1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Физика металлов и металловедение
  4. T. 120, № 11, 2019

Физика металлов и металловедение, 2019, T. 120, № 11, стр. 1123-1128

Изменение теплофизических свойств и температуры плавления ниобия с ростом давления

С. П. Крамынин a, *, Э. Н. Ахмедов b

a ФГБУН Институт физики им. Х.И. Амирханова Дагестанского НЦ РАН
367015 Республика Дагестан, Махачкала, ул. М. Ярагского 94, Россия

b ФГБУН Институт проблем геотермии Дагестанского НЦ РАН
367030 Махачкала, пр-т Шамиля 39-а, Россия

* E-mail: kraminin@mail.ru

Поступила в редакцию 07.12.2018
После доработки 06.04.2019
Принята к публикации 05.06.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исходя из парного межатомного потенциала Ми–Леннард-Джонса и модели кристалла Эйнштейна, получены термическое уравнение состояния и барические зависимости теплофизических свойств ниобия. Изучены барические зависимости следующих свойств: температура Дебая, первый, второй и третий параметры Грюнайзена, изотермический модуль сжатия, изохорная и изобарная теплоемкость, коэффициент теплового расширения и производные этих параметров по давлению вдоль изотерм 300 и 3000 К. Результаты расчетов показали хорошее согласие с экспериментальными данными. На основании полученных результатов рассчитана барическая зависимость температуры плавления ниобия и ее производная по давлению.

Ключевые слова: ниобий, температура Дебая, параметр Грюнайзена, уравнение состояния, модуль сжатия, температура плавления

ВВЕДЕНИЕ

Зависимость свойств ниобия от давления изучена сравнительно мало, и до сих пор для него не вполне ясна зависимость коэффициента теплового объемного расширения: αp = (∂lnV/∂T)P, теплоемкости (Сv и Сp) и температуры плавления (Tm) от величины гидростатического (всестороннего) давления (P) вдоль различных изотерм. Используемые для изучения уравнения состояния кристалла различные методы (как компьютерные, так и аналитические) содержат в своем формализме очень много подгоночных констант, лишенных физического смысла. Поэтому затруднительно как однозначно восстановить их из экспериментальных данных, так и предсказать их барическую зависимость вдоль изотермы. Это делает результаты, полученные такими методами, неудобными для дальнейших приложений. Только в одной работе [1] были рассчитаны барические зависимости для αp и теплоемкости (Сv и Сp) ниобия. Практически нет данных по барической зависимости температуры плавления ниобия Tm(P). Зависимость Tm(P) была рассчитана только в одной работе [2] в очень узком диапазоне давлений от 0 до P = 2.5 ГПа. Что касается барической зависимости поверхностной энергии (σ), то для ниобия этих данных в литературе нет.

В связи с этим в данной работе сравнительно простым методом рассчитаны как уравнение состояния, так и изменение теплофизических свойств ниобия при гидростатическом сжатии вдоль двух изотерм: для низкой (300 К) и высокой (3000 К) температуры. Расчеты показали хорошее согласие с имеющимися в литературе экспериментальными оценками. На основании этих результатов рассчитана как зависимость Tm(P), так и зависимости $T_{m}^{'}$(P) и σ(P) для ниобия.

МЕТОД РАСЧЕТА ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

Представим парное межатомное взаимодействие в виде потенциала Ми–Леннард-Джонса, имеющего вид:

(1)
${\varphi }(r) = \frac{D}{{(b - a)}}\left[ {a{{{\left( {\frac{{{{r}_{0}}}}{r}} \right)}}^{b}} - b{{{\left( {\frac{{{{r}_{0}}}}{r}} \right)}}^{a}}} \right],$
где D и r0 – глубина и координата минимума потенциала, b > a > 1 – параметры.

Для расчета термодинамических свойств ниобия использовали формализм, полученный в [3–6]. Выражения [3–6] позволяют рассчитать зависимость как уравнения состояния, так и различных решеточных свойств от относительного объема V/V0 и температуры T для данной структуры одноатомного кристалла, если известны все четыре параметра межатомного потенциала (1). Данный формализм был использован для изучения термодинамических свойств железа [4, 6, 7], алмаза [5, 8], кремния, германия [5, 9] и молибдена [10] при различных P–T-условиях и показал хорошие результаты. Поэтому мы использовали данный метод для расчета свойств ниобия.

ПАРАМЕТРЫ МЕЖАТОМНОГО ПОТЕНЦИАЛА НИОБИЯ

Кристалл ниобия (масса атома m(Nb) = = 92.906 а. е. м.) имеет объемно центрированную кубическую (ОЦК) структуру. Ниобий является одним из самых твердых и тугоплавких кристаллов, в связи с чем экспериментальное изучение его термодинамических свойств при высоких P–T-условиях очень затруднительно. Поэтому экспериментальных данных для барической зависимости теплоемкости, коэффициента теплового расширения и температуры плавления в литературе нет.

Параметры парного межатомного потенциала Ми–Леннард-Джонса (1) для Nb, определенные по методу, описанному в [3, гл. 3; 11], равны:

(2)
$\begin{gathered} {{r}_{0}} = 2.8648 \times {{10}^{{--10}}}\,\,{\text{м}},\,\,\,{D \mathord{\left/ {\vphantom {D {{{k}_{{\text{B}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{\text{B}}}}}} = 21706.44\,\,{\text{К}}, \\ a = 1.88,\,\,\,b = 5.81. \\ \end{gathered} $

Заметим, что первоначально в [3, гл. 3; 11] все четыре параметра потенциала (1) однозначно определяли из замкнутой системы четырех уравнений, в которую входили четыре определенных из эксперимента при T = 0 К и P = 0 величины: V0 – молярный объем, L0 – удельная энергия атомизации, Θ0 – температура Дебая и γ0 – первый параметр Грюнайзена. Таким путем в [3] был получен набор параметров (2). Но, как было указано в [6–10], величины Θ0 и γ0 определяются из экспериментальных данных не вполне точно. Особенно это касается тугоплавких металлов. Поэтому в данной работе использовали другой метод определения параметров потенциала (1), который не связан со значениями Θ0 и γ0. Так как для ниобия kBΘ0/D $ \ll $ 1, то неопределенность величин Θ0 и γ0 слабо скажется на параметре r0, но существенно изменит величину D и степени потенциала. Поэтому в данной работе величины D, b и a были скорректированы как по изотерме T = 300 К термического уравнения состояния P(V/V0, 300 К), так и по величине αp(P, T) измеренной при нормальных условиях: P = 0, T = 300 К. Здесь V/V0 – отношение молярных объемов кристалла при давлении P и температуре T, и при P = 0 и T = 0 К.

Для ниобия величина αp(0, 300 К) = 21.3 × × 10–6 К–1 [12, стр. 173]. Зависимость P(V/V0, 300 К) была взята из [1, 13–15]. Она показана на рис. 1. Значения D, b и a были определены путем согласования рассчитанных по методу работ из [6–10] величины αp(0, 300 К) и зависимости P(V/V0, 300 К) с указанными экспериментальными данными.

Рис. 1.

Изотерма уравнения состояния ниобия.

Такой подход дает для параметров потенциала (1) ОЦК-Nb следующие значения:

(3)
$\begin{gathered} {{r}_{0}} = 2.8648 \times {{10}^{{ - 10}}}\,\,{\text{м}},~\,\,\,\,{D \mathord{\left/ {\vphantom {D {{{k}_{B}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}}} = 30200\,\,{\text{К}}, \\ a = 2.3,\,\,\,\,b = {\text{6}}.2. \\ \end{gathered} $

Отметим, что в используемом нами формализме из [6–10] не учитываются ни вакансии, ни самодиффузия атомов, ибо как показано в [4, 5], их влияние при сжатии кристалла становится пренебрежимо малым. Здесь так же, как и в [4–10] не учитывается вклад в термодинамические параметры электронной подсистемы, ибо потенциал (1) описывает парное взаимодействие нейтральных атомов. Возникает вопрос, насколько точны будут расчеты по представленным в [6–10] сравнительно простым аналитическим выражениям применительно к ниобию? Ответ на этот вопрос содержится ниже.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И БАРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НИОБИЯ

Используя формализм [6–10] и параметры межатомного потенциала (3), мы рассчитали как уравнение состояния, так и барические зависимости различных свойств ОЦК-Nb.

На рис. 1 показана изотерма уравнения состояния ОЦК-Nb. Сплошная линия – расчетные значения для 300 К, штриховая – для 3000 К. Открытыми кружками показаны экспериментальные значения из работы [13]. Звездочками указаны данные расчетов [1], треугольники – расчетные данные [14], квадраты – расчетные данные [15]. Как видно из рис. 1, наши зависимости хорошо согласуются с данными [1, 13–15].

Рассчитав зависимость P(V) и зависимость какого-либо свойства X(V) вдоль определенной изотермы, можно получить барическую зависимость этого свойства X(P) вдоль этой же изотермы. На рис. 2 показаны изотермы 300 и 3000 К зависимостей для температуры Дебая Θ(P) и первого параметра Грюнайзена γ(P) ОЦК-ниобия. Из рисунка видно, что при изобарическом нагреве ОЦК-ниобия функция Θ(P) уменьшается, а величина γ(P) возрастает.

Рис. 2.

Изотермы барической зависимости температуры Дебая Θ(P) для 300 (сплошная линия) и 3000 К (штриховая линия), и первого параметра Грюнайзена γ(P) вдоль изотерм 300 (пунктирная линия) и 3000 К (штрихпунктирная линия).

Оценки других авторов для Θ и γ при низких температурах (от T = 0 до 298 К) и P = 0 лежат в интервале: Θ/К = 260–280 [3, 11], 276.6 [16], 300 [17], γ = 1.3–1.69 [3, 11], 1.27 [16], 1.536 [17]. Наши значения Θ(0 К, P = 0) и γ(0 К, P = 0) хорошо вписываются в указанные интервалы.

Также были рассчитаны барические зависимости второго q(P) и третьего z(P) параметров Грюнайзена. Расчеты показали, что оба параметра монотонно возрастают с ростом давления. Заметим, что данных по барической зависимости для q(P) и z(P) в литературе нет, и в большинстве работ необоснованно полагают, что величина q не зависит от V/V0, т.е. принимают, что q = const и z = 0 [18, 19]. Как следует из наших результатов это предположение не вполне корректно.

На рис. 3 показаны барические зависимости для изотермического модуля сжатия BT(P) = –(∂P/∂lnV)T. Наши расчетные значения для 300 и 3000 К (сплошная и штриховая линии, соответственно) сравниваются с данными работ [1] для 298 и 3000 К и [14, 20–22]. Оценки для изотермического модуля сжатия и его производной по давлению ($B_{T}^{'}$(P) = = (∂BT/∂P)T) при P = 0 и T = 300 К лежат в интервале:

$\begin{gathered} {{B}_{T}}\left( {0{\text{ ГПа}}} \right) = \\ = \,\,144.2\left[ {20} \right]--161\left[ {21} \right]--166\left[ {22} \right]--174\left[ {23} \right], \\ \end{gathered} $
$B_{T}^{'}{{(P)}_{0}} = 3.2\left[ {21} \right]--3.4\left[ {14} \right]--3.6\left[ 1 \right]--3.85\left[ {23} \right].$
Рис. 3.

Барические зависимости модуля сжатия BT(P).

На рис. 4 приведен расчетный график барической зависимости для $B_{T}^{'}$(P) = (∂BT/∂P)T вдоль изотерм 300 и 3000 К, также приведены зависимости $B_{T}^{'}$ (P) вдоль изотерм 298 и 3000 К из работы [1] и данные из работ [14, 21, 23] при P = 0 и T = = 300 К. Отметим, что наши результаты хорошо вписываются в данные интервалы. Видно, что с ростом давления функция BT(P) выходит на линейную зависимость, и, следовательно, функция $B_{T}^{'}$(P) стремится к постоянной величине.

Рис. 4.

Барическая зависимость функции $B_{T}^{'}$(P) вдоль изотерм 300 и 3000 К; символы – расчетные данные работы [1] вдоль изотерм 298 и 3000 К, данные работ [14, 21, 23] при P = 0 и T = 300 К.

На рис. 5 показаны изотермы зависимости коэффициента теплового расширения (αp(P) в 10–6 К–1) от давления для ниобия для 300 и 3000 К вместе с расчетными значениями из [1] для 298 и 3000 К, для 300 К из [16]; экспериментальными данными для 300 К [12]. Расчеты изотерм барической зависимости для функций: αp(P) и ${\alpha }_{р}^{'}$(P) = (∂αp/∂P)T – производной αp(P) по давлению, показали, что при P → ∞ функция αp(P) монотонно стремится к нулю, а функция ${\alpha }_{р}^{'}$(P) стремится к нулю из отрицательной области значений.

Рис. 5.

Барическая зависимость коэффициента объемного теплового расширения αp(P).

На рис. 6 показаны изотермы барических зависимостей для Cv – изохорной и для Cp – изобарной теплоемкостей ниобия для 300 и 3000 К вместе с расчетными данными Cv и Cp из [1] для 298 и 3000 К. Слабая зависимость наших значений Cv от давления при 3000 К обусловлена тем, что при этой температуре достигается область выполнения закона Дюлонга–Пти: Cv/(NkB) = 3, или Cv = = 24.943 Дж моль–1 К–1.

Рис. 6.

Изотермы барических зависимостей Cp – изобарной и Cv – изохорной теплоемкостей для ниобия.

Из рис. 6 видно, что при P → ∞ функции Cv(P) и Cp(P) стремятся к постоянной величине, а разность Cp(P) – Cv(P) стремится к нулю.

Также нами были рассчитаны изотермы барических зависимостей производных изохорной $С_{v}^{'}$(P) и изобарной $С_{р}^{'}$(P) теплоемкостей по давлению. Было показано, что функции $С_{v}^{'}$(P) и $С_{р}^{'}$(P) при P → ∞ стремятся к нулю.

Барические зависимости для σ(100) – удельной (на единицу площади) поверхностной энергии грани (100) вдоль изотерм 300 и 3000 К представлены на рис. 7. Здесь так же, как и для железа [4, 6, 7], алмаза [5, 8], кремния, германия [5, 9] и молибдена [10], функция σ(P) при сжатии сначала возрастает до максимума при Pmax, а потом резко уменьшается, переходя при Pfr в отрицательную область: σ(Pfr) = 0. Координаты точки максимума и нулевой точки для ниобия равны:

(4)
$\begin{gathered} \sigma {{\left( {100} \right)}_{{{\text{max}}}}} = 4.447\,\,{{{\text{Дж}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Дж}}} {{{{\text{м}}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\text{м}}}^{2}}}} \\ {\text{при}}\,\,P = 76.5123{\text{ ГПа для }}300{\text{ К}}, \\ \sigma {{\left( {100} \right)}_{{{\text{max}}}}} = 4.288{\text{ }}\,\,{{{\text{Дж}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Дж}}} {{{{\text{м}}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\text{м}}}^{2}}}} \\ {\text{при}}\,\,P = {\text{ }}84.9383{\text{ ГПа для }}3000{\text{ К}}, \\ {{P}_{{fr}}} = 732.3{\text{ ГПа для }}300{\text{ К}}, \\ {{P}_{{fr}}} = 725.0{\text{ ГПа для }}3000{\text{ К}}. \\ \end{gathered} $
Рис. 7.

Барическая зависимость для σ – удельной (на единицу площади) поверхностной энергии грани (100). Сплошная линия – 300 К, пунктирная 3000 К.

Легко понять, что при σ < 0 структура кристалла будет распадаться на домены, увеличивая площадь междоменной поверхности.

Известные из литературы оценки величины σ(100) для Nb при P = 0 лежат в интервале:

$\begin{gathered} {{\sigma \left( {100} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sigma \left( {100} \right)} \text{[}}} \right. \kern-0em} [}{{{\text{Дж}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Дж}}} {{{{\text{м}}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\text{м}}}^{2}}}}{\text{]}} = 1.93{\text{--}}2.79\,\,\left[ 2 \right], \\ 2.00{\text{--}}2.99\,\,\left[ 3 \right],\,\,2.66{\text{--}}2.99\,\,\left[ {24} \right],\,\,1.968{\text{--}}2.715\,\,\left[ {25} \right]. \\ \end{gathered} $

Как видно из рис. 7, наши данные хорошо согласуются с этими оценками.

БАРИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ТЕМПЕРАТУРЫ ПЛАВЛЕНИЯ НИОБИЯ

Используя полученное уравнение состояния и барическую зависимость температуры Дебая, можно оценить барическую зависимость температуры плавления (Tm). Как было показано в [3, 26], исходя из критерия плавления Линдеманна, для зависимости температуры плавления от относительного объема (V/V0) можно получить выражение:

(5)
${{T}_{m}}(P) = {{T}_{m}}(0){{\left( {\frac{{V(P)}}{{V(P = 0)}}} \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{\left[ {\frac{{\Theta \left( {\frac{{V(P)}}{{{{V}_{0}}}}} \right)}}{{\Theta \left( {\frac{{V(P = 0)}}{{{{V}_{0}}}}} \right)}}} \right]}^{2}},$
где Tm(0) и V(P = 0) – температура плавления и объем при P = 0.

Взяв для ниобия значение Tm(0) = 2742 К [2] и используя полученные барические зависимости для объема и температуры Дебая, мы рассчитали изменение функции Tm(P). К сожалению, как это отмечено и авторами работы [2], экспериментальных данных для барической зависимости температуры плавления ниобия в литературе нет. Поэтому результаты наших расчетов мы сопоставляли только с расчетами, полученными в [2] методом молекулярной динамики.

На рис. 8 сплошной линией представлены результаты наших расчетов. Символами показаны значения Tm(P) рассчитанные на интервале от 0 до P = 2.5 ГПа методом молекулярной динамики для ниобия в [2]. Эти данные авторы аппроксимировали с помощью полинома:

(6)
${{T}_{m}}(P) = {{T}_{0}} + \alpha P + \beta {{P}^{2}},$
где T0 = 2685.8 ± 0.2 К, α = 53.9 ± 0.3 К/ГПа, и β = = –3.4 ± 0.1 К/ГПа2. Зависимость (6) показана на рис. 8 квадратами. Из рис. 8 видно, что наша барическая зависимость Tm(P) для ОЦК-Nb более реальна, ибо значения температуры плавления при P = 0, полученные в работе [2], оказались ниже экспериментальной величины.

Рис. 8.

Барические зависимости температуры плавления Tm(P). Символы – результаты расчетов [2], штриховая линия – результат их аппроксимации полиномом (6).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Используя формализм работ [6–10], самосогласованным образом определены параметры межатомного потенциала Ми–Леннард-Джонса (1) для ОЦК ниобия.

Показано, что при использовании корректной функциональной зависимости для характеристической температуры Θ(V/V0) и самосогласованно определенных четырех параметров межатомного потенциала Ми–Леннард-Джонса (1), как уравнение состояния, так и барическую зависимость термодинамических свойств ниобия можно рассчитать в рамках сравнительно простой аналитической модели [6–10].

Изучены барические свойства ниобия вдоль изотерм 300 и 3000 К. Получены барические зависимости для следующих свойств ниобия: температура Дебая и параметры Грюнайзена, изотермический модуль сжатия, изохорная и изобарная теплоемкости, коэффициент теплового расширения, удельная поверхностная энергия и температура плавления. Расчеты показали хорошее согласие с известными из литературы экспериментальными данными.

Показано, что для ниобия при P → ∞ функция BT(P) возрастает по линейной зависимости, а функция αp(P) убывает, стремясь к постоянному значению. Поэтому при P → ∞ выполняется: $B_{T}^{'}$(P) → const > 0, а функция ${\alpha }_{p}^{'}$(P) стремится к нулю из отрицательной области значений.

Показано, что барическая зависимость σ(P) достигает максимума, а затем с увеличением давления стремится к отрицательным значениям, достигая нуля при ${{P}_{{fr}}}.$ Оценены значения этих характеристических точек зависимости σ(P) для ниобия.

Рассчитана барическая зависимость температуры плавления ОЦК-ниобия и ее производной по давлению: $T_{m}^{'}$(P) = (∂Tm/∂P)T. Расчеты показали, что функция $T_{m}^{'}$(P) на интервале от 0 до P = 2.5 ГПа убывает линейно от $T_{m}^{'}$(0) = 62 до $T_{m}^{'}$(2.5 ГПа) = = 56 (К/ГПа).

Авторы выражают благодарность М.Н. Магомедову, Н.Ш. Газановой и А.А. Аливердиеву за плодотворные дискуссии и помощь в работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-29-11013_мк и Программы Президиума РАН (программа № I.13).

Список литературы

  1. Дорогокупец П.И., Соколова Т.С., Данилов Б.С., Литасов К.Д. Почти абсолютные уравнения состояния алмаза, Ag, Al, Au, Cu, Mo, Nb, Pt, Ta, W для квазигидростатических условий // Геодинамика и тектонофизика. 2012. Т. 3. № 2. С. 129–166.

  2. Fellinger M.R., Park H., Wilkins J.W. Force-matched embedded-atom method potential for niobium // Physical Review B. 2010. V. 81. № 14. P. 144119-1–144119-15.

  3. Магомедов М.Н. Изучение межатомного взаимодействия, образования вакансий и самодиффузии в кристаллах. М.: Физматлит, 2010. 544 с.

  4. Магомедов М.Н. О самодиффузии в железе при сильном сжатии кристалла // ФММ. 2013. Т. 114. № 3. С. 227–236.

  5. Магомедов М.Н. О самодиффузии и поверхностной энергии при сжатии алмаза, кремния и германия // ЖТФ. 2013. Т. 83. № 12. С. 87–96.

  6. Магомедов М.Н. Изменение теплофизических свойств ОЦК-железа при изотермическом сжатии // ЖТФ. 2015. Т. 85. № 11. С. 48–54.

  7. Магомедов М.Н. Изменение решеточных свойств и температуры плавления гранецентрированной кубической структуры железа при сжатии // ЖТФ. 2017. Т. 87. № 4. С. 549–556.

  8. Магомедов М.Н. Изменение теплофизических свойств алмаза при изотермическом сжатии // ЖТФ. 2017. Т. 87. № 5. С. 643–650.

  9. Магомедов М.Н. Об уравнении состояния и свойствах различных полиморфных модификаций кремния и германия // ФТТ. 2017. Т. 59. № 6. С. 1065–1072.

  10. Akhmedov E.N. Molybdenum Lattice Properties at High Pressure // J. Physics and Chemistry of Solids. 2018. V. 121. P. 62–66.

  11. Магомедов М.Н. О вычислении параметров потенциала Ми–Леннарда-Джонса // Теплофизика Высоких Температур. 2006. Т. 44. № 4. С. 518–533.

  12. Новикова С.И. Тепловое расширение твердых тел. М.: Наука.1974. 173 с.

  13. McQueen R.G., Marsh S.P., Taylor J.W., Fritz J.N., Carter W.J. The equation of state of solids from shock wave studies / In High-Velocity Impact Phenomena, edited by R. Kinslow (Academic, N.Y., 1970). P. 345.

  14. Kenichi T., Singh A.K. High-pressure equation of state for Nb with a helium-pressure medium: Powder X-ray diffraction experiments // Physical Review B. 2006. V. 73. № 22. P. 224119(9).

  15. Альтшулер Л.В., Брусникин С.Е., Кузьменко Е.А. Изотермы и функции Грюнайзена 25 металлов // Журн. Прикладной Механики и Технической Физики. 1987. № 1. С. 134–146.

  16. Zou Y., Qi X., Wang X., Chen T., Li X., Welch D., Baosheng Li. High-pressure behavior and thermoelastic properties of niobium studied by in situ x-ray diffraction // J. Applied Physics. 2014. V. 116. № 1. P. 013516(6).

  17. Karbasi A., Saxena S.K., Hrubiak R. The thermodynamics of several elements at high pressure // Calphad Comput. Coupling Phase Diagrams Thermochem. 2011. V. 35. № 1. P. 72–81.

  18. Nie C., Zong B., Wang J. Pressure Dependency Grüneisen Parameter γ for bcc Mo // Applied Physics Research. 2014. V. 6. № 4. P. 26–30.

  19. Zeng Z.Y., Hu C.E., Chen X.R., Zhang X.L., Cai L.C., Jing F.Q. Density functional theory investigation of the phonon instability, thermal equation of state and melting curve of Mo // Physical Chemistry Chemical Physics. 2011. V. 13. № 4. P. 1669–1675.

  20. Vaidya S.N., Kennedy G.C. Compressibility of 22 elemental solids to 45 kb // J. Physics and Chemistry of Solids. 1972. V. 33. № 7–9. P. 1377–1389.

  21. Singh A.K., Kenichi T. Measurement and analysis of nonhydrostatic lattice strain component in niobium to 145 GPa under various fluid pressure-transmitting media // J. Applied Physics. 2001. V. 90. № 7. P. 3269–3275.

  22. Song Y., Yang R., Li D., Wu W.T., Guo Z.X. Calculation of theoretical strengths and bulk moduli of bcc metals // Phys. Rev. B. 1999. V. 59. № 22. P. 14220–14225.

  23. Koči L., Ma Y., Oganov A.R., Souvatzis P., Ahuja R. Elasticity of the superconducting metals V, Nb, Ta, Mo, and W at high pressure // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. № 21. P. 214101(5).

  24. Jiang Q., Lu H.M., Zhao M. Modelling of surface energies of elemental crystals // J. Physics: Condensed Matter. 2004. V. 16. № 4. P. 521–530.

  25. Dai X. D., Li J. H., Kong Y. Long-range empirical potential for the bcc structured transition metals // Phys. Rev. B. 2007. V. 75. № 5. P. 052102(4).

  26. Магомедов М.Н. О критерии фазового перехода кристалл–жидкость // ФММ. 2008. Т. 105. № 2. С. 127–136.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Физика металлов и металловедение

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал