1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Геомагнетизм и аэрономия
  4. T. 60, № 6, 2020

Геомагнетизм и аэрономия, 2020, T. 60, № 6, стр. 783-795

Учет ионосферных генераторов в численной модели глобальной электрической цепи

Ф. А. Кутерин 1, *, Н. Н. Слюняев 1, **

1 Институт прикладной физики Российской академии наук (ИПФ РАН)
г. Нижний Новгород, Россия

* E-mail: xredor@ipfran.ru
** E-mail: slyunyaev.n@gmail.com

Поступила в редакцию 18.12.2019
После доработки 10.04.2020
Принята к публикации 21.05.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Обсуждается последовательное включение источников глобальной электрической цепи ионосферной и магнитосферной природы в ее распределенные численные модели. Показано, что наиболее естественный подход к такому включению состоит во введении в граничные условия на внешней границе модельной атмосферы соответствующего возмущения потенциала, заданного с точностью до неизвестной константы. В качестве примера реализации этого подхода продемонстрировано решение модельной задачи о высокоширотном магнитосферном конвективном генераторе с помощью трехмерной численной модели глобальной электрической цепи. Показано, что в полярных областях задаваемое возмущение потенциала проецируется в более низкие слои атмосферы, сохраняя свою структуру, что является следствием квазиодномерности задачи в условиях медленного изменения всех параметров с широтой и долготой при приблизительно постоянном профиле проводимости.

1. ВВЕДЕНИЕ

В исследованиях атмосферного электричества последних лет основополагающим подходом является включение различных процессов, протекающих в атмосфере, в единую концепцию глобальной электрической цепи (ГЭЦ) – распределенного токового контура, образованного атмосферой, поверхностью Земли и нижней ионосферой [Анисимов и Мареев, 2008; Мареев, 2010; Rycroft et al., 2008; Williams, 2009; Williams and Mareev, 2014]. Основу ГЭЦ составляет распределение квазистационарных полей и токов в атмосфере (так называемая ГЭЦ постоянного тока), которое, согласно общепринятой в настоящее время гипотезе Вильсона [Wilson, 1921,1924], поддерживается процессами разделения зарядов в грозовых облаках и других облаках с развитой электрической структурой. В областях грозы квазистационарный ток течет вверх, в областях хорошей погоды – вниз, а высокопроводящие верхний слой земной поверхности и нижняя ионосфера замыкают электрический контур.

Несмотря на большой объем накопленных данных наблюдений явлений атмосферного электричества, включающих результаты как наземных измерений, так и измерений с помощью зондов, самолетов и спутников, эти данные не всегда позволяют проанализировать полную картину электрических процессов в глобальном масштабе всей атмосферы. В связи с этим особое значение имеет моделирование ГЭЦ, в основе которого лежит численное решение уравнений для потенциала электрического поля в атмосфере. Первой полноценной моделью ГЭЦ можно считать классическую модель Хейса–Роубла [Hays and Roble, 1979], авторы которой, параметризовав проводимость атмосферы и пространственное распределение грозовых генераторов, смогли отыскать создаваемое этими генераторами распределение электрического потенциала, исследовать его особенности и влияние на него ряда эффектов. С развитием вычислительных возможностей разрабатывались новые модели ГЭЦ [Makino and Ogawa, 1984; Browning et al., 1987; Stansbery et al., 1993], также предлагались новые подходы к анализу задачи о глобальном распределении полей и токов в атмосфере [Морозов, 2005; Odzimek et al., 2010]. В последнее время интерес к этому направлению снова возрос в связи с возрастающим пониманием тесной связи атмосферного электричества и динамики атмосферы, что нашло отражение в появлении сразу нескольких новых квазистационарных и стационарных моделей ГЭЦ [Калинин и др., 2014; Baumgaertner et al., 2014; Jánský and Pasko, 2014; Bayona et al., 2015], каждая из которых имеет свои достоинства и недостатки.

Моделирование ГЭЦ в целом сводится к отысканию распределения потенциала электрического поля во всей атмосфере по заданным распределениям токов зарядки в грозовых облаках (которые иногда описываются распределенно, а иногда заменяются на точечные диполи) и проводимости. Исследования последнего времени посвящены главным образом уточнению и совершенствованию параметризаций входных данных моделей ГЭЦ – как проводимости [Tinsley and Zhou, 2006; Baumgaertner et al., 2013; Slyunyaev et al., 2015], так и грозовых генераторов [Mareev and Volodin, 2014; Kalb et al., 2016; Jánský et al., 2017]. Однако для более точного моделирования структуры полей и токов в атмосфере (особенно в полярных областях) необходимо также принимать во внимание возмущения ГЭЦ, создаваемые ионосферными источниками.

Поскольку проводимость атмосферы экспоненциально растет с высотой, в большинстве моделей ГЭЦ на высоте ~50–100 км устанавливается внешняя граница, которая предполагается эквипотенциальной в каждый момент времени. Численные расчеты и оценки показывают, что точное положение этой границы не имеет решающего значения, так как облака – генераторы ГЭЦ расположены не выше 20 км и, даже если поставить внешнюю границу достаточно далеко от земной поверхности, уже на высоте в 50–60 км изменение потенциала с высотой станет незначительным по сравнению с аналогичными изменениями в нижней атмосфере. Однако, строго говоря, процессы, протекающие в ионосфере, могут приводить к заметным “горизонтальным” разностям потенциала на этих высотах, в связи с чем говорят об ионосферных генераторах ГЭЦ, дополнительных по отношению к грозовым облакам. Обычно рассматривают два таких генератора: ионосферное динамо, связанное со взаимодействием приливного ветра с ионосферной плазмой в присутствии геомагнитного поля, и магнитосферный конвективный генератор, связанный со взаимодействием солнечного ветра с геомагнитным полем над полярными шапками [Volland, 1984].

Рассматривая этот вопрос в более общем контексте, следует отметить, что задачам о связи структуры электрических полей в нижней атмосфере и в ионосфере уделяется значительное внимание в литературе. Множество исследований посвящено задачам о проникновении электрических полей, создаваемых источниками различной природы (в том числе грозовыми облаками и сейсмическими процессами), из нижней атмосферы в ионосферу [Park and Dejnakarintra, 1973; Kartalev et al., 2004; Denisenko et al., 2013, 2018; Kuo et al., 2014]. Родственная задача о проникновении электрических полей из ионосферы в нижнюю атмосферу также обсуждалась в литературе [Volland, 1972; Park, 1976; Dejnakarintra et al., 1985; Werner and Ferraro, 1991; Dutra et al., 1992]. Oднако большинство исследователей рассматривают подобные вопросы локально, зачастую в плоскопараллельном приближении, в то время как в контексте ГЭЦ гораздо более естественным выглядит именно глобальный подход. Oтметим, что применительно к нестационарным возмущениям поля глобальный подход применялся в работе Морозов [2018], а применительно к стационарным – в работе Денисенко и Помозов [2010], однако в последней работе использовались не вполне корректные граничные условия без требования соблюдения баланса токов на границе.

На сегодняшний день единственные работы, посвященные самосогласованному включению ионосферных источников в численные модели ГЭЦ, – исследования Roble and Hays [1979] и Lucas et al. [2015]. Однако Roble and Hays [1979] отыскивали возмущения потенциала, создаваемые ионосферными генераторами ГЭЦ, в виде разложения по сферическим функциям, что возможно лишь при определенном виде распределения проводимости в атмосфере, а Lucas et al. [2015] рассматривали задачу в рамках упрощенной многостолбцовой модели ГЭЦ (когда вертикальные столбы воздуха в атмосфере заменяются на эквивалентные резисторы и источники тока и связываются между собой лишь посредством нижней и верхней границ атмосферы). Поэтому задача об учете ионосферных генераторов в распределенных моделях ГЭЦ общего вида по-прежнему остается актуальной.

В этой работе мы обсуждаем математически корректный подход к включению ионосферных генераторов в распределенные модели ГЭЦ, а также особенности его практической реализации. В качестве примера использования разработанного подхода мы решаем модельную задачу о высокоширотном магнитосферном конвективном генераторе с помощью трехмерной модели ГЭЦ и оцениваем создаваемые им возмущения полей и токов в атмосфере.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Мы предполагаем, что атмосфера занимает область $\Omega {\text{,}}$ ограниченную поверхностью Земли ${{{\Gamma }}_{1}}$ и нижней границей ионосферы ${{{\Gamma }}_{2}}.$ Поскольку основными генераторами, поддерживающими работу ГЭЦ, являются грозовые облака и другие облака с развитой электрической структурой (в частности, так называемые “electrified shower clouds” и мезомасштабные конвективные системы), большинство моделей ГЭЦ основано на решении уравнений для потенциала электрического поля $\varphi $ в области $\Omega $ по заданным распределениям плотности тока зарядки в облаках – источниках ГЭЦ ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и проводимости $\sigma \left( {\mathbf{r}} \right).$ В стационарном случае соответствующая система уравнений выглядит следующим образом [Калинин и др., 2014; Bayona et al., 2015] (здесь и далее ${\mathbf{r}}$ – пространственная координата, а ${\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ указывает на интеграл по поверхности):

(1)
${\text{div}}\left( {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right) = {\text{div}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right),$
(2)
$\begin{gathered} \oint\limits_{{{{\Gamma }}_{1}}} {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}\varphi \left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} = \\ = \oint\limits_{{{{\Gamma }}_{1}}} {{{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} , \\ \end{gathered} $
(3)
${{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{1}}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{2}}}}} = V,$
где n – вектор единичной нормали к границе, а $V$ – константа, однозначно определяемая решением задачи (ионосферный потенциал). С физической точки зрения уравнения (1) и (2) обеспечивают непрерывность полного тока в области ${\Omega }$ и баланс токов на поверхности ${{{\Gamma }}_{1}},$ а уравнения (3) описывают эквипотенциальность обеих компонент границы. Баланс токов на другой компоненте границы ${{{\Gamma }}_{2}}$ при этом выполняется автоматически: достаточно проинтегрировать уравнение (1) по области $\Omega {\text{,}}$ перейти к интегралу по границе и учесть условие (2). Отметим также, что правая часть соотношения (2) обычно обращается в ноль, поскольку плотность тока зарядки ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ отлична от нуля лишь внутри облаков с развитой электрической структурой; тем не менее в общих рассуждениях мы сохраняем этот интеграл на случай необходимости учета сторонних токов иной природы.

Чтобы добавить в систему полей и токов, определяемую уравнениями (1)–(3), возмущения, порождаемые источниками ионосферной природы, необходимо задать создаваемые этими источниками возмущения потенциала на внешней границе области $\Omega {\kern 1pt} {\text{.}}$ Для этого достаточно ввести во второе граничное условие в (3) функцию ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right),$ выражающую распределение потенциала на внешней границе атмосферы с точностью до константы. Легко видеть, что это эквивалентно заданию распределения тангенциальной компоненты электрического поля на поверхности ${{{\Gamma }}_{2}}.$ В результате получается следующая система уравнений:

(4)
${\text{div}}\left( {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right) = {\text{div\;}}{{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right),$
(5)
$\begin{gathered} \oint\limits_{{{{\Gamma }}_{1}}} {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}\varphi \left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} = \\ = \oint\limits_{{{{\Gamma }}_{1}}} {{{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} , \\ \end{gathered} $
(6)
${{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{1}}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{2}}}}} = {{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right) + U,$
где $U$ – константа, однозначно определяемая решением.

Можно показать, что задача (4)–(6) математически корректна, то есть ее решение $\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)$ существует и единственно при заданных $\sigma \left( {\mathbf{r}} \right),$ ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right).$ Строгое математическое доказательство этого приводится в работе Kalinin and Slyunyaev [2017], однако однозначность определения $\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)$ и $U$ можно продемонстрировать и классическим элементарным способом (см. Приложение A).

3. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ

В этом разделе мы описываем численную модель ГЭЦ для решения задачи (4)–(6), которая будет использоваться в дальнейшем.

Задача (4)–(6) представляет собой некоторый аналог задачи Дирихле для уравнения (4). Отличия от классической задачи Дирихле заключаются в том, что значения потенциала на одной из компонент границы задаются лишь с точностью до неизвестной аддитивной константы, а решение должно удовлетворять интегральному соотношению (5). Эти отличия связаны с топологией области $\Omega {\text{,}}$ диффеоморфной сферическому слою, и обеспечивают соответствие решения задачи фундаментальным уравнениям Максвелла [Калинин и др., 2014].

Однако при создании численной модели, решающей задачу (4)–(6), удобно свести эту задачу к классической задаче Дирихле. Нетрудно заметить, что решение задачи (4)–(6) может быть представлено как линейная комбинация решений задач

(7)
${\text{div}}\left( {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right) = {\text{div}}{\kern 1pt} {{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right),$
(8)
${{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{1}}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{2}}}}} = {{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$
и
(9)
${\text{div}}\left( {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right) = 0,$
(10)
${{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{1}}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{2}}}}} = 1.$
Действительно, если ${{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ – решение задачи (7), (8), а ${{\varphi }_{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ – решение задачи (9), (10), то решение исходной задачи (4)–(6) может быть представлено в виде
$\varphi \left( {\mathbf{r}} \right) = {{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right) + U{{\varphi }_{2}}\left( {\mathbf{r}} \right)$
с константой $U,$ определяемой из соотношения
$\begin{gathered} \oint\limits_{{{{\Gamma }}_{1}}} {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}~{{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} + \\ + \,\,U\oint\limits_{{{{\Gamma }}_{1}}} {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}~{{\varphi }_{2}}\left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} = \\ = \oint\limits_{{{{\Gamma }}_{1}}} {{{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \\ \end{gathered} $
(подобный подход применяли, например, Bayona et al. [2015]). На практике вместо последнего соотношения удобнее использовать эквивалентное ему соотношение на ${{{\Gamma }}_{2}},$ поскольку поверхность ${{{\Gamma }}_{2}}$ находится на большем удалении от облаков – источников ГЭЦ, нежели ${{{\Gamma }}_{1}},$ и, как следствие, значения нормальной компоненты тока проводимости $\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}{{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ на ней ведут себя более регулярно. Принимая во внимание равенство нулю стороннего тока ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ на ${{{\Gamma }}_{2}},$ получаем следующее соотношение для отыскания константы $U{\text{:}}$

(11)
$U = \frac{{ - \oint\limits_{{{{\Gamma }}_{2}}} {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}~{{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} }}{{\oint\limits_{{{{\Gamma }}_{2}}} {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}~{{\varphi }_{2}}\left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} }} \cdot $

Итак, для того чтобы решить задачу (4)–(6), достаточно решить задачи (7), (8) и (9), (10), а затем воспользоваться соотношением (11). На основе этих идей мы разработали новую численную модель ГЭЦ. Модель реализована на языке C++ с использованием библиотек deal.II (https:// www.dealii.org), PETSc (https://www.mcs.anl.gov/ petsc) и p4est (http://p4est.org). Библиотека deal.II [Alzetta et al., 2018; Bangerth et al., 2007] представляет собой набор классов для реализации метода конечных элементов, применяемого для решения задач (7), (8) и (9), (10); библиотеки PETSc и p4est используются библиотекой deal.II для решения получающейся разреженной системы линейных уравнений (фактически решаемая при этом подходе система уравнений приведена в Приложении B). Расчеты производятся на сетке типа “кубосфера”, получаемой при отображении кубического слоя с гексаэдральной сеткой в сферический слой. При этом высота ячеек в нижней части моделируемой атмосферы (ниже некоторого заданного уровня) одинакова, а выше возрастает в геометрической прогрессии.

4. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА

Описанный в предыдущих разделах подход и соответствующая ему численная модель позволяют отыскать распределение электрических полей и токов в атмосфере при любых заданных “входных данных”, в роли которых выступают распределение проводимости $\sigma \left( {\mathbf{r}} \right),$ распределение тока зарядки ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и распределение относительного потенциала на внешней границе ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right).$ Чтобы проиллюстрировать работу модели на конкретном примере, ниже мы рассмотрим модельную задачу о высокоширотном магнитосферном конвективном генераторе и оценим создаваемые им возмущения полей и токов.

4.1. Геометрия

Далее мы будем использовать сферическую систему координат $\left( {r,\vartheta ,\lambda } \right),$ в которой радиус $r$ отсчитывается от центра Земли, а полярный угол $\vartheta $ отсчитывается от оси геомагнитного диполя (азимутальный угол $\lambda $ характеризует геомагнитную долготу). Мы предполагаем, что модельная атмосфера $\Omega $ ограничена двумя концентрическими сферами – поверхностью Земли $r = {{R}_{{\text{E}}}}$ (${{{\Gamma }}_{1}}$) и нижней границей ионосферы $r = {{R}_{{\text{E}}}} + H$ (${{{\Gamma }}_{2}}$), где ${{R}_{{\text{E}}}} = 6370$ км – радиус Земли, а $H = 70$ км – высота модельной атмосферы.

4.2. Проводимость

Проводимость задается на основе несколько измененной параметризации из работы Slyunyaev et al. [2015]. Проводимость атмосферы определяется ионами, поэтому может быть выражена как

$\sigma = e\left( {{{\mu }_{ + }} + {{\mu }_{ - }}} \right)n,$
где $e$ – элементарный заряд, ${{\mu }_{ + }}$ и ${{\mu }_{ - }}$ – подвижности положительных и отрицательных ионов соответственно, а $n$ – равновесная концентрация ионных пар, определяемая из условия баланса процессов ионизации и ион-ионной рекомбинации:
$n = \sqrt {\frac{q}{\alpha }} ,$
где $q$ – скорость образования ионных пар, а $\alpha $ – коэффициент ион-ионной рекомбинации. Эффекты, связанные с прилипанием ионов к частицам аэрозоля и гидрометеорам, а также составляющая скорости образования ионных пар, связанная с выделением радона из земной коры, в данной работе не рассматриваются: для обсуждаемой задачи они не имеют большого значения.

Для параметризации скорости образования ионных пар $q$ мы используем параметризацию Slyunyaev et al. [2015, разд. 5.2.3 и прил. A], выражающую эту величину как функцию геомагнитной широты, высоты над поверхностью Земли, фазы солнечной активности, температуры и давления. Коэффициент ион-ионной рекомбинации выражается в терминах температуры и концентрации молекул воздуха по формуле из работы Tinsley and Zhou [2006, уравнения (6a)–(6c)]. Подвижности положительных и отрицательных ионов ${{\mu }_{ + }}$ и ${{\mu }_{ - }}$ выражаются как функции температуры и давления по формуле из Zhou and Tinsley [2007, уравнение(32)]. Температура, давление и концентрация оцениваются с помощью одномерной модели стандартной атмосферы U.S. Standard Atmosphere [1976]. Для определенности при дальнейших расчетах мы всюду используем распределение проводимости, соответствующее солнечному минимуму; отметим, что в этом случае $\sigma $ является функцией двух переменных $r$ и $\vartheta .$

4.3. Грозовые генераторы

При параметризации тока разделения зарядов в грозовых генераторах мы стремимся учесть тот факт, что облака, вносящие наибольший вклад в ГЭЦ, расположены в тропических областях. Поскольку угол между осью вращения Земли и осью геомагнитного диполя невелик, для простоты мы можем предположить, что облака – источники ГЭЦ занимают пояс, ограниченный значениями геомагнитной широты в ${\Delta }\vartheta = 10^\circ .$ Кроме того, в качестве первого приближения мы предполагаем структуру тока зарядки в облаках дипольной, границы области разделения зарядов (в которой плотность этого тока отлична от нуля) по высоте всюду одинаковыми и равными ${{h}_{1}} = 6$ км и ${{h}_{2}} = 11$ км, а величину плотности тока зарядки в этой области также постоянной и равной ${{j}_{0}}.$ Иными словами, в расчетах используется следующее распределение ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{:}}$

$\begin{gathered} j_{r}^{{{\text{ист}}}}\left( {r,\vartheta ,\lambda } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{j}_{0}},}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{h}_{1}} < r - {{R}_{{\text{E}}}} < {{h}_{2}},}&{\left| {\vartheta - 90^\circ } \right| < {\Delta }\vartheta ,} \end{array}} \\ {0,}&{{\text{иначе}};} \end{array}} \right. \\ j_{{\vartheta ,{\lambda }}}^{{{\text{ист}}}}\left( {r,\vartheta ,\lambda } \right) \equiv 0. \\ \end{gathered} $
В рамках описанной параметризации источники ГЭЦ занимают область значительно большей площади, чем реальные облака с развитой электрической структурой, присутствующие в атмосфере; иными словами, мы “усредняем” картину атмосферного электричества в окрестности экватора (что можно делать до тех пор, пока мы не ставим задачу детального изучения структуры полей и токов в этой области). В соответствии с этим, ${{j}_{0}}$ имеет смысл величины не реального, а эффективного тока зарядки. Полагая в задаче (4)–(6) ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right) \equiv 0,$ мы сведем ее к задаче (1)–(3); пользуясь линейностью последней задачи по ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right),$ мы можем подобрать конкретное значение ${{j}_{0}}$ на основании требования, чтобы модельный источник при заданной проводимости поддерживал реалистичное значение ионосферного потенциала $V = 240$ кВ. Оказывается, что для этого необходимо взять ${{j}_{0}} = 144$ пА/м2; это значение используется во всех расчетах, результаты которых приводятся ниже.

4.4. Ионосферные генераторы

В качестве примера ионосферных источников ГЭЦ мы рассмотрим упрощенное представление магнитосферного конвективного генератора, связанного со взаимодействием солнечного ветра с геомагнитным полем над полярными шапками [Volland, 1984, уравнения (11.9), (11.10)]. Мы будем предполагать, что ионосферные источники создают дополнительное распределение относительного потенциала ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ на ${{{\Gamma }}_{2}}$ вида

(12)
${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\vartheta ,\lambda } \right) = {{\varphi }_{0}}\sin \lambda \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\sin \vartheta }}{{\sin {{\vartheta }_{0}}}},}&{\vartheta < {{\vartheta }_{0}},} \\ {{{{\left( {\frac{{\sin {{\vartheta }_{0}}}}{{\sin \vartheta }}} \right)}}^{4}}k\left( \vartheta \right),}&{\vartheta \geqslant {{\vartheta }_{0}},} \end{array}} \right.$
где ${{\varphi }_{0}} = 15$ кВ, ${{\vartheta }_{0}} = 20^\circ $ и
$k\left( \vartheta \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,{\text{\;}}}&{\vartheta < 30^\circ ,} \\ {{{\left( {1 + \sin 3\vartheta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 + \sin 3\vartheta } \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2},}&{30^\circ \leqslant \vartheta < 90^\circ ,} \\ {0,}&{\vartheta \geqslant 90^\circ .} \end{array}} \right.$
Коэффициент $k\left( \vartheta \right)$ введен нами в формулы из книги Volland [1984] для обеспечения локализации возмущения в северном полушарии относительно геомагнитного экватора. Отметим, что усредненное по поверхности ${{{\Gamma }}_{2}}$ значение потенциала ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right),$ определяемого формулой (12), равно нулю; это означает, что константа $U$ в задаче (4)–(6) имеет смысл ионосферного потенциала (который мы можем определить как разность между средним потенциалом на ${{{\Gamma }}_{2}}$ и средним потенциалом на ${{{\Gamma }}_{1}}$).

5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Удобно, воспользовавшись линейностью задачи (4)–(6), представить ее в виде суперпозиции двух задач: задачи (1)–(3), в которой ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ отсутствует, а ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right) {\ne{\equiv}} 0,$ и задачи

(13)
${\text{div}}\left( {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right) = 0,$
(14)
$\oint\limits_{{{{\Gamma }}_{1}}} {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}\varphi \left( {\mathbf{r}} \right) \cdot {\mathbf{n}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{ds}}\left( {\mathbf{r}} \right)} = 0,$
(15)
${{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{1}}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{2}}}}} = {{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right) + W$
с неизвестной константой $W,$ в которой, напротив, ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right){\ne{\equiv}}0,$ а ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ отсутствует. В силу корректности задачи (4)–(6) ясно, что ее решение будет суммой решений задач (1)–(3) и (13)–(15), а неизвестная константа $U$ из (4)–(6) будет суммой неизвестной константы $V$ из (1)–(3) и неизвестной константы $W$ из (13)–(15). Аналогичные соотношения справедливы для производных от потенциала величин, в частности для компонент электрического поля.

Как уже было сказано выше, в задаче (1)–(3) мы подобрали значение стороннего тока грозовых генераторов ${{{\mathbf{j}}}^{{{\text{ист}}}}}$ так, чтобы выполнялось $V = 240$ кВ. В задаче (13)–(15) константа $W$ определяется внешним возмущением потенциала ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}},$ однако в случае возмущения, задаваемого уравнением (12), эта константа обязана быть равной нулю. Действительно, возмущение (12) меняет знак на противоположный при замене $\lambda \mapsto \lambda + \pi ,$ а проводимость не зависит от $\lambda ;$ тогда если $\varphi \left( {r,\vartheta ,\lambda } \right)$ с константой $W$ – решение задачи (13)–(15), то $ - \varphi \left( {r,\vartheta ,\lambda + \pi } \right)$ с константой $ - W$ тоже будет решением той же задачи, откуда в силу единственности решения $\varphi \left( {r,\vartheta ,\lambda } \right)$ = $ - \varphi \left( {r,\vartheta ,\lambda + \pi } \right)$ и $W = - W$, т.е. $W = 0.$ Наши расчеты согласуются с этим замечанием: в случае возмущения, задаваемого уравнением (12), рассчитанная с помощью модели $W$ имеет близкое к нулю значение на уровне погрешности.

Поскольку возмущение потенциала (12), связанное с рассматриваемым нами ионосферным генератором, сосредоточено главным образом в полярной шапке, вызванные этим генератором изменения структуры полей и токов также наиболее существенны именно в этой области. На рисунке 1a показан вертикальный профиль возмущения потенциала, отвечающего задаче (13)–(15), в расположенной недалеко от полюса точке $\vartheta = 5^\circ ,$ $\lambda = 90^\circ ,$ а на рис. 1б для сравнения показан вертикальный профиль невозмущенного потенциала, порожденного грозовыми генераторами и отвечающего задаче (1)–(3), в той же самой точке. Сравнение двух графиков показывает, что эти профили практически пропорциональны друг другу (иными словами, соответствующие относительные профили, отнормированные на максимальные значения потенциала, практически совпадают).

Рис. 1.

(a) – Вертикальный профиль возмущения потенциала, создаваемого ионосферными генераторами (без учета грозовых генераторов; задача (13)–(15)). (б) – Вертикальный профиль распределения потенциала, создаваемого грозовыми генераторами (без учета ионосферных генераторов; задача (1)–(3)). (в) – Вертикальный профиль $z$-компоненты возмущения электрического поля, создаваемого ионосферными генераторами (без учета грозовых генераторов; задача (13)–(15)). (г) – Вертикальный профиль $z$-компоненты электрического поля, создаваемого грозовыми генераторами (без учета ионосферных генераторов; задача (1)–(3)). (д) – Вертикальный профиль горизонтальной компоненты возмущения электрического поля, создаваемого ионосферными генераторами (без учета грозовых генераторов; задача (13)–(15)). Все профили построены для точки $\vartheta = 5^\circ ,$ $\lambda = 90^\circ .$ Штриховые линии показывают соответствующие профили потенциала, нормированные на максимальные значения величины поля и линейно преобразованные подходящим образом.

На рисунке 1 (панели в и д) сплошными линиями показаны профили соответствующих возмущений вертикальной и горизонтальной компонент электрического поля, а на рис. 1г – профиль вертикальной компоненты невозмущенного поля (горизонтальная компонента невозмущенного поля пренебрежимо мала; все профили построены для той же точки $\vartheta = 5^\circ ,$ $\lambda = 90^\circ $). Штриховые линии на этом рисунке показывают соответствующие профили потенциала, нормированные на максимальное значение величины электрического поля и линейно преобразованные подходящим образом. Из этого рисунка можно сделать три основных вывода. Во-первых, рис. 1в и рис. 1д показывают, что горизонтальная составляющая возмущения электрического поля в нижней атмосфере по величине значительно меньше вертикальной. Во-вторых, как видно из сравнения рис. 1в и рис. 1г, значения вертикальной компоненты возмущения электрического поля, вызванного ионосферными генераторами, почти пропорциональны соответствующим значениям вертикальной компоненты невозмущенного поля, создаваемого грозовыми генераторами. Это согласуется со сделанным выше замечанием о приблизительной пропорциональности невозмущенного профиля потенциала и профиля его возмущения. В-третьих, как ясно из рис. 1д, величина горизонтальной компоненты возмущения электрического поля имеет практически тот же относительный профиль, что и потенциал этого возмущения.

Последнее наблюдение косвенно подтверждается и сравнением картин возмущения, построенных для различных высот. На рисунке 2а показано распределение возмущения потенциала на внешней границе модельной атмосферы ${{{\Gamma }}_{2}}$ (т.е. на высоте в $70$ км), задаваемого функцией (12), а на рис. 2в показана картина линий горизонтальной составляющей возмущения поля, полученная путем взятия градиента от этой функции. Сравнивая рис. 2а и рис. 2в с рис. 2б и рис. 2г, изображающими рассчитанную картину возмущения потенциала и горизонтальной компоненты возмущения поля на высоте в $5$ км, мы убеждаемся в том, что структура внешнего возмущения, которое мы задали на наружной границе, попросту переносится в более низкие слои атмосферы. Это согласуется со сделанным выше замечанием о сходстве относительных профилей возмущения потенциала и горизонтальной компоненты возмущения поля (см. рис. 1д): оба этих профиля просто демонстрируют изменение амплитуды сохраняющего структуру возмущения с высотой.

Рис. 2.

(а) – Линии уровня возмущения потенциала на внешней границе модельной атмосферы ${{{\Gamma }}_{2}}$ ($r - {{R}_{{\text{E}}}} = 70$ км). Значения потенциала приведены в кВ. (б) – Линии уровня возмущения потенциала на поверхности $r - {{R}_{{\text{E}}}} = 5$ км. Значения потенциала приведены в кВ. (в) – Линии горизонтальной компоненты возмущения электрического поля на внешней границе ${{{\Gamma }}_{2}}.$ (г) – Линии горизонтальной компоненты возмущения электрического поля на поверхности $r - {{R}_{{\text{E}}}} = 5$ км. (д) – Линии уровня модуля горизонтальной компоненты возмущения электрического поля на поверхности $r - {{R}_{{\text{E}}}} = 5$ км. Значения электрического поля приведены в мВ/м. (е) – Линии уровня модуля $z$-компоненты возмущения электрического поля на поверхности $r - {{R}_{{\text{E}}}} = 5$ км. Значения электрического поля приведены в В/м. Во всех случаях речь идет о возмущениях потенциала и поля, создаваемых ионосферными генераторами (без учета грозовых генераторов; задача (13)–(15)).

На рисунке 2 (панели д и е) показаны распределения значений горизонтальной и вертикальной компонент возмущения электрического поля на высоте $5$ км. Видно, что поперечная составляющая возмущения поля существенно ниже вертикальной составляющей (обращаем внимание, что значения величины поля на рис. 2д и рис. 2е приведены в разных единицах), что согласуется с профилями на рис. 1в и рис. 1д, однако больший интерес представляет изучение структуры этих возмущений. Нетрудно видеть, что линии уровня возмущения вертикальной компоненты поля, изображенные на рис. 2е, практически совпадают с линиями уровня внешнего потенциала ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}},$ заданного уравнением (12) (см. рис. 2а). Это еще раз косвенно свидетельствует о том, что структура возмущения потенциала просто проецируется с внешней границы модельной атмосферы в нижележащие слои (и, как следствие, в эквипотенциальных точках вертикальные производные от потенциала тоже совпадают). Линии уровня возмущения горизонтальной компоненты электрического поля имеют несколько более сложную структуру, однако анализ показывает, что и эта структура переносится вниз с внешней границы и определяется градиентом внешнего потенциала ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}.$ В частности, это объясняет совпадение линий уровня возмущения поперечной компоненты поля с линиями уровня потенциала внутри круга $\vartheta < {{\vartheta }_{0}}.$ Действительно, элементарное вычисление на основе (12) показывает, что в круге $\vartheta < {{\vartheta }_{0}}$ компоненты поля на внешней границе ${{{\Gamma }}_{2}}$ определяются выражениями

$\begin{gathered} {{E}_{\vartheta }}\left( {\vartheta ,\lambda } \right) = \frac{1}{R}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \vartheta }}\left( {\vartheta ,\lambda } \right) = \frac{{{{\varphi }_{0}}\sin \lambda \cos \vartheta }}{{R\sin {{\vartheta }_{0}}}}, \\ {{E}_{{\lambda }}}\left( {\vartheta ,\lambda } \right) = \frac{1}{{R\sin \vartheta }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial \lambda }}\left( {\vartheta ,\lambda } \right) = \frac{{{{\varphi }_{0}}\cos \lambda }}{{R\sin {{\vartheta }_{0}}}}, \\ \end{gathered} $
где $R = {{R}_{{\text{E}}}} + H$ – радиус внешней границы, а тогда
$\begin{gathered} {{\left| {{{E}_{ \bot }}\left( {\vartheta ,\lambda } \right)} \right|}^{2}} = {{E}_{\vartheta }}{{(\vartheta ,\lambda )}^{2}} + {{E}_{{\lambda }}}{{(\vartheta ,\lambda )}^{2}} = \\ = \frac{{\varphi _{0}^{2}\left( {1 - {{{\sin }}^{2}}\lambda {{{\sin }}^{2}}\vartheta } \right)}}{{{{R}^{2}}{{{\sin }}^{2}}{{\vartheta }_{0}}}} = \frac{1}{{{{R}^{2}}}}\left( {\frac{{\varphi _{0}^{2}}}{{{{{\sin }}^{2}}{{\vartheta }_{0}}}} - {{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}{{{(\vartheta ,\lambda )}}^{2}}} \right), \\ \end{gathered} $
то есть внутри этого круга линии уровня поперечной компоненты возмущения поля и возмущения потенциала совпадают; такого же совпадения можно ожидать и в более низких слоях атмосферы ввиду наблюдаемого переноса структуры возмущения потенциала с внешней границы. Вычисление показывает, что в области $\vartheta > {{\vartheta }_{0}}$ рассчитанные линии уровня поперечной компоненты возмущения поля также определяются модулем градиента ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}};$ в окрестности окружности $\vartheta = {{\vartheta }_{0}}$ численная модель не позволяет достоверно построить линии уровня возмущения поперечной компоненты поля из-за крупных ячеек сетки. Отметим, что даже на внешней границе ${{{\Gamma }}_{2}}$ на этой окружности имеет место скачок величины поперечного возмущения поля.

6. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Наиболее примечательная особенность описанных в предыдущем разделе результатов расчетов состоит в том, что в области высоких широт возмущение структуры полей и токов, связанное с источниками ионосферной природы, переносится с внешней границы модельной атмосферы вниз (см. рис. 2а–2г и соответствующее обсуждение). Это наблюдение согласуется с существующими представлениями о проникновении в атмосферу возмущений ионосферного и магнитосферного происхождения. Проанализируем этот вопрос чуть более подробно.

Прежде всего отметим, что в соответствии со сделанным ранее замечанием при анализе задачи (13)–(15) в анализируемой нами ситуации (сферическая геометрия, $\sigma = \sigma \left( {r,\vartheta } \right),$ ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {{{R}_{{\text{E}}}} + H,\vartheta ,\lambda + \pi } \right)$ = = $ - {{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {{{R}_{{\text{E}}}} + H,\vartheta ,\lambda } \right)$) мы можем сразу считать, что $\varphi \left( {r,\vartheta ,\lambda } \right)$ = $ - \varphi \left( {r,\vartheta ,\lambda + \pi } \right)$ и $W = 0$ из соображений симметрии. Это означает, что уравнение (14) выполняется автоматически и задача сводится к решению уравнения (13) с граничными условиями

(16)
${{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{1}}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{2}}}}} = {{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right).$
Если переписать уравнение (13) в координатах, то мы получим
(17)
$\begin{gathered} \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {{{r}^{2}}\sigma \frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{\sin \vartheta }}\frac{\partial }{{\partial \vartheta }}\left( {\sigma \sin \vartheta \frac{{\partial \varphi }}{{\partial \vartheta }}} \right) + \\ + \,\,\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}\vartheta }}\frac{\partial }{{\partial \lambda }}\left( {\sigma \frac{{\partial \varphi }}{{\partial \lambda }}} \right) = 0. \\ \end{gathered} $
Согласно используемой нами параметризации, высотный профиль проводимости изменяется с широтой достаточно медленно, а в области высоких широт (выше $\sim {\kern 1pt} 60^\circ $) вообще не изменяется [Slyunyaev et al., 2015]. Нетрудно убедиться, что в этой области, где профиль проводимости не зависит от $\vartheta $ и $\lambda ,$ переносу структуры возмущения потенциала с внешней границы модельной атмосферы в ее нижние слои соответствует отбрасывание в уравнении (17) членов с производными по поперечным координатам. Действительно, такой перенос соответствует ситуации, когда вертикальный профиль потенциала просто масштабируется в зависимости от его значения на внешней границе, то есть мы, по сути, имеем дело с одномерной задачей (см. рис. 1a и рис. 1б).

Пусть ${{\varphi }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ – решение редуцированного уравнения

(18)
$\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {{{r}^{2}}\sigma \frac{{\partial {{\varphi }_{0}}}}{{\partial r}}} \right) = 0$
с теми же граничными условиями (16). Интегрированием последнего уравнения нетрудно установить, что
(19)
$\begin{gathered} {{\varphi }_{0}}\left( {r,\vartheta ,\lambda } \right) = {{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {{{R}_{{\text{E}}}} + H,\vartheta ,\lambda } \right) \times \\ \times \,\,{{\int\limits_{{{R}_{{\text{E}}}}}^r {\frac{{d\xi }}{{{{\xi }^{2}}\sigma \left( {\xi ,\vartheta ,\lambda } \right)}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\int\limits_{{{R}_{{\text{E}}}}}^r {\frac{{d\xi }}{{{{\xi }^{2}}\sigma \left( {\xi ,\vartheta ,\lambda } \right)}}} } {\int\limits_{{{R}_{{\text{E}}}}}^{{{R}_{{\text{E}}}} + H} {\frac{{d\xi }}{{{{\xi }^{2}}\sigma \left( {\xi ,\vartheta ,\lambda } \right)}}} }}} \right. \kern-0em} {\int\limits_{{{R}_{{\text{E}}}}}^{{{R}_{{\text{E}}}} + H} {\frac{{d\xi }}{{{{\xi }^{2}}\sigma \left( {\xi ,\vartheta ,\lambda } \right)}}} }}, \\ \end{gathered} $
из этой формулы наглядно видно, что в области высоких широт, где проводимость не зависит от $\vartheta $ и $\lambda ,$ решение задачи (16), (18) действительно характеризуется проецированием структуры распределения ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ в нижележащие слои атмосферы.

Таким образом, результаты наших расчетов можно интерпретировать как свидетельство в пользу близости решения задачи (16), (17) (или, что то же самое, задачи (13)–(15)) к ${{\varphi }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right).$ Если обозначить это решение через $\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)$ и представить его в виде $\varphi \left( {\mathbf{r}} \right) = {{\varphi }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right) + {{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right),$ то из (17) и (18) нетрудно получить уравнение для ${{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right){\text{:}}$

(20)
$\begin{gathered} {\text{div}}\left( {\sigma \left( {\mathbf{r}} \right){\text{grad}}{{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right) = \\ = - \left[ {\frac{1}{{{{r}^{2}}\sin \vartheta }}\frac{\partial }{{\partial \vartheta }}\left( {\sigma \sin \vartheta \frac{{\partial {{\varphi }_{0}}}}{{\partial \vartheta }}} \right)} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{1}{{{{r}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\vartheta }}\frac{\partial }{{\partial \lambda }}\left( {\sigma \frac{{\partial {{\varphi }_{0}}}}{{\partial \lambda }}} \right)} \right]\left( {\mathbf{r}} \right) \\ \end{gathered} $
с граничными условиями
${{\left. {{{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{1}}}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {{{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right|}_{{{{{\Gamma }}_{2}}}}} = 0.$
Как видно из формулы (19), правая часть (20) определяется горизонтальными производными от ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ и $\sigma \left( {\mathbf{r}} \right).$ В рассматриваемой нами задаче эти величины меняются достаточно медленно с изменением $\vartheta $ и $\lambda ,$ поэтому и правая часть (20) представляет собой малую величину. Если бы эта правая часть равнялась нулю, то мы бы имели ${{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right) \equiv 0$ в силу единственности решения; отсюда ввиду регулярности решения задачи ясно, что при малости правой части (20) в некотором смысле должно быть малым и решение ${{\varphi }_{1}}\left( {\mathbf{r}} \right).$ Это рассуждение качественно объясняет наблюдаемую в наших расчетах близость $\varphi \left( {\mathbf{r}} \right)$ к ${{\varphi }_{0}}\left( {\mathbf{r}} \right),$ хотя получить конкретные математические оценки, которые не были бы очень грубыми, в данном случае затруднительно. С другой стороны, вертикальный масштаб задачи $H = 70$ км значительно меньше характерных масштабов любых поперечных возмущений параметров; это также косвенно свидетельствует о том, что локально задача будет сводиться к одномерной, описываемой уравнением (18) с решением (19). Отметим, что к похожему выводу при рассмотрении подобной задачи пришли Денисенко и Помозов [2010].

Таким образом, в рассматриваемой нами модельной задаче (13)–(15) внешнее возмущение, сосредоточенное главным образом в полярной области, непосредственно проецируется в нижние слои атмосферы, а причина этого в конечном счете сводится к тому, что при медленном изменении параметров задачи в поперечном направлении задача становится квазиодномерной. Из общих соображений ясно, что квазиодномерное описание на основе (18) будет хорошо характеризовать задачу и в более общем случае (когда плавное внешнее возмущение не ограничено полярной областью). Однако, как видно из решения (19), вне полярных областей, где профиль проводимости зависит от $\vartheta $ и $\lambda ,$ возмущение ${{\varphi }_{{{\text{ист}}}}}\left( {\mathbf{r}} \right)$ при проецировании в нижележащие слои атмосферы может несколько искажаться.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Источники ГЭЦ ионосферной и магнитосферной природы могут быть естественным образом включены в распределенные численные модели ГЭЦ путем введения в граничные условия на внешней границе модельной атмосферы возмущения потенциала, задаваемого с точностью до неизвестной постоянной (или, эквивалентно, путем задания возмущения тангенциальной компоненты электрического поля). Расчеты показывают, что в полярных областях, где модельный профиль проводимости практически не зависит от широты и долготы, задаваемое возмущение потенциала проецируется в более низкие слои атмосферы, сохраняя свою структуру. Это является следствием квазиодномерности задачи в условиях медленного изменения всех параметров с широтой и долготой при приблизительно постоянном профиле проводимости. Пользуясь квазиодномерным приближением, возмущение, создаваемое внешними генераторами ГЭЦ, с хорошей точностью можно рассчитать аналитически во всей атмосфере; тем не менее рассмотренный в этой работе общий подход позволяет автоматически учитывать вклад этих источников при моделировании ГЭЦ в современных численных моделях наряду со вкладом грозовых генераторов.

Список литературы

  1. − Анисимов С.В., Мареев Е.А. Геофизические исследования глобальной электрической цепи // Физика Земли. № 10. С. 8–18. 2008.

  2. − Денисенко В.В., Помозов Е.В. Расчет глобальных электрических полей в земной атмосфере // Вычислительные технологии. Т. 15. № 5. С. 34–50. 2010.

  3. − Калинин А.В., Слюняев Н.Н., Мареев Е.А. и др. Стационарные и нестационарные модели глобальной электрической цепи: корректность, аналитические соотношения, численная реализация // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. Т. 50. № 3. С. 355–364. 2014.

  4. − Мареев Е.А. Достижения и перспективы исследований глобальной электрической цепи // УФН. Т. 180. № 5. С. 527–534. 2010.

  5. − Морозов В.Н. Модель нестационарного электрического поля в нижней атмосфере // Геомагнетизм и аэрономия. Т. 45. № 2. С. 268–278. 2005.

  6. − Морозов В.Н. Проникновение нестационарных ионосферных электрических полей в нижние слои атмосферы в модели глобальной электрической цепи // Геомагнетизм и аэрономия. Т. 58. № 1. С. 119–124. 2018.

  7. − Alzetta G., Arndt D., Bangerth W. et al. The deal.II library, Version 9.0 // J. Numer. Math. V. 26. № 4. P. 173–183. 2018.

  8. − Bangerth W., Hartmann R., Kanschat G. deal.II–A general purpose object-oriented finite element library // ACM Trans. Math. Softw. V. 33. № 4. 24. 2007.

  9. − Baumgaertner A.J.G., Thayer J.P., Neely III R.R. et al. Toward a comprehensive global electric circuit model: Atmospheric conductivity and its variability in CESM1(WACCM) model simulations // J. Geophys. Res. Atmos. V. 118. № 16. P. 9221–9232. 2013.

  10. − Baumgaertner A.J.G., Lucas G.M., Thayer J.P. et al. On the role of clouds in the fair weather part of the global electric circuit // Atmos. Chem. Phys. V. 14. № 16. P. 8599–8610. 2014.

  11. − Bayona V., Flyer N., Lucas G.M., Baumgaertner A.J.G. A 3-D RBF-FD solver for modeling the atmospheric global electric circuit with topography (GEC-RBFFD v1.0) // Geosci. Model Dev. V. 8. № 10. P. 3007–3020. 2015.

  12. − Browning G.L., Tzur I., Roble R.G. A global time-dependent model of thunderstorm electricity. Part I: Mathematical properties of the physical and numerical models // J. Atmos. Sci. V. 44. № 15. P. 2166–2177. 1987.

  13. − Dejnakarintra M., Inan U.S., Carpenter D.L. Transient tropospheric electric fields resulting from sudden changes in ionospheric conductivity // J. Geophys. Res. V. 90. № A12. P. 12 271–12 281. 1985.

  14. − Denisenko V.V., Ampferer M., Pomozov E.V. et al. On electric field penetration from ground into the ionosphere // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. V. 102. P. 341–353. 2013.

  15. − Denisenko V.V., Nesterov S.A., Boudjada M.Y. et al. A mathematical model of quasistationary electric field penetration from ground to the ionosphere with inclined magnetic field // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. V. 179. P. 527–537. 2018.

  16. − Dutra S.L.G., Gonzalez A.L.C., Gonzalez W.D. et al. Downward mapping of quasi-static ionospheric electric fields at low latitudes during fair weather // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. V. 54. № 3–4. P. 223–230. 1992.

  17. − Hays P.B., Roble R.G. A quasi-static model of global atmospheric electricity: 1. The lower atmosphere // J. Geophys. Res. V. 84. № A7. P. 3291–3305. 1979.

  18. − Jánský J., Pasko V.P. Charge balance and ionospheric potential dynamics in time-dependent global electric circuit model // J. Geophys. Res. – Space. V. 229. № 12. P. 10 184–10 203. 2014.

  19. − Jánský J., Lucas G.M., Kalb C. et al. Analysis of the diurnal variation of the global electric circuit obtained from different numerical models // J. Geophys. Res. Atmos. V. 122. № 23. P. 12906–12917. 2017.

  20. − Kalb C., Deierling W., Baumgaertner A. et al. Parameterizing total storm conduction currents in the Community Earth System Model // J. Geophys. Res. Atmos. V. 121. № 22. P. 13 715–13 734. 2016.

  21. − Kalinin A.V., Slyunyaev N.N. Initial-boundary value problems for the equations of the global atmospheric electric circuit // J. Math. Anal. Appl. V. 450. № 1. P. 112–136. 2017.

  22. − Kartalev M.D., Rycroft M.J., Papitashvili V.O. A quantitative model of the effect of global thunderstorms on the global distribution of ionospheric electrostatic potential // J. Atmos. Solar-Terr. Physics. V. 66. № 13–14. P. 1233–1240. 2004.

  23. − Kuo C.L., Lee L.C., Huba J.D. An improved coupling model for the lithosphere-atmosphere-ionosphere system // J. Geophys. Res. – Space. V. 119. № 4. P. 3189–3205. 2014.

  24. − Lucas G.M., Baumgaertner A.J.G., Thayer J.P. A global electric circuit model within a community climate model // J. Geophys. Res. Atmos. V. 120. № 23. P. 12 054–12 066. 2015.

  25. − Makino M., Ogawa T. Responses of atmospheric electric field and air–earth current to variations of conductivity profiles // J. Atmos. Terr. Phys. V. 46. № 5. P. 431–445. 1984.

  26. − Mareev E.A., Volodin E.M. Variation of the global electric circuit and ionospheric potential in a general circulation model // Geophys. Res. Lett. V. 41. № 24. P. 9009–9016. 2014.

  27. − Odzimek A., Lester M., Kubicki M. EGATEC: A new high-resolution engineering model of the global atmospheric electric circuit–Currents in the lower atmosphere // J. Geophys. Res. V. 115. № D18. D18207. 2010.

  28. − Park C.G. Downward mapping of high-latitude ionospheric electric fields to the ground // J. Geophys. Res. V. 81. № 1. P. 168–174. 1976.

  29. − Park C.G., Dejnakarintra M. Penetration of thundercloud electric fields into the ionosphere and magnetosphere: 1. Middle and subauroral latitudes // J. Geophys. Res. V. 78. № 28. P. 6623–6633. 1973.

  30. − Roble R.G., Hays P.B. A quasi-static model of global atmospheric electricity: 2. Electrical coupling between the upper and lower atmosphere // J. Geophys. Res. V. 84. № A12. P. 7247–7256. 1979.

  31. − Rycroft M.J., Harrison R.G., Nicoll K.A. et al. An overview of Earth’s global electric circuit and atmospheric conductivity // Space Sci. Rev. V. 137. № 1–4. P. 83–105. 2008.

  32. − Slyunyaev N.N., Mareev E.A., Zhidkov A.A. On the variation of the ionospheric potential due to large-scale radioactivity enhancement and solar activity // J. Geophys. Res. – Space. V. 120. № 8. P. 7060–7082. 2015.

  33. − Stansbery E.K., Few A.A., Geis P.B. A global model of thunderstorm electricity // J. Geophys. Res. V. 98. № D9. P. 16591–16603. 1993.

  34. − Tinsley B.A., Zhou L. Initial results of a global circuit model with variable stratospheric and tropospheric aerosols // J. Geophys. Res. V. 111. № D16. D16205. 2006.

  35. − U.S. Standard Atmosphere. Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office, 227 p. 1976.

  36. − Volland H. Mapping of the electric field of the Sq current into the lower atmosphere // J. Geophys. Res. V. 77. № 10. P. 1961–1965. 1972.

  37. − Volland H. Atmospheric Electrodynamics. Physics and Chemistry in Space Series. Berlin, Heidelberg: Springer, 208 p. 1984.

  38. − Werner D.H., Ferraro A.J. A finite difference solution of the polar electrojet current mapping boundary value problem // J. Geophys. Res. V. 96. № A2. P. 1369–1378. 1991.

  39. − Williams E., Mareev E. Recent progress on the global electrical circuit // Atmos. Res. V. 135–136. P. 208–227. 2014.

  40. − Williams E.R. The global electrical circuit: A review // Atmos. Res. V. 91. № 2–4. P. 140–152. 2009.

  41. − Wilson C.T.R. Investigations on lightning discharges and on the electric field of thunderstorms // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A. V. 221. P. 73–115. 1921.

  42. − Wilson C.T.R. The electric field of a thundercloud and some of its effects // Proc. Phys. Soc. London. V. 37. P. 32D–37D. 1924.

  43. − Zhou L., Tinsley B.A. Production of space charge at the boundaries of layer clouds // J. Geophys. Res. V. 112. № D11. D11203. 2007.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Геомагнетизм и аэрономия

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал