Физика металлов и металловедение, 2022, T. 123, № 5, стр. 455-461

К теории взаимной диффузии в трехкомпонентных сплавах

А. В. Назаров^a, b, *

^a Национальный Исследовательский Ядерный Университет, МИФИ
115487 Москва, Каширское ш., 31, Россия

^b Институт теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова Национального исследовательского центра “Курчатовский институт”
117218 Москва, Большая Черемушкинская ул., 25, Россия

^* E-mail: avn46@mail.ru

Поступила в редакцию 27.10.2021
После доработки 03.01.2022
Принята к публикации 11.01.2022

EDN: AFTKSC
DOI: 10.31857/S0015323022050102

Полный текст (PDF)

Аннотация

Разработан математический аппарат для изучения взаимной диффузии в трехкомпонентных системах, используя теоретический подход, аналогичный ранее предложенному для описания взаимной диффузии в бинарных сплавах. Этот подход учитывает активную роль вакансий, равновесное распределение которых не предполагается, поэтому в уравнениях для потоков компонентов присутствуют вклады, обусловленные градиентом концентрации вакансий. Получены решения линеаризованной системы взаимосвязанных диффузионных уравнений для трех компонентов и вакансий. Установлено, что временные зависимости распределений концентраций компонентов в диффузионной зоне с точностью до слагаемых, имеющих более высокий порядок в разложении по концентрации вакансий, определяются двумя коэффициентами взаимной диффузии. Эти коэффициенты нелинейным образом зависят от концентраций компонентов и коэффициентов самодиффузии.

Ключевые слова: взаимная диффузия, многокомпонентные сплавы, “медленная” диффузия

ВВЕДЕНИЕ

Процессы взаимной диффузии в сплавах в большинстве случаев определяют кинетику фазовых превращений и формирование структуры и, в конечном итоге, свойства материалов [1–5]. Особый интерес представляют процессы взаимной диффузии [1–6], являющиеся основными в бинарных и многокомпонентных системах при наличии пространственной неоднородности химического состава. Взаимная диффузия лежит в основе таких важных технологических процессов, как гомогенизация сплавов, нанесение защитных покрытий на поверхности материалов, сварка, формирование структуры многофазных материалов, рост и растворение включений новых фаз и некоторых других. Последнее время уделяется много внимания высокоэнтропийным многокомпонентным сплавам [7–9] в связи с их некоторыми интересными свойствами и, в частности, стойкостью к облучению высокоэнергетическими частицами. Поэтому особый интерес многих исследователей связан с замедленной диффузией в таких сплавах и пониманием причин этого эффекта.

В этой работе подход, который был разработан для бинарных систем [10–16] и получил свое развитие в [17–22], обобщен на случай трехкомпонентных сплавов. Напомним, что в этом подходе в явном виде учитываются неравновесные вакансии, и выяснена их определяющая роль в выравнивании потоков компонентов. Линеаризация уравнений исходной системы, аналогичная проведенной ранее для описания диффузии в бинарном сплаве [4, 12, 13, 15], позволяет найти медленно меняющиеся со временем слагаемые в уравнениях для концентраций компонентов. Именно такие слагаемые дают основной вклад в распределение концентраций в диффузионной зоне.

В первом разделе статьи разработан математический аппарат, позволяющий после линеаризации системы диффузионных уравнений для трехкомпонентной системы, получить выражения для распределения концентраций вакансий и компонентов в диффузионной зоне. Во втором представлены выражения для коэффициентов, определяющих кинетику в таких системах, полученные для некоторых предельных случаев.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ТРЕХ КОМПОНЕНТОВ И ВАКАНСИЙ

Уравнения для потоков вакансий и атомов в тройной системе, полученные методом дырочного газа Гурова [4], если градиенты компонентов направлены вдоль оси X, имеют вид:

(1)

${\mathbf{J}} = - \frac{{\gamma {{a}^{2}}}}{{{\Omega }}}\left[ {\left( {{{c}_{{{\alpha }}}}{{\Gamma }_{{{\alpha }}}}} \right)\frac{{\partial {{c}_{v}}}}{{\partial x}} - {{c}_{v}}{{\Gamma }_{{{\alpha }}}}\frac{{\partial {{c}_{{{\alpha }}}}}}{{\partial x}} - {{c}_{v}}{{c}_{{{\alpha }}}}\frac{{\partial {{\Gamma }_{{{\alpha }}}}}}{{\partial x}}} \right];$

(2)

${{{\mathbf{J}}}_{i}} = - \frac{{\gamma {{a}^{2}}}}{{{\Omega }}}\left[ {{{c}_{v}}{{\Gamma }_{i}}\frac{{\partial {{c}_{i}}}}{{\partial x}} - {{c}_{i}}{{\Gamma }_{i}}\frac{{\partial {{c}_{v}}}}{{\partial x}} - {{c}_{v}}{{c}_{i}}\frac{{\partial {{\Gamma }_{i}}}}{{\partial x}}} \right],$

где ${{c}_{v}}$ – концентрация вакансий, с_i $ - $ концентрации компонентов $i$ = 1, 2, 3, ${{\alpha }}$ = 1, 2, 3, причем здесь и в дальнейшем по индексам, обозначенным греческими буквами и встречающимися дважды, происходит суммирование, ${{\Gamma }_{i}}~$ – вероятность обмена вакансии с атомом сорта $i$ в единицу времени, $a$ – постоянная решётки, γ – безразмерный множитель, зависящий от типа кристаллографической структуры и геометрии диффузионных скачков атомов в вакансию. Далее предполагается, что ${{\Gamma }_{i}}$ не зависят от x и времени (t) для упрощения математических преобразований.

После подстановки выражений для потоков в уравнения непрерывности, получаем систему четырех нелинейных взаимосвязанных уравнений. Решение такой системы позволяет определить отклонение концентрации вакансий от квазиравновесной и выяснить их активную роль при взаимной диффузии. Впервые такой подход был реализован для бинарных систем в нашей работе [10].

Линеаризуем систему уравнений так же, как это было сделано в случае описания взаимной диффузии в бинарных системах в работе [12], а именно, представим концентрации в виде суммы двух слагаемых:

(3)

$\begin{gathered} {{c}^{i}}\left( {x + {{\xi }},t + {{\tau }}} \right) = {{c}_{i}}\left( {x,t} \right) + ~{{u}^{i}}\left( {x,t,{{\xi }},{{\tau }}} \right), \\ {{c}_{v}}\left( {x + {{\xi }},t + {{\tau }}} \right) = c\left( {x,t} \right) + v\left( {x,t,{{\xi }},{{\tau }}} \right), \\ \end{gathered} $

где $0 \leqslant {{\xi }} \leqslant l,$ ${{\tau }} < {{t}_{1}}.$

Примером представления (3) может служить полный ряд Тейлора. Причем внутри интервала $l$ нет стоков и источников для вакансий, но они могут находиться на его границах аналогично тому, как это было учтено в [12]. Поскольку уравнения для потоков (1), (2) были получены в предположении малости градиентов, всегда можно выбрать такой интервал l, чтобы выполнялись условия:

(4)

$\frac{{{{u}_{i}}}}{{{{c}_{i}}}} \ll 1~,\,\,\,\,~\frac{v}{c} \ll 1.$

При этих условиях уравнения непрерывности внутри интервала будут справедливы не только для потоков атомов, но и для вакансий. Подставив выражения для потоков (1) и (2) в уравнения непрерывности, получаем систему нелинейных диффузионных уравнений. После линеаризации уравнений этой системы с использованием представлений (3) и условий (4) аналогично тому, как это сделано в [12], получаем систему линеаризованных уравнений:

(5)

$\begin{gathered} ~\frac{{\partial {{u}^{i}}}}{{\partial \tau }} - {{D}_{i}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{i}}}}{{\partial {{{{\xi }}}^{2}}}} = - {{Z}_{i}}{{c}_{i}}\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial {{{{\xi }}}^{2}}}}; \\ \frac{{\partial v}}{{\partial \tau }} - {{D}_{V}}\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial {{{{\xi }}}^{2}}}} = - {{D}_{\alpha }}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}^{\alpha }}}}{{\partial {{{{\xi }}}^{2}}}}, \\ \end{gathered} $

где ${{Z}_{i}} = {{\gamma }}{{a}^{2}}{{\Gamma }_{i}},$ ${{D}_{i}} = {{Z}_{i}}c,$ ${{D}_{V}} = {{Z}_{1}}{{c}_{1}} + {{Z}_{2}}{{c}_{2}} + {{Z}_{3}}{{c}_{3}}.$

Решение каждого из уравнений (5) можно записать, используя функции Грина [23]:

$\begin{gathered} {{G}_{i}}\left( {{{\xi }},{{\eta }},{{\tau }} - {{\tau }}{\kern 1pt} {\text{'}}} \right) = \\ = \,\,\frac{2}{l}\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\text{exp}}\left( { - {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{i}}\left( {{{\tau }} - {{\tau }}{\kern 1pt} '} \right)} \right)} \sin \left( {{{{{\lambda }}}_{n}}{{\xi }}} \right)\sin \left( {{{{{\lambda }}}_{n}}{{\eta }}} \right) \\ \end{gathered} $

(детали см. [12]), и представить в виде рядов:

(6)

$\begin{gathered} {{u}^{i}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\varphi }}_{n}^{i}\left( {{\tau }} \right)\sin \left( {{{{{\lambda }}}_{n}}{{\xi }}} \right)} ; \\ v = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{{{\varphi }}}_{n}}\left( {{\tau }} \right)\sin \left( {{{{{\lambda }}}_{n}}{{\xi }}} \right)} , \\ \end{gathered} $

где ${{{{\lambda }}}_{n}} = {{{{\pi }}n} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\pi }}n} l}} \right. \kern-0em} l}.$

Используя ортогональность ${\text{sin}}\left( {{{{{\lambda }}}_{n}}{{\xi }}} \right),$ таким же образом, как это сделано в [12], преобразуем систему (5) к системе интегральных уравнений, которая после применения преобразования Лапласа примет вид:

(7a)

${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right) = {{{{\Phi }}}_{n}}\left( p \right)\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{V}}}} + \frac{{{{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{{{\alpha }}}}{{\varphi }}_{n}^{{{\alpha }}}\left( p \right)}}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{V}}}}~;$

(7б)

${{\varphi }}_{n}^{i}\left( p \right) = {{\Phi }}_{n}^{i}\left( p \right)\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{i}}}} + \frac{{{{\lambda }}_{n}^{2}{{Z}_{i}}{{c}_{i}}{{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right)}}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{i}}}}~,$

где

${{{{\Phi }}}_{n}}\left( p \right) = {{{{\varphi }}}_{n}}\left( 0 \right) + \frac{{2{{\pi }}nD}}{{{{l}^{2}}}}{{v}_{{0l}}}\left( p \right)~;$

${{\Phi }}_{n}^{i}\left( p \right) = {{\varphi }}_{n}^{i}\left( 0 \right) + \frac{{2{{\pi }}n{{D}_{i}}}}{{{{l}^{2}}}}u_{{0l}}^{i}\left( p \right),$

${{v}_{{0l}}}\left( p \right)$ образ Лапласа функции, введенной для сокращения выражений функции от времени ${{v}_{{0l}}}\left( {{\tau }} \right) = v\left( {0,{{\tau }}} \right) - {{\left( { - 1} \right)}^{n}}v\left( {l,{{\tau }}} \right),$ определяющей в решении диффузионного уравнения для вакансий вклад граничных условий первого рода, заданных на границах интервала l. Аналогично для компонента i, $u_{{0l}}^{i}\left( p \right)$ образ Лапласа функции $u_{{0l}}^{i}\left( \tau \right) = {{u}^{i}}\left( {0,\tau } \right) - {{\left( { - 1} \right)}^{n}}{{u}^{i}}\left( {l,\tau } \right).$

Подставим ${{\varphi }}_{n}^{i}\left( p \right)$ в уравнение для ${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right)$ и перенесем слагаемые, содержащие ${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right),$ в левую часть, тогда

(8)

${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right)\left( {1 - \frac{{{{\lambda }}_{n}^{4}}}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{V}}}}~\frac{{{{D}_{{{\alpha }}}}{{Z}^{{{\alpha }}}}{{c}_{{{\alpha }}}}}}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{{{\alpha }}}}}}} \right) = {{F}_{n}}\left( p \right),$

где

$\begin{gathered} {{F}_{n}}\left( p \right) = {{{{\Phi }}}_{n}}\left( p \right)\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{V}}}} + \\ + \,\,\frac{{{{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{{{\alpha }}}}{{\Phi }}_{n}^{{{\alpha }}}\left( p \right)}}{{\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{V}}} \right)\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{{{\alpha }}}}} \right)}}~. \\ \end{gathered} $

Преобразовав в уравнении (8) выражение в круглых скобках при ${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right),$ получим в числителе полином четвертой степени:

(9)

$\begin{gathered} {{p}^{4}} + {{\lambda }}_{n}^{2}\left( {{{D}_{V}} + {{D}_{1}} + {{D}_{2}} + {{D}_{3}}} \right){{p}^{3}} + \\ + \,\,{{\lambda }}_{n}^{4}(\left( {{{D}_{V}} - {{Z}_{1}}{{c}_{1}}} \right){{D}_{1}} + \\ + \,\,\left( {{{D}_{V}} - {{Z}_{2}}{{c}_{2}}} \right){{D}_{2}} + \left( {{{D}_{V}} - {{Z}_{3}}{{c}_{3}}} \right){{D}_{3}} + {{D}_{1}}{{D}_{2}} + \\ + \,\,{{D}_{2}}{{D}_{3}} + {{D}_{1}}{{D}_{3}}){{p}^{2}} + \\ + \,\,{{\lambda }}_{n}^{4}({{Z}_{3}}{{c}_{3}}{{D}_{1}}{{D}_{2}} + {{Z}_{2}}{{c}_{2}}{{D}_{1}}{{D}_{3}} + {{Z}_{1}}{{c}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}} + {{D}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}})p. \\ \end{gathered} $

Корнями этого полинома будут

${{p}_{1}} = 0$

и корни кубического уравнения, решение которого проведено методом, изложенным в [24].

Выражения для корней этого уравнения ${\text{c}}$ точностью до первого порядка по концентрации вакансий имеют вид:

(10)

$\begin{gathered} {{p}_{2}} = - {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}~,\,\,\,\,\hat {D} = {{D}_{V}}{{S}_{D}}, \\ {{S}_{D}} = 1 + c\frac{{{{c}_{1}}D_{1}^{2}~ + {{c}_{2}}D_{2}^{2} + {{c}_{3}}D_{3}^{2}}}{{{{{\left( {{{c}_{1}}{{D}_{1}} + {{c}_{2}}{{D}_{2}} + {{c}_{3}}{{D}_{3}}} \right)}}^{2}}}} + \ldots . \\ \end{gathered} $

Два других корня находятся при решении квадратного уравнения с коэффициентами:

$\begin{gathered} {{B}_{q}} = - ~\frac{1}{{{{D}_{V}}}}\left( {\left( {{{D}_{V}} - {{Z}_{1}}{{c}_{1}}} \right){{D}_{1}} + \left( {{{D}_{V}} - {{Z}_{2}}{{c}_{2}}} \right){{D}_{2}} + } \right. \\ \left. { + \,\,\left( {{{D}_{V}} - {{Z}_{3}}{{c}_{3}}} \right){{D}_{3}}} \right),\,\,\,{{C}_{q}} = \frac{{{{D}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}}~~}}{{\left( {{{c}_{1}}{{D}_{1}} + {{c}_{2}}{{D}_{2}} + {{c}_{3}}{{D}_{3}}} \right){{S}_{D}}}}, \\ \end{gathered} $

и тогда:

(11)

${{p}_{3}} = - {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }},\,\,\,\,{{D}^{ + }} = {{ - {{B}_{q}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{B}_{q}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + {{\left[ {{{{\left( {{{{{B}_{q}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{B}_{q}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}^{2}} - {{C}_{q}}} \right]}^{{\frac{1}{2}}}},$

(12)

${{p}_{4}} = - {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }},\,\,\,\,{{D}^{ - }} = \frac{{ - {{B}_{q}}}}{2} - {{\left[ {{{{\left( {{{{{B}_{q}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{B}_{q}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}^{2}} - {{C}_{q}}} \right]}^{{\frac{1}{2}}}}.$

Для проверки корректности примененного метода решения кубического уравнения, уравнение (9) было решено численно при нескольких значениях концентрации вакансий и концентраций компонентов сплава. С точностью до концентрации вакансий величины ${{D}^{ + }}$ и ${{D}^{ - }}$ совпали с рассчитанными по формулам (11) и (12).

Зная корни полинома (9), представим его в виде произведения многочленов первой степени и после несложных преобразований в (8) для ${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right)~$ получим:

(13)

${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right) = {{F}_{n}}\left( p \right)\frac{{\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}D} \right)\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{1}}} \right)\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{2}}} \right)\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{3}}} \right)}}{{p\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}} \right)\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}} \right)\left( {p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}} \right)}}.$

Легко заметить, что ${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right)$ не имеет полюсов в точках:

$p = - {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{V}},\,\,\,\,p = - {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}_{i}}.$

Т.е., так же как и в случае двухкомпонентной системы [12], все характерные времена релаксации заменяются новыми. Разложим дробь в (13) на элементарные, тогда ${{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right)$ примет вид:

(14)

$\begin{gathered} {{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right) = {{{{\Phi }}}_{n}}\left( p \right)\left[ {{{{\hat {M}}}_{V}}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}}} + M_{V}^{ + }\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}} + } \right.\left. {\,M_{V}^{ - }\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}} \right] + {{\Phi }}_{n}^{1}\left( p \right)\left[ {{{{\hat {M}}}_{1}}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}}} + M_{1}^{ + }\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}} + } \right. \\ \left. { + \,\,M_{1}^{ - }\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}} \right] + {{\Phi }}_{n}^{2}\left( p \right)\left[ {{{{\hat {M}}}_{2}}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}}} + M_{2}^{ + }\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}} + } \right.\left. {M_{2}^{ - }\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}} \right] + \\ + \,\,\,{{\Phi }}_{n}^{3}\left( p \right)\left[ {{{{\hat {M}}}_{3}}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}}} + M_{3}^{ + }\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}} + } \right.\left. {\,\,M_{3}^{ - }\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}} \right] + \\ + \,\,\frac{{{{D}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}}}}{{\hat {D}{{D}^{ + }}{{D}^{ - }}}}\,\left[ {{{{{\Phi }}}_{n}}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{1}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{2}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{3}\left( p \right)} \right]\frac{1}{p}, \\ \end{gathered} $

где

$\begin{gathered} {{{\hat {M}}}_{V}} = \frac{{\left( {\hat {D} - {{D}_{1}}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}_{2}}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}_{3}}} \right)}}{{\hat {D}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,M_{V}^{ + } = - \frac{{\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{1}}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{2}}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ + }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}}, \\ M_{V}^{ - } = \frac{{\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{1}}} \right)\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{2}}} \right)\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ - }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,\,{{{\hat {M}}}_{1}} = - \frac{{{{D}_{1}}\left( {\hat {D} - {{D}_{2}}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}_{3}}} \right)}}{{\hat {D}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} M_{1}^{ + } = \frac{{{{D}_{1}}\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{2}}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ + }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,M_{1}^{ - } = - \frac{{{{D}_{1}}\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{2}}} \right)\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ - }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}}, \\ {{{\hat {M}}}_{2}} = - \frac{{{{D}_{2}}\left( {\hat {D} - {{D}_{1}}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}_{3}}} \right)}}{{\hat {D}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)}},~~\,\,\,M_{2}^{ + } = \frac{{{{D}_{2}}\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{1}}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ + }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} M_{2}^{ - } = - \frac{{{{D}_{2}}\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{1}}} \right)\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ - }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,\,{{{\hat {M}}}_{3}} = - \frac{{{{D}_{3}}\left( {\hat {D} - {{D}_{1}}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}_{2}}} \right)}}{{\hat {D}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)}}, \\ M_{3}^{ + } = \frac{{{{D}_{3}}\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{1}}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{2}}} \right)}}{{{{D}^{ + }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}},~\,\,\,M_{3}^{ - } = - \frac{{{{D}_{3}}\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{1}}} \right)\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{2}}} \right)}}{{{{D}^{ - }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}}. \\ \end{gathered} $

Подставив (13) в (7б) и также проведя разложение дробей на элементарные, получим:

(15)

$\begin{gathered} {{\varphi }}_{n}^{1}\left( p \right) = {{{{\Phi }}}_{n}}\left( p \right)\left[ {\hat {M}_{V}^{1}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}}} + M_{V}^{{1 + }}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}} + } \right.\left. {\,\,M_{V}^{{1 - }}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}} \right] + {{\Phi }}_{n}^{1}\left( p \right)\left[ {\hat {M}_{1}^{1}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}}} + } \right. \\ \left. { + \,\,M_{1}^{{1 + }}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}} + M_{1}^{{1 - }}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}} \right] + {{\Phi }}_{n}^{2}\left( p \right)\,\,\left[ {\hat {M}_{2}^{1}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}}} + M_{2}^{{1 + }}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}} + ~M_{2}^{{1 - }}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}} \right] + \\ + ~\,\,{{\Phi }}_{n}^{3}\left( p \right)\left[ {\hat {M}_{3}^{1}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}\hat {D}}} + M_{3}^{{1 + }}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}} + ~M_{3}^{{1 - }}\frac{1}{{p + {{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}} \right] + \\ + \,\,\frac{{{{z}_{1}}{{c}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}}}}{{\hat {D}{{D}^{ + }}{{D}^{ - }}}}\left[ {{{{{\Phi }}}_{n}}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{1}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{2}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{3}\left( p \right)} \right]\frac{1}{p}, \\ \end{gathered} $

где

$\begin{gathered} \hat {M}_{V}^{1} = - \frac{{{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {\hat {D} - {{D}_{2}}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}_{3}}} \right)}}{{\hat {D}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,M_{V}^{{1 + }} = \frac{{{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{2}}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ + }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}}, \\ M_{V}^{{1 - }} = - \frac{{{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{2}}} \right)\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ - }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,\,\,\hat {M}_{1}^{1} = \frac{{{{D}_{1}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {\hat {D} - {{D}_{2}}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}_{3}}} \right)}}{{\hat {D}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}_{1}}} \right)}}, \\ M_{1}^{{1 + }} = - {\text{\;}}\frac{{{{D}_{1}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{2}}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ + }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{1}}} \right)}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} M_{1}^{{1 - }} = \frac{{{{D}_{1}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{2}}} \right)\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ - }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{1}}} \right)}},\,\,\,\,\hat {M}_{2}^{1} = \frac{{{{D}_{2}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {\hat {D} - {{D}_{3}}} \right)}}{{\hat {D}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)}}, \\ M_{2}^{{1 + }} = - \frac{{{{D}_{2}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ + }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,M_{2}^{{1 - }} = {\text{\;}}\frac{{{{D}_{2}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{3}}} \right)}}{{{{D}^{ - }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}}, \\ \hat {M}_{3}^{1} = \frac{{{{D}_{3}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {\hat {D} - {{D}_{2}}} \right)}}{{\hat {D}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,M_{3}^{{1 + }} = - \frac{{{{D}_{3}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}^{ + }} - {{D}_{2}}} \right)}}{{{{D}^{ + }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ + }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}},\,\,\,\,M_{3}^{{1 - }} = \frac{{{{D}_{3}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}^{ - }} - {{D}_{2}}} \right)}}{{{{D}^{ - }}\left( {\hat {D} - {{D}^{ - }}} \right)\left( {{{D}^{ + }} - {{D}^{ - }}} \right)}}. \\ \end{gathered} $

Чтобы получить выражение для ${{\varphi }}_{n}^{2}\left( p \right)$ достаточно в ${{\varphi }}_{n}^{1}\left( p \right)~$сделать замену индексов 1 → 2; 2 → 3; 3 → 1; а для ${{\varphi }}_{n}^{3}\left( p \right)$ соответственно 1 → 3; 3 → 2; 2 → 1.

Используя связь корней кубического уравнения с его коэффициентами, нетрудно убедиться, что

(16)

$\begin{gathered} {{{{\varphi }}}_{n}}\left( p \right) + {{\varphi }}_{n}^{1}\left( p \right) + {{\varphi }}_{n}^{2}\left( p \right) + {{\varphi }}_{n}^{3}\left( p \right) = \\ = \left[ {{{{{\Phi }}}_{n}}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{1}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{2}\left( p \right) + {{\Phi }}_{n}^{3}\left( p \right)} \right]\frac{1}{p}, \\ \end{gathered} $

а из очевидного условия сохранения числа узлов следует равенство нулю суммы, стоящей в квадратных скобках (аналогичное условие накладывалось на граничные и начальные условия в бинарной системе (см. [12])).

${{{{\varphi }}}_{n}}\left( {{\tau }} \right)$ и ${{\varphi }}_{n}^{i}\left( {{\tau }} \right)$ можно представить в виде суммы быстро и медленно меняющихся членов. Однако, если в двухкомпонентной системе было одно “большое” характерное время релаксации ${{\tilde {\tau },}}$ то в трёхкомпонентной системе их два:

(17)

${{{{\tau }}}^{ + }} \equiv \frac{1}{{{{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ + }}}}\,\,\,\,{\text{и}}\,\,\,\,{{{{\tau }}}^{ - }} \equiv \frac{1}{{{{\lambda }}_{n}^{2}{{D}^{ - }}}}.$

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Анализ выражений (15) показывает, что слагаемые, связанные с первой строкой матрицы M1, имеющие нулевой порядок в разложении по концентрации вакансий, дают малый вклад в концентрацию c₁, так как зависят от начальных и граничных значений концентрации вакансий, малых по отношению к концентрациям компонентов. Кроме того, оставшиеся компоненты левого столбца матрицы, определяющие вклад быстро меняющихся слагаемых, имеют первый порядок по концентрации вакансий. Поэтому, основной вклад в ${{\varphi }}_{n}^{1}\left( \tau \right)$ и соответственно в концентрацию первого компонента дают только медленно меняющиеся члены, и изменение со временем концентраций компонентов сплава определяется двумя коэффициентами ${{D}^{ + }}$ и ${{D}^{ - }}.$ Причем, вид концентрационных кривых зависит не только от них, но и 6 оставшихся элементов матрицы M1 (см. (15)). Отметим также, что поскольку стоки и источники вакансий могут находиться на границах некоторых из интервалов l и определять граничные условия для слагаемых, связанных с первой строкой матрицы M1, их вклад в концентрации компонентов будет очень мал по причинам, указанным выше.

Изменение концентраций компонентов со временем (15) сложным образом зависит от концентрации третьего, даже если его исходное распределение однородно $\left( {{\text{Ф}}_{n}^{3}\left( p \right) = 0} \right).$ И следует отметить, что если исходное распределение третьего компонента однородно $\left( {{\text{Ф}}_{n}^{3}\left( p \right) = 0} \right),$ то оно будет активно изменяться со временем из-за диффузии первого и второго компонентов.

Рассмотрим несколько предельных случаев для полученных выражений (15):

1. ${{с}_{3}} \ll 1.$

Для определенности будем считать, что

${{D}_{1}} > {{D}_{2}} > {{D}_{3}}.$

Выражение, стоящее под корнем в ${{D}^{ + }}~\,\,{\text{или}}\,\,{{D}^{ - }}$ (см. (11), (12)), можно записать в несколько ином виде и в разложении по степеням ${{с}_{3}}$ ограничиться первым членом. Для этого необходимо выполнение условия

(18)

$\frac{{{{c}_{3}}{{Z}_{3}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)\left[ {{{c}_{2}}{{Z}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{3}}} \right) - {{c}_{1}}{{Z}_{1}}\left( {{{D}_{2}} - {{D}_{3}}} \right)} \right]}}{{{{{\left[ {{{c}_{2}}{{Z}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{3}}} \right) - {{c}_{1}}{{Z}_{1}}\left( {{{D}_{2}} - {{D}_{3}}} \right)} \right]}}^{2}}}} = {{c}_{3}}R \ll 1,$

которое, по-видимому, соблюдается при D₁ > D₂ > D₃. Учитывая условие (18), имеем

$\frac{{{{c}_{2}}{{Z}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{3}}} \right) - {{c}_{1}}{{Z}_{1}}\left( {{{D}_{2}} - {{D}_{3}}} \right)}}{{2{{D}_{V}}}}{{\left( {1 + 2{{c}_{3}}R} \right)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} \approx \frac{{{{c}_{2}}{{Z}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{3}}} \right) - {{c}_{1}}{{Z}_{1}}\left( {{{D}_{2}} - {{D}_{3}}} \right)}}{{2{{D}_{V}}}}~\left( {1 + {{c}_{3}}R} \right).$

Тогда

(19)

${{D}^{ + }} = {{\tilde {D}}_{{12}}}\,\left( {1 + {{c}_{3}}{{D}_{3}}\frac{{{{c}_{1}}{{c}_{2}}{{{\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}}^{2}}}}{{\left( {{{D}_{1}}{{c}_{1}} + {{D}_{2}}{{c}_{2}}} \right)\left[ {{{D}_{2}}{{c}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{3}}} \right) + {{D}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}_{2}} - {{D}_{3}}} \right)} \right]}}} \right),$

(20)

${{D}^{ - }} = {{D}_{3}}\left( {1 + {{c}_{3}}\frac{{\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{3}}} \right)\left( {{{D}_{2}} - {{D}_{3}}} \right)}}{{\left[ {{{D}_{2}}{{c}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{3}}} \right) + {{D}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{D}_{2}} - {{D}_{3}}} \right)} \right]}}} \right)~,$

где ${{\tilde {D}}_{{12}}}$ – коэффициент взаимной диффузии в двухкомпонентной системе, состоящей из компонентов 1 и 2.

Очевидно, что при ${{с}_{3}} = 0,$ ${{D}^{ + }} = {{\tilde {D}}_{{12}}},$ ${{D}^{ - }} = ~{{D}_{3}}.$

2. Если ${{D}_{3}} = {{D}_{2}},$ то не трудно убедиться, что

${{D}^{ + }} = \frac{{{{D}_{1}}{{D}_{2}}}}{{{{D}_{1}}{{c}_{1}} + \left( {{{c}_{2}} + {{c}_{3}}} \right){{D}_{2}}}},\,\,\,\,{{D}^{ - }} = {{D}_{2}} = {{D}_{3}}.$

3. Диффузия изотопов в сплаве

(21)

${{c}_{3}} \ll 1,\,\,\,\,{{\alpha }} = {\text{\;}}\frac{{{{D}_{2}}}}{{{{D}_{3}}}} - 1,\,\,\,\,{{\alpha }} \ll 1.$

В этом случае

(22)

$\begin{gathered} {{D}^{ + }} = \\ = {{{\tilde {D}}}_{{12}}}\left( {1 + {{c}_{3}}\frac{{{{c}_{1}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}}{{{{D}_{1}}{{c}_{1}} + {{D}_{2}}{{c}_{2}}}} - {{c}_{3}}{{\alpha }}\frac{{c_{1}^{2}{{D}_{2}}}}{{{{c}_{2}}\left( {{{D}_{1}}{{c}_{1}} + {{D}_{2}}{{c}_{2}}} \right)}}} \right), \\ \end{gathered} $

(23)

${{D}^{ - }} = {{D}_{3}}\left( {1 + {{c}_{3}}\frac{{{\alpha }}}{{{{c}_{2}}}}} \right)~.$

Если в выражениях ${{\varphi }}_{n}^{i}\left( p \right)$ ограничиться медленно меняющимися слагаемыми и первыми неисчезающими членами ряда по $c,{{c}_{3}}$ и ${{\alpha ,}}$ то в ${{\varphi }}_{n}^{1}\left( p \right)$ и в ${{\varphi }}_{n}^{3}\left( p \right)$ элементы матрицы M1 примут вид:

(24)

$\begin{gathered} M_{1}^{{1 + }} = - \frac{{{{D}_{1}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{{\tilde {D}}}_{{12}}} - {{D}_{2}}} \right)~}}{{{{{\tilde {D}}}_{{12}}}D\left( {{{{\tilde {D}}}_{{12}}} - {{D}_{1}}} \right)}},\,\,\,M_{1}^{{1 - }} = {{c}_{3}}{{{{\alpha }}}^{2}}\frac{{{{c}_{1}}D_{1}^{2}}}{{c_{2}^{2}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}}; \\ M_{2}^{{1 + }} = - \frac{{{{D}_{2}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}{\text{\;}}}}{{{{{\tilde {D}}}_{{12}}}D}},\,\,\,M_{2}^{{1 - }} = {{c}_{3}}{{\alpha }}\frac{{{{c}_{1}}{{D}_{1}}}}{{c_{2}^{2}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}}; \\ M_{3}^{{1 + }} = - \frac{{{{D}_{3}}{{z}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{{{\tilde {D}}}_{{12}}} - {{D}_{2}}} \right)}}{{{{{\tilde {D}}}_{{12}}}{{z}_{2}}{{c}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}},\,\,\,M_{3}^{{1 - }} = {{\alpha }}\frac{{{{D}_{1}}{{c}_{1}}}}{{{{c}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}}; \\ \end{gathered} $

(25)

$\begin{gathered} M_{1}^{{3 + }} = - {{c}_{3}}\frac{{{{D}_{1}}\left( {{{{\tilde {D}}}_{{12}}} - {{D}_{2}}} \right)}}{{{{{\tilde {D}}}_{{12}}}{{c}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}},\,\,\,\,M_{1}^{{3 - }} = {{c}_{3}}{{\alpha }}\frac{{{{D}_{1}}}}{{{{c}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}}; \\ M_{2}^{{3 + }} = - {{c}_{3}}\frac{{{{D}_{2}}\left( {{{{\tilde {D}}}_{{12}}} - {{D}_{1}}} \right)}}{{{{{\tilde {D}}}_{{12}}}{{c}_{2}}\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{2}}} \right)}},\,\,\,\,M_{2}^{{3 - }} = - \frac{{{{c}_{3}}}}{{{{c}_{2}}}}; \\ M_{3}^{{3 + }} = {{c}_{3}}\frac{{{{D}_{2}}\left( {{{{\tilde {D}}}_{{12}}} - {{D}_{1}}} \right)\left( {{{{\tilde {D}}}_{{12}}} - {{D}_{2}}} \right)}}{{{{{\tilde {D}}}_{{12}}}{{c}_{2}}{{{\left( {{{D}_{1}} - {{D}_{{12}}}} \right)}}^{2}}}},\,\,\,\,~M_{3}^{{3 - }} = 1. \\ \end{gathered} $

Отметим, что в этом случае ${{D}^{ - }}$ очень мало меняется с концентрацией, так как в (23) ${{c}_{3}}~$ умножается на малый параметр ${{\alpha }}{\text{.}}$ Отсюда следует, что если распределение первого и второго элемента однородно ${\text{Ф}}_{n}^{1}\left( p \right) = 0,$ ${\text{Ф}}_{n}^{2}\left( p \right) = - {\text{Ф}}_{n}^{3}\left( p \right),$ то диффузия третьего компонента будет определяться коэффициентом ${{D}^{ - }},$ практически совпадающим с коэффициентом самодиффузии ${{D}_{3}}$ этого изотопа и отличающимся от ${{D}_{2}}$ только на множитель близкий для металлов к единице, определяющий величину изотопического эффекта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, разработан математический аппарат, позволивший обобщить подход альтернативной теории взаимной диффузии на случай трехкомпонентных систем. В результате применения этого аппарата показано, что временные изменения концентраций в диффузионной зоне определяются тремя коэффициентами, и установлена функциональная связь между этими коэффициентами и коэффициентами самодиффузии и концентрациями компонентов в сплаве. Причем наибольший из коэффициентов, определяющий быстропротекающие процессы, есть не что иное как перенормированный коэффициент диффузии вакансий и очень мало отличается от последнего (10). Два других ответственны за медленно протекающие процессы, и, в частности, за перераспределение компонентов сплава в диффузионной зоне, а также за кинетику любых диффузионных превращений в таких системах. Как следует из полученных уравнений (11) и (12), упомянутые коэффициенты нелинейным образом зависят от концентраций и коэффициентов самодиффузии, и эти коэффициенты качественно отличаются от аналогичных характеристик, приводимых в работах, обобщающих подход Даркена [4]. Указанное различие обусловлено учетом в исходной системе четырех нелинейных взаимосвязанных уравнений возможности отклонения концентрации вакансий от квазиравновесной. А полученные решения этих уравнений свидетельствуют об активной роли неравновесных вакансий в исследуемом процессе взаимной диффузии.

В следующей работе, являющейся естественным продолжением этой, на основании полученных выражений разработаны программы, и проведены иллюстративные расчеты зависимостей коэффициентов взаимной диффузии и элементов матриц М от коэффициентов самодиффузии и концентраций компонентов, а также проанализированы отличия упомянутых зависимостей от предсказаний теорий, обобщающих подход Даркена и возможные причины замедления диффузии в сплавах эквиатомного состава.

Автор хотел бы отметить финансовую поддержку Национального исследовательского ядерного университета МИФИ “Проект академического превосходства” (Контракт № 02.a03.21.0005), и поблагодарить А.М. Гусака и А.А. Михеева за многочисленные обсуждения теории.

Список литературы

Shewmon P.G. Diffusion in Solids. Warrendale, PA, McGraw-Hill Book Comp., 1989. 244 p.
Маннинг Дж. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. М.: Мир, 1971. 277 с.
Боровский И.Б., Гуров К.П., Марчукова И.Д., Угасте Ю.Э. Процессы взаимной диффузии в сплавах. М.: Наука, 1973. 360 с.
Гуров К.П., Карташкин Б.А., Угасте Ю.Э. Взаимная диффузия в многокомпонентных металлических системах. М.: Наука, 1981. 350 с.
Mehrer H. Diffusion in solids – Fundamentals, methods, materials, diffusion-controlled processes. Textbook, Springer Series in Solid-State Sciences V. 155, Springer-Verlag, Berlin Helderberg, 2007. 651 p.
Paul A., Laurila T., Vuorinen V., Divinski S.V. Thermodynamics, Diffusion and the Kirkendall Effect in Solids. Springer, Cham, Heidelberg, N.Y., Dordrecht, London, 2014. 530 p.
Axel van de Walle, Mark Asta High-throughput calculations in the context of alloy design // MRS Bulletin. 2019. V. 44. № 4. P. 252–256.
Divinski S.V., Pokoev A., Eesakkiraja N., Paul A. A mystery of ‘sluggish diffusion’ in high-entropy alloys: the truth or a myth? // Diffusion Foundations. 2018. V. 17. P. 69–104. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/DF.17.69
Osetsky Y.N., Beland L.K., Barashev A.V., Zhang Yanwen. On the existence and origin of sluggish diffusion in chemically disordered concentrated alloys // Current Opinion in Solid State & Materials Science. 2018. V. 22. № 3. P. 65–74.
Назаров А.В., Гуров К.П. Микроскопическая теория взаимной диффузии в бинарной системе с неравновесными вакансиями // ФММ. 1972. Т. 34. № 5. С. 936–941.
Назаров А.В. Нескомпенсированный поток вакансий и эффект Киркендалла // ФММ. 1973. Т. 35. № 3. С. 645–649.
Назаров А.В., Гуров К.П. Кинетическая теория взаимной диффузии в бинарной системе. Концентрация вакансий при взаимной диффузии // ФММ. 1974. Т. 37. № 3. С. 496–503.
Назаров А.В., Гуров К.П. Кинетическая теория взаимной диффузии в бинарной системе. Влияние концентрационной зависимости коэффициентов самодиффузии на процесс взаимной диффузии // ФММ. 1974. Т. 38. № 3. С. 486–492.
Назаров А.В., Гуров К.П. Кинетическая теория взаимной диффузии в бинарной системе. Эффект Киркендалла // ФММ. 1974. Т. 38. № 4. С. 689–695.
Назаров А.В., Гуров К.П. Учет неравновесных вакансий в феноменологической теории взаимной диффузии // ФММ. 1978. Т. 45. № 4. С. 885–887.
Мусин К.С., Назаров А.В., Гуров К.П. Влияние упорядочения на взаимную диффузию в бинарных сплавах // ФММ. 1987. Т. 63. № 2. С. 267–277.
Гуров К.П., Гусак А.М. Взаимная диффузия во внешнем электрическом поле с учетом неравновесных вакансий // ФММ. 1981. Т. 52. № 3. С. 603–611.
Жданов Г.С., Гуров K.П., Крюкова T.В. Описание релаксационного процесса для неравновесных вакансий, созданных облучением // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1986. Т. 27. № 5. С. 83–85.
Nazarov A.V., Mikheev A.A. Effect of Elastic Stress Field on Diffusion // Defect and Dif-fusion Forum. 1997. V. 143–147. P. 177–185.
Гапонцев В.Л., Кесарев А.Г., Кондратьев В.В. Теория диффузионных фазовых превращений в нанокристаллических сплавах при интенсивной пластической деформации. I. Стадия формирования концентрационной неоднородности вблизи границ зерен // ФММ. 2002. Т. 94. № 3. С. 5–10.
Gusak A.M., Lyashenko Yu.A., Kornienko S., Pasichnyy M., Shirinyan A., Zaporozhets T.V. Diffusion-controlled solid state reactions: in alloys, thin-films, and nanosystems. Weinheim, John Wiley & Sons, 2010. 476 p.
Назаров А.В. Метод дырочного газа К.П. Гурова и альтернативная теория взаимной диффузии // Физика и химия обработки материалов. 2018. № 2. С. 48–62.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970. 780 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Физика металлов и металловедение

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал