Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 505, № 1, стр. 37-41

О МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧЕ ЗАРЕМБЫ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ p-ЛАПЛАСА

Ю. А. Алхутов^1, *, А. Г. Чечкина^2, 3, **

¹ Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых
Владимир, Россия

² Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

³ Институт математики с компьютерным центром – подразделение Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
Уфа, Россия

^* E-mail: yurij-alkhutov@yandex.ru
^** E-mail: chechkina@gmail.com

Поступила в редакцию 16.05.2022
После доработки 10.06.2022
Принята к публикации 15.06.2022

EDN: LWQWFZ
DOI: 10.31857/S2686954322040026

Полный текст (PDF)

Аннотация

Доказана повышенная суммируемость градиента решения задачи Зарембы в ограниченной строго липшицевой области для неоднородного уравнения p-Лапласа.

Ключевые слова: задача Зарембы, оценки Мейерса, p-емкость, теоремы вложения, повышенная суммируемость

1. ВВЕДЕНИЕ

Исследуются интегральные свойства обобщенных решений неоднородного уравнения p-Лапласа, где $p > 1$, решений задачи Зарембы в ограниченной строго липшицевой области $D \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, где $n > 1$. Для постановки задачи Зарембы введем соболевское пространство функций $W_{p}^{1}(D,F)$. Здесь $F \subset \partial D$ – замкнутое множество, $W_{p}^{1}(D,F)$ – пополнение бесконечно дифференцируемых в замыкании D функций, равных нулю в окрестности $F$, по норме пространства $W_{p}^{1}(D)$. Априори для функций $v \in W_{p}^{1}(D,F)$ предполагается выполненным неравенство Фридрихса

(1.1)

$\int\limits_D {{\left| v \right|}^{p}}{\kern 1pt} dx \leqslant C\int\limits_D {{\left| {\nabla v} \right|}^{p}}{\kern 1pt} dx,$

о котором будет сказано ниже. Полагая $G = \partial D{{\backslash }}F$, рассмотрим задачу Зарембы

(1.2)

$\begin{gathered} {{\Delta }_{p}}u: = {\text{div}}({{\left| {\nabla u} \right|}^{{p - 2}}}\nabla u) = l\quad {\text{в}}\quad D, \\ u = 0\quad {\text{на}}\quad F,\quad \frac{{\partial u}}{{\partial n}} = 0\quad {\text{на}}\quad G, \\ \end{gathered} $

где $\frac{{\partial u}}{{\partial n}}$ означает внешнюю нормальную производную функции $u$, а l является линейным функционалом в пространстве, сопряженном к $W_{p}^{1}(D,F)$.

Под решением задачи (1.2) понимается функция $u \in W_{p}^{1}(D,F)$, для которой выполнено интегральное тождество

(1.3)

$\int\limits_D {{\left| {\nabla u} \right|}^{{p - 2}}}\nabla u \cdot \nabla \varphi {\kern 1pt} dx = - l(\varphi )$

для всех пробных функций $\varphi \in W_{p}^{1}(D,F)$.

В силу неравенства Фридрихса (1.1) пространство $W_{p}^{1}(D,F)$ можно снабдить нормой, в которой присутствует только градиент. Поэтому, пользуясь теоремой Хана-Банаха, можно показать, что функционал l записывается в виде

(1.4)

$l(\varphi ) = - \sum\limits_{i = 1}^n \int\limits_D {{f}_{i}}{{\varphi }_{{{{x}_{i}}}}}{\kern 1pt} dx,$

где ${{f}_{i}} \in {{L}_{{p{\kern 1pt} '}}}(D)$, i = 1, ..., n, $p{\kern 1pt} ' = p{\text{/}}(p - 1)$. В силу (1.3) для каждого конкретного функционала решение задачи (1.2) понимается в смысле интегрального соотношения

(1.5)

$\int\limits_D {{\left| {\nabla u} \right|}^{{p - 2}}}\nabla u \cdot \nabla \varphi {\kern 1pt} dx = \int\limits_D f \cdot \nabla \varphi {\kern 1pt} dx$

для всех пробных функций $\varphi \in W_{p}^{1}(D,F)$, в котором компоненты вектор-функции $f = ({{f}_{1}}, \ldots ,{{f}_{n}})$ являются функциями из ${{L}_{{p{\kern 1pt} '}}}(D)$.

Методом теории монотонных операторов устанавливается, что задача (1.2) однозначно разрешима в соболевском пространстве функций $W_{p}^{1}(D$, F) (см., например, теорему 2.1 из второго раздела главы 2 монографии [1]).

Целью работы является вопрос о повышенной суммируемости градиента решений задачи (1.2) в предположении, что $f \in {{L}_{{p{\kern 1pt} ' + \delta }}}(D)$, где $\delta > 0$.

Повышенная суммируемость градиента решений линейных дивергентных равномерно эллиптических уравнений с измеримыми коэффициентами на плоскости вытекает из результатов работы [2]. Позже в многомерном случае для уравнений такого же вида повышенная суммируемость градиента решения задачи Дирихле в области с достаточно регулярной границей была установлена в [3]. Оценки типа Боярского-Мейерса решений задачи Зарембы в ограниченной липшицевой области для линейных эллиптических уравнений второго порядка известны из работ [4] и [5].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Главную роль играет условие на структуру множества носителя данных Дирихле F. Для формулировки результата нам потребуется понятие емкости. Определим для компакта $K \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ емкость ${{C}_{q}}(K)$, которая при $1 < q < n$ определяется равенством

${{C}_{q}}(K) = \inf \left\{ { \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}} {{{\left| {\nabla \varphi } \right|}}^{q}}{\kern 1pt} dx: \varphi \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{n}}), \varphi \geqslant 1\;{\text{на}}\;K} \right\}.$

Величина показателя q связана со значением показателя p из (1.2), размерностью пространства n и определяется следующим образом: если $p \in (1,n{\text{/}}$(n – 1)], то $q = (p + 1){\text{/}}2$, а если $p \in (n{\text{/}}(n - 1)$, n], где $n > 2$, то $q = np{\text{/}}(n + p)$.

Ниже $B_{r}^{{{{x}_{0}}}}$ означает открытый шар радиуса r с центром в точке x₀. Сформулируем ограничение на множество F.

A. Если $1 < p \leqslant n$, то предполагается выполнение следующего условия: для произвольной точки ${{x}_{0}} \in F$ при $r \leqslant {{r}_{0}}$ справедливо неравенство

(2.6)

${{C}_{q}}(F \cap \overline B _{r}^{{{{x}_{0}}}}) \geqslant {{c}_{0}}{{r}^{{n - q}}},$

в котором положительная постоянная c₀ не зависит от x₀ и r.

B. Если $p > n$, то предполагается, что множество $F$ не пусто: $F \ne \emptyset $.

В каждом из предполагаемых случаев выполнено неравенство Фридрихса (1.1). При выполнении условия (2.6) оно вытекает из неравенства Мазьи [6] (теорема из § 10.1.2). Если же $p > n$, то нужно воспользоваться определением внутреннего (кубического) диаметра открытого множества (см. [2], конец § 10.2) и воспользоваться теоремой 1 из § 10.2.3 монографии [6].

Пусть $me{{s}_{{n - 1}}}(E)$ означает (n – 1)- мерную меру Лебега множества $E \subset \partial D$. Заметим, что из условия $me{{s}_{{n - 1}}}(F \cap \overline B _{r}^{{{{x}_{0}}}}) \geqslant {{c}_{0}}{{r}^{{n - 1}}}$, аналогичного (2.6), вытекает и само условие (2.6). Это следует из оценки предложения 4 [6, § 9.1].

3. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Для пояснения схемы доказательства основного утверждения нам потребуется более детально определить, как определяется понятие липшицевой области $D$. Будем называть область D липшицевой, если для каждой точки ${{x}_{0}} \in \partial D$ существует открытый куб $Q$ с центром в x₀, грани которого параллельны координатным осям, длина ребра не зависит от x₀ и в некоторой декартовой системе координат с началом в x₀ множество $Q \cap \partial D$ есть график липшицевой функции ${{x}_{n}} = g({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}})$ с постоянной Липшица, не зависящей от x₀. Длину ребра таких кубов будем считать равной $2{{R}_{0}}$, а постоянную Липшица соответствующих функций g обозначим через L. При этом для определенности предполагаем, что множество $Q \cap D$ расположено выше графика функции g.

Справедливо следующее утверждение, в котором постоянная ${{r}_{0}}$ из условия (2.6) не превосходит константы ${{R}_{0}}$.

Теорема 1. Если $f \in {{L}_{{p' + {{\delta }_{0}}}}}(D)$, где ${{\delta }_{0}} > 0$, то существует положительная постоянная $\delta (n,p,{{\delta }_{0}})$ < δ₀такая, что для решения задачи (1.2) справедлива оценка

(3.7)

$\int\limits_D {{\left| {\nabla u} \right|}^{{p + \delta }}}{\kern 1pt} dx \leqslant C\int\limits_D {{\left| f \right|}^{{p{\kern 1pt} '(1 + \delta /p)}}}{\kern 1pt} dx,$

в которой константа $C$ при $1 < p \leqslant n$ зависит только от $p$, ${{\delta }_{0}}$, $n$, величины ${{c}_{0}}$ из (2.6) и области D. При $p > n$ зависимость $C$ от ${{c}_{0}}$ отсутствует.

Замечание 1. Сформулированное утверждение справедливо не только для оператора $p$-Лапласа, но и более общего оператора вида

$Lu = {\text{div}}({{\left| {\nabla u} \right|}^{{p - 2}}}A\nabla u)$

с измеримой симметрической и равномерно положительно определенной матрицей A такой, что оператор $L$ является монотонным. Условие на матрицу A, обеспечивающее монотонность оператора $L$, можно найти в работе [7]. Условие монотонности требуется только для однозначной разрешимости задачи Зарембы. Все остальные рассуждения опираются только на положительную определенность матрицы A.

Сначала оценка повышенной суммируемости градиента решения задачи (1.2) устанавливается в окрестности границы области $D$. Здесь используется техника локального распрямления границы $\partial D$. Полагая ${{Q}_{{{{R}_{0}}}}} = \{ x: \left| {{{x}_{i}}} \right| < {{R}_{0}}, i = 1, \ldots ,n\} $, для произвольной граничной точки ${{x}_{0}} \in \partial D$ рассмотрим локальную декартову систему координат с началом в ${{x}_{0}}$ такую, что часть границы $\partial D$, попадающая в куб ${{Q}_{{{{R}_{0}}}}}$, задается в этой системе координат уравнением ${{x}_{n}} = g(x{\kern 1pt} ')$, где $x{\kern 1pt} ' = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{{n - 1}}})$, а $g$ – липшицевая функция с показателем Липшица L. Предполагается, что область ${{D}_{{{{R}_{0}}}}} = {{Q}_{{{{R}_{0}}}}} \cap D$ расположена на множестве тех точек, где ${{x}_{n}} > g(x{\kern 1pt} ')$. Перейдем в ${{Q}_{{{{R}_{0}}}}}$ к новой системе координат, совершив невырожденное преобразование переменных

(3.8)

$y{\kern 1pt} ' = x{\kern 1pt} ',\quad {{y}_{n}} = {{x}_{n}} - g(x{\kern 1pt} ').$

Ясно, что часть границы ${{Q}_{{{{R}_{0}}}}} \cap \partial D$ преобразуется в кусок гиперплоскости

${{P}_{{{{R}_{0}}}}} = \{ y: \left| {{{y}_{i}}} \right| < {{R}_{0}}, i = 1, \ldots ,n - 1, {{y}_{n}} = 0\} $

и нетрудно показать, что образ области ${{Q}_{{{{R}_{0}}}}}$ содержит куб

(3.9)

${{K}_{{{{R}_{0}}}}} = \{ y: \left| {{{y}_{i}}} \right| < (1 + \sqrt {n - 1} L{{)}^{{ - 1}}}{{R}_{0}}, i = 1, \ldots ,n\} .$

В полукубе $K_{{{{R}_{0}}}}^{ + } = {{K}_{{{{R}_{0}}}}} \cap \{ y: {{y}_{n}} > 0\} $ , содержащимся в образе области $D \cap {{Q}_{{{{R}_{0}}}}}$, задача (1.2), за решением которой сохраним исходное обозначение, примет вид

(3.10)

$\begin{gathered} {{L}_{1}}u\,: = \,{\text{div}}({{\left| {{{\nabla }_{y}}u + {{u}_{{{{y}_{n}}}}}{{\nabla }_{y}}g} \right|}^{{p - 2}}}a(y){{\nabla }_{y}}u)\, = \,\tilde {l}\,\,{\text{в}}\,\,K_{{{{R}_{0}}}}^{ + }, \\ u = 0\quad {\text{на}}\quad {{{\tilde {F}}}_{{{{R}_{0}}}}}, \quad \frac{{\partial u}}{{\partial \widetilde \nu }} = 0\quad {\text{на}}\quad {{{\tilde {G}}}_{{{{R}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь симметричная матрица $a(y) = \{ {{a}_{{ij}}}(y)\} $ равномерно положительно определена, а вектор-функция f, участвующая в записи функционала (1.4), преобразуется в вектор функцию $\tilde {f}$, компоненты которой определяются равенствами

$\tilde {f}(y) = ({{\tilde {f}}_{1}}(y), \ldots ,{{\tilde {f}}_{n}}(y)),$

(3.11)

$\begin{gathered} {\text{где}}\quad {{{\tilde {f}}}_{i}}(y) = {{f}_{i}}(y{\kern 1pt} ',{{y}_{n}} + g(y{\kern 1pt} ')) \\ {\text{при}}\quad i = 1, \ldots ,n - 1, \\ {{{\tilde {f}}}_{n}}(y) = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} \frac{{\partial g(y{\kern 1pt} ')}}{{\partial {{y}_{i}}}}{{f}_{i}}(y{\kern 1pt} ',{{y}_{n}} + g(y{\kern 1pt} ')) + \\ \end{gathered} $

$\, + {{f}_{n}}(y{\kern 1pt} ',{{y}_{n}} + g(y{\kern 1pt} ')).$

Множества ${{\tilde {F}}_{{{{R}_{0}}}}}$ и ${{\tilde {G}}_{{{{R}_{0}}}}}$ таковы, что ${{\tilde {F}}_{{{{R}_{0}}}}}\, = \,\tilde {F}\, \cap \,{{P}_{{{{R}_{0}}}}}\, \cap \,{{K}_{{{{R}_{0}}}}}$ и ${{\tilde {G}}_{{{{R}_{0}}}}} = \tilde {G} \cap {{P}_{{{{R}_{0}}}}} \cap {{K}_{{{{R}_{0}}}}}$, где $\widetilde F$, $\widetilde G$ – образы множеств $F \cap {{Q}_{{{{R}_{0}}}}}$ и $G \cap {{Q}_{{{{R}_{0}}}}}$ соответственно, а $\frac{{\partial u}}{{\partial \widetilde \nu }}$ означает внешнюю конормальную производную функции u, порожденную матрицей a.

Продолжим функцию u, удовлетворяющую (3.10), четно относительно гиперплоскости $\{ y: {{y}_{n}}$ = = 0}. Продолженная функция, за которой вновь сохраним предыдущее обозначение, удовлетворяет соотношению

(3.12)

$\begin{gathered} {{L}_{2}}u = {\text{div}}({\text{|}}\widetilde \nabla u{{{\text{|}}}^{{p - 2}}}b(y)\nabla u) = {{l}_{h}} \\ {\text{и}}\quad {{K}_{{{{R}_{0}}}}}{{\backslash }}{{{\tilde {F}}}_{{{{R}_{0}}}}},\quad u = 0\;{\text{на}}\;{{{\tilde {F}}}_{{{{R}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь $\widetilde \nabla u$ сопадает с $\nabla u + {{u}_{{{{y}_{n}}}}}\nabla g$ при ${{y}_{n}} > 0$, а при ${{y}_{n}} < 0$ совпадает с таким же выражением с учетом того, что частная производная ${{u}_{{{{y}_{n}}}}}$ продолжается нечетно. Положительно определенная матрица $b(y) = \{ {{b}_{{ij}}}(y)\} $ такова, что ${{b}_{{jn}}}(y) = {{b}_{{nj}}}(y)$ при $j \ne n$ являются нечетными продолжениями ${{a}_{{jn}}}(y)$ из (3.10), а все остальные элементы ${{b}_{{ij}}}(y)$ – четным продолжением ${{a}_{{ij}}}(y)$. Компоненты вектор–функции $h = ({{h}_{1}}, \ldots ,{{h}_{n}})$ в (3.12), участвующей в представлении функционала l_h, определятся равенствами: ее компоненты ${{h}_{i}}(y)$ при $i = 1, \ldots ,n - 1$ – четные продолжения компонент ${{\tilde {f}}_{i}}(y)$ из (3.10), а ${{h}_{n}}(y)$ – нечетное продолжение ${{\tilde {f}}_{n}}(y)$. Отметим, что ${{C}_{1}}(L)\left| {\nabla u} \right| \leqslant \left| {\widetilde \nabla u} \right| \leqslant {{C}_{2}}(L)\left| {\nabla u} \right|$.

Решением (3.12) является функция $u\, \in \,W_{p}^{1}({{K}_{{{{R}_{0}}}}})$, для которой выполнено интегральное тождество (см. (1.5))

(3.13)

$\int\limits_{{{K}_{{{{R}_{0}}}}}} {{\left| {\widetilde \nabla u} \right|}^{{p - 2}}}b\nabla u \cdot \nabla \varphi {\kern 1pt} dy = \int\limits_{{{K}_{{{{R}_{0}}}}}} h \cdot \nabla \varphi {\kern 1pt} dy$

для всех пробных функций $\varphi \in W_{2}^{1}({{K}_{{{{R}_{0}}}}},{{F}_{{{{R}_{0}}}}})$, которые являются замыканием множества бесконечно дифференцируемых в замыкании ${{K}_{{{{R}_{0}}}}}$ функций, равных нулю в окрестности $\partial {{K}_{{{{R}_{0}}}}}$ и ${{F}_{{{{R}_{0}}}}}$ по норме пространства $W_{p}^{1}({{K}_{{{{R}_{0}}}}})$.

Обозначим через $Q_{R}^{{{{y}_{0}}}}$ открытый куб с центром в точке ${{y}_{0}}$ с ребрами длиной $2R$, параллельными координатным осям. Ниже предполагается, что

${{y}_{0}} \in {{K}_{{{{R}_{0}}/2}}}{{\backslash }}\partial {{K}_{{{{R}_{0}}/2}}},\quad {\text{где}}\quad R \leqslant \frac{1}{2}{\text{dist}}({{y}_{0}},\partial {{K}_{{{{R}_{0}}/2}}}),$

и полагается

$ - \int\limits_{Q_{R}^{{{{y}_{0}}}}} f{\kern 1pt} dx = \frac{1}{{{\text{|}}Q_{R}^{{{{y}_{0}}}}{\text{|}}}}\int\limits_{Q_{R}^{{{{y}_{0}}}}} f{\kern 1pt} dx,$

где ${\text{|}}Q_{R}^{{{{y}_{0}}}}{\text{|}}$ означает n-мерную меру куба $Q_{R}^{{{{y}_{0}}}}$.

Пользуясь условиями на множество F, после соответствующего выбора пробной функции в (3.13) с помощью неравенства Мазьи [6] (теорема из § 10.1.2) при выполнении условия (2.6), неравенством теоремы 1 из § 10.2.3 монографии [6] при $p > n$, а также неравенства Пуанкаре-Соболева устанавливается, что

(3.14)

$\begin{gathered} {{\left( { - \int\limits_{Q_{R}^{{{{x}_{0}}}}} {\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{p}}{\kern 1pt} dx} \right)}^{{1/p}}} \leqslant \\ \, \leqslant C\left( {{{{\left( { - \int\limits_{Q_{{2R}}^{{{{x}_{0}}}}} {\text{|}}\nabla u{{{\text{|}}}^{q}}{\kern 1pt} dx} \right)}}^{{1/q}}} + {{{\left( { - \int\limits_{Q_{{2R}}^{{{{x}_{0}}}}} {\text{|}}h{{{\text{|}}}^{{p{\kern 1pt} '}}}{\kern 1pt} dx} \right)}}^{{1/p}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь постоянная q при $1 < p \leqslant n$ определяется как и в § 2, а при $p > n$ равна $(p + n){\text{/}}2$. Постоянная C при $1 < p \leqslant n$ зависит только от $n$, p, $L$ и константы c₀ из условия (2.6) а при $p > n$ зависимости от c₀ нет.

Из этой оценки, справедливой для всех рассматриваемых кубов $Q_{R}^{{{{y}_{0}}}}$ и обобщеной леммы Геринга (см. [8], а также [9], гл. VII) с учетом длины ребра куба ${{K}_{{{{R}_{0}}}}}$ (см. (3.9)) в предположении, что $h \in {{L}_{{2 + {{\delta }_{0}}}}}({{K}_{{{{R}_{0}}}}})$, где ${{\delta }_{0}} > 0$, имеем

${{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}_{{p + \delta }}}({{K}_{{{{R}_{0}}/4}}})}}} \leqslant C\left( { {{{\left\| {\nabla u} \right\|}}_{{{{L}_{p}}({{K}_{{{{R}_{0}}/2}}})}}} + {{{\left\| {{{{\left| h \right|}}^{{p{\kern 1pt} '/p}}}} \right\|}}_{{{{L}_{{p + \delta }}}({{K}_{{{{R}_{0}}/2}}})}}}} \right)$

с положительной постоянной $\delta = \delta (n,p,{{\delta }_{0}})$ и дополнительной зависимостью C от R₀. В силу четности функции u относительно гиперплоскости $\{ y: {{y}_{n}} = 0\} $ ее можно переписать в виде (см. (3.10))

(3.15)

$\begin{gathered} {{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}_{{p + \delta }}}({{K}_{{{{R}_{0}}/4}}})}}} \leqslant \\ \, \leqslant C\left( { {{{\left\| {\nabla u} \right\|}}_{{{{L}_{p}}({{K}_{{{{R}_{0}}/2}}})}}} + {{{\left\| {{{{\left| {\tilde {f}} \right|}}^{{p{\kern 1pt} '/p}}}} \right\|}}_{{{{L}_{{p + \delta }}}({{K}_{{{{R}_{0}}/2}}})}}}} \right) \\ \end{gathered} $

Совершая здесь преобразование, обратное к (3.8), заметим что прообраз полукуба $K_{{{{R}_{0}}/2}}^{ + }$ содержится в множестве ${{D}_{{{{R}_{0}}}}}$, а прообраз полукуба $K_{{{{R}_{0}}/4}}^{ + }$ содержит множество ${{D}_{{\theta {{R}_{0}}}}}$, где $\theta = \theta (n,L) > 0$. Учитывая еще соотношение (3.11), в силу (3.15) будем иметь

${{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}_{{p + \delta }}}({{D}_{{\theta {{R}_{0}}}}})}}} \leqslant C\left( {{{{\left\| {\nabla u} \right\|}}_{{{{L}_{p}}({{D}_{{{{R}_{0}}}}})}}} + {{{\left\| {{{{\left| f \right|}}^{{p{\kern 1pt} '/p}}}} \right\|}}_{{{{L}_{{p + \delta }}}({{D}_{{{{R}_{0}}}}})}}}} \right)$

Переходя здесь к декартовой системе координат с началом в точке ${{x}_{0}} \in \partial D$, из которой исходили с самого начала рассуждений, получим

$\begin{gathered} {{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}_{{p + \delta }}}(D \cap Q_{{\theta {{R}_{0}}}}^{{{{x}_{0}}}})}}} \leqslant \\ \leqslant C\left( {{{{\left\| {\nabla u} \right\|}}_{{{{L}_{p}}(D \cap Q_{{{{R}_{0}}}}^{{{{x}_{0}}}})}}} + {{{\left\| {{{{\left| f \right|}}^{{p{\kern 1pt} '/p}}}} \right\|}}_{{{{L}_{{p + \delta }}}(D \cap Q_{{{{R}_{0}}}}^{{{{x}_{0}}}})}}}} \right) \\ \end{gathered} $

Поскольку ${{x}_{0}} \in \partial D$ произвольная граничная точка, а граница $\partial D$ компактна, то можно найти такое конечное покрытие $\partial D$, что замкнутое множество

$\begin{gathered} {{\mathcal{D}}_{{{{\theta }_{1}}{{R}_{0}}}}} = \{ x \in D: dist(x,\partial D) \leqslant {{\theta }_{1}}{{R}_{0}}\} , \\ {{\theta }_{1}} = {{\theta }_{1}}(n,L) > 0 \\ \end{gathered} $

содержится в объединении множеств $D \cap Q_{{\theta {{R}_{0}}}}^{{{{x}_{i}}}}$, где ${{x}_{i}} \in \partial D$. Поэтому, суммируя неравенства

${{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}_{{p + \delta }}}(D \cap Q_{{\theta {{R}_{0}}}}^{{{{x}_{i}}}})}}} \leqslant C\left( {{{{\left\| {\nabla u} \right\|}}_{{{{L}_{p}}(D \cap Q_{{{{R}_{0}}}}^{{{{x}_{i}}}})}}} + {{{\left\| {{{{\left| f \right|}}^{{p{\kern 1pt} '/p}}}} \right\|}}_{{{{L}_{{p + \delta }}}(D \cap Q_{{{{R}_{0}}}}^{{{{x}_{i}}}})}}}} \right),$

придем к оценке

${{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}_{{p + \delta }}}({{\mathcal{D}}_{{{{\theta }_{1}}{{R}_{0}}}}})}}} \leqslant C\left( {{{{\left\| {\nabla u} \right\|}}_{{{{L}_{p}}(D)}}} + {{{\left\| {{{{\left| f \right|}}^{{p{\kern 1pt} '/p}}}} \right\|}}_{{{{L}_{{p + \delta }}}(D)}}}} \right).$

Внутренняя оценка

${{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}_{{p + \delta }}}(D\backslash {{\mathcal{D}}_{{{{\theta }_{1}}{{R}_{0}}}}})}}} \leqslant C\left( {{{{\left\| {\nabla u} \right\|}}_{{{{L}_{p}}(D)}}} + {{{\left\| {{{{\left| f \right|}}^{{p{\kern 1pt} '/p}}}} \right\|}}_{{{{L}_{{p + \delta }}}(D)}}}} \right)$

не учитывает граничных условий и доказывается намного проще. В итоге, сочетая две последние оценки и пользуясь энергетическим неравенством для первого слагаемого в правых частях этих оценок, приходим к (3.7).

Список литературы

Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных задач. Москва: Издательство Мир, 1972.
Боярский Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Матем. сб. 1957. Т. 43(85). № 4. С. 451–503.
Meyers N.G. An L^p-estimate for the gradient of solutions of second order elliptic deivergence equations // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3-e série. 1963. V. 17. № 3. P. 189–206.
Алхутов Ю.А., Чечкин Г.А. Повышенная суммируемость градиента решения задачи Зарембы для уравнения Пуассона // Доклады РАН. 2021. Т. 497. № 2. С. 3–6.
Alkhutov Yu.A., Chechkin G.A. The Meyer’s Estimate of Solutions to Zaremba Problem for Second-order Elliptic Equations in Divergent Form // C R Mécanique. 2021. V. 349. № 2. P. 299–304.
Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1985.
Лаптев Г.И. Условия монотонности для одного класса квазилинейных дифференциальных операторов, зависящих от параметров // Матем. заметки. 2014. Т. 96. № 3. С. 405–417.
Gehring F.W. The L^p-integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta Math. 1973. V. 130. P. 265–277.
Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал