Электрохимия, 2021, T. 57, № 9, стр. 549-553

ВВЕДЕНИЕ

Графическое отображение частотной зависимости импеданса параллельной RC-цепи – наиболее известный пример в импедансной спектроскопии. В этом случае непосредственно по виду графика можно судить об эквивалентной электрической схеме, описывающей объект исследований, и даже определить некоторые параметры этой эквивалентной схемы [1, 2]. Комплексы аппаратуры, используемые при исследованиях, как и методики обработки экспериментальных данных, ориентированы именно на изучение зависимости импеданса от частоты.

В то же время для значительной части объектов эквивалентная модель с постоянными RC не является достаточно адекватным приближением. В частности, в электрохимии известен эффект электрохимического выпрямления, когда амплитуда переменного напряжения, в силу нелинейных свойств объектов, влияет на величину импеданса. В данной работе рассматривается другой эффект.

В физике твердого тела достаточно часто рассматриваются объекты, проводимость (импеданс) которых зависит от приложенного напряжения. Чаще всего причиной зависимости R от напряжения является наличие потенциального барьера на пути транспорта электрических зарядов. Использование аппаратуры для импедансных измерений и имеющихся методов представления данных позволяют, в том числе, выявить корреляции между действительной и мнимой компонентами импеданса, что затруднительно при раздельном измерении этих величин.

Однако необходимо подчеркнуть, что эксперименты в данной работе не относятся к спектроскопии (импедансной). Любая спектроскопия – изучение чего-либо в зависимости от частоты; в данной же работе исследуется зависимость импеданса от внешнего постоянного напряжения. Тем не менее, сами понятия “импеданс” и “годограф” являются универсальными. Для примера, допустимы построения годографа (в том числе в осях типового графика Коула–Коула) как зависимость импеданса от времени или концентрации.

Основной результат данной работы – обнаружение и объяснение необычного вида годографов при исследовании зависимости импеданса RC‑цепи от внешнего постоянного напряжения. Несколько графиков частотных зависимостей импеданса для этого же объекта приведены в работе для сравнения.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

Рассмотрим, каким будет годограф импеданса RC-цепи в случае зависимости активного сопротивления от приложенного постоянного напряжения (смещения) при фиксированной частоте переменного тока. В качестве приближения будем также считать емкость C постоянной, и пока не будем рассматривать случай, когда к системе подключено последовательное сопротивление. Также, для конкретности, будем предполагать, что зависимость R(U) является достаточно сильной и обеспечивает диапазон изменения R от величин, близких нулю, до экспоненциально больших, т.е. R → ∞.

Адмиттанс параллельной R_(U)C-цепи равен сумме адмиттансов элементов

Легко оценить предельные значения импеданса при R → 0 и при R → ∞. Из (2) следует, что в первом предельном случае, при R → 0, обе части импеданса – и действительная Z ', и мнимая Z " стремятся к нулю. Во втором случае R → ∞ действительная часть выражения (2) стремится к нулю, а мнимая часть того же выражения стремится к величине (–iωC).

Далее воспользуемся приемом Слеттера [3, 4], примененным им для объяснения вида годографа импеданса участка цепи с фиксированными RС.

Рассмотрим величину

Величина, определенная выражением (3), отличается на графике от исходного графика импеданса Z_RC сдвигом вдоль оси мнимых значений импеданса на половину значения Z при R → ∞. Чтобы показать, что величина (Z_RC + iωC/2) является частью окружности, необходимо доказать, что она не зависит от U и является постоянной величиной (при постоянных ω и С). Более того, ориентируясь на найденные выше предельные значения Z при R → 0 и при R → ∞ и величину произведенного сдвига iωC/2, можно ожидать, что тогда сумма квадратов действительной и мнимой частей выражения (3) будет равна (iωC/2)² – квадрату радиуса предполагаемой окружности.

Высказанные выше соображения могут быть записаны в виде равенства

Справедливость выражения (4) доказывается просто алгебраическими преобразованиями, которые мы здесь опускаем. Выражение (4) – тождество. И следовательно, с учетом найденных положений крайних точек, годограф импеданса R_(U)C является частью (половиной) окружности, прижатой к оси мнимых значений импеданса в точках (0, 0) и (0, iωC).

Несмотря на то, что доказанное выше было получено вообще без использования каких-либо предположений, полученный результат странный – параметры окружности вообще не содержат данных о величине сопротивления. Покажем, что этот неожиданный результат, тем не менее, не является ошибкой.

ДАННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА

Возьмем искусственные зависимости R(U), такие, что начальная и конечная точки зависимостей совпадают, а ход заметно различается (рис. 1а). В расчетах использованы значения R(min) = 10 Ом, R(maх) 10 МОм, частота 1 кГц и емкость 1 нФ. Рассчитанный годограф импеданса показывает, что общий ход зависимостей Z " (Z ') совпадает, точки ложатся на одну полуокружность. Плотность точек и их положения, соответствующих разным исходным зависимостям R(U) – разные, и это понятно, поскольку отличаются производные dR/dU для использовавшихся зависимостей 1 и 2. Более фундаментальные причины совпадения графиков годографов Z "(Z ') для разных R(U) будут обсуждены в данной статье ниже.

Рис. 1.

Расчет гистограммы импеданса (б) для двух отличающихся зависимостей R(U) (а). б: кружки – для зависимости 1, квадратные значки – для зависимости 2. Видно, что обе зависимости Z "(Z ') отличаются плотностями точек на разных областях кривой, но ложатся на одну полуокружность.

Для экспериментального подтверждения изложенных положений выбирались объекты, имеющие сильную зависимость R(U). Такого рода объектами являются различные гетероструктуры (и также обычные полупроводниковые диоды).

На рис. 2 показаны экспериментально измеренные годографы структуры палладий–изолятор–полупроводник (InP). Наглядно видно, что все зависимости близки к полуокружностям, точнее – к частям полуокружностей. Последнее связано с ограниченностью допустимого напряжения смещения для таких структур. Зависимости импеданса от частоты, как хорошо известно, представляют собой полуокружности, прижатые к оси действительных значений. Это тоже наблюдается на тех же структурах. И, как указывалось выше, зависимости импеданса от напряжения при фиксированных частотах представляют собой (неполные) полуокружности, прижатые к оси (–Z ") – как и должно быть, как показано ранее в работе. Аналогичные кривые наблюдаются при измерении зависимости импеданса от напряжения и для обычных полупроводниковых диодов. Таким образом, эксперимент подтверждает соотношение, полученное выше расчетом.

Рис. 2.

Годографы импеданса многослойной гетероструктуры палладий/оксид/полупроводник (InP). Сдвоенные кривые – развертка напряжения с возвращением в начальные значения; наблюдается гистерезис свойств. Кривые 1, 2 – зависимости от частоты, кривые 3–5 – зависимости от напряжения. Кривые 4 и 5 показаны с увеличением значений в 10 раз для возможности визуального сравнения. Диапазон кривых ограничен допустимым напряжением смещения. Параметры графиков: 1 – напряжение смещения на палладии +50 мВ; 2 – смещение на палладии – +75 мВ. Частота 3 – 600 Гц, 4 – 1 кГц; 5 – 50 кГц. Частоты выбраны так, чтобы графики не сливались и были удобны для восприятия.

Учет дополнительного последовательного сопротивления, подсоединенного к RC-цепи, тривиален. В этом случае, как и в случае зависимости от частоты, график годографа импеданса смещается вправо вдоль оси действительных значений импеданса. Это также проверено экспериментально.

На экспериментальных графиках (рис. 2) заметно, что верхние части полуокружностей, прижатых к оси мнимых значений, не следуют выведенной зависимости, отклоняются от полукругов. Причины этого просты, можно назвать две. Во-первых, при выводе формул (2)–(4) мы предполагали постоянство емкости. В реальности же емкость барьера (например – p–n перехода) при росте высоты барьера уменьшается [5], и, соответственно, мнимая часть импеданса должна возрастать. Это должно проявляться в деформации полуокружностей – в увеличении их локального радиуса кривизны при R → ∞. Во-вторых, в этом случае растущее сопротивление R остается конечным, и 1/R не становится нулем. Поэтому на графике в этой области годограф не доходит до мнимой оси.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Крайне необычной представляется совпадение форм зависимостей (полукругов) для двух типов зависимостей. Причины такого совпадения связаны с математическими соотношениями между импедансом и адмиттансом.

Обе эти величины принято отображать на комплексной плоскости (Z ', –iZ "); кроме того, между импедансом и адмиттансом имеется простое соотношение Z = 1/Y, и наоборот. Поэтому, вне зависимости от реального физического смысла этих величин, их отображения должны вести себя при преобразованиях, как отображения любых других комплексных величин.

Вид графиков адмиттансов – цепи с постоянной величиной сопротивления и меняющейся мнимой компонентой (ωC) и, аналогично, цепи с постоянной величиной емкости и изменяющимся сопротивлением, очевидно – это прямые, параллельные осям –Z ", Z ', соответственно. На рис. 3 вид этих зависимостей показан на рис. 3а и 3в.

Рис. 3.

Преобразования зависимостей. Подробные пояснения в тексте.

Законы преобразования отображения комплексных величин (конформные отображения) таковы, что прямые, параллельные осям, в одном представлении преобразуются в окружности после преобразования Z = 1/Y [6, 7] (рис. 3б, 3г). Поскольку в нашем случае графики адмиттанса представляют собой полупрямые (лучи), половины окружностей после преобразования отсутствуют. Вид графиков величин, получающихся при таких преобразованиях, показан на рис. 3б и 3г. Это соответствует тому, что наблюдается на опыте.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе рассмотрен вопрос о виде графиков зависимостей импеданса RC-цепи от приложенного напряжения, для случая, когда сопротивление зависит от приложенного напряжения. График имеет вид полуокружности, прижатой к оси мнимых значений. Положение характерных точек графика позволяет определить величину эффективной емкости. Ранее такой график импеданса не публиковался другими авторами. Приведенное рассмотрение применимо к очень широкому кругу объектов, сопротивление которых существенно зависит от приложенного напряжения.