1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 83, № 1, 2019

Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 1, стр. 32-36

Стабилизация оптического импульса, распространяющегося в режиме ионизации и вынужденного комбинационного саморассеяния
В. А. Халяпин

В. А. Халяпин *

БФУ им. И. Канта, ФГБOУ ВО “Калининградский государственный технический университет”
Калининград, Россия

* E-mail: slavasxi@gmail.com

Полный текст (PDF)

Аннотация

Аналитически исследована динамика солитоноподобных импульсов, распространяющихся в режиме туннельной ионизации и вынужденного комбинационного саморассеяния. Показано, что при определенных условиях возможна взаимная компенсация этих эффектов, которая приводит к стабилизации сигнала. Получено явное решение для длительности сигнала, описывающее данный процесс.

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы значительное внимание привлекают новые фотонно-кристаллические волокна (ФКВ) типа “кагоме” [1–3], которые имеют широкую полосу пропускания, включающую всю видимую и инфракрасную области спектра и низкую аномальную дисперсию групповой скорости для широкого спектрального диапазона. Дисперсия таких волокон складывается из дисперсии самого волокна и газа, что позволяет изменять ее за счет давления газа.

В работе [4] было показано, что ионизация приводит к тому, что спектр импульса смещается в сторону высоких частот. Это вызвано тем, что возникающие за счет ионизации свободные электроны вносят отрицательный вклад в показатель преломления [4–12]. Этот эффект противоположен вынужденному комбинационному саморассеянию (ВКС), которое вызывает красное смещение спектра сигнала [13–19]. Уравнение, описывающее распространение импульсов с учетом этих эффектов в ФКВ типа “кагоме” было получено в работах [8, 9]. С помощью теории возмущений [20–22] авторы показали, что при определенных условиях центральная частота солитона может оставаться такой же, какой была на входе в волокно. Если компенсация неполная, то центральная частота смещается по линейному закону в красную или фиолетовую область спектра. В настоящей работе с помощью метода моментов [17, 23, 24] обобщены результаты [8, 9]. Показано, что в рамках приближения нулевого порога ионизации и пренебрежении поглощением стабилизация сигнала будет происходить не только при точной компенсации ВКС и ионизации. Также нами проведен учет поглощения, которое приводит к уменьшению роли ионизации и нарушению стабилизации параметров сигнала.

МЕТОД МОМЕНТОВ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ СИГНАЛА

Динамика световых импульсов, распространяющихся в ФКВ, описывается уравнением [8, 9]

(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \psi }}{{\partial z}} + \frac{{i{{\beta }_{2}}}}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{\tau }^{2}}}} - \frac{{{{\beta }_{3}}}}{6}\frac{{{{\partial }^{3}}\psi }}{{\partial {{\tau }^{3}}}} - i\gamma \psi {{\left| \psi \right|}^{2}} + \frac{\gamma }{\omega }\frac{\partial }{{\partial \tau }}\left( {\psi {{{\left| \psi \right|}}^{2}}} \right) + \\ + \,\,i\gamma {{T}_{R}}\psi \frac{{\partial {{{\left| \psi \right|}}^{2}}}}{{\partial \tau }} + i\eta \psi \int\limits_{ - \infty }^\tau {{{{\left| \psi \right|}}^{2}}d\tau } + \frac{\beta }{2}\psi = 0, \\ \end{gathered} $
где k – волновое число, z – ось, вдоль которой распространяется сигнал, $\tau = t - {z \mathord{\left/ {\vphantom {z {{{\upsilon }_{g}}}}} \right. \kern-0em} {{{\upsilon }_{g}}}}$ – время в сопутствующей системе координат, ${{\upsilon }_{g}}$ – групповая скорость импульса на его центральной частоте ω, η – коэффициент, характеризующий туннельную ионизацию, а β характеризует поглощение, сопровождающее ионизацию [8, 9], ${{\beta }_{2}}$ – коэффициент дисперсии групповой скорости (ДГС), ${{\beta }_{3}}$ – положительный параметр, определяющий дисперсию третьего порядка γ – коэффициент кубической нелинейности, ${{T}_{R}}$ – характеризует вклад вынужденного комбинационного рассеяния. Коэффициент ${{\beta }_{2}}$ положителен, если центральная частота импульса лежит в области нормальной дисперсии групповой скорости и отрицателен в противоположном случае [16, 25, 26]. Данное уравнение описывает динамику импульсов, имеющих интенсивность превосходящую пороговую так, что последней можно пренебречь [8, 9]. Это приближение справедливо на начальной стадии динамики сигнала, поскольку поглощение, сопровождающее ионизацию приведет к уменьшению интенсивности импульса так, что безпороговое приближение станет неприменимо.

Медленно меняющаяся огибающая $\psi $ связана с электрическим полем импульса E соотношением

(2)
$E(z,\tau ) = \frac{1}{2}\psi (z,\tau )\exp \left[ { - i\left( {\omega t - kz} \right)} \right] + {\text{c}}{\text{.c}}{\text{.}}$
Анализ динамики параметров импульса проводился на основе метода моментов. В работе рассматривался случай солитонного распространения, когда огибающая импульса сохраняет форму гиперболического секанса [17]
(3)
$\begin{gathered} \psi = B\operatorname{sech} \left( {\frac{{\tau - T}}{{{{\tau }_{p}}}}} \right) \times \\ \times \,\,\exp \left[ {i\left( {\phi + \Omega \left( {\tau - T} \right) - C\frac{{{{{\left( {\tau - T} \right)}}^{2}}}}{{2\tau _{p}^{2}}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
где B – амплитуда сигнала, ${{\tau }_{p}}$ – его длительность, C – параметр, определяющий частотную модуляцию, T – временное запаздывание, ϕ – фаза и Ω – смещение центральной частоты сигнала. Все параметры зависят от координаты z. Определим моменты импульса, следуя работе [17] в виде
(4)
$E = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| \psi \right|}}^{2}}d\tau } ,$
(5)
$\tilde {C} = \frac{i}{{2E}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\tau - T} \right)\left( {\psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }} - \psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial \tau }}} \right)d\tau } ,$
(6)
${{\sigma }^{2}} = \frac{1}{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left( {\tau - T} \right)}}^{2}}{{{\left| \psi \right|}}^{2}}d\tau } ,$
(7)
$T = \frac{1}{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( \tau \right){{{\left| \psi \right|}}^{2}}d\tau } ,$
(8)
$\Omega = - \frac{i}{{2E}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }} - \psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial \tau }}} \right)d\tau } ,$
где E – параметр, пропорциональный числу фотонов, $\tau _{p}^{2} = {{12{{\sigma }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{12{{\sigma }^{2}}} {{{\pi }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\pi }^{2}}}},$ $C = {{12\tilde {С }} \mathord{\left/ {\vphantom {{12\tilde {С }} {{{\pi }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\pi }^{2}}}}$ [17]. Дифференцируя (4)–(8) по координате z и используя (1), получаем систему уравнений

(9)
$\frac{{dE}}{{dz}} = - \beta \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| \psi \right|}}^{2}}d\tau } ,$
(10)
$\begin{gathered} \frac{{d\Omega }}{{dz}} = \frac{{{{T}_{R}}\gamma }}{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left( {\frac{{\partial {{{\left| \psi \right|}}^{2}}}}{{\partial \tau }}} \right)}}^{2}}d\tau + } \\ + \,\,\frac{{i\gamma }}{{E\omega }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }} - \psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial \tau }}} \right)\frac{{\partial {{{\left| \psi \right|}}^{2}}}}{{\partial \tau }}} d\tau - \frac{\eta }{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| \psi \right|}}^{4}}d\tau } , \\ \end{gathered} $
(11)
$\frac{{dT}}{{dz}} = - {{\beta }_{2}}\Omega + \frac{{{{\beta }_{3}}}}{{2E}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| {\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }}} \right|}}^{2}}} d\tau + \frac{{3\gamma }}{{2E\omega }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| \psi \right|}}^{4}}} d\tau ,$
(12)
$\frac{{d{{\sigma }^{2}}}}{{dz}} = 2{{\beta }_{2}}\tilde {C} + \frac{{{{\beta }_{3}}}}{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\tau - T} \right){{{\left| {\frac{{\partial \psi }}{{\partial t}}} \right|}}^{2}}} d\tau ,$
(13)
$\begin{gathered} \frac{{d\tilde {C}}}{{dz}} = \Omega \frac{{dT}}{{dz}} + \frac{{{{\beta }_{2}}}}{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| {\frac{{\partial \psi }}{{\partial t}}} \right|}}^{2}}} d\tau + \frac{{i{{\beta }_{3}}}}{{4E}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{\tau }^{2}}}}\frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial \tau }} - \frac{{{{\partial }^{2}}\psi {\text{*}}}}{{\partial {{\tau }^{2}}}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }}} \right)} d\tau + \frac{\gamma }{{2E}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| \psi \right|}}^{4}}} d\tau - \\ - \,\,\frac{{i\gamma }}{{E\omega }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\tau - T} \right)\frac{{\partial {{{\left| \psi \right|}}^{2}}}}{{\partial \tau }}\left( {\psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }} - \psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial \tau }}} \right)} d\tau - \frac{{i\gamma }}{{2E\omega }}\int\limits_0^\infty {{{{\left| \psi \right|}}^{2}}\left( {\psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial \tau }} - \psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }}} \right)} d\tau - \frac{{\gamma {{T}_{R}}}}{E}{{\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\tau - T} \right)\left( {\frac{{\partial {{{\left| \psi \right|}}^{2}}}}{{\partial \tau }}} \right)} }^{2}}d\tau . \\ \end{gathered} $

Уравнение, определяющее динамику фазы ϕ можно записать в неявном виде

(14)
$\begin{gathered} \int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial z}} - \psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial z}}} \right.} - i{{\beta }_{2}}{{\left| {\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }}} \right|}^{2}} - \frac{{{{\beta }_{3}}}}{6}\left( {\psi {\text{*}}\frac{{{{\partial }^{3}}\psi }}{{\partial {{\tau }^{3}}}} - \psi \frac{{{{\partial }^{3}}\psi {\text{*}}}}{{\partial {{\tau }^{3}}}}} \right) - 2i{{\left| \psi \right|}^{4}} + \\ + \,\,2i\eta {{\left| \psi \right|}^{2}}\int\limits_{ - \infty }^\tau {{{{\left| \psi \right|}}^{2}}d\tau {\text{'}}} + \left. {\frac{\gamma }{\omega }\left( {\psi {\text{*}}\frac{{{{\partial }^{3}}\psi }}{{\partial {{\tau }^{3}}}} - \psi \frac{{{{\partial }^{3}}\psi {\text{*}}}}{{\partial {{\tau }^{3}}}}} \right)} \right)d\tau . \\ \end{gathered} $

Подставляя пробную функцию (3) в (9)–(13) и интегрируя по τ, получаем систему уравнений для параметров импульса

(15)
${{E}_{z}} = - \beta E,$
(16)
$\frac{{d\Omega }}{{dz}} = \frac{{4\gamma E}}{{15\tau _{p}^{3}}}\left( {{{T}_{R}} - \frac{{5C}}{{4\omega }}} \right) - \frac{{\eta E}}{{3{{\tau }_{p}}}},$
(17)
$\frac{{dT}}{{dz}} = - {{\beta }_{2}}\Omega + \frac{{{{\beta }_{3}}}}{2}\left( {\frac{{\left( {1 + {{\pi }^{2}}{{{{C}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}^{2}}} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{3\tau _{p}^{2}}} + \Omega _{{}}^{2}} \right) + \frac{{\gamma E}}{{2\omega {{\tau }_{p}}}},$
(18)
$\frac{{d\tau _{p}^{2}}}{{dz}} = 2C\left( {{{\beta }_{2}} - {{\beta }_{3}}{{\Omega }_{{}}}} \right),$
(19)
$\frac{{dС }}{{dz}} = \left( {{{\beta }_{2}} - {{\beta }_{3}}\Omega } \right)\left( {\frac{{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 {{{\pi }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\pi }^{2}}}} + {{С }^{2}}}}{{\tau _{p}^{2}}}} \right) + \frac{{2\gamma E}}{{{{\pi }^{2}}{{\tau }_{p}}}}\left( {1 - \frac{\Omega }{\omega }} \right),$

Будем искать эволюцию параметров ${{\tau }_{p}}$ и $\Omega $ с помощью метода последовательных приближений. Используя (18) и полагая производную от C нулю, из (19) получаем

(20)
$\Omega = \frac{{\left| {{{\beta }_{2}}} \right|}}{{{{\beta }_{3}}}}\left( {\frac{{\gamma {{\tau }_{p}}E}}{{2\left| {{{\beta }_{2}}} \right|}} - 1} \right).$

Поскольку на входе в среду смещение центральной частоты равно нулю (${{\Omega }_{0}} = 0$), то из (20) следует, что начальная энергия импульса ${{E}_{0}}$ соответствует известному значению для солитона нелинейного уравнения Шредингера ${{E}_{0}} = {{2\left| {{{\beta }_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\left| {{{\beta }_{2}}} \right|} {\gamma {{\tau }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {\gamma {{\tau }_{0}}}}.$ Здесь ${{\tau }_{0}}$ – начальное значение длительности сигнала. Подставляя (20) в (16), учитывая (15) и пренебрегая производной нелинейности, получаем уравнение для безразмерной длительности сигнала $u = {{{{\tau }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\tau }_{p}}} {{{\tau }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\tau }_{0}}}}$

(21)
${{u}^{3}}u{\text{'}} = a - b{{u}^{2}} + \beta {{u}^{4}},$
где $a = {{8{{\beta }_{3}}{{T}_{R}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{8{{\beta }_{3}}{{T}_{R}}} {15\tau _{0}^{4}}}} \right. \kern-0em} {15\tau _{0}^{4}}}$ и $b = {{2\eta {{\beta }_{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\eta {{\beta }_{3}}} {3\gamma \tau _{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {3\gamma \tau _{0}^{2}}}$ – обратные характерные длины ВКС и фотоионизации соответственно. Если мы пренебрежем поглощением ($\beta \approx 0$), то уравнение (21) имеет решение

(22)
${{u}^{2}} - 1 + \frac{a}{b}\ln \frac{{b{{u}^{2}} - a}}{{b - a}} = - 2bz.$

Выражение (22) описывает динамику длительности импульса вплоть до точки стабилизации

(23)
${{u}_{{st}}} = \sqrt {\frac{a}{b}} .$

Авторы работ [8, 9] с помощью теории возмущений показали, что если $a = b,$ то импульс сразу стабилизируется. Однако из анализа (22) следует, что в рамках используемого в [8, 9] приближения формально режим ионизации будет наступать всегда. Рассмотрим теперь вклад поглощения, которое сопровождает ионизацию. Учет последнего слагаемого в (21) приводит к тому, что при условии, когда правая часть (21) не имеет корней ${{b}^{2}} < 4a\beta $ решение (21) имеет вид:

(24)
$\begin{gathered} 2\beta z = \ln \sqrt {\frac{{\beta {{u}^{4}} - b{{u}^{2}} + a}}{{\beta - b + a}}} + \frac{b}{{\sqrt {4a\beta - {{b}^{2}}} }} \times \\ \times \,\,\left( {{\text{arctg}}\frac{{2\beta {{u}^{2}} - b}}{{\sqrt {4a\beta - {{b}^{2}}} }} - {\text{arctg}}\frac{{2\beta - b}}{{\sqrt {4a\beta - {{b}^{2}}} }}} \right). \\ \end{gathered} $

Это решение соответствует случаю отсутствия точки стабилизации и описывает увеличение длительности сигнала до тех пор, пока его интенсивность не приблизится к пороговому значению. Рассмотрим случай, когда ${{b}^{2}} > 4a\beta .$ Тогда решение (21) принимает вид:

(25)
$2\beta z = \frac{{u_{1}^{2}}}{{u_{1}^{2} - u_{2}^{2}}}\ln \frac{{{{u}^{2}} - u_{1}^{2}}}{{1 - u_{1}^{2}}} - \frac{{u_{2}^{2}}}{{u_{1}^{2} - u_{2}^{2}}}\ln \frac{{{{u}^{2}} - u_{2}^{2}}}{{1 - u_{2}^{2}}}.$

Здесь ${{u}_{1}}$ и ${{u}_{2}}$ – нули правой части (21)

(26)
${{u}_{{1,2}}} = \sqrt {\frac{{b \pm \sqrt {{{b}^{2}} - 4a\beta } }}{{2\beta }}} .$

Из рис. 1 следует, что ${{u}_{2}}$ является точкой стабилизации сигнала. Если выполняется условие ${{b}^{2}} \gg 4a\beta ,$ то ${{u}_{2}}$ переходит в выражение для относительной длительности стаблизации (23), которое получено без учета поглощения. Если перейти непосредственно к длительности сигнала, то из (26) получаем

(27)
${{\tau }_{{1,2}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\eta {{\beta }_{3}}}}{{3\gamma }} \pm \sqrt {{{{\left( {\frac{{2\eta {{\beta }_{3}}}}{{3\gamma }}} \right)}}^{2}} - \frac{{16\beta {{\beta }_{3}}{{T}_{R}}}}{{15}}} } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\frac{{2\eta {{\beta }_{3}}}}{{3\gamma }} \pm \sqrt {{{{\left( {\frac{{2\eta {{\beta }_{3}}}}{{3\gamma }}} \right)}}^{2}} - \frac{{16\beta {{\beta }_{3}}{{T}_{R}}}}{{15}}} } \right)} {2\beta }}} \right. \kern-0em} {2\beta }}} .$
Рис. 1.

График правой части уравнения (21) для значений параметров $a = 2,$ $b = 4,$ $\beta = 1,$ ${{u}_{2}}$ – точка стабилизации сигнала.

Если ${{\tau }_{0}} > {{\tau }_{1}},$ то длительность импульса сразу начинает увеличивается. При условии ${{\tau }_{0}} < {{\tau }_{1}}$ длительность стремиться к значению ${{\tau }_{2}}.$ Раcсмотрим динамику импульса, начальная длительность которого лежит вблизи точки стабилизации ${{\tau }_{2}}$ и удовлетворяет условию ${{\tau }_{0}} < {{\tau }_{1}}.$ Используя разложение в ряд Тейлора для (21) или непосредственно из (25) можно получить соответствующее приближенное решение

(28)
$u = {{u}_{2}} + \left( {1 - {{u}_{2}}} \right)\exp \left( { - \frac{{4\beta \sqrt {{{b}^{2}} - 4a\beta } }}{{b - \sqrt {{{b}^{2}} - 4a\beta } }}z} \right).$

Как видно из рис. 1, данное приближенное решение описывает процесс стабилизации сигнала. Правая часть (21) имеет один корень (если ${{b}^{2}} = 4a\beta $) при относительной длительности

(29)
${{u}_{{st}}} = \sqrt {\frac{b}{{2\beta }}} .$

Решение (21) тогда имеет вид:

(30)
$\ln \frac{{{{u}^{2}} - u_{{st}}^{2}}}{{1 - u_{{st}}^{2}}} + u_{s}^{2}\left( {\frac{1}{{1 - u_{{st}}^{2}}} - \frac{1}{{{{u}^{2}} - u_{{st}}^{2}}}} \right) = 2\beta z.$

Явное приближенное решение, справедливое вблизи корня, можно получить, воспользовавшись разложением в ряд Тейлора для (21) или непосредственно из (30), пренебрегая вкладом первого слагаемого по сравнению с остальными. В результате получаем

(31)
$u = {{u}_{{st}}}\left( {1 + \frac{{1 - {{u}_{{st}}}}}{{{{u}_{{st}}} - \left( {1 - {{u}_{{st}}}} \right)4\beta z}}} \right).$

Из (31) следует, что если ${{u}_{{st}}} > 1,$ то относительная длительность импульса (начальное значение которой равно единице) будет стремиться к величине ${{u}_{{st}}}$ (рис. 2). В противном случае длительность сигнала будет сразу увеличиваться, минуя режим стабилизации.

Рис. 2.

Правая часть уравнения (21) в случае одного корня ${{u}_{{st}}},$ определяемого формулой (29) для значений параметров $a = 4,$ $b = 4,$ $\beta = 1.$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрен случай распространения светового импульса в режиме ВКС и туннельной ионизации с учетом поглощения, сопровождающего ионизацию. Поскольку процесс ионизации ведет к синему сдвигу спектра импульса, а ВКС вызывает красное смещение, то они могут компенсировать друг друга и стабилизировать динамику импульса. Вслед за авторами работ [8, 9] было использовано приближение, при котором можно пренебречь пороговым значением интенсивности ионизации по сравнению с интенсивностью сигнала. На основе метода моментов проведено аналитическое исследование, позволяющее предсказать режим динамики параметров сигнала. Найдены условия, при которых длительность импульса будет стремиться к стабильному значению, и получено соответствующее аналитическое решение. Показано, что учет поглощения может играть принципиальную роль в ограничении стабилизации сигнала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант № 17-11-01157).

Список литературы

  1. Couny F., Benabid F., Light P.S. // Opt. Lett. 2006. V. 31. P. 3574.

  2. Couny F., Roberts P.J., Birks T.A., Benabid F. // Opt. Express 2008. V. 16. P. 20626.

  3. Couny F., Benabid F., Roberts P.J. et al. // Science. 2007. V. 318. P. 1118.

  4. Serebryannikov E.E., Zheltikov A.M. // Phys. Rev. A. 2007. V. 76. P. 013820.

  5. Wood W.M., Siders C.W., Downer M.C. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 3523.

  6. Wilks S.C., Dawson J.M., Mori W.B. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 337.

  7. Yablonovitch E. // Phys. Rev. A. 1974. V. 10. P. 1888.

  8. Hölzer P., Chang W., Travers J.C. et al. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 203902.

  9. Hölzer P., Chang W., Travers J.C. et al. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 203901.

  10. Saleh M.F., Biancalana F. // Phys. Rev. A. 2011. V. 84. P. 063838.

  11. Facão M., Carvalho M.I., Almeida P. // Phys. Rev. A. 2013. V. 87. P. 063803.

  12. Facão M., Carvalho M.I. // Appl. Phys. B. 2014. V. 116. P. 353.

  13. Dianov E.M., Karasik A.Ya., Mamyshev P.V. et al. // JETP Lett. 1985. V. 41. P. 294.

  14. Mitschke F.M., Mollenauer L.F. // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 659.

  15. Gordon J.P. // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 662.

  16. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics. NewYork: Academic, 2007.

  17. Santhanam J., Agraval G. // Opt. Commun. 2003. V. 222. P. 413.

  18. Bugay A.N., Khalyapin V.A. // Phys. Lett. A. 2017. V. 381. № 4. P. 399.

  19. Bugay A.N., Khalyapin V.A. // Optics and Spectroscopy. 2017. V. 123. № 2. P. 181.

  20. Serkin V.N., Vysloukh V.A. // Wave Phenomena, Techn. Digest, Opt. Soc. of Am. 1993. V. 15. P. 236.

  21. Serkin V.N., Vysloukh V.A., Taylor J.R. // Electron. Lett. 1993. V. 29. P. 12.

  22. Serkin V.N., Belyaeva T.L., Corro G.H., Granados M.A. // Quantum Electron. 2003. V. 33. P. 456.

  23. Lefrancois S., Husko C., Blanco-Redondo A., Eggleton B.J. // J. Opt. Soc. Am. B. 2015. V. 32. P. 218.

  24. Tsoy E.N., Sterke C.M. // J. Opt. Soc. Am. B. 2006. V. 23. P. 2425.

  25. Kozlov S.A., Sazonov S.V. // JETP. 1997. V. 84. P. 221.

  26. Sazonov S.V., Khalyapin V.A. // Opt. Spectr. 2003. V. 95. P. 401.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал