1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Физика металлов и металловедение
  4. T. 123, № 3, 2022

Физика металлов и металловедение, 2022, T. 123, № 3, стр. 313-319

Исследование влияния сильных магнитных полей на фазовые переходы фрустрированной модели Поттса с числом состояний спина q = 4

М. К. Рамазанов a, *, А. К. Муртазаев b, М. А. Магомедов a, М. К. Мазагаева a, А. А. Муртазаева a

a Институт физики ДФИЦ РАН
367003 Махачкала, ул. М. Ярагского, 94, Россия

b Дагестанский федеральный исследовательский центр РАН
367000 Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45, Россия

* E-mail: sheikh77@mail.ru

Поступила в редакцию 22.11.2021
После доработки 07.12.2021
Принята к публикации 09.12.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основе репличного алгоритма методом Монте-Карло выполнены исследования фазовых переходов и термодинамических свойств двумерной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке с учетом взаимодействий первых и вторых ближайших соседей во внешнем магнитном поле. Исследования проведены для значений магнитного поля в интервале 0.0 ≤ h ≤ 7.0 с шагом 1.0. Построены магнитные структуры основного состояния. Обнаружено, что в рассмотренном интервале значений магнитного поля наблюдается фазовый переход первого рода. Показано, что в интервале 4.0 ≤ h ≤ 7.0 магнитное поле снимает вырождение основного состояния и размывается фазовый переход.

Ключевые слова: модель Поттса, метод Монте-Карло, фазовый переход, магнитное поле

ВВЕДЕНИЕ

Для исследования фазовых переходов (ФП), магнитных, термодинамических и критических свойств магнитных материалов в современной физике конденсированных сред используют различные решеточные модели. С помощью теоретических методов на простых решеточных моделях удается решить большое количество задач, имеющих широкие перспективы для практического применения [1–3]. Для изучения физических свойств магнитных материалов широко используют модели Изинга, XY, Гейзенберга, Поттса и др. Эти модели также описывают большой класс реальных физических систем: слоистые магнетики, пленки жидкого гелия, сверхпроводящие пленки, адсорбированные пленки и др. [1, 4, 5].

В последние годы с использованием этих моделей успешно изучают различные магнитные спиновые системы. Особый интерес представляют исследования, посвященные изучению магнитных спиновых систем с фрустрациями. Такие системы обладают богатой природой ФП и имеют особенности магнитного, термодинамического и критического поведения. Включение возмущений различной природы, таких как внешнее магнитное поле, взаимодействие вторых ближайших соседей, немагнитные примеси, тепловые и квантовые флуктуации и др. в магнитных спиновых системах с фрустрациями может привести к совершенно новому физическому поведению таких систем [6–11].

В данной работе мы изучаем влияние внешнего магнитного поля на характер ФП, магнитные и термодинамические свойства спиновых систем с фрустрациями. При решении такого рода задач до сих пор в большинстве случаев ограничивались моделями Изинга и Гейзенберга. В настоящее время влияние внешних возмущающих факторов, в том числе и магнитного поля, в этих моделях достаточно хорошо изучено [12–16].

Для модели Поттса с фрустрациями существует совсем немного надежно установленных фактов. В последние годы исследованию спиновых систем, описываемых моделью Поттса, было посвящено значительное число работ [4, 17–21], в которых были получены ответы на многие вопросы. В работах [17–24] представлены результаты, полученные для двумерной модели Поттса с числом состояний спина q = 2, q = 3 и q = 4 на разных типах решеток. Результаты этих работ свидетельствуют, что многие физические свойства модели Поттса зависят от величины взаимодействия следующих за ближайшими соседей, числа состояний спина q и от геометрии решетки. Исследований, посвященных изучению влияния внешнего магнитного поля, как возмущающего фактора, на ФП, магнитные и термодинамические свойства модели Поттса с числом состояний спина q = 4 практически нет, и этот вопрос все еще остается открытым и малоизученным. В связи с этим в данной работе нами предпринята попытка на основе метода Монте-Карло (МК) изучить влияние внешнего магнитного поля на ФП, магнитные и термодинамические свойства двумерной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке с учетом обменных взаимодействий первых и вторых ближайших соседей. Данная модель интересна и еще и тем, что значение q = 4 является граничным значением интервала 2 ≤ q ≤ 4, где наблюдается ФП второго рода, и области значений q > 4, в котором ФП происходит как переход первого рода [20].

Исследование рассматриваемой модели на основе современных методов и идей позволит получить ответ на ряд вопросов, связанных с ФП, магнитными и термодинамическими свойствами низкоразмерных систем с фрустрациями.

МОДЕЛЬ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

Гамильтониан модели Поттса с учетом взаимодействия первых и вторых ближайших соседей, а также внешнего магнитного поля имеет следующий вид [25, 26]:

(1)
$\begin{gathered} H = - {{J}_{1}}\sum\limits_{\left\langle {i,j} \right\rangle ,i \ne j} {{{S}_{i}}{{S}_{j}}} - {{J}_{2}}\sum\limits_{\left\langle {i,k} \right\rangle ,i \ne k} {{{S}_{i}}{{S}_{k}}} - h\sum\limits_{\langle i\rangle } {Si} = \\ = - {{J}_{1}}\sum\limits_{\left\langle {i,j} \right\rangle ,i \ne j} {\operatorname{Cos} {{\theta }_{{i,j}}}} - {{J}_{2}}\sum\limits_{\left\langle {i,k} \right\rangle ,i \ne k} {\operatorname{Cos} {{\theta }_{{i,k}}}} - h\sum\limits_{\langle i\rangle } {Si} , \\ \end{gathered} $
где J1 и J2 – параметры обменных ферро- (J1 > 0) и антиферромагнитного (J2 < 0) взаимодействия соответственно для первых и вторых ближайших соседей, θi,j, θi,k – углы между взаимодействующими спинами Si – Sj и Si – Sk, h – величина магнитного поля (h приводится в единицах J1). В данном исследовании рассматривается случай, когда |J1| = |J2| = 1. Величину внешнего магнитного поля меняли в интервале 0.0 ≤ h ≤ 7.0 с шагом 1.0. Магнитное поле направлено вдоль одного из направлений спина.

Схематическое и цветовое представление модели представлено на рис. 1. Спины, обозначенные кружками одного и того же цвета, имеют одинаковое направление. На вставке приведены направления спинов для каждого из 4 значений спина и соответствующее цветовое представление. На рисунке также представлены взаимодействия между первыми и вторыми ближайшими соседями. Как видно на рисунке, у каждого спина есть три ближайших (сплошные жирные линии красного цвета) и шесть следующих ближайших (пунктирные линии синего цвета) соседа.

Рис. 1.

Модель Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке. На вставке для каждого из четырех возможных направлений спина приведено соответствующее цветовое представление.

Направления спинов задается таким образом, чтобы выполнялось равенство:

(2)
$\begin{gathered} {{\theta }_{{i,j}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,\,\,\,\,{\text{если}}\,\,\,\,{{S}_{i}} = {{S}_{j}}} \\ {109.47^\circ ,\,\,\,\,{\text{если}}\,\,\,\,{{S}_{i}} \ne {{S}_{j}}} \end{array}} \right.; \\ \operatorname{Cos} {{\theta }_{{i,j}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\,\,\,\,{\text{если}}\,\,\,\,{{S}_{i}} = {{S}_{j}}} \\ {{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 3}} \right. \kern-0em} 3},\,\,\,\,{\text{если}}\,\,\,\,{{S}_{i}} \ne {{S}_{j}}} \end{array}} \right.. \\ \end{gathered} $

Для модели Поттса с числом состояний спина q = 4 в трехмерном пространстве такое возможно только при ориентации спинов, как показано на рис. 1.

В настоящее время спиновые системы с фрустрациями на основе микроскопических гамильтонианов успешно изучают на основе метода МК [6, 7, 27–29]. В последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК. Одним из наиболее эффективных для исследования подобных систем является репличный обменный алгоритм [30]. Поэтому в данном исследовании нами был использован этот алгоритм.

Репличный обменный алгоритм был использован в следующем виде:

1. Одновременно моделируются N реплик X1, X2, … XN с температурами T1, T2, … TN.

2. После выполнения одного МК-шага/спин для всех реплик производится обмен данными между парой соседних реплик Xi и Xi + 1 в соответствии со схемой Метрополиса с вероятностью:

$w({{X}_{i}} \to {{X}_{{i + 1}}}) = \left\{ \begin{gathered} 1,\,\,\,\,{\text{for}}\,\,\,\,\Delta \leqslant 0, \hfill \\ \exp ( - \Delta ),\,\,\,\,{\text{for}}\,\,\,\,\Delta > 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где $\Delta = \left( {{{U}_{i}} - {{U}_{{i + 1}}}} \right) \cdot \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{T}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{i}}}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{T}_{{i + 1}}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{{i + 1}}}}}} \right),$ Ui и Ui + 1 – внутренние энергии реплик.

Для анализа природы и характера ФП использован гистограммный метод анализа данных [31, 32]. Для вывода системы в состояние термодинамического равновесия отсекали участок длиной τ0 = 4 × 105 шагов МК на спин, что в несколько раз больше длины неравновесного участка. Усреднение термодинамических параметров проводили вдоль марковской цепи длиной до τ = 500τ0 шагов МК на спин. Расчеты проводили для систем с периодическими граничными условиями и линейными размерами 2 × L × L × L = N, L = 12–60, где L – линейный размер решетки, N – количество спинов в системе.

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

На рис. 2 представлены схемы магнитных структур основного состояния при разных значениях магнитного поля. На этом рисунке спины, имеющие одинаковое направление, обозначены кружками одного и того же цвета. Магнитное поле направлено вдоль спина, обозначенного черным цветом. Из рисунка видно, что при отсутствии внешнего магнитного поля (h = 0.0) в данной модели в основном состоянии реализуется димерная структура, т.е. наблюдается магнитное состояние, при котором спины упорядочиваются попарно. Для поля h = 2.0 наблюдается увеличение числа кружков черного цвета. Это связано с увеличением числа спинов, ориентированных вдоль внешнего поля. При этом на рисунке появляются области с частичным упорядочением спинов. При значении поля h = 3.0 в системе наблюдается страйповое упорядочение (полосовая структура). Включение сильных полей (h ≥ 4.0) приводит к упорядочению всех спинов в системе вдоль направления внешнего магнитного поля. Это свидетельствует о том, что внешнее магнитное поле приводит к изменению типа магнитного упорядочения.

Рис. 2.

Магнитные структуры основного состояния.

Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости С нами использовано выражение:

(3)
$C = (N{{K}^{2}})\left( {\left\langle {{{U}^{2}}} \right\rangle - {{{\left\langle U \right\rangle }}^{2}}} \right),$
где $K = {{\left| {{{J}_{1}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{J}_{1}}} \right|} {{{k}_{B}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}T}},$ U – внутренняя энергия.

На рис. 3 и 4 представлены температурные зависимости теплоемкости C для различных значений магнитного поля при L = 24. Из рис. 3 видно, что в интервале 0.0 ≤ h ≤ 3.0 вблизи критической области наблюдаются хорошо выраженные максимумы теплоемкости. Для поля h = 2.0 максимум теплоемкости становится более плавным. Такая картина температурной зависимости теплоемкости обычно наблюдается для фрустрированных спиновых систем [33, 34]. Аналогичное поведение теплоемкости было обнаружено в модели Изинга с фрустрациями на декорированных решетках [35, 36]. Можно предположить, что такое поведение теплоемкости связано с изменением структуры магнитного упорядочения и появлением частично упорядоченного магнитного состояния (рис. 2). При включении слабого магнитного поля (h = 1.0) максимум теплоемкости смещается в сторону высоких температур. Дальнейший рост поля приводит к сдвигу максимума теплоемкости в сторону низких температур. Такое поведение теплоемкости объясняется тем, что увеличение величины магнитного поля приводит к быстрому упорядочению системы, уменьшению флуктуаций и, соответственно, уменьшается температура ФП.

Рис. 3.

Температурные зависимости теплоемкости C/kB в интервале поля 0.0 ≤ h ≤ 3.0.

Рис. 4.

Температурные зависимости теплоемкости C/kB для поля h ≥ 4.0.

Из рис. 4 видно, что для при значениях магнитного поля h ≥ 4.0 характерные пики теплоемкости не наблюдаются. Это говорит о том, что дальнейшее увеличение магнитного поля приводит к подавлению ФП в системе.

Параметр порядка системы m вычисляли по формуле:

(4)
$m = \frac{1}{N}\left( {\frac{{4{{N}_{{\max }}} - {{N}_{1}} - {{N}_{2}} - {{N}_{3}} - {{N}_{4}}}}{3}} \right),$
где N1, N2, N3, N4 – число спинов, соответствующих каждому из 4 направлений спина.

На рис. 5 и 6 представлены графики зависимости параметра порядка m от температуры для разных значений магнитного поля. При отсутствии магнитного поля, в системе отсутствует порядок, и значение параметра порядка близко к нулю. При включении поля в системе наблюдается частичное упорядочение и параметр порядка в низкотемпературной области имеет отличные от нуля значения. Это объясняется тем, что магнитное поле выстраивает спины вдоль своего направления и в системе возникает частичный порядок. С ростом поля увеличивается число спинов, которые выстраиваются вдоль направления поля. Этим обусловлено тем, что параметр порядка в низкотемпературной области растет с увеличением h. При значениях h ≥ 5.0 в низкотемпературной области параметр порядка m = 1.0. Это свидетельствует о том, что при h ≥ 5.0 все спины в системе упорядочены вдоль направления внешнего поля.

Рис. 5.

Температурные зависимости параметра порядка в интервале поля 0.0 ≤ h ≤ 3.0.

Рис. 6.

Температурные зависимости параметра порядка для поля h ≥ 4.0.

Для анализа рода ФП нами использован гистограммный анализ данных метода МК [31, 32]. Этот метод позволяет надежно определить род ФП, методика определения рода ФП подробно описана в работе [13].

Полученные на основе гистограммного анализа данных результаты показывают, что в данной модели для значений магнитного поля в диапазоне 0.0 ≤ h ≤ 3.0 наблюдается ФП первого рода. Это продемонстрировано на рис. 7–10, где представлены гистограммы распределения энергии для системы с линейными размерами L = 60 для значений поля h = 0.0, 1.0, 2.0 и 3.0. Графики построены для различных температур, близких к критической.

Рис. 7.

Гистограммы распределения энергии для L = = 60 при различных температурах для поля h = 0.0. Энергия E приведена в единицах J1.

Рис. 8.

Гистограммы распределения энергии для L = = 60 при различных температурах для поля h = 1.0.

Рис. 9.

Гистограммы распределения энергии для L = = 60 при различных температурах для поля h = 2.0.

Рис. 10.

Гистограммы распределения энергии для L = = 60 при различных температурах для поля h = 3.0.

Из рис. 7–10 видно, что зависимость вероятности P(E) от энергии E для всех рассмотренных значений поля имеет два хорошо выраженных максимума, которые свидетельствует о ФП первого рода. Наличие двойного пика на гистограммах распределения энергии является достаточным условием для ФП первого рода. Это позволяет нам утверждать, что в рассмотренном интервале значений поля наблюдаются ФП первого рода. Для значений поля h ≥ 4.0 магнитное поле снимает вырождение основного состояния, и ФП размывается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование влияния магнитного поля на фазовые переходы, магнитные структуры основного состояния и термодинамические свойства двумерной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей выполнено с использованием репличного обменного алгоритма метода Монте-Карло. На основе гистограммного метода проведен анализ характера фазовых переходов. Получены магнитные структуры основного состояния в широком интервале значений магнитного поля. Показано, что в интервале значений 0.0 ≤ h ≤ 3.0 наблюдается фазовый переход первого рода. Обнаружено, что в сильных полях h ≥ 4.0 магнитное поле снимает вырождение основного состояния и фазовый переход в системе размывается.

Исследование выполнено в рамках госзадания МИНОБРНАУКИ России (тема № AAAA-A19-119051490043-5).

Список литературы

  1. Diep H.T. Frustrated Spin Systems. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore. 2004. P. 624.

  2. Baxter R.J. Exactly Solved Models in Statistical Mechanics. Academic, N.Y., 1982; Mir, M., 1985.

  3. Wu F.Y. Exactly Solved Models. A Journey in Statistical Mechanics. World Scientific, New Jersey, 2008.

  4. Wu F.Y. The Potts model // Rev. Mod. Phys.1982. V. 54. P. 235–268.

  5. Zhang W., Deng Y. Monte Carlo study of the triangular lattice gas with first- and second-neighbor exclusions // Phys. Rev. E. 2008. V. 78. 031103.

  6. Masrour R., Jabar A. Magnetic properties of mixed spin-5/2 and spin-2 Ising model on a decorated square lattice: a Monte Carlo simulation // Physica A. 2019. V. 515. P. 270–278.

  7. Masrour R., Jabar A. Magnetic properties in stacked triangular lattice: Monte Carlo approach // Physica A. 2018. V. 491. P. 926–934.

  8. Коршунов С.Е. Фазовые переходы в двумерных системах с непрерывным вырождением // УФН. 2006. Т. 176. С. 233–274.

  9. Malakis A., Kalozoumis P., Tyraskis N. Monte Carlo studies of the square Ising model with next-nearest-neighbor interactions // Eur. Phys. J. B. 2006. V. 50. P. 63–67.

  10. Сосин С.С., Прозорова Л.А., Смирнов А.И. Новые магнитные состояния в кристаллах // УФН. 2005. Т. 175. С. 92–99.

  11. Kazuaki M., Yukiyasu O. Dynamical scaling analysis of symmetry breaking for the antiferromagnetic triangular Heisenberg model in a uniform magnetic field // Phys. Rev. B. V. 101. P. 184427(7).

  12. Murtazaev A.K., Ramazanov M.K., Kurbanova D.R., Magomedov M.A., Murtazaev K.Sh. Phase diagrams and ground-state structures of the antiferromagnetic materials on a body-centered cubic lattice // Mater. Lett. 2019. V. 236. P. 669–671.

  13. Рамазанов М.К., Муртазаев А.К. Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Гейзенберга на кубической решетке // Письма в ЖЭТФ. 2019. Т. 109. Вып. 9. С. 610–614.

  14. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Фазовые переходы в модели Изинга на треугольной решетке с различными взаимодействиями межслойного обменного взаимодействия // ФНТ. 2019. Т. 45. Вып. 12. С. 1493–1497.

  15. Бадиев М.К., Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Магомедов М.А. Критические свойства модели Изинга в магнитном поле // ФНТ. 2020. Т. 46. Вып. 7. С. 824–828.

  16. Муртазаев А.К., Курбанова Д.Р., Рамазанов М.К. Фазовые переходы и критические свойства антиферромагнитной модели Гейзенберга на объемно-центрированной кубической решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей // ЖЭТФ. 2019. Т. 156. Вып. 5. С. 980–988.

  17. Nauenberg. M, Scalapino D.J. Singularities and Scaling Functions at the Potts-Model Multicritical Point // Phys. Rev. Lett. V. 44. P. 837–840.

  18. Cardy J.L., Nauenberg M., Scalapino D.J. Scaling theory of the Potts-model multicritical point // Phys. Rev. B. 1980. V. 22. P. 2560–2568.

  19. Ramazanov M.K., Murtazaev A.K., Magomedov M.A. Phase diagrams and ground-state structures of the Potts model on a triangular lattice // Physica A. 2019. V. 521. P. 543–550.

  20. Feldmann H., Guttmann A.J., Jensen I., Shrock R., Tsai S.-H. Study of the Potts model on the honeycomb and triangular lattices: Low-temperature series and partition function zeros // J. Phys. A. 1998. V. 31. P. 2287–2310.

  21. Kassan-Ogly F.A., Proshkin A.I. Frustrations and Ordering in Magnetic Systems of Various Dimensions // Phys. Solid State. 2018. V. 60. P. 1090–1097.

  22. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Мазагаева М.К., Магомедов М.А. Фазовые переходы и термодинамические свойства модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке // ЖЭТФ. 2019. Т. 156. Вып. 3. С. 502–506.

  23. Муртазаев А.К., Курбанова Д.Р., Рамазанов М.К. Фазовые переходы и термодинамические свойства модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на треугольной решетке // ФТТ. 2019. Т. 61. Вып. 11. С. 2195–2198.

  24. Рамазанов М.К., Муртазаев А.К., Магомедов М.А., Мазагаева М.К. Исследование фазовых переходов и термодинамических свойств модели Поттса с q = 4 на гексагональной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей // ФТТ. 2020. Т. 62. Вып. 3. С. 442–446.

  25. Townsend M.G., Longworth G., Roudaut E. Triangular-spin, kagome plane in jarosites // Phys. Rev. B. 1986. V. 33. P. 4919–4926.

  26. Chiaki Y., Yutaka O. Three-dimensional antiferromagnetic q-state Potts models: application of the Wang-Landau algorithm // J. Phys. A: Mathematical and General. 2001. V. 34. P. 8781–8794.

  27. Муртазаев А.К., Кассан-Оглы Ф.А., Рамазанов М.К., Муртазаев К.Ш. Исследование фазовых переходов в антиферромагнитной модели Гейзенберга на объемно-центрированной кубической решетке методом Монте-Карло // ФММ. 2020. Т. 121. Вып. 4. С. 346–351.

  28. Murtazaev A.K., Kurbanova D.R., Ramazanov M.K. Phase diagram of the antiferromagnetic Heisenberg model on a bcc lattice with competing first and second neighbor interactions // Physica A. 2020. V. 545. P. 123548(6).

  29. Муртазаев А.К., Ф.А. Кассан-Оглы, Рамазанов М.К., Муртазаев К.Ш. Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке // ФММ. 2021. Т. 122. Вып. 5. С. 460–465.

  30. Mitsutake A., Sugita Y., Okamoto Y. Generalized-ensemble algorithms for molecular simulations of biopolymers // Biopolymers (Peptide Science). 2001. V. 60. P. 96–123.

  31. Wang F., Landau D.P. Determining the density of states for classical statistical models: a random walk algorithm to produce a flat histogram // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 056101–1–056101–16.

  32. Wang F., Landau D.P. Efficient, Multiple-Range Random Walk Algorithm to Calculate the Density of States // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 2050–2053.

  33. Kassan-Ogly F.A., Filippov B.N., Murtazaev A.K., Ramazanov M.K., Badiev M.K. Influence of field on frustrations in low-dimensional magnets // J. Mag. Mag. Mater. 2012. V. 24. P. 3418–3421.

  34. Kassan-Ogly F.A., Murtazaev A.K., Zhuravlev A.K., Ramazanov M.K., Proshkin A.I. Ising model on a square lattice with second-neighbor and third- neighbor interactions // J. Mag. Mag. Mater. 2015. V. 384. P. 247–254.

  35. Proshkin A.I., Kassan-Ogly F.A. Frustration and Phase Transitions in Ising Model on Decorated Square Lattice // Physics of Metals and Metallography. 2019. V. 120. P. 1366–1372.

  36. Kassan-Ogly F.A., Proshkin A.I. Ising Model on Planar Decorated Lattices. Frustrations and Their Influence on Phase Transitions // Physics of Metals and Metallography. 2019. V. 120. P. 1359–1365.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Физика металлов и металловедение

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал