Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 1, стр. 76-82

ВВЕДЕНИЕ

Возникновение и степень проявления нелинейных эффектов при распространении акустических волн зависит от нелинейных свойств среды (объекта), исследуемой в процессе томографирования. Количественными характеристиками, отвечающими за нелинейные свойства (до третьего порядка, включительно) жидкой среды, являются акустические нелинейные параметры второго порядка ${{\varepsilon }_{2}}(\vec {r})$ и третьего порядка ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r}).$ Их можно ввести при разложении уравнения состояния $P = P(\rho )$ в ряд по малым отклонениям $\rho {\text{'}}(\vec {r},t)$ плотности среды $\rho (\vec {r},t) \equiv {{\rho }_{0}} + \rho {\text{'}}(\vec {r},t)$ от ее постоянного невозмущенного значения ${{\rho }_{0}}.$ Здесь $P(\vec {r},t) \equiv {{P}_{0}} + p(\vec {r},t)$ – полное давление, ${{P}_{0}}$ – его постоянное невозмущенное значение, $p(\vec {r},t)$ – акустическое давление. С точностью до величин третьего порядка малости (включительно) этот ряд имеет вид:

где ${{c}^{2}}(\vec {r}) = {{\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial \rho }}} \right)}_{{\rho = {{\rho }_{0}}}}}$ – квадрат скорости звука, $A = \frac{{{{\rho }_{0}}}}{{{{P}_{0}}}}{{c}^{2}}(\vec {r}),$ $B = \frac{{\rho _{0}^{2}}}{{{{P}_{0}}}}{{\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}P}}{{\partial {{\rho }^{2}}}}} \right)}_{{\rho = {{\rho }_{0}}}}},$ $C = \frac{{\rho _{0}^{3}}}{{{{P}_{0}}}}{{\left( {\frac{{{{\partial }^{3}}P}}{{\partial {{\rho }^{3}}}}} \right)}_{{\rho = {{\rho }_{0}}}}},$ ${{\varepsilon }_{2}}(\vec {r}) = 1 + \frac{B}{{2A}},$ ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r}) = \frac{C}{{6A}}.$

Знание акустических нелинейных параметров среды представляет большой интерес для задач медицинской диагностики. Такие параметры обладают более высоким относительным контрастом в патологически измененной биоткани (по сравнению со здоровой), чем линейные параметры – скорость звука, плотность биоткани и поглощение в ней [1].

ТРУДНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Восстановление нелинейных параметров возможно с помощью малого количества преобразователей за счет эффекта рассеяния звука на звуке при неколлинеарном взаимодействии кодированных первичных волн, зондирующих томографируемый объект [2–4]. Кодировка зондирующих сигналов может использоваться при томографировании линейных характеристик среды, например, скорости звука [5]. В рассматриваемой схеме нелинейного томографирования привлечение кодировки позволяет восстановить пространственное распределение в виде комбинации ${{\varepsilon }_{2}}(\vec {r})$ и ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r}),$ имея всего три излучателя (которые одновременно посылают первичные сигналы, нелинейно взаимодействующие в области томографирования) и один приемник [3, 4], регистрирующий нелинейно рассеянные сигналы на комбинационных частотах третьего порядка [6, 7]. Однако задача получения томограмм отдельно для ${{\varepsilon }_{2}}(\vec {r})$ и отдельно для ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r})$ усложняется тем, что регистрируемый комбинационный сигнал третьего порядка формируется за счет двух конкурирующих процессов, происходящих при нелинейном взаимодействии трех первичных волн. Это, во-первых, взаимодействие чисто третьего порядка и, во-вторых, двукратное взаимодействие второго порядка [6, 8].

Первый процесс представляет собой локальное (т.е. происходящее в одной и той же точке среды $\vec {r}$) взаимодействие трех зондирующих волн с образованием результирующего нелинейно рассеянного сигнала на комбинационных частотах третьего порядка. В силу локальности процесса такой комбинационный сигнал несет информацию о нелинейных параметрах ${{\varepsilon }_{2}}(\vec {r})$ и ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r})$ именно в данной точке. Значения ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r})$ для биотканей в настоящее время исследованы весьма слабо и поэтому представляют наибольший интерес при нелинейном томографировании третьего порядка. Именно в той части упомянутого комбинационного сигнала, которая соответствует так называемым физическим нелинейным вторичным источникам [6], представлена информация о ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r})$ в виде комбинированного нелинейного параметра $\varepsilon _{3}^{'}(\vec {r}) \equiv 2{{\left( {{{\varepsilon }_{2}}(\vec {r}) - 1} \right)}^{2}} - {{\varepsilon }_{3}}(\vec {r}).$

Второй процесс – нелокальный, поскольку он состоит из двух последовательных актов нелинейного взаимодействия второго порядка, которые могут происходить в различных точках среды. Поэтому в соответствующем нелинейно рассеянном сигнале третьего порядка содержится информация о ${{\varepsilon }_{2}}(\vec {r}\,{\text{'}})$ в различных точках $\vec {r}{\kern 1pt} {\text{'}},$ что чрезвычайно усложняет возможность определения значения ${{\varepsilon }_{2}}(\vec {r})$ в конкретной точке $\vec {r}.$ В то же время информация о ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r})$ в нем вообще отсутствует. Тем самым, вклад в поле на приемнике, обусловленный данным процессом, является мешающим.

Разделение вклада от упомянутых конкурирующих процессов в получаемую итоговую томограмму представляет одну из основных трудностей в задачах акустической нелинейной томографии третьего порядка [8]. Тем не менее кодирование всех трех первичных сигналов позволяет сделать второй конкурирующий процесс – двукратное взаимодействие второго порядка – квазилокальным и, как следствие, говорить о возможности получения томограмм отдельно для ${{\varepsilon }_{2}}(\vec {r})$ и ${{\varepsilon }_{3}}(\vec {r})$ [7, 8].

СПОСОБЫ КОДИРОВКИ СИГНАЛОВ И РЕЗУЛЬТАТЫ ОБРАБОТКИ

Было исследовано несколько способов кодировки зондирующих сигналов. Дело в том, что регистрируемый информативный сигнал третьего порядка имеет весьма малую амплитуду, по сравнению с первичными сигналами и даже с нелинейно рассеянными сигналами второго порядка. Это приводит к необходимости жесткого ограничения ширины частотной полосы спектра зондирующих сигналов, причем максимальная возможная ширина $\Delta f$ для каждого зондирующего сигнала определяется параметрами томографической схемы [4]. Тем самым, нужно выбрать наиболее подходящий способ кодировки, как с точки зрения практической реализации зондирующего сигнала с учетом требования жесткой локализации спектра в полосе $\Delta f,$ так и с точки зрения качества получаемого изображения.

Первый исследованный и использованный в экспериментах [2, 4] способ кодировки – фазоманипулированный сигнал. Для его формирования монохроматический сигнал исходно кодируется псевдослучайной последовательностью, которая задается произвольным количеством элементов. Каждый элемент последовательности принимает одно из двух значений (“1” либо “–1”), и ему сопоставляется кодовый интервал с длительностью ${{\tau }^{{code}}}.$ При наступлении каждого нового кодового интервала, фаза исходного монохроматического сигнала либо не изменяется (в случае значения кодирующей последовательности “1”), либо изменяется на π (в случае значения “–1”). Спектр сигнала, кодированного таким способом, не имеет изначально хорошей локализации (рис. 1а), и поэтому при формировании излучаемого сигнала такой спектр необходимо предварительно профильтровать, оставив компоненты лишь в заданной частотной полосе $\Delta f.$

Поэтому встает вопрос об оптимальной длительности кодового интервала ${{\tau }^{{code}}}$ для исходного фазоманипулированного сигнала до фильтрации. Другими словами, требуется определить, какое количество периодов n на центральной частоте сигнала ${{f}_{0}}$ должно укладываться на протяжении кодового интервала при заданном максимально допустимом значении $\Delta f,$ т.е. $n \equiv {{\tau }^{{code}}}{{f}_{0}}.$ Так, с одной стороны, увеличение длительности кодового интервала ${{\tau }^{{code}}}$ приводит к сужению ширины спектра исходного фазоманипулированного сигнала, и можно добиться, чтобы существенная часть этого спектра лежала внутри заданной полосы $\Delta f.$

Например, количество периодов, при котором ширина центрального “лепестка” спектра фазоманипулированного сигнала практически совпадает с шириной $\Delta f,$ определяемой параметрами схемы, составляет $n = {{2{{f}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{f}_{0}}} {\Delta f}}} \right. \kern-0em} {\Delta f}}.$ Однако, чем длиннее кодовый интервал ${{\tau }^{{code}}},$ тем меньше при фиксированной длительности излучения сложность излучаемого зондирующего сигнала (т.е. полное количество элементов в последовательности, кодирующей излучаемый сигнал); как следствие, ухудшается разрешающая способность итоговой томограммы [4]. С другой стороны, если, наоборот, уменьшать ${{\tau }^{{code}}},$ то ширина центрального “лепестка” спектра исходного сигнала будет увеличиваться. Тогда фильтрация этого спектра прямоугольным “окном” (края “окна” сглаживаются) с заданной шириной $\Delta f,$ – фильтрация выполняется для формирования излучаемого сигнала, – будет приводить к потере тем большей части кодовой информации, чем меньше ${{\tau }^{{code}}}.$ Следовательно, нужен компромиссный вариант для значения ${{\tau }^{{code}}},$ при котором обеспечивается приемлемая разрешающая способность.

Численным моделированием было найдено, что наиболее подходящим является количество периодов $n \approx {{{{f}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{0}}} {(1.5\Delta f)}}} \right. \kern-0em} {(1.5\Delta f)}}$ (n округляется до целого значения), как наиболее сбалансированное (рис. 1а). Это значение n, эквивалентное длительности кодового интервала ${{\tau }^{{{\text{code}}}}} \approx {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(1.5\Delta f)}}} \right. \kern-0em} {(1.5\Delta f)}},$ индивидуально для каждого излучаемого сигнала как зависящее от параметров данного сигнала ${{f}_{0}}$ и $\Delta f.$

В рассмотренном выше случае исходного фазоманипулированного сигнала фильтрация приводит к отсечению периферийной части спектра этого сигнала (рис. 1а) и, следовательно, к потере определенной части кодовой информации. Кроме того, необходимо обеспечить это отсечение с высокой степенью точности; в противном случае остатки компонент спектра, которые, в идеале, должны быть отфильтрованы, могут порождать сильные мешающие сигналы в рабочей полосе принимаемого сигнала третьего порядка. Данное обстоятельство предъявляет повышенные требования к практической реализации процедуры фильтрации, особенно с помощью аналоговых устройств. Более целесообразно использовать тот способ кодировки исходного сигнала, который изначально дает хорошо локализованный спектр. Ниже рассматриваются два таких способа: формирование исходного сигнала, во-первых, в виде суммы модулированных по фазе сигналов с sinc-образной огибающей и, во-вторых, в виде случайного шума, спектр которого программно фильтруется в заданной полосе $\Delta f.$

Исходный sinc-модулированный сигнал формируется как функция времени t в виде $\sum\nolimits_{m = 1}^M {{{Z}_{m}}{\text{sinc}}} \left\{ {\pi \Delta f(t - {{\tau }^{{code}}}m)} \right\}\exp \left\{ { - i2\pi {{f}_{0}}(t - {{\tau }^{{code}}}m)} \right\},$ где m – порядковый номер текущего кодового интервала, M – общее количество кодовых интервалов в последовательности, ${{Z}_{m}}$ – значение (“1” либо “–1”) текущего элемента псевдослучайной последовательности. Каждому новому кодированному интервалу сопоставляется центральный пик отдельной sinc-образной огибающей. Значение ${{Z}_{m}}$ элемента псевдослучайной последовательности определяет фазу (0 при ${{Z}_{m}} = 1;$ π при ${{Z}_{m}} = - 1$), которая сопоставляется текущей sinc-образной огибающей. Спектр такого сигнала четко локализован именно в той полосе частот от $\left( {{{f}_{0}} - {{\Delta f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta f} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)$ до $\left( {{{f}_{0}} + {{\Delta f} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta f} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right),$ в которой может присутствовать спектр зондирующего сигнала (рис. 1б).

В случае использования шумового сигнала исходно генерируется случайная последовательность как функция времени. Далее ее спектр программно фильтруется прямоугольным “окном” со сглаженными краями и шириной $\Delta f$ (внешний вид такого профильтрованного спектра аналогичен рис. 1б), после чего делается обратный переход во временное представление.

При численном моделировании использовались параметры реальной томографической схемы [7, 9]. Так, спектры трех кодированных зондирующих волн были представлены частотами ${{f}_{1}},{{f}_{2}} \in (1.55 - 1.8)$ МГц, ${{f}_{3}} \in (2.075 - 2.325)$ МГц; углы между акустической осью приемника (ее положение соответствует углу 0°) и акустическими осями трех излучателей составляли соответственно ${{\beta }_{1}} = 33^\circ ,$ ${{\beta }_{2}} = - 104^\circ ,$ ${{\beta }_{3}} = - 19^\circ .$ Длительность кодового интервала определялась количеством периодов $n = 4,4,5$ для соответствующих зондирующих сигналов. Приемником с центром в точке $\vec {y}$ регистрировался сигнал $p(\vec {y},t)$ на суммарно-разностных комбинационных частотах ${{f}_{{ + \, - }}} = {{f}_{1}} + {{f}_{2}} - {{f}_{3}},$ где ${{f}_{{ + \, - }}} \in (0.9 - 1.4)$ МГц. Надо заметить, что в имеющейся экспериментальной установке используются излучатели и приемник цилиндрической формы. Однако благодаря специально разработанной системе акустических конических зеркал [4, 10] излучаемые цилиндрические волны превращаются в области томографирования в плоские волны с волновыми векторами ${{\vec {k}}_{1}},$ ${{\vec {k}}_{2}},$ ${{\vec {k}}_{3}}.$ Фиксированные направления этих векторов описываются соответствующими углами $(180^\circ + {{\beta }_{1}}),$ $(180^\circ + {{\beta }_{2}}),$ $(180^\circ + {{\beta }_{3}}).$ Сигнал, идущий из области томографирования, проходит через ту же систему зеркал и попадает на цилиндрический приемник.

Для сравнения трех способов кодировки излучаемых зондирующих сигналов – фазоманипулированного, sinc-модулированного и фильтрованного шумового – были выбраны модели двумерных нелинейных рассеивателей в виде одиночного точечного рассеивателя (рис. 2, 3) и в виде различно ориентированных полос (рис. 4). Фиксировалась реализация случайной последовательности, и на ее основе формировался исходный сигнал, соответствующий каждому из рассмотренных способов кодировки. Далее численно моделировался сигнал третьего порядка на приемнике $p(\vec {y},t),$ причем учитывался только один вид нелинейных вторичных источников – физические источники чисто третьего порядка [6]. Тогда корреляционная обработка (типа согласованной фильтрации) принимаемого сигнала дает оценку $\hat {\varepsilon }_{3}^{'}(\vec {r})$ комбинированного нелинейного параметра $\varepsilon _{3}^{'}(\vec {r})\,:$

где ${{p}_{{({\text{C}})}}}(\vec {y},t) \equiv p(\vec {y},t) - i{{p}_{{\text{H}}}}(\vec {y},t)$ – комплексная аналитическая версия принятого сигнала $p(\vec {y},t);$ ${{p}_{{\text{H}}}}(\vec {y},t)$ – функция, гильбертово сопряженная (по времени) к $p(\vec {y},t).$ Комплексная аналитическая версия сигнала сравнения ${{p}_{{ + \, - \,\delta ({\text{C}})}}}(\left. {\vec {y}} \right|\vec {r};t)$ вычисляется предварительно как нелинейно рассеянный сигнал, приходящий на приемник от одиночного точечного нелинейного рассеивателя, находящегося в фиксированной точке $\vec {r}$ [3, 4]. В сигнале сравнения присутствуют, по его построению, комбинационные частоты, соответствующие только одному задаваемому виду комбинации первичных частот, – в данном случае, ${{f}_{{ + \, - }}} = {{f}_{1}} + {{f}_{2}} - {{f}_{3}}.$

Рассматривались различные реализации случайных последовательностей, на основе которых формировались кодированные зондирующие сигналы. Оказалось, что томограммы, получаемые в результате обработки (1), не имеют сколько-нибудь принципиальных различий при рассмотренных трех способах кодировки. Тем самым, на практике можно использовать тот вид кодировки, который удобнее реализовать с помощью имеющейся аппаратуры. Ниже обсуждаются характерные особенности томограмм, и приводятся их изображения (рис. 2–4) для способа формирования кодированных первичных сигналов в виде фильтрованного шума при фиксированной длительности сигнала на приемнике 0.06 с. Шаг пространственной дискретизации при решении прямой и обратной задач составлял ${{\lambda _{{ + \, - }}^{0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\lambda _{{ + \, - }}^{0}} 5}} \right. \kern-0em} 5},$ где $\lambda _{{ + \, - }}^{0}$ – длина волны, соответствующая центральной частоте $f_{{ + \, - }}^{0}$ в рабочем диапазоне принимаемых частот ${{f}_{{ + \, - }}} = {{f}_{1}} + {{f}_{2}} - {{f}_{3}}.$

Одиночному точечному нелинейному рассеивателю, помещенному в начало координат, сопоставлялось значение комбинированного нелинейного параметра $\varepsilon _{3}^{'} = 12.$ Откликом (1) на этот рассеиватель является томограмма в виде ограниченного “пятна” (рис. 2а), размеры которого определяют разрешающую способность томографической системы в соответствующем направлении. Надо обратить внимание, что на рис. 2а (и далее на рис. 3а и 4) в качестве оценки изображена, на самом деле, действительная часть $\operatorname{Re} \hat {\varepsilon }{{_{3}^{'}}_{3}}(\vec {r}),$ поскольку априори известно, что восстанавливаемые акустические нелинейные параметры являются действительными величинами. В рассматриваемом случае точечного нелинейного рассеивателя и трех кодированных зондирующих волн получилось ${{{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Im} \hat {\varepsilon }_{3}^{'}(\vec {r})} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Im} \hat {\varepsilon }_{3}^{'}(\vec {r})} \right|} {{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Re} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|}}} \right. \kern-0em} {{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Re} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|}} \approx 0.22$ при упомянутой длительности обрабатываемого сигнала для всех способов кодировки и всех реализациях случайных последовательностей.

Для сравнения на рис. 3а приведен отклик на тот же рассеиватель, для случая, когда среди трех первичных волн две кодированы (с прежними частотными полосами), а третья – монохроматическая (с частотой $f_{3}^{0} = 2.\,2$ МГц, равной центральной частоте кодированной третьей волны в предшествующем случае); ${{{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Im} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Im} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|} {{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Re} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|}}} \right. \kern-0em} {{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Re} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|}} \approx 0.27.$ Из сравнения рис. 2а и рис. 3а видны преимущества замены третьей монохроматической волны на кодированную: “пятно” отклика становится более четко локализованным, нежелательные отрицательные флуктуации этого отклика уменьшаются, и ${{{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Im} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Im} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|} {{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Re} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|}}} \right. \kern-0em} {{{{\max }}_{{\vec {r}}}}\left| {\operatorname{Re} \hat {\varepsilon }{{{_{3}^{'}}}_{3}}(\vec {r})} \right|}}$ также уменьшается.

“Пятно” отклика на рис. 2а и 3а вытянуто вдоль оси $Oy$, т.е. разрешающая способность в этом направлении хуже. Это взаимнооднозначно связано с той областью компонент пространственного спектра $\tilde {\varepsilon }_{3}^{'}(\vec {K})$ рассеивателя $\varepsilon _{3}^{'}(\vec {r}),$ которая доступна для восстановления в данном томографическом эксперименте, т.е. при заданных угловых позициях приемного и излучающих преобразователей и при заданных рабочих частотных полосах излучаемых и принимаемого сигналов. Так, область локализации и плотность для векторов $\vec {K}$ восстанавливаемой части пространственного спектра, в предположении одинаковой амплитуды всех спектральных составляющих первичных волн, получается перебором частот излучаемых волн (${{f}_{1}},$ ${{f}_{2}},$ ${{f}_{3}}$) с учетом рабочей полосы информативных принимаемых частот ${{f}_{{ + \, - }}} = {{f}_{1}} + {{f}_{2}} - {{f}_{3}}$ при фиксировании направлений волновых векторов первичных волн (${{\vec {k}}_{1}},$ ${{\vec {k}}_{2}},$ ${{\vec {k}}_{3}}$) и принимаемого сигнала ${{\vec {k}}_{{ + \, - }}}.$ Здесь $\vec {K} = {{\vec {K}}_{{ + \, - }}}$ ≡ ${{\vec {k}}_{{ + \, - }}} - ({{\vec {k}}_{1}} + {{\vec {k}}_{2}} - {{\vec {k}}_{3}}),$ где $\left| {{{{\vec {k}}}_{1}}} \right| = {{2\pi {{f}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{f}_{1}}} {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}},$ $\left| {{{{\vec {k}}}_{2}}} \right| = {{2\pi {{f}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{f}_{2}}} {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}},$ $\left| {{{{\vec {k}}}_{3}}} \right| = {{2\pi {{f}_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{f}_{3}}} {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}},$ $\left| {{{{\vec {k}}}_{{ + \, - }}}} \right| = {{2\pi {{f}_{{ + \, - }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{f}_{{ + \, - }}}} {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}};$ ${{c}_{0}}$ – скорость звука [3].

Шкала на рис. 2в и 3в отражает нормированное (на свое максимальное значение) количество реализаций, формирующих фиксированный вектор пространственной частоты ${{\vec {K}}_{{ + \, - }}}.$ Пространственно-спектральная плотность векторов $\vec {K}$ внутри такой области неоднородна в случае трех кодированных первичных волн (рис. 2в; волновое число $k_{{ + \, - }}^{0}$ соответствует центральной частоте $f_{{ + \, - }}^{0}$). В то же время в случае третьей монохроматической первичной волны эта плотность будет одинаковой (рис. 3в), причем при любых (не обязательно совпадающих) центральных частотах и ширинах рабочих частотных полос двух первичных кодированных волн. Пространственный спектр $\hat {\tilde {\varepsilon }}_{3}^{'}(\vec {K})$ оценки $\hat {\varepsilon }_{3}^{'}(\vec {r})$ точечного нелинейного рассеивателя с учетом реального спектра излучаемых сигналов представлен на рис. 2б и 3б.

Другой нелинейный рассеиватель задавался в виде четырех полос с постоянным значением $\varepsilon _{3}^{'} = 12$ внутри них. Полосы располагались на фоне с $\varepsilon _{3}^{'} \equiv 0$ под углами 0°, 45°, 90° и 135° по отношению к направлению приема; ширина и длина каждой полосы составляли $4.2\lambda _{{ + \, - }}^{0}$ и $20.2\lambda _{{ + \, - }}^{0},$ соответственно (рис. 4, штриховые линии). Данная модель позволяет проиллюстрировать качество восстановления различно ориентированных деталей нелинейного рассеивателя в случае трех кодированных первичных волн (см. рис. 4, на котором приведенная оценка $\hat {\varepsilon }_{3}^{'}$ пронормирована на свое максимальное значение). Для обеспечения более точных значений оценки нужна пространственная фильтрация полученной функции $\hat {\varepsilon }_{3}^{'}(\vec {r}),$ предполагающая нормировку компонент ее пространственного спектра $\hat {\tilde {\varepsilon }}{{_{3}^{'}}_{3}}(\vec {K})$ с помощью пространственного спектра оценки одиночного рассеивателя (рис. 2б).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, целесообразность выбора того или иного способа кодировки определяется, в первую очередь, имеющимися техническими возможностями излучения и приема сигналов в заданных частотных полосах с заданной точностью [4, 7, 10]. Так, к преимуществам использования фазоманипулированного сигнала относится, во-первых, возможность его генерации на основе обычного генератора гармонического сигнала и программируемой логики. Во-вторых, для вычисления сигнала сравнения в процессе обработки (1) достаточно иметь лишь малый объем информации о кодирующей М-последовательности, а передавать в ЭВМ непосредственно весь излучаемый сигнал излишне. Недостатком же является необходимость аналоговой фильтрации спектра сигнала. В то же время преимуществом sinc-модулированного сигнала и сигнала в виде профильтрованного случайного шума является уже изначально ограниченный спектр. К недостаткам относится использование относительно дорогого генератора сигнала произвольной формы, а также необходимость формировать и запоминать излучаемый сигнал целиком в памяти компьютера. Имеющаяся в настоящее время экспериментальная установка [7, 9] позволяет, в принципе, реализовать любой из упомянутых способов кодировки, причем использование фильтрованного шумового сигнала представляется наиболее удобным.

Работа поддержана грантом РФФИ № 16-29-02097 офи_м.