Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 8, стр. 1112-1115

ВВЕДЕНИЕ

Описание массовой поверхности вблизи некоторого атомного ядра с массовым числом А и числами нейтронов N и протонов Z представляет интерес с нескольких точек зрения. Если такая гладкая поверхность существует в аналитическом виде, то возможны определенные предсказания неизвестных масс с числом нуклонов, не слишком удаленных от N и Z. Существование такой массовой поверхности вокруг нечетного ядра, описываемой аналитической формулой, позволяет найти парную энергию P_τ (τ = n, p), определяемую как превышение массы нечетного ядра над соседними четно-четными. Величину этого превышения может дать аналитическое описание в точке, соответствующей N и Z нечетного ядра. Таким образом можно вычислить некоторую “гладкую” составляющую компоненту массы нечетного ядра $\mathcal{M},$ от которой необходимо отсчитывать, чтобы получить парную энергию:

Уравнение (1) соответствует нечетно-нейтронному ядру, уравнение (2) – нечетно-протонному. N_н, Z_н – нечетные числа; N, Z – четные.

В этой статье рассматривается возможность описания массовый поверхности с учетом линейных и квадратичных отклонений от N и Z, что способствует получению достоверных парных энергий, необходимых для уточнения выбора эффективных взаимодействий в частично-частичном канале [1–3].

В литературе используются разные определения парной энергии через массы ядер. Например, нейтронные парные энергии P_n обычно вычисляют с массами ядер при фиксированном четном Z (см. [4]):

здесь N и Z – четные числа.

В определение парной нейтронной энергии (3) входят две массы нечетного ядра $M\left( {N + 1,Z} \right)$ и $M\left( {N - 1,Z} \right),$ т.е. усредняются P_n для двух нечетных ядер. Предложенное в [5] уравнение позволяет фиксировать квантовое состояние нечетного наклона

(N_н – нечетное, Z – четное, как и в (1)). Применение (4) показало, что парные энергии нечетно-нейтронных ядер с N_н и N_н + 2 отличаются на ∼100 кэВ и более [5].

Уравнения (3), (4) используют предположение, что массы четно-четных ядер , соседних с нечетными, изменяются довольно плавно с N и Z, и если бы не P_τ, то масса нечетного ядра могла бы быть вычислена из этих масс четно-четных ядер. Это предположение было формализовано в [6], когда масса ядра с N + s и Z + t (s и t предполагаются малыми: |s/N| < 1 и |t/Z| < 1) была представлена в виде ряда по степеням s и t:

Уравнение (5) справедливо и при разложении энергии ядра E(N + s, Z + t) при замене M(N, Z) на E(N, Z), а d_1n0p на ${{\bar {d}}_{{1n0p}}}$ и d_0n1p на ${{\bar {d}}_{{0n1p}}}$

Далее обозначим d_in0p ≡ d_in; d_0nkp ≡ d_kp. Всем параметрам может быть приписан порядок, равный i + k, так что d_1n, d_1p являются параметрами первого порядка, а d_1n1p – второго и так далее. Параметры будут называться четными, если i + k – четное число, и нечетными, если i + k – нечетное число. Четно-четными и нечетно-нечетными будут соответственно называться параметры d_2μn2νp и d_{2μ + 1n2ν + 1p}.

“Гладкая” масса $\mathcal{M}$ нечетного ядра может появиться в разложении для четно-четного ядра, если разложение по s и t (5) проводится около точки N, Z, соответствующих нечетному ядру. Например, если s – нечетное число, то

Легко проверить, что определение P_n (3) не содержит d_1n и d_2n, а для P_p – d_1p и d_2p. В то же время определение в (4) исключает все нечетные параметры, а среди четных – d_2τ.

Возможность описать массовую поверхность, основываясь на уравнении (5) с учетом того или иного порядка параметров, предполагает, что эти параметры будут близки по величине при определении по разным группам ядер, не слишком далеких от N и Z, около которых производится разложение (5). Однако исследование ряда четно-четных ядер [7] показывают, что параметры ${{d}_{{inkp}}}$ при i ≠ 0, k ≠ 0 существенно различаются при определении по разным группам ядер, за исключением ${{d}_{{1n1p}}}.$

В настоящей статье для массовой поверхности нечетных ядер мы ограничились учетом параметров до второго порядка, причем рассматриваются две группы ядер для установления параметров массовой поверхности. Одна – с фиксированным четным Z для нечетно-нейтронных ядер (четным N для нечетно-протонных), в этой группе к нечетному нуклону добавляется или отделяется нечетное число нуклонов (±1, ±3), так что вычисления параметров происходит с массами четно-четных ядер. Во второй группе ядер для нечетно-нейтронных ядер изменяется Z на ±2, ±4 единиц (для нечетно-протонных изменяется N на те же единицы). Формулы, по которым вычисляются параметры, даны в следующем разделе. В последнем разделе приводятся численные значения параметров и дается обсуждение полученных результатов.

ПРИБЛИЖЕНИЯ К МАССОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ “ГЛАДКОЙ” СОСТАВЛЯЮЩЕЙ МАССЫ НЕЧЕТНОГО ЯДРА $\mathcal{M}$ И ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ d_inkp ЧЕРЕЗ МАССЫ ЧЕТНО-ЧЕТНЫХ ЯДЕР

Как упоминалось во введении, параметры массовой поверхности определяются для двух групп ядер. В каждой из них рассматриваются приближения к массовой поверхности, содержащие параметры не выше второго порядка.

Первая группа ядер сохраняет для нечетно-нейтронных ядер четное неизменное Z, для нечетно-протонных – четное N.

ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МАССОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ НЕЧЕТНЫХ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДЕР И ОБСУЖДЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Как указывалось во введении, все параметры $\mathcal{M}$ и d_inkp могут быть вычислены либо через массы четно-четных ядер, M(N + s, Z + t), либо через их энергии E(N + s, Z + t), т.е. через энергии связи, B = –E. Ниже в табл. 1, 2 содержатся значения параметров, вычисленные с уравнениях (6)–(16) на основе последней публикации М. Вонга и др. [8]. Параметры приводятся для стабильных ядер ${}_{{64}}^{{157}}{\text{Gd,}}$ ${}_{{67}}^{{165}}{\text{Ho,}}$ ${}_{{70}}^{{171}}{\text{Yb,}}$ ${}_{{71}}^{{175}}{\text{Lu}}$ и ${}_{{72}}^{{179}}{\text{Hf,}}$ т.к. для стабильных ядер в их ближайшей окрестности имеется достаточное количество измеренных масс ядер. В табл. 1 указаны массовое число A. заряд Z, τ = n для нечетно-нейтронных и τ = p для нечетно-протонных ядер. Эмпирические погрешности указаны в скобках рядом с параметрами. Все значения приведены в кэВ.

Табл. 1 показывает, что ${{\bar {d}}_{{1\tau }}},$ найденные как в разных приближениях, так и при разных ΔA внутри приближения, максимально отличаются на ∼200 кэВ, т.е. относительное различие, отнесенное к ${{\bar {d}}_{{1\tau }}},$ составляет очень небольшую величину ∼3%. Напомним, что в А удерживается неизменное Z для нечетно-нейтронных ядер и неизменное N для нечетно-протонных, а в Б, соответственно, Z или N изменяются на четные числа (±2, ±4). Знак и величина ${{\bar {d}}_{{1\tau }}}$ примерно соответствуют оценке на основе формулы Вайцзеккера [4].

Отметим, что параметры в Б по сравнению с А имеют большие эмпирические погрешности. Это связано с тем, что в Б используется большее число масс ядер, что обусловливает это различие.

Как следует из табл. 1, четные параметры d_2τ оказываются ближе друг к другу, чем d_1τ, определенные в разных приближениях. Различие параметров d_2τ в А и Б в среднем равно ≈ 22 кэВ. Обращает на себя внимание существенная разница в d_2n и d_2p. Однако формула Вайцзеккера как раз объясняет это. Если приближенно принять ${{d}_{{2n}}}$ ≈ ≈ $ - {{{{\partial }^{2}}B} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}B} {\partial {{N}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{N}^{2}}}}$ и ${{d}_{{2p}}}$ ≈ $ - {{{{\partial }^{2}}B} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}B} {\partial {{Z}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{Z}^{2}}}},$ где B – энергия связи Вайцзеккера с параметрами из [4], то d_2n ∼ ~ 200 кэВ и d_2n – d_2p ∼ 400 кэВ для 150 < A < 190, что вполне разумно согласуется с данными табл. 1.

Парные энергии P_τ (табл. 2) приводятся только в А, P_τ в Б могут быть получены с помощью разности $\mathcal{M}$(А) – $\mathcal{M}$(Б), т. к., например, P_n(А) = M(N_н, Z) –‒ $\mathcal{M}$(А). Абсолютные значения $\mathcal{M}$ не приводятся, т. к. они имеют тот же порядок, что и массы соседних четно-четных ядер, и могут быть легко восстановлены, используя значения P_τ и массу соответствующего нечетного ядра (см. (1) и (2)).

Подводя итог исследованию массовой поверхности вокруг нечетных ядер, аппроксимированной полиномами второго порядка по отклонениям от N и Z нечетного ядра, мы не можем отдать предпочтения А (постоянные Z (N) для нечетно-нейтронных (нечетно-протонных) ядер) или Б, где Z (N) изменяются. Оба эти приближения используют аппроксимацию массовой поверхности в виде полинома второго порядка. А использует для гладкой составляющей массы нечетного ядра $\mathcal{M}$ четыре массы, Б – восемь, что не всегда возможно, но оба приближения используют массы четно-четных ядер, отличающиеся от нечетного ядра на ΔA = 1; 3. По-видимому, микроскопический анализ может показать, какое приближение более адекватно.