Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 12, стр. 1704-1706

ВВЕДЕНИЕ

Теория парамагнетиков в настоящее время хорошо разработана как в рамках классической физики, так и на квантовом уровне. Вместе с тем, в широко распространенной учебной литературе при выводе формулы для магнитной восприимчивости парамагнетиков (закона Кюри) допускаются необоснованные приближения, которые могут привести к непониманию природы парамагнетизма. В настоящей работе проведен анализ вывода выражения для магнитной восприимчивости парамагнетиков, представленного в большинстве отечественных учебников, а также аналогии формул, использующихся при описании процессов намагничивания магнетиков и поляризации диэлектриков.

АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ

При выводе формулы для магнитной восприимчивости в основных отечественных учебниках (например, [1–3]) зависимость намагниченности парамагнитного газа от напряженности поля полагается равной$M = {{M}_{\infty }}L\left( {\frac{{mB}}{{kT}}} \right),$ в которой под B подразумевается макроскопическое (усредненное по объему) поле в магнетике. В случае малых полей из нее следует $M = \frac{{n{{m}^{2}}}}{{3kT}}B,$ откуда, с учетом M = χH получают:

Для парамагнитного газа χ мала, поэтому считается возможным пренебречь слагаемым 4πχ вследствие его малости по сравнению с единицей [1, 2], и получить для магнитной восприимчивости выражение $\chi = \frac{{n{{m}^{2}}}}{{3kT}},$ которое и выражает известный закон Кюри $\chi = \frac{C}{T}.$

Однако строгий расчет восприимчивости из выражения (1) без каких либо приближений (что должно было бы привести к более точному результату) дает выражение, аналогичное не закону Кюри, а аналогу закона Кюри–Вейсса – $\chi = \frac{C}{{T - 4\pi C}}$ $\left( {C = \frac{{n{{m}^{2}}}}{{3k}}} \right)$. Это указывает на то, что пренебрежение магнитной восприимчивостью в знаменателе выражения (1) не является оправданным, так как оно изменяет закон зависимости магнитной восприимчивости от температуры. На рис. 1 схематично показаны зависимости обратной магнитной восприимчивости в случае описания ее законом Кюри и выражением $\chi = \frac{C}{{T - 4\pi C}}.$ Как можно видеть, графики этих зависимостей параллельны и не могут совмещены, сколь не была бы мала магнитная восприимчивость парамагнетика.

Рис. 1.

Зависимость магнитной восприимчивости от температуры. 1 – закон Кюри, 2 – закон Кюри–Вейсса.

Отметим также, что при пренебрежении слагаемым 4πχ магнитная проницаемость фактически принимается равной единице, т.е., полагается B = H. Это приближение равносильно пренебрежению намагниченностью среды при выполнении процедуры нахождения выражения для магнитной восприимчивости, поскольку в магнетике B = H + 4πM. Однако подчинение температурной зависимости восприимчивости парамагнетиков закону Кюри не вызывает сомнения, вследствие его подтверждения многочисленными экспериментальными исследованиями. Представляется, что описанные выше противоречия следует связать с некорректностью некоторых приближений, обычно используемых авторами учебников, посвященных классической теории магнетизма. Действительно, энергия дипольной молекулы в магнитном поле, фигурирующая в аргументе функции Ланжевена, должна определяться произведением магнитного момента молекулы на индукцию поля B ', непосредственно действующего на молекулу, а не на индукцию макроскопического (усредненного) поля. В результате выражение для намагниченности запишется в виде: $M = \frac{{n{{m}^{2}}}}{{3kT}}B{\kern 1pt} '.$ Так как B' нельзя считать равным μH, то получение выражения (1) становится невозможным. В случае пренебрежения магнитодипольным взаимодействием (что допустимо для парамагнетиков) индукцию действующего поля B' можно положить равной напряженности внешнего поля H, что и дает, вполне обоснованно, для восприимчивости формулу, выражающую закон Кюри $\chi = \frac{{n{{m}^{2}}}}{{3kT}}.$ Заметим, что при таком рассмотрении мы не пренебрегаем намагниченностью вещества, а следовательно и его собственным макроскопическим полем (как это фактически предлагается в [1, 2]), а лишь считаем, что вклад в процесс ориентации момента выбранной молекулы собственных полей других молекул пренебрежимо мал по сравнению с внешним полем.

Известно [1, 2, 4], что при проведении аналогии между магнитными и электрическими явлениями следует аналогом $\vec {E}$ считать не $\vec {H},$ а $\vec {B},$ так как именно $\vec {B}$ является силовой (как и $\vec {E}$) характеристикой поля. Кроме того, в [2] утверждается, что аналогом диэлектрической восприимчивости α, является не магнитная восприимчивость χ, а отношение χ/μ. Действительно, из выражения M = χH следует M = χ/μB, которое полагают аналогом выражения P = αE, откуда и следует аналогия между α и χ/μ. Эта аналогия, по нашему мнению, не совсем безупречна. Очевидно, выражение M = χH справедливо для замкнутых или сильно вытянутых образцов, размещенных вдоль направления поля, когда их размагничиванием за счет незамкнутой формы можно пренебречь. В этом случае, как следует из граничных условий, напряженность поля внутри образца равна внешней напряженности. Поскольку в вакууме B₀ = H, то из выражения M = χH, кроме, M = (χ/μ)B, получаем M = χB₀. Для выяснения аналогии выражений, характеризующих процессы намагниченности магнетика и поляризации диэлектрика, они должны рассматриваться при одинаковых условиях, что можно обеспечить помещением однородного диэлектрика достаточно вытянутой формы (например, в виде длинного тонкого цилиндра) вдоль силовых линий поля, когда деполяризацией за счет поверхностных поляризационных зарядов на его торцах можно пренебречь. Однако при такой ситуации напряженность поля Е, фигурирующая в выражении P = αE не будет отличаться от напряженности внешнего поля (тангенциальные составляющие напряженности поля на границе раздела диэлектрика с вакуумом разрыва не претерпевают). Это обстоятельство может указывать на предпочтительность аналогии выражения для поляризации P = αE выражению для намагничивания в виде M = χB₀ по сравнению с формулой M = (χ/μ)B, в которой $\vec {B}$ всегда отличается от внешней индукции (превышает ее для пара- и ферромагнетиков). Вышеуказанное может свидетельствовать в пользу аналогии между α и χ, а не между α и χ/μ.

В дополнение заметим, что аналогия α и χ/μ очевидно подразумевает, что χ/μ, также, как и α, пропорционально концентрации молекул (плотности вещества), подтверждением чего могло бы служить полученное в [1, 2] равенство $\frac{\chi }{\mu } = \frac{{{{\mu }_{0}}n{{m}^{2}}}}{{3kT}}.$ Однако простой анализ этого равенства показывает, что его правая часть строго линейна относительно концентрации, тогда как зависимость левой части от концентрации не может быть линейной, в силу известной связи между χ и μ. Вследствие малой величины восприимчивости молекулярных парамагнетиков проявление указанной нелинейности не является заметным, однако оно становится существенным для магнитных коллоидных систем, которые можно идентифицировать как модельную среду μ парамагнетика. Такие системы представляют ансамбль однодоменных частиц в жидкой среде, подверженных воздействию теплового движения, а их намагничивание может быть описано теорией Ланжевена, разработанной для парамагнитных газов [4]. На рис. 2 приведена зависимость отношения χ/μ от объемной концентрации однодоменных частиц для одного из таких коллоидов, ранее представленная в [5]. Как видно она не является линейной даже при небольших концентрациях частиц.

Рис. 2.

Зависимость величины χ/μ от концентрации дипольных частиц [6].

Отметим также, что согласно [6], выражения для термодинамических величин в магнитном поле формально можно получить из соответствующих выражений в электрическом поле лишь заменой букв $\vec {E},$ $\vec {D}$ соответственно на $\vec {H},$ $\vec {B},$ а тензоры напряжений – дополнительными заменами ε на μ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, отождествление действующего на молекулу поля с макроскопическим (усредненным) полем, практикующееся в большинстве российских учебников при рассмотрении классической теории парамагнетизма приводит к неверному промежуточному выражению для магнитной восприимчивости. Привести его к известному закону Кюри, удается только при пренебрежении собственным полем магнетика (намагниченностью), что не может быть оправданным. Кроме того, распространенное в некоторых источниках утверждение, что аналогом диэлектрической восприимчивости α является не магнитная восприимчивость χ, а χ/μ не представляется обоснованным.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-03-00279а).