Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 498, № 1, стр. 16-20

Мы рассматриваем вероятностные решения задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова следующего вида:

где $\nu $ – борелевская вероятностная мера на ${{\mathbb{R}}^{d}}$, коэффициент $b(x) = {{({{b}^{i}}(x))}_{{1 \leqslant i \leqslant d}}}$ не зависит от t и ${{b}^{i}} \in {{C}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{d}})$. Пусть $T > 0$. Вероятностным решением задачи (1) называется семейство борелевских вероятностных мер ${{\{ {{\mu }_{t}}\} }_{{t \in [0,T]}}}$ на ${{\mathbb{R}}^{d}}$, борелевски измеримое по $t$ и удовлетворяющее равенству для всякого $t \in [0,T]$ и всякой функции $\varphi \, \in \,C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{d}})$. Отметим, что в рассматриваемой ситуации гладкого сноса b существует такая бесконечно гладкая положительная функция $\varrho (x,t)$ на ${{\mathbb{R}}^{d}} \times (0,T)$, что ${{\mu }_{t}} = \varrho (x,t)dx$ для почти всех $t \in (0,T)$ и функция $\varrho $ является классическим решением уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова.

Далее мы используем обозначения

и записываем уравнение (1) для меры μ_t = $\varrho (x,t)dx$ следующим образом:

Вопрос о единственности вероятностного решения данной задачи был поставлен еще А.Н. Колмогоровым (см. [1, 2]). Известные достаточные условия единственности и примеры неединственности в размерности $d \geqslant 3$ приведены в [3, глава 9]. Проблема единственности в одномерном случае (d = 1) была рассмотрена такими классиками, как У. Феллер [4], К. Иосида [5] и Э. Хилле [6], но в иной постановке, связанной с полугруппами. В недавних работах [7, 8] показано, что в одномерном случае для всякой локально ограниченной борелевской функции $b$, не зависящей от времени $t$, вероятностное решение единственно. В той же работе впервые построен пример неединственности для d = 2. В одномерном случае в [8, замечание 4.6] приведен пример уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, для которого задача Коши не для всех начальных вероятностных условий имеет вероятностное решение. В [3, глава 9] при $d \geqslant 3$ и в [8] при $d \geqslant 2$ примеры неединственности вероятностных решений построены для очень специальных начальных условий, причем специальный вид начального условия существенно используется в построении. Оставалось неясным, может ли задача Коши (1) иметь несколько вероятностных решений для каждого вероятностного начального условия. В настоящем сообщении мы даем положительный ответ на этот вопрос.

Пусть $d \geqslant 2$. Положим

где $x,y \in \mathbb{R}$, $z \in {{\mathbb{R}}^{{d - 2}}}$ и

Если d = 2, то компонента $D(z)$ отсутствует.

Теорема 1. Для всякой вероятностной меры $\nu $ задача Коши (1) с коэффициентом сноса b = $(B,C,D)$ (или $b = (B,C)$ в случае d = 2) и начальным условием $\nu $ имеет бесконечно много линейно независимых вероятностных решений.

Положим

Если d = 2, то $L = {{L}_{x}} + {{L}_{y}}$.

Пусть сначала $\nu = {{\delta }_{{{{x}_{0}}}}} \otimes {{\delta }_{{{{y}_{0}}}}} \otimes {{\delta }_{{{{z}_{0}}}}}$. Даже для таких $\nu $ ранее не было известно примеров неединственности. Построим бесконечно много линейно независимых вероятностных решений задачи Коши в виде произведений

где и $u{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{\delta }_{{{{x}_{0}}}}}$, $v{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{\delta }_{{{{y}_{0}}}}}$, $w{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{\delta }_{{{{z}_{0}}}}}$.

Ясно, что функция $\varrho = u{v}w$ удовлетворяет уравнению ${{\partial }_{t}}\varrho = L{\kern 1pt} {\text{*}}\varrho $ с начальным условием $\nu $. Для построения $u$ и $w$ нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения из [3, глава 5] о полугруппах, порождаемых операторами ${{L}_{x}}$ и ${{L}_{z}}$.

Несложно проверить, что стандартные гауссовские меры ${{\gamma }_{x}}$ и ${{\gamma }_{z}}$ с плотностями ${{(2\pi )}^{{ - 1/2}}}{{e}^{{ - {{x}^{2}}/2}}}$ и ${{(2\pi )}^{{(2 - d)/2}}}{{e}^{{ - {{{\left| z \right|}}^{2}}/2}}}$ удовлетворяют уравнениям

Согласно [3, теорема 5.2.2], оператор ${{L}_{x}}$ порождает сильно непрерывную субмарковскую операторную полугруппу ${{\{ {{T}_{t}}\} }_{{t \geqslant 0}}}$ в ${{L}^{1}}({{\gamma }_{x}})$, причем мера ${{\gamma }_{x}}$ субинвариантна для ${{T}_{t}}$, т.е. интеграл от ${{T}_{t}}f$ по мере ${{\gamma }_{x}}$ не превосходит интеграл от f для всех ограниченных измеримых функций $f \geqslant 0$. Согласно [3, задача 4.5.7] (полное решение этой задачи приведено в [8]), мера ${{\gamma }_{x}}$ не инвариантна для операторов ${{T}_{t}}$. В силу [3, теорема 5.4.5] для всякого $f \in {{L}^{1}}({{\gamma }_{x}})$ существует непрерывная по $(x,t) \in \mathbb{R} \times (0, + \infty )$ версия ${{T}_{t}}f(x)$, задаваемая равенством

где функция k является гладкой и положительной на $(0, + \infty ) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Именно с такой версией ${{T}_{t}}f$ мы работаем дальше. Выражение определяет сопряженную полугруппу на мерах, причем

Согласно [8, следствие 2.5], для всякой вероятностной меры $\sigma $ не все меры $T_{t}^{*}\sigma $ являются вероятностными. Положим $u(x,t)dx = T_{t}^{*}{{\delta }_{{{{x}_{0}}}}}$, т.е.

Пусть

Лемма 1. Функция q отлична от константы, бесконечно дифференцируема на [0, T], $q{\kern 1pt} '(t) \leqslant 0$, $q(0)$ = 1, ${{q}^{{(j)}}}(0) = 0$ при $j \geqslant 1$.

Доказательство. Функция $h(x,t) = {{T}_{t}}1(x)$ является решением задачи Коши ${{\partial }_{t}}h = {{L}_{x}}h$, $h{{{\text{|}}}_{{t = 0}}}$ = 1. Коэффициенты оператора ${{L}_{x}}$ и начальное условие бесконечно гладкие, что влечет гладкость функции $h$ вплоть до t = 0. Поясним это подробнее. Пусть ${{\psi }_{j}}$ – гладкие функции с компактным носителем, которые поточечно сходятся к 1, причем ${{\psi }_{j}}(x) = 1$ на $[ - j,j]$, $0 \leqslant {{\psi }_{j}} \leqslant 1$. Функции h_j = = ${{T}_{t}}{{\psi }_{j}}$ сходятся к $h = {{T}_{t}}1$ при каждом $t$ в ${{L}^{1}}({{\gamma }_{x}})$. Согласно [8, лемма 2.2], функция ${{h}_{j}}$ равна пределу решений ${{h}_{{j,m}}}$ краевых задач ${{\partial }_{t}}{{h}_{{j,m}}} = {{L}_{x}}{{h}_{{j,m}}}$, ${{h}_{{j,m}}}( - m,t)$ = = ${{h}_{{j,m}}}(m,t)$, ${{h}_{{j,m}}}(x,0) = {{\psi }_{j}}(x)$. При достаточно большом m решения этих краевых задач являются гладкими на $[ - m,m] \times [0,T]$, а в силу локальных априорных оценок (см. [9, теорема 10.1]) предельные функции ${{h}_{j}}$ также являются гладкими и их производные по $x$ и $t$ всякого фиксированного порядка равномерно ограничены по $j$ на всяком множестве вида $[0,T] \times [ - m,m]$.

Следовательно, предельная функция $h$ является гладкой вплоть до t = 0. В частности, функция $q(t) = h({{x}_{0}},t)$ бесконечно дифференцируема на $[0,T]$. Пусть $s > 0$. Так как ${{T}_{s}}1 \leqslant 1$, то

Таким образом, функция q убывает, поэтому $q{\kern 1pt} '\, \leqslant \,0$. Заметим, что

Следовательно, ${{q}^{{(j)}}}(0) = 0$ при $j \geqslant 1$. Функция $q$ отлична от константы, так как $q(0) = 1$ и $q(t) < 1$ при $t > 0$. Последнее вытекает из того, что если $q(t) = 1$ при некотором $t > 0$, то $q(s) = 1$ при $s \leqslant t$, поэтому мера ${{\gamma }_{x}}$ инвариантна.

Оператор ${{L}_{z}}$ порождает полугруппу Орнштейна–Уленбека ${{\{ {{S}_{t}}\} }_{{t \geqslant 0}}}$ на ${{L}^{1}}({{\gamma }_{z}})$. Для всякой вероятностной меры $\sigma $ соответствующая полугруппа ${{\{ S_{t}^{*}\} }_{{t \geqslant 0}}}$ на мерах задает вероятностное решение $S_{t}^{*}\sigma $ уравнения ${{\partial }_{t}}S_{t}^{*}\sigma = L_{z}^{*}S_{t}^{*}\sigma $ с начальным условием $S_{t}^{*}\sigma {{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = \sigma $. Положим

Заметим, что при каждом $t$ функция $w( \cdot ,t)$ является вероятностной плотностью, а функция $u( \cdot ,t)$ не является вероятностной плотностью. Для построения вероятностного решения нам необходимо задать функцию $v$ так, чтобы произведение $uvw$ стало вероятностной плотностью. Кроме того, меняя множитель $v$, мы построим бесконечно много линейно независимых вероятностных решений. Решение $v$ построим в виде суммы двух функций ${{v}_{1}}$ и ${{v}_{2}}$, где функция ${{v}_{1}}$ – вероятностное решение уравнения ${{\partial }_{t}}v = L_{y}^{*}v$ с начальным условием $v{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{\delta }_{{{{y}_{0}}}}}$ (это решение фиксировано для дальнейшего), а функция ${{v}_{2}}$ – некоторое специальное неотрицательное интегрируемое решение уравнения ${{\partial }_{t}}v = L_{y}^{*}v$ с начальным условием $v{{{\text{|}}}_{{t = 0}}}$ = 0, которое далее будет меняться, причем

Вероятностное решение ${{v}_{1}}$ существует согласно [3, следствие 6.6.6]. Действительно, функция ${{y}^{2}}$ является функцией Ляпунова для оператора ${{L}_{y}}$: для нее имеем ${{L}_{y}}{{y}^{2}} = 2 + 2C(y)y \leqslant 6$, ибо

Существование функции ${{v}_{2}}$ обеспечивает следующая лемма, в которой применяется теория вырождающихся параболических уравнений. Использование вырождающихся уравнений для построения примеров неединственности вероятностных решений стационарного уравнения Колмогорова было предложено в работе [10].

Положим

Лемма 2. Пусть ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{2}}$ – гладкие неотрицательные функции на $[0,T]$, причем ${{p}_{1}}(0) = {{p}_{2}}(0)$ = 0, $p_{1}^{{(k)}}(0) = p_{2}^{{(k)}}(0) = 0$ при всех $k \geqslant 1$ и

Тогда существует бесконечно гладкая функция $v$ на $[0,T] \times \mathbb{R}$, удовлетворяющая условиям

Более того,

Доказательство. Пусть $\psi (s) = s$. Сделаем замену переменной $\eta = \psi (y)$ в задаче Коши ${{\partial }_{t}}v = L_{y}^{*}v$, $v{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = 0$. Тогда уравнение преобразуется в вырожденное уравнение на прямоугольнике $\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right) \times (0,T)$:

где

Отметим, что после обратной замены переменной всякое неотрицательное решение $V(\eta ,t)$ уравнения (2) дает неотрицательное решение $v(y,t)$ исходного уравнения. Для каждого $t \in [0,T]$ интеграл функции $V( \cdot ,t)$ по отрезку $\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$ равен интегралу функции $v( \cdot ,t)$ по всей прямой.

Далее рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения (2). Уравнение вырождается на границе, поэтому краевые условия должны ставиться лишь на части границы, обозначаемой через ${{\Sigma }_{2}}$ и определяемой посредством функции Фикеры. Мы проверим, что в данном случае это дает обычные краевые условия, как и для невырожденного уравнения.

Напомним, что если уравнение имеет вид $a{{D}^{2}}$ + + bD + c = 0, то функция Фикеры определяется в точках границы области, где ${{a}^{{ij}}}{{n}_{i}}{{n}_{j}} = 0$ для внутренней нормали $n$, и равна $({{b}^{k}} - a_{{{{x}_{j}}}}^{{kj}}){{n}_{k}}$, см. [11, гл. 1, § 1, § 5, теорема 1.5.1]. Поскольку коэффициент $\alpha $ уравнения (2) при продолжении нулем вне интервала $\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)$ есть функция класса C² на всей прямой, равная нулю в концах интервала вместе с производными первого и второго порядка, получаем, что функция Фикеры имеет вид φ(η) = = $ - {\text{sign}}(\eta )\beta (\eta )$, поэтому Σ₂ = $\{ (\eta ,t){\kern 1pt} :\;{\text{sign}}(\eta )\beta (\eta )$ > 0}. Для выбранного выше коэффициента сноса $C(y)$ боковые отрезки $\frac{\pi }{2} \times [0,T]$ и –$\frac{\pi }{2} \times [0,T]$ лежат в Σ₂. Таким образом, из теории вырожденных параболических уравнений (см. [11, 12]) следует, что здесь можно поставить начальное условие при t = 0 и граничные условия при $\eta = \pm \frac{\pi }{2}$. Рассмотрим начально-краевую задачу

Домножая уравнение на ${{e}^{{\lambda t}}}$ с некоторой константой $\lambda $, можно считать, что $\gamma \leqslant - {{\gamma }_{0}} < 0$ для некоторой константы γ₀. Далее, вычитая из решения V некоторую гладкую функцию Q, можно свести задачу к однородным граничным условиям. Теперь применимо следствие теоремы 4 из [12]. Итак, существует гладкое решение V задачи (3). Кроме того, для задачи (3) применима теорема 1.1.2 из [11], по которой для решения V выполнен принцип максимума, поэтому из неотрицательности ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{2}}$ следует неотрицательность V. Проверим, что

Имеем

Следовательно,

Наконец, отметим, что ${v}(y,t) = V({\text{arctg}}\,y,t){{(1 + {{y}^{2}})}^{{ - 1}}}$ и

что завершает доказательство.

Пусть теперь $\{ {{p}^{j}}\} $ – бесконечный набор гладких линейно независимых неотрицательных функций на отрезке $[0,T]$, удовлетворяющих неравенствам $0 \leqslant {{p}^{j}}(t) \leqslant \frac{{2p(t)}}{\pi }$ для всех $t$ и равенствам ${{p}^{j}}(0) = 0$, ${{({{p}^{j}})}^{{(k)}}}(0) = 0$ при всех $k \geqslant 1$. Для каждой пары

с помощью последней леммы построим решение ${v}_{2}^{j}$ и положим

Тогда соответствующие функции

(в случае d = 2 функции ${{\varrho }^{j}}(x,y,t) = u(x,t){{v}^{j}}(y,t)$) являются линейно независимыми решениями задачи Коши

Обоснуем линейную независимость. По построению

Следовательно, линейная зависимость ${{\varrho }^{j}}$ привела бы к линейной зависимости функций ${{p}^{j}}$, что невозможно.

Теперь рассмотрим случай произвольного начального условия ν. Пусть $a = ({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})$ и $\varrho _{a}^{j}$ – построенные выше решения задачи Коши с начальным условием ${{\delta }_{a}}$. Из построения видно, что решения борелевски измеримы по a. Рассмотрим функцию

Ясно, что ${{\omega }^{j}}$ является вероятностным решением задачи Коши

Пусть ${{u}_{{{{x}_{0}}}}}(x,t)$, ${{v}_{{1,{{y}_{0}}}}}(y,t)$, ${{w}_{{{{z}_{0}}}}}(z,t)$ – построенные выше функции для начальных условий ${{\delta }_{{{{x}_{0}}}}}$, ${{\delta }_{{{{y}_{0}}}}}$, ${{\delta }_{{{{z}_{0}}}}}$, где $({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}}) = a$. Тогда верны равенства

Умножая

на $(1 + {{y}^{2}})$ и устремляя y к $ - \infty $, получаем $q(t){{p}^{j}}(t)$. Следовательно, линейная независимость ${{p}^{j}}$ влечет линейную независимость ${{\omega }^{j}}$. Таким образом, построено бесконечно много линейно независимых вероятностных решений задачи Коши.