1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Физика плазмы
  4. T. 48, № 2, 2022

Физика плазмы, 2022, T. 48, № 2, стр. 163-167

Пылевые звуковые солитоны в запыленной магнитосфере Сатурна

С. И. Копнин a, b, Д. В. Шохрин b, С. И. Попель a, b, *

a Институт космических исследований РАН
Москва, Россия

b Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
Москва, Россия

* E-mail: popel@iki.rssi.ru

Поступила в редакцию 01.07.2021
После доработки 10.08.2021
Принята к публикации 20.08.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена возможность распространения локализованных волновых структур таких, как пылевые звуковые солитоны в плазме запыленной магнитосферы Сатурна, которая содержит электроны двух сортов (горячие и холодные), подчиняющиеся каппа-распределению, ионы магнитосферы, а также заряженные пылевые частицы. Определены области возможных скоростей и амплитуд солитонов. Найдены солитонные решения для различных размеров и концентраций пылевых частиц в запыленной магнитосфере Сатурна.

Ключевые слова: пылевая плазма, пылевые звуковые солитоны, каппа-распределение, магнитосфера Сатурна

1. ВВЕДЕНИЕ

Трудно представить себе заполненную плазмой область Солнечной системы, свободную от мелкодисперсных пылевых частиц [1]. Нано- и микромасштабные пылевые частицы обнаруживаются в межпланетном космическом пространстве, в плазме ионосфер и магнитосфер планет Солнечной системы, в планетарных кольцах, в окрестностях космических тел, не имеющих собственной атмосферы и др. Важный объект с точки зрения исследований пылевой плазмы – магнитосфера Сатурна [2, 3]. Параметры плазмы в ней измерялись еще в 1980-х гг. космическими аппаратами Voyager 1 и 2 [4]. Также на основе данных, полученных аппаратом Voyager 1 [5], было доказано существование волн в плазме магнитосферы Сатурна. Теоретические исследования ионно-звуковых волн в магнитосфере Сатурна проводились в работе [6]. Пылевая плазма в окрестностях спутника Сатурна Энцелада была обнаружена в рамках миссии Cassini [2, 3].

Плазма в магнитосфере Сатурна обладает рядом особенностей по сравнению с другими космическими системами, исследования которых в настоящее время проводятся весьма активно (исследования пылевой плазмы Луны и Марса см., например, [7, 8]). Например, измерения параметров электронов магнитосферы Сатурна, полученные в рамках миссий Voyager [4, 5] и Cassini [9], показали сосуществование двух видов (горячих и холодных) электронов. Оказалось [9], что скорости электронных популяций подчиняются так называемому κ-распределению с независимыми, низкими значениями κ.

Все это указывает на актуальность проблемы исследования нелинейных волновых структур в пылевой плазме в условиях, свойственных магнитосфере Сатурна, типичными для которой являются пылевые звуковые волны. Важным видом нелинейных структур, наблюдавшихся в космосе [10, 11], являются солитоны. В настоящей работе рассматриваются нелинейные волновые структуры в запыленной магнитосфере Сатурна, свойственные для пылевой плазмы, а именно, пылевые звуковые солитоны [12]. Учитывается тот факт, что в магнитосфере Сатурна сосуществуют два вида электронов (горячие и холодные), подчиняющиеся двум различным κ-распределениям. Рассмотрение проводится для произвольных (не малых) амплитуд солитонов, что представляется важным для интерпретации будущих космических наблюдений.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для описания пылевых звуковых солитонов (см., например, [13–15]) можно использовать следующую систему уравнений, включающую в себя уравнение непрерывности и уравнение движения (Эйлера) для пылевых частиц, уравнение Пуассона для самосогласованного электростатического потенциала $\varphi $ в пылевой плазме магнитосферы Сатурна

(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{n}_{d}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {{n}_{d}}{{v}_{d}}}}{{\partial x}} = 0, \\ \frac{{\partial {{v}_{d}}}}{{\partial t}} + {{v}_{d}}\frac{{\partial {{v}_{d}}}}{{\partial x}} = - \frac{{{{Z}_{d}}e}}{{{{m}_{d}}}}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}, \\ \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} = 4\pi e\left( {{{n}_{{e,с}}} + {{n}_{{e,h}}} - {{n}_{i}} - {{n}_{d}}{{Z}_{d}}} \right), \\ \end{gathered} $
где пространственная переменная $x$ соответствует направлению распространения волнового возмущения, ${{n}_{d}}$ – концентрация пылевых частиц, ${{v}_{d}}$ – их направленная скорость, ${{m}_{d}}$ и ${{q}_{d}} = {{Z}_{d}}e$ – масса и заряд пылевых частиц, $ - e$ – заряд электрона, ${{n}_{{e,c\left( h \right)}}}$ – концентрация холодных (горячих) электронов, ${{n}_{i}}$ – концентрация ионов.

Кроме того, необходимо учесть распределения ионов и электронов, которые успевают установиться на пылевых звуковых временных масштабах. Как уже отмечалось, в плазме магнитосферы Сатурна электроны удовлетворяют κ-распределению по скоростям [16]

(2)
$\begin{gathered} {{n}_{{e,c}}} = {{n}_{{e,c0}}}{{\left( {1 - \frac{1}{{{{\kappa }_{c}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\frac{{e\varphi }}{{{{T}_{{ec}}}}}} \right)}^{{ - {{\kappa }_{c}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}, \\ {{n}_{{e,h}}} = {{n}_{{e,h0}}}{{\left( {1 - \frac{1}{{{{\kappa }_{h}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\frac{{e\varphi }}{{{{T}_{{eh}}}}}} \right)}^{{ - {{\kappa }_{h}} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}, \\ \end{gathered} $
где ${{T}_{{e,c\left( h \right)}}}$ – температура холодных (горячих) электронов, выраженная в энергетических единицах, индекс “0” соответствует невозмущенным состояниям, ${{\kappa }_{с}}$ и ${{\kappa }_{h}}$ – параметры для каппа-распределений холодных и горячих электронов соответственно. Отметим, что ${{\kappa }_{с}},{{\kappa }_{h}} > {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$.

Ионы подчинены распределению Больцмана

(3)
${{n}_{i}} = {{n}_{{i0}}}e{}^{{ - e\varphi /{{T}_{i}}}},$
где ${{T}_{i}}$ – температура ионов, выраженная в энергетических единицах.

Ввиду того, что пылевые звуковые волны достаточно медленные, так что характеризующие их временные масштабы значительно превосходят характерные времена изменения зарядов пылевых частиц (см., например, [17]), заряды пылевых частиц успевают подстраиваться под параметры плазмы, и могут быть определены из уравнения

(4)
${{I}_{e}}({{Z}_{d}}) + {{I}_{i}}({{Z}_{d}}) = 0,$
где микроскопические токи холодных (горячих) электронов на поверхность пылевой частицы описываются выражением [18]
(5)
$\begin{gathered} {{I}_{{e,c\left( h \right)}}}\left( {{{Z}_{d}}} \right) = \\ \, = 2\sqrt \pi {{a}^{2}}e{{n}_{{e0,c\left( h \right)}}}\frac{{\sqrt {{{\kappa }_{{c\left( h \right)}}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}} }}{{{{\kappa }_{{c\left( h \right)}}}\left( {{{\kappa }_{{c\left( h \right)}}} - 1} \right)}}\frac{{\Gamma \left( {{{\kappa }_{{c\left( h \right)}}} + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {{{\kappa }_{{c\left( h \right)}}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}} \times \\ \, \times \sqrt {\frac{{{{T}_{{e,c\left( h \right)}}}}}{{{{m}_{e}}}}} {{\left( {1 - \frac{1}{{{{\kappa }_{{c\left( h \right)}}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\frac{{{{e}^{2}}{{Z}_{d}}}}{{a{{T}_{{e,c\left( h \right)}}}}}} \right)}^{{ - {{\kappa }_{{c\left( h \right)}}} + 1}}}, \\ \end{gathered} $
а микроскопический ток ионов имеет вид [18]

(6)
${{I}_{i}}\left( {{{Z}_{d}}} \right) = 4\pi {{a}^{2}}e{{n}_{{i0}}}\sqrt {\frac{{{{T}_{i}}}}{{2\pi {{m}_{i}}}}} \left( {1 - \frac{{{{e}^{2}}{{Z}_{d}}}}{{a{{T}_{i}}}}} \right).$

Здесь a – размер пылевых частиц, me(i) – масса электрона (иона), $\Gamma ({{\kappa }_{{с\left( h \right)}}})$ – гамма-функция. Отметим, что значения Zd в солитоне, полученные из уравнения (4), вообще говоря, зависят от электростатического потенциала φ. Однако, согласно проведенным вычислениям, учитывающим изменение параметров плазмы в солитоне, эта зависимость не очень сильная. Так, даже в точке максимума солитона, где отклонение заряда от его невозмущенного значения наибольшее, значение заряда менее, чем на 5% отличается от значения заряда в основании солитона, в том числе, и для солитонов большой амплитуды (см. [17]). Данный факт позволяет считать заряды пылевых частиц в солитоне приблизительно постоянными, что и используется в дальнейшем изложении.

Невозмущенные значения концентраций связаны условием квазинейтральности

(7)
${{n}_{{i0}}} + {{Z}_{d}}{{n}_{{d0}}} = {{n}_{{e0,c}}} + {{n}_{{e0,h}}}.$

Удобно ввести суммарную концентрацию невозмущённых холодных и горячих электронов

(8)
${{n}_{{eo}}} = {{n}_{{e0,c}}} + {{n}_{{e0,h}}},$
а также коэффициент соотношения между концентрациями холодных и горячих электронов α ($0 \leqslant \alpha \leqslant 1$). Тогда имеем

(9)
${{n}_{{e0,c}}} = \alpha \left( {{{n}_{{i0}}} + {{Z}_{d}}{{n}_{{d0}}}} \right),$
(10)
${{n}_{{e0,h}}} = \left( {1 - \alpha } \right)\left( {{{n}_{{i0}}} + {{Z}_{d}}{{n}_{{d0}}}} \right).$

3. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

Систему уравнений (1)–(7) можно решать стандартным методом сагдеевского потенциала [19]. Для нахождения локализованного волнового решения, распространяющегося с некоторой постоянной скоростью M, можно перейти в новую систему координат $\xi = x - Mt$, связанную с волной. В этом случае все параметры задачи оказываются зависящими только от новой переменной $\xi $. Сагдеевский потенциал в безразмерных переменных ${{e\varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{e\varphi } {{{T}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{i}}}} \to \varphi $, ${M \mathord{\left/ {\vphantom {M {{{C}_{{Sd}}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{{Sd}}}}} \to M$, ${\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{\lambda }_{{Di}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\lambda }_{{Di}}}}} \to \xi $, где ${{C}_{{Sd}}} = \sqrt {{{{{T}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{i}}} {{{m}_{d}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{d}}}}} $ и ${{\lambda }_{{Di}}} = \sqrt {{{{{T}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{i}}} {4\pi {{n}_{{i0}}}{{e}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {4\pi {{n}_{{i0}}}{{e}^{2}}}}} $ принимает вид

$V\left( \varphi \right) = 1 - {{e}^{{ - \varphi }}} + \left( {1 - \alpha } \right) \times $
(11)
$\begin{gathered} \times \;\left( {1 + {{Z}_{d}}d} \right){{\tau }_{h}}\left[ {1 - {{{\left( {1 - \frac{1}{{{{\kappa }_{h}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\frac{\varphi }{{{{\tau }_{h}}}}} \right)}}^{{ - {{\kappa }_{h}} + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right] + \\ + \;\alpha \left( {1 + {{Z}_{d}}d} \right){{\tau }_{c}}\left[ {1 - {{{\left( {1 - \frac{1}{{{{\kappa }_{c}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\frac{\varphi }{{{{\tau }_{c}}}}} \right)}}^{{ - {{\kappa }_{c}} + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right] + \\ \end{gathered} $
$\, + Md\left( {M - \sqrt {{{M}^{2}} - 2{{Z}_{d}}\varphi } } \right),$
где $d = {{{{n}_{{d0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{{d0}}}} {{{n}_{{i0}}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{{i0}}}}}$, ${{\tau }_{c}} = {{{{T}_{{ec}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{{ec}}}} {{{T}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{i}}}}$, ${{\tau }_{h}} = {{{{T}_{{eh}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{{eh}}}} {{{T}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{i}}}}$.

Солитонное решение находится из соотношения

$\frac{1}{2}\varphi _{\xi }^{2} + V(\varphi ) = 0,$
где φξ обозначает первую производную по ξ функции φ.

Область определения (${{M}_{{\min }}} < M < {{M}_{{\max }}}$) для локализованных волновых решений определяется условиями их существования и имеет вид

(13)
$M > {{M}_{{\min }}} = \sqrt {\frac{{Z_{d}^{2}d}}{{1 + \frac{{\alpha \left( {1 + {{Z}_{d}}d} \right)}}{{{{\tau }_{c}}}}\frac{{{{\kappa }_{c}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}{{{{\kappa }_{c}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}} + \frac{{\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 + {{Z}_{d}}d} \right)}}{{{{\tau }_{h}}}}\frac{{{{\kappa }_{h}} - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}{{{{\kappa }_{h}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}} ,$
$1 - {{e}^{{ - M_{{\max }}^{2}/(2{{Z}_{d}})}}} + \left( {1 - \alpha } \right) \times $
(14)
$\begin{gathered} \, \times \left( {1 + {{Z}_{d}}d} \right){{\tau }_{h}}\left[ {1 - {{{\left( {1 - \frac{1}{{{{\kappa }_{h}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\frac{{M_{{\max }}^{2}}}{{2{{\tau }_{h}}{{Z}_{d}}}}} \right)}}^{{ - {{\kappa }_{h}} + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right] + \\ + \,\alpha \left( {1 + {{Z}_{d}}d} \right){{\tau }_{c}}\left[ {1 - {{{\left( {1 - \frac{1}{{{{\kappa }_{c}} - {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\frac{{M_{{\max }}^{2}}}{{2{{\tau }_{c}}{{Z}_{d}}}}} \right)}}^{{ - {{\kappa }_{c}} + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right] + \\ \end{gathered} $
$\, + M_{{\max }}^{2}d > 0.$

Ниже приводятся результаты вычислений, которые проводились для следующих параметров плазмы магнитосферы Сатурна (см. [4, 6, 9]): ni0 = 10 см–3, Ti = 100 К, Tec = 10 эВ, Teh = 700 эВ, $\alpha = 0.5$, ${{\kappa }_{c}} = {{\kappa }_{h}} = 2$.

На рис. 1 изображены зависимости зарядовых чисел Zd пылевых частиц и суммарных концентраций электронов ${{n}_{{e0}}}$ от размеров пыли для различных концентраций пылевых частиц. Значения Zd и ${{n}_{{e0}}}$ получены при заданном значении ni0 на основе самосогласованного решения уравнений (4)–(7).

Рис. 1.

Зависимости зарядовых чисел Zd пылевых частиц (кривые 1–3), а также суммарных концентраций электронов ${{n}_{{e0}}}$ (кривые 1'–3') от размеров пыли для различных концентраций пылевых частиц: nd0 = 10–4 (кривые 1, 1'), 10–3 (кривые 2, 2'), 10–2 см–3 (кривые 3, 3').

На рис. 2 представлены амплитуды пылевых звуковых солитонов в зависимости от размеров пылевых частиц для всего возможного диапазона безразмерных скоростей M при разных концентрациях пыли. На рис. 3–5 изображены характерные виды солитонов (панели а) и соответствующие им сагдеевские потенциалы (панели б и в) для случаев, отличающихся концентрациями и размерами пылевых частиц, а также значениями безразмерной скорости M. Видно, что во всей области определения амплитуды пылевых звуковых солитонов φ0 оказываются отрицательными, а их амплитуды могут принимать достаточно большие значения (порядка Ti/e).

Рис. 2.

Амплитуды φ0 пылевых звуковых солитонов в зависимости от размеров пылевых частиц в зависимости от безразмерной скорости солитона $M$ при nd0 = 10–4, 10–3, 10–2 см–3. Жирные линии соответствуют границам разрешенных областей M.

Рис. 3.

Пылевые звуковые солитоны (а) и соответствующие им сагдеевские потенциалы (б) и (в) для случая nd0 = = 10‒2 см–3, M = 40. Солитон 1 соответствует размерам пылевых частиц a = 2 мкм. Cолитон 2 соответствует размерам пылевых частиц a = 0.2 мкм.

Рис. 4.

То же, что и на рис. 3 для nd0=10–3 см–3, M = 100.

Рис. 5.

То же, что и на рис. 3 для nd0 = 10–4 см–3, M = 300 для солитона 1 и M = 60 для солитона 2.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе показана возможность распространения локализованных волновых структур таких, как пылевые звуковые солитоны в запыленной плазме магнитосферы Сатурна, которая включает в себя электроны двух сортов (горячие и холодные), ионы магнитосферы, а также заряженные пылевые частицы. Определены области возможных скоростей и амплитуд солитонов. Найдены солитонные решения для различных размеров и концентраций пылевых частиц в запыленной плазме магнитосферы Сатурна. Оказывается, что во всей области определения амплитуды электростатического потенциала пылевых звуковых солитонов оказываются отрицательными. При этом их абсолютные значения могут быть достаточно большими (порядка Ti/e), что указывает на возможность наблюдения пылевых звуковых солитонов в магнитосфере Сатурна в будущих космических миссиях.

Данная работа была поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС”.

Список литературы

  1. Попель С.И. // Природа. 2015. № 9. С. 48.

  2. Wahlund J.-E., André M., Eriksson A.I.E., Lundberg M., Morooka M.W., Shafiq M., Averkamp T.F., Gurnett D.A., Hospodarsky G.B., Kurth W.S., Jacobsen K.S., Peder-sen A., Farrell W., Ratynskaia S., Piskunov N. // Planet. Space Sci. 2009. V. 57. P. 1795.

  3. Yaroshenko V.V., Ratynskaia S., Olson J., Brenning N., Wahlund J.-E., Morooka M., Kurth W.S., Gurnett D.A., Morfill G.E. // Planet. Space Sci. 2009. V. 57. P. 1807.

  4. Sittler, Jr. E.C., Ogilvie K.W., Scudde J.D. // J. Geophys. Res. 1983. V. 88. P. 8847.

  5. Barbosa D.D., Kurth W.S. // J. Geophys. Res. 1993. V. 98. P. 9351.

  6. Koen E.J., Collier A.B., Maharaj S.K., Hellberg M.A. // Phys. Plasmas. 2014. V. 21. P. 072122.

  7. Popel S.I., Golub’ A.P., Zelenyi L.M., Dubinskii A.Yu. // Planet. Space Sci. 2018. V. 156. P. 71.

  8. Голубь А.П., Попель С.И. // Письма в ЖЭТФ. 2021. Т. 113. С. 440.

  9. Schippers P., Blanc M., Andre N., Dandouras I., Le-wis G.R., Gilbert L.K., Persoon A.M., Krupp N., Gur-nett D.A., Coates A.J., Krimigis S.M., Young D.T., Doug-herty M.K. // J. Geophys. Res. 2008. V. 113. P. A07208.

  10. Pécseli H.L., Lybekk B., Trulsen J., Eriksson A. // Plasma Phys. Controlled Fusion. 1997. V. 39. P. A227.

  11. Попель С.И. // Физика плазмы. 2001. Т. 27. С. 475.

  12. Копнин С.И., Косарев И.Н., Попель С.И., Ю М. // Физика плазмы. 2005. Т. 31. С. 224.

  13. Копнин С.И., Попель С.И. // Письма в ЖТФ. 2019. Т. 45. С. 26.

  14. Копнин С.И., Морозова Т.И., Попель С.И. // Физика плазмы. 2019. Т. 45. С. 831.

  15. Копнин С.И., Попель С.И. // Письма в ЖТФ. 2021. Т. 47. С. 29.

  16. Banerjee G., Maitra S. // Phys. Plasmas. 2015. V. 22. P. 043708.

  17. Popel S.I., Kopnin S.I., Kosarev I.N., Yu M.Y. // Adv. Space Research. 2006. V. 37. P. 414.

  18. Rubab N., Murtaza G. // Physica Scripta. 2006. V. 73. P. 178.

  19. Сагдеев Р.З. // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. Вып. 4. М.: Атомиздат, 1964. С. 20.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Физика плазмы

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал