Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 3, стр. 328-331

Дискретный характер спинового момента поверхностной волны на границе топологического изолятора

А. И. Маймистов^1, *, Е. И. Ляшко¹

¹ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”
Москва, Россия

^* E-mail: aimaimistov@gmail.com

Поступила в редакцию 20.09.2019
После доработки 15.11.2019
Принята к публикации 27.11.2019

DOI: 10.31857/S0367676520030199

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрен спиновый момент поверхностной волны, распространяющейся вдоль границы раздела диэлектрика и топологического изолятора. Компоненты вектора спинового момента образуют дискретное множество, что является следствием дискретности тологического числа, характеризующего топологический изолятор.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение явлений, связных с угловым моментом электромагнитного поля, принадлежит фундаментальным задачам оптики, и может приводить к решению важных прикладных задач [1‒12]. В интегральной оптике и плазмонике большую роль играют поверхностные волны, поэтому свойства углового момента таких волн активно изучаются [8–11]. Наблюдается интерес к оптическим явлениям в необычных средах, называемых топологическими изоляторами (ТИ). Для этих материалов характерен поверхностный магнитоэлектрический эффект [13], результатом которого является поворот векторов магнитного и электрического полей электромагнитной волны при пересечении границы раздела обычного диэлектрика и ТИ. По этой причине поверхностные волны содержат все три компоненты электрического и магнитного полей, и их поляризация может меняться по мере распространения волны.

Как для обычных диэлектриков, так и для ТИ, поверхностные волны существуют при условии, что одна из соприкасающихся сред обладает отрицательной диэлектрической проницаемостью. Данное условие выполняется для проводников, некоторых полупроводников и метаматериалов [14, 15] и на границе раздела гиперболических метаматериалов и ТИ [16, 17]. Исследование свойств полного углового момента поверхностной волны на границе раздел ТИ и метаматериала или нелинейного диэлектрика [18, 19] показало, что орбитальный момент лежит в плоскости раздела и перпендикулярен направлению распространения волны, как в общем случае всех поверхностных волн [9–11]. Однако спиновый момент дополнительно имеет компоненту, нормальную к поверхности раздела. Другой особенностью спинового момента является его дискретный характер, что есть проявление дискретности топологического числа (или заряда) ТИ. Это свойство спинового момента поверхностной волны рассматривается в настоящей статье.

СПИНОВЫЙ УГЛОВОЙ МОМЕНТ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ

Для определенности будет рассмотрен случай границы раздела ТИ и метаматериала с отрицательной диэлектрической проницаемостью. Пусть полупространство $x < 0$ заполнено топологическим изолятором, который предполагается изотропным диэлектриком, таким что ${{D}_{i}} = {{\varepsilon }_{1}}{{E}_{i}},$ $i = x,y,z.$ Полупространство $x > 0$ заполнено метаматериалом, для которого ${{D}_{i}} = {{\varepsilon }_{2}}{{E}_{i}}$ и ${{\varepsilon }_{2}} = - \left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right| < 0.$

Система уравнений Максвелла записывается как система уравнений для фурье-компонент напряженностей полей:

(1)

$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{E}_{y}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{E}_{y}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + k_{0}^{2}\mu {{D}_{y}} = 0, \\ {{H}_{z}} = - \frac{i}{{{{k}_{0}}\mu }}\frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial x}},\,\,\,{{H}_{x}} = \frac{i}{{{{k}_{0}}\mu }}\frac{{\partial {{E}_{y}}}}{{\partial z}}, \\ \end{gathered} $

(2)

$\begin{gathered} \frac{{\partial {{E}_{x}}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {{E}_{z}}}}{{\partial x}} = i{{k}_{0}}\mu {{H}_{y}}, \\ {{D}_{z}} = \frac{i}{{{{k}_{0}}}}\frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial x}},\,\,\,{{D}_{x}} = - \frac{i}{{{{k}_{0}}}}\frac{{\partial {{H}_{y}}}}{{\partial z}}, \\ \end{gathered} $

где ${{k}_{0}} = {\omega /}c.$ Поскольку в направлении распространения волны среды однородные, все поля и индукция могут быть представлены в следующем виде: $\vec {E}(x,z;\omega )$ = $\vec {e}(x)\exp (i\beta z),$ $\vec {H}(x,z;\omega )$ = = $\vec {h}(x)\exp (i\beta z)$ и $\vec {D}(x,z;\omega )$ = $\vec {d}(x)\exp (i\beta z),$ где $\beta $ – постоянная распространения. Система уравнений (1) и (2) сводится к двум обыкновенным уравнениям для ${{e}_{y}}(x)$ и ${{e}_{z}}(x),$ остальные компоненты выражаются через них. Согласно [1–5], спиновый момент есть

(3)

${{\vec {S}}_{{in}}} = {{(4\pi c)}^{{ - 1}}}\int {\vec {E} \times \vec {A}dV} ,$

где векторный потенциал $\vec {A}(x,z;\omega )$ = $\vec {a}(x;\omega )\exp (i\beta z)$ выбран в кулоновской калибровке ${\text{div}}\,\vec {A} = 0.$ В этом случае его амплитуда $\vec {a}(x;\omega )$ связана с электрическим полем соотношением $\bar {e}(x)$ = $i{{k}_{0}}\vec {a}(x).$ Усредненный по быстрым колебаниям во времени спиновый момент есть $\left\langle {{{{\vec {S}}}_{{in}}}} \right\rangle $ = ${{(4\pi c)}^{{ - 1}}}\int {\vec {g}dV} ,$ где $\vec {g} = 2\operatorname{Re} (\vec {e} \times \vec {a}*).$ Используя решения уравнений для ${{e}_{y}}(x)$ и ${{e}_{z}}(x),$ можно вычислить $\vec {a}(x;\omega ).$ Подробности представлены в [18, 19], так что здесь приводятся только необходимые результаты. При $x < 0$

(4)

$\begin{gathered} a_{x}^{{(1)}} = - ({\beta \mathord{\left/ {\vphantom {\beta {{{k}_{0}}q}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{0}}q}})B{{e}^{{qx}}},\,\,\,a_{y}^{{(1)}} = ({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {i{{k}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {i{{k}_{0}}}})A{{e}^{{qx}}}, \\ a_{z}^{{(1)}} = ({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {i{{k}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {i{{k}_{0}}}})B{{e}^{{qx}}}, \\ \end{gathered} $

при $x > 0$

(5)

$\begin{gathered} a_{x}^{{(2)}} = ({\beta \mathord{\left/ {\vphantom {\beta {{{k}_{0}}p}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{0}}p}}){{B}_{0}}{{e}^{{ - px}}},\,\,\,a_{y}^{{(2)}} = ({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {i{{k}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {i{{k}_{0}}}}){{A}_{0}}{{e}^{{ - px}}}, \\ a_{z}^{{(2)}} = ({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {i{{k}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {i{{k}_{0}}}}){{B}_{0}}{{e}^{{ - px}}}, \\ \end{gathered} $

где $q = {{\left( {{{\beta }^{2}} - k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{1}}} \right)}^{{{\text{1/2}}}}},$ $p = {{\left( {{{\beta }^{2}} - k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{2}}} \right)}^{{{\text{1/2}}}}},$ $A$ и $B$ – значения пределов ${{e}_{y}}(x)$ и ${{e}_{z}}(x)$ при $x \to 0 - ,$ ${{A}_{0}}$ и ${{B}_{0}}$ – значения пределов ${{e}_{y}}(x)$ и ${{e}_{z}}(x)$ при $x \to 0 + .$ Поле $\vec {e}(x)$ определяется из (4) и (5) по формуле $\bar {e}(x) = i{{k}_{0}}\vec {a}(x).$ Связь между $A,$ $B,$ ${{A}_{0}}$ и ${{B}_{0}}$ определяется из условия непрерывности касательных проекций электрических полей и величины разности производных для ${{e}_{y}}(x)$ и ${{e}_{z}}(x)$ в точке $x = 0,$ которые в рассматриваемом случае даются выражениями

(6)

$\begin{gathered} e_{y}^{{(1)}}(0) = e_{y}^{{(2)}}(0),\,\,\,\,e_{z}^{{(1)}}(0) = e_{z}^{{(2)}}(0), \\ \frac{\partial }{{\partial x}}e_{y}^{{(1)}}(0) - \frac{\partial }{{\partial x}}e_{y}^{{(2)}}(0) = i{{k}_{0}}\kappa e_{z}^{{(1)}}(0), \\ \frac{{{{\varepsilon }_{1}}}}{{{{q}^{2}}}}\frac{\partial }{{\partial x}}e_{z}^{{(1)}}(0) - \frac{{{{\varepsilon }_{2}}}}{{{{p}^{2}}}}\frac{\partial }{{\partial x}}e_{z}^{{(2)}}(0) = i\frac{\kappa }{{{{k}_{0}}}}e_{y}^{{(1)}}(0), \\ \end{gathered} $

где $\kappa = ({{{{e}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{e}^{2}}} {c\hbar }}} \right. \kern-0em} {c\hbar }})\Delta \theta .$ Здесь $\Delta \theta = {{\theta }^{{(1)}}} - {{\theta }^{{(2)}}}$ – разность топологических чисел, которые характеризуют соприкасающиеся среды [13]. В рассматриваемом случае ${{\theta }^{{(1)}}} = 1 + 2n,$ $n$ – целое число, и ${{\theta }^{{(2)}}} = 0.$

Исходя из (4) и (5) можно вычислить напряженность электрического поля и с помощью (3) найти все компоненты вектора плотности спинового момента:

$\begin{gathered} g_{x}^{{(1)}} = \frac{{2i}}{{{{k}_{0}}}}\left( {AB{\text{*}} - A{\text{*}}B} \right){{e}^{{2qx}}},\,\,g_{y}^{{(1)}} = - \frac{{4\beta }}{{{{k}_{0}}q}}{{\left| B \right|}^{2}}{{e}^{{2qx}}}, \\ g_{z}^{{(1)}} = \frac{{2\beta }}{{{{k}_{0}}q}}\left( {AB{\text{*}} + A{\text{*}}B} \right){{e}^{{2qx}}}, \\ g_{x}^{{(2)}} = \frac{{2i}}{{{{k}_{0}}}}\left( {AB{\text{*}} - A{\text{*}}B} \right){{e}^{{ - 2px}}}, \\ g_{y}^{{(2)}} = \frac{{4\beta }}{{{{k}_{0}}p}}{{\left| B \right|}^{2}}{{e}^{{ - 2px}}},\,\,g_{z}^{{(2)}} = - \frac{{2\beta }}{{{{k}_{0}}p}}\left( {AB{\text{*}} + A{\text{*}}B} \right){{e}^{{ - 2px}}}. \\ \end{gathered} $

Условия (6) приводят к связи между амплитудами $A$ и $B.$

(7)

$(q + p)A = i\kappa {{k}_{0}}B,\,\,\,\left( {p{{\varepsilon }_{1}} + q{{\varepsilon }_{2}}} \right)B = ({\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa {{{k}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{0}}}})qpA,$

откуда следует

(8)

$B = \frac{{i\kappa qp}}{{{{k}_{0}}(p{{\varepsilon }_{1}} + q{{\varepsilon }_{2}})}}A \equiv i\rho A,$

и дисперсионное соотношение

(9)

$\left( {p{{\varepsilon }_{1}} + q{{\varepsilon }_{2}}} \right)(q + p) + {{\kappa }^{2}}qp = 0.$

Надо заметить, что поскольку в (9) входит параметр $\kappa ,$ пропорциональный нечетным числам $1 + 2n,$ решение дисперсионного соотношения образуют дискретное множество, нумеруемое целыми числами. Для обычных сред поверхностные волны характеризуются одним дисперсионным соотношением.

Учитывая (8), можно получить выражения для продольных компонент плотности спинового момента $g_{z}^{{(1)}} = g_{z}^{{(2)}} = 0,$ тогда как поперечные компоненты есть

(10)

$g_{x}^{{(1)}} = \frac{{4\rho }}{{{{k}_{0}}}}{{\left| A \right|}^{2}}{{e}^{{2qx}}},\,\,\,g_{y}^{{(1)}} = - \frac{{4\beta {{\rho }^{2}}}}{{{{k}_{0}}q}}{{\left| A \right|}^{2}}{{e}^{{2qx}}},$

(11)

$g_{x}^{{(2)}} = \frac{{4\rho }}{{{{k}_{0}}}}{{\left| A \right|}^{2}}{{e}^{{ - 2px}}},\,\,\,g_{y}^{{(2)}} = \frac{{4\beta {{\rho }^{2}}}}{{{{k}_{0}}p}}{{\left| A \right|}^{2}}{{e}^{{ - 2px}}}.$

Ненулевая нормальная проекция вектора спинового момента отличает рассматриваемую ситуацию от случая поверхностных плазмон-поляритонов.

Если провести аналогичные расчеты для топологически неразличимых сред, когда $\Delta \theta = {{\theta }^{{(1)}}}$ – $ - \,\,{{\theta }^{{(2)}}} = 0,$ то получится, что вектор спинового момента лежит в плоскости раздела обычных сред – его нормальная компонента равна нулю, как в случае обычных диэлектриков [8–10].

АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО СООТНОШЕНИЯ

Если определить новую положительную переменную $\tau = {p \mathord{\left/ {\vphantom {p {q\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {q\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|}},$ то (9) примет вид уравнения относительно $\tau $

(12)

${{\tau }^{2}} - \left( {\frac{1}{{{{\varepsilon }_{1}}}} - \frac{1}{{\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|}} - \frac{{{{\kappa }^{2}}}}{{{{\varepsilon }_{1}}\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|}}} \right)\tau - \frac{1}{{{{\varepsilon }_{1}}\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|}} = 0.$

Решение уравнения (12) позволяет определить $\tau $ как функцию диэлектрических проницаемостей и ${{\kappa }^{2}},$ характеризующего ТИ. Уравнение (12) имеет два корня. При ${{\kappa }^{2}} = 0$ корни имеют разные знаки, но, исходя из определения, следует выбрать положительный корень. Используя определение параметров $p$ и $q,$ можно найти выражение, определяющее постоянную распространения:

(13)

${{\beta }^{2}} = k_{0}^{2}\frac{{\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right| + {{\varepsilon }_{1}}{{{\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|}}^{2}}{{\tau }^{2}}}}{{\varepsilon _{2}^{2}{{\tau }^{2}} - 1}}.$

Величина $\kappa $ примерно равна $2.13 \cdot 10{}^{{ - 4}}\Delta \theta .$ Если $\Delta \theta $ порядка единицы или даже сотни, то все равно можно считать, что ${{\kappa }^{2}} \ll 1,$ и разложить $\tau (\kappa )$ по степеням ${{\kappa }^{2}}$ и ограничиться только первой поправкой. С точностью до ${{\kappa }^{2}},$ функция $\tau (\kappa )$ равна (детали в [19])

(14)

$\tau (\kappa ) = \frac{1}{{{{\varepsilon }_{1}}}}\left( {1 - \frac{{{{\kappa }^{2}}}}{{{{\varepsilon }_{1}} + \left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|}}} \right).$

Подстановка этого выражения в (13) приводит к формуле

(15)

$\begin{gathered} {{\beta }^{2}} = k_{0}^{2}n_{e}^{2}\left( {1 + \frac{{2n_{e}^{2}{{\kappa }^{2}}}}{{{{\Delta }^{2}}}}} \right), \\ \Delta = {{\varepsilon }_{1}} + \left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|,\,\,n_{e}^{2} = \frac{{{{\varepsilon }_{1}}\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|}}{{(\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right| - {{\varepsilon }_{1}})}}. \\ \end{gathered} $

Параметр ${{n}_{e}}$ есть эффективный показатель преломления поверхностного плазмон-поляритона. Таким образом, дисперсионное соотношение для поверхностной волны мало отличается от дисперсионного соотношения плазмон-поляритонов, но, в отличие от них, образует набор ветвей, нумеруемых топологическими числами.

ПОПЕРЕЧНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ПЛОТНОСТИ СПИНОВОГО МОМЕНТА

Как видно из (10) и (11), зависимость поперечных компонент спинового момента от $\kappa $ определяется фактором $\rho ,$ $p$ и $q$. Проще рассмотреть величину $g_{x}^{{(1)}}(0) = g_{x}^{{(2)}}(0)$ – максимальное значение нормальной компоненты плотности спинового момента, которая пропорциональна $\rho .$ Из (8) и дисперсионного соотношения следует выражение

$\rho = \frac{{q\kappa \tau }}{{{{k}_{0}}({{\varepsilon }_{1}}\tau - 1)}}.$

Используя определение $q$ и выражения (14) и (15), можно найти

(16)

$q = {{k}_{0}}\sqrt {n_{e}^{2} - {{\varepsilon }_{1}}} \left( {1 + \frac{{n_{e}^{4}{{\kappa }^{2}}}}{{{{\Delta }^{2}}\left( {n_{e}^{2} - {{\varepsilon }_{1}}} \right)}}} \right).$

Параметр $p$ может быть определен из (16) с помощью соотношения $p = q\left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|\tau .$ Для фактора $\rho $ имеет место выражение

$\rho = \frac{{( - 1)\Delta }}{{2{{\varepsilon }_{1}}}}\left[ {\frac{1}{\kappa } + \frac{\kappa }{{{{\Delta }^{2}}}}\left( {\frac{{n_{e}^{4}}}{{n_{e}^{2} - {{\varepsilon }_{1}}}} - 2\Delta } \right)} \right] + O({{\kappa }^{2}}).$

Следовательно,

$\begin{gathered} g_{x}^{{(1)}}(0) = g_{x}^{{(2)}}(0) = \\ = - \frac{{2|A{{|}^{2}}\Delta }}{{{{k}_{0}}{{\varepsilon }_{1}}}}\left[ {\frac{1}{\kappa } + \frac{\kappa }{{{{\Delta }^{2}}}}\left( {\frac{{n_{e}^{4}}}{{n_{e}^{2} - {{\varepsilon }_{1}}}} - 2\Delta } \right)} \right] + O({{\kappa }^{2}}), \\ \end{gathered} $

где $\kappa = ({{{{e}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{e}^{2}}} {4\pi c\hbar }}} \right. \kern-0em} {4\pi c\hbar }})(1 + 2n),$ $n = 0,\;1,\;2, \ldots $

Для тангенциальной компоненты плотности спинового момента может быть найдена зависимость от $\kappa $ аналогичным образом. Проще всего рассмотреть максимальные значения тангенциальных компонент плотности спинового момента, которые определяются следующими выражениями:

$g_{y}^{{(1)}}(0) = - \frac{{4\beta {{\rho }^{2}}}}{{{{k}_{0}}q}}{{\left| A \right|}^{2}},\,\,\,g_{y}^{{(2)}}(0) = \frac{{4\beta {{\rho }^{2}}}}{{{{k}_{0}}p}}{{\left| A \right|}^{2}}.$

Используя найденные ранее величины $\rho ,$ $p$ и $q,$ можно определить зависимость $g_{y}^{{(1)}}(0)$ и $g_{y}^{{(2)}}(0)$ от $\kappa .$ Например,

$\begin{gathered} g_{y}^{{(1)}}(0) = - {{\left| A \right|}^{2}}\frac{{{{n}_{e}}\sqrt {n_{e}^{2} - {{\varepsilon }_{1}}} {{\Delta }^{2}}}}{{{{k}_{0}}\varepsilon _{1}^{2}}}{{\kappa }^{{ - 2}}}\left[ {1 + O({{\kappa }^{2}})} \right], \\ g_{y}^{{(2)}}(0) = {{\left| A \right|}^{2}}\frac{{{{n}_{e}}\sqrt {n_{e}^{2} + \left| {{{\varepsilon }_{2}}} \right|} {{\Delta }^{2}}}}{{{{k}_{0}}\varepsilon _{1}^{2}}}{{\kappa }^{{ - 2}}}\left[ {1 + O({{\kappa }^{2}})} \right]. \\ \end{gathered} $

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для случая границы раздела обычных диэлектриков поверхностная волна является поперечной магнитной волной, дисперсионное соотношение приводит к однозначной зависимости постоянной распространения от частоты $\beta = \beta (\omega ),$ и вектор спинового углового момента лежит в плоскости раздела сред. В случае диэлектрик–ТИ поверхностная волна имеет все три компоненты (состояние поляризации, видимо, может меняться по мере распространения). Дисперсионное соотношение многозначно, и постоянная распространения ${{\beta }_{n}} = \beta (\omega ;n)$ зависит от целочисленного топологического числа. Вектор спинового углового момента имеет две поперечные компоненты, которые образуют дискретное множество: каждой ветви закона дисперсии ${{\beta }_{n}} = \beta (\omega ;n)$ отвечает свой спиновый угловой момент. Аналогичная картина присутствует в случае направленных волн в волноводах: существует множество мод, которым отвечает свой закон дисперсии и которые нумеруются целыми числами. Но другая природа дискретности. В рассматриваемом в данной работе случае дискретность характеристик поверхностной волны обусловлена свойствами ТИ, а не интерференцией волн, захваченных волноводом.

Влияние керровской нелинейности диэлектрика, соприкасающегося с ТИ, на образование поверхностной волны учитывалось в [19]. Ненулевая нормальная компонента вектора спинового углового момента и ее дискретность сохраняются.

Исследование выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-02-00921).

Список литературы

Barnett S.M. // J. Mod. Opt. 2010. V. 57. № 4–15. P. 1339.
Cagliero A. // J. Opt. 2018. V. 20. Art. № 083501.
Yao A.M., Padgett M.J. // Adv. Opt. & Photon. 2011. V. 3. № 2. P. 161.
Berini P. // Adv. Opt. & Photon. 2009. V. 1. № 3. P. 484.
Wang Y., Plummer E.W., Kempa K. // Adv. Phys. 2011. V. 60. № 5. P. 799.
Cameron R.P., Barnett S.M., Yao A.M. // New J. Phys. 2012. V. 14. Art. № 053050.
Pfeifer R.N.C., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinsztein-Dunlop H. // J. Opt. 2011. V. 13. Art. № 044017.
Bliokh K.Y., Nori F. // Phys. Rep. 2015. V. 592. P. 1.
Bliokh K.Y., Nori F. // Phys. Rev. A. 2012. V. 85. Art. № 061801(R).
Bliokh K.Y., Bekshaev A.Y., Nori F. // New J. Phys. 2017. V. 19. Art. № 063021.
Bekshaev A.Y., Bliokh K.Y. // Ukr. J. Phys. Opt. 2018. V. 19. № 1. P. 33.
Ritboon A., Croke S., Barnett S.M. // J. Opt. Soc. Am. B. 2019. V. 36. № 2. P. 482.
Hasan M.Z., Kane C.L. // Rev. Mod. Phys. 2010. V. 82. P. 3045.
Karch A. // Phys. Rev. B. 2011. V. 83. Art. № 245432.
Huerta L. // Phys. Rev. D. 2016. V. 94. Art. № 125021.
Lyashko E.I., Maimistov A.I., Gabitov I.R. // arXiv: 1706.05951v1. 2017.
Маймистов А.И., Ляшко Е.И. // Изв. РАН. Сер. физ. 2018. Т. 82. № 1. С. 27; Maimistov A.I., Lyashko E.I. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2018. V. 82. № 1. P. 21.
Маймистов А.И., Ляшко Е.И. // Опт. и спектроск. 2018. Т. 125. № 6. С. 795; Maimistov A.I., Lyashko E.I. // Opt. Spectrosс. 2018. V. 125. № 6. P. 966.
Маймистов А.И., Ляшко Е.И. // Опт. и спектроск. 2019. Т. 126. № 5. С. 578; Maimistov A.I., Lyashko E.I. // Opt. Spectrosс. 2019. V. 126. № 6. P. 497.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал