Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 1, стр. 59-63

Асимптотическое разложение решения задач электромагнитной теории дифракции на объектах с коническими точками

А. Н. Боголюбов¹, И. Е. Могилевский^1, *, В. В. Ровенко¹

¹ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова”, физический факультет
Москва, Россия

^* E-mail: imogilevsky@mail.ru

Поступила в редакцию 20.07.2020
После доработки 28.08.2020
Принята к публикации 28.09.2020

DOI: 10.31857/S0367676521010075

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена трехмерная задача электромагнитной дифракции на ограниченном идеально проводящем теле, содержащем коническую точку. Построено асимптотическое представление электромагнитного поля в окрестности конической точки, в котором решение представлено в виде суммы сингулярной и гладкой частей.

В настоящее время весьма актуальными являются задачи скалярной и электромагнитной дифракции на сложных структурах при наличии ребер и конических точек на их границах. В частности, результат их решения может быть использован при решении различных задач аэродинамики и теории дифракции, например, задач о прохождении луча в маскирующей оболочке [1–5]. Известно, что наличие ребер, кромок и конических точек приводит к появлениям сингулярностей у поля в их окрестностях [6, 7], что существенно усложняет применение численных методов для исследования подобных задач. Одним из весьма эффективных способов преодоления этих проблем является выделение особенности решения в явном виде, то есть построение асимптотического представления решения в окрестности особой точки границы. При этом существенно используются результаты по асимптотике решения эллиптических краевых задач, представленные в работах В.А. Кондратьева [8], а также С.А. Назарова и Б.А. Пламеневского [7].

Рассмотрим трехмерную задачу дифракции электромагнитной волны на ограниченной области Ω, имеющей коническую точку (рис. 1):

(1)

$\begin{gathered} {\text{rot\;}}\bar {H} = ~ - ik\bar {E} + \frac{{4\pi }}{c}\bar {j},~\,\,\,\,{\text{supp}}~j \subset {{D}_{0}} \subset {{{{\mathbb{R}}^{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mathbb{R}}^{3}}} {\Omega }}} \right. \kern-0em} {\Omega }}, \\ {\text{rot}}~\bar {E} = ~ik\bar {H},\,\,\,\,{\text{div}}\bar {H} = ~0,\,\,\,\,{\text{div}}\bar {E} = ~0. \\ \end{gathered} $

Рис. 1.

Коническая поверхность.

Граничные условия имеют вид:

(2)

${{\left. {\left( {\bar {H},\bar {n}} \right)} \right|}_{{\partial {\Omega }}}} = 0,\,\,\,\,~{{\left. {\left[ {\bar {E},\bar {n}} \right]} \right|}_{{\partial {\Omega }}}} = 0,$

где $\bar {n}$ – вектор нормали к конической поверхности.

Условие Мейкснера на вершине конуса запишем в виде: $\bar {E},\bar {H} \in {{\left( {L_{2}^{{loc}}} \right)}^{3}}.$ Для детального исследования поля в окрестности конической точки данная задача сначала рассматривается в бесконечном конусе. В дальнейшем использование срезающей функции позволит исходную задачу дифракции свести к рассматриваемой задаче. Вводится сферическая система координат с центром в конической точке. Данный подход позволяет существенно упростить граничные условия, что дает возможность более детально исследовать свойства искомого решения. Основное уравнение задачи (1) преобразуется с использованием представления:

$\begin{gathered} \bar {E} = {\text{rot}}\,~{\text{rot}}~\left( {{{{\bar {e}}}_{r}}{{U}_{r}}} \right) + ik\,{\text{rot}}~\left( {{{{\bar {e}}}_{r}}{{V}_{r}}} \right), \\ \bar {H} = - ik\,{\text{rot\;}}\left( {{{{\bar {e}}}_{r}}{{U}_{r}}} \right) + {\text{rot}}\,{\text{rot}}~\left( {{{{\bar {e}}}_{r}}{{V}_{r}}} \right), \\ \end{gathered} $

где U и V – электрический и магнитный потенциалы Дебая, для которых получаем следующие задачи [9], оставив в левой части оператор Лапласа, а правую часть обозначив как функции ${{f}_{{1,2}}}\left( M \right){\text{:}}$

(3)

$\Delta U = {{f}_{1}}\left( M \right),\,\,\,\,{{\left. U \right|}_{{{\theta } = {\alpha }}}} = 0,$

(4)

$\Delta V = {{f}_{2}}\left( M \right),\,\,\,\,{{\left. {\frac{{\partial V}}{{\partial \theta }}} \right|}_{{{\theta } = {\alpha }}}} = 0.$

Сначала найдем асимптотику для задачи (3) с условиями Дирихле. Следуя результатам В.А. Кондратьева [8], введем пространство функций $V_{{\gamma }}^{l}$ с нормой:

$\left\| u \right\|_{{V_{{\gamma }}^{l}}}^{2} = \sum\limits_{s = 0}^l {\int\limits_K {{{r}^{{2{\gamma } - 2\left( {l - s} \right)}}}} } {{\left| {\frac{{{{\partial }^{s}}u}}{{\partial {{x}^{s}}}}} \right|}^{2}}d\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{V} ,$

где $K$ – внешняя часть бесконечного конуса, $l \geqslant 0$ – целое, $\gamma $ – вещественное число.

Далее предполагается, что правая часть $f\left( M \right) \in V_{{\gamma }}^{l}\left( K \right).$ Проведем замену переменной $\tau = {\text{ln}}\frac{1}{r} \Rightarrow \tau \in \left( { - \infty ; + \infty } \right).$ После умножения на ${{e}^{{ - 2{\tau }}}}$ уравнение (3) примет вид

$\frac{{{{\partial }^{2}}U}}{{\partial {{\tau }^{2}}}} - \frac{{\partial U}}{{\partial \tau }} + {{\Delta }_{{{\theta },{\varphi }}}}U = {{f}_{1}}\left( {\tau ,\theta ,\varphi } \right){{e}^{{ - 2{\tau }}}},$

где ${{\Delta }_{{{\theta },{\varphi }}}}~$ – угловая часть оператора Лапласа. Сделаем преобразование Фурье по τ:

$\begin{gathered} \hat {F}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {F\left( {\tau ,\theta ,\varphi } \right){{e}^{{ - i{\lambda \tau }}}}d\tau } ,~ \\ F\left( {\tau ,\theta ,\varphi } \right) = {{f}_{1}}\left( {\tau ,\theta ,\varphi } \right){{e}^{{ - 2{\tau }}}}, \\ \hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {U\left( {\tau ,\theta ,\varphi } \right){{e}^{{ - i{\lambda \tau }}}}d\tau } . \\ \end{gathered} $

Здесь $\hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right)$ и $\hat {F}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right)$ – образы функции U и правой части уравнения соответственно. Следовательно, задача (3) примет вид:

(5)

$\begin{gathered} - {{\lambda }^{2}}\hat {U} + i\lambda \hat {U} + {{\Delta }_{{{\theta },{\varphi }}}}\hat {U} = \hat {F}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right),\,\,\,\,{{\left. {\hat {U}} \right|}_{{{\theta } = {\alpha }}}} = 0, \\ {{\Delta }_{{{\theta },{\varphi }}}}\hat {U} = \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {\sin \theta \frac{{\partial{ \hat {U}}}}{{\partial \theta }}} \right) + \frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}\theta }}\frac{{{{\partial }^{2}}\hat {U}}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Из свойств преобразования Фурье для функций $\hat {F}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right)$ следует оценка:

(6)

$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 0}^l {\int\limits_{ - \infty + ih}^{ + \infty + ih} {{{{\left| \lambda \right|}}^{{2k}}}\hat {F}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right)_{{{{H}^{{l - k}}}\left( {0,{\alpha }} \right) \times \left( {0,2{\pi }} \right)}}^{2}d\lambda } } \leqslant C{{f}_{1}}_{{V_{{\gamma }}^{l}\left( K \right)}}^{2}, \\ ~h = l + \frac{1}{2} - \gamma . \\ \end{gathered} $

Решение задачи (5) ищется в виде ряда по сферическим функциям $P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right){{e}^{{im{\varphi }}}}{\text{:}}$

(7)

$\hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right) = \sum\limits_{n,m} {{{{\hat {U}}}_{{nm}}}\left( \lambda \right)P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right){{e}^{{im{\varphi }}}}} ,$

(8)

$\hat {F}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right) = \sum\limits_{n,m} {{{{\hat {F}}}_{{nm}}}\left( \lambda \right)P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right){{e}^{{im{\varphi }}}}} .$

Здесь $m = 0,\,\, \pm 1,~\,\, \pm 2,\,\, \ldots ,\,\, \pm n,$ n = n_m, а ${{n}_{m}}$ определяется из соотношений $P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \alpha } \right) = 0$ [10]. Более подробно рассмотрим вопрос существования решения этого уравнения после нахождения асимптотики.

Подставляя (7) и (8) в (5) получим:

$\begin{gathered} \left( { - {{\lambda }^{2}} + i\lambda } \right){{{\hat {U}}}_{{nm}}}\left( \lambda \right) + {{n}_{m}}\left( {{{n}_{m}} + 1} \right){{{\hat {U}}}_{{nm}}}\left( \lambda \right) = {{{\hat {F}}}_{{nm}}}\left( \lambda \right), \\ {{{\hat {U}}}_{{nm}}}\left( \lambda \right) = \frac{{{{{\hat {F}}}_{{nm}}}\left( \lambda \right)}}{{\left( {i - \lambda } \right)\lambda + {{n}_{m}}\left( {{{n}_{m}} + 1} \right)}}. \\ \end{gathered} $

Тогда решение задачи (5):

(9)

$\begin{gathered} \hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right) = \sum\limits_{n,m} {\frac{{{{{\hat {F}}}_{{nm}}}\left( \lambda \right)}}{{\left( {i - \lambda } \right)\lambda + {{n}_{m}}\left( {{{n}_{m}} + 1} \right)}}} \times \\ \times \,\,P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right){{e}^{{im{\varphi }}}}. \\ \end{gathered} $

Если функция $\hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right)$ не имеет полюсов на прямой $Im~\lambda = h$ = $l + \frac{1}{2} - \gamma ,$ получаем следующую оценку:

${{\left\| {U\left( {r,\theta ,\varphi } \right)} \right\|}_{{V_{{\gamma }}^{{l + 2}}\left( K \right)}}} \leqslant C{{\left\| {f\left( {r,\theta ,\varphi } \right)} \right\|}_{{V_{{\gamma }}^{l}\left( K \right)}}}.$

Пока построенное в пространстве Фурье-образов решение (9) определено лишь на прямой $h = - \gamma + l + \frac{1}{2}.$ Для построения его асимптотики необходимо, чтобы функция (9) была определена в некоторой полосе ${{h}_{1}} < h < {{h}_{2}}$ (рис. 2).

Рис. 2.

Прямые ${\text{Im\;}}\lambda = {{h}_{1}}$ и $\operatorname{Im} \lambda = {{h}_{2}}$ и особые точки функции $\hat {U}(\lambda ,\theta ,\varphi ).$

Пусть $f\left( {r,\theta ,\varphi } \right) \in V_{{{{{\gamma }}_{{\text{1}}}}}}^{{{{l}_{1}}}}\left( K \right) \cap V_{{{{{\gamma }}_{{\text{2}}}}}}^{{{{l}_{2}}}}\left( K \right),$ ${{\gamma }_{1}} > {{\gamma }_{2}},$ ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}}$ такие, что ${{h}_{1}} = {{l}_{1}} + \frac{1}{2} - {{\gamma }_{1}}$ и ${{h}_{2}} = {{l}_{2}} + \frac{1}{2} - {{\gamma }_{2}}$ удовлетворяют условию ${{h}_{2}} > {{h}_{1}},$ функция $\hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right)$ не имеет полюсов на прямых ${\text{Im}}~\lambda = {{h}_{1}}$ и ${\text{Im}}~\lambda = {{h}_{2}}$. C помощью теоремы о вычетах переходим от интегрирования по прямой ${\text{Im}}~\lambda = {{h}_{1}}$ к интегрированию по прямой ${\text{Im}}~\lambda = {{h}_{2}},$ а находящиеся между ними полюсы решения (9) позволяют получить асимптотическое представление решения:

(10)

$\begin{gathered} U\left( {r,\theta ,\varphi } \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty + i{{h}_{2}}}^{ + \infty + i{{h}_{2}}} {{{{\left. {\hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right){{e}^{{i{\lambda \tau }}}}d\lambda } \right|}}_{{{\tau } = \ln \frac{1}{r}}}}} + \\ + \,\,\sqrt {2\pi } i\sum\limits_{{{h}_{1}} < Im~{{{\lambda }}_{k}} < {{h}_{2}}} {{{{\left. {{\text{Res}}\hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right){{e}^{{i{{{\lambda }}_{n}}{\tau }}}}~} \right|}}_{{{\tau } = {\text{ln}}\frac{1}{r}}}}} , \\ U\left( {r,\theta ,\varphi } \right) = \Re \left( {r,\theta ,\varphi } \right) + \sqrt {2\pi } i \times \\ \times \,\,\sum\limits_{{{h}_{1}} < Im~{{{\lambda }}_{k}} < {{h}_{2}}} {{{{\left. {{\text{Res}}\hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right){{e}^{{i{{{\lambda }}_{n}}{\tau }}}}~} \right|}}_{{{\tau } = {\text{ln}}\frac{1}{r}}}}} . \\ \end{gathered} $

Для гладкой части $\Re \left( {r,\theta ,\varphi } \right)$ функции $U\left( {r,\theta ,\varphi } \right)$ имеем следующую оценку:

(11)

$\Re {{\left( {r,\theta ,\varphi } \right)}_{{V_{{{{\gamma }_{2}}}}^{{{{l}_{2}} + 2}}\left( K \right)}}} \leqslant Cf{{\left( {r,\theta ,\varphi } \right)}_{{V_{{{{{\gamma }}_{{\text{2}}}}}}^{{{{l}_{2}}}}\left( K \right)}}}.$

Особые точки функции $\hat {U}\left( {\lambda ,\theta ,\varphi } \right)$ – полюсы первого порядка (из (9)):

$\begin{gathered} \left( {i - \lambda } \right)\lambda - {{n}_{m}}\left( {{{n}_{m}} + 1} \right) = 0 \Rightarrow {{\lambda }_{{1,2}}} = \\ = \frac{i}{2}\left\{ {1 \pm \sqrt {1 + 4n_{m}^{2} + 4{{n}_{m}}} } \right\},\,\,\,\,{{\lambda }_{{1,2}}} = \frac{i}{2}\left[ {1 \pm \left( {2{{n}_{m}} + 1} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $

Асимптотическое представление решения имеет вид:

$\begin{gathered} U\left( {r,\theta ,\varphi } \right) = \Re + \sum\limits_{{{h}_{1}} < {{n}_{m}} < {{h}_{2}}} {{{C}_{{n,m}}}{{r}^{{{{n}_{m}}}}}P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right){{e}^{{im{\varphi }}}}} + \\ + \,\,\sum\limits_{{{h}_{1}} < {{n}_{m}} + 1 < {{h}_{2}}} {{{D}_{{n,m}}}{{r}^{{{{n}_{m}} + 1}}}P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right){{e}^{{im{\varphi }}}}} , \\ \end{gathered} $

где ${{C}_{{n,m}}}$ и ${{D}_{{n,m}}}$ – постоянные.

Теперь проведем оценку ${{h}_{1}}$ и ${{h}_{2}},$ исходя из параметров нашей исходной задачи и свойств функций. В силу условия Мейкснера и оценки числа $l = 1,$ поскольку оно связано с половиной порядка оператора. Значит, из условия интегрируемости решения в окрестности ${{D}_{{\varepsilon }}}$ конической точки (поведение представленного ниже подынтегрального выражения должно быть не хуже чем ${{r}^{{ - 1}}}$):

$\begin{gathered} \int\limits_{{{D}_{{\varepsilon }}}} {{{r}^{{2{\gamma } - 2}}}{{u}^{2}}d{{D}_{{\varepsilon }}}} = \int\limits_{{{D}_{{\varepsilon }}}} {{{r}^{{2{\gamma } - 2}}}{{r}^{2}}{{r}^{2}}\sin \theta dr} = \\ = \int\limits_{{{D}_{{\varepsilon }}}} {{{r}^{{2{\gamma } + 2}}}\sin \theta dr} \Rightarrow 2\gamma + 2 > - 1 \Rightarrow \gamma > {{ - 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3} 2}} \right. \kern-0em} 2}. \\ \end{gathered} $

Из формулы для определения прямой $h = - \gamma + \frac{3}{2}.$ Следовательно, функция (9) будет определена в полосе ${{h}_{1}} = - \frac{1}{2}$ < $h < {{h}_{2}} = \frac{3}{2}.$

Вернемся к системе (3). Следуя В.А. Кондратьеву [8], введем срезающую функцию:

$\chi \left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,~r \leqslant d{\text{/}}2} \\ {0,~r > d~} \end{array}} \right.,~\,\,\,\,\chi \left( r \right) \in {{C}^{\infty }}.$

Отметим, что на полуинтервале $\left( {\frac{d}{2};d} \right]$ функция $\chi \left( r \right)$ меняется с бесконечной гладкостью от $\left( {1;0} \right].$ Для функции $\chi \left( r \right)U\left( {r,\theta ,\varphi } \right)$ имеем следующую задачу:

(12)

$\Delta \left( {\chi U} \right) = {{f}^{{\chi }}}\left( M \right),\,\,\,\,{{\left. {\chi U} \right|}_{{{\theta } = {\alpha }}}} = 0,$

где ${{f}^{{\chi }}}\left( M \right)$ = $\chi f\left( M \right) + \left[ {\Delta ,\chi } \right]U,$ $\left[ {\Delta ,\chi } \right]U$ = = $\Delta \left( {\chi U} \right) - \chi \Delta U.$

Поскольку ${{f}^{{\chi }}}\left( {r,\theta ,\varphi } \right) \in V_{{l - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}^{{l + 1}}$ и функция $\widehat {\chi U}$ не имеет полюсов на прямой $Im~\lambda = {{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ тогда существует единственное решение $Q = \chi U$ такое, что $\chi U \in V_{{l - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}^{{l + 1}} \subset V_{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}^{1},$ поэтому:

(13)

$\begin{gathered} U\left( {r,\theta ,\varphi } \right) = \chi \left\{ {\sum\limits_{ - \frac{1}{2} < {{n}_{m}} < \frac{3}{2}} {{{C}_{{n,m}}}{{r}^{{{{n}_{m}}}}}P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right){{e}^{{im{\varphi }}}}} } \right. + \\ + \,\,\left. {\sum\limits_{ - \frac{1}{2} < {{n}_{m}} + 1 < \frac{3}{2}} {{{D}_{{n,m}}}{{r}^{{{{n}_{m}} + 1}}}P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right){{e}^{{im{\varphi }}}}} } \right\} + \Re \left( {r,\theta ,\varphi } \right), \\ \end{gathered} $

где ${{n}_{m}}$ – решения уравнений $P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \alpha } \right) = 0,$ ${{C}_{{n,m}}}$ и ${{D}_{{n,m}}}$ – постоянные.

Отметим, что построение асимптотики для задачи (4) с условиями Неймана будет происходить аналогично. Только ${{n}_{m}}$ будут решениями уравнений ${{\left. {\frac{{\partial P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right)}}{{\partial \theta }}} \right|}_{{{\theta } = {\alpha }}}} = 0.$

Существование решения уравнения $P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \alpha } \right) = 0$ подробно рассмотрено в статье [10]. Используя аналогичный подход, покажем существование решения ${{\left. {\frac{{\partial P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right)}}{{\partial \theta }}} \right|}_{{{\theta } = {\alpha }}}} = 0.$ Представим $P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right)$ в виде [10]:

$\begin{gathered} P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right) = \frac{{2{\text{Г}}\left( {n + m} \right)}}{{\sqrt \pi {\text{Г}}\left( {n + 0.5} \right)}} \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{{\cos \left( {\left\{ {n + 0.5} \right\}\theta - 0.25\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{1}{2}}}}}}} \right. + \frac{{1 - 4{{m}^{2}}}}{{4n + 3}} \times \\ \times \,\,\frac{{\cos \left( {\left\{ {n + 1.5} \right\}\theta - 0.75\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{3}{2}}}}}} + \frac{{1 - 40{{m}^{2}}}}{{22n + 5}} \times \\ \times \,\,\left. {\frac{{\cos \left( {\left\{ {n + 2.5} \right\}\theta - 1.25\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{5}{2}}}}}} + \ldots } \right]. \\ \end{gathered} $

Здесь Γ(x) – гамма-функция Эйлера. Сократим запись, переобозначив коэффициенты при степенях $2\sin \theta {\text{:}}$

$\begin{gathered} P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right) = \frac{{2{\text{Г}}\left( {n + m} \right)}}{{\sqrt \pi {\text{Г}}\left( {n + 0.5} \right)}} \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{{\cos \left( {\left\{ {n + 0.5} \right\}\theta - 0.25\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{1}{2}}}}}}} \right. + \\ + \,\,\alpha \frac{{\cos \left( {\left\{ {n + 1.5} \right\}\theta - 0.75\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{3}{2}}}}}} + \\ + \,\,\left. {\beta \frac{{\cos \left( {\left\{ {n + 2.5} \right\}\theta - 1.25\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{5}{2}}}}}} \ldots } \right]. \\ \end{gathered} $

Тогда для производной:

$\begin{gathered} \frac{{\partial P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right)}}{{\partial \theta }} = \frac{{ - 2{\text{Г}}\left( {n + m} \right)}}{{\sqrt \pi {\text{Г}}\left( {n + 0.5} \right)}} \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{{n \cdot \sin \left( {\left\{ {n + 0.5} \right\}\theta - 0.25\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{1}{2}}}}}}} \right. + \\ + \,\,\frac{{\cos \left( {\left\{ {n - 0.5} \right\}\theta - 0.25\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{3}{2}}}}}} + \\ + \,\,~\alpha \frac{{n \cdot \sin \left( {\left\{ {n + 1.5} \right\}\theta - 0.75\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{3}{2}}}}}} + \\ + \,\,\alpha \frac{{3\cos \left( {\left\{ {n + 0.5} \right\}\theta - 0.75\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{5}{2}}}}}} + \\ + \,\,~\beta \frac{{n \cdot \sin \left( {\left\{ {n + 2.5} \right\}\theta - 1.25\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{5}{2}}}}}} + \\ + \,\,\left. {\beta \frac{{5\cos \left( {\left\{ {n + 1.5} \right\}\theta - 1.25\pi + 0.5\pi m} \right)}}{{{{{\left( {2\sin \theta } \right)}}^{{\frac{5}{2}}}}}} + \ldots } \right]. \\ \end{gathered} $

Приводя к общему знаменателю относительно ${{\left( {2\sin \theta } \right)}^{{\frac{{k + 2}}{2}}}},$ где $k = 1,~\,3,\,~5,\,\, \ldots ,$ а также учитывая различный порядок малости этих степеней получим, что условие Неймана будет выполняться, если для каждого $k$ выполнены уравнения:

(14)

$\begin{gathered} 2n \cdot \sin \theta \cdot \sin \left( {\left\{ {n + 0.5k} \right\}\theta - 0.25k\pi + 0.5\pi m} \right) + \\ + \,\,k\cos \left( {\left\{ {n + 0.5k} \right\}\theta - 0.25k\pi + 0.5\pi m - \theta } \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Покажем теперь, что если уравнение (14) выполнено для $k = 1,$ то оно выполнено и для $k = 3.$ Пусть $\left\{ {n + 0.5} \right\}\theta - 0.25\pi $ + $0.5\pi m = \varphi ,$ тогда:

(15)

$\begin{gathered} k = 1{\kern 1pt} :~\cos \left( {\varphi - \theta } \right) = \\ = - 2n \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \,\,--\,\,{\text{выполнено}}, \\ \end{gathered} $

(16)

$\begin{gathered} k = 3{\kern 1pt} :~\,\,3\cos \left( {\varphi - \theta + \theta - 0.5\pi } \right) = \\ = - 2n \cdot \sin \theta \cdot \sin \left( {\varphi + \theta - 0.5\pi } \right). \\ \end{gathered} $

Используя формулы косинуса разности и суммы, а также формулы приведения, перепишем (15) и (16):

(17)

$\begin{gathered} k = 1{\kern 1pt} :~\,\,\cos \varphi \cos \theta = - \left( {2n + 1} \right) \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi , \\ k = 3{\kern 1pt} :~\,\,3\sin \varphi = 2n \cdot \sin \theta \left\{ {\cos \varphi \cos \theta - \sin \theta \cdot \sin \varphi } \right\}. \\ \end{gathered} $

Подставляя (16) в (17), находим $3\sin \varphi = $ $ = - 4n\left( {n + 1} \right) \cdot {{\sin }^{2}}\theta \sin \varphi .$

Значит, уравнения для $k = 1$ и $k = 3$ выполнены одновременно, если $\sin \varphi = 0$ или ${{\sin }^{2}}\theta $ = $ = - \frac{3}{{4n\left( {n + 1} \right)}} < 0.$

Совершенно аналогично можно доказать утверждение, что если уравнение верно при каком-то $k = K,$ то оно верно и для $k = K + 2.$ Тогда по методу математической индукции можно считать доказанным, что решения ${{n}_{m}}$ уравнения ${{\left. {\frac{{\partial P_{{{{n}_{m}}}}^{{\left( m \right)}}\left( {\cos \theta } \right)}}{{\partial \theta }}} \right|}_{{{\theta } = {\alpha }}}} = 0$ можно найти как $\left\{ {n + 0.5} \right\}\theta - 0.25\pi + 0.5\pi m = \pi s,$ $s = 0,~\,1,\,~2 \ldots $

Таким образом, построено асимптотическое разложение решения трехмерной задачи дифракции электромагнитной волны на ограниченном идеально проводящем теле, содержащем коническую точку, а также показана возможность такого разложения для условий первого и второго рода. Данный подход может быть применен для решения задач электромагнитной теории дифракции путем асимптотического представления решения в окрестности особых точек границы, а также совмещен с численными методами для уточнения решения задачи [11].

Список литературы

Могилевский И.Е., Ровенко В.В. // Физ. осн. приборостр. 2014. Т. 3. № 4. С. 28.
Дубинов А.Е., Мытарева Л.А. // УФН. 2010. Т. 180. № 5. С. 475; Dubinov A.E., Mytareva L.A. // Phys. Usp. 2010. V. 53. P. 455.
Дубинов А.Е., Мытарева Л.А. // УФН 2012. Т. 182. № 3. С. 337; Dubinov A.E., Mytareva L.A. // Phys. Usp. 2012. V. 55. P. 315.
Pendry J.B., Schurig D., Smith D.R. // Science. 2006. V. 312. P. 1780.
Долин Л.С. // Изв. вузов. Радиофиз. 1961. Т. 4. С. 964.
Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Избранные математические задачи теории дифракции. М.: МГУ, 2012. 239 с.
Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М: Наука, 1991. 334 с.
Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. М.: МГУ, 1967. С. 209.
Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Физматлит, 2004. С. 688.
Macdonald H.M. // Proc. Lond. Math. Soc. 1899. P. 264.
Боголюбов А.Н., Могилевский И.Е., Ровенко В.В. и др. // В кн.: 12-я Междунар. конф. “Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации” (ARMIMP-2019).

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал