Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 21-25

Пусть ${{\mathbb{R}}^{n}}$ – вещественное евклидово пространство размерности n с евклидовой нормой | ⋅ |. Обозначим $\mathcal{D}'(\mathcal{O})~$ (соответственно, $\mathcal{E}'(\mathcal{O})~$) пространство распределений (соответственно, распределений с компактными носителями) в области $\mathcal{O} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, $\mathcal{D}(\mathcal{O})~$ – пространство финитных бесконечно дифференцируемых в $\mathcal{O}$ функций, $\mathcal{E}(\mathcal{O})$ = = ${{C}^{\infty }}(\mathcal{O})$. Пусть $T \in \mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{n}})$, $T \ne 0$, suppT – носитель T,

Предположим, что множество ${{\mathcal{O}}^{T}}$ является непустым. Тогда для всякого $f \in \mathcal{D}'\left( \mathcal{O} \right)$ свертка $f * T$ определяется равенством $\langle f * T,\varphi \rangle $ = $\langle {{f}_{y}},\langle {{T}_{x}}$, φ(x + + y), $\varphi \in \mathcal{D}({{\mathcal{O}}^{T}})\rangle \rangle ,$ как распределение в $\mathcal{D}'({{\mathcal{O}}^{T}})$ (индекс внизу у распределений f и T означает действие по указанной переменной). Распределения из класса $\mathcal{D}_{T}^{'}(\mathcal{O}) = \{ f \in \mathcal{D}{\text{'}}(\mathcal{O})$ : $f * T$ = 0 в ${{\mathcal{O}}^{T}}\} $ называются периодическими в среднем в области $\mathcal{O}$ относительно T. Если $\mathfrak{M}\left( \mathcal{O} \right)$ – некоторое подмножество в $\mathcal{D}{\kern 1pt} {\text{'}}\left( \mathcal{O} \right)$, то для пересечения $\mathcal{D}_{T}^{'}\left( \mathcal{O} \right) \cap \mathfrak{M}\left( \mathcal{O} \right)$ будем использовать символ ${{\mathfrak{M}}_{T}}\left( \mathcal{O} \right)$. Например, $C_{T}^{\infty }(\mathcal{O})$ = $\mathcal{D}_{T}^{'}(\mathcal{O}) \cap {{C}^{\infty }}(\mathcal{O})$.

Одной из важных проблем в теории уравнений свертки является проблема продолжения, которая формулируется следующим образом.

Проблема 1. (i) Пусть $f \in {{\mathfrak{M}}_{T}}\left( \mathcal{O} \right)$ и область ${{\mathcal{O}}_{1}}$ содержит $\mathcal{O}$. При каких условиях существует $F \in {{\mathfrak{M}}_{{\text{T}}}}\left( {{{\mathcal{O}}_{1}}} \right)$, совпадающее с f на $\mathcal{O}$?

(ii) Если такое продолжение F существует, то будет ли оно единственным?

Даже одномерный случай проблемы 1 является весьма содержательным и имеет глубокие связи с различными разделами анализа. Этот случай изучался в работах Ж.П. Кахана, В.Д. Головина, А.Ф. Леонтьева, А.М. Седлецкого и других авторов (см. [1–7] и библиографию к этим работам). В данном случае ответ в проблеме 1 (ii) является положительным для любого ненулевого $T\, \in \,\mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{1}})$ в силу теоремы Титчмарша о носителе свертки (см. [8, теорема 4.3.3], а также [4, часть 3, гл. 1, теорема 1.1]). В проблеме 1 (i) ответ существенно зависит от свойств T, связанных с распределением нулей преобразования Фурье распределения T, т.е. целой функции $\hat {T}(z) = \langle T,{{e}^{{ - izt}}}\rangle ,z \in \mathbb{C}$.

Наиболее сильные результаты в этом направлении для классов $\mathcal{D}_{T}^{'}$ и $C_{T}^{\infty }$ были получены в работах [4, часть 3; 7]. В частности, было показано, что для этих классов продолжение в проблеме 1 (i) существует, если выполнены следующие условия:

а) $\mathop {\sup }\limits_{\lambda \in \mathcal{Z}(\hat {T})} \frac{{\left| {{\text{Im}}~\lambda } \right|}}{{{\text{ln}}(2\, + \,\left| \lambda \right|)}}\, < \, + {\kern 1pt} \infty $,

где $\mathcal{Z}(\hat {T})$ = $\{ z \in \mathbb{C}\,{\text{:}}~\,\,\hat {T}(z)$ = 0};

б) последовательность кратностей m_λ нулей λ ∈ ∈ $\mathcal{Z}(\hat {T})$ удовлетворяет условию $\mathop {\sup }\limits_{\lambda \in \mathcal{Z}(\hat {T})} \frac{{{{m}_{\lambda }}}}{{{\text{ln}}(2\, + \,\left| \lambda \right|)}}\, < \, + {\kern 1pt} \infty ;$

в) для любого $\lambda \in \mathcal{Z}(\hat {T})$ выполнено неравенство

где константа γ > 0 не зависит от λ.

Отметим, что класс распределений $T \in \mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{1}})$, удовлетворяющих а)–в), является достаточно широким и содержит многие интересные для приложений распределения (см. [4, часть 3]). Можно также показать, что для любой пары условий из а)–в) существуют распределения из $\mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{1}})$, для которых выполнены эти два условия и не выполняется третье. Вопрос о необходимости условий а)–в) в теоремах о продолжении для классов $\mathcal{D}_{T}^{'}$ и $C_{T}^{\infty }$ изучался в работе [7]. Было показано, что для любого ненулевого $T \in \mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{1}})$ условия а) и б) являются необходимыми для существования продолжения (см. [7, теоремы 3, 4]), а условие в) нельзя убрать без каких-либо дополнительных предположений относительно T (см. [7, теорема 5]). Результаты такого же типа получены и для классов гладких функций типа Жеврея (см. [7, теоремы 2, 3]). Отметим также результат о невозможности непрерывного продолжения непрерывной периодической в среднем функции при условии, что m_λ растет быстрее, чем |Imλ| (см. [7, теорема 6]).

В работах [1, глава 5; 2] установлены некоторые результаты о возможности периодического в среднем продолжения функций классов $C([ - r,r])$ и ${{L}^{p}}\left( {\left[ { - r,r} \right]} \right)~$для распределений $T \in \mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{1}})$вида

где σ – функция ограниченной вариации со скачками в точках ±r. Наличие скачков в точках ±r у функции σ накладывает ряд ограничений на нули $\hat {T}$. Среди них отметим следующие свойства нулей (см. [1, лемма 5.1.1]), из которых следуют указанные выше условия а)–в) для случаев $C_{T}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{1}})$ и $\mathcal{D}_{T}^{'}({{\mathbb{R}}^{1}})$ в проблеме 1 (i):

(i) $\mathop {{\text{sup}}}\limits_{\lambda \in \mathcal{Z}(\hat {T})} ~\left( {\left| {{\text{Im}}\lambda } \right| + {{m}_{\lambda }}} \right) < + \infty $;

(ii) для любого δ > 0 существует постоянная ${{c}_{\delta }} > 0$, такая, что вне кружков радиуса δ с центрами в точках $\lambda \in \mathcal{Z}(\hat {T})$ выполнено неравенство ${\text{|}}\hat {T}\left( z \right){\text{|}} \geqslant {{c}_{\delta }}{{e}^{{r\left| {{\text{Im}}z} \right|}}}.$

Многомерный случай проблемы 1 является более сложным и специфичным. Единственность продолжения, вообще говоря, не имеет места. Это видно уже на примере линейных гиперболических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые являются уравнениями свёртки с соответствующим $T \in \mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{n}})$. Кроме того, для возможности продолжения требуются дополнительные условия на f (см. [4–7], где получены аналоги указанных выше одномерных результатов для случая $n \geqslant 2$).

В работе [9] исследовался следующий вопрос: при каких условиях на измеримое множество $E \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ произвольная функция $f\, \in \,{{L}^{2}}(E)$ может быть продолжена до функции класса $(L_{{{\text{loc}}}}^{2}\, \cap \,\mathcal{D}_{T}^{'})({{\mathbb{R}}^{n}})$? Было показано [9, теорема 1], что указанное продолжение возможно, если T имеет вид

где $r > 0$, $s > - 1$, $\varphi \in {{C}^{\infty }}\left( \mathbb{R} \right),$ $\varphi ({{r}^{2}}) \ne 0$, а множество E имеет диаметр, меньший, чем 2r. Для множеств E с диаметром 2r и более данное утверждение, вообще говоря, неверно. Распространение этого результата на другие классы функций и исследование свойств возможных продолжений представляет большой интерес. Сформулируем одну из соответствующих проблем для непрерывного периодического в среднем продолжения.

Проблема 2. (i) Пусть $T \in \mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{n}})$, $T \ne 0$ и E – непустое замкнутое подмножество ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Пусть также $f \in C\left( E \right)$. При каких условиях существует $F \in {{C}_{T}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, совпадающая с f на E?

(ii) Если такое продолжение F существует, то что можно сказать о его росте на бесконечности?

Известно, что при n = 1 в проблеме 2 существует продолжение не выше экспоненциального роста, если $E \subset ( - r,r)$ и T имеет вид (1), где σ – функция ограниченной вариации со скачками в точках ±r (см. [1, теорема 5.1.9]). Для множества $E = \left[ { - r,r} \right]~$ cправедлив аналогичный результат, если продолжаемая функция $f \in C\left( {\left[ { - r,r} \right]} \right)~$ удовлетворяет дополнительному необходимому условию

Можно показать также, что существуют распределение T вида (1) и функция $f \in {{C}^{\infty }}([ - r,r])$, удовлетворяющая (3), которая не продолжается даже до распределения класса $\mathcal{D}_{T}^{'}~$ на некотором интервале, содержащем [–r, r] (см. [7, следствие 1]).

В случае произвольной размерности единственным из известных результатов по проблеме 2 является следующая теорема, полученная в [9]: если $E \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ – произвольное ограниченное множество, содержащее две внутренние точки a, b с расстоянием 2r между ними, то существует непрерывная функция f на E, которую нельзя продолжить даже до распределения класса $\mathcal{D}_{T}^{'}~\left( B \right)$, где B – произвольный открытый шар с центром в точке $(a + b){\text{/}}2$, содержащий E.

В данной работе исследуется проблема 2 в случае, когда E является отрезком в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $n \geqslant 2$. Показано, что, в отличие от результатов работы [9], для широкого класса распределений $T \in \mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{n}})$ и для непрерывных по Дини функций на E возможно продолжение до функции класса ${{C}_{T}}({{\mathbb{R}}^{n}})~$независимо от длины отрезка E (см. теорему 1 ниже). Более того, для некоторых T аналогичный результат справедлив и для любой непрерывной функции на E (см. теорему 2). В теоремах 1 и 2 даются также оценки скорости роста продолжений, которые, как видно из теоремы 3, в общем случае неулучшаемы. Далее показано (см. теоремы 4 и 5), что утверждения теорем 1 и 2 могут не выполняться для некоторых радиальных $T \in \mathcal{E}'({{\mathbb{R}}^{n}})$ даже в случае бесконечно дифференцируемых функций на E. Одним из промежуточных результатов работы, представляющих самостоятельный интерес, является теорема 6 о периодическом в среднем продолжении некоторых функций, вещественно аналитических на прямой. Из нее следует, в частности, результат о разрешимости интерполяционной задачи для решений уравнения свёртки с узлами интерполяции, лежащими на произвольном луче в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ (см. теорему 7).