1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 509, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 509, № 1, стр. 13-16

Разрешимость начально-краевой задачи для модели движения жидкости кельвина–фойгта с переменной плотностью

В. Г. Звягин 1, *, М. В. Турбин 1, **

1 Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия

* E-mail: vsu@mail.ru
** E-mail: mrmike@mail.ru

Поступила в редакцию 14.11.2022
После доработки 25.11.2022
Принята к публикации 11.12.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе исследуется разрешимость начально-краевой задачи для модели движения жидкости Кельвина–Фойгта с переменной плотностью. Сначала при помощи преобразования Лапласа из реологического соотношения для модели движения жидкости Кельвина–Фойгта и уравнения движения жидкости в форме Коши выводится системa уравнений, описывающая движение модели Кельвина–Фойгта с переменной плотностью. Для полученной системы уравнений ставится начально-краевая задача, дается определение ее слабого решения и доказывается его существование. Доказательство проводится на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики. А именно, рассматривается задача, аппроксимирующая исходную, и на основе одного варианта теоремы Лере-Шаудера доказывается ее разрешимость. После чего на основе априорных оценок доказывается, что из последовательности решений аппроксимационной задачи можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся к решению исходной задачи.

Ключевые слова: гидродинамика, жидкость с переменной плотностью, модель Кельвина–Фойгта, слабое решение, теорема существования

1. ВВЕДЕНИЕ

Описание движения жидкости всегда являлось источником большого числа математических задач. На протяжении долгого времени исследовались задачи для жидкости с постоянной плотностью. При этом в приложениях возникают задачи для несжимаемых жидкостей с переменной плотностью, которые в литературе называют также моделями несжимаемой неоднородной жидкости. Первые результаты в этом направлении принадлежат А.В. Кажихову [1], который доказал существование слабых решений несжимаемой неоднородной системы Навье–Стокса. Для этой же системы О.А. Ладыженской и В.А. Солонниковым в работе [2] доказано существование глобальных сильных решений в двумерном случае и локальных сильных решений (или глобальных, но для малых данных задачи) в трехмерном случае. Обзор результатов для несжимаемой неоднородной системы Навье–Стокса приведен в монографии [3].

Еще с середины 19-го века известно достаточно большое число сред, которые не удовлетворяют ньютоновскому реологическому соотношению. Именно такие среды – водные полимерные растворы и описываются моделью Кельвина–Фойгта и различными ее обобщениями [4]. Исследование разрешимости различных задач для этих моделей в однородном случае было начато в работах А.П. Осколкова [5, 6]. Различные задачи для моделей Кельвина–Фойгта (отметим, что в англоязычной литературе они называются также моделями Навье–Стокса–Фойгта) и их обобщений активно изучаются вплоть до наших дней [4, 7–10]. Также в последнее время активно исследуется модель неоднородной несжимаемой жидкости Кельвина–Фойгта как с точки зрения разрешимости [11, 12], так и с точки зрения задач оптимального управления с обратной связью [13, 14].

В данной работе исследуется разрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи для несжимаемой модели Кельвина–Фойгта с переменной плотностью.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Движение несжимаемой жидкости с переменной плотностью в ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{n}},$ $n = 2,3$ с гладкой границей $\partial \Omega $ на промежутке времени $[0,T]$, $0 < T < \infty $ описывается следующей системой уравнений:

(1)
$\begin{gathered} \rho \frac{{\partial {v}}}{{\partial t}} + \rho \sum\limits_{i = 1}^n {{{v}}_{i}}\frac{{\partial {v}}}{{\partial {{x}_{i}}}} - \operatorname{Div} \sigma + \nabla p = \rho f, \\ (x,t) \in {{Q}_{T}} = \Omega \times [0,T], \\ \end{gathered} $
(2)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{v}}_{i}}\frac{{\partial \rho }}{{\partial {{x}_{i}}}} = 0;\quad \operatorname{div} {v} = 0, \\ (x,t) \in {{Q}_{T}} = \Omega \times [0,T]. \\ \end{gathered} $

Здесь ${v}$ – вектор скорости движения жидкости, $\rho $ – плотность жидкости, $p$ – давление, $\sigma $ – девиатор тензора напряжений, а $f$ – плотность внешних сил.

Система (1), (2) описывает движение всех видов жидкости, но количество неизвестных в ней больше числа уравнений. Чтобы замкнуть эту систему, в нее добавляют реологическое соотношение, которое и определяет тип рассматриваемой жидкости. В работе рассматривается модель движения жидкости Кельвина–Фойгта порядка $L,L \in \mathbb{N}$, реологическое соотношение которой имеет вид:

(3)
$\begin{gathered} \left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^L {{\lambda }_{i}}\frac{{{{\partial }^{i}}}}{{\partial {{t}^{i}}}}} \right)\sigma = 2\left( {\nu + \sum\limits_{i = 1}^{L + 1} {{\varkappa }_{i}}\frac{{{{\partial }^{i}}}}{{\partial {{t}^{i}}}}} \right)\mathcal{E}, \\ {{\lambda }_{L}} > 0,\quad {{\varkappa }_{{L + 1}}} > 0. \\ \end{gathered} $

Здесь $\mathcal{E}$ – тензор скоростей деформаций, $\mathcal{E} = \mathcal{E}(v)$ = $1{\text{/}}2\left( {\nabla v + {{{\left( {\nabla v} \right)}}^{T}}} \right)$. Исходя из физического смысла задачи предполагается, что корни ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}, \ldots ,{{\alpha }_{L}}$ многочлена $Q(p)$ = 1 + $\sum\limits_{i = 1}^L {{\lambda }_{i}}{{p}^{i}}$, $p \in \mathbb{R}$ вещественны, отрицательны и различны. Тогда на основе преобразования Лапласа аналогично работам [4, 6] $\sigma $ выражается из (3) следующим образом:

(4)
$\begin{gathered} \sigma (x,t) = 2{{\mu }_{2}}\frac{{\partial{ \mathcal{E}}}}{{\partial t}}(x,t) + 2{{\mu }_{1}}\mathcal{E}(x,t) + \\ + \;2\int\limits_0^t {\kern 1pt} \sum\limits_{k = 1}^L \,{{\beta }_{k}}{{e}^{{{{\alpha }_{k}}(t - s)}}}\mathcal{E}(x,s)ds + {{\sigma }_{0}}(x,t), \\ \end{gathered} $
где ${{\mu }_{2}} = {{\varkappa }_{{L + 1}}}{\text{/}}{{\lambda }_{L}}$ > 0, ${{\mu }_{1}} = {{\varkappa }_{L}}{\text{/}}{{\lambda }_{L}} - {{\varkappa }_{{L + 1}}}{{\lambda }_{{L - 1}}}{\text{/}}\lambda _{L}^{2}$,  βk = = $C({{\alpha }_{k}}){\text{/}}Q{\kern 1pt} '({{\alpha }_{k}})$, $k = \overline {1,L} $, многочлен $C(p)$ определяется по формуле $C(p)$ = $\sum\limits_{i = 1}^{L - 1} ({{\varkappa }_{i}} - {{\mu }_{2}}{{\lambda }_{{i - 1}}} - {{\mu }_{1}}{{\lambda }_{i}}){{p}^{i}}$ – – ${{\mu }_{1}} + \nu $.

Функция ${{\sigma }_{0}}$ представляет собой выражение от начальных условий

(5)
$\frac{{{{\partial }^{i}}\sigma }}{{\partial {{t}^{i}}}}(0),\quad i = \overline {0,L - 1} ,\quad \frac{{{{\partial }^{j}}\mathcal{E}}}{{\partial {{t}^{j}}}}(0),\quad j = \overline {0,L} .$

Исходя из физического смысла задачи, эти начальные условия не могут быть произвольными и должны быть согласованы (заданным скоростям движения жидкости соответствуют определенные напряжения и наоборот). Подробнее см., например, [4].

Для простоты будем предполагать, что начальные условия (5) выбраны таким образом, чтобы ${{\sigma }_{0}} \equiv 0.$ Тогда, учитывая это и подставляя (4) в систему уравнений (1)–(2), получим систему

(6)
$\begin{gathered} \rho \frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \rho \sum\limits_{i = 1}^n \,{{v}_{i}}\frac{{\partial v}}{{\partial {{x}_{i}}}} - {{\mu }_{1}}\Delta v - {{\mu }_{2}}\frac{{\partial \Delta v}}{{\partial t}} - \\ - \;\int\limits_0^t {\kern 1pt} \sum\limits_{k = 1}^L \,{{\beta }_{k}}{{e}^{{{{\alpha }_{k}}(t - s)}}}\Delta v(s)ds + \nabla p = \rho f; \\ \end{gathered} $
(7)
$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \sum\limits_{i = 1}^n \,{{v}_{i}}\frac{{\partial \rho }}{{\partial {{x}_{i}}}} = 0;\quad \operatorname{div} v = 0.$

Рассматриваемая система дополняется начальными и граничным условиями:

(8)
$\begin{gathered} v{{{\text{|}}}_{{t = 0}}}(x) = a(x),\quad \rho {{{\text{|}}}_{{t = 0}}}(x) = {{\rho }_{0}}(x), \\ 0 < m\;\leqslant \;{{\rho }_{0}}(x)\;\leqslant \;M,\quad x \in \Omega ;\quad v{{{\text{|}}}_{{\partial \Omega }}} = 0, \\ \end{gathered} $
где $m,M$ – некоторые константы.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ И ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Введем обозначения, необходимые для того, чтобы сформулировать определения слабого решения начально-краевой задачи (6)–(8).

Через $C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{n}}$ обозначим пространство функций, определенных на $\Omega ,$ принимающих значения в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ класса ${{C}^{\infty }}$ с компактным носителем, содержащимся в $\Omega .$ Пусть $\mathcal{V} = \{ v:v \in C_{0}^{\infty }{{(\Omega )}^{n}}$, $\operatorname{div} {v}$ = = 0}. Определим пространства ${{V}^{0}}$ и ${{V}^{1}}$ как пополнение $\mathcal{V}$ по нормам ${{L}_{2}}{{(\Omega )}^{n}}$ и ${{H}^{1}}{{(\Omega )}^{n}}$ соответственно. Положим ${{V}^{2}} = {{H}^{2}}{{(\Omega )}^{n}} \cap {{V}^{1}}$.

Обозначим через $\pi :{{L}_{2}}{{(\Omega )}^{n}} \to {{V}^{0}}$ проектор Лере и рассмотрим в $\mathcal{V}$ оператор $A = - \pi \Delta $. Оператор $A$ продолжается в ${{V}^{0}}$ до замкнутого оператора, который является самосопряженным положительным оператором с вполне непрерывным обратным. Область определения $A$ совпадает с ${{V}^{2}}$. В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении вполне непрерывных операторов собственные функции $\{ {{e}_{j}}\} $ оператора $A$ образуют ортонормированный базис в ${{V}^{0}}$. Пусть 0 < λ1$\leqslant $ $\leqslant \;{{\lambda }_{2}}\;\leqslant \;{{\lambda }_{3}}$ $\leqslant $ … $\leqslant $ ${{\lambda }_{k}}\;\leqslant \; \ldots $ – собственные значения оператора $A.$ Обозначим через ${{E}_{\infty }}$ множество конечных линейных комбинаций, составленных из ${{e}_{j}}$, и определим пространство ${{V}^{\alpha }}$, $\alpha \in \mathbb{R}$, как пополнение ${{E}_{\infty }}$ по норме ${\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{V}^{\alpha }}}}}$ = ${{\left( {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\kern 1pt} \lambda _{k}^{\alpha }{\text{|}}{{v}_{k}}{{{\text{|}}}^{2}}} \right)}^{{1{\text{/}}2}}}$.

Также введем пространство, в котором будет исследована разрешимость изучаемой задачи. Для скорости $v$ это пространство ${{W}_{1}}$ = {u : : $u \in C([0,T],{{V}^{1}})$, $u{\kern 1pt} ' \in {{L}_{2}}(0,T;{{V}^{1}})\} $. Для плотности $\rho $ введем пространство ${{E}_{1}}$ = $\{ \varrho :\varrho \in {{L}_{\infty }}({{Q}_{T}})$, $\varrho {\kern 1pt} ' \in {{L}_{2}}(0,T;{{H}^{{ - 1}}}(\Omega ))\} $.

Будем предполагать, что $a \in {{V}^{1}}$, ${{\rho }_{0}} \in {{L}_{\infty }}(\Omega )$, а $f \in {{L}_{2}}(0,T,{{V}^{0}})$.

Определение 1. Пару функций $(\rho ,v) \in {{E}_{1}} \times {{W}_{1}}$ будем называть слабым решением начально-краевой задачи (6)–(8), если для любого $\varphi \in {{V}^{1}}$ и при почти всех $t \in [0,T]$ она удовлетворяет равенству

(9)
$\begin{gathered} \int\limits_\Omega \rho v{\kern 1pt} '\varphi {\kern 1pt} dx + \sum\limits_{i,j = 1}^n \,\int\limits_\Omega \,\rho {{v}_{i}}\frac{{\partial {{v}_{j}}}}{{\partial {{x}_{i}}}}{{\varphi }_{j}}{\kern 1pt} dx + \\ + \;{{\mu }_{1}}\int\limits_\Omega \nabla v:\nabla \varphi {\kern 1pt} dx + {{\mu }_{2}}\int\limits_\Omega \nabla v{\kern 1pt} ':\nabla \varphi {\kern 1pt} dx + \\ + \;\int\limits_0^t \,\sum\limits_{k = 1}^L \,{{\beta }_{k}}{{e}^{{{{\alpha }_{k}}(t - s)}}}\int\limits_\Omega \nabla v(s):\nabla \varphi {\kern 1pt} dxds = \int\limits_\Omega \rho f\varphi {\kern 1pt} dx, \\ \end{gathered} $
для любого $\psi \in H_{0}^{1}(\Omega )$ и при почти всех $t \in [0,T]$ удовлетворяет равенству
(10)
$\left\langle {\rho {\kern 1pt} ',\psi } \right\rangle - \sum\limits_{i = 1}^n \,\int\limits_\Omega \,\rho {{v}_{i}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial {{x}_{i}}}}dx = 0,$
а также начальным условиям:

(11)
$v(0) = a,\quad \rho (0) = {{\rho }_{0}}.$

Замечание 1. В силу непрерывного вложения ${{E}_{1}} \subset {{C}_{w}}([0,T],{{L}_{\infty }}(\Omega ))$ (см., например, [15], Глава 3, лемма 1.4) начальное условие для функции $\rho $ имеет смысл.

Основным результатом статьи является следующая теорема

Теорема 1. Существует хотя бы одно слабое решение задачи (6)–(8).

Для доказательства теоремы используется аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики (см. подробнее [16]). А именно, рассматривается задача, аппроксимирующая исходную, и на основе одного варианта теоремы Лере-Шаудера устанавливается ее разрешимость. После чего на основе априорных оценок решений показывается, что из последовательности решений этой задачи можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся слабо к решению исходной задачи при стремлении параметра аппроксимации к нулю.

Список литературы

  1. Кажихов А.В. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений движения неоднородной вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216. № 5. С. 1008–1010.

  2. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1975. Т. 52. С. 52–109.

  3. Lions P.-L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 1. Incompressible Models. Oxford: Clarendon Press, 1996. 256 p.

  4. Звягин В.Г., Турбин М.В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина–Фойгта // СМФН. 2009. Т. 31. С. 3–144.

  5. Осколков А.П. К теории нестационарных течений жидкостей Кельвина–Фойгта // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1982. Т. 115. С. 191–202.

  6. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина–Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. МИАН СССР. 1988. Т. 179. С. 126–164.

  7. Kalantarov V.K., Levant B., Titi E.S. Gevrey Regularity for the Attractor of the 3D Navier-Stokes-Voight Equations // Journal of Nonlinear Science. 2009. V. 19. P. 133–152.

  8. Zvyagin A. Solvability of the Non-Linearly Viscous Polymer Solutions Motion Model // Polymers. 2022. V. 14. № 6. Artile 1264.

  9. Amrouche C., Berselli L.C., Lewandowski R., Nguyen D.D. Turbulent flows as generalized Kelvin–Voigt materials: Modeling and analysis // Nonlinear Analysis. 2020. V. 196. Article 111790.

  10. Ustiuzhaninova A., Turbin M. Feedback Control Problem for Modified Kelvin-Voigt Model // Journal of Dynamical and Control Systems. 2022. V. 28. P. 465–480.

  11. Antontsev S.N., de Oliveira H.B., Khompysh Kh. Generalized Kelvin-Voigt equations for nonhomogeneous and incompressible fluids // Communications in Mathematical Sciences. 2019. V. 17. № 7. P. 1915–1948.

  12. Antontsev S.N., de Oliveira H.B., Khompysh Kh. The classical Kelvin–Voigt problem for incompressible fluids with unknown non-constant density: existence, uniqueness and regularity // Nonlinearity. 2021. V. 34. № 5. P. 3083–3111.

  13. Zvyagin V., Turbin M. Optimal feedback control problem for inhomogeneous Voigt fluid motion model // Journal of Fixed Point Theory and Applications. 2021. V. 23. № 4. Article 4.

  14. Звягин В.Г., Турбин М.В. Задача оптимального управления с обратной связью для модели Фойгта с переменной плотностью // Известия вузов. Математика. 2020. Т. 4. С. 93–98.

  15. Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

  16. Звягин В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию математических задач гидродинамики // СМФН. 2012. Т. 46. С. 92–119.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал