}$ = εj, $j \in {{\mathbb{Z}}^{n}}$. Заметим, что $\overline {G_{\varepsilon }^{j}} \subset \overline {Y_{\varepsilon }^{j}} $ и центр шара $G_{\varepsilon }^{j} = {{a}_{\varepsilon }}{{G}_{0}} + \varepsilon j$ совпадает с центром куба $Y_{\varepsilon }^{j}$.

Определим перфорированную область

${{\Omega }_{\varepsilon }} = \Omega {\backslash }\overline {{{G}_{\varepsilon }}} ,$

с границей

$\partial {{\Omega }_{\varepsilon }} = \partial \Omega \cup {{S}_{\varepsilon }},\quad {{S}_{\varepsilon }} = \partial {{G}_{\varepsilon }}.$

Пусть $v \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})$. Обозначим через ${{u}_{\varepsilon }}(v)$ – элемент ${{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$, являющийся обобщенным решением задачи

(1)

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{\varepsilon }} = f + v,\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ {{\partial }_{\nu }}{{u}_{\varepsilon }} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x){{u}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }}, \\ {{u}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in \partial \Omega , \\ \end{gathered} $

где $f \in {{L}^{2}}(\Omega )$, $a \in {{C}^{\infty }}(\bar {\Omega })$, $a(x) \geqslant {{a}_{0}} = {\text{const}} > 0$, $\gamma = \frac{n}{{n - 2}}$, ν – вектор внешней единичной нормали к S_ε.

Рассмотрим функционал

(2)

$\begin{gathered} {{J}_{\varepsilon }}{\kern 1pt} :\;{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }}) \to \mathbb{R}, \\ {{J}_{\varepsilon }}(v) = \frac{1}{2}{\text{||}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}(v){\text{||}}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}^{2} + \frac{N}{2}{\text{||}}v{\text{||}}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}^{2}. \\ \end{gathered} $

Хорошо известно, что существует единственная пара $({{u}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }}),{{v}_{\varepsilon }})$ (см. [4, с. 57]), называемая оптимальной, такая, что

${{J}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }}) = \mathop {min}\limits_{v \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})} {{J}_{\varepsilon }}(v).$

В этом случае ${{v}_{\varepsilon }}$ называется оптимальным управлением. Цель данной работы – найти предел при ε → 0 оптимального управления ${{v}_{\varepsilon }}$ и функционала стоимости ${{J}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }})$.

С этой задачей связана сопряженная задача

$\begin{gathered} \Delta {{P}_{\varepsilon }} = \Delta {{u}_{\varepsilon }},\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ {{\partial }_{\nu }}({{P}_{\varepsilon }} - {{u}_{\varepsilon }}) + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x){{P}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }}, \\ {{P}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Учитывая, что оптимальное управление удовлетворяет вариационному неравенству (см. [4])

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,({{P}_{\varepsilon }} + N{{v}_{\varepsilon }})(v - {{v}_{\varepsilon }})dx \geqslant 0,$

где $v$ – произвольный элемент ${{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})$, получим, что

${{v}_{\varepsilon }} = - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{\varepsilon }}.$

2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

Имеет место следующая теорема усреднения.

Теорема 1. Пусть $f \in {{L}^{2}}(\Omega )$ и $({{u}_{\varepsilon }},{{P}_{\varepsilon }})$ – решение системы

(3)

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{\varepsilon }} = f - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{\varepsilon }},\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ \Delta {{P}_{\varepsilon }} = \Delta {{u}_{\varepsilon }},\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ {{\partial }_{\nu }}{{u}_{\varepsilon }} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x){{u}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }}, \\ {{\partial }_{\nu }}{{P}_{\varepsilon }} - {{\partial }_{\nu }}{{u}_{\varepsilon }} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x){{P}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }}, \\ {{u}_{\varepsilon }} = {{P}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Пусть ${{\tilde {u}}_{\varepsilon }}$ и ${{\tilde {P}}_{\varepsilon }}$ – продолжение функций ${{u}_{\varepsilon }}$ и ${{P}_{\varepsilon }}$, такое, что ${{\tilde {u}}_{\varepsilon }},{{\tilde {P}}_{\varepsilon }} \in H_{0}^{1}(\Omega )$ и выполнены неравенства

(4)

${\text{||}}{{\tilde {u}}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{H_{0}^{1}(\Omega )}}}\, \leqslant \,K{\text{||}}{{u}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )}}},\,\,\,{\text{||}}\nabla {{\tilde {u}}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}(\Omega )}}}\, \leqslant \,K{\text{||}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}},$

(5)

${\text{||}}{{\tilde {P}}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{H_{0}^{1}(\Omega )}}}\, \leqslant \,K{\text{||}}{{P}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )}}},\,\,\,{\text{||}}\nabla {{\tilde {P}}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}(\Omega )}}}\, \leqslant \,K{\text{||}}\nabla {{P}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}},$

где постоянная K здесь и далее не зависит от ε. Тогда при ε → 0

(6)

${{\tilde {u}}_{\varepsilon }} \rightharpoonup {{u}_{0}}\quad слабо\;в\quad H_{0}^{1}(\Omega ),$

(7)

${{\tilde {P}}_{\varepsilon }} \rightharpoonup {{P}_{0}}\quad слабо\;в\quad H_{0}^{1}(\Omega ),$

где $({{u}_{0}},{{P}_{0}}) \in H_{0}^{1}(\Omega ) \times H_{0}^{1}(\Omega )$ – решение системы

$ - \Delta {{u}_{0}} + {{A}_{n}}\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{0}} = f - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{0}},\quad x \in \Omega \,,$

(8)

$\begin{gathered} - \Delta {{P}_{0}} + {{A}_{n}}\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{P}_{0}} = - \Delta {{u}_{0}} + \\ \, + {{A}_{n}}{{\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}} \right)}^{2}}{{u}_{0}},\quad x \in \Omega , \\ \end{gathered} $

${{u}_{0}} = {{P}_{0}} = 0\quad x \in \partial \Omega ,$

${{A}_{n}} = (n - 2)C_{0}^{{n - 2}}{{\omega }_{n}}$, ${{C}_{n}} = \tfrac{{n - 2}}{{{{C}_{0}}}}$, ω_n – площадь поверхности единичной сферы в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $n \geqslant 3$.

Замечание 1. Заметим, что ${{v}_{0}} = - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{0}}$ является оптимальным управлением, а пара (u₀ = = $u({{v}_{0}}),{{v}_{0}})$ – оптимальной, в задаче нахождения на ${{L}^{2}}(\Omega )$ минимума функционала

(9)

$\begin{gathered} {{J}_{0}}(v) = \frac{1}{2}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla u(v){{{\text{|}}}^{2}}dx + \\ \, + \frac{1}{2}{{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,{{\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}} \right)}^{2}}{{u}^{2}}(v)dx + \frac{N}{2}\int\limits_\Omega \,{{v}^{2}}dx, \\ {{J}_{0}}({{v}_{0}}) = \mathop {min}\limits_{v \in {{L}^{2}}(\Omega )} {{J}_{0}}(v), \\ \end{gathered} $

где $u(v)$ – обобщенное решение задачи

(10)

$\begin{gathered} - \Delta u + {{A}_{n}}\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}u = f + v,\quad x \in \Omega , \\ u = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Ниже мы покажем, что

(11)

$\mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} {{J}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }}) = {{J}_{0}}({{v}_{0}}).$

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

3.1. Равномерные по ε оценки для u_ε и ${{P}_{\varepsilon }}$

Получим оценки для u_ε и P_ε. Из интегрального тождества для задачи (3) на функцию P_ε имеем

(12)

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{P}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x)P_{\varepsilon }^{2}ds = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla {{P}_{\varepsilon }}dx \leqslant \\ \, \leqslant {{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{P}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx} \right)}^{{1/2}}}{{\left( {\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx} \right)}^{{1/2}}}. \\ \end{gathered} $

Учитывая, что

(13)

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla {{P}_{\varepsilon }}dx\, + \,{{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}{{P}_{\varepsilon }}ds\, = \,\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} (f\, - \,{{N}^{{ - 1}}}{{P}_{\varepsilon }}){{P}_{\varepsilon }}dx$

(14)

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla {{P}_{\varepsilon }}dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{u}_{\varepsilon }}{{P}_{\varepsilon }}ds = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx,$

выводим

(15)

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,(f{{P}_{\varepsilon }} - {{N}^{{ - 1}}}P_{\varepsilon }^{2})dx \leqslant \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,f{{P}_{\varepsilon }}dx.$

Из неравенств (12), (15) получим

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{P}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx \leqslant \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}f{\text{|}}\,{\text{|}}{{P}_{\varepsilon }}{\text{|}}dx \leqslant \delta \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,P_{\varepsilon }^{2}dx + \\ \, + {{C}_{\delta }}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{{f}^{2}}dx \leqslant K\delta \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{P}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx + {{C}_{\delta }}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{{f}^{2}}dx, \\ \end{gathered} $

где δ – произвольное положительное число.

Отсюда выводим оценки

(16)

${\text{||}}\nabla {{P}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}} \leqslant K,\quad {\text{||}}{{P}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}} \leqslant K.$

Из (14), (15) получим

(17)

${\text{||}}{{u}_{\varepsilon }}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )}}} \leqslant K.$

Из оценок (16), (17) вытекает, что существуют продолжения ${{\tilde {u}}_{\varepsilon }}$, ${{\tilde {P}}_{\varepsilon }}$ функций u_ε и P_ε на всю область Ω, такие что выполнены оценки (4), (5). Из данных оценок следует, что по некоторой подпоследовательности (сохраним для нее обозначение исходной последовательности) при ε → 0 имеем

(18)

$\begin{gathered} {{{\tilde {u}}}_{\varepsilon }} \to {{u}_{0}}\quad {\text{сильно}}\;{\text{в}}\quad {{L}^{2}}(\Omega ), \\ {{{\tilde {u}}}_{\varepsilon }} \rightharpoonup {{u}_{0}}\quad {\text{слабо}}\;{\text{в}}\quad H_{0}^{1}(\Omega ), \\ \end{gathered} $

(19)

$\begin{gathered} {{{\tilde {P}}}_{\varepsilon }} \to {{P}_{0}}\quad {\text{сильно}}\;{\text{в}}\quad {{L}^{2}}(\Omega ), \\ {{{\tilde {P}}}_{\varepsilon }} \rightharpoonup {{P}_{0}}\quad {\text{слабо}}\;{\text{в}}\quad H_{0}^{1}(\Omega ). \\ \end{gathered} $

3.2. Предельная задача для u₀

Покажем, что ${{u}_{0}} \in H_{0}^{1}(\Omega )$ – обобщенное решение задачи

(20)

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{0}} + {{A}_{n}}\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{0}} = f - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{0}},\quad x \in \Omega , \\ {{u}_{0}} = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Действительно, в силу (18) и (19), нам надо найти предел при ε → 0 только одного слагаемого в интегральном тождестве, соответствующем задаче на u_ε, а именно

${{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{u}_{\varepsilon }}\phi ds.$

Положим

${{H}_{\varepsilon }} \equiv \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla ({{W}_{\varepsilon }}\phi )dx,$

где

${{W}_{\varepsilon }} = \left\{ \begin{gathered} w_{\varepsilon }^{j},\quad x \in T_{{\varepsilon /4}}^{j}{\backslash }\bar {G}_{\varepsilon }^{j},\quad j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 1,\quad x \in G_{\varepsilon }^{j},\quad j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 0,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{n}}{\backslash }\overline {{{ \cup }_{{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}}}}T_{{\varepsilon /4}}^{j}} , \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$T_{{\varepsilon /4}}^{j}$ – шар радиуса ε/4 с центром в точке $P_{\varepsilon }^{j}$, $w_{\varepsilon }^{j}$ – решение задачи

(21)

$\begin{gathered} \Delta w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in T_{{\varepsilon /4}}^{j}{\backslash }\bar {G}_{\varepsilon }^{j}, \\ w_{\varepsilon }^{j} = 1,\quad x \in \partial G_{\varepsilon }^{j}, \\ w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in \partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}. \\ \end{gathered} $

Легко видеть, что

$\begin{gathered} {{H}_{\varepsilon }} = - {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{u}_{\varepsilon }}\phi ds + \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,f\phi {{W}_{\varepsilon }}dx - \\ \, - {{N}^{{ - 1}}}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{{P}_{\varepsilon }}{{W}_{\varepsilon }}\phi dx. \\ \end{gathered} $

Учитывая, что ${{W}_{\varepsilon }} \rightharpoonup 0$ слабо в $H_{0}^{1}(\Omega )$ при ε → 0, получим

$\mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,f{{W}_{\varepsilon }}\phi dx = 0,\quad \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{{P}_{\varepsilon }}{{W}_{\varepsilon }}\phi dx = 0.$

Поэтому

(22)

${{H}_{\varepsilon }} = - {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{u}_{\varepsilon }}\phi ds + {{\kappa }_{\varepsilon }},\quad {{\kappa }_{\varepsilon }} \to 0,\quad \varepsilon \to 0.$

Заметим, что H_ε можем представить в виде

${{H}_{\varepsilon }} = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{W}_{\varepsilon }}\nabla ({{u}_{\varepsilon }}\phi )dx + {{\kappa }_{{1,\varepsilon }}},\quad {{\kappa }_{{1,\varepsilon }}} \to 0,\quad \varepsilon \to 0.$

В силу определения W_ε, имеем

(23)

$\begin{gathered} {{H}_{\varepsilon }} = {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}{{C}_{n}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,{{u}_{\varepsilon }}\phi ds - \varepsilon (n - 2) \times \\ \, \times C_{0}^{{n - 2}}{{2}^{{2n - 2}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,\int\limits_{T_{{\varepsilon /4}}^{j}} \,{{u}_{\varepsilon }}\phi ds + {{m}_{\varepsilon }}, \\ \end{gathered} $

где ${{m}_{\varepsilon }} \to 0$, если ε → 0.

Сравнивая (22) и (23), выводим

(24)

$\begin{gathered} {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,(a(x) + {{C}_{n}}){{u}_{\varepsilon }}\phi ds = \\ \, = \varepsilon (n - 2)C_{0}^{{n - 2}}{{2}^{{2n - 2}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,\int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} \,{{u}_{\varepsilon }}\phi ds + {{k}_{\varepsilon }}, \\ \end{gathered} $

где ${{k}_{\varepsilon }} \to 0$, ε → 0.

Положим в (24) $\phi = \tfrac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}\psi $, где ψ – произвольная функция из $C_{0}^{\infty }(\Omega )$, получим

(25)

$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{u}_{\varepsilon }}\psi ds = (n - 2)C_{0}^{{n - 2}} \times \\ \, \times \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \varepsilon {{2}^{{2n - 2}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,\int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds = \\ \, = {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{0}}\psi dx. \\ \end{gathered} $

Заметим, что для получения равенства (25) мы воспользовались следующей леммой (см. [3]).

Лемма 1. Пусть ${{h}_{\varepsilon }} \in H_{0}^{1}(\Omega )$ и ${{h}_{\varepsilon }} \rightharpoonup h$ слабо в $H_{0}^{1}(\Omega )$, если $\varepsilon \to 0$. Тогда

(26)

${{2}^{{2n - 2}}}\varepsilon \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,\int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} \,{{h}_{\varepsilon }}ds - {{\omega }_{n}}\int\limits_\Omega \,hdx \to 0,\quad \varepsilon \to 0.$

Таким образом, предельная функция u₀ удовлетворяет интегральному тождеству следующего вида:

$\begin{gathered} \int\limits_\Omega \,\nabla {{u}_{0}}\psi dx + {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{0}}\psi dx = \\ \, = \int\limits_\Omega \,(f - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{0}})\psi dx, \\ \end{gathered} $

где ψ – произвольная функция из $C_{0}^{\infty }(\Omega )$. Следовательно, u₀ – слабое решение задачи (20).

3.3. Предельная задача для P₀

Покажем, что функция ${{P}_{0}} \in H_{0}^{1}(\Omega )$ – обобщенное решение задачи

(27)

$\begin{gathered} - \Delta {{P}_{0}} + {{A}_{n}}\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{P}_{0}} = - \Delta {{u}_{0}} + \\ \, + {{A}_{n}}\mathop {\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}} \right)}\nolimits^2 {{u}_{0}},\quad x \in \Omega , \\ {{P}_{0}} = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Положим

$\begin{gathered} {{I}_{\varepsilon }} \equiv \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{P}_{\varepsilon }}\nabla (\varphi {{W}_{\varepsilon }})dx. \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} $

Из интегрального тождества для P_ε имеем

(28)

${{I}_{\varepsilon }} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{P}_{\varepsilon }}\phi ds = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla (\phi {{W}_{\varepsilon }})dx.$

Учитывая интегральное тождество для u_ε, получим

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla (\phi {{W}_{\varepsilon }})dx = - {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{u}_{\varepsilon }}\phi ds + \\ \, + \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,f\phi {{W}_{\varepsilon }}dx - {{N}^{{ - 1}}}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{{P}_{\varepsilon }}\phi {{W}_{\varepsilon }}ds. \\ \end{gathered} $

В силу (25) имеем

$\mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla (\phi {{W}_{\varepsilon }})dx = - {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{0}}\phi dx.$

Поэтому из (28) выводим

(29)

${{I}_{\varepsilon }} = - {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{P}_{\varepsilon }}\phi ds - {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{0}}\phi dx + {{\kappa }_{\varepsilon }},$

где ${{\kappa }_{\varepsilon }} \to 0$, если ε → 0.

С другой стороны, учитывая, что $w_{\varepsilon }^{j}$ – решение задачи (21), получим

(30)

$\begin{gathered} {{I}_{\varepsilon }} = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,\nabla {{W}_{\varepsilon }}\nabla ({{P}_{\varepsilon }}\phi )dx + {{\alpha }_{\varepsilon }} = {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}{{C}_{n}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,{{P}_{\varepsilon }}\phi ds - \\ \, - \varepsilon (n - 2)C_{0}^{{n - 2}}{{2}^{{2n - 2}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,\int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} \,{{P}_{\varepsilon }}\phi ds + {{\beta }_{\varepsilon }}, \\ \end{gathered} $

где ${{\alpha }_{\varepsilon }},{{\beta }_{\varepsilon }} \to 0$, если ε → 0.

Сравнивая (29) и (30), приходим к равенству

(31)

$\begin{gathered} {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,(a(x) + {{C}_{n}}){{P}_{\varepsilon }}\phi ds = \\ \, = - {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{0}}\phi dx + \\ \, + \varepsilon (n - 2)C_{0}^{{n - 2}}{{2}^{{2n - 2}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,\int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} \,{{P}_{\varepsilon }}\phi ds + {{\alpha }_{{1,\varepsilon }}}, \\ \end{gathered} $

где ${{\alpha }_{{1,\varepsilon }}} \to 0$, если ε → 0.

Положим в (31) $\phi (x) = \tfrac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}\psi (x)$, где $\psi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ – произвольная функция. Тогда из (31) выводим

(32)

$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} \,a(x){{P}_{\varepsilon }}\psi ds = - {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,{{\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}} \right)}^{2}}{{u}_{0}}\psi dx + \\ \, + {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{P}_{0}}\psi dx. \\ \end{gathered} $

Отсюда следует, что P₀ удовлетворяет интегральному тождеству

(33)

$\begin{gathered} \int\limits_\Omega \,\nabla {{P}_{0}}\nabla \psi dx + {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{P}_{0}}\psi dx = \\ \, = \int\limits_\Omega \,\nabla {{u}_{0}}\nabla \psi dx + {{A}_{n}}\int\limits_\Omega \,{{\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}} \right)}^{2}}{{u}_{0}}\psi dx, \\ \end{gathered} $

где ψ – произвольная функция из $C_{0}^{\infty }(\Omega )$. Что и требовалось показать.

Отсюда следует, что $({{u}_{0}},{{P}_{0}})$ – обобщенное решение системы (11). Теорема 1 доказана.

4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИОНАЛА СТОИМОСТИ

Докажем теперь равенство (11). Имеем для ${{v}_{\varepsilon }} = - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{\varepsilon }}$

${{J}_{\varepsilon }}({{N}^{{ - 1}}}{{P}_{\varepsilon }}) = \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx + \frac{1}{{2N}}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,P_{\varepsilon }^{2}dx.$

Из равенств (13) и (14) получаем

$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,{\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx = \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{2}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \,(f - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{\varepsilon }}){{P}_{\varepsilon }}dx = \\ \, = \frac{1}{2}\int\limits_\Omega \,(f{{P}_{0}} - {{N}^{{ - 1}}}P_{0}^{2})dx = \frac{1}{2}\int\limits_\Omega \,\nabla {{u}_{0}}\nabla {{P}_{0}}dx + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, + \frac{{{{A}_{n}}}}{2}\int\limits_\Omega \,\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}{{u}_{0}}{{P}_{0}}dx = \\ \, = \frac{1}{2}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla {{u}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}}dx + \frac{{{{A}_{n}}}}{2}\int\limits_\Omega \,{{\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}} \right)}^{2}}u_{0}^{2}dx. \\ \end{gathered} $

Отсюда выводим, что

$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} {{J}_{\varepsilon }}( - {{N}^{{ - 1}}}{{P}_{\varepsilon }}) = \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \left( {\frac{1}{2}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx + \frac{1}{{2N}}\int\limits_\Omega \,P_{\varepsilon }^{2}dx} \right) = \\ \, = \frac{1}{2}\int\limits_\Omega \,{\text{|}}\nabla {{u}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}}dx + \frac{{{{A}_{n}}}}{2}\int\limits_\Omega \,{{\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + {{C}_{n}}}}} \right)}^{2}}u_{0}^{2}dx + \\ \, + \frac{1}{{2N}}\int\limits_\Omega \,P_{0}^{2}dx = {{J}_{0}}( - {{N}^{1}}{{P}_{0}}). \\ \end{gathered} $

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследовано асимптотическое поведение оптимального управления и вопросы усреднения краевой задачи в перфорированной области в случае критического значения параметров задачи. Построен предельный функционал стоимости, который содержит новое слагаемое, так называемый “странный” член.

Список литературы

Saint Jean Paulin J., Zoubairi H. Optimal control and “strange term” for a Stokes problem in perforated domains // Portugaliae Mathematica. V. 59. Fasc. 2-2002. Nova Serie.
Зубова М.Н., Шапошникова Т.А. // ДАН. 2017. Т. 475. № 3. С. 247–250.
Зубова М.Н., Шапошникова Т.А. // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 128–136.
Lions J.L. Controle optimal de systemes gouvernes par des equations aux derivees partielles. Etudes Mathematiques Collection dirigee par P. Lelong. Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1968.
Díaz J.I. Controllability and obstruction for some nonlinear parabolic problems in climatology. En el libro Modelado de Sistemes en Oceanografia, Climatologia y Ciencias Medio-Ambientales (C. Pares y A. Valle eds.) Universidad de Malaga, 1994. P. 43–55.
Rajesh M. Convergence of some energies for the Dirichlet problem in perforated domains. Rendiconti di Matematica. Ser. VII. V. 21. Roma (2001). P. 259–274.
Strömqvist M.H. Optimal Control of the obstacle Problem in a Perforated Domain. Appl. Math. Optim. 2012. V. 66. P. 239–255.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал