Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 8, стр. 1197-1204

ВВЕДЕНИЕ

Реакции с участием легких слабосвязанных ядер, таких как нейтроноизбыточное ¹¹Li и протоноизбыточное ⁸B дают дополнительную возможность изучения свойств ядер на границах стабильности. При касательных столкновениях внешние нуклоны ядра-снаряда могут захватываться ядром-мишенью (реакции передачи) или высвобождаться (реакции развала). Для слабосвязанных ядер достаточно хорошо применима обобщенная модель с разделением всех нуклонов на образующие сильносвязанный остов и внешние (валентные) нуклоны. Энергии отделения нуклона от остова существенно превышают энергии отделения валентного нуклона. Примерами таких систем с одним внешним нуклоном являются зеркальные ядра ⁸В (остов {⁷Be} и протон с энергией отделения 0.136 МэВ [1]) и ⁸Li (остов {⁷Li} и нейтрон с энергией отделения 2.032 МэВ [1]). Энергии отделения протона от ядра ⁷Be и нейтрона от ядра ⁷Li равны 5.607 и 7.251 МэВ соответственно. Возможность рассмотрения поведения одного внешнего нуклона в поле двух силовых центров − неизменных (“замороженных”) ядра-мишени и остова ядра-снаряда, упрощает теоретическое описание каналов передачи и развала при столкновениях ядер. Распределение плотности слабосвязанных внешних нуклонов заметно отличается от плотности нуклонов остова. Протяженную часть распределения слабосвязанных нуклонов за пределами остова называют гало [2]. Реакции со слабосвязанными ядрами ⁸B, ⁸Li изучались в работах [3–7]. В качестве ядер-мишеней использовались ядра ⁵⁸Ni (реакция ⁸B + ⁵⁸Ni) [3], ¹²С (реакция ⁸Li + ¹²С) [4], ²⁰⁹Bi (реакция ⁸Li + ²⁰⁹Bi) [5], ²⁸Si (реакция ⁸Li + ²⁸Si) [7]. Использование ядер-мишеней ²⁸Si создает более благоприятные условия для проведения эксперимента, поскольку позволяет совместить мишень и детектор [7–10]. Поэтому в данной работе выполнены расчеты сечения потери внешнего нуклона за счет процессов передачи и развала при касательных столкновениях ядер ⁸Li + ²⁸Si и ⁸B + ²⁸Si.

Для ядра-снаряда характерное значение энергии в лабораторной системе 10 МэВ/нуклон близко к средней кинетической энергии внешнего нуклона [8]. При меньших энергиях, когда средняя скорость нуклонов выше относительной скорости ядер, происходит обобществление внешних нуклонов сблизившимися ядрами с заселением двуцентровых связанных состояний. При больших энергиях, когда средняя скорость внешних нуклонов меньше относительной скорости ядер при их наибольшем сближении, они не успевают перейти из одного ядра в другое. В работе [8] это было показано для внешних нейтронов ядра ⁹Li с энергией отделения 4 МэВ [1]. В данной работе исследуются процессы, происходящие при столкновении ядер, внешние нуклоны, которых имеют меньшие значения энергии отделения.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Численное решение нестационарного уравнения Шредингера c учетом спин-орбитального взаимодействия [11–13] дает возможность наглядного изучения динамики развала слабосвязанных ядер ⁸Li и ⁸B и передачи внешнего нуклона при их столкновениях с тяжелым ядром-мишенью. Классические уравнения движения центров двух ядер с массами ${{m}_{1}},$ ${{m}_{2}}$

включают ядро-ядерный потенциал ${{V}_{{12}}}.$ В расчетах, как и в работах [13–16] использовался потенциал ${{V}_{{12}}}(r)$ в форме Акьюза–Винтера [17]. Эволюция внешнего нуклона массы m в суммарном среднем поле (со спин-орбитальным взаимодействием) сталкивающихся ядер описывается нестационарным уравнением Шредингера [11]

для двухкомпонентной волновой функции $\Psi ,$ являющейся трехмерным спинором

Численное решение уравнения (2) в системе центра масс для ряда реакций было получено в работах [11–16]. В данной работе из-за большой протяженности нуклонных “облаков” ядер ⁸Li и ⁸B численное решение уравнения (2) было выполнено в системе отсчета, движущейся относительно лабораторной системы с постоянной скоростью, равной скорости ядра-снаряда на достаточно большом удалении от ядра-мишени. Это позволило уменьшить размер сетки и сократить время расчетов. При энергиях выше кулоновского барьера в ходе касательных и далеких столкновений с ядром-мишенью смещение ядра-снаряда в такой системе отсчета из начала координат невелико. При расчетах шаг сетки составлял $h$ = 0.3 фм, типичный объем области составлял 8 ⋅ 10⁵ фм³ при размере сетки 220 × 360 × 380 с наибольшим числом узлов в плоскости столкновения. Расчет процесса столкновения ядер требовал выполнения нескольких тысяч шагов по времени. Шаг по времени в безразмерных переменных $\tau = {t \mathord{\left/ {\vphantom {t {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}}$ изменялся от $\Delta \tau = $ 0.1 (для минимальной энергии) до $\Delta \tau = $ 0.05 (для максимальной энергии). В качестве ${{t}_{0}}$ было использовано значение ${{t}_{0}} = {{mx_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{mx_{0}^{2}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }$ = = $1.57 \cdot {{10}^{{ - 23}}}$ c, где ${{x}_{0}} = $ 1 фм [11]. Основная часть расчетов была выполнена на гетерогенном кластере Лаборатории информационных технологий ОИЯИ [18].

Начальным условием для волновой функции $\Psi \left( {\vec {r},t = 0} \right)$ служила волновая функция стационарного состояния ${{\Psi }_{{n,l,j,{{m}_{j}}}}}$ в среднем поле ядра-снаряда, неподвижного в выбранной системе отсчета. Для учета поляризации протонного облака волновая функция ${{\Psi }_{{n,l,j,{{m}_{j}}}}}$ протона в изолированном ядре-снаряде предварительно подвергалась медленному (адиабатическому) включению кулоновского взаимодействия с ядром-мишенью.

Ядра-снаряды ⁸Li и ⁸B являются несферическими, экспериментальные значения модуля параметра $\left| {{{\beta }_{2}}} \right|$ квадрупольной деформации для первого ядра 0.542 ± 0.033, 0.476 ± 0.075, 0.526 ± 0.054, для второго ядра 0.643 ± 0.045, 0.679 ± 0.075, 0.627 ± ± 0.054, знак ${{\beta }_{2}}$ не определен [19]. Рассмотрим свойства нуклонных состояний для обоих знаков ${{\beta }_{2}} > 0,$ ${{\beta }_{2}} < 0$ в оболочечной модели деформированного ядра. Решение уравнения Шредингера для аксиально-симметричного потенциала может быть выполнено с использованием разложений по функциям Бесселя [11]. В оболочечной модели деформированного ядра 5 нуклонов заселяют последовательно уровни с модулем $\left| {{{m}_{j}}} \right|$ проекции полного углового момента на ось симметрии ядра $\left| {{{m}_{j}}} \right|$ = 1/2, 3/2, 1/2 для ${{\beta }_{2}} < 0$ и $\left| {{{m}_{j}}} \right|$ = 1/2, 1/2, 3/2 для ${{\beta }_{2}} > 0$ (см., например, [1]). Плотности вероятности

для внешнего нейтрона ядра ⁸Li в состоянии с $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ при ${{\beta }_{2}} = - 0.5$ и в состоянии с $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$ при ${{\beta }_{2}} = 0.5$ показаны на рис. 1а, 1б, энергии этих состояний одинаковы и равны −2 МэВ. Из-за большой протяженности нейтронного “облака” различие между этими плотностями вероятности в сплюснутом и вытянутом ядрах невелико. В модели сферического ядра при той же энергии −2 МэВ в состоянии $1{{p}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ c $\left| {{{m}_{j}}} \right|$ = 1/2, 3/2 (рис. 1в, 1г) плотности вероятности внешнего нейтрона мало отличаются от распределений на рис. 1а, 1б, усредненных по различным ориентациям деформированного ядра. Это справедливо и для внешнего протона ядра ⁸B с меньшей энергией отделения 0.4 МэВ. Поэтому в расчетах для ядер-снарядов ⁸Li и ⁸B использовалась модель сферического ядра. Для ядра-мишени ²⁸Si, как и в работах [8, 10] также использовалось приближение сферического ядра. Схемы нейтронных и протонных уровней ядер-снарядов ⁸Li, ⁸B и ядра-мишени ²⁸Si в оболочечной модели сферического ядра показаны на рис. 2.

Волновые функции

оболочечной модели сферического ядра для состояний с квантовыми числами n, l, j, ${{m}_{j}} = - j,...j$ и с условием нормировки

определялись с использованием потенциала среднего поля в форме Вудса–Саксона так же, как в работах [11–16]. Значения параметров среднего поля оболочечной модели были выбраны из условия соответствия теоретических значений среднеквадратичного зарядового радиуса и энергий отделения протонов и нейтронов экспериментальным данным (см., например, [1]).

2. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Начальными условиями для внешнего нейтрона ядра ⁸Li и внешнего протона ядра ⁸В являлись волновые функции

Примеры эволюции плотности вероятности

внешнего нейтрона ядра ⁸Li при столкновении с ядром ²⁸Si показаны на рис. 3 для энергий в системе центра масс ${{E}_{{c.m.}}}$ = 10 МэВ (рис. 3а–3в) и ${{E}_{{c.m.}}}$ = = 186 МэВ (рис. 3г–3д). Первое значение энергии немного превышает высоту кулоновского барьера ${{V}_{B}}$ = 6.65 МэВ и соответствует энергии в лабораторной системе ${{E}_{{lab}}}$ = 1.6 МэВ/нуклон. Второе значение соответствует энергии в лабораторной системе ${{E}_{{lab}}}$ = 30 МэВ/нуклон. Представленные результаты получены усреднением по значениям проекции m_j полного углового момента, поэтому начальная форма нейтронного облака была сферически симметрична. Медленному по сравнению с движением внешнего нейтрона относительному движению ядер соответствуют результаты на рис. 3а–3в. В этом случае с большой вероятностью происходит обобществление внешнего нейтрона обоими сталкивающимися ядрами с заселением двуцентровых связанных состояний. При расхождении ядер двуцентровые состояния, в основном, разделяются между ядрами и с меньшей вероятностью трансформируются в состояния свободного нейтрона (рис. 3б). При больших энергиях (рис. 3г–3е) средняя скорость внешних нуклонов меньше относительной скорости ядер при их наибольшем сближении, и они не успевают перейти из одного ядра в другое. Вероятность передачи нейтрона на рис. 3е существенно меньше, чем на рис. 3в, а вероятность развала ядра ⁸Li на ядро ⁷Li и свободный нейтрон существенно выше. Примеры эволюции плотности вероятности внешнего протона ядра ⁸B при столкновении ⁸B + ²⁸Si показаны на рис. 4 для энергии ${{E}_{{c.m.}}}$ = 25 МэВ, ${{E}_{{lab}}}$ = = 4 МэВ/нуклон (а, б, в) и ${{E}_{{c.m.}}}$ = 62 МэВ, ${{E}_{{lab}}}$ = = 10 МэВ/нуклон. Распределения плотности вероятности показывают, что вероятность развала ядра-снаряда не мала при указанных энергиях.

Амплитуда вероятности сохранения нуклона в начальном состоянии $1{{p}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ ядра-снаряда в момент времени t равна

где волновая функция состояния $1{{p}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$ c проекцией полного момента ${{m}_{j}}$ в ядре-снаряде, движущемся с медленно меняющейся скоростью ${{{\vec {v}}}_{1}}(t)$

Полную вероятность потери нейтрона ${{P}_{{loss}}}$ ядром-снарядом можно определить, как уменьшение заселенности состояния $1{{p}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}$

при временах, соответствующих разлету сталкивающихся ядер ${{P}_{{loss}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{P}_{{loss}}}(t).$ Для неподвижного изолированного ядра-снаряда при выполнении большого (~10³) числа шагов по времени в ходе компьютерных расчетов, величина (11) оказалась достаточно малой $P_{{loss}}^{{(s)}} \approx 3 \cdot {{10}^{{ - 4}}}.$ Это значение может служить оценкой абсолютной погрешности расчета, поэтому достоверным считались значения вероятности ${{P}_{{loss}}} \geqslant {{10}^{{ - 3}}}.$

Волновая функция k-го связанного состояния в ядре-мишени, движущемся после столкновения с медленно меняющейся скоростью ${{{\vec {v}}}_{2}}(t),$ равна

Величина

имеет смысл амплитуды вероятности заселения этого состояния в ходе столкновения при достаточно больших межъядерных расстояниях. Сумма квадратов модулей амплитуд (13) для четырех незанятых до столкновения нейтронных состояний ядра-мишени ²⁸Si, k = $\left\{ {2{{s}_{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},1{{d}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},1{{f}_{{{7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},2{{p}_{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right\}$ и для трех протонных состояний (см. рис. 2),

для времен, соответствующих разлету ядер дает вероятность передачи внешнего нуклона от ядра-снаряда ядру-мишени. Полную вероятность передачи нуклона ${{P}_{{tr}}}$ можно определить как ${{P}_{{tr}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{P}_{{tr}}}(t),$ при этом достоверными считались значения вероятности ${{P}_{{tr}}} \geqslant {{10}^{{ - 4}}}.$ Типичные зависимости от безразмерного времени $\tau = {t \mathord{\left/ {\vphantom {t {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}}$ величин ${{P}_{{loss}}}(\tau )$ и ${{P}_{{tr}}}(\tau )$ для столкновений ⁸Li + ²⁸Si и ⁸B + + ²⁸Si показаны на рис. 5. Из-за кулоновского отталкивания доля вероятности передачи внешнего протона ядра ⁸B ядру-мишени в общей вероятности его потери существенно меньше такой же доли в общей вероятности потери внешнего нейтрона ядра ⁸Li.

Касанию поверхностей остовов {⁷Li}, {⁷Be} ядер-снарядов ⁸Li, ⁸B радиусом ${{R}_{1}}$ и ядра-мишени радиуса ${{R}_{2}}$ можно сопоставить траектории с минимальным расстоянием между их центрами ${{R}_{{min}}} = {{R}_{{cont}}}$ = ${{R}_{{\text{1}}}} + {{R}_{2}}$ = ${{r}_{0}}\left( {{{7}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}} + {{{28}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}} \right),$ при ${{r}_{0}} = $ = 1.25 фм ${{R}_{{cont}}}$ = 6.2 фм. Расчеты показали, что при ${{R}_{{min}}} > {{R}_{{cont}}}$ зависимость от ${{R}_{{min}}}$ вероятности передачи нуклона ${{\tilde {P}}_{{tr}}}$ может быть аппроксимирована выражением

Подобные зависимости были получены ранее для вероятностей нейтронных и протонных передач в реакциях с участием ядер ³He, ⁶He и ¹⁸О [11–16]. Зависимость от ${{R}_{{min}}}$ рассчитанной вероятности потери внешнего нейтрона ядром-снарядом также может быть аппроксимирована аналогичным выражением

Зависимости от энергии в системе центра масс ${{E}_{{c.m.}}}$ коэффициентов ${{A}_{{tr}}},$ ${{B}_{{tr}}},$ ${{A}_{{loss}}},$ ${{B}_{{loss}}}$ для столкновений ⁸Li + ²⁸Si и ⁸B + ²⁸Si показаны на рис. 6, при этом для реакции ⁸Li + ²⁸Si значение параметра ${{B}_{{loss}}}$ остается постоянным ${{B}_{{loss}}} = 0.78$ фм⁻¹ на всем интервале от ${{E}_{{c.m.}}}$ = 10 МэВ до ${{E}_{{c.m.}}}$ = 190 МэВ.

Сечения потери внешнего нуклона ${{\sigma }_{{loss}}}$ ядром-снарядом и передачи внешнего нуклона ядра-снаряда ядру мишени были вычислены интегрированием по прицельным параметрам касательных столкновений $b > {{b}_{{min}}}$

Здесь прицельный параметр ${{b}_{{min}}}$ соответствует траектории, приводящей к полному захвату остова ядра-снаряда ядром-мишенью при ${{R}_{{min}}} = {{R}_{1}} - {{R}_{2}}$ = = 1.4 фм, $f\left( {{{R}_{{min}}}} \right)$ − вероятность слияния ядер. Для функции $f\left( {{{R}_{{min}}}} \right)$ справедливы свойства $f\left( {{{R}_{{min}}}} \right)$ → → 1, ${{R}_{{min}}} < {{R}_{{cont}}},$ $f\left( {{{R}_{{min}}}} \right) \to 0,$ ${{R}_{{min}}} > {{R}_{{\text{B}}}},$ где ${{R}_{{\text{B}}}}$ − радиус вершины кулоновского барьера, ${{R}_{{\text{B}}}}$ = 8 фм для ядер ⁸B + ²⁸Si и ${{R}_{{\text{B}}}}$ = 8.4 фм для ядер ⁸Li + ²⁸Si. Эти свойства позволяют использовать для вероятности слияния ядер простую аппроксимацию

с естественным набором параметров

в данном случае ${{R}_{f}}$ = 7 фм, ${{a}_{f}}$ = 1 фм. С другой стороны, средний радиус слияния ядер ${{R}_{f}}$ можно рассматривать как варьируемую величину, значение которой находится из условия близости результатов расчетов к экспериментальным данным. На рис. 7а показаны результаты расчета сечения потери внешнего нейтрона ядром ⁸Li ${{\sigma }_{{loss}}}\left( {{{E}_{{c.m.}}}} \right)$ для двух значений радиуса ${{R}_{f}}.$ Для первого (естественного) значения ${{R}_{f}}$ = 7 фм сечение потери нейтрона оказались ниже экспериментального значения из работы [7] σ_loss = 590 ± ± 60 мб при энергии в лабораторной системе ${{E}_{{{\text{lab}}}}} = 29.4$ МэВ/нуклон (${{E}_{{c.m.}}}$ = 183 МэВ). Второе значение радиуса ${{R}_{f}} = {{R}_{2}} + 1.1$ фм = 4.9 фм < ${{R}_{{cont}}}$ было подобрано из условия совпадения расчетного значения сечения с экспериментальным. Лучшее согласие с экспериментальным значением при меньшем значении среднего радиуса слияния ядер ${{R}_{f}}$ можно интерпретировать как сохранение с большой вероятностью остова ядра-снаряда {⁷Li} даже при частичным перекрытием его объема с объемом ядра-мишени. В свою очередь это можно объяснить структурой ядра ⁷Li, состоящего из сильно связанного кластера {⁴Не} и кластера {³Н} [20].

Сечение передачи нейтрона ${{\sigma }_{{{\text{tr}}}}}$ при энергиях меньших, чем ${{E}_{{c.m.}}}$ = 25 МэВ, ${{E}_{{{\text{lab}}}}} = 4$ МэВ/нуклон составляет основной вклад в сечение потери нейтрона ядром ⁸Li, сечение развала значительно меньше. С ростом энергии сечение передачи уменьшается, поскольку нейтрон не успевает перейти с ядра-снаряда на ядро-мишень за время близкого контакта ядер, и при энергии ${{E}_{{c.m.}}}$ ≈ 186 МэВ, E_lab ≈ 30 МэВ/нуклон сечения передачи и развала соизмеримы.

Результаты расчета сечения потери ${{\sigma }_{{loss}}}\left( {{{E}_{{c.m.}}}} \right)$ внешнего протона ядром ⁸В для двух значений среднего радиуса слияния ${{R}_{f}}$ = 7 фм и ${{R}_{f}}$ = 4.9 фм показаны на рис. 7б. По аналогии с реакцией ⁸Li + + ²⁸Si можно предсказать, что экспериментальные значения сечения для реакции ⁸B + ²⁸Si окажутся между этими кривыми, но ближе к результатам для ${{R}_{f}}$ = 4.9 фм. Сечение передачи протона много меньше сечения развала из-за кулоновского отталкивания при околобарьерных энергиях ${{E}_{{c.m.}}}$ < 12 МэВ, ${{E}_{{lab}}}$ < 2 МэВ/нуклон. При энергиях ${{E}_{{c.m.}}}$ > 44 МэВ, ${{E}_{{lab}}}$ > 7 МэВ/нуклон сечение передачи протона с ростом энергии уменьшается, как и в случае передачи нейтрона в реакции ⁸Li + ²⁸Si. При энергиях до 7 МэВ/нуклон сечение передачи возрастает с ростом энергии, кулоновское отталкивание не успевает оказать сдерживающее влияние на процесс передачи из-за сокращения времени столкновения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нестационарный квантовый подход применен для описания процессов передачи и развала слабосвязанных легких ядер ⁸Li, ⁸В при низкоэнергетических ядро-ядерных столкновениях с ядром ²⁸Si. Согласие с экспериментальными данными для сечения развала в реакции ⁸Li + ²⁸Si получено при допущении, что остов ядра-снаряда {⁷Li} сохраняется при прохождении рядом с ядром ²⁸Si с частичным перекрытием их объемов. Использованный в работе метод может быть полезен при исследовании реакций развала и передачи с участием ядер со слабосвязанными нуклонами.

Автор выражает благодарность команде гетерогенного кластера Лаборатории информационных технологий ОИЯИ за содействие выполнению трудоемких компьютерных расчетов.