Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 4, стр. 460-468

ВВЕДЕНИЕ

Низкоэнергетические реакции с участием ядер трития, гелия, лития и бериллия [1] составляют значительную часть изученных и продолжающих изучаться в настоящее время ядерных реакций. Реакции с изотопами Li представляют значительный интерес с нескольких точек зрения. Ядра ⁶⁻¹¹Li с отношением числа нейтронов к числу протонов, изменяющимся от 1 до 2.67, и, следовательно, с существенно различной структурой предоставляют уникальную возможность для проверки различных микроскопических моделей [2]. Знание свойств и волновой функции основного состояния нуклидов лития необходимо для теоретического описания реакций с их участием. В простейшей оболочечной модели конфигураций ⁶Li (n + p + α) и ⁷Li (n + n + + p + α) [1–6] внешние нуклоны в поле ядерного остова (α-кластера) занимают состояние 1p_3/2 и проявляют свойства кластеров – дейтрона и тритона соответственно [7], поэтому ядра ⁶Li и ⁷Li можно рассматривать как системы трех и четырех тел. Ядро ¹¹Li также можно рассматривать как систему трех тел: двух слабосвязанных нейтронов и ядерного остова, близкого по свойствам к ядру ⁹Li.

Уравнение Шредингера в рамках задачи трех тел с ортогональным проектированием впервые было решено для ядра ⁶Li в работе [8]. В работе [9] уравнение Шредингера для трехтельной системы n + n + α было решено с помощью разложений по гиперсферическим функциям (К-гармоникам). В работах [10, 11] волновые функции системы трех тел были получены с помощью гауссового базиса и численного решения системы интегральных уравнений Хилла–Уилера (Hill–Wheeler). Более простую возможность вычисления энергии ${{E}_{0}}$ и плотности вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}\left( {{{{\vec {r}}}_{1}}, \ldots ,{{{\vec {r}}}_{n}}} \right)} \right|}^{2}}$ для основного состояния n-частичной системы дает метод континуальных интегралов Фейнмана [12–18]. Его универсальность позволила в едином подходе выполнить расчеты для ряда малонуклонных ядер: ³H, ^{3, 4, 6}He, ⁹Be [15‒18]. В данной работе многотельные расчеты проведены для ядер ^{6, 7, 11}Li, представленных в виде системы из ядерного остова и двух-трех внешних нуклонов. Применение оболочечной модели деформированного ядра к перечисленным ядрам, а также к ядру ⁹Li дает для структуры ядер картину, близкую к результатам многотельных расчетов.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Энергия ${{E}_{0}}$ и квадрат модуля волновой функции основного состояния ${{\left| {{{\Psi }_{0}}} \right|}^{2}}$ частицы массой m с потенциальной энергией $V(q),$ зависящей от координаты q, могут быть найдены с помощью введенных Р. Фейнманом [12] континуальных интегралов (интегралов по траекториям) [12, 13] во мнимом (евклидовом) времени $t = - i\tau .$ Континуальные интегралы можно представить в виде предела многократного интеграла [13–15]

где

Здесь значения координаты ${{q}_{k}} = q({{\tau }_{k}}),$ τ_k = kΔτ, $k = \overline {0,N} ,$ ${{q}_{0}} = {{q}_{N}} = q$ задают “траекторию” частицы в виде ломаной линии в плоскости $\left( {q,\tau } \right)$ с вершинами $\left( {{{q}_{k}},{{\tau }_{k}}} \right),\,\,\,\,k = \overline {1,N - 1} ,\,\,\,\,N \geqslant 2,$ при этом $\left( {N - 1} \right)$-кратный интеграл соответствует усреднению по таким “траекториям”

Здесь и далее угловыми скобками $\langle \ldots \rangle $ обозначено усреднение по случайным $\left( {N - 1} \right)$-мерным векторам $Q = \left\{ {{{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{{N - 1}}}} \right\}$ с законом распределения $W\left( {{{q}_{0}};\,\,{{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{{N - 1}}};\,\,{{q}_{N}} = {{q}_{0}} = q} \right)$

Усреднение может быть вычислено методом Монте-Карло [16–18]. Алгоритм моделирования случайного вектора с законом распределения (4) описан в работе [16].

Энергии ${{E}_{0}},$ ${{E}_{1}}$ и квадраты модуля волновой функции ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(q)} \right|}^{2}},$ ${{\left| {{{\Psi }_{1}}(q)} \right|}^{2}}$ основного и первого возбужденного состояний определяют первые члены асимптотики пропагатора в пределе $\tau \to \infty $ [14, 15]

Для значений q и $\tau $ таких, что

энергию ${{E}_{0}}$ можно найти как угловой коэффициент линейной части графика зависимости $\hbar \ln {{K}_{E}}\left( {q,\tau ;\,\,q,0} \right)$ от $\tau $

Для этого с учетом случайных погрешностей моделирования методом Монте-Карло в работах [16–18] была использована линейная регрессия. Формулы (1)−(7) естественным образом обобщаются на случаи большего числа степеней свободы. Приближенные значения квадрата модуля волновой функции основного состояния ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(q)} \right|}^{2}}$ в точках $q$ ограниченной области финитного движения в работах [16–18] были найдены с помощью выражения

при достаточно больших значениях $\tau $ > T, соответствующих линейной части графика зависимости $\hbar \ln {{K}_{E}}\left( {q,\tau ;\,\,q,0} \right).$ Поскольку волновая функция основного состояния не имеет узловых точек (линий или поверхностей) и не меняет знака, ненормированная волновая функция может быть найдена по формуле

Для удобства расчетов в масштабах действия ядерных сил удобно использовать безразмерные переменные $\tilde {q} = {q \mathord{\left/ {\vphantom {q {{{x}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{x}_{0}}}},$ $\tilde {V} = {{V(q)} \mathord{\left/ {\vphantom {{V(q)} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}},$ ${{\tilde {E}}_{0}} = {{{{E}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}}$, $\tilde {m} = {m \mathord{\left/ {\vphantom {m {{{m}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{0}}}},$ $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}},$ $\Delta \tilde {\tau } = {{\Delta \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta \tau } {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}},$ ${{\tilde {K}}_{E}} = {{K}_{E}}{{x}_{0}}$, где ${{x}_{0}} = 1$ фм, ${{\varepsilon }_{0}} = 1$ МэВ, ${{m}_{0}}$ − масса нейтрона, t₀ = = ${{{{m}_{0}}x_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{0}}x_{0}^{2}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } \approx 1.57 \cdot {{10}^{{ - 23}}}$ с, ${{b}_{0}} = {{{{t}_{0}}{{\varepsilon }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{t}_{0}}{{\varepsilon }_{0}}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } \approx 0.02412,$ тогда в области линейной части графика зависимости пропагатора от $\tilde {\tau }$ (при $\tilde {\tau } > \tilde {T}$)

В общем случае эффективные парные центральные потенциалы нуклон-нуклонного взаимодействия нуклонов 1 и 2 могут быть представлены в виде [19]

где r – расстояние между нуклонами, ${{\vec {\sigma }}_{1}},$ ${{\vec {\sigma }}_{2}}$ − спиновые операторы (матрицы) Паули, ${{\vec {\tau }}_{1}},$ ${{\vec {\tau }}_{1}}$ − операторы изоспина. В данной работе использована сокращенная форма

с тремя функциями ${{v}_{0}}(r),$ ${{v}_{\sigma }}(r),$ ${{v}_{{\tau }}}(r),$ для определения которых можно использовать значения энергии основного состояния ядер ²Н и ³Н. Для четного триплетного состояния протона и нейтрона в дейтроне потенциал

должен объяснять наличие единственного связанного состояния с энергией 2.225 МэВ и среднеквадратичным зарядовым радиусом 2.14 фм [3].

Известно, что спин основного состояния ядра ³Н равен ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ при этом по принципу Паули спины нейтронов должны быть антипараллельны. Для конфигурации ядра ³Н такой, что параллельны спины протона с радиусом-вектором ${{\vec {r}}_{3}}$ и нейтрона с радиусом-вектором ${{\vec {r}}_{1}},$ потенциальная энергия взаимодействия нуклонов в ядре ³Н может быть представлена в виде суммы парных взаимодействий нуклонов друг с другом

Здесь $V_{{p - n}}^{{({{0}^{--}})}}$ и $V_{{n - n}}^{{({{0}^{ + }})}}$ − синглетные потенциалы взаимодействия соответственно протона с нейтроном и нейтрона с нейтроном

Потенциалы (18), (19) не должны приводить к наличию связанных состояний.

Выражение (17) несимметрично по отношению к перестановке нейтронов. При его использовании в гамильтониане вместо общего выражения (14) оно привело бы к некоммутативности гамильтониана с оператором перестановки тождественных частиц. В подходе, примененном в данной работе, гамильтониан не используется явно, а свойство симметрии координатной волновой функции обеспечивается дополнительной процедурой симметризации (см. далее). Это позволяет в начальном приближении использовать выражение (17) при вычислении пропагатора для ядра ³Н.

Функции ${{v}_{0}}(r),$ ${{v}_{{\sigma }}}(r),$ ${{v}_{{\tau }}}(r)$ выражаются через перечисленные потенциалы

В работах [16–18] при расчетах пропагатора ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {\tilde {q},\tilde {\tau };\tilde {q},0} \right)$ для ядер ^{2, 3}H, ^{3, 4}He были использованы эффективные парные потенциалы сильного взаимодействия в виде линейных комбинаций гауссовых экспонент с отталкивательным кором, сходные с известным потенциалом M3Y (см., например, [20, 21])

Для ядра ²Н потенциал (23) с набором параметров ${{u}_{1}} = 500$ МэВ, ${{u}_{2}} = - 102$ МэВ, ${{u}_{3}} = - 2$ МэВ, ${{b}_{1}} = 0.296$ фм, ${{b}_{2}} = {{c}_{2}} = {{d}_{2}} = 1.26$ фм, b₃ = c₃ = d₃ = = 2.67 фм дает значения энергии ${{E}_{0}} = - 2.226$ МэВ и среднеквадратичного зарядового радиуса 1.92 фм, достаточно близкие к экспериментальным значениям. Числовые значения остальных параметров, ${{d}_{1}}$ и ${{c}_{1}},$ были определены в работе [16] из условия близости вычисленных значений энергий связи ядер ^{2, 3}H, ^{3, 4}He к экспериментальным значениям, в частности, для ядра ³Н энергия связи равна 8.48 МэВ. Примеры графиков эффективных потенциалов (23)−(25) и функций ${{\text{v}}_{0}}(r),$ ${{\text{v}}_{{\sigma }}}(r),$ ${{\text{v}}_{{\tau }}}(r)$ показаны на рис. 1.

Для основных состояний ядер, содержащих не более двух тождественных нуклонов, расчеты по формулам (10)−(12) можно проводить без учета принципа Паули. Принцип Паули можно не учитывать и для ядер ^{6, 7, 11}Li, если рассматривать их как систему из остова и внешних нуклонов с конфигурациями {p, n}, {p, n, n} и {n, n}, соответственно. В ядрах ^{6, 7}Li в качестве остова естественно выбрать α-кластер, остов ядра ¹¹Li будем считать подобным ядру ⁹Li. В таком случае в рассматриваемых системах будет не более двух тождественных нуклонов.

Ядерную часть эффективного потенциала взаимодействия нуклона с ядерным остовом можно выбрать аналогичной псевдопотенциалу [22], используемому в физике металлов для описания взаимодействия внешних электронов (из зоны проводимости) с атомными остовами. Внутри атомного остова иона псевдопотенциал имеет простой вид (в частности, может быть постоянным), при этом вне атомного остова решения уравнения Шредингера с псевдопотенциалом и реальным потенциалом атома мало отличаются друг от друга. Энергия основного состояния электрона в псевдопотенциале близка к энергии самого верхнего занятого уровня атома. Наличие отталкивательных кóров в используемых в данной работе псевдопотенциалах объясняется наличием отталкивательных кóров в потенциалах нуклон-нуклонного взаимодействия. Энергия основного состояния в системе остов-нуклон оказывается близкой к энергии самого верхнего заполненного уровня оболочечной модели ядра. При этом состояния нуклонов ядерного остова, соответствующие нижележащим уровням, оказываются исключенными (запрещенными).

В работах [16–18] при расчетах пропагатора ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {\tilde {q},\tilde {\tau };\,\,\tilde {q},0} \right)$ для ядер ⁶He, ⁶Li потенциалы сильного взаимодействия $\alpha $-кластера с нейтроном и протоном ${{V}_{{n - {\alpha }}}}(r) \equiv V_{{p - {\alpha }}}^{{(N)}}(r)$ были выбраны в виде линейных комбинаций функций типа Вудса–Саксона (фермиевского распределения)

В данной работе парный псевдопотенциал сильного взаимодействия $\alpha $-кластера с нейтроном и протоном ${{V}_{{n - {\alpha }}}}(r) \equiv V_{{p - {\alpha }}}^{{(N)}}(r)$ для ядер ⁶Li и ⁷Li и парный псевдопотенциал сильного взаимодействия ядерного остова с нейтроном для ядра ¹¹Li были выбраны в виде функции

Примеры графиков парных псевдопотенциалов сильного взаимодействия $\alpha $-кластера и ядерного остова {⁹Li} с нейтроном показаны на рис. 2; их обсуждение приводится в следующем разделе. Потенциал взаимодействия протона с $\alpha $-кластером ${{V}_{{p - {\alpha }}}}(r)$ включал ядерную (N) и кулоновскую (C) части

Для кулоновской части взаимодействия использовалось известное выражение для энергии точечного заряда в поле равномерно заряженного шара.

Вычисления для ядер ³Н, ⁶Li и ¹¹Li, рассматриваемых соответственно как системы n + n + p, n + + p + α и n + n + {⁹Li}, выполнялись в системе центра масс с использованием координат Якоби (см., например, [13]) для системы трех частиц с массами ${{m}_{1}},\,\,{{m}_{2}},$ ${{m}_{3}}$

Для ядер ³Н, ¹¹Li в качестве ${{\vec {r}}_{1}},\,\,{{\vec {r}}_{2}}$ выбирались радиусы-векторы нейтронов с ${{m}_{1}} = {{m}_{2}} = m,$ для ядра ⁶Li − радиусы-векторы нейтрона и протона с равными массами ${{m}_{1}} \approx {{m}_{2}} = m.$ Для ядра ⁷Li, представленного как система n + n + p + α, использовались координаты Якоби для системы четырех частиц с массами ${{m}_{1}} = {{m}_{2}} = {{m}_{3}} = m,$ ${{m}_{3}} = M$

Вычисления по формулам (8), (9) с потенциальной энергией, несимметричной по отношению к перестановке нейтронов с радиусами-векторами ${{\vec {r}}_{1}},$ ${{\vec {r}}_{2}}$, дает координатную волновую функцию, также несимметричную по отношению к перестановке нейтронов

Из-за асимметричности спиновой волновой функции по отношению к перестановке нейтронов с антипараллельными спинами координатная волновая функция должна быть симметрична по отношению к перестановке нейтронов. Такую (ненормированную) волновую функцию можно получить, образовав симметричную комбинацию

или в координатах Якоби

Плотность вероятности в координатах Якоби $\rho (\vec {x},\vec {y}) = {{\left| {{{\Psi }_{S}}(\vec {x},\vec {y})} \right|}^{2}}$ имеет свойство симметрии по отношению к инверсии вектора $\vec {x}{\text{:}}$ $\rho (\vec {x},\vec {y}) = \rho ( - \vec {x},\vec {y}).$ Подобная симметризация по отношению к перестановке нейтронов нужна и для ядра ⁷Li. Для ядра ¹¹Li взаимодействие внешних нейтронов с остовом в простейшем приближении будем считать не зависящим от спинов нейтронов, тогда симметричная по отношению к перестановкам нейтронов потенциальная энергия

приводит к симметричной по отношению к перестановке нейтронов волновой функции основного состояния

2. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Для реализации расчетов средних по случайным траекториям была использована технология CUDA параллельных вычислений на графических процессорах [23–25]. Расчеты были выполнены на гетерогенном кластере “HybriLIT” [26] Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований. Для определения энергии ${{E}_{0}}$ основного состояния ядер ³Н и ^{6, 7, 11}Li численные расчеты пропагатора (11) проводились с числом траекторий $n\sim {{10}^{6}}{\text{--}}{{10}^{8}}$ и шагом сетки по мнимому времени $\Delta \tilde {\tau } = 0.003.$ Результаты показаны на рис. 3.

Графики потенциалов (23)–(25) и псевдопотенциалов (27) показаны соответственно на рис. 1 и 2. Значения параметров потенциалов и псевдопотенциалов были подобраны из условия совпадения с точностью до трех значащих цифр теоретического значения $\left( { - {{E}_{0}}} \right)$ c экспериментальной энергией разделения ядер ³Н, ⁷Li и ⁶Li на составляющие нуклоны (³Н) или внешние нуклоны и α-кластер (⁷Li и ⁶Li), соответственно 8.48, 10.9 и 3.70 МэВ [3]. Для ядра ¹¹Li из-за малости энергии разделения (0.369 МэВ) на нейтроны и остов {⁹Li} совпадение ограничивалось двумя значащими цифрами. Относительная погрешность углового коэффициента в формуле (11) определялась с помощью линейной регрессии (см. рис. 3) и составляла несколько процентов. Для нуклон-нуклонных потенциалов (24), (25) были использованы незначительно измененные по сравнению с работой [16] значения параметров ${{d}_{1}} = 0.490$ фм, ${{c}_{1}} = 0.504$ фм. Для трех изотопов ^{6, 7, 11}Li были использованы единые значения параметров U₂ = = 55.8 МэВ, ${{B}_{1}} = 0.25$ фм, ${{B}_{2}} = 0.3$ фм, B₃ = 0.5 фм, ${{B}_{4}} = 1$ фм; значения остальных параметров псевдопотенциалов (27) приведены в таблице. Небольшие различия графиков псевдопотенциалов взаимодействия нейтрона с $\alpha $-кластером (27) для ядер ⁶Li и ⁷Li можно объяснить поляризацией α‑кластера в различном поле внешних нуклонов. В частности, несколько больший радиус отталкивательного кора у ядра ⁷Li обусловлен бóльшим числом таких нуклонов.

Рассмотрим свойства волновой функции ${{\Psi }_{0}}$ и плотности вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}} \right|}^{2}}$ для ядер ^6, 7, 11Li. Найденное по формуле (8) распределение ненормированной плотности вероятности ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {\vec {x},\vec {y},\tilde {\tau };\,\,\vec {x},\vec {y},0} \right)$ = = ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {x,y,\cos \theta ;\tilde {\tau }} \right)$ для трех значений угла $\theta $ трехтельной конфигурации ядра ⁶Li (n + p + α) показано на рис. 4а. Результаты для четырехтельной конфигурации ядра ⁷Li (n + n + p + α) в частном случае расположения нуклонов в вершинах правильного треугольника со стороной x и α-кластера на расстоянии z от центра треугольника приведены на рис. 5а. В работе [16] было показано, что подобное расположение нуклонов наиболее вероятно в ядре ³Н (см. также далее). Видно, что наиболее вероятными являются конфигурации с объединением внешних нуклонов соответственно в дейтронный кластер для ⁶Li (d + α, рис. 4в) и в тритонный кластер для ⁷Li (t + α, рис. 5в). Косвенным подтверждением этого является сравнительно небольшая энергия отделения этих кластеров – соответственно 1.47 и 2.47 МэВ, а также близость энергии отделения нейтрона от ядер ⁷Li и ³Н – соответственно 7.25 и 6.26 МэВ.

Представленная на рис. 5в модель согласуется с известными представлениями о форме ядер ⁷Li и ⁹Li. Из экспериментальных значений квадрупольных моментов были получены значения параметров квадрупольной деформации ${{\beta }_{2}}$ для ⁷Li от −0.9 до −1.5, для ⁹Li от −0.6 до −0.8 [27]. Сильно сплюснутая форма ядра ⁷Li может соответствовать усреднению по всевозможным поворотам системы t + α вокруг направления (оси симметрии), перпендикулярного межкластерной оси. Добавление двух внешних нейтронов делает ядро ⁹Li менее сплюснутым, что можно связать с поляризацией кластера в поле нейтронов. Некоторое уменьшение деформации до ${{\beta }_{2}} \approx - 0.6$ у ядра ¹¹Li можно рассматривать как следствие влияния протяженной гало-оболочки внешних нейтронов на ядерный остов, подобный ядру ⁹Li. В качестве дополнительной модели ядер ^7, 9, 11Li была использована оболочечная модель деформированного ядра с потенциалом Вудса–Саксона

где функция ${{g}_{{\beta }}}(\cos \theta )$ приведена в [28]. Расчеты в оболочечной модели деформированного ядра методом, приведенным в [29], дали энергии $\varepsilon $ верхних заполненных уровней ядер ^{7, 9, 11}Li, приблизительно равные взятым с противоположным знаком экспериментальным значениям энергии отделения нейтронов. Полученные схемы уровней нейтронов приведены на рис. 6а. Плотности вероятности для нейтронов ядра ⁹Li в цилиндрической системе координат показаны на рис. 6б. Для ядра ⁷Li и ядерного остова {⁹Li} картина будет аналогичной. Видно, что заселение нуклонами двух нижних уровней с квантовыми числами $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$ ($\left| {{{m}_{j}}} \right|$ − модуль проекции полного углового момента нуклона на ось симметрии ядра) дает распределение плотности вероятности, соответствующее сплюснутой форме ядра ⁷Li. Заселение третьего уровня с $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ в ядре ⁹Li ведет к некоторому уменьшению параметра квадрупольной деформации. Двум нейтронам и двум протонам на глубоких низших уровнях, соответствующих уровню $1{{s}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ сферического ядра с проекцией полного момента на ось симметрии ядра $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ отвечает ядерный остов, близкий к поляризованному α-кластеру. Два внешних нейтрона ядра ⁷Li на подуровне с проекцией полного момента на ось симметрии ядра $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2},$ соответствующем уровню $1{{p}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ сферического ядра, могут считаться довольно сильно связанными с ядерным остовом − энергия их отделения равна 7.25 МэВ. В ядре ⁹Li энергия этого подуровня заметно выше, а для вышележащего подуровня с $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ энергия отделения равна 4.06 МэВ.

В деформированном ядре ¹¹Li энергии подуровней с $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ соответствующих уровню 1p_3/2 сферического ядра, оказываются близкими. Это позволяет с достаточной точностью использовать для ядра ¹¹Li сферическую оболочечную модель с тремя заполненными нейтронными оболочками: $1{{s}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ (в поляризованном альфа-кластерном остове), $1{{p}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ (первая внутренняя оболочка) и $1{{p}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ (внешняя гало-оболочка). Соответственно, остов ядра ¹¹Li с достаточной точностью можно считать сферически симметричным, а псевдопотенциал взаимодействия остова с внешними нейтронами – центральным (см. рис. 2). Распределение плотности вероятности ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {\vec {x},\vec {y},\tilde {\tau };\,\,\vec {x},\vec {y},0} \right)$ = ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {x,y,\cos \theta ;\,\,\tilde {\tau }} \right)$ для трех углов $\theta $ трехтельной конфигурации ядра ¹¹Li (n + + n + {⁹Li}) показано на рис. 7. Наиболее вероятна конфигурация с динейтронным кластером; линейная (сигарообразная) конфигурация имеет существенно меньшую вероятность. Для сравнения на рис. 8 приведена топография пропагатора ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {\vec {x},\vec {y},\tilde {\tau };\,\,\vec {x},\vec {y},0} \right)$ = ${{\tilde {K}}_{E}}\left( {x,y,\cos \theta ;\,\,\tilde {\tau }} \right)$ для трех значений угла $\theta $ трехтельной конфигурации ядра ³Н (n + n + p). В показанной картине благодаря большой разнице между энергиями основного (−8.48 МэВ) и первого возбужденного (−2.22 МэВ) состояний заметно присутствие плотности вероятности двух состояний согласно формуле (5). Основному состоянию ядра ³Н отвечают треугольное и линейное (сигарообразное) расположение нуклонов. В области, где выполнено условие

проявляется первое возбужденное состояние с разделением на нейтрон и дейтрон n + d.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный поход к расчетам волновой функции основного состояния ядер ^{6, 7, 9, 11}Li может служить полезным дополнением к существующим более сложным теоретическим методам. Он позволяет достаточно просто определить энергию основного состояния и установить ее зависимость от параметров нуклон-нуклонного потенциала. Анализ свойств плотности вероятности позволяет подобрать аналитические аппроксимации для волновой функции основного состояния и сделать более реалистичным выбор среднего поля оболочечной модели, а также распределения заряда и массы в ядрах. Все это может быть полезным при теоретическом описании реакций с участием изотопов лития и других легких ядер.