Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 9-15

В данном сообщении изучаются задачи Коши для n-мерной симметричной гиперболической системы уравнений 1-го порядка с переменными коэффициентами и ее сингулярных возмущений – сильно параболической и гиперболической 2-го порядка систем уравнений с малым параметром $\tau > 0$ при вторых производных по x и $t$. Возмущения со вторыми производными по $x$ имеют дивергентный вид и содержат матрицы с переменными коэффициентами. Подобные возмущения много лет применяются на практике при построении сеточных методов решения квазилинейной системы уравнений газовой динамики [1–3]. Существует много иных приложений анализа подобных возмущений, см. в том числе [4–6] и цитированную там литературу.

Формулируются результаты о слабых и сильных решениях исходной системы и систем с возмущениями, в том числе равномерные по $\tau $ оценки слабых решений последних систем. Они дополняют известные, и при их выводе используются в том числе методы из [6–10]. Для разностей ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }}$ решений исходной системы и систем с возмущениями выводятся оценки порядка $O({{\tau }^{{\alpha /2}}})$, $0 < \alpha \leqslant 2$, в том числе в норме $C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))$, при начальных данных w₀ и свободном члене f из соответствующих пространств Соболева и Никольского гладкости порядка $\alpha $ по x (для f также порядка $\alpha {\text{/}}2$ по $t$ для гиперболического возмущения). При $\alpha = 1{\text{/}}2$ охватывается широкий класс разрывных функций w₀, что важно для приложений.

Приводятся также оценки производных любого порядка по x для решений всех рассматриваемых систем и разностей ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }}$ порядка $O({{\tau }^{{\alpha /2}}})$, $0 < \alpha \leqslant 2$ в случае, когда коэффициенты систем не зависят от x.

Описывается приложение результатов к линеаризованным на постоянном решении системе уравнений газовой динамики и ее возмущениям – параболической и гиперболической 2-го порядка квазигазодинамическим (КГД) системам уравнений [11, 12].

Введем гильбертовы пространство Лебега ${{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}) = {{H}^{0}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и Соболева ${{H}^{1}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ${{H}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ (все пространства считаем вещественными) со скалярными произведениями ${{(v,w)}_{{{{H}^{l}}({{\mathbb{R}}^{n}})}}}$ = $\sum\limits_{0 \leqslant k \leqslant l}^{} {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}^{} {{{\nabla }^{k}}v \cdot {{\nabla }^{k}}w{\kern 1pt} dx} } $, $l = 0,1,2$. Здесь $\nabla = ({{\partial }_{1}}, \ldots {{\partial }_{n}})$, а ${{\nabla }^{2}} = \{ {{\partial }_{i}}{{\partial }_{j}}\} _{{i,j = 1}}^{n}$ – матрица вторых производных по x, $n \geqslant 1$, и символ $ \cdot $ обозначает скалярное произведение векторов или матриц (если не указано иное).

Будем использовать пространство Соболева ${{H}^{1}}({{\Pi }_{T}})$, ${{\Pi }_{T}}: = {{\mathbb{R}}^{n}} \times (0,T)$ – слой, и обозначим через ${{L}^{{2,q}}}({{\Pi }_{T}})$ и $W_{{2,q}}^{{l,0}}({{\Pi }_{T}})$, $W_{{2,q}}^{{l,1}}({{\Pi }_{T}})$ с $1 \leqslant q \leqslant \infty $, l = 1, 2 анизотропные пространства Лебега и Соболева с нормами ${\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{{2,q}}}({{\Pi }_{T}})}}} = {{\left\| {{\text{||}}v(x,t){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})}}}} \right\|}_{{{{L}^{q}}(0,T)}}}$ и

Пусть ${{V}_{2}}({{\Pi }_{T}})$ – пространство функций $v \in {{L}^{{2,\infty }}}({{\Pi }_{T}})$ с $\nabla v \in {{L}^{2}}({{\Pi }_{T}})$ [8, 9], а $C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))$ состоит из непрерывных функций $v$: $[0,T] \to {{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и ${\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))}}} = \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {\text{||}}v( \cdot ,t){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})}}}$.

Введем произведения ${{({\mathbf{v}},{\mathbf{w}})}_{{{{\mathbb{R}}^{n}}}}} = \int_{{{\mathbb{R}}^{n}}} {\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{w}}{\kern 1pt} dx$, ${{({\mathbf{v}},{\mathbf{w}})}_{{{{\Pi }_{T}}}}} = \int_{{{\Pi }_{T}}} {\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{w}}{\kern 1pt} dxdt$ для вектор-функций v, w таких, что ${\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{w}} \in {{L}^{1}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ или ${{L}^{1}}({{\Pi }_{T}})$ соответственно. Ниже все векторы и вектор-функции считаем столбцами, а операторы ${{\nabla }^{l}}$, $\partial _{t}^{l}$, l = 1, 2 применяются к вектор- и матрицам-функциям поэлементно. Если не указано противное, то лебеговы нормы вектор-функций v, $\nabla {\mathbf{v}}$ и квадратных матриц-функций A вводятся как нормы в этих пространствах от евклидовых норм ${\text{|}}{\mathbf{v}}{\text{|}}$, ${{({\text{|}}{{\partial }_{1}}{\mathbf{v}}{{{\text{|}}}^{2}} + \ldots + \;{\text{|}}{{\partial }_{n}}{\mathbf{v}}{{{\text{|}}}^{2}})}^{{1/2}}}$ и спектральной нормы ${\text{||}}A{\text{||}}$. Далее, лебеговы нормы ${{\nabla }^{2}}{\mathbf{v}}$ и $\nabla A$, ${{\nabla }^{2}}A$ понимаются как суммы норм соответствующих частных производных v и A. Для составных прямоугольных матриц-функций и их производных суммируются соответствующие нормы составляющих квадратных матриц.

Введем задачу Коши для симметричной гиперболической системы 1-го порядка

Здесь ${\mathbf{w}}(x,t),\;{\mathbf{f}}(x,t)$: ${{\Pi }_{T}} \to {{\mathbb{R}}^{m}}$, ${{{\mathbf{w}}}_{0}}(x)$: ${{\mathbb{R}}^{n}} \to {{\mathbb{R}}^{m}}$ – искомая и заданные вектор-функции, а B_i(x, t) = = $B_{i}^{T}(x,t)$, $i = \overline {1,n} $, $C(x,t)$ – коэффициенты-матрицы-функции порядка m. Предполагается суммирование по повторяющимся индексам i, $j = \overline {1,n} $.

Пусть выполнены условия

где ${\mathbf{B}} = ({{B}_{1}}, \ldots ,{{B}_{n}})$ – составная матрица старших коэффициентов размеров $m \times mn$ и ${\text{div}}{\mathbf{B}}: = {{\partial }_{i}}{{B}_{i}}$. Здесь и ниже принадлежность матриц- и вектор-функций какому-либо пространству означает, что всех их элементы принадлежат этому пространству. Для упрощения условия на коэффициенты и их производные формулируются в основном в терминах ${{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})$.

Слабым решением задачи Коши (1) назовем функцию ${\mathbf{w}} \in {{L}^{{2,\infty }}}({{\Pi }_{T}})$, удовлетворяющую интегральному тождеству

Здесь и ниже $\mathcal{H}{\kern 1pt} {\text{*}}{\mathbf{\varphi }} = - {{\partial }_{t}}{\mathbf{\varphi }}\, - \,{{B}_{i}}{{\partial }_{i}}{\mathbf{\varphi }}\, - \,({\text{div}}{\mathbf{B}}\, - \,{{C}^{T}}){\mathbf{\varphi }}$ определяет сопряженный по Лагранжу к $\mathcal{H}$ оператор, а ${\mathbf{\varphi }}(x,t)$: ${{\Pi }_{T}} \to {{\mathbb{R}}^{m}}$ и ${{{\mathbf{\varphi }}}_{0}}: = {\mathbf{\varphi }}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}}$.

Сильным решением этой задачи Коши назовем функцию ${\mathbf{w}} \in {{L}^{{2,\infty }}}({{\Pi }_{T}})$, имеющую $\nabla {\mathbf{w}} \in {{L}^{{2,\infty }}}({{\Pi }_{T}})$, ${{\partial }_{t}}{\mathbf{w}} \in {{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$ и удовлетворяющую уравнению в (1) в ${{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$ и начальному условию ${\mathbf{w}}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{w}}}_{0}}$ в $C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))$.

Ниже используются условия типа ${\text{||}}{\mathbf{B}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}}\, \leqslant \,N$, где $N \geqslant 1$ – параметр, и для краткости в них всегда автоматически подразумевается, что ${\mathbf{B}} \in {{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})$. Возникают постоянные $C(N,T) \geqslant 0$, ${{C}_{1}}(N,T) \geqslant 0$, …, неубывающие по N, T, причем разные постоянные могут обозначаться одинаково. Пусть I_m – единичная матрица порядка m.

Теорема 1. 1. а) Пусть выполнены условия (2) и $0.5{\text{div}}{\mathbf{B}} - C \leqslant {{c}_{0}}{{I}_{m}}$ почти всюду (п.в.) в ${{\Pi }_{T}}$ с постоянной ${{c}_{0}} \geqslant 0$ (например, c₀ = ${\text{||}}0.5{\text{div}}{\mathbf{B}} - C{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}}$). Тогда существует слабое решение w задачи Коши (1) и для него верна оценка

б) Более того, если $\nabla {\mathbf{B}} \in {{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})$, ${{\lim }_{{\xi \to 0}}}\int_0^T {\text{||}}{{\Delta }_{\xi }}C{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{n}})}}}{\kern 1pt} dt$ = 0, где ${{\Delta }_{\xi }}C(x,t)\,: = \,C(x\, + \,\xi ,t)$ – – C(x, t), то слабое решение единственно. Оно также обладает свойством ${\mathbf{w}} \in C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))$ и поэтому в указанной оценке ${\text{||}}{\mathbf{w}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{{2,\infty }}}({{\Pi }_{T}})}}} = {\text{||}}{\mathbf{w}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))}}}$.

2. Пусть ${\text{||}}\{ {\mathbf{B}},C,\nabla {\mathbf{B}},\nabla C\} {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}}\, \leqslant \,N$ и f, $\nabla {\mathbf{f}}\, \in \,{{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, ${{{\mathbf{w}}}_{0}} \in {{H}^{1}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. Тогда слабое решение ${\mathbf{w}}$ является сильным решением, оно единственно и для него верна оценка

Если также ${\mathbf{f}} \in {{L}^{{2,q}}}({{\Pi }_{T}})$ при некотором $1 \leqslant q \leqslant \infty $, то ${{\partial }_{t}}{\mathbf{w}} \in {{L}^{{2,q}}}({{\Pi }_{T}})$ и

3. а) Пусть дополнительно ${\text{||}}\{ {{\nabla }^{2}}{\mathbf{B}},{{\nabla }^{2}}C\} {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}} \leqslant N$ и ${{\nabla }^{2}}{\mathbf{f}}\, \in \,{{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, ${{{\mathbf{w}}}_{0}}\, \in \,{{H}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. Тогда для сильного решения w существуют ${{\nabla }^{2}}{\mathbf{w}}\, \in \,{{L}^{{2,\infty }}}({{\Pi }_{T}})$, ${{\partial }_{t}}\nabla {\mathbf{w}}\, \in \,{{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$ и

б) Если также ${\text{||}}\{ {{\partial }_{t}}{\mathbf{B}},{{\partial }_{t}}C\} {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}} \leqslant N$ и f, $\nabla {\mathbf{f}},{{\partial }_{t}}{\mathbf{f}} \in {{L}^{{2,q}}}({{\Pi }_{T}})$ при некотором $1 \leqslant q \leqslant \infty $, то дополнительно существует $\partial _{t}^{2}{\mathbf{w}} \in {{L}^{{2,q}}}({{\Pi }_{T}})$ и

Введем теперь задачу Коши для параболической системы уравнений 2-го порядка – возмущения системы в (1) с малым параметром $0 < \tau \leqslant \bar {\tau }$ при вторых производных по $x$:

Здесь ${\mathbf{y}}(x,t),$ ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }}(x,t),$ ${{{\mathbf{g}}}_{{i\tau }}}(x,t)$: ${{\Pi }_{T}} \to {{\mathbb{R}}^{m}}$, ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}}(x)$: ${{\mathbb{R}}^{n}} \to {{\mathbb{R}}^{m}}$ – искомая и заданные вектор-функции, ${{A}_{{ij}}} \in {{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})$ – коэффициенты-матрицы-функции порядка $m$, а $i,j = \overline {1,n} $.

Следуя [9, гл. V, § 1], будем предполагать, что выполнено условие

с некоторыми постоянными $\nu \, > \,0$ и $\mu \geqslant 0$. Оно шире, чем алгебраическое условие $\nu {\text{|}}{\mathbf{w}}{{{\text{|}}}^{2}}\, \leqslant \,(A(x,t){\mathbf{w}})$ · w для всех ${\mathbf{w}} \in {{\mathbb{R}}^{{mn}}}$ п.в. в Π_T с блочной матрицей $A: = \{ {{A}_{{ij}}}\} _{{i,j = 1}}^{n}$.

Пусть выполнены условия

и ${{{\mathbf{g}}}_{\tau }}: = ({{{\mathbf{g}}}_{{1\tau }}}, \ldots ,{{{\mathbf{g}}}_{{n\tau }}}) \in {{L}^{2}}({{\Pi }_{T}})$. Слабым решением задачи Коши (3) назовем функцию ${\mathbf{y}} \in {{V}_{2}}({{\Pi }_{T}})$, удовлетворяющую интегральному тождеству для любой $\varphi \in {{H}^{1}}({{\Pi }_{T}})$, $\varphi {{{\text{|}}}_{{t = T}}} = 0$. Положим ${{\bar {c}}_{0}} = {{c}_{0}} + \bar {\tau }\mu $.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4), (5), ${\text{div}}{\mathbf{B}} \in {{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})$, $0.5{\text{div}}{\mathbf{B}} - C \leqslant {{c}_{0}}{{I}_{m}}$ п.в. в ${{\Pi }_{T}}$ и ${{{\mathbf{g}}}_{\tau }}\, \in \,{{L}^{2}}({{\Pi }_{T}})$. Тогда существует единственное слабое решение ${\mathbf{y}}\, = \,{{{\mathbf{y}}}_{\tau }}$ задачи Коши (3), причем ${{{\mathbf{y}}}_{\tau }}\, \in \,C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))$ и верна его энергетическая оценка

Введем также задачу Коши для гиперболической системы уравнений 2-го порядка – возмущения исходной системы в (1) с параметром $0 < \tau \leqslant \bar {\tau }$ при старших производных

где ${\mathbf{y}}(x,t),\;{{{\mathbf{f}}}_{\tau }}(x,t)$: ${{\Pi }_{T}}\, \to \,{{\mathbb{R}}^{m}}$, ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}}(x),\;{{{\mathbf{y}}}_{{1\tau }}}(x)$: ${{\mathbb{R}}^{n}}\, \to \,{{\mathbb{R}}^{m}}$ – искомая и заданные функции.

Пусть выполнены условия (5) и ${{{\mathbf{y}}}_{{1\tau }}} \in {{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. Слабым решением задачи Коши (6) назовем функцию ${\mathbf{y}} \in W_{{2,\infty }}^{{1,1}}({{\Pi }_{T}})$, удовлетворяющую интегральному тождеству

для любой $\varphi \in W_{{2,1}}^{{1,1}}({{\Pi }_{T}})$, $\varphi {{{\text{|}}}_{{t = T}}} = 0$ и начальному условию ${\mathbf{y}}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}}$ в $C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))$.

Ниже потребуется следующее условие преобладания матрицы $A$ старших коэффициентов системы 2-го порядка над матрицей B старших коэффициентов системы 1-го порядка

с некоторыми $0 \leqslant \delta < 1$, ${{\mu }_{1}} \geqslant 0$, где ${\mathbf{B}} \cdot \nabla {\mathbf{v}}: = {{B}_{i}}{{\partial }_{i}}{\mathbf{v}}$. Оно шире, чем более простое алгебраическое условие ${\text{|}}{\mathbf{B}}(x,t) \cdot {\mathbf{w}}{{{\text{|}}}^{2}} \leqslant {{(1 - \delta )}^{2}}({{A}_{{ij}}}(x,t){{{\mathbf{w}}}_{j}}) \cdot {{{\mathbf{w}}}_{i}}$ при всех ${{{\mathbf{w}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{w}}}_{n}} \in {{\mathbb{R}}^{m}}$ п.в. в ${{\Pi }_{T}}$, с тем же δ и ${\mathbf{B}} \cdot {\mathbf{w}}: = {{B}_{i}}{{{\mathbf{w}}}_{i}}$. Подобные условия известны, см. в том числе [4].

Введем также условие $A \leqslant {{c}_{A}}{{I}_{{mn}}}$ п.в. в ${{\Pi }_{T}}$, т.е.

с некоторым ${{c}_{A}} > 0$, например, ${{c}_{A}} = n{\text{||}}A{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}}$, где ${\text{||}}A{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}}: = \mathop {\max }\nolimits_{i,j = \overline {1,n} } {\text{||}}{{A}_{{ij}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}}$.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4), (5), (7), (8) и ${\text{div}}{\mathbf{B}},{{\partial }_{t}}{{A}_{{ij}}} \in {{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})$, ${{A}_{{ij}}} = A_{{ji}}^{T}$, $i,j = \overline {1,n} $, $0.5{\text{div}}{\mathbf{B}}\, - \,C\, \leqslant \,{{c}_{0}}{{I}_{m}}$ п.в. в ${{\Pi }_{T}}$, ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}}\, \in \,{{H}^{1}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ${{{\mathbf{y}}}_{{1\tau }}}\, \in \,{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и $8{{\bar {\tau }}^{2}}\mu \leqslant 1$. Тогда существует единственное слабое решение ${\mathbf{y}} = {{{\mathbf{y}}}_{\tau }}$ задачи Коши (6) и верна оценка

где ν₀ = $\min \{ \sqrt {\nu {\text{/}}2} ,\sqrt {1{\text{/}}6} \} $, ${{\bar {c}}_{1}}\, = \,\max \{ 4[{{c}_{0}}\, + \,\bar {\tau }(\delta \mu $ + (1 – – δ)μ₁) + $\sqrt {3{\text{/}}2} {\text{||}}C{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}}],(2\nu {{)}^{{ - 1}}}{{c}_{{A1}}}\} $, а ${{c}_{{A1}}} \geqslant 0$ таково, что ${{\partial }_{t}}A\, \leqslant \,{{c}_{{A1}}}{{I}_{{mn}}}$ п.в. в ${{\Pi }_{T}}$ (например, c_A1 = $n{\text{||}}{{\partial }_{t}}A{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}}$, ср. с (8)).

Выведем оценки разности решений задач Коши для системы уравнений 1-го порядка и ее возмущений. Введем банаховы пространства, построенные с помощью ${{K}_{{\alpha ,\infty }}}$-метода вещественной интерполяции банаховых пространств, $0 < \alpha < 1$ (см., например, [13], гл. 3)

Теорема 4. 1. Пусть выполнены условия теоремы 1, пп. 1, 2 с q = 1 и теоремы 2 на матрицы-коэффициенты и ${\text{||}}A{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}} \leqslant N$. Для разности ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }} = {\mathbf{w}} - {{{\mathbf{y}}}_{\tau }}$ решений задач Коши (1) и (3) верна оценка

Здесь и ниже $C(N,T)$ не зависит от τ. В частности, при ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }} = {\mathbf{f}}$, ${{{\mathbf{g}}}_{\tau }} = 0$, ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} = {{{\mathbf{w}}}_{0}}$ имеем

2. Пусть выполнены также условия теоремы 1, п. 3а на матрицы-коэффициенты, ${\text{||div}}{{A}_{{ \cdot j}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}} \leqslant N$, $j = \overline {1,n} $ для ${\text{div}}{{A}_{{ \cdot j}}}: = {{\partial }_{i}}{{A}_{{ij}}}$ и снова ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }} = {\mathbf{f}}$, ${{{\mathbf{g}}}_{\tau }} = 0$, ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} = {{{\mathbf{w}}}_{0}}$. Для ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }}$ верны также оценки

Введем усреднение по Стеклову $({{\bar {\sigma }}^{{(\tau )}}}v)(x)$ := := $\frac{1}{{{{\tau }^{n}}}}\int_{{{{( - \tau /2,\tau /2)}}^{n}}} v(x + \xi ){\kern 1pt} d\xi $ по $x$ с шагом $\tau > 0$ и интерполяционные пространства $\mathcal{W}_{{2,1}}^{{2\alpha ,\alpha }}: = ({{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, $W_{{2,1}}^{{2,1}}({{\Pi }_{T}}{{))}_{{\alpha ,\infty }}}$, $0 < \alpha \leqslant 1$.

Теорема 5. Пусть выполнены все усло-вия   теоремы  1  с  q = 1  и  теоремы  3  на  мат-рицы-коэффициенты, а также ${\text{||}}A{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}} \leqslant N$, ${\text{||div}}{{A}_{{ \cdot j}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})}}} \leqslant N$, $j = \overline {1,n} $. Для разности ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }} = {\mathbf{w}} - {{{\mathbf{y}}}_{\tau }}$ решений задач Коши (1) и (6) верна оценка

При ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }} = {\mathbf{f}}$, ${{{\mathbf{y}}}_{{1\tau }}} = 0$, а также ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} = {{{\mathbf{w}}}_{0}}$ либо ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} = {{\bar {\sigma }}^{{(\tau )}}}{{{\mathbf{w}}}_{0}}$, верны соответственно оценки

В оценках теорем 4 и 5 автоматически предполагается, что данные w₀, y_0τ, y_1τ, f, f_τ, g_τ принадлежат тем пространствам, в нормах которых они стоят. Оценки теоремы 5 родственны полученным в иных условиях и другим методом в [4].

При $0 < \alpha < 2$, $\alpha \ne 1$ пространство ${{\mathcal{H}}^{\alpha }}({{\mathbb{R}}^{n}})$ совпадает с пространством Никольского $H_{2}^{\alpha }({{\mathbb{R}}^{n}})$ (с точностью до эквивалентности норм) [13], раздел 6.2, [15]. Верны включения $H_{{2,1}}^{{\alpha ,0}}({{\Pi }_{T}}) \subset \mathcal{W}_{{2,1}}^{{\alpha ,0}}$, $H_{{2,1}}^{{\alpha ,\alpha /2}}({{\Pi }_{T}})\, \subset \,\mathcal{W}_{{2,1}}^{{\alpha ,\alpha /2}}$, $0\, < \,\alpha \, < \,2$, α ≠ 1, и $WH_{{2,1}}^{{1,1/2}}({{\Pi }_{T}})$ := := $\{ v\, \in \,H_{{2,1}}^{{0,1/2}}({{\Pi }_{T}})$, $\nabla v\, \in \,{{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})\} \, \subset \,\mathcal{W}_{{2,1}}^{{1,1/2}}$ (случай $\alpha = 1$).

Пространство $H_{2}^{{1/2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ содержит $BV({{\mathbb{R}}^{n}})\, \cap \,{{L}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{n}})$, где $BV({{\mathbb{R}}^{n}})$ – пространство функций ограниченной вариации на ${{\mathbb{R}}^{n}}$ (см., например, [14, гл. 37, 38]). Аналогично, пространство $H_{{2,1}}^{{1/2,1/4}}({{\Pi }_{T}})$ заведомо содержит пространство $BV({{\Pi }_{T}}) \cap {{L}^{\infty }}({{\Pi }_{T}})$. Это обеспечивает оценку $O({{\tau }^{{1/4}}})$ в (9) и (10) при α = 1/2 для широкого класса разрывных функций w₀ и f.

Ниже ограничимся случаем, когда матрицы ${\mathbf{B}},C,A \in {{L}^{\infty }}(0,T)$ не зависят от x и $ - C \leqslant {{c}_{0}}{{I}_{m}}$ п.в. на $(0,T)$. Это ограничение позволяет уточнить и заметно упростить формулировку результатов (которые вытекают из предыдущих теорем), хотя принципиальным оно не является. Введем производную по Соболеву любого порядка ${{\partial }^{{\mathbf{k}}}}\, = \,\partial _{1}^{{{{k}_{1}}}} \ldots \partial _{n}^{{{{k}_{n}}}}$ по x, ${\mathbf{k}} = ({{k}_{1}}, \ldots ,{{k}_{n}})$, ${\text{|}}{\mathbf{k}}{{{\text{|}}}_{1}} = {{k}_{1}}$ + ... + k_n.

Теорема 6. Пусть ${\mathbf{k}}$ с ${\text{|}}{\mathbf{k}}{{{\text{|}}}_{1}} \geqslant 1$ и $1 \leqslant q \leqslant \infty $ любые.

1. а) Пусть ${\mathbf{f}} \in {{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, ${{{\mathbf{w}}}_{0}} \in {{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. Тогда для слабого решения w задачи Коши (1) верна оценка

Подробнее говоря, оценка (11) означает, что если дополнительно ${{\partial }^{{\mathbf{k}}}}{{{\mathbf{w}}}_{0}}\, \in \,{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ${{\partial }^{{\mathbf{k}}}}{\mathbf{f}}\, \in \,{{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, то существует ${{\partial }^{{\mathbf{k}}}}{\mathbf{w}}\, \in \,C(0,T;{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}))$ и верна указанная оценка. Для краткости формулировок все оценки в данной теореме и теоремах 7, 8 ниже понимаются аналогичным образом.

б) Пусть m = 1, 2. Если ${\mathbf{f}},{{\nabla }^{m}}{\mathbf{f}} \in {{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, w₀ ∈ ∈ ${{H}^{m}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, то для сильного решения w задачи Коши (1) верны оценки

Если также ${\text{||}}\{ {\mathbf{B}},C\} {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}(0,T)}}} \leqslant N$, то при m = 1, 2 соответственно верны оценки

Если m = 2 и дополнительно ${\text{||}}\{ {{\partial }_{t}}{\mathbf{B}},{{\partial }_{t}}C\} {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}(0,T)}}}\, \leqslant \,N$, ${{\partial }_{t}}{\mathbf{f}} \in {{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, то верна оценка

2. Пусть выполнены условия (4) с $\mu = 0$, ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }} \in {{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, ${{{\mathbf{g}}}_{\tau }} \in {{L}^{2}}({{\Pi }_{T}})$, ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} \in {{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. Тогда для слабого решения ${\mathbf{y}} = {{{\mathbf{y}}}_{\tau }}$ задачи Коши (3) верна оценка

3. Пусть выполнены условия (4) с $\mu = 0$, (7) с ${{\mu }_{1}} = 0$, (8) и ${{\partial }_{t}}{{A}_{{ij}}} \in {{L}^{\infty }}(0,T)$, ${{A}_{{ij}}} = A_{{ji}}^{T}$, $i,j = \overline {1,n} $, а также ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }} \in {{L}^{{2,1}}}({{\Pi }_{T}})$, ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} \in {{H}^{1}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, ${{{\mathbf{y}}}_{{1\tau }}} \in {{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. Тогда для слабого решения ${\mathbf{y}} = {{{\mathbf{y}}}_{\tau }}$ задачи Коши (6) верна оценка

где ${{\nu }_{1}}\, = \,\min \{ \sqrt {2\nu } ,1{\text{/}}\sqrt 2 \} $, c₁ = max{2(c₀ + $\sqrt 2 {\text{||}}C{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}(0,T)}}})$, ${{(2\nu )}^{{ - 1}}}{{c}_{{A1}}}\} $, а ${{c}_{{A1}}} \geqslant 0$ прежнее.

Оценки последней теоремы верны и при ${\text{|}}{\mathbf{k}}{{{\text{|}}}_{1}} = 0$, когда ${{\partial }^{{\mathbf{k}}}}v = v$.

Перейдем к оценкам производных разностей решений рассматриваемых систем. При ${\text{|}}{\mathbf{k}}{{{\text{|}}}_{1}} = 0$ это будут те же оценки, что и выше, но с уточненными постоянными.

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6, пп. 1, 2, кроме условий на ${{\partial }_{t}}{\mathbf{f}}$ и ${{\partial }_{t}}{\mathbf{B}},\;{{\partial }_{t}}C$, и ${\text{||}}A{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}(0,T)}}} \leqslant N$. Пусть для краткости ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }} = {\mathbf{f}}$, ${{{\mathbf{g}}}_{\tau }} = 0$, ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} = {{{\mathbf{w}}}_{0}}$ и ${\text{|}}{\mathbf{k}}{{{\text{|}}}_{1}} \geqslant 0$. Тогда для разности ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }} = {\mathbf{w}} - {{{\mathbf{y}}}_{\tau }}$ решений задач Коши (1) и (3) верны оценки

Теорема 8. Пусть выполнены все условия теоремы 6, п. 1 с $q = 1$ и п. 3, а также ${\text{||}}A{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}(0,T)}}} \leqslant N$. Пусть ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }} = {\mathbf{f}}$, ${{{\mathbf{y}}}_{{1\tau }}} = 0$ и ${\text{|}}{\mathbf{k}}{{{\text{|}}}_{1}} \geqslant 0$. Тогда для разности ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }} = {\mathbf{w}} - {{{\mathbf{y}}}_{\tau }}$ решений задач Коши (1) и (6) при ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} = {{{\mathbf{w}}}_{0}}$ либо ${{{\mathbf{y}}}_{{0\tau }}} = {{\bar {\sigma }}^{{(\tau )}}}{{{\mathbf{w}}}_{0}}$ верны соответственно оценки

Каждую из оценок в теоремах 6–8 можно просуммировать по всем ${\mathbf{k}}$ с ${\text{|}}{\mathbf{k}}{{{\text{|}}}_{1}} = p$, что приводит к аналогичным оценкам с заменой ${{\partial }^{{\mathbf{k}}}}$ на ${{\nabla }^{p}}$ с любым $p \geqslant 1$. В частности, из таких оценок ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }}$ при $p > n{\text{/}}2$ в силу теоремы вложения следуют оценки в норме $\mathop {\sup }\nolimits_{{{{\bar {\Pi }}}_{T}}} {\text{|}}{{{\mathbf{r}}}_{\tau }}(x,t){\text{|}}$.

Обратимся к линеаризованным на постоянном решении КГД системам уравнений. Запишем их относительно нормированного (безразмерного) вектора малых возмущений ${\mathbf{\tilde {z}}}(x,t)\,: = \,(\tilde {\rho },{\mathbf{\tilde {u}}},\tilde {\varepsilon })$(x, t) плотности, скорости и удельной внутренней энергии газа, где ${\mathbf{\tilde {u}}} = ({{\tilde {u}}_{1}}, \ldots ,{{\tilde {u}}_{n}})$, $n = 1,2,3$. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений $\ell + 1$-го порядка по $t$ и 2-го порядка по $x$ с постоянными коэффициентами, где $\ell = 0$ для параболической и $\ell = 1$ для гиперболической КГД систем. В симметризованной матричной форме задача Коши для них примет вид

где ${{B}^{{(i)}}}$ и ${{A}^{{(ij)}}}$ – постоянные симметричные матрицы конвективных и вязких слагаемых порядка $m = n + 2$, ${{A}^{{(ij)}}} = {{A}^{{(ji)}}}$, ср. с [11, 12], ${{c}_{*}} > 0$ – фоновая скорость звука, $\tau > 0$ – параметр релаксации. Эти матрицы выписаны явно в [12] (в ${{A}^{{(kk)}}}$ в блоках $(1,1)$, $(3,3)$ у $\sqrt \gamma ,\;\sqrt {{{\gamma }_{*}}} $ следует убрать $\sqrt \cdot $). Свободный член ${{{\mathbf{f}}}_{\tau }}$ дописан формально для общности анализа.

При $\tau = 0$ эта задача переходит в задачу Коши для линеаризованной системы уравнений газовой динамики 1-го порядка

Для ${\mathbf{\tilde {z}}} = (\tilde {\rho },{\mathbf{\tilde {u}}},\tilde {\varepsilon }),$ ${\mathbf{z}} = (\rho ,{\mathbf{u}},\varepsilon ) \in {{H}^{1}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ введем билинейную форму

Здесь ${\mathbf{M}} = ({{M}_{1}}, \ldots ,{{M}_{n}})$ – нормированная на ${{c}_{*}}$ фоновая скорость и поэтому $M\, = \,{\text{|}}{\mathbf{M}}{\text{|}}$ – фоновое число Маха, ${\mathbf{M}}\nabla \, = \,{\mathbf{M}} \cdot \nabla $, ${{\gamma }_{*}}\, = \,\frac{\gamma }{{\gamma - 1}}$, ${{\hat {a}}_{0}}\, = \,\frac{1}{3}{{\hat {\alpha }}_{s}}\, + \,{{\hat {\alpha }}_{{1s}}}\, \geqslant \,0$, причем $\gamma > 1$ – показатель адиабаты в уравнении состояния газа, ${{\hat {\alpha }}_{s}} \geqslant 0$, ${{\hat {\alpha }}_{{1s}}} \geqslant 0$, ${{\hat {\alpha }}_{P}} \geqslant 0$ – постоянные КГД-параметры в искусственных коэффициентах вязкости и теплопроводности. Формально эта форма получается умножением $ - {{A}^{{(ij)}}}{{\partial }_{i}}{{\partial }_{j}}{\mathbf{\tilde {z}}}$ на ${\mathbf{z}}$, интегрированием по ${{\mathbb{R}}^{n}}$ и по частям.

Следующий результат родственен полученным недавно в [12, 16]. Пусть ${\mathbf{B}} \cdot \nabla {\mathbf{z}} = {{B}^{{(i)}}}{{\partial }_{i}}{\mathbf{z}}$.

Лемма 1. Верны свойства симметричности ${{\mathcal{A}}_{{{{\mathbb{R}}^{n}}}}}({\mathbf{\tilde {z}}},{\mathbf{z}}) = {{\mathcal{A}}_{{{{\mathbb{R}}^{n}}}}}({\mathbf{z}},{\mathbf{\tilde {z}}})$ и неотрицательной определенности

для любых ${\mathbf{\tilde {z}}},{\mathbf{z}} \in {{H}^{1}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, с δ₀ := $\frac{1}{{3\gamma }}\min \left\{ {1,\frac{{{{{\hat {\alpha }}}_{s}}}}{{{{M}^{2}}}},{{\gamma }_{*}}{{{\hat {\alpha }}}_{P}}} \right\}$, ${{\delta }_{1}}: = \frac{1}{2}\min \{ {{\delta }_{0}},{{\hat {\alpha }}_{s}},{{\hat {\alpha }}_{P}}\} .$

Все предыдущие теоремы применимы к задачам Коши для системы уравнений газовой динамики (14) и КГД систем (12), (13) в силу леммы 1. Это непосредственно приводит к заключительному результату.

Теорема 9. 1. Для задачи Коши для линеаризованной системы уравнений газовой динамики (14) верны теоремы 1 и 6, п. 1 с ${{c}_{0}} = 0$.

2. Пусть ${{\hat {\alpha }}_{s}} > 0$, ${{\hat {\alpha }}_{P}} > 0$. Для задач Коши для линеаризованных КГД систем (12), (13) верны свойства (4) с $\nu = c_{*}^{2}{{\delta }_{1}}$, $\mu = 0$ и (5) с $\delta = {{\mu }_{1}} = 0$, и поэтому верны теоремы 2 и 6, п. 2 с ${{\bar {c}}_{0}} = {{c}_{0}} = 0$ при $\ell = 0$ либо теоремы 3 и 6, п. 3 с ${{\bar {c}}_{1}} = {{c}_{1}} = 0$ при $\ell = 1$.

Для разности ${{{\mathbf{r}}}_{\tau }} = {\mathbf{w}} - {\mathbf{\tilde {z}}}$ решений задач Коши для линеаризованных системы уравнений газовой динамики (14) и КГД систем (12), (13) верны оценки теорем 4 и 7 с ${{c}_{0}} = 0$ при $\ell = 0$ либо теорем 5 и 8 с ${{c}_{0}} = {{c}_{1}} = 0$ при $\ell = 1$.

Указанное равенство постоянных ${{c}_{k}}$, ${{\bar {c}}_{k}}$ нулю важно, т.к. означает ограниченность или степенной (вместо экспоненциального) рост по T постоянных в соответствующих оценках.