Физика плазмы, 2020, T. 46, № 4, стр. 368-379

2.1. Общий случай

Рассмотрим равновесную систему, состоящую из N частиц массой M и зарядами Q_i, взаимодействующих с произвольной формой потенциала в линейном электрическом поле E(r, z) цилиндрической ловушки с радиальной составляющей E_r = = β^rr и вертикальной составляющей ${{E}_{z}} = E_{z}^{{^{ \circ }}} + {{\beta }^{z}}z$. Здесь r ≡ (x² + y²)^1/2 – радиальная координата, z – вертикальная координата по оси z в направлении силы тяжести, β^r и β^z – величины градиентов электрического поля, а значение $E_{z}^{{^{ \circ }}}$ определяется балансом сил, действующих в системе.

В предположении, что смещение ξ_i частиц (где i = 1,2, …, N) от их положения равновесия под действием некоторой случайной силы F_bi ограничено малыми отклонениями, систему линеаризованных уравнений движения в выбранном направлении для каждой из степеней свободы можно записать в общем виде

где ν – коэффициент трения заряженной частицы за счет ее столкновений с нейтралами окружающего газа, V_i = dξ_i/dt – скорость i-той частицы на одну степень свободы, F_bi – сила Ланжевена, являющаяся источником стохастической кинетической энергии частиц, а коэффициенты b_ij зависят от физики решаемой задачи (для попарного взаимодействия справедливо b_ij ≡ b_ji) и рассматриваемой степени свободы смещений частиц.

Основные гармоники для системы (1) (ее характерные частоты) можно найти путем решения характеристического уравнения f(λ) = a_nλⁿ + + a_n ‒ 1λ^{n– 1} + … + a₁λ + a₀, где n определяется числом N взаимодействующих частиц; если корни этого уравнения имеют положительную действительную часть – решение системы (1) является неустойчивым. Корни характеристического уравнения (а, соответственно, значения характерных частот, ω_n) могут быть получены численно на основе существующих программных пакетов, которые используют различные методики для их вычисления, а также путем аналитического решения задачи способом, описанным в последующих разделах.

Задача об устойчивой конфигурации двух идентичных частиц, взаимодействующих с различными типами потенциалов, в линейном электрическом поле рассматривалась в работах [20, 21, 29–31], где было показано, что устойчивость вертикальной (цепочечной) конфигурации имеет место при β^r > β^z, в обратном случае (β^r < β^z) формируется горизонтальная конфигурация частиц. Критерии устойчивости малоразмерных кластерных систем, включающих до шести заряженных частиц, взаимодействующих с произвольным попарным потенциалом, подробно рассмотрены в работе [31].

2.2. Случай двух частиц

Рассмотрим систему линеаризованных уравнений движения, описывающих отклонения двух заряженных частиц равной массы и размера с зарядами Q₁₍₂₎ от их положения равновесия, ξ₁₍₂₎, для выбранной степени свободы в линейном электрическом поле ловушки под действием случайной силы F_b1(2)

Остановимся на случае вертикальной конфигурации частиц, рис. 1а, когда

что при Q₁ = Q₂ сводится к известному соотношению β^r > β^z [29, 30]. (Все решения для горизонтальной конфигурации частиц, β^r < 2β^zQ₁₍₂₎/(Q₁ + + Q₂), будут аналогичными, см. рис. 1б.) Тогда для вертикальных смещений частиц, ξ₁₍₂₎ = z₁₍₂₎, коэффициент a₁₍₂₎ = (Q₁₍₂₎β^z – F')/M и b = –F'/M, где F' – производная силы F взаимодействия между двумя частицами в направлении оси z. Для радиальных смещений частиц, ξ₁₍₂₎= r₁₍₂₎ , величина a₁₍₂₎ = (Q₁₍₂₎β^r – F/l) /M, а b = F/lM, где l – расстояние между частицами. Уравнение баланса сил для двух частиц, движение которых описывается уравнениями (2а), (2б), дает β^zl = F(Q₁ + + Q₂)/Q₁Q₂. Для кулоновского взаимодействия F = Q₁Q₂/l²; F' = –2Q₁Q₂/l³.

Добавим, что случай a₁ ≠ a₂ может реализоваться для пылевых частиц в лабораторной плазме не только за счет разницы в зарядах частиц (Q₁ ≠ Q₂), но и за счет отличия градиентов внешнего поля (β₁ ≠ β₂) в точке равновесного положения частиц. Оба фактора могут быть связаны с возможным пространственным изменением параметров окружающей плазмы (концентраций и температур ионов/электронов).

Для поиска корреляторов скоростей и смещений частиц в системе, заданной уравнениями (2а), (2б), отметим, что корреляторы случайной силы F_b1(2) подчиняются уравнениям 〈F_b1〉 = 〈F_b2〉 ≡ 0, 〈F_b1F_b2〉 = 0, 〈F_b1V₂〉 = 〈F_b2V₁〉 ≡ 0, 〈F_b1ξ₂〉 = 〈F_b2ξ₁〉 ≡ 0, 〈F_b1ξ₁〉 = 〈F_b2ξ₂〉 ≡ 0, 〈F_b1V₂〉 = 〈F_b2V₁〉 ≡ 0. Здесь и далее угловые скобки 〈 〉 обозначают усреднение по времени при t→ ∞.

При движении частиц по ограниченным траекториям величины 〈ξ₁V₁〉 = 〈ξ₂V₂〉 ≡ 0 и 〈V₁₍₂₎F_b1(2)〉 = = νT, где T ≡ T₁₍₂₎ = M〈$V_{{1\left( 2 \right)}}^{2}$〉 – кинетическая температура частиц (удвоенная кинетическая энергия их стохастического движения). Тогда уравнения для корреляторов скоростей и смещений частиц можно представить в виде [32, 33]

Решение системы уравнений (3а), (3б) дает соотношения для корреляторов скоростей и смещений частиц: 〈V₁V₂〉 = 0, 〈ξ₂V₁〉 = –〈ξ₁V₂〉 ≡ 0 и

Перейдем к определению спектральных характеристик рассматриваемой системы. При вычислениях спектральной плотности обычно используют преобразование Фурье для среднеквадратичного отклонения частиц от их начального положения 〈(ξ₁₍₂₎(t) – ξ₁₍₂₎(0))²〉_t, где угловые скобки 〈…〉_t описывают усреднение по всем отрезкам времени, равным t [23–25].

Корни характеристического уравнения для задачи (2а), (2б) можно записать в виде

где $\omega _{1}^{2}$ = (a₁ + a₂)/2 – d, $\omega _{2}^{2}$ = (a₁ + a₂)/2 + d, где d = ((a₁ – a₂)²/4 + b²)^1/2. (Отметим, что в случае a₁ = a₂ процедуру определения характерных частот ω₁₍₂₎ в реальных экспериментах можно упростить, принимая во внимание, что данные частоты определяют взаимные, η₁ = (ξ₁– ξ₂), и суммарные, η₂ = (ξ₁ + ξ₂), смещения двух частиц [28].)

Тогда любое решение F(t) для задачи (2а), (2б) можно представить в виде суперпозиции

где коэффициенты С₀ и С_i определяются граничными условиями (что включает начальные условия при t = 0 и условия при t → ∞). Коэффициенты С₀ и С_i даны в Приложении. Фурье-преобразование для этого случая дает для спектральной плотности смещений частиц, G₁₍₂₎ = G₁₍₂₎(ω), соотношение

Решение (7) может быть представлено в виде суперпозиции спектральных плотностей для двух классических осцилляторов S_i = S_i(ω, ω_i, ν)

где A₁ = 0.5 + (a₁ – a₂)/4d, A₂ = 0.5 – (a₁ – a₂)/4d. Легко заметить, что (G₁ + G₂) ≡ (S₁ + S₂). В случае двух идентичных частиц G₁(ω) ≡ G₂(ω) = G(ω) будет

В случае одной частицы (N = 1) в ловушке получим формулу для простого классического осциллятора с

где $\omega _{1}^{2} = {{(\omega _{t}^{{z(r)}})}^{2}} \equiv Q{{\beta }^{{z(r)}}}{\text{/}}M$.

В общем случае процедуру вычисления спектральной плотности каждой из частиц в ограниченной цепочке G_j(ω) (j = 1, 2, … N) можно свести к определению суперпозиции спектральных плотностей S_k = S_k(ω, ω_i, ν) для отдельных гармоник системы ω_k

где A_k – некоторые коэффициенты, а N – число частиц.

Нормированные спектральные плотности G*(ω) = G(ω)/B, $S_{1}^{*}(\omega )$ = S₁(ω)/B и $S_{2}^{*}(\omega )$ = S₂(ω)/B смещений в вертикальном и в радиальном направлениях для двух идентичных частиц с кулоновским взаимодействием показаны на рис. 2а, 2б при β^r/β^z = 4 и ν = 5 с^–1, когда $\omega _{t}^{z}{\text{/}}\nu $ = 2, а $\omega _{t}^{r}{\text{/}}\nu $ = 4. Здесь B = 2Т/($\omega _{t}^{2}\nu М$), а ω_t =$\omega _{t}^{{z(r)}}$ ≡ (Qβ^z(r)/M)^1/2 – частота ловушки. Следует отметить, что при (ω_i/ν)² ≫ 1 максимум спектральных функций G(ω), S₁(ω), S₂(ω) хорошо соответствует аналитическим значениям ω_i/ν. С уменьшением отношения ω_i/ν (например, с ростом коэффициента трения ν) максимум упомянутых функций смещается в сторону более низких частот [23, 28], см. рис. 3а, 3б.

Далее мы рассмотрим спектральные характеристики для случая трех (N = 3), четырех (N = 4) и пяти (N = 5) идентичных частиц (Q _i = Q), взаимодействующих с произвольной силой F_ij = F(l_ij) в линейном электрическом поле E(r, z) ловушки с цилиндрической симметрией (см. рис. 4); здесь i = 1, 2, … N, j = 1, 2, … N и i ≠ j. В силу симметрии задачи относительно центра ловушки для систем идентичных частиц функции G_j(ω) и G_i(ω) для частиц j и i, находящихся на одинаковом расстоянии от центра структуры (рис. 4), равны.

Выбор параметров для иллюстрации расчетов опирался на демонстрацию зависимости результатов от коэффициента трения частиц и величины радиального градиента, ограничивающего их движение в цепочечной структуре.

2.3. Три частицы

Обратимся к случаю трех идентичных частиц (N = 3), рис. 4а. В состоянии равновесия средние расстояния между двумя ближайшими частицами равны l₁₂ = l₂₃ ≡ l_d, а уравнение баланса сил дает Qβ_z l_d = F₁₂+ F₁₃, где F₁₂ = F₂₃ ≡ F. Исследование динамики таких частиц в цепочечной структуре сводится к анализу системы уравнений движения (1) для i = 1, 2, 3.

Для поиска спектральных характеристик выполним замену переменных: η₁ = ξ₁ + ξ₂ + ξ₃; η₂ = = ξ₁ – ξ₃; η₃ = 2ξ₂ – (ξ₁ + ξ₃). (Здесь для вертикальных смещений частиц в цепочке – ξ_i = z_i, а для их радиальных смещений –ξ_i = r_i.) С учетом указанной замены переменных преобразуем систему уравнений движения (1) к виду

Рассматриваемая система имеет по три характерных частоты движений в вертикальном и радиальном направлениях, соответственно: $\omega _{1}^{2}$ = = (Qβ/M); $\omega _{2}^{2}$ = (Qβ/M – b₁₂ – 2b₁₃); $\omega _{3}^{2}$ = (Qβ/M – 3b₁₂). При этом в случае вертикальных смещений частиц от их положения равновесия имеем β = β^z, b₁₂= $F_{{12}}^{'}$ ≡ $F_{{23}}^{'}$ = F', b₁₃= $F_{{13}}^{'}$, где F' – первая производная силы взаимодействия F в точке l_d и $F_{{13}}^{'}$ – первая производная силы взаимодействия F₁₃ в точке l₁₃ ≡ 2l_d. Для радиальных смещений частиц будет β = β^r, b₁₂= F/l_d, b₁₃= F₁₃/2l_d. (Для систем с кулоновским взаимодействием F = ${{Q}^{2}}{\text{/}}l_{d}^{2}$, F₁₃ = = ${{Q}^{2}}{\text{/}}4l_{d}^{2}$, F' = $ - 2{{Q}^{2}}{\text{/}}l_{d}^{3}$, $F_{{13}}^{'} = - {{Q}^{2}}{\text{/}}4l_{d}^{3}$.)

Решение системы (12а)–(12в) для 〈$\eta _{k}^{2}$〉 (k = 1, 2, 3) с учетом 〈ξ_iξ_j〉 = 0 при i ≠ j дает для спектральной плотности смещений частиц

где S_k – плотность классического осциллятора с частотой ω_k.

Отметим, что спектральная плотность для смещений η_k является фурье-преобразованием функций 〈$\eta _{k}^{2}$〉_t и соответствует S_ηk = D_k S_k, здесь угловые скобки 〈…〉_t описывают усреднение по всем отрезкам времени равным t, а коэффициент D_k определяется суммарной температурой частиц, входящих в данный коррелятор. Так, для η₁ величина D₁ = 3, для η₂ будет D₂ = 2, а для η₃ – D₃ = 6.

Для системы из трех идентичных частиц с кулоновским взаимодействием нормированные спектральные плотности $G_{i}^{*}(\omega )$ = G_i(ω)/B и $S_{i}^{*}(\omega )$ = S_i(ω)/B смещений в вертикальном и в радиальном направлениях представлены на рис. 5а, 5б и рис. 6а, 6б, соответственно, при ν = 2 с^–1 и β^r/β^z = 4. Здесь B = 2Т/($\omega _{t}^{2}\nu М$), а ω_t = $\omega _{t}^{{z(r)}}$ ≡ ≡ (Qβ^z(r)/M)^1/2 – частота ловушки.

Отметим, что рассматриваемая вертикальная конфигурация из трех частиц может терять устойчивость только при их радиальных смещениях от положения равновесия, см. (12а)–(12в). Условия устойчивости для такой системы можно записать как [31]

2.4. Четыре частицы

Уравнения баланса сил для вертикальной конфигурации четырех частиц (N = 4), рис. 4б, можно записать в виде системы двух уравнений

где l_d – среднее расстояние между двумя центральными частицами, а l_o – среднее расстояние между двумя частицами на периферии. Здесь F_s1 ≡ ≡ F₂₃ + F₂₄ – F₁₂ ≡ F₂₃ + F₁₃ – F₃₄, F_s2 ≡ F₁₃ + F₁₄ + F₁₂ ≡ ≡ F₃₄ + F₁₄ + F₂₄, поскольку цепочка симметрична относительно центра системы. Совместное решение уравнений (15а), (15б) позволяет найти отношение l_o/l_d и величину равновесного градиента β^z электрического поля ловушки. Для систем с кулоновским взаимодействием: F₁₄ = $\frac{{{{Q}^{2}}}}{{{{{({{l}_{{d{\text{ }}}}} + 2{{l}_{{\text{о}}}})}}^{2}}}}$; F₂₃ = $\frac{{{{Q}^{2}}}}{{{{l}_{{d{\text{ }}}}}^{2}}}$; F₂₄ = F₁₃ = $\frac{{{{Q}^{2}}}}{{{{{({{l}_{{d{\text{ }}}}} + {{l}_{{\text{о}}}})}}^{2}}}}$; F₁₂ = F₃₄ = $\frac{{{{Q}^{2}}}}{{{{l}_{{\text{о}}}}^{2}}}$. Критерий устойчивости такой системы приведен в работе [31].

Исследование динамики четырех частиц в цепочечной структуре сводится к анализу системы уравнений (1) для i = 1, 2, 3, 4. Для отыскания спектральных характеристик выполним замену переменных: η₁ = ξ₁ + ξ₂ + ξ₃ + ξ₄; η₂ = (ξ₁ + ξ₄) – (ξ₂ + ξ₃); η₃ = ξ₁ – ξ₄; η₄ = ξ₂ – ξ₃. (Для вертикальных смещений частиц в цепочке – ξ_i = z_i, а для их радиальных смещений – ξ_i = r_i.) С учетом указанной замены преобразуем систему уравнений движения (1) к виду

Рассматриваемая система имеет по четыре характерных частоты смещений в вертикальном и радиальном направлениях, соответственно: $\omega _{1}^{2}$ = = (Qβ/M); $\omega _{2}^{2}$ = (Qβ/M – 2(b₁₂+ b₁₃)); $\omega _{3}^{2}$ = = (Qβ/M – b₁₄– b₂₃ – b₁₂ – b₁₃) – d; $\omega _{4}^{2}$ = (Qβ/M – – b₁₄– b₂₃b₁₂ – b₁₃) + d, где d = {(b₁₄– b₂₃)² + (b₁₃– – b₁₂)²}^1/2. При этом в случае вертикальных смещений частиц от их положения равновесия: β = = β^z, b₁₂= $F_{{12}}^{'}$, b₁₃= $F_{{13}}^{'}$, b₁₄ = $F_{{14}}^{'}$, b₂₃ = $F_{{23}}^{'}$, где F ' – первая производная соответствующей силы взаимодействия; а в случае радиальных смещений частиц: β = β^r, b₁₂ = F₁₂/l_о, b₁₃ = F₁₃/(l_d + l_о), b₁₄ = = F₁₄/(l_d + 2l_о), b₂₃ = F₂₃/l_d.

Решение системы (16а)–(16г) дает для спектральной плотности смещений частиц выражения

где S_k – плотность классического осциллятора с частотой ω_k, а A₁ = 0.5 + (b₂₃– b₁₄)/4d, A₂ = 0.5 – (b₂₃– b₁₄)/4d. (Для решения уравнений (16в), (16г) см. соотношение (8).)

Для системы из четырех идентичных частиц с кулоновским взаимодействием нормированные спектральные плотности $G_{i}^{*}(\omega )$ = G_i(ω)/B и $S_{i}^{*}(\omega )$ = S_i(ω)/B смещений в вертикальном и в радиальном направлениях представлены на рис. 7а, 7б и рис. 8а, 8б, соответственно, при ν = 5 с^–1 и β^r/β^z = 9. Здесь B = 2Т/($\omega _{t}^{2}\nu М$), а ω_t = $\omega _{t}^{{z(r)}}$ ≡ ≡ (Qβ^z(r)/M)^1/2 – частота ловушки.

Отметим, что с ростом коэффициента трения, ν, или радиальной частоты ловушки, $\omega _{t}^{r}$, экспериментальный анализ спектра частот для отдельных частиц с целью определения основных характеристик системы (ω_k, ν) становится затруднительным, см. рис. 3, 7б, 8б. Тем не менее, измерение характерных смещений η_k в системе частиц позволяет без особого труда определить и коэффициент трения частиц ν, и основные гармоники системы ω_k, величина которых непосредственно связана с потенциалом взаимодействия частиц. Спектральные плотности S_ηk(ω) для рассматриваемых смещений η_k (k = 1–4) связаны с функцией S_k(ω) соотношениями S_ηk = 4S_k для k = 1, 2; а сумма спектральных плотностей S_η3 + S_η4 ≡ S₃ + S₄, см. рис. 9.

2.5. Пять частиц

Уравнения баланса сил для вертикальной конфигурации пяти частиц (N = 5), рис. 4в, можно записать как систему двух уравнений

где l_d = l₂₃ ≡ l₃₄ – среднее расстояние между центральными частицами системы, а l_o = l₁₂ ≡ l₄₅ – среднее расстояние между двумя частицами на периферии. Здесь F_s1 ≡ F₂₃ + F₂₄ + F₂₅ – F₁₂, F_s2 ≡ ≡ F₁₂ + F₁₃ + F₁₄ + F₁₅. Совместное решение уравнений (18а), (18б) позволяет найти и отношение l_o/l_d , и величину равновесного градиента β^z электрического поля ловушки. Для систем с кулоновским взаимодействием между частицами величина ${{F}_{{12}}} = \frac{{{{Q}^{2}}}}{{l_{o}^{2}}}$; ${{F}_{{13}}} = \frac{{{{Q}^{2}}}}{{{{{({{l}_{d}} + {{l}_{о}})}}^{2}}}}$; ${{F}_{{14}}} \equiv {{F}_{{25}}} = \frac{{{{Q}^{2}}}}{{{{{(2{{l}_{{d{\text{ }}}}} + {{l}_{о}})}}^{2}}}}$; ${{F}_{{15}}} = \frac{{{{Q}^{2}}}}{{{{{(2{{l}_{{d{\text{ }}}}} + 2{{l}_{о}})}}^{2}}}}$; ${{F}_{{23}}} = \frac{{{{Q}^{2}}}}{{l_{d}^{2}}}$; ${{F}_{{24}}} = \frac{{{{Q}^{2}}}}{{4l_{d}^{2}}}$. (Критерий устойчивости такой системы см. в работе [31].)

Исследование динамики пяти частиц в цепочечной структуре сводится к анализу системы уравнений (1) с i = 1, 2, 3, 4, 5. Для нахождения спектральных характеристик выполним замену переменных: η₁ = ξ₁ + ξ₂ + ξ₃ + ξ₄ + ξ₅; η₂ = ξ₁ – ξ₅; η₃ = ξ₂ – ξ₄; η₄ = 2ξ₃ – (ξ₁ + ξ₅); η₅ = 2ξ₃ – (ξ₂ + ξ₄). (Для вертикальных смещений частиц в цепочке – ξ_i = z_i, а для радиальных смещений – ξ_i = r_i.) С учетом указанной замены преобразуем систему уравнений движения (1) к

Рассматриваемая система имеет по пять характерных частот движений в вертикальном и радиальном направлениях, соответственно: $\omega _{1}^{2}$ = = (Qβ/M); $\omega _{2}^{2}$ = с₁ + d₁; $\omega _{3}^{2}$ = с₁ – d₁; $\omega _{4}^{2}$ = с₂ – d₂; $\omega _{5}^{2}$ = с₂ + d₂. Здесь с₁ = Qβ/M – b₁₄– b₁₅ – b₂₄ – b₁₂ – – (b₁₃+ b₂₃)/2, с₂ = Qβ/M – b₁₂– b₁₄ – 3(b₁₃+ b₂₃)/2, d₁ = {(b₁₃ + 2b₁₃ – b₂₃ – 2b₂₄)²/4 + (b₁₄– b₁₂)²}^1/2, d₂ = = {9(b₁₃– b₂₃)²/4 + (2b₂₃– b₁₂– b₁₄) (2b₁₃– b₁₂– ‒ b₁₄)}^1/2. В случае вертикальных смещений частиц от их положения равновесия: β = β^z, b₁₂= $F_{{12}}^{'}$, b₁₃= $F_{{13}}^{'}$, b₁₄ = $F_{{14}}^{'}$, b₁₅ = $F_{{15}}^{'}$, b₂₃ = $F_{{23}}^{'}$, b₂₄ = $F_{{24}}^{'}$, где F ' – первая производная соответствующей силы взаимодействия. А для радиальных смещений частиц: β = β^r, b₁₂ = F₁₂/l_о, b₁₃ = F₁₃/(l_d + l_о), b₁₄ = = F₁₄/(2l_d + l_о), b₁₅ = F₁₅/(2l_d + 2l_о), b₂₃ = F₂₃/l_d, b₂₄ = = F₂₄/4l_d.

Нормированные спектральные плотности $S_{i}^{*}(\omega )$ = S_i(ω)/B для системы из пяти идентичных частиц с кулоновским взаимодействием в вертикальном и в радиальном направлениях показаны на рис. 10а и рис. 10б, соответственно, при ν = 2 с^–1 и β^r/β^z = 16. Здесь B = 2Т/($\omega _{t}^{2}\nu М$), а ω_t = $\omega _{t}^{{z(r)}}$ ≡ ≡ (Qβ^z(r)/M)^1/2 – частота ловушки. Еще раз подчеркнем, что измерение смещений η_k в ходе реальных экспериментов с последующим вычислением их спектральных плотностей, S_ηk(ω), позволяет определить и коэффициент трения частиц, ν, и основные гармоники системы, ω_k.

Для систем идентичных частиц с кулоновским взаимодействием в цепочечных структурах, состоящих из N ≤ 5 частиц, квадрат характерных частот частиц, $\omega _{k}^{2}$, для их вертикальных смещений при $\omega _{t}^{z}$ = 10 с^–1 представлен в табл. 1, а для радиальных смещений частиц при $\omega _{t}^{r}$ = 30 с^–1 – в табл. 2. Легко увидеть, что значения характерных частот, ω_k, наблюдаемых в рассматриваемых системах, близки по величине. (Данные о характерных частотах для заряженных частиц в бесконечной цепочке и для случая бесконечного пылевого кристалла приведены в [20, 34].)