Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 2, стр. 164-166

Нелинейные эффекты перемагничивания и вихревых токов в разной степени проявляются в любых электромеханических преобразователях энергии [1–3], но наиболее существенно – в гистерезисных электромеханических преобразователях энергии [2, 4], используемых в большинстве применений в режиме гистерезисного электродвигателя в электроприводах [2].

В качестве теоретической основы для моделирования и исследования явлений, рассматриваемых в статье, использована теория поверхностного эффекта в ферромагнитных телах, проработанная Л.Р. Нейманом [5]. В качестве прототипов приняты модель и алгоритм из [6] и из ряда последующих работ в нашей стране и за рубежом. Научная идея учета вихревых токов заключается в непосредственном использовании для расчетов динамических кривых намагничивания. Предлагаемая методология расчетного построения кривых намагничивания основана на разделении кривых намагничивания на участки слабого, смешанного и сильного электромагнитных полей с границами:

Здесь H – текущее значение напряженности магнитного поля; H_А – граничное (краевое) значение напряженности магнитного поля для статической кривой намагничивания массивного материала; H_кр – граничное (краевое) значение напряженности магнитного поля, соответствующее поверхностной напряженности, при которой электромагнитная волна усекается до волны со значением напряженности H_А и, следовательно, наблюдается предельный случай существования сильного электромагнитного поля во всем объеме массива материала при полном усечении слабого электромагнитного поля; H_s – значение напряженности магнитного поля при физическом насыщении материала.

Предельному случаю существования сильного электромагнитного поля во всем объеме массива магнитного материала при полном усечении слабого электромагнитного поля соответствует одновременное выполнение условий:

Здесь – эквивалентная глубина проникновения электромагнитной волны в массив материала; K_ус – коэффициент усечения электромагнитной волны, равенство его нулю соответствует полному усечению слабого поля.

Проведенный анализ показал, что кривые намагничивания наилучшим образом аппроксимируются отрезками парабол, в простейшей реализации статическая кривая аппроксимируются двумя параболами, пересекающимися в точке с координатами B_A и H_A. В [6] и ряде последующих работ напряженность в точке динамической кривой намагничивания с координатой по индукции B_К в области слабого электромагнитного поля определяется соотношением

Здесь B_Af – индукция магнитного поля в точке динамической кривой намагничивания с напряженностью магнитного поля H_А.

В настоящей работе предложено более точное соотношение:

Здесь K_T1 – коэффициент, учитывающий глубину проникновения электромагнитной волны в массив материала, в частности, в гистерезисный слой для случая слабого поля, и получаемый расчетно-теоретическим путем при более точном решении дифференциального уравнения [5], описывающего такую волну; Z – глубина проникновения электромагнитной волны в массив материала.

Значение напряженности магнитного поля H_кр, определяющее границу диапазонов изменения напряженности для смешанного и сильного электромагнитного поля, определяется соотношением:

Здесь Δ – толщина гистерезисного слоя; ρ – удельное электрическое сопротивления материала слоя; B_ср – усредненное интегральное значение индукции поля на участке от индукции на поверхности слоя до индукции B_A: Здесь B_кр – значение индукции магнитного поля, взятое по статической кривой намагничивания; H(Z) – зависимость напряженности результирующего магнитного поля от глубины проникновения электромагнитной волны в массив.

В [6] и ряде последующих источников напряженность магнитного поля в произвольной точке динамической кривой намагничивания с координатой по индукции магнитного поля B_К в области сильного электромагнитного поля дается формулой

В настоящей работе предложено более точное соотношение:

Здесь K_T2 – коэффициент, учитывающий глубину проникновения электромагнитной волны в массив магнитного материала, в частности, материала гистерезисного слоя в случае сильного поля, и получаемый при более точном решении дифференциального уравнения [5], описывающего волну.

Для решения нелинейных уравнений вида (7), (11) разработан итерационный алгоритм с использованием методов хорд и бисекции [7].

На рис. 1 показаны полученные расчетом и экспериментально статическая и динамические кривые намагничивания массивной втулки из углеродистой стали, а на рис. 2 – гистерезисного слоя из хромокобальтового сплава [8, 9].

По результатам исследования можно отметить следующее.

1. В момент первоначального намагничивания гистерезисного слоя при пуске несинусоидальному распределению индукции магнитного поля в гистерезисном слое соответствует цикл гистерезиса, близкий к циклу, который был бы при синусоидальном распределении этой индукции с той же амплитудой.

2. Оптимальным подходом к расчету статических и динамических кривых намагничивания массивных магнитных материалов и роторов на базе таких материалов является подход на основе разделения кривых намагничивания на участки слабого, смешанного и сильного электромагнитных полей.

3. Проведенный расчетно-теоретический анализ и экспериментальные исследования показали, что аппроксимация зависимостей отрезками парабол дает наилучшее схождение расчетных и экспериментальных данных по сравнению с аппроксимацией зависимостей отрезками других функций. Расхождения результатов расчетов по вновь разработанным моделям и данных экспериментов не превышают 5%, в то время как такие расхождения для наиболее точной модели-прототипа достигают 15% и более.

5. Разработанный алгоритм с использованием численных методов хорд и бисекции эффективен для решения полученных нелинейных интегральных уравнений, определяющих напряженность магнитного поля в точках динамических кривых намагничивания в областях слабого и сильного электромагнитных полей с соответствующими уровнями индукции поля.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-58-53025 ГФЕН-а и № 18-58-53047 ГФЕН-а.