1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 84, № 3, 2020

Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 3, стр. 332-335

Запутанные состояния атомных солитонов для квантовой метрологии

Д. В. Царёв 1, *, В. Нго-Тхе 1, А. П. Алоджанц 1

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики”
Санкт-Петербург, Россия

* E-mail: dmitriy_93@mail.ru

Поступила в редакцию 20.09.2019
После доработки 15.11.2019
Принята к публикации 27.11.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе рассматривается формирование многочастичных максимально пространственно-запутанных состояний, известных как N00N-состояния, и их применение в квантовой метрологии. Показано преодоление стандартного квантового предела и достижение предела Гейзенберга при измерении линейного фазового сдвига. Показано преодоление предела Гейзенберга при измерении параметров среды в рамках нелинейной квантовой метрологии.

ВВЕДЕНИЕ

Благодаря стремительному развитию экспериментальных возможностей квантовых технологий в последнее десятилетие наблюдается стремительный рост интереса к квантовой метрологии [1, 2]. Во многих прикладных технологиях, таких как детектирование гравитационных волн [3], стандартах частоты и времени [4, 5], магнитометрии [6], квантовой гироскопии [7], термометрии живых клеток [8] или изображениях высокого разрешения в биологии [9], требуется чрезвычайно высокая точность измерения некоторых ключевых параметров, определяемая квантовыми ограничениями. Как правило, измерение требуемого параметра осуществляется через измерение фазового сдвига, содержащего всю необходимую информацию [10, 11]. В квантовой оптике такие измерения чаще всего проводятся с помощью интерферометра Маха–Цендера, оперирующего несколькими фотонами, либо световыми пучками, содержащими большое среднее число фотонов (для измерения дискретных и непрерывных переменных соответственно) [9]. В области атомной оптики также используются материально-волновые интерферометры, работающие подобным образом [1].

Ранее было показано, что два слабо связанных конденсата Бозе–Эйнштейна (БЭК) представляют удобную платформу для осуществления фазочувствительных измерений [12]. В частности, взаимодействующие конденсаты в джозефсоновском и фоковском режимах позволяют добиться точности измерения фазового сдвига, превышающей стандартный квантовый предел (СКП), ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt N }}} \right. \kern-0em} {\sqrt N }},$ где $N$ – среднее число частиц, задействованных в измерении. Также было показано достижение предела Гейзенберга, $1{\text{/}}N,$ с помощью N-частичных максимально пространственно-запутанных ${\text{N00N}}$-состояний [13, 14]. В этой связи получение ${\text{N00N}}$-состояний со значительным числом частиц (до ${{10}^{3}}$) представляет сложную и актуальную задачу для современной метрологии.

КВАНТОВАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ЗАПУТАННЫХ СОСТОЯНИЙ

Мы предлагаем модель формирования ${\text{N00N}}$-состояний с помощью солитонов двух слабосвязанных конденсатов Бозе–Эйнштейна, помещенных в две сигарообразные ловушки, формирующие W-потенциал (рис. 1). Гамильтониан такой системы в форме вторичного квантования состоит из трех слагаемых, $\hat {H} = {{\hat {H}}_{1}} + {{\hat {H}}_{2}} + {{\hat {H}}_{{int}}},$ где ${{\hat {H}}_{j}}$ – гамильтониан уединенного конденсата j-й ямы, а ${{\hat {H}}_{{int~}}}$ – Гамильтониан их взаимодействия:

(1)
${{\hat {H}}_{j}} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\hat {a}_{j}^{ + }\left( x \right)\left( { - \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} - \frac{u}{2}\hat {a}_{j}^{ + }\left( x \right){{{\hat {a}}}_{j}}\left( x \right)} \right){{{\hat {a}}}_{j}}\left( x \right)dx} ;$
(2)
${{\hat {H}}_{{int}}} = \kappa \int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\hat {a}_{1}^{ + }\left( x \right){{{\hat {a}}}_{2}}\left( x \right) + \hat {a}_{2}^{ + }\left( x \right){{{\hat {a}}}_{1}}\left( x \right)} \right)dx} ,$
где $\hat {a}_{j}^{ + }$ (${{\hat {a}}_{j}}$) – оператор рождения (уничтожения) частицы конденсата в j-й ловушке; $u$ – коэффициент нелинейного взаимодействия частиц в одной ловушке; $\kappa $ – скорость туннельного взаимодействия ловушек.

Рис. 1.

БЭК в двух сигарообразных ловушках, образующих W-потенциал.

Дальнейшее решение основано на стандартном вариационном подходе. Во-первых, необходимо выбрать вариационный анзац. В отсутствие туннелирования, $\kappa = 0,$ нелинейное уравнение Шрёдингера с гамильтонианом (1) имеет солитонное решение в форме гиперболического секанса:

(3)
${{{\Psi }}_{j}} = \frac{{{{N}_{j}}}}{2}\sqrt {\frac{u}{N}} {\text{sech}}\left[ {\frac{{{{N}_{j}}u}}{2}\left( {x - {{X}_{j}}} \right)} \right]{{e}^{{i{{{\theta }}_{j}} + i{{P}_{j}}\left( {x - {{X}_{j}}} \right)}}},$
где $N = {{N}_{1}} + {{N}_{2}}$ – число частиц в двух ловушках (полагается постоянной величиной); ${{{\theta }}_{j}}$ – фаза j-го солитона; ${{X}_{j}}$ и ${{P}_{j}}$ – координата центра массы солитона и его безразмерный импульс соответственно. При наличии слабого туннелирования, ${\kappa } \gtrsim 0,$ можно использовать решение (3) в качестве вариацонного анзаца волновой функции конденсата в j-й ловушке.

Во-вторых, усредняя гамильтониан (1), (2) по когерентному базису, подставляя анзац (3) и интегрируя по всему пространству, получим эффективный лагранжиан:

(4)
$L = - {\dot {\theta }}z + 0.5{\dot {\delta }}P - 0.25{{P}^{2}} + {\kappa }\left( {{\Lambda } + 1} \right)I - {\kappa }I.{\text{\;}}$

В (4) вводятся четыре вариационные параметра, минимально необходимые для описания динамики рассматриваемой системы: z = (N2 – N1)/N; ${\theta } = {{{\theta }}_{2}} - {{{\theta }}_{1}};$ ${\delta } = {{X}_{2}} - {{X}_{1}}$ и $P = {{P}_{2}} - {{P}_{1}}.$ Кроме того, ${\Lambda } = {{{{N}^{2}}{{u}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{N}^{2}}{{u}^{2}}} {16{\kappa }}}} \right. \kern-0em} {16{\kappa }}}$ – основной параметр среды, определяющий режимы динамики системы. Наконец, под I скрывается функционал следующего вида:

(5)
$I = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{\cos \left[ {{\theta } + {{2Px} \mathord{\left/ {\vphantom {{2Px} {Nu}}} \right. \kern-0em} {Nu}}} \right]dx{\kern 1pt} '}}{{\cosh \left[ {x{\kern 1pt} ' - {{z{\delta }Nu} \mathord{\left/ {\vphantom {{z{\delta }Nu} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right] + \cosh \left[ {zx{\kern 1pt} ' - {{{\delta }Nu} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\delta }Nu} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right]}}} .$

С помощью уравнения Эйлера–Лагранжа с лагранжианом (4) можно получить четыре уравнения динамики основных параметров:

(6)
$\left\{ \begin{gathered} {\dot {\theta }} = {\Lambda }z - \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {\left( {1 - {{z}^{2}}} \right)I} \right]; \hfill \\ \dot {z} = \frac{1}{2}\left( {1 - {{z}^{2}}} \right)\frac{{\partial I}}{{\partial {\theta }}}; \hfill \\ {\dot {\delta }} = \frac{1}{{2\kappa }}P + \left( {1 - {{z}^{2}}} \right)\frac{{\partial I}}{{\partial P}}; \hfill \\ \dot {P} = - \left( {1 - {{z}^{2}}} \right)\frac{{\partial I}}{{\partial {\delta }}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Точки в (6) обозначают дифференцирование по нормированному времени ${\tau } = 2{\kappa }t.$ Нас интересует особый предел, при котором разность населенностей ловушек максимальна, ${{z}^{2}} = 1.$ В этом пределе уравнения (6) и функционал (5) значительно упрощаются:

(7)
$\left\{ \begin{gathered} {\dot {\theta }} = {\text{sign}}\left( z \right)\left( {{\Lambda } + I} \right); \hfill \\ \dot {z} = 0; \hfill \\ {\dot {\delta }} = {P \mathord{\left/ {\vphantom {P {2{\kappa }}}} \right. \kern-0em} {2{\kappa }}}; \hfill \\ \dot {P} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

и

(8)
$I = A\cos \left[ {\theta } \right],$
где

(9)
$A = 0.5{\pi }~{\text{sech}}\left[ {{\pi }P{\text{/}}Nu~} \right]\cos \left[ {0.5P{{{\delta }}_{0}}} \right]$

и ${\text{sign}}\left( z \right) = \pm 1$ – знак разности населенностей; ${{{\delta }}_{0}}$ – расстояние между солитонами в начальный момент времени.

Из уравнений (7) можно видеть, что максимальная разность населенностей сохраняется, при этом солитоны движутся друг относительно друга с постоянным импульсом. Можно видеть, что предельному случаю (7) удовлетворяют два решения, различающиеся знаком $z = \pm 1.$ Эти решения представляют собой моды ${\text{N00N}}$-состояния, а само суперпозиционное ${\text{N}}00{\text{N}}$-состояние имеет вид:

(10)
$\left| {{\text{N00N}}} \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\left| + \right\rangle + {{e}^{{ - iN{{{\theta }}_{0}}}}}\left| - \right\rangle } \right),$
где

(11)
$\left| \pm \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt {N!} }}{{\left[ {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{\Phi }\left( x \right)a_{{2,1}}^{ + }\left( x \right){{e}^{{ \pm Px/2}}}dx} ~} \right]}^{N}};$
(12)
${\Phi }\left( x \right) = \frac{{\sqrt {Nu} }}{4}{\text{sech}}\left[ {\frac{{Nu}}{4}x} \right];$
(13)
${{{\theta }}_{0}} = \arccos \left[ {{{ - {\Lambda }} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {\Lambda }} A}} \right. \kern-0em} A}} \right].$

ПРОЦЕДУРА ИЗМЕРЕНИЯ И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ

$N00N$-состояние (10)–(13) может быть использовано в измерительной схеме на основе интерферометра Маха–Цендера в качестве состояния на входе. При этом в зависимости от задачи могут измеряться как внутренние параметры среды, зашифрованные в фазе (13), так и внешние параметры схемы, связанные с разностью хода мод и зашифрованные в дополнительном фазовом сдвиге, $\phi $ [15]. Этот дополнительный фазовый сдвиг вводится простой заменой в (10) ${{{\theta }}_{0}} \to {\theta } = {{{\theta }}_{0}} + \phi .$

Оценим точность измерения фазовых параметров. Набег ошибки при измерении параметра ${\chi }$ с помощью оператора $X$ определяется по формуле [16]:

(14)
$\left\langle {{{{\left( {\Delta {\chi }} \right)}}^{2}}} \right\rangle = \frac{{{{{\left\langle {\left( {\Delta \hat {X}} \right)} \right\rangle }}^{2}}}}{{{{{\left| {{{\partial \left\langle {\hat {X}} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \left\langle {\hat {X}} \right\rangle } {\partial {\chi }}}} \right. \kern-0em} {\partial {\chi }}}} \right|}}^{2}}}}.$

Для получения оценки погрешности будем использовать известный подход, основанный на измерении среднего значения проекционного оператора [17]:

(15)
$\hat {X} = \left| + \right\rangle \left\langle - \right| + \left| - \right\rangle \left\langle + \right|,$

что дает

(16)
${\Delta \chi } = \sqrt {\left\langle {{{{\left( {\Delta \chi } \right)}}^{2}}} \right\rangle } = \frac{1}{N}{{\left| {\frac{{\partial \theta }}{{\partial \chi }}} \right|}^{{ - 1}}}.$

Заметим, что аналогичный результат можно получить при измерении с помощью оператора четности [18].

Теперь с помощью выражения (16) получим оценки точности некоторых конкретных измерений. Так, при измерении любых внешних параметров, зашифрованных в фазовом сдвиге $\phi ,$ достигается предел Гейзенберга:

(17)
${\Delta }\phi = \frac{1}{N}.$

При измерении внутренних параметров с помощью фазы ${{{\theta }}_{0}}$ (при этом полагается $\phi = 0$) погрешность измерения имеет более сложный вид. Так, для измерения ${{\delta }_{0}}$ при известном $P$ (рис. 2) достигается точность

(18)
$\Delta {{{\delta }}_{0}} = \frac{{32\kappa }}{{{{N}^{3}}{{u}^{2}}P}}\left| {\frac{{\sqrt {{{A}^{2}} - {{{\Lambda }}^{2}}} }}{{{\text{tg}}\left[ {0.5P{{{\delta }}_{0}}} \right]}}} \right|.$
Рис. 2.

Зависимость$~~{{{\sigma }}_{{\chi }}} = {{{\Delta \chi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\Delta \chi }} {{{{\Delta }}_{{\chi }}}_{{{\text{СКП}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\Delta }}_{{\chi }}}_{{{\text{СКП}}}}}}$ от параметра ${\Lambda }{\text{.}}$ Для всех кривых ${{{\delta }}_{0}} \approx 0.1.$ ${\Lambda }$ варьировалась через изменение $N.$ Значение $\kappa $ выбиралось для каждой кривой индивидуально таким образом, чтобы максимальное значение ${\Lambda }$ достигалось при $N = 1000,$ при этом $Nu = 1.3$ для всех кривых.

Для измерения $P$ при известном ${{{\delta }}_{0}}$ (рис. 3)можно достичь точности

(19)
$\Delta P = \frac{{32{\kappa }}}{{{{N}^{3}}{{u}^{2}}{{{\delta }}_{0}}}}\left| {\frac{{\sqrt {{{A}^{2}} - {{{\Lambda }}^{2}}} }}{{{\text{tg}}\left[ {0.5P{{{\delta }}_{0}}} \right] + \frac{{2{\pi }}}{{Nu{{\delta }_{0}}}}\operatorname{th} \left[ {\frac{{{\pi }P}}{{Nu}}} \right]}}} \right|.$
Рис. 3.

Зависимость$~{{{\sigma }}_{{\chi }}} = {{{\Delta \chi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\Delta \chi }} {{{{\Delta }}_{{\chi }}}_{{{\text{СКП}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\Delta }}_{{\chi }}}_{{{\text{СКП}}}}}}$ с ${\chi } \equiv P$ от нормированного числа частиц $n = {N \mathord{\left/ {\vphantom {N {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}}.$ Для всех кривых $P \approx 0.6,$ $N = 1000,$ $Nu = 1.3.$

Наконец, при измерении внутреннего параметра среды, связанного с длиной рассеяния частиц, ${{u}^{2}},$ достигаемая точность составляет

(20)
$\Delta {{u}^{2}} = \frac{{16{\kappa }}}{{{{N}^{3}}}}\left| {\frac{{\sqrt {{{A}^{2}} - {{{\Lambda }}^{2}}} }}{{1 - \frac{{{\pi }P}}{{2Nu{{{\delta }}_{0}}}}\operatorname{th} \left[ {\frac{{{\pi }P}}{{Nu}}} \right]}}} \right|.$

Точность последнего измерения существенно превышает предел Гейзенберга, за исключением случая, когда знаменатель в правой части выражения (20) обращается в нуль. При такой комбинации параметров солитонов измерение по предлагаемой схеме не представляется возможным. Что касается точности измерения кинематических параметров (18) и (19), здесь будет полезно сравнить полученную оценку точности с соответствующими СКП, определяемыми как $\Delta {{{\delta }}_{{СКП}}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt N P}}} \right. \kern-0em} {\sqrt N P}}$ и $\Delta {{P}_{{{\text{СКП}}}}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt N {{{\delta }}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {\sqrt N {{{\delta }}_{0}}}},$ соответственно. На рис. 2 и 3 представлены зависимости ${{{\sigma }}_{{\chi }}} = {{{\Delta \chi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\Delta \chi }} {{\Delta }{{{\chi }}_{{{\text{СКП}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{\Delta }{{{\chi }}_{{{\text{СКП}}}}}}}$ (${\chi } \equiv {{{\delta }}_{0}}$ и ${\chi } \equiv P$ соответственно) от нормированного числа частиц $n = {N \mathord{\left/ {\vphantom {N {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}},$ где ${{N}_{0}}$ – максимальное число частиц, при котором выражение (13) имеет смысл. Эта граница области допустимых значений материальных параметров определяется как ${{{\Lambda }}_{0}} = {{N_{0}^{2}{{u}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{N_{0}^{2}{{u}^{2}}} {16{\kappa }}}} \right. \kern-0em} {16{\kappa }}} = A.$ Использовались следующие параметры симуляции: ${{N}_{0}} = {{10}^{3}}$ и ${{N}_{0}} = 1.3;$ ${{\delta }_{0}} \approx 0.1~$ для рис. 2 и $P \approx 0.6~$ для рис. 3. На обоих рисунках штрих-пунктирной линией обозначен предел Гейзенберга (ПГ). Точечная линия на рис. 2 соответствует СКП. Из рис. 2 можно видеть, что точность измерения $~{{{\delta }}_{0}}$ при заданных параметрах превышает СКП и достигает предел Гейзенберга на границах области допустимых значений. В то же время, как видно из рис. 3, точность измерения $P$ превышает предел Гейзенберга на всей области определения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе кратко представлена модель формирования максимально-запутанных ${\text{N00N}}$-состояний солитонов БЭК и применение этих состояний в квантовой метрологии. При измерении параметров, связанных с разностью хода солитонов в плечах интерферометра Маха–Цендера, достигается точность на уровне предела Гейзенберга. При измерении кинематических параметров – расстояния между солитонами в начальный момент времени и постоянного импульса их относительного движения – достигаемая точность превышает стандартный квантовый предел, а при определенных комбинациях параметров, точность также достигает предел Гейзенберга. Наконец, при измерении параметров, нелинейно зависящих от числа частиц (в рамках нелинейной метрологии), например, ${{u}^{2}},$ точность превышает предел Гейзенберга на два порядка $N.$ Более подробно с полученными результатами, включая подробные математические выкладки, можно ознакомиться в наших работах [15, 19].

Мы благодарим за финансовую поддержку Российский фонд фундаментальных исследований (проект № 19-52-52012), и Правительство Российской Федерации (грант № 08-08).

Список литературы

  1. Pezzè L., Smerzi A., Oberthaler M.K. et al. // Rev. Mod. Phys. 2018. V. 90. Art. № 035005.

  2. Degen C.L., Reinhard F., Cappellaro P. et al. // Rev. Mod. Phys. 2017. V. 89. Art. № 035002.

  3. Schnabel R. // Phys. Rep. 2017. V. 684. P. 1.

  4. Huelga S.F., Macchiavello C., Pellizzari T. et al. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 3865.

  5. Ludlow A.D., Boyd M.M., Ye J. et al. // Rev. Mod. Phys. 2015. V. 87. P. 637.

  6. Kitching J., Knappe S., Donley E.A. // IEEE Sens. J. 2011. V. 11. P. 1749.

  7. Berg P., Abend S., Tackmann G. et al. // Phys. Rev. Lett. 2015. V. 114. Art. № 063002.

  8. Kucsko G., Maurer P.C., Yao N.Y. et al. // Nature. 2013. V. 500. P. 54.

  9. Taylor M.A., Bowen W.P. // Phys. Rep. 2016. V. 615. P. 1059.

  10. Hentschel A., Sanders B.S. // Phys. Rev. Lett. 2010. V. 104. Art. № 063603.

  11. Kolodynski J., Demkowicz-Dobrzanski R. // New J. Phys. 2013. V. 15. Art. № 073043.

  12. Pezze L., Collins L.A., Smerzi A. et al. // Phys. Rev. A. 2005. V. 72. Art. № 043612.

  13. Boto A.N., Kok P., Abrams D.S. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 2733.

  14. Dowling J.P. // Contemp. Phys. 2008. V. 49. P. 125.

  15. Tsarev D.V., Arakelian S.M., Chuang Y.L. et al. // Opt. Exp. 2018. V. 26. Art. № 19583.

  16. Helstrom C.W. Quantum detection and estimation theory. Academic Press, 1976.

  17. Kok P., Braunstein S.L., Dowling J.P. et al. // J. Opt. B. 2004. V. 6. P. 811.

  18. Gerry C.C., Benmoussa A., Campos R.A. // J. Mod. Opt. 2007. V. 54. P. 2177.

  19. Tsarev D.V., Arakelian S.M., Chuang Y.-L. et al. // New J. Phys. 2019. V. 21. Art. № 083041.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал