Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 1, стр. 28-31

ВВЕДЕНИЕ

Двух- и трехкомпонентные солитоны в среде с квадратичной нелинейностью исследуются с 1974 года, когда впервые была продемонстрирована возможность их существования [1]. Первые работы касались случаев (1 + 1) D. Притягательность многокомпонентных многомерных солитонов при квадратичной нелинейности связана с их устойчивостью и более низким порогом возбуждения по сравнению с солитонами при кубической нелинейности [2].

Устойчивость световых пучков при квадратичной нелинейности исследовалась либо аналитически с помощью вариационного подхода, либо численно [3, 4]. Показана устойчивость пространственно-временных солитонов при условии, что импульсы на основной и второй гармониках распространяются в режиме аномальной дисперсии. Недавно мы разработали подробную теорию “дышащих” световых пуль, распространяющихся в среде с аномальной дисперсией [5, 6].

Чтобы создать полностью локализованные волны в режиме нормальной дисперсии, необходимо компенсировать как линейные эффекты дифракции, так и дисперсию и нелинейный эффект. Хорошо известна замечательная способность волноводов поддерживать устойчивые солитонные структуры [3]. Геометрия волновода может играть фокусирующую или дефокусирующую роль и конкурировать с тенденциями растяжения.

В настоящей работе мы анализируем возможность образования и устойчивого распространения световых пуль в плоском волноводе с квадратичной нелинейностью. Значительное внимание уделяется режиму нормальной дисперсии на обеих частотах, соответствующих видимому частотному диапазону излучения.

Как известно, распространение оптического импульса-пучка в среде с кубичной нелинейностью может сопровождаться пространственно-временным коллапсом, характер которого зависит от входных параметров. Одним из примеров нелинейного механизма, который может остановить коллапс и способствовать генерации устойчивых пространственно-временных солитонов, так называемых световых пуль, является использование среды с насыщающей нелинейностью [1].

По сравнению с солитонами на кубичной нелинейности многомерные солитоны на квадратичной нелинейности характеризуются гораздо более высокой устойчивостью и низким порогом генерации. Основные ограничения на возможность формирования оптических пуль в однородной среде связаны с видом дисперсии, от которого зависит, является ли среда фокусирующей или дефокусирующей.

В [2] было показано, что при переходе к волноводной геометрии, помимо конкуренции между нелинейностью, дисперсией и дифракцией, важную роль начинают играть фокусирующие свойства волновода. Для волновода с параболическим профилем показателя преломления приближенное аналитическое решение в виде двухкомпонентной оптической пули было получено как для случая аномальной, так и для случая нормальной дисперсии. Однако, поскольку параболическая функция асимптотически неограниченно возрастает, данное решение применимо для случая узких пучков. Реальные волноводы создают сильное изменение показателя преломления в центре, на периферии показатель волновода существенно не меняется. В случае, когда размер пучка сопоставим с размером волновода, этот факт необходимо учитывать.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В настоящей работе в геометрию волновода с квадратичной нелинейностью вводится насыщение, при котором вблизи центра волновода поперечный профиль показателя преломления остается параболическим, а на периферии выходит на константу. Этот случай лучше соответствует реальным ситуациям, нежели параболический профиль. Импульсный режим генерации второй гармоники в таком волноводе при совместном влиянии дифракции и дисперсии описывается следующей системой уравнений для комплексных амплитуд основной частоты ${{\psi }_{1}}$ и второй гармоники ${{\psi }_{2}}\,:$

Здесь $n_{{1,2}}^{{}}$ – показатели преломления на первой и второй гармониках в центре волновода; $\beta _{2}^{{(1,2)}}$ – коэффициенты дисперсии групповой скорости (ДГС), зависящие от показателя преломления ${{n}_{{1,2}}}(\omega );$ $\tau = t - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\upsilon }_{{g1}}}}} + \frac{1}{{{{\upsilon }_{{g2}}}}}} \right)z;$ ${{\gamma }_{1}} = \frac{{4\pi \omega }}{{c{{n}_{1}}}}{{\chi }_{2}}\left( { - \omega ;2\omega } \right)$ и ${{\gamma }_{2}} = \frac{{4\pi \omega }}{{c{{n}_{2}}}}{{\chi }_{2}}\left( {\omega ;\omega } \right)$ – коэффициенты квадратичной нелинейности, пропорциональные восприимчивости второго порядка; $\Delta k = 2\omega {{\left( {{{n}_{1}} - {{n}_{2}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{n}_{1}} - {{n}_{2}}} \right)} c}} \right. \kern-0em} c}$ – фазовая расстройка; $c$ – скорость света в вакууме; $\omega $ – несущая частота основной гармоники; $\delta = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\upsilon }_{{g1}}}}} - \frac{1}{{{{\upsilon }_{{g2}}}}}} \right)$ – расстройка групповых скоростей. Коэффициенты ${{\alpha }_{{1,2}}} = \frac{{n_{{1,2}}^{2} - 1}}{{2c{{n}_{{1,2}}}}}$ и ${{q}_{{1,2}}} = \omega {{\alpha }_{{1,2}}}$ отвечают за свойства волновода; ${{a}_{{1,2}}}$ – характерные размеры неоднородности волновода, ${{\varepsilon }_{{1,2}}} = + 1$ соответствует дефокусирующему волноводу, а ${{\varepsilon }_{{1,2}}} = - 1$ – фокусирующему.

Ниже считаем, что, вообще говоря, характерные размеры поперечной неоднородности волновода ${{a}_{1}}$ и ${{a}_{2}}$ различны для основной частоты и второй гармоники. Рассмотрим случай равенства фазовых и групповых скоростей $\Delta k = 0,$ ${{n}_{1}} = {{n}_{2}} = n,$ $\delta = 0,$ ${{\upsilon }_{1}} = {{\upsilon }_{2}} = \upsilon ,$ $\tau = t - {z \mathord{\left/ {\vphantom {z \upsilon }} \right. \kern-0em} \upsilon }.$ Дисперсионные коэффициенты будем считать связанными соотношением $\beta _{2}^{{(2)}} = 2\beta _{2}^{{(1)}}.$ Известно, что в одномерном случае существует солитонное решение вида ${{\psi }_{{1,20}}} = E{{\operatorname{ch} }^{{ - 2}}}({x \mathord{\left/ {\vphantom {x {{{r}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{x}}}}){\kern 1pt} $ [7]. В многомерном случае солитонное решение без волновода существует только при аномальной дисперсии ($\beta _{2}^{{(1,2)}} < 0$). В случае нормальной дисперсии ($\beta _{2}^{{(1,2)}} > 0$) для образования оптической пули необходимо компенсирующее воздействие, например, волновод. Мы рассматриваем случаи, когда волновод имеет параболический профиль и профиль с насыщением.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

При численном моделировании уравнения (1), (2) были обезразмерены следующим образом: ${{\psi }_{1}} = {{B}_{1}}{{A}_{0}},$ ${{\psi }_{2}} = {{B}_{2}}{{A}_{0}},$ $z = \bar {z}{{l}_{{nl}}},$ $x = \bar {x}{{R}_{0}},$ ${{a}_{{1,2}}} = \overline {{{a}_{{1,2}}}} {{R}_{0}},$ $\tau = \bar {\tau }{{\tau }_{0}},$ $\Delta \bar {k} = \Delta k{{L}_{{nl}}},$ $\delta = \frac{{\bar {\delta }{{\tau }_{0}}}}{{{{L}_{{{\text{nl}}}}}}},$ ${{\alpha }_{{1,2}}} = {{\bar {\alpha }}_{{1,2}}}{{\tau }_{0}}L_{{nl}}^{{ - 1}},$ ${{q}_{{1,2}}} = {{\bar {q}}_{{1,2}}}L_{{nl}}^{{ - 1}},$ где ${{A}_{0}}$ – пиковая амплитуда основной гармоники. Здесь введены следующие характерные длины: длина дисперсионного расплывания ${{L}_{{dis}}} = \frac{{2\tau _{0}^{2}}}{{\left| {\beta _{2}^{{(1)}}} \right|}},$ дифракционная длина ${{L}_{D}} = \frac{{{{n}_{1}}\omega }}{c}R_{0}^{2},$ нелинейная длина ${{L}_{{nl}}} = \frac{1}{{{{\gamma }_{1}}A{}_{0}}}.$ Безразмерные коэффициенты имеют следующий вид: ${{D}_{{aj}}} = \frac{{R_{0}^{2}}}{{a_{j}^{2}}}\overline {{{\alpha }_{j}}} {\text{sign}}\left( {{{\varepsilon }_{j}}} \right),$ ${{D}_{{qj}}} = \frac{{R_{0}^{2}}}{{a_{j}^{2}}}\overline {{{q}_{j}}} {\text{sign}}\left( {{{\varepsilon }_{j}}} \right),$ $\bar {\gamma } = \frac{{{{\gamma }_{2}}}}{{{{\gamma }_{1}}}},$ ${{D}_{{\tau 1}}} = {\text{sign}}\left( {\beta _{2}^{{(1)}}} \right)\frac{{{{L}_{{nl}}}}}{{{{L}_{{dis}}}}},$ ${{D}_{{\tau 2}}} = {\text{sign}}\left( {\beta _{2}^{{(2)}}} \right)\left| {\frac{{\beta _{2}^{{(2)}}}}{{\beta _{2}^{{(1)}}}}} \right|\frac{{{{L}_{{nl}}}}}{{{{L}_{{dis}}}}},$ ${{D}_{{x1}}} = \frac{{{{L}_{{nl}}}}}{{{{L}_{D}}}},$ ${{D}_{{x2}}} = \frac{{{{n}_{1}}}}{{{{n}_{2}}}}\frac{{{{L}_{{nl}}}}}{{{{L}_{D}}}}.$

В итоге мы приходим к следующей безразмерной системе уравнений:

Далее мы опускаем черту над обозначениями переменных.

Рассмотрен процесс генерации пули мощным пучком основной частоты. В качестве начального условия в соответствии с [8] использовалось:

Прежде всего была найдена пульсирующая оптическая пуля в параболическом волноводе. В наших уравнениях этому соответствует случай ${{a}_{{1,2}}} \to \infty .$ На рис. 1 приведено распределение амплитуд первой и второй гармоник в центральных сечениях $xz$ и $tz.$ Использовались следующие безразмерные параметры: ${{D}_{{\tau 1}}} = 0.025,$ ${{D}_{{\tau 2}}} = 0.05$ (случай нормальной дисперсии), ${{D}_{{q1}}} = - 1,$ ${{D}_{{q2}}} = - 2$ (фокусирующий волновод), ${{D}_{{x1}}} = 0.3,$ ${{D}_{{x2}}} = 0.3,$ ${{\alpha }_{1}} = {{\alpha }_{2}} = - 0.01.$ Видно, что возникшая в начале вторая гармоника распадается на части по времени, при этом основная часть остается в центре, и еще две части отстают или опережают центр. Затем оставшаяся в центре часть при взаимодействии с основной частотой образует оптическую пулю, которая распространяется в пульсирующем режиме.

Затем при тех же условиях параболический волновод был заменен на волновод с насыщением. На рис. 2 приведены распределения амплитуд первой и второй гармоник в центральных сечениях $xz$ и $tz.$ Параметр насыщения волновода был ${{a}_{{1,2}}} = 1,$ т.е. равен начальной ширине пучка. Однако из рис. 1 видно, что возникающая пуля имеет насколько меньший размер, чем входной пучок. Соответственно, для большей части пули профиль волновода близок к параболическому. При этом, в отличие от случая параболического волновода, возникает оптическая пуля без пульсации.

На рис. 3 приведены распределения амплитуд первой и второй гармоник в центральных сечениях $xz$ и $tz$ в случае меньших параметров насыщения волновода ${{a}_{{1,2}}} = 0.75.$ Видно, что большая часть энергии входного пучка рассеивается, говорить об оптической пуле уже нельзя. С уменьшением параметров волновода ${{a}_{{1,2}}}$ распад пучка происходит на меньших продольных расстояниях z. Часть энергии с хвостов уходит на периферию, из-за чего падает интенсивность в центре пучка и оптическая пуля не возникает. Это показывает, что для получения реальных оптических пуль, ширина которых сопоставима с шириной волновода, необходимо увеличивать нелинейность или, что то же самое, увеличивать интенсивность падающей волны. Данный результат достаточно прозрачен с физической точки зрения. Действительно, если $x > {{a}_{{1,2}}},$ среда становится практически однородной. В этом случае при положительной групповой дисперсии образование пуль невозможно [5]. Таким образом, насыщение поперечного фокусирующего профиля показателя преломления препятствует формированию световых пуль при генерации второй гармоники в области положительной групповой дисперсии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрено формирование оптических пуль в волноводах с параболическим профилем и профилем с насыщением при положительной дисперсии. Показано, что в параболическом волноводе возможно формирование таких пуль. В волноводе с насыщающим профилем пули формируются в случае, когда параметр насыщения больше ширины пули, в противном случае начальный пучок рассеивается.

Исследование выполнено за счет гранта Российского Научного Фонда (проект № 17-11-01157).