Физика плазмы, 2022, T. 48, № 5, стр. 397-409

2.1. Уравнения модели

Для описания динамики плазменных филаментов в работе использована модель переноса плазмы работы [20]. Кратко перечислим основные приближения модели.

Филаменты занимают область пространства на границе плазменного шнура внутри обдирочного слоя токамака, как показано на рис. 1. Вдоль линий магнитного поля филаменты имеют длину L – расстояние между диверторными пластинами установки, отсчитанное вдоль одной и той же силовой линии магнитного поля. Поперек линий поля характерный размер филаментов равен δ. Экспериментальные наблюдения показывают, что δ может составлять величину порядка нескольких сантиметров, тогда как длина L обычно измеряется единицами и десятками метров [6, 7]. Ионы плазмы однократно ионизованы, Z_i = 1, и имеют однородное распределение температуры, T_i = const. Электроны характеризуются постоянной температурой T_e = const. Параметр $\beta = 8\pi p{\text{/}}{{B}^{2}}$ пристеночной плазмы мал по сравнению с отношением δ/L, так что возмущением линий магнитного поля, вызываемым распространением в плазме электромагнитных волн (магнитный флаттер), можно пренебречь [33]. Взаимодействие плазмы и нейтралов не рассматривается, хотя в режимах работы установки с отрывом плазмы концы филамента могут находиться внутри холодной диверторной плазмы, содержащей значительное количество нейтральных частиц, приводя к заметному снижению скорости переноса филамента [34]. Диссипативные эффекты (поперечные ионные вязкость и диффузия) не учитываются, поскольку считается, что соответствующие этим процессам числа Рейнольдса велики по сравнению с единицей. Динамика плазмы описывается в рамках приближения Буссинеска, подразумевающего малость характерного поперечного масштаба изменения электростатического потенциала, ${{L}_{\varphi }}\sim 1{\text{/}}\left| {{{\nabla }_{ \bot }}\ln \varphi } \right|$, плазмы по сравнению с аналогичным масштабом для концентрации частиц среды, ${{L}_{n}} \gg {{L}_{\varphi }}$ [6]. Как показывают оценки [35], это приближение применимо при не слишком большой амплитуде плазменных филаментов (отношении пикового значения плотности плазмы внутри филамента к значению плотности окружающей филамент фоновой плазмы), не превосходящей значение 2–3. Динамика плазмы рассматривается в рамках гидродинамического приближения, так что продольное, Kn_||, и поперечное, ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{ \bot }}$, числа Кнудсена удовлетворяют условиям, ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{\parallel }} = {{\lambda }_{{ei}}}{\text{/}}L \ll 1$ и ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{ \bot }} = {{\rho }_{s}}{\text{/}}\delta \ll 1$, где ${{\lambda }_{{ei}}}$ – средняя длина свободного пробега электронов при электрон-ионных столкновениях и ${{\rho }_{s}}$ – ионный гирорадиус, определенный на ионной скорости звука.

Для описания динамики филаментов будут использоваться уравнения для плотности, n, и завихренности, $\varpi $, плазмы и продольной компоненты векторного потенциала, ${{A}_{\parallel }}$,

В этих уравнениях $\varpi = {{\nabla }_{ \bot }}(n\nabla _{ \bot }^{{}}\hat {\varphi }){\text{/}}n \approx \nabla _{ \bot }^{2}\hat {\varphi }$ – завихренность плазмы в приближении Буссинеска, $\hat {\varphi } = e\varphi {\text{/}}{{T}_{e}}$ – нормированный на электронную температуру электростатический потенциал плазмы, ${{{\mathbf{b}}}_{0}} = {{{\mathbf{B}}}_{0}}{\text{/}}B$ – единичный вектор вдоль направления магнитного поля, ${\mathbf{\kappa }} = 2c_{s}^{2}({{{\mathbf{b}}}_{0}} \cdot \nabla ){{{\mathbf{b}}}_{0}} \propto $ $2c_{s}^{2}{\text{/}}{{R}_{c}}$ и R_c – вектор и радиус кривизны силовых линий магнитного поля соответственно, ${{c}_{s}} = $ $ = \sqrt {\left( {{{T}_{e}} + {{T}_{i}}} \right){\text{/}}{{m}_{i}}} $ – скорость ионного звука, ${{\omega }_{{ci}}} = $ $ = eB{\text{/}}\left( {{{m}_{i}}c} \right)$ и ${{\rho }_{s}} = {{c}_{s}}{\text{/}}{{\omega }_{i}}$ – циклотронные частота и радиус иона соответственно, $\sigma = 1.96n{{e}^{2}}{{\tau }_{{ei}}}{\text{/}}{{m}_{e}}$ – электропроводность плазмы, ${{\tau }_{{ei}}} = 3m_{e}^{{1/2}}T_{e}^{{3/2}}{\text{/}}$ ${\text{/}}(4\sqrt {2\pi } n{{e}^{4}}{\kern 1pt} ln{\kern 1pt} {{\Lambda }_{{ei}}})$ – характерное время столкновения ионов и электронов, $ln{{\Lambda }_{{ei}}} = 10$ – кулоновский логарифм, e – элементарный заряд, m_i и m_e – массы иона и электрона соответственно, c – скорость света. Оператор $d{\text{/}}dt = \partial {\text{/}}\partial t + {{{\mathbf{V}}}_{{E \times B}}} \cdot \nabla $ – оператор полной (субстанциональной) производной, ${{{\mathbf{V}}}_{{E \times B}}} = \left( {{{c}_{s}}{{\rho }_{s}}{\text{/}}{{f}_{T}}} \right)\left( {{{{\mathbf{b}}}_{0}} \times \nabla \hat {\varphi }} \right)$ – скорость дрейфа плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях, ${{\partial }_{\parallel }} = {{{\mathbf{b}}}_{0}} \cdot \nabla $ – производная вдоль линий магнитного поля, ${{\nabla }_{\parallel }}f = B{{\partial }_{\parallel }}\left( {f{\text{/}}B} \right)$ – оператор продольной дивергенции. Плотность электрического тока вдоль силовых линий магнитного поля, ${{j}_{\parallel }}$, определяется законом Ампера

где оператор $\nabla _{ \bot }^{2} = {{\nabla }^{2}} - \nabla _{\parallel }^{2}$ – поперечная составляющая оператора Лапласа. Полный обзор приближений, использованных при записи уравнений модели, может быть найден в работе [20].

Уравнение (2), описывающее установление внутри филамента диполя электростатического потенциала, приводящего к поперечному переносу плазмы, представляет закон сохранения электрического заряда плазмы, $\nabla \cdot {\mathbf{j}} = 0$, где ${\mathbf{j}} = {{{\mathbf{j}}}_{{\nabla B}}} + {{{\mathbf{j}}}_{{pol}}} + {{j}_{\parallel }}{{{\mathbf{b}}}_{0}}$ – полный ток в плазме, складывающийся из тока ${{{\mathbf{j}}}_{{\nabla B}}}$, возникающего за счет дрейфа заряженных частиц в неоднородном магнитном поле, ионного поляризационного тока ${{{\mathbf{j}}}_{{pol}}}$ и продольного тока ${{j}_{\parallel }}{{{\mathbf{b}}}_{0}}$. Первое слагаемое в правой части уравнения (2) есть ${{\nabla }_{ \bot }} \cdot {{{\mathbf{j}}}_{{\nabla B}}}$, оно является источником формирования диполя электростатического потенциала. Два оставшихся слагаемых в левой и правой частях уравнения представляют ${{\nabla }_{ \bot }} \cdot {{{\mathbf{j}}}_{{pol}}}$ и ${{\nabla }_{\parallel }}{{j}_{\parallel }}$ соответственно и описывают замыкание тока ${{{\mathbf{j}}}_{{\nabla B}}}$ поляризационным и продольными токами. Баланс двух последних токов между собой определяет характер движения филаментов на периферии плазменного шнура [6, 7]. Важно отметить, что учет возбуждения в плазме альфвеновских волн (электромагнитное приближение) приводит к тому, что в структуре тока ${{j}_{\parallel }}$ наряду с электростатической, ${{j}_{{\parallel ,es}}}$, появляется электромагнитная компонента, ${{j}_{{\parallel ,em}}}$, величина которой может быть определена как ${{j}_{{\parallel ,em}}}{\text{/}}{{j}_{{\parallel ,es}}}\sim {{\tau }_{s}}{\text{/}}\left( {{{\tau }_{s}} + {{\tau }_{A}}} \right)$ или ${{j}_{{\parallel ,em}}}{\text{/}}{{j}_{{\parallel ,es}}}\sim {{\tau }_{s}}{\text{/}}\left( {{{\tau }_{s}} + {{\tau }_{ \bot }}} \right)$ [20], где ${{\tau }_{s}} = 4\pi \sigma {{\delta }^{2}}{\text{/}}{{c}^{2}}$ и ${{\tau }_{A}} = L{\text{/}}{{V}_{A}} = L\sqrt {4\pi n{{m}_{i}}} {\text{/}}B$ – скиновое и альфвеновское времена соответственно (${{V}_{A}} = B{\text{/}}\sqrt {4\pi n{{m}_{i}}} $ – альфвеновская скорость), и ${{\tau }_{ \bot }}\sim \delta {\text{/}}{{V}_{{E \times B}}}$ – характерное время поперечного движения филамента. В плазме с высокой электронной температурой (оценки показывают, что в существующих установках пороговыми являются значения T_e ~ $\sim 10{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 20$ эВ [20]) величина ${{\tau }_{s}}$ может стать сравнимой или даже значительно большей, чем ${{\tau }_{A}}$ и ${{\tau }_{ \bot }}$, приводя к условию ${{j}_{{\parallel ,em}}} \leqslant {{j}_{{\parallel ,es}}}$ (ср. с электростатическим приближением, когда ${{j}_{{\parallel ,em}}} \ll {{j}_{{\parallel ,es}}}$). Электромагнитные токи в альфвеновской волне направлены против электростатической компоненты ${{j}_{{\parallel ,es}}}$, поэтому в электромагнитном режиме переноса филаментов величина продольного тока оказывается меньше, чем в электростатическом случае при одинаковых параметрах пристеночной плазмы. Это приводит к тому, что при учете возбуждения в пристеночной плазме электромагнитных волн скорость поперечного движения филаментов оказывается выше, чем в чисто электростатическом случае [17–21].

Движение филамента рассматривается внутри потоковой трубки квадратного сечения на периферии плазменного шнура (рис. 1б, 1в). Наиболее удобным в этом случае представлением вектора индукции магнитного поля B является представление Клебша ${\mathbf{B}} = \nabla z \times \nabla \psi $ [36, 37], где z – обобщенный тороидальный угол (отсчитываемый от подвижного репера на силовой линии магнитного поля), а $\psi $ – полоидальный магнитный поток. При таком задании магнитного поля третья пространственная ось координат будет совпадать с направлением линий вектора B. Для упрощения дальнейшего анализа динамики филаментов на периферии плазменного шнура, однако, мы будем использовать более простую прямоугольную систему координат плоского слоя [21]. Направление вдоль линий магнитного поля будет принято за ось y. Оси х и z будут ориентированы поперек линий магнитного поля. При этом ось х будет соответствовать направлению поперек магнитных поверхностей (вдоль оси $\psi $), а направление вдоль оси z можно рассматривать как проекцию тороидальной оси установки на направление, перпендикулярное линиям B. Геометрические размеры области движения филамента при этом оказываются равны L – вдоль оси y, и ${{\Delta }_{x}}$ и ${{\Delta }_{z}}$ – в направлениях х и z соответственно.

В используемой системе отсчета не учитываются такие геометрические эффекты, как неоднородность распределения величины B вдоль линий магнитного поля, а также растяжения и вращения потоковой трубки, связанные с широм магнитного поля и приводящие к эллиптическим деформациям формы филамента. Подобное упрощение позволяет минимизировать воздействие геометрии магнитного поля на динамику филаментов и рассматривать влияние именно граничных условий дебаевского слоя на перенос плазмы. Кроме того, несмотря на то, что геометрия рассматриваемой области плоская, кривизна линий магнитного поля учитывается [первое слагаемое в правой части уравнений (1) и (2)], поскольку она отвечает за поперечную поляризацию плазмы филамента в криволинейном и неоднородном в поперечном направлении магнитного поле токамака.

Для замыкания уравнения (1)–(4) в выбранной системе координат приняты следующие граничные условия. Вдоль оси х на все параметры плазмы накладываются граничные условия Неймана (нулевой градиент поля в соответствующем направлении), ${{\left. {{{\partial }_{x}}f} \right|}_{{x = \pm {{\Delta }_{x}}/2}}} = 0$. Как показано в работе [38], подобный выбор не оказывает влияния на результаты численного анализа динамики филамента при условии, что он находится на достаточном удалении от радиальных стенок области движения. Вдоль оси z граничные условия периодические, $f\left( {z = - {{\Delta }_{z}}{\text{/}}2} \right)$ = $f\left( {z = + {{\Delta }_{z}}{\text{/}}2} \right)$.

В направлении оси y (вдоль линий магнитного поля) для плотности, n, и завихренности, $\varpi $, плазмы приняты граничные условия Неймана, ${{\left. {{{\partial }_{y}}f} \right|}_{{y = \pm L/2}}} = 0$. Их использование отражает тот факт, что на характерных временах поперечного движения филамента сток плазмы на стенку установки отсутствует. Для тока ${{j}_{\parallel }}$ и потенциала плазмы $\hat {\varphi }$ на концах силовых линий, в области контакта плазмы с диверторными пластинами установки, приняты два разных граничных условия: обычные электростатические [22] и обобщенные граничные условия дебаевского слоя [30]:

где индексы “$ \pm $” обозначают верхний (+) и нижний (–) экранирующие слои, расположенные в точках $y = + L{\text{/}}2$ и $y = - L{\text{/}}2$ соответственно, ${{\hat {z}}_{{sh}}}$ – безразмерный импеданс дебаевского слоя.

Условия (6) обобщают обычные электростатические условия (5) путем учета возмущающего воздействия электромагнитных волн, приходящих в дебаевский слой, на характер переноса в нем тока. Подобные возмущения могут быть вызваны, например, волнами, возбуждаемыми в плазме внешней антенной (как при ионно-циклотронном нагреве [28, 29]), или волнами, генерируемыми в самом филаменте при его поперечном движении в хорошо проводящей плазме [6, 7, 18, 20, 21]. Импенданс ${{\hat {z}}_{{sh}}}$ при этом отражает выпрямляющие свойства слоя по отношению к периодическому внешнему воздействию, что связано как с нелинейным откликом слоя на его возмущения [28, 30], так и с отражением электромагнитных волн от проводящей поверхности (металлической стенки) и формированием в слое стоячей волны [16, 31, 39].

Величина ${{\hat {z}}_{{sh}}}$ определяется как [30]

где z_sh – размерная величина импеданса, ${{\omega }_{{pi}}} = $ $ = \sqrt {4\pi {{n}_{i}}{{e}^{2}}{\text{/}}{{m}_{i}}} $ – плазменная частота для ионов, ${{\lambda }_{D}} = \sqrt {{{T}_{e}}{\text{/(}}4\pi {{n}_{e}}{{e}^{2}}{\text{)}}} $ – радиус Дебая. Значение ${{\hat {z}}_{{sh}}}$ определяется амплитудой возмущения электростатического потенциала на границе экранирующего слоя, приведенной частотой возмущения, $\omega {\text{/}}{{\omega }_{{pi}}}$, и нормированной циклотронной частотой, ${{\omega }_{{ci}}}{\text{/}}{{\omega }_{{pi}}}$ [30]. Беря для оценки следующие параметры пристеночной плазмы токамака: концентрацию частиц $n\sim 2 \times {{10}^{{13}}}$ см^–3, температуру электронов ${{T}_{e}}\sim 45$ эВ, величину индукции магнитного поля $B\sim 4$ Тл, и длину силовой линии магнитного поля $L\sim 15$ м (взяты параметры токамака Alcator C-Mod) при возмущении дебаевского слоя альфвеновской волной, $\omega \sim {{\omega }_{A}} = 2\pi {{V}_{A}}{\text{/}}L$ = = $2\pi B{\text{/(}}L\sqrt {4\pi n{{m}_{i}}} {\text{)}}$ – безразмерные частоты $\omega {\text{/}}{{\omega }_{{pi}}}$ и ${{\omega }_{{ci}}}{\text{/}}{{\omega }_{{pi}}}$, необходимые для определения величины импеданса оказываются равны $\omega {\text{/}}{{\omega }_{{pi}}} \approx $ 1.3 × × 10^–3, ${{\omega }_{{ci}}}{\text{/}}{{\omega }_{{pi}}} \approx 3 \times {{10}^{{ - 2}}}$. В указанном диапазоне частот ${{\hat {z}}_{{sh}}} = a + ib$, где $1 \leqslant a \leqslant 10$, а $b \leqslant {{10}^{{ - 2}}}$ [30]. Оценки отношений $\omega {\text{/}}{{\omega }_{{pi}}}$ и ${{\omega }_{{ci}}}{\text{/}}{{\omega }_{{pi}}}$ для токамака NSTX, представленные в разд. 3, согласуются по порядку величины с оценками для Alcator C-Mod (параметры обеих машин будут использованы для анализа переноса филаментов). Поэтому дальше мы можем принять, что ${{\hat {z}}_{{sh}}} \approx \operatorname{Re} {{\hat {z}}_{{sh}}} = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10$.

Отметим, что форма граничного условия (6) дополнительно модифицирована по сравнению с исходным обобщенным граничным условием [30] введением зависимости тока ${{j}_{\parallel }}$ от концентрации плазмы n и температуры ее компонентов, T_e, T_i.

В каждом из рассматриваемых случаев (5), (6) ток в дебаевском слое замыкается током в среде,

позволяя найти значение электростатического потенциала на входе в слой.

Уравнения (1)–(8) будут использованы ниже при анализе влияния формы граничного условия дебаевского слоя на характер электромагнитного переноса плазмы на периферии токамака.

2.2. Оценки параметров переноса филаментов

Для оценки параметров переноса филаментов – характерных величин потенциала ${{\hat {\varphi }}_{b}}$ и скорости конвекции ${{V}_{b}}$ – в рамках резистивной электромагнитной модели динамики плазмы может быть использован полуфеноменологический скейлинг, полученный ранее в работе [20]. Ниже, однако, будет представлен скейлинг параметров движения филаментов, основанный на граничных условиях (5), (6).

Для получения зависимостей ${{\hat {\varphi }}_{b}}\left( \delta \right)$ и ${{V}_{b}}\left( \delta \right)$ проинтегрируем уравнение (2) вдоль линий магнитного поля, предполагая распределение параметров плазмы однородным. После алгебраических преобразований найдем (индексы “±” для упрощения формы записи опущены)

Оценивая ${{\nabla }_{ \bot }}\sim 1{\text{/}}\delta $, $d{\text{/}}dt\sim \partial {\text{/}}\partial t\sim {{{\mathbf{V}}}_{{E \times B}}} \cdot \nabla \sim $ $\sim {{V}_{{E \times B}}}{\text{/}}\delta \sim 1{\text{/}}{{\tau }_{ \bot }}$, ${{V}_{{E \times B}}}\sim {{c}_{s}}\left( {{{\rho }_{s}}{\text{/}}\delta } \right)\left( {\hat {\varphi }{\text{/}}{{f}_{T}}} \right)$, $\varpi \sim \hat {\varphi }{\text{/}}{{\delta }^{2}}$, ${{{\mathbf{b}}}_{0}} \times {\mathbf{\kappa }} \cdot \nabla n\sim \kappa n{\text{/}}\delta $, и учитывая, что $\kappa = 2c_{s}^{2}{\text{/}}{{R}_{c}}$, уравнение (9) может быть приведено к следующему виду

Вводя нормированные значения потенциала $\hat {\varphi }$ и поперечного размера филамента $\delta $ [40],

где ${{\hat {\varphi }}_{*}} = {{(2f_{T}^{2}{{\rho }_{s}}{{L}^{3}}{\text{/}}R_{c}^{4})}^{{1/5}}}$ и ${{\delta }_{*}} = {{\rho }_{s}}{{\left[ {\kappa {{L}^{2}}{\text{/(}}4f_{T}^{2}c_{s}^{2}{{\rho }_{s}}{\text{)}}} \right]}^{{1/5}}}$, уравнение для определения потенциала примет вид

Основное отличие полученного уравнения от аналогичного ему, получаемого в рамках электростатического приближения, заключается в наличии дополнительного параметра – эффективного импеданса ${{\hat {z}}_{{sh}}}$.

На рис. 2 представлены зависимости безразмерных потенциала $\Phi $ и скорости движения $\Upsilon $ [$\Upsilon = {{V}_{{E \times B}}}{\text{/}}{{V}_{*}} = \Phi {\text{/}}\Delta $, где ${{V}_{*}} = {{c}_{s}}({{\rho }_{s}}{\text{/}}{{\delta }_{*}})({{\hat {\varphi }}_{*}}{\text{/}}{{f}_{T}})$] филамента от его приведенного радиуса $\Delta $ при различных значениях импеданса ${{\hat {z}}_{{sh}}}$ (значению ${{\hat {z}}_{{sh}}} = 1$ отвечает электростатическое приближение). Видно, что рост величины импеданса приводит к увеличению потенциала и скорости движения филамента. Подобное поведение, как отмечалось выше, связано с изменением характера переноса заряженных частиц в дебаевском слое под действием внешнего возмущения и формированием стоячих волн, периодическое изменение амплитуды которых приводит к уменьшению тока, текущего через слой. Это, в свою очередь, должно приводить к увеличению электростатического потенциала на границе слоя с плазмой и, как результат, росту скорости конвекции филамента.

3.1. Параметры расчетов

Для исследования влияния граничных условий (5) и (6) на параметры переноса филаментов на периферии токамака были проведены параметрические сканы зависимости скорости движения филаментов от величины импеданса ${{\hat {z}}_{{sh}}}$ для токамаков NSTX и Alcator C-Mod. Обе установки характеризуются параметрами пристеночной плазмы, при которых величина скинового времени ${{\tau }_{s}}$, оказывается больше альфвеновского времени ${{\tau }_{A}}$ и характерного времени поперечного смещения филамента ${{\tau }_{ \bot }}$ [20], так что перенос филаментов должен описываться с использованием электромагнитной модели динамики плазмы.

Для моделирования использованы следующие (зафиксированные) параметры пристеночной плазмы токамаков: плотность фоновой плазмы, ${{n}_{0}}$, температура ионов, ${{T}_{i}}$, и электронов, ${{T}_{e}}$, величина индукции магнитного поля B, радиус кривизны силовых линий магнитного поля, ${{R}_{c}}$, длина L и поперечный радиус δ филаментов. Значения этих величин, а также оценки производных параметров, характеризующих динамику пристеночной плазмы: параметр $\beta $, его нормированные значения $\beta ({{m}_{i}}{\text{/}}{{m}_{e}})$ и $\beta (L{\text{/}}\delta )$, скиновое, ${{\tau }_{s}}$, и альфвеновское, ${{\tau }_{A}} = L{\text{/}}{{V}_{A}}$, времена, время ${{\tau }_{ \bot }}$ [определенное по скейлингу (12) при ${{\hat {z}}_{{sh}}} = 1$], безразмерные отношения ${{\tau }_{s}}{\text{/(}}{{\tau }_{s}} + {{\tau }_{A}}{\text{)}}$ и ${{\tau }_{s}}{\text{/(}}{{\tau }_{s}} + {{\tau }_{ \bot }}{\text{)}}$ (определяющие соотношение электромагнитной, ${{j}_{{\parallel ,em}}}$, и электростатической, ${{j}_{{\parallel ,es}}}$, компонент тока ${{j}_{\parallel }}$), нормированные значения альфвеновской, ${{\omega }_{A}}{\text{/}}{{\omega }_{{pi}}}$, и циклотронной, ${{\omega }_{{ci}}}{\text{/}}{{\omega }_{{pi}}}$, частот, а также продольное, ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{\parallel }}$, и поперечное, ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{ \bot }}$, числа Кнудсена – представлены в табл. 1. Видно, что хотя для двух токамаков время ${{\tau }_{s}}$ существенно превышает времена ${{\tau }_{A}}$ и ${{\tau }_{ \bot }}$, значения параметра $\beta $ установок существенно различаются. Значение $\beta $ для NSTX более чем на порядок превышает это значение для токамака Alcator. Скиновое время ${{\tau }_{s}}$ также оказывается больше для NSTX. Поэтому можно ожидать, что влияние электромагнитных эффектов – возбуждения и распространения альфвеновских волн – на динамику плазмы будет выражено сильнее для токамака NSTX.

В качестве начальных распределений параметров плазмы использованы следующие профили. Распределение плотности плазмы, отвечающее возмущению среды в форме филамента, задавалось с использованием цилиндрического гауссова профиля, широко используемого при моделировании динамики изолированных филаментов [6]:

где ${{x}_{0}} = - {{\Delta }_{x}}{\text{/}}4$, а размеры области расчетов вдоль осей x и z были приняты равными ${{\Delta }_{x}} = {{\Delta }_{z}} = 10\delta $. Для остальных параметров среды (электростатического и векторного потенциалов, завихренности плазмы) считалось, что профили этих параметров формируются самосогласованно при перемещении филамента.

Расчеты были выполнены в среде BOUT++ [43]. Расчетные сетки имели разрешение N_x × × N_y × N_z = 132 × 31 × 128 по осям x, y, z соответственно. Интегрирование динамических уравнений модели по времени выполнялось с использованием реализованного в коде CVODE алгоритма метода Гира. Производные по осям x и z были дискретизированы при помощи центрально-разностной схемы четвертого порядка. Производные вдоль по потоку вычислялись с применением схемы WENO третьего порядка. Вдоль линий магнитного поля дискретизация производных была выполнена с использованием центрально-разностной схемы второго порядка.

3.2. Результаты расчетов и их обсуждение

На рис. 3 представлены результаты расчета динамики плазменного филамента – временная динамика плазмы в продольном и трех поперечных сечениях – полученные для токамака Alcator C‑Mod, при использовании двух различных значений импеданса дебаевского слоя, ${{\hat {z}}_{{sh}}} = 1.0$ [обычные граничные условия (5)] и ${{\hat {z}}_{{sh}}} = 5.0$ [обобщенные граничные условия (6)]. Видно, что в обоих случаях динамика филаментов в начальные моменты времени характеризуется легким изгибом в поперечном направлении (верхний ряд изображений), характерным для электромагнитной динамики плазмы [18]. На бóльших временах расчета изгиб филамента практически исчезает, а сам филамент движется почти одинаковым образом во всех своих сечениях. Подобная динамика плазмы связана с малыми значениями альфвеновского времени, ${{\tau }_{A}}\sim 1$ мкс, по сравнению с характерным временем поперечного переноса филамента, ${{\tau }_{ \bot }}\sim 10$ мкс, что приводит к быстрому выравниванию потенциала вдоль всего филамента. При этом скорость движения филамента в случае ${{\hat {z}}_{{sh}}} = 5.0$ оказывается выше, по сравнению с расчетом с обычными граничными условиями; характер движения филамента меняется: вместо развития желобковой моды (вытягивание плазменного “языка”) наблюдается когерентное движение филамента с сохранением почти цилиндрической формы.

На рис. 4 изображена зависимость скорости радиального движения центра масс филамента, ${{V}_{x}} = {{d}_{t}}\left( {\int {nxdS} {\text{/}}\int {ndS} } \right)$, полученная в его центральном сечении, $y = 0$, в зависимости от значения приведенного импеданса ${{\hat {z}}_{{sh}}}$. Значения скорости филаментов согласуются с экспериментально измеренными значениями в пределе 2–3‑кратного совпадения [41], испытывая периодические осцилляции, связанные с возбуждением в плазме альфвеновских волн. Период осцилляций при этом составляет примерно $2{{\tau }_{A}}\sim 2$ мкс, что согласуется с результатами моделирования [20, 21]. Особенностью представленных зависимостей является увеличение скорости переноса плазмы с ростом ${{\hat {z}}_{{sh}}}$. При этом амплитуда осцилляций скорости движения, $\delta {{V}_{x}}$, уменьшается по сравнению со средним значением скорости ${{V}_{x}}$, что указывает на снижение влияния возбуждения в плазме альфвеновских волн на перенос плазмы филамента. Скорость затухания волны, которая составляет величину порядка нескольких мкс, не согласуется с оценкой величины скинового времени для плазмы установки, ${{\tau }_{s}}\sim 50$ мкс, что указывает на то, что затухание флуктуаций электромагнитного поля происходит не в объеме плазмы, а на ее границе, в области дебаевского слоя. Эта картина не согласуется с представлением об отражении альфвеновских волн от проводящих металлических поверхностей установки. Действительно, коэффициент отражения электромагнитной волны, распространяющейся через дебаевский слой, от идеально проводящей стенки может быть оценен как [39]

где параметр $\rho $ связан с параметрами плазмы и волны как

Для параметров токамака Alcator C-Mod, величина $\rho = 1.7{{\hat {z}}_{{sh}}}$, и при ${{\hat {z}}_{{sh}}} = 5$ коэффициент отражения волны $A \approx 0.8$, так что для уменьшения амплитуды электромагнитных флуктуаций скорости перемещения филамента в e раз волна должна испытать порядка 5 отражений, тогда как расчет показывает уменьшение $\delta {{V}_{x}}$ вдвое уже после одного периода колебаний. Тем не менее, на больших временах, $t \geqslant 10$ мкс, флуктуации скорости переноса плазмы остаются, что указывает на действие объемных источников возбуждения альфвеновских волн в плазме.

На рис. 5 показаны результаты расчета динамики плазмы филамента на периферии токамака NSTX при двух различных значениях импеданса, ${{\hat {z}}_{{sh}}} = 1.0$ и ${{\hat {z}}_{{sh}}} = 5.0$, аналогичные тем, что были продемонстрированы на рис. 3. На графиках видно, что перенос плазмы в обоих случаях происходит когерентным образом, с небольшим изгибом филамента на начальных этапах его движения. При этом, тогда как движение филамента в рамках обычной модели дебаевского слоя демонстрирует черты, связанные с развитием в плазме желобковой моды [6], в случае обобщенного условия (6) наблюдается большее значение скорости движения плазмы филамента, который движется с сохранением собственной начальной формы.

На рис. 6 показаны временные зависимости скорости движения центра масс филаментов в токамаке NSTX, полученные при четырех различных значениях импеданса дебаевского слоя, ${{\hat {z}}_{{sh}}}$. Как и в случае токамака Alcator C-Mod, скорость ${{V}_{x}}$ испытывает периодические флуктуации, связанные с распространением в плазме альфвеновских волн, с характерным периодом равным $2{{\tau }_{A}}\sim 4$ мкс. Увеличение ${{\hat {z}}_{{sh}}}$ также приводит к росту величины скорости переноса плазмы (примерно пропорционально ${{\hat {z}}_{{sh}}}$), при этом амплитуда электромагнитных флуктуаций $\delta {{V}_{x}}$ снижается по сравнению со средним значением $\left\langle {{{V}_{x}}} \right\rangle $. Полученные в расчетах значения скорости ${{V}_{x}}$ качественно согласуются с результатами экспериментальных наблюдений скорости движения филаментов на периферии токамака: для филаментов с $\delta > {{\delta }_{*}}$ измеренные скорости их переноса в 2–3 раза превосходят оценочные значения, получаемые в рамках электростатической модели дебаевского слоя (5) [42]. Оценка коэффициента отражения альфвеновской волны от металлической стенки NSTX с учетом ее прохождения через экранирующий слой показывает, что величина $\rho \approx 3.8{{\hat {z}}_{{sh}}}$, так что при ${{\hat {z}}_{{sh}}} \geqslant 1.0$ параметр А оказывается $ \geqslant {\kern 1pt} 0.6$. Таким образом, как и в предыдущем расчетном случае, учет обобщенного граничного условия приводит к увеличению скорости переноса плазмы, что согласуется с данными экспериментальных наблюдений. Однако динамика затухания электромагнитных флуктуаций параметров среды показывает, что этот процесс идет быстрее, чем могло ожидаться, что указывает на необходимость более детального учета процесса отражения электромагнитных волн от дебаевского слоя при описании электромагнитной динамики плазмы на периферии установок.